Математическое моделирование хаотических колебаний конических и сферических оболочек постоянной и переменной толщины тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Щекатурова, Татьяна Владимировна

• Щекатурова, Татьяна Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Щекатурова, Татьяна Владимировна

ВВЕДЕНИЕ (Краткий исторический обзор исследований по теме диссертации).

Глава I. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕОРИИ ГИБКИХ

ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК С УЧЕТОМ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ

НЕЛИНЕИНОСТИ ПОСТОЯННОЙ

И ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ.

§ 1. Основные соотношения и допущения.:.

§ 2. Вариационная формулировка задачи. Алгоритм метода Ритца.

§ 3. Достоверность полученных результатов.

§ 4. Метод установления в теории гибких осесимметричных оболочек.

§ 5. Динамическая потеря устойчивости конических и сферических оболочек под действием импульса бесконечной продолжительности во времени.

Выводы по главе.

Глава И. СЦЕНАРИИ ПЕРЕХОДА КОЛЕБАНИЙ ИЗ ГАРМОНИЧЕСКИХ В ХАОТИЧЕСКИЕ ДЛЯ

СФЕРИЧЕСКИХ И КОНИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК.

§ 1. Анализ существующих математических моделей перехода из гармонических колебаний в хаотические.

§ 2. Новые математические модели сценариев перехода из гармонических колебаний в хаотические.

§ 3. Периодичность А.Н. Шарковского для дифференциальных уравнений теории пологих осесимметричных оболочек.

§ 4. Об исследовании пространственно-временного хаоса.

Выводы по главе.

Глава III. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ХАОТИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ КОНИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК

ПОСТОЯННОЙ ТОЛЩИНЫ.

§ 1. Сходимость метода Ритца при исследовании хаотических колебаний конических оболочек.

§ 2. Исследование хаотических колебаний конических оболочек постоянной толщины в зависимости от краевых условий и стрелы подъема оболочки над планом.

Выводы по главе.

Глава IV. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ХАОТИЧЕСКИХ

КОЛЕБАНИЙ СФЕРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК.

§ 1. Сходимость метода Ритца при исследовании хаотических колебаний сферических оболочек.

§ 2. Исследование пространственно-временного хаоса сферических оболочек постоянной толщины в зависимости от краевых условий и стрелы подъема оболочки над планом.

Выводы по главе.

Глава V. ХАОТИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ СФЕРИЧЕСКИХ И

КОНИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ.

УПРАВЛЕНИЕ ХАОСОМ.

§ 1. Хаотические колебания конических оболочек переменной толщины.

§ 2. Хаотические колебания сферических оболочек переменной толщины.

Выводы по главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование хаотических колебаний конических и сферических оболочек постоянной и переменной толщины»

краткий исторический обзор исследований по теме и основное содержание работы)

Быстрое развитие нелинейной теории оболочек обусловлено научными потребностями практики. Широкое применение новых материалов, использование оболочек в необычных условиях при большой интенсивности внешних воздействий настоятельно требует дальнейшего совершенствования методов расчета.

Основы теории гибких пластин были заложены русским ученым И.Г. Бубновым. Теодором фон Карманом были даны общие уравнения для пластин. В 1949 г. В.З. Власов получил систему дифференциальных уравнений теории гибких пологих оболочек. Нелинейные уравнения осесимметричной деформации гибких пологих оболочек вращения вывели Д.Ю. Панов и В.И. Феодосьев. Большой вклад в обоснование и развитие геометрически нелинейной теории внесли С.А. Алексеев, А.С. Вольмир, И.И. Ворович, К.З. Галимов, Х.М. Муштари, В.В. Новожилов, А.В. Погорелов, В.И. Феодосьев, JI.C. Срубщик, Б.Я. Кантор, А.В. Саченков, В.А. Крысько, Ю.Г. Коноплев.

Возможность непосредственного использования метода Ритца для решения нелинейных задач теории пологих оболочек тесно связана с построением функционалов или вариационных уравнений, в которых варьированию должны подвергаться все искомые функции. Различные формы вариационных уравнений, основанных на вариационных принципах механики, отличающиеся главным образом выбором вариационных функций, получены в работах Л.Я. Айнолы [1], К.З. Галимова [2], Х.М. Муштари, К.З. Галимова [3] Э. Рейснера [4], Р.З. Муртазина, И.Г. Терегулова [5] и др.

Удобным для приложений типом вариационного уравнения является уравнение смешанного типа относительно прогиба и функции усилий. По-видимому, впервые такое уравнение для нелинейной задачи дано Н.А. Алумяэ [6]. Для гибких пластин и оно было построено Л.И. Балабухом, а для пологих оболочек - приведено в работе [3]. Обобщение этого уравнения, связанное с учетом начального погиба и различных внешних воздействий дано в работах [7-9]. Эти уравнения соответствуют вариационному принципу, промежуточному между принципами Лагранжа и Кастильяно, так как в них варьируются и перемещение, и усилия в срединной поверхности. Особенность таких уравнений заключается в том, что функционал, стоящий под знаком вариации, не равен полной энергии системы, хотя вариация функционала совпадает с вариацией полной энергии.

Теоретическое обоснование применения вариационных методов в нелинейных задачах наиболее полно дано в работе С.Г. Михлина [10], где рассмотрены вопросы выбора координатных функций, связанные с устойчивостью алгебраических систем Ритца, и некоторые методы их решения.

Одним из основных условий эффективного использования метода Ритца для получения результатов в высших приближениях является полная автоматизация вычислений, включающих и построение, и решение систем Ритца. Появление ПЭВМ и машинная реализация этих процессов позволили получить методом Ритца приемлемые по точности результаты.

Опыт показал, что при расчете пластин и оболочек на ПЭВМ можно получать решения с необходимой степенью точности [11]. Выполнение расчетов гибких оболочек в высоких приближениях вызвано, в частности, растущим интересом к картине напряженного состояния в замкнутой области [12].

Нелинейная динамика пластин и оболочек интенсивно начала развиваться со второй половины прошлого века. Изучение колебаний оболочек было начато еще Рэлеем в его знаменитой книге «Теория звука». В последующее время труды в этой области опубликовали такие выдающиеся ученые как Н.А. Алумяэ [6], И.М. Бабаков [13], В.В. Болотин [14,15], Э.И. Григолюк [16] и другими авторами. В имеющейся литературе речь идет, как правило, о малых колебаниях упругих оболочек, когда соотношение между деформациями и перемещением с одной стороны и деформациями и усилиями с другой, могут быть приняты линейными. Однако в такой постановке подобные задачи оказываются весьма трудными. Если малые колебания пластинок сопровождаются лишь появлением напряжений собственно изгиба, то в случае оболочки к ним присоединяются цепные напряжения. В зависимости от очертания оболочки и условий закрепления мы получаем тот или иной спектр частот и форм колебаний. Для одних видов колебаний оказываются преобладающими изгибные усилия, для других - цепные. Характер напряженного состояния при колебаниях может сильно меняться вдоль главных размеров оболочки по мере удаления от края.

Особый раздел теории колебаний представляет собой исследование нелинейных колебаний, имеющих важные специфические свойства. Такого рода движения могут возникать в пластинах и оболочках при больших перемещениях, когда деформации и перемещения связаны нелинейными соотношениями. С другой стороны, деформации могут лежать за пределами применимости закона Гука, и нелинейность зависеть от усилий.

Одними из первых публикаций в этом направлении являются книги А.С. Вольмира [17], Б.Я. Кантора [9], В.А. Крысько [18], в которых авторы интересуются именно нелинейными колебаниями пластин и оболочек. Эта область представляет одну из частей общей нелинейной механики твердых деформируемых тел, или, в более широких рамках, нелинейной механики сплошных сред. Одним из важных практических приложений в этом направлении является вопрос о поведении пластин и оболочек при импульсных воздействиях. Этому вопросу в вышеперечисленных источниках уделяется большое внимание. В то же время при рассмотрении периодических колебаний может идти речь о некотором установившемся движении системы. В задачах о динамическом нагружении наибольшее внимание привлекают неустановившиеся переходные процессы. Такой процесс заключается обычно в скачкообразном переходе - перескоке системы от установившегося движения одного типа к некоторому другому движению. Подобное явление особенно характерно для оболочек и носит название хлопка или прощелкивания. Хлопок оболочки сопровождается, как правило, значительными перемещениями. Поэтому изучение поведения пластин и оболочек при импульсных воздействиях будет достаточно полным лишь в том случае, если оно проводится для больших прогибов, с позиций нелинейной теории.

Но чрезвычайно важным является вопрос о нелинейной динамике пластин и оболочек с учетом диссипации энергии под воздействием знакопеременных нагрузок и изучение сценариев перехода таких систем в состояние хаоса. Данное направление интенсивно развивается в научной школе, возглавляемой профессором В.А. Крысько. В этом направлении исследованы прямоугольные в плане пластинки и оболочки при действии продольных и поперечных знакопеременных нагрузок с учетом диссипации энергии [19-21]. Исследованию динамики пологих оболочек методом Ритца в известной нам литературе не уделялось должного внимания.

Целью настоящей работы является построение математической модели нелинейных колебаний сложных механических систем в виде сферических и конических оболочек постоянной и переменной толщины. Из этой цели вытекают задачи:

1. Разработка математической модели для сложных колебаний сферических и конических оболочек постоянной и переменной толщины под действием знакопеременной нагрузки.

2. Изучение сценариев перехода в состояние хаоса колебаний оболочечных систем в зависимости от стрелы подъема оболочки над планом, граничных условий и формы поперечного сечения оболочки.

3. Разработка алгоритма и комплекса программ на ПЭВМ для качественного исследования хаотических колебаний гибких диссипативных систем в виде осесимметричных сферических и конических оболочек постоянной и переменной толщины при произвольных краевых условиях.

4. Исследование возможности управления хаотическими колебаниями оболочек при помощи изменения толщины.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка используемой литературы. Работа содержит 110 страниц наборного текста, 43 рисунка, 13 таблиц.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Щекатурова, Татьяна Владимировна

Общие выводы по диссертации

1. Построена математическая модель теории гибких пологих оболочек с учетом геометрической нелинейности и переменности толщины. Исследована зависимость жесткой потери устойчивости от стрелы подъема оболочки над планом оболочек, находящихся под действием статической нагрузки (диссипативная система) и импульса бесконечной продолжительности во времени (консервативная система).

2. Проведено исследование сходимости метода Ритца в зависимости от количества членов ряда в разложении для конических и сферических оболочек, находящихся под действием поперечной знакопеременной нагрузки, постоянной и переменной толщины с краевыми условиями подвижная заделка и подвижный шарнир.

3. Проведена классификация по известным сценариям колебаний оболочек, находящихся под действием нагрузки, изменяющейся по гармоническому закону.

4. Исследована периодичность А.Н. Шарковского для дифференциальных уравнений теории пологих осесимметричных оболочек.

5. Разработан пакет программ для качественного исследования сложных колебаний конических и сферических оболочек с помощью метода Ритца в высших приближениях. Построены карты зависимости характера колебаний от управляющих параметров [q0,cop\ для конических и сферических оболочек с рассмотренными краевыми условиями постоянной толщины с к = 1, 1.5, 2, 3, 4, 5 и переменной толщины с к= 5.

6. Выявлены области сценария Фейгенбаума на картах \$[q,cqp \ для конических подвижно закрепленных оболочек, где происходило до 5 бифуркаций Хопфа, что позволило вычислить константу Фейгенбаума, которая отличается от теоретического значения на 0.018%.

7. Обнаружен новый сценарий перехода колебаний механических систем из гармонических в хаотические, и выявлены его области на картах {д0,сор\, который был назван модифицированным сценарием Рюэля-Такенса-Ньюхауза. Данный сценарий присутствует в колебаниях конических и сферических оболочек с краевыми условиями подвижная заделка.

8. Выявлен новый сценарий перехода колебаний из гармонических в хаотические в конических оболочках с краевыми условиями подвижный шарнир, который был назван модифицированным сценарием Помо-Манневиля, а также явление перемежаемости.

9. Исследована возможность управления хаосом с помощью изменения переменности толщины оболочек, находящихся под действием знакопеременной нагрузки на примере оболочек с к = 5

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Щекатурова, Татьяна Владимировна, 2004 год

1. Айнола Л.Я. Вариационные задачи в нелинейной теории упругих оболочек. // ПММ, 1957. 21с.

2. Галимов К.З. К общей теории пластин и оболочек при конечных перемещениях и деформациях // ПММ, 1951. т. 15. №6.

3. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. Казань: Таткнигиздат. 1957. 432 с.

4. Reissner Е. On a variational theorem in elastiaty. // J. Math. Phys, 1950. P.29.

5. Муштари P.3., Терегулов И.Г. К вариационным методам в нелинейной механике деформируемого твердого тела // Труды VI Всерос. конф. по теории оболочек и пластин. М.: Наука. 1966.

6. Алумяэ Н.А. Одна вариационная формула для исследования тонкостенных упругих оболочек в послекритической стадии // ПММ, 1950. т.14. №2.

7. Кантор Б.Я. К технической нелинейной теории тонких оболочек переменной толщины // Прикладная механика, 1965. т.1. №12. С. 76-95

8. Кантор Б.Я. К нелинейной теории тонких оболочек // Динамика и прочность машин. Харьков: изд-во ХГУ, 1967. т.5.

9. Кантор Б.Я. Нелинейные задачи теории неоднородных пологих оболочек. Киев: Наукова думка, 1971. 136 с.

10. Ю.Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970. 512 с.

11. ГВольмир А.С., Бирхган А.Ю. Применение электронно-управляемых машин к расчету пластин и оболочек // Строительная механика и расчет сооружений, 1964. №4. С.35-44.

12. Буштырков А. О нижних и верхних критических нагрузках и об одном новом аспекте проблемы закритического поведения тонкостенных оболочек // Труды VI Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин. М.: Наука. 1966. С. 54-65.

13. Бабаков И.М. Теория колебаний. 3-е изд. М.: Наука, 1968. 467с.

14. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. -М.: Гостехиздат, 1956. 600 с.

15. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой пластичности. -Физкнигиздат, 1961. 339 с.

16. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость круговых цилиндрических оболочек // Итоги науки. Механика твердых деформируемых тел (1967). М.: ВИНИТИ, 1969.

17. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластин и оболочек. М.: Наука, 1972 432с.

18. Крысько В.А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек. Изд-во Саратов, ун-та. 1976. 216 с.

19. Салий Е.В. Математическое моделирование динамики пологих оболочек с учетом геометрической и физической нелинейностей: Дис. . канд. физ.-мат. наук. -М„ 2001.- 117 с.

20. Киреева О.Н. Математические модели сложных нелинейных колебаний балок при наличии ограничений на прогиб: Дис. . канд. физ.-мат. наук. М. 2002.

21. Бабенкова Т.В. Математическое моделирование задач статики и динамики многослойных неполярных пластин. Дис. канд. физ.-мат. наук. Сар. 1998. 140с

22. Крысько В.А. Щекатурова Т.В. Сценарии перехода к хаосу осесимметричных оболочек при конечных прогибах. // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды двенадцатой межвуз. конф. Самара. 2002. С. 104-107.

23. Щекатурова Т.В. Исследования осесимметричных ' на круглом плане гибких пластинок при действии знакопеременной нагрузки // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды тринадцатой межвуз. конф. Самара, 2003. С. 169-171.

24. Krysko V.A. Tschekaturova T.V. Complicated vibrations spherical and conical variable thickness shells. // Dynamics of system theory and applications: International Conference. Lodz, Poland, 2003. P.585-603.

25. Крысько B.A. Щекатурова Т.В. Стохастические колебания сферических осесимметричных оболочек (метод Ритца). // Нелинейные колебания механических и биологических систем: Труды междунар. конф. Саратов, СГТУ. 2004. С.49-62.

26. Крысько В.А. Щекатурова Т.В. Колебания конических осесимметричных оболочек переменной толщины // Проблемы прочности материалов и конструкций на транспорте: Труды VI междунар. конф. Санкт-Петербург. 2004. С.222-233.

27. Крысысо В.А. Щекатурова Т.В. Хаотические колебания конических оболочек // Известия РАН. МТТ. 2004. №4. С. 140-150.

28. Крысько В.А. Щекатурова Т.В. Стохастические колебания конических оболочек переменной толщины. // Известия вузов. Машиностроение. 2004. №5, С.3-13.

29. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. М.: Гостехиздат, 1948. 168 с.

30. Вольмир А.С. Устойчивость деформированных систем. М.: Наука, 1967. 984с.

31. Феодосьев В.И. Об одном способе решения задач устойчивости деформируемых систем // ПММ, 1963. т. 27. № 2. С. 265 275.

32. Крысько В.А, Комаров С.А., Егурнов Н.В. Выпучивание гибких пластин под действием продольных и поперечных нагрузок // Прикладная механика, 1996. т.32. №9. С. 80 87.

33. Hopf Е.А. Mathematical example displaying the features of turbulcncc // Comn. Pure Appl. Math, 1948. v. 1. P. 303-322.

34. Ландау Л.Д. К проблеме турбулентности. ДАМ СССР, 1944. т. 44. № 8. 339 с.

35. Newhouses. Ruelle D, Takens F. Occurrence of Strange Axciom A Attractions near

36. Quasiperiodic Flow jn Tm, m < 3, 1978 // Commun Math. Phys, v.64. № 1. P.35 40.

37. Rutlle D., Takehs F. On the Nature of Turbulence // Commun. Math. Phys, 1971. v. 20. P. 167- 192. '

38. Mandelbrot. The Fractal Geometry of Nature. Freemcen. San Francisco, 1982.

39. Feigenbaum M.J. Quantitative Universality for a Class of Nonlinear Transformations // J. Sat. Phys, 1978. v.19. №25.

40. Li T.Y., Yorke LA. Period three implies chaos // Am. Math. Monthly, 1975. v. 82. P. 985 -992.

41. Grebogi C., Ott E., Yorke U.A. Are Three Freguncy Quasiperiodic orbits to be

42. Expected in Tupical Nonlinear Sistems. 1983. Phys. Rev. Lett. 51. 339p.

43. Pomean Y., Manneville P. Intermittent transition to turbulence in dissipativ dynamical systems // Comm. Math. Phys, 1980. v. 74. № 2. P. 189 197.

44. Manneville P., Pomean Y. Different ways to turbulence in dissipative dynamical systems //PhisicaD, 1980. № l.p. 219.

45. Жаботинский A.M. Концентрационные автоколебания. M.: Наука, 1974. 179с.

46. Крысько В.А., Крысько А.В. Проблемы бифуркаций и жесткой потери устойчивости нелинейной теории пластин // Сб. Механика оболочек и пластин в XXI веке. Саратов: изд-во СГТУ, 1999. С.50-67.

47. Шарковский А.Н. Существование циклов непрерывного преобразования прямой в себя //Украинский математический журнал, 1964. т. 26. № 1. С. 6-71.

48. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow // Atmos. Sci. 1962. vol. 20, № 1. P. 130 -141.

49. Curry J.H., Herring J.R., Loncaric J., Orszag S.A., Order disorder in two- and three-dimensional Benard convection // S.Fluid Mech, 1984. vol 147. № 1. P. 1-38.

50. Feigenbaum M.J. The universal metric properties of nonlinear transformations // J. Stat. Phys, 1979. vol. 21. № 6. P. 669 706.

51. Pierre Collet, Jean-Pierre Ecrmann. Jterated Maps on the Jnterval us Dynamical Systems. Birkhauser. Boston. 1980.

52. Шильников Л.П. Теория бифуркаций и турбулентность. Проблемы нелинейных и турбулентных процессов в физике. Киев: Наукова Думка, 1985. ч.2 С.118-124.

53. Smale S. Dinamical Systems and turbulence // Lect. Notes Math. 1962. № 615.

54. Awrejcewicz J., Krysko V.A., Narkaitis G.G. Bifurcations of a Thin Plate-Strip Excited Transversally and Axially // Nonlinear Dynamics 32. Kluwer Academic Publisher. 2003. P.187-209.

55. Bennetin, G., Casartelli M., Galgani L., Giorgilli A. and Strelcyn J. M. On the reliability of numerical study of stochasticity I: Existence of time averages. II Nuovo Cimento 44B(1). 1978. P. 183-195.

56. Bennetin G., Casartelli M., Galgani L., Giorgilli A. and Strelcyn J. M. On the reliability of numerical studies of stochasticity II: Identification of time averages. И Nuovo Cimento 50B. 1979. P. 211-232.

57. Бубнов И.Г. Строительная механика корабля. Спб.: Издание Морского министерства. ч.1 1912. 330 с; ч2.2 1914. 640 с.