Математическое моделирование колебательных процессов в структурно неоднородных средах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Ченцов Евгений Петрович

  • Ченцов Евгений Петрович
  • кандидат науккандидат наук
  • 2019, ФГБУН Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук
  • Специальность ВАК РФ05.13.18
  • Количество страниц 136
Ченцов Евгений Петрович. Математическое моделирование колебательных процессов в структурно неоднородных средах: дис. кандидат наук: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. ФГБУН Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук. 2019. 136 с.

Оглавление диссертации кандидат наук Ченцов Евгений Петрович

Введение

1 Обзор литературы

1.1 Обзор исследований по моделированию динамических процессов

в структурно неоднородных средах

1.2 Обзор методов численной реализации моделей блочной среды

1.3 Выводы по главе

2 Дискретные модели блочных сред

2.1 Общая постановка задачи

2.2 Спектральные портреты

2.3 Продольные колебания одноатомной

линейной цепочки

2.3.1 Задача со свободными границами

2.3.2 Задача с одной фиксированной границей

2.3.3 Задача с фиксированными границами

2.4 Вращательно-поперечные колебания одноатомной цепочки

2.5 Выводы по главе

3 Непрерывные модели блочных сред

3.1 Модель блочной среды с упругими прослойками

3.1.1 Одномерный случай

3.1.2 Численный метод

3.1.3 Двумерный случай

3.1.4 Метод двуциклического расщепления

3.1.5 Метод Годунова с предельной реконструкцией

3.2 Модель блочной среды с вязкоупругими прослойками

3.2.1 Численный метод

3.3 Модель блочной среды с разномодульными прослойками

3.3.1 Численный метод

3.4 Модель блочной среды с пористыми прослойками

3.4.1 Численный метод

3.5 Модель блочной среды с флюидонасыщенными прослойками . . . 78 3.5.1 Термодинамическая согласованность модели

3.6 Модель блочной среды с флюидонасыщенными прослойками с пористым вязкоупругим скелетом

3.6.1 Численный метод

3.7 Выводы по главе

4 Программный комплекс. Вычислительный эксперимент

4.1 Описание программного комплекса

4.2 Анализ производительности программы

4.3 Результаты численных расчетов

4.3.1 Мгновенный поворот центрального блока в блочном массиве

4.3.2 Воздействие сосредоточенного вращательного момента на левой границе расчетной области

4.4 Выводы по главе

Заключение

Литература

116

Рекомендованный список диссертаций по специальности «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», 05.13.18 шифр ВАК

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование колебательных процессов в структурно неоднородных средах»

Введение

Актуальность темы. Исследование деформационных и колебательных процессов в структурно неоднородных средах, таких как горные породы, представляет большой практический интерес на протяжении последних десятилетий. Одной из основных задач геомеханики является исследование процесса распространения сейсмических волн. Результаты экспериментальных исследований показали сильную зависимость распространения волн такого типа от структуры среды, через которую они проходят; замечено, что при достаточно больших возмущениях горной среды ее структурные элементы движутся независимо друг от друга. Для описания горных массивов широко используется представленный М. А. Садовским подход, согласно которому такая среда есть множество вложенных друг в друга блоков, разделенных податливыми прослойками. Деформируемость среды в таком подходе в основном описывается через деформируемость прослоек, а не блоков [6]. Несмотря на это, значительное количество моделей блочной среды описывает поведение блочных сред, не имеющих прослоек, и вместо них просто задается сеть трещин. Такое приближение сильно ограничивает применимость моделей, зачастую сказываясь на точности полученных результатов.

В связи с этим особый интерес представляет способ моделирования, в котором учитывается относительная толщина прослоек между блоками, обладающих набором механических параметров. Эти параметры в разных средах значительно варьируются, оказывая существенное влияние на процесс распространения волн в среде. Важной задачей является поиск метода моделирования прослоек, с помощью которого можно описать тот или иной характер межблочного материала: упругий, пластический или вязкий, пористый или сплошной, многофазный (например, флюидонасыщенный) или

однофазный. Варьирование толщины, в свою очередь, значительно расширяет сферу применения моделей такого типа. При достаточно большой толщине прослойки модель блочной среды может описывать деформационные процессы в кирпичной кладке. Стремление увеличить сопротивляемость сооружений из блоков колебаниям (таким как землетрясения) побуждает исследователей развивать методы моделирования волновых процессов.

При изучении сред блочного типа исследователей интересует не только распространение волн, но и резонанс, возникающий при колебаниях определенного типа на собственной частоте. В таком случае амплитуда колебания блоков в среде растет, вызывая разрушение материала. Большое внимание здесь уделяется не только поиску резонансных частот, но и характеру возмущений, вызывающих резонанс. В результате анализа можно избежать возникновения резонанса там, где он нежелателен, и использовать его для разрушения структурно схожих с блочными средами материалов. Актуальным вопросом является как значение собственных частот, так и их практическая достижимость.

Программная реализация таких моделей требует не только разработки эффективных численных методов, но и значительных вычислительных ресурсов. При моделировании в значимых для практического применения масштабах необходимо использовать параллельные вычислительные технологии. Распределение вычислительной нагрузки позволяет увеличивать масштабы задачи и повышать точность ее решения.

Целью исследования является применение математического моделирования для описания динамического поведения блочных сред, а также разработка вычислительных алгоритмов для используемых моделей, их программная реализация в виде комплекса программ.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

1. Анализ распространения упругих волн в блочной среде с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента;

2. Комплексное исследование резонансных частот в структурно неоднородных средах в части их практической достижимости с применением

математического моделирования и вычислительного эксперимента;

3. Создание эффективных численных методов для реализации разработанных математических моделей;

4. Разработка комплекса программ для моделирования волновых процессов в блочных средах с применением высокопроизводительных вычислений.

Основным методом исследования в работе является вычислительный эксперимент, состоящий из следующих этапов: постановка задачи, создание адекватной математической модели, ее численная реализация с помощью конечно-разностных схем, разработка программного комплекса с использованием предложенного численного алгоритма, с помощью которого получены результаты моделирования.

Результаты, выносимые на защиту:

1. Математические методы моделирования колебательных процессов в двумерных блочных средах из упругих блоков, разделенных податливыми прослойками со сложными реологическими свойствами. Методы моделирования включают в себя постановку задачи, разработку математических моделей блочных сред и их обоснование, численную и программную реализацию модели, анализ результатов моделирования.

2. Численный алгоритм для нахождения решения систем уравнений, описывающих распространение волн в средах блочного типа.

3. Комплекс параллельных программ для суперкомпьютеров кластерной архитектуры, реализующий разработанный численный алгоритм.

4. Результаты анализа характерной собственной частоты вращательного движения блоков, определяемой исключительно значениями механических параметров модели. Данная частота является достижимой, что указывает на возможность ее практического использования в технических приложениях.

Личный вклад. Личный вклад автора состоит в следующем: исследование определяющих уравнений математических моделей на термодинамическую согласованность; включенное участие во всех этапах разработки

вычислительного алгоритма и комплекса программ, в том числе - отладка и тестирование; проведение расчетов, обработка и анализ полученных результатов; подготовка и представление статей и докладов по теме работы. Садовскому В.М. принадлежат: постановка задачи, идеи задания определяющих уравнений моделей блочных сред и численного метода; предложены задачи для тестирования численного алгоритма. Садовская О.В. осуществляла распараллеливание вычислительного алгоритма и общее руководство по созданию комплекса программ.

Достоверность и обоснованность результатов. Достоверность и обоснованность представленных в диссертационной работе результатов обеспечены использованием фундаментальных законов механики деформируемого твердого тела. Они основаны на строгости вывода используемых моделей и выполнением для них законов сохранения, теоретическом обосновании разработанных численных алгоритмов и подтверждаются согласованностью одномерных расчетов с точными решениями. Двумерные расчеты качественно согласуются с экспериментальными и лабораторными исследованиями.

Научная новизна.

1. Разработаны математические методы моделирования для описания распространения волн и колебательных процессов в двумерной блочной среде, состоящей из упругих блоков и податливых прослоек. Прослойки при этом могут обладать различными реологическими свойствами. Рассмотрены следующие случаи: прослойки из упругого материала; прослойки являются вязкоупругими; разномодульные прослойки; пористые прослойки; флюидонасыщенные прослойки с упругим скелетом; флюи-донасыщенные пористые прослойки с вязкоупругим скелетом.

2. Для определяющих уравнений прослоек разработан вычислительный алгоритм, основанный на схемах Годунова и Иванова. Полученный численный метод не обладает схемной диссипацией энергии и хорошо реализуем на программном уровне.

3. Разработан программный комплекс, позволяющий описывать распространение волн в блочной среде с реологически сложными прослой-

ками. Проведенные расчеты показали, что изотропные свойства среды переходят в анизотропные по мере увеличения относительной толщины прослоек. Для модели блочной среды с флюидонасыщенными пористыми прослойками данный эффект выражен в меньшей степени, чем для модели с упругими прослойками.

4. С помощью дискретного моделирования колебательных процессов показано, что характерная собственная частота вращательного движения, зависящая только от механических параметров модели, является практически достижимой.

Практическая значимость. Разработанные математические модели и программный комплекс могут использоваться при описании колебательных процессов в геосредах, в том числе в насыщенной нефтью горной породе. На основе предложенного метода можно анализировать эффект разрушения ледяного тороса - аналога блочной среды. Модели также могут быть использованы для анализа распространения волн в искусственных средах (например, кирпичной кладке).

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 136 страниц, включая 43 рисунка и 1 таблицу. Список используемой литературы содержит 195 наименований.

В первой главе представлен обзор литературы по теме исследования. Раздел 1.1 посвящен описанию различных подходов к моделированию структурно неоднородных сред, таких как горная порода или кирпичная кладка. Представлены модели, описывающие волновые процессы в таких средах, а также модели, позволяющие описывать в них сеть трещин. Обзор охватывает непрерывные и дискретные модели. Отдельно представлена модель Коссера, в которой учитывается вращательное движение частиц. Раздел 1.2 содержит обзор методов численной реализации моделей блочной среды. Представлены методы конечных разностей, в частности, метод распада разрыва Годунова и его модификации для решения волновых задач. Также описан широко используемый метод конечных элементов в различных вариациях. Упомянуты метод граничных элементов, в котором краевая задача

сводится к интегральным уравнениям на границе области, и метод дискретных элементов, в основе которого лежит решение уравнений движения для каждой частицы. Раздел 1.3 содержит выводы по главе.

Вторая глава посвящена моделированию колебательных процессов в блочной среде на основе дискретных моделей, а также анализу резонансных частот с помощью спектральных портретов. В разделе 2.1 приведена общая постановка исследуемой задачи. Раздел 2.2 описывает технологию построения спектральных портретов. Дискретная модель продольных колебаний одноатомной линейной цепочки представлена в разделе 2.3; найдены резонансные частоты продольных колебаний, а также их связь в предельном переходе с продольными колебаниями упругого стержня с различными типами закрепления. Построенный спектральный портрет указывает на эквивалентность резонансных частот с точки зрения их достижимости. Раздел 2.4 описывает модель поперечно-вращательных колебаний в моноатомной линейной цепочке. Показано, что при предельном переходе уравнения, описывающие колебания такого типа, переходят в уравнения континуума Коссера. Найдена особая резонансная частота вращательного движения, не зависящая от размеров области и типа граничных условий. Анализ спектральных портретов указывает на практическую достижимость данной частоты. Раздел 2.5 содержит выводы по главе.

В третьей главе представлены непрерывные модели блочных сред. В разделе 3.1 представлены одномерная и двумерная модели, в которых упругие блоки разделены упругими податливыми прослойками. Для численной реализации модели используется метод двуциклического расщепления по пространственным переменным; в блоках используется метод распада разрыва Годунова, в то время как схема для прослоек основана на методе Иванова.

Раздел 3.2 посвящен модели вязкоупругих прослоек, описываемых с помощью реологической схемы Поинтинга-Томсона. Данная схема изначально применялась для описания поведения стеклянных волокон. Модель представляет собой комбинацию двух основных моделей вязкоупругости - Максвелла и Кельвина-Фойхта, соединенных последовательно в реологической схеме. Такая схема используется для описания поперечных волн в прослой-

ках. Для численной реализации построена разностная схема, основанная на методе Иванова.

В разделе 3.3 представлена модель разномодульных прослоек, описывающая поведение микроразрушенной (гранулированной) среды. Наличие жесткого контакта в реологической схеме позволяет моделировать прослойку, по-разному сопротивляющуюся растяжению и сжатию. Разностная схема также построена на основе метода Иванова.

Развитие идеи разномодульных прослоек представлено разделом 3.4, где моделируются пористые прослойки. Контакт здесь в начальный момент времени разомкнут, что указывает на наличие пор. При сжатии контакт смыкается, описывая эффект схлопывания пор. Получены определяющие уравнения и численный алгоритм с помощью метода, аналогичного методу в разделе 3.3.

Раздел 3.5 посвящен моделированию флюидонасыщенной пористых прослоек с упругим скелетом. Для описания напряженно-деформированного состояния используется модификация модели Био, обычно применяемая в задачах фильтрации. Построены определяющие уравнения, в которых упругость скелета описывается законом Гука, а движение жидкости - уравнениями Био. Для описания поведения жидкой фазы в стыковых узлах между блоками использован гидродинамический аналог закона Кирхгофа, согласно которому суммы входящих и исходящих потоков равны. Показана термодинамическая согласованность построенной модели.

Раздел 3.6 содержит дальнейшее развитие модели флюидонасыщенных прослоек и является комбинацией предложенных ранее моделей. Прослойки здесь являются флюидонасыщенными с учетом эффекта схлопывания пор, причем пористый скелет обладает вязкоупругими свойствами. Схлопывание приводит к блокированию жидкости внутри поры и остановке течения в прослойках. Выписаны определяющие уравнения и численный алгоритм, основанный на сочетании схем Годунова и Иванова.

Раздел 3.7 содержит выводы по главе.

В главе 4 описан комплекс параллельных программ, реализующий представленные в главе 3 вычислительные алгоритмы, а также приведены

результаты вычислительных экспериментов. Раздел 4.1 содержит информацию о структуре программного комплекса, основных входных параметрах и технологии вычисления искомых величин. Представлен принцип распараллеливания, согласно которому происходит декомпозиция среды на области. В разделе 4.2 приведен анализ скорости вычисления с помощью отслеживания времени выполнения программы в целом, времени вычисления каждого процесса и времени коммуникации между ними. В разделе 4.3 представлены результаты численных расчетов, которые были получены на кластерах Института вычислительного моделирования СО РАН и Межведомственного суперкомпьютерного центра РАН, для задач о мгновенном повороте центрального блока в блочном массиве и о воздействии сосредоточенного вращательного момента на границе расчетной области. Обе задачи решались на основе двух моделей: модели блочной среды с упругими прослойками и модели блочной среды с флюидонасыщенными пористыми прослойками с учетом эффекта схлопывания пор. Для визуализации расчетов построены линии уровня касательных напряжений, угловых скоростей и циркуляций в разные моменты времени для разных толщин прослоек. Показаны зависимости свойств среды от определенных феноменологических параметров среды.

Раздел 4.4 содержит выводы по главе.

В заключении представлены результаты диссертационной работы.

Апробация работы. Диссертация в целом докладывалась на семинаре "Проблемы математического и численного моделирования" ИВМ СО РАН, объединенном семинаре "Информационно - вычислительные технологии" ИВТ СО РАН, объединенном семинаре ИВМиМГ СО РАН, семинаре отдела механики деформируемого твердого тела ИГиЛ СО РАН, семинаре лаборатории механики взрыва и разрушения горных пород ИГД СО РАН. Отдельные результаты исследований были представлены на следующих научных конференциях:

1. Открытые конференции молодых ученых ИВМ СО РАН (Красноярск, 2014, 2015, 2016, 2017);

2. XVIII, XIX, XX Международные научно-практические конференции "Решетневские чтения", посвящ. годовщинам СибГАУ им. акад. М.Ф.

Решетнева (Красноярск, 2014, 2015, 2016);

3. XX Всероссийская конференция "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики", посвященная памяти К.И. Бабенко (Новороссийск, 2014);

4. Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов-2015" (Москва, 2015);

5. XXIV Всероссийская конференция по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Омск, 2015);

6. XVI Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Красноярск,2015);

7. VI Международная конференция по численному анализу и приложениям 'тЛ 16" (Болгария, Лозенец, 2016);

8. VIII, IX Международные конференции Евро-Американского консорциума по продвижению приложений математики в технических и естественных науках (Болгария, Албена, 2016, 2017);

9. VI Ежегодная конференция математического сообщества Грузии (Грузия, Батуми, 2015).

10. XX Конференция молодых ученых ФИЦ КНЦ СО РАН (2017).

Публикации и патенты. По теме диссертации опубликовано 20 печатных работ; из них 4 - публикации в изданиях по списку ВАК, в том числе -зарегистрированный программный комплекс для численного моделирования динамических процессов в многоблочных средах на кластерных системах N2016615178.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 14-01-00130, 16-31-00078, 1831-00100), гранта КГАУ "Красноярский краевой фонд поддержки научной и научно-технической деятельности" и программы по комплексным фундаментальным исследованиям N18 Президиума РАН.

Глава 1 Обзор литературы

1.1 Обзор исследований по моделированию динамических процессов в структурно неоднородных средах

До начала восьмидесятых годов двадцатого века блочная среда воспринималась как некоторая однородная среда, динамику которой можно описать с помощью теории распространения упругих волн. Используя такой подход, разработаны способы интерпретации и обработки сейсмической информации в геофизике и горном деле. Важным прикладным значением был прогноз внезапного обрушения кровли угольных шахт, которому обычно предшествует ослабление микроструктуры породы. Вместе с тем исследования последних десятилетий, касающиеся волновых процессов в горных средах, указывают на необходимость учета блочного строения горных пород в предназначенных для геодинамики математических моделях [14,41,65-68]. Наибольшее влияние на развитие представления о структуре горных пород оказала фундаментальная работа М. А. Садовского [65], согласно которой массив горных пород - система вложенных друг в друга блоков разного масштабного уровня; блоки соединены между собой прослойками, состоящими из более слабых трещиноватых пород, причем их деформирование существенно нелинейно и обладает сложными свойствами. Для блочной структуры в силу иерархичности часто наблюдаются различные динамические явления, не свойственные для однородной среды, а, следовательно, модели однородной среды не способны достоверно описывать поведения блочных сред [35]. В [46] показано, что принцип делимости геосред можно продолжить на мезо- и микроуровне,

с которого начинается их иерархическая структура; авторы указывают на возможность распространения данного принципа на пластичные материалы и среды.

В связи с такой неоднородностью материала поведение, в частности, горных пород удобно изучать с помощью моделей блочной среды, в которых последняя представлена как совокупность блоков определенной геометрии, разделенных прослойками или трещинами. Механические и геометрические параметры блоков и прослоек изменяются в зависимости от моделируемого объекта и используемых предположений. Замечено, что размеры блоков в геосредах не являются произвольными, а дают некоторый дискретный ряд, где отношения размеров блоков к размеру соседних блоков удовлетворяют универсальному принципу материала при разрушении [34,46,56]. В [65] приведено соотношение, которое используется для определения размера блока в иерархии масштабов. В [42] исследовано отношение линейного размера блока горной породы к раскрытию трещин между блоками в иерархической структуре массива. Автор экспериментальным путем нашел статистический инвариант блочной структуры, определяемый отношением толщины прослойки к размеру блока. Абсолютная универсальность принципа блочности геологической среды и земной коры как сложившейся системы подвергалась и критике. С.В. Гольдин, в частности, указывал на то, что "геологическая среда вряд ли является точным математическим фракталом" [21], относясь к соотношениям на размеры блоков как к удобному упрощению для упорядочения и моделирования иерархических структур без требования строгой согласованности с наблюдаемыми экспериментальными данными.

Большой практический интерес изучения процессов, происходящих на больших глубинах, вынуждает моделировать не только колебательные, но и сейсмические и деформационные процессы в горной породе. Наиболее простая непрерывная модель, описывающая деформируемую среду с микроструктурой, формулируется в терминах одномерного волнового уравнения. Предполагается, что плотность и скорость упругих волн постоянны. Волновым задачам, целью которых является изучение сейсмических процессов, посвящено большое количество работ [5,12,16,33,81,102,150]. Особое вни-

мание уделено низкочастотным колебаниям, поскольку эксперименты на моделях блочных сред показали высокую скорость затухания высокочастотных вибраций, характерных для собственных колебаний блоков. Это наблюдение указывает, что основное сейсмическое воздействие на среду происходит за счет низкочастотных колебаний; сама блочная среда выступает как фильтр нижних частот [7,8,81]. В этих и других работах [1,3,6,39,41,164,178] показано существование волн маятникового типа, имеющих относительно большую длину, малую скорость распространения относительно скорости распространения волн в материале блока и слабое затухание в массиве. Маятниковые волны отвечают за передачу колебаний в системе массивных блоков и податливых прослоек, играя важную роль в сейсмических и сдвиговых процессах. Несмотря на достаточно раннее предположение о существовании маятниковых волн [41], лишь в недавних работах удалось их обнаружить при моделировании прохождения упругих волн через блочную среду с тонкими прослойками [14]. В [81] проведен анализ параметров волн маятникового типа на основе модели, в которой чередовались прослойки различной жесткости. Авторы в [164], представив одномерную блочную среду в виде масс, соединенных параллельно вязким демпфером и пружиной, установили, что при повышении уровня блочности среды понижается скорость маятниковых волн. Предложенная в [69] модель использует предположение, что низкочастотная часть волнового пакета позволяет получить усредненные характеристики структуры среды, через которую проходят волны. Показано, что если модели не учитывают деформирование блоков, то их применимость ограничена требованием: жесткость стержня в модели должна значительно превышать жесткость прослойки.

Если изучение того или иного процесса в горной среде строится на основе двумерной или трехмерной модели, большое значение имеет не только размер блоков, но и их форма. Наряду с моделями, где блоки имеют форму прямоугольников [14,72,170,172] или являются материальными точками [134, 136], используются и модели с элементами других форм. В [16] построена модель взаимодействия шестиугольных элементов; изучена динамика ненапряженного полупространства при гармонических колебаниях

элементов на поверхности. В [149] авторы используют шестиугольную кристаллическую решетку для описания гранулированной среды, состоящей из большого количества упругих шариков; изучена скорость затухания волн и указана зависимость от типов возмущения. Такой подход удобен для описания неоднородных материалов, частицы которых имеют нестандартную форму.

Альтернативный подход к моделированию блочной среды - задание сети трещин или прослоек, а не формы блоков. Существует два основных подхода к заданию такой сети: использование заранее определенного множества прослоек с заданным расположением или их случайное распределение в горной массе. Классическая модель, в которой сеть состоит из взаимно ортогональных выдержанных трещин, описана, в частности, в [176]. Горный массив аналогичен сплошной ортогонально анизотропной упругой среде; взаимосвязь тензоров напряжений и деформаций для такого случая показана в [44]. Если трещины не являются выдержанными и могут смещаться, то применима модель Сингха [181], в которой некоторые трещины считаются постоянными, а некоторые - подвижными. Работа [130] представляет случай неортогональной сети выдержанных трещин, расположенных друг к другу под заранее заданным углом. Для решения задачи введено предположение, согласно которому деформация есть сумма двух слагаемых: первое относится к деформации неповрежденной скальной среды, а второе - к трещине или прослойке.

Похожие диссертационные работы по специальности «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», 05.13.18 шифр ВАК

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ченцов Евгений Петрович, 2019 год

Список литературы

[1] Айзенберг-Степаненко, М.В. Моделирование волновых явлений в структурированных средах / М.В. Айзенберг-Степаненко, Е.Н. Шер // Физическая мезомеханика. - 2007. - Т. 10, №1. - С. 47-57.

[2] Александрова, Н.И. Асимптотическое решение антиплоской задачи для двумерной решетки / Н.И. Александрова // ДАН. - 2014. - Т. 455, №1. - C. 34-37.

[3] Александрова, Н.И. Влияние вязкости прослоек на распространение низкочастотных маятниковых волн в блочных иерархических средах / Н.И. Александрова, Е.Н. Шер, А.Г. Черников // Физ. - техн. пробл. разраб. полез. ископаемых. - 2008. - №3. - С. 3-13.

[4] Александрова, Н.И. Моделирование процесса распространения волн в блочных средах / Н.И. Александрова, Е.Н. Шер // Физ.-техн. пробл. разр. полез. ископаемых. - 2004. - №6. - С. 60-72.

[5] Александрова, Н.И. Моделирование распространения сейсмических волн по поверхности блочного породного массива при сосредоточенном импульсном нагружении / Н.И. Александрова, М.П. Варыгина, Е.Н. Шер // Интерэкспо Гео-Сибирь. - 2014. - Т. 2, №4.

[6] Александрова, Н.И. Нестацинарные волновые процессы в блочных и упругих средах с учетом вязкости и внешнего сухого трения : дис. . . . д-ра физ.-мат. наук: 01.02.04 / Александрова Надежда Ивановна. -Новосибирск, 2015. - 276 с.

[7] Александрова, Н.И. О распространении упругих волн в блочной среде при импульсном нагружении / Н.И. Александрова // Физ.-техн. пробл. разраб. полез. ископаемых. - 2003. - №6. - С. 38-47.

[8] Александрова, Н.И. Экспериментальная проверка одномерной расчетной модели распространения волн в блочной среде / Н.И. Александрова, А.Г. Черников, Е.Н. Шер // Физ.-техн. пробл. разраб. полез. ископаемых. - 2005. - №3. - С. 46-55.

[9] Аннин, Б.Д. Моделирование процесса деформирования горных пород с неровными поверхностями контакта блоков в условиях квазистатического и динамического нагружения / Б.Д. Аннин, Е.В. Карпов // Прикл. мех. и техн. физ. - 2007. - Т. 48, №3. - С. 173-178.

[10] Антонов, А.С. Параллельное программирование с использованием технологии MPI: учебное пособие / А.С. Антонов. - М.: Изд-во МГУ, 2004. - 71 с.

[11] Астафуров, С.В. Влияние стесненных условий на характер деформирования и разрушения блочных сред при сдвиговом нагружении / С.В. Астафуров, Е.В. Шилько, С.Г. Псахье // Физическая мезоме-ханика. - 2009. - Т. 12, №6. - С. 23-32.

[12] Балек, А.Е. Управление напряженно-деформированным состоянием скального массива путем регулируемых подвижек консолидированных геоблоков / А.Е. Балек // Горный информационно-аналитический бюллетень. - 2005. - С. 163-169.

[13] Биргер, И.А. Сопротивление материалов / И.А. Биргер, Р.Р. Мавлю-тов. - М.: Наука, 1986. - 560 с.

[14] Варыгина, М.П. Вычислительные алгоритмы для анализа упругих волн в блочных средах с тонкими прослойками / М.П. Варыгина, М.А. Похабова, О.В. Садовская, В.М. Садовский // Вычисл. методы и программирование. - 2011. - Т. 12. - С. 435-442.

[15] Варыгина, М.П. Параллельные вычисления в задачах динамики мо-

ментного континуума Коссера [Текст]: дис.....канд. физ.-мат. наук:

05.13.18: защищена 05.08.2010 / Варыгина Мария Петровна. - Красноярск, 2010. - 105 с.

[16] Венгрович, Д.Б. Сейсмические волны в блочных средах / Д.Б. Вен-грович // Акустика неоднородных сред. - Новосибирск: институт гидродинамики, 1995. - С. 57-62.

[17] Виноградов, Г.В. Реология полимеров / Г.В. Виноградов, А.Я. Малкин.

- М.: Химия, 1977. - 438 с.

[18] Годунов, С.К. Лекции по современным аспектам линейной алгебры / С.К. Годунов. - Новосибирск: Научная книга, 2002. - 216 с.

[19] Годунов, С.К. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики / С.К. Годунов // Матем. сб. - 1959.

- Т.47(89), №. 3. - С. 271-306.

[20] Годунов, С.К. Элементы механики сплошных сред и законы сохранения / С.К. Годунов, Е.И. Роменский. - М.: Научная книга, 1998. - 280 с.

[21] Гольдин, С.В. Деструкция литосферы и физическая мезомеханика / С.В. Гольдин // Физическая мезомеханика. - 2002. - Т. 5, №5. -С. 5-22.

[22] Гузев, М.А. Молекулярно-динамические характеристики одномерной точно решаемой модели на различных масштабах / М.А. Гузев, Ю.Г. Израильский, М.А. Шепелов // Физическая мезомеханика. -2006. - Т. 9, №5. - С. 53-57.

[23] Ерофеев, В.И. Братья Коссера и механика обобщенных континуумов / В.И. Ерофеев // Вычислительная механика сплошных сред. - 2009.

- Т. 2, №4. - С. 5-10.

[24] Ерофеев, В.И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой / В.И. Ерофеев. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1999. - 328 с.

[25] Жуков, А.И. Эксплуатация нефтяных месторождений / А.И. Жуков.

- М.: Гостопттехиздат, 1954. - 605 с.

[26] Иванов, Г.В. Численное решение динамических задач упругопласти-ческого деформирования твердых тел / Г.В. Иванов, Ю.М. Волчков, В.Д. Кургузов и др. - Новосибирск: Сиб. унив. Изд-во, 2002. - 352 с.

[27] Исакович, М.А. Общая акустика // М.А. Исакович. - М.: Издательство "Наука", 1973. - 496 с.

[28] Ковеня, В.М. Модификации метода расщепления для построения экономичных разностных схем / В.М. Ковеня, А.С. Лебедев // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. - 1994. - Т. 34, №6. - С. 886-897.

[29] Козырев, С.А. Реакция массива горных пород на мощные динамические воздействия / С.А. Козырев, Е.А. Усачев // Вестник Кольского научного центра РАН. - 2011. - №3. - С. 22-30.

[30] Коновалов, А.Н. Оптимальные явно разрешимые дискретные модели с контролируемым дисбалансом полной механической энергии для динамических задач линейной теории упругости / А.Н. Коновалов, Ю.П. Попов // Сиб. матем. журн. - 2015. - Т. 56, №. 5. - С. 10921099.

[31] Коновалов, А.Н. Численные методы в динамических задачах теории упругости / А.Н. Коновалов // Сиб. матем. журн. - 1997. - Т. 38, №. 3. - С. 551-568.

[32] Костюченко, В.Н. Деформационные характеристики межблоковых промежутков различного масштаба / В.Н. Костюченко, Г.Г. Кочарян, Д.В. Павлов // Физическая мезомеханика. - 2002. - Т. 5, №5. - С. 23-42.

[33] Кочарян, Г.Г. Акустическая эмиссия при различных режимах межблоковых перемещений / Г.Г. Кочарян, О.А. Остапчук // Физ.-техн. пробл. разраб. полез. ископаемых. - 2015. - №1. - С. 3-13.

[34] Кочарян, Г.Г. Динамика деформирования блочных массивов горных пород / Г.Г. Кочарян, А.А. Спивак. - М.: ИКЦ Академкнига, 2003. - 423 с.

[35] Кочарян, Г.Г. Модель необратимого деформирования горного массива блочной структуры при взрывном воздействии / Г.Г. Кочарян // Взрывное дело. - 1990. - №90/47. - С. 30-42.

[36] Кочарян, Г.Г. Об особенностях механики сейсмического процесса в блочной геофизической среде / Г.Г. Кочарян, А.Е. Федоров // ДАН СССР. - 1990. - Т. 315, №6. - С. 1345-1349.

[37] Куликовский. А.Г. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений / Г.А. Куликовский, Н.В. Погорелов, А.Ю. Семенов. - М.: Физматлит, 2001. - 601 с.

[38] Курзин, В.Б. Определение динамических характеристик механических систем методом построения одномерных спектральных портретов матриц / В.Б. Курзин // Прикладная механика и техническая физика. -2008. - Т. 49, - №1. - С. 104-113.

[39] Курленя, М.В. Волны маятникового типа. Ч. II: Методика экспериментов и основные результаты физического моделирования /М.В. Курленя, В.Н. Опарин, В.И. Востриков // Физ. - техн. пробл. разраб. полез. ископаемых. - 1996. - №4. - С. 3-38.

[40] Курленя, М.В. О динамическом поведении "самонапряженных" блочных сред. Ч. I: одномерная механико-математическая модель / М.В. Курленя, В.М. Опарин, Е.Г. Балмашнова и др. // Физ.-техн. пробл. разраб. полез. ископаемых. - 2001. - №1. - С. 3-11.

[41] Курленя, М.В. О формировании упругих волновых пакетов при импульсном возбуждении блочных сред. Волны маятникового типа / М.В. Курленя, В.Н. Опарин, В.И. Востриков // ДАН СССР. - 1993. - Т. 333, №4. - С. 3-13.

[42] Курленя, М.В. Об отношении линейных размеров блоков горных пород к величинам раскрытия трещин в структурной иерархии массива / М.В. Курленя, В.Н. Опарин, А.А. Еременко // Физ.-техн. пробл. разраб. полез. ископаемых. - 1993. - №3. - С. 3-21.

[43] Ланда, П.С. К линейной теории волн в средах с периодической структурой / П.С. Ланда, В.Ф. Марченко // Успехи физ. наук. - 1991. -Т. 161, №9. - С. 201-209.

[44] Лехницкий, С.Г. Теория упругости анизотропного тела / С.Г. Лехниц-кий. - М.: Наука, 1977. - 416 с.

[45] Лисина, С.А. Нелинейная гранулированная среда с вращением частиц. Одномерная модель / С.А. Лисина, А.И. Потапов, В.Ф. Нестеренко // Акустический журнал. - 2015. - Т. 47, №5. - С. 666-674.

[46] Макаров, П.В. Об иерархической природе деформации и разрушения твердых тел и сред / П.В. Макаров // Физическая мезомеханика. -2004. - Т. 7, №4. - С. 25-34.

[47] Марчук, Г.И. Методы расщепления / Г.И. Марчук. - М.: Наука, 1988.

- 263 с.

[48] Машинский, Э.И. Аномалии скоростей продольных и поперечных волн в образце природного песчаника, составленного из блоков / Э.И. Машинский, Г.В. Егоров // Физ.-техн. пробл. разраб. полез. ископаемых.

- 2013. - №2. - С. 72-80.

[49] Моисеев, Н.Я. Разностные схемы повышенной точности для решения одномерных задач газовой динамики методом Годунова с антидиффузией / Н.Я. Моисеев, И.Ю. Силантьева // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. - 2009. - Т. 48, №5. - С. 1-23.

[50] Молотков, Л.А. Исследование однофазных и многофазных эффективных моделей, описывающих периодические среды / Л.А. Молотков, А.Е. Хило // Зап. научн. сем. ЛОМИ. - 1984. - Т. 140. - С. 105-122.

[51] Молотков, Л.А. О распространении сейсмических волн в блочных упруго- жидких средах. II. / Л.А. Молотков // Зап. науч. семин. ПО-МИ. - 2003. - Т. 297. - С. 254-271.

[52] Молотков, Л.А. О распространении сейсмических волн в блочных упруго-жидких средах. I. / Л.А. Молотков // Зап. науч. семин. ПО-МИ. - 2003. - Т. 297. - С. 230-253.

[53] Молотков, Л.А. Эффективная модель блочной пористой среды с контактами проскальзывания на границах / Л.А. Молотков // Зап. науч. семин. ПОМИ. - 2001. - Т. 275. - С. 140-164.

[54] Новацкий, В. Теория упругости / В. Новацкий. - М.: Мир, 1975. -872 с.

[55] Опарин, В.Н. О динамическом поведении напряженных блочных сред. Ч. II: Сравнение теоретических и экспериментальных данных / В.Н. Опарин, Е.Г. Балмашнова, В.И. Востриков // Физ.-техн. пробл. разраб. полез. ископаемых. - 2001. - №5. - С. 12-18.

[56] Псахье, С.Г. Метод подвижных клеточных автоматов как инструмент физической мезомеханики материалов / С.Г. Псахье, С.Ю. Коростелев, А.Ю. Смолин и др. // Физическая мезомеханика. - 1998. - Т. 1, №1.

- С. 95-108.

[57] Ревуженко, А.Ф. Численный метод построения континуальной модели деформирования твердого тела, эквивалентной заданной модели дискретных элементов / А.Ф. Ревуженко, С.В. Клишин // Физическая мезомеханика. - 2012. - Т. 15, №. 6. - С. 35-44.

[58] Рейнер, М. Реология / М. Рейнер. - М.: Наука, 1965. - 224 с.

[59] Русанов, В.В. Разностные схемы третьего порядка точности для сквозного счета разрывных решений / В.В. Русанов // ДАН СССР. - 1968.

- Т. 180, №6. - С. 1303-1305.

[60] Садовская, О.В. Математическое моделирования в задачах механики сыпучих сред / О.В. Садовская, В.М. Садовский. - М.: Физматлит, 2008. - 368 с.

[61] Садовский, В.М. Анализ резонансного возбуждения блочной среды на основе уравнений моментного континуума Коссера / В.М. Садовский, О.В. Садовская, М.П. Варыгина // Радиоэлектроника. Наносистемы. Информационные технологии. - 2013. - Т. 5, №1. - С. 111-118.

[62] Садовский, В.М. Анализ резонансного возбуждения слоистых и блочных сред на основе дискретных моделей / В.М. Садовский, Е.П. Чен-цов // Вычисл. методы и программирование. - 2015. - Т. 16. -С. 318-327.

[63] Садовский, В.М. Анализ резонансных частот в блочных средах на основе дискретных моделей / В.М. Садовский, Е.П. Ченцов // Материалы XXIV Всероссийской конференции "Численные методы решения задач теории упругости и пластичности". - Т. 2, №19. - Омск: Изд-во ОмГТУ, 2015. - С. 207-210.

[64] Садовский, В.М. Моделирование упругих волн в блочной среде на основе уравнений континуума Коссера / В.М. Садовский, О.В. Садов-

ская, М.А. Похабова // Вычислительная механика сплошных сред. -2014. - Т. 7, №1. - С. 52-60.

[65] Садовский, М.А. Естественная кусковатость горной породы / М.А. Садовский // ДАН СССР. - 1979. - Т. 247, №4. - С. 829-832.

[66] Садовский, М.А. О механике блочного горного массива / М.А. Садовский, Г.Г. Кочарян, В.Н. Родионов // ДАН СССР. - 1988. - Т. 302, №2. - С. 306-307.

[67] Садовский, М.А. О размере зон необратимого деформирования при взрыве в блочной среде / М.А. Садовский, В.В. Адушкин, А.А. Спивак // Изв. АН СССР. Физика Земли. - 1989. - №9. - С. 9-15.

[68] Садовский, М.А. О свойстве дискретности горных пород / М.А. Садовский, Л.Г. Болховитинов, В.Ф. Писаренко // Изв. АН СССР. Физика Земли. - 1982. - №12. - С. 3-18.

[69] Сарайкин, В.А. Распространение низкочастотной составляющей волны в модели блочной среды / В.А. Сарайкин // Прикл. мех. и техн. физ. - 2009. - №6. - С. 177-185.

[70] Сухинин, С.В. Распространение волн и резонансные явление в неоднородных средах / С.В. Сухилин // Прикладная механика и техническая физика. - 2001. - Т. 42, №3. - С. 32-42.

[71] Федоренко, Р.П. Применение разностных схем высокой точности для численного решения гиперболических уравнений / Р.П. Федоренко // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. - 1962. - Т. 2, №6. -С. 1122-1128.

[72] Ченцов, Е.П. Анализ колебательных процессов в структурно неоднородных материалах с помощью дискретного моделирования / Е.П. Ченцов // Материалы XIX Междунар. науч.-практ. конф., посвящ. 55-летию Сиб. гос. аэрокосмич. ун-та им. акад. М. Ф. Решетнева (10-14 нояб. 2015., г. Красноярск): в 2 ч. / под общ. ред. Ю.Ю. Логинова; Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т. - Красноярск, 2015. - Ч. 2. - С. 164-166.

[73] Ченцов, Е.П. Исследование резонансных явлений в блочной среде на основе дискретной модели / Е.П. Ченцов, В.М. Садовский // Материалы XVIII Международной научной конференции "Решетневские чтения". - В 3 ч. - Ч. 2. - 2014. - С. 135-137.

[74] Ченцов, Е.П. Исследование резонанса в блочной среде / Е.П. Ченцов // Труды молодых ученых ИВМ СО РАН. - 2014. - С. 49-50.

[75] Ченцов, Е.П. Исследование резонансных явлений в блочной среде на основе дискретной модели / Е.П. Ченцов, В.М. Садовский // Материалы XVIII Международной научной конференции "Решетневские чтения". - В 3 ч. - Ч. 2. - 2014. - С. 135-137.

[76] Ченцов, Е.П. Исследование резонансов в структурно - неоднородных средах с помощью дискретного моделирования / Е.П. Чен-цов // Материалы международного молодежного научного форума "ЛОМОНОСОВ-2015" / Отв. ред. А.И. Андреев, А.В. Андриянов, Е.А. Антипов. - М.: МАКС Пресс, 2015.

[77] Ченцов, Е.П. Модели блочной среды для исследования колебательных процессов в структурно неоднородных средах /Е.П. Ченцов // Молодой ученый. - 2016. - Т. 115, №11. - С. 79-84.

[78] Ченцов, Е.П. Моделирование волновых процессов в композитных материалах со слоистой и блочной структурой /Е.П. Ченцов // Материалы XX Междунар. науч.-практ. конф., посвящ. 56-летию Сиб. гос. аэро-космич. ун-та им. акад. М. Ф. Решетнева (09-12 нояб. 2016., г. Красноярск): в 2 ч. / под общ. ред. Ю.Ю. Логинова; Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т. - Красноярск, 2016. - Ч. 2. - С. 148-150.

[79] Ченцов, Е.П. Моделирование колебательных процессов в средах с блочной микроструктурой / Е.П. Ченцов // Материалы XVI Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию, Красноярск, 28-30 октября 2015 г. - Новосибирск: ИВТ СО РАН, 2015. - С. 55-56.

[80] Ченцов, Е.П. О резонансе в структурно-неоднородных средах / Е.П. Ченцов // XX Всероссийская конференция "Теоретические осно-

вы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики", посвященная памяти К.И. Бабенко: тезисы докладов.

- Новороссийск, 2014. - С. 108-109.

[81] Шер, Е.Н. Влияние иерархической структуры блочных горных пород на особенности распространения сейсмических волн / Е.Н. Шер, Н.И. Александрова, М.В. Айзенберг-Степаненко и др. // Физ.-техн. пробл. разраб. полез. ископаемых. - 2007. - №6. - С. 20-27.

[82] Шер, Е.Н. Экспериментальное исследование влияния сжатия на распространение волн в блочных средах при ударном нагружении / Е.Н. Шер, А.Г. Черников. // Интерэкспо Гео-Сибирь. - 2015. - Т. 2.

- №15. - С. 287-292.

[83] Adhikary, D.P. A continuum model of layered rock masses with non-associative joint plasticity / D.P. Adhikary, A.V. Dyskin // Int. J. Numer. Anal. Met. - 1998. - Vol. 22. - P. 245-261.

[84] Adhikary, D.P. A numerical study of flexural buckling of foliated rock slopes / D.P. Adhikary, H.-B. Muhlhaus, A.V. Dyskin // Int. J. Numer. Anal. Meth. Geomech. - 2001. - Vol. 25. - P. 871-884.

[85] Altenbach, J. On generalized Cosserat-type theories of plates and shells: a short review and bibliography / J. Altenbach, H. Altenbach, V.A. Eremeyev // Arch. Appl. Mech. - 2010. - Vol. 80. - P. 73-92.

[86] Amadei, B. Constitutive models of rock joints / B. Amadei, S. Saeb // Proc. of Int. Symp. on Rock Joints. - In: Barton, N. and Stephansson, O. (eds). - Rotterdam: Balkema, 1990. - P. 585-604.

[87] Ambarcumjan, R.V. Convex polygons and Random Tessellations / R.V. Ambarcumjan // Stochastic Geometry. - In: Harding, E.F., Kendall, D.G. (eds.). - New York: Johan Wiley and Sons, 1974. - P. 176-191.

[88] Auriault, J.-L. Etude du comportement macro-scopique d'un milieu poreux satur'e d'eformable / J-L. Auriault, E. Sanchez-Palencia // Journal de M'ecanique. - 1977. - Vol. 16. - P. 575-603.

[89] Ayzenberg-Stepanenko, M.V. Resonant-frequency primitive waveforms and star waves in lattices / M.V. Ayzenberg-Stepanenko, L.I. Slepyan // J. Sound Vib. - 2008. - Vol. 313. - P. 812-821.

[90] Azevedo, J. Seismic behavior of blocky masonry structures / J. Azevedo, M. Feri, G. Sincraian et al. // Earthquake Spectra. - 2000. - Vol. 16, №2. - P. 337-365.

[91] Baecher, G.B. Trase length biases in joint surveys / G.B. Baecher, N.A. Lanney // Proceedings of the 19th U.S. Symposium on Rock Mechanics. - 1978. - Vol. 1. - P. 56-65.

[92] Bandis, S.C. Fundamental of rock joint deformation / S.C. Bandis, A.C. Lumsden, N.R. Barton // Int. J. Rock. Mech. - 1983. Vol. 20, №6. - P. 249-268.

[93] Barbosa, R. Discrete finite element method / R. Barbosa, J. Ghaboussi // Eng. Computation. - 1989. - Vol. 9, Iss. 2. - P. 253-266.

[94] Barry, S.I. Comparison of models for flow induced deformation of soft biological tissue / S.I. Barry, G.K. Aldis // J. Biomech. - 1990. - Vol. 23, Iss. 7. - P. 647-654.

[95] Barton, N. Modeling jointed rock behaviour and tunnel performance / N. Barton // World Tunnelling. - 1991. - Vol. 4, №7. - P. 414-416.

[96] Barton, N. Review of a new shear strength criterion for rock joints / N. Barton // Engineering Geology. - 1973. - Vol. 7, №4. - P. 287-332.

[97] Bear, J. Modelling groundwater flow and pollution / J. Bear, A. Verruijt. - Dordrecht: Kluwer Academic, 1987. - 363 p.

[98] Belbasi, S. Anti-resonance in a one-dimensional chain of driven coupled oscillators / S. Belbasi, M.E. Foulaadvan, Y.S. Joe // American Journal of Physics. - 2014. - Vol. 82, №32. - P. 32-38.

[99] Biot, M.A. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid. I. Low-frequency range / M.A. Biot // Acoust. Soc. Am. -1956. - Vol. 28, №2. - P. 168-178.

[100] Biot, M. General theory of three dimensional consolidation / M. Biot // J. Appl. Phys. - 1941. - Vol. 12. - P 155-169.

[101] Blanes, S. Splitting and composition methods in the numerical integration of differential equations / S. Blanes, F. Casas, A. Murua // Bol. Soc. Esp. Mat. Apl. - 2008. - №45. - P. 89-145.

[102] Bobryakov, A.P. Modeling simulation of deformation in a blocky geomedium during origination of earthquake / A.P. Bobryakov // J. Min. Sci. - 2011. - Vol. 47, №6. - P. 722-729.

[103] Bonanomi, L. Locally resonant granular chain / L. Bonanomi, G. Theocharis, C. Daraio. - preprint: arXiv:1403.1052v1 (Cornell Univ. Library, Ithaca, 2014).

[104] Bonnet, M. Symmetric Galerkin boundary element methods / M. Bonnet, G. Maier, C. Polizzotto // Appl. Mech. Rev. - 1998. - Vol. 51, №11. -P. 669-704

[105] Bowen, R.M. Compressible porous media models by use of the theory of mixtures / R.M. Bowen // Int. J. Eng. Sci. - 1973. - Vol. 20. -P. 697-735.

[106] Brighi, B. Finite differences on triangular grids / B. Brighi, M. Chipot, E. Gut // Numer. Meth. Part. Diff. Equations. - 1998. - Vol. 14. -P. 567-579.

[107] Burnett, S. The response of masonry joint to dynamic tensile loading / S. Burnett, M. Gilbert, T. Molyneauxm A. Tyas, B. Hobbs, G. Beattie // Materials and Structures. - 2007. - Vol. 40. - P. 517-527.

[108] Burridge, R. Poroelasticity equations derived from microstructure / R. Burridge, J.B. Keller // J. Acoust. Soc. Am. - 1981. - Vol. 70. -P. 1140-1146.

[109] Casey, J. The ideal pseudo-rigid continuum / J. Casey // Proc. R. Soc. A. - 2006. - Vol. 462. - P. 3185-3195.

[110] Cecchi, A. Out of plane model for heterogeneous periodic materials: the case of masonry / A. Cecchi, K. Sab // Eur. J. Mech. A/Solids. - 2002. - Vol. 21. - P. 715-746.

[111] Chen, G.J. Consolidation of multilayered half space with anisotropic permeability and compressible constituents / G.J. Chen // Int. J. Solids Struct. - 2004. - Vol. 41. - P. 4567-1586.

[112] Chentsov, E.P. Modeling of wave processes in a blocky medium with fluid-saturated porous interlayers / E.P. Chentsov, V.M. Sadovskii, O.V. Sadovskaya // AIP Conf. Proc. - 2017. - Vol. 1895. -080002-1-080002-10.

[113] Collins, W.D. Forced oscillations of systems governed by one-dimensional non-linear wave equations / W.D. Collins // Quart. Journ. Mech. And Applied Math. - 1971. - Vol. 24, №2. - P. 129-153

[114] Coste, J. Stationary waves in a nonlinear periodic medium: strong resonances and localized structures. I. the discrete model / J. Coste, J. Peyraud // The American Physical Society, Phys. Rev. B. - 1989.

- Vol. 39, №18. - P. 13086-13095.

[115] Cundall, P.A. Formulation of a three-dimensional distinct element model

- part I: a scheme to detect and represent contacts in a system composed of many polyhedral blocks / P. A. Cundall // Int. J. Rock. Mech. Min. Sci. Geomech.: Abstracts. - 1988. - Vol. 25, №3. - P. 107-116.

[116] Cundall, P.A. Numerical modelling of discontinua / P.A. Cundall, R.D. Hart // Engng. Comput. - 1992. - Vol. 9. - P. 101-113.

[117] Dershowitz, W.S. Rock joint systems: Ph. D. Thesis / W. S. Dershowitz.

- Cambridge, Massachusetts, 1984. - 918 p.

[118] Eremeyev, V.A. Acceleration waves in micropolar elastic media / V.A. Eremeyev // Doklady Phys. - 2005. - Vol. 50, Iss. 4. - P. 204-206.

[119] Eringen, A.C. Microcontinuum field theory. I. foundations and solids / A.C. Eringen. - New York: Springer, 1999. - 325 p.

[120] Fortin, J. Effect of pore collapse and grain crushing on ultrasonic velocities and Vp/Vs / J. Fortin, Y. Gueguen, A. Schubnel // J. Geophys. Res. - 2007. - Vol. 112. - B08207.

[121] Fryer, Y.D. A control volume procedure for solving the elastic stressstrain equations on an unstructured mesh / Y.D. Fryer, C. Bailey, M. Cross, C.H. Lai // Appl. Math. Modelling. - 1991. - Vol. 15. -P. 639-645.

[122] Gauthier, R.D. A quest for micropolar elastic constants / R.D. Gauthier, W.E. Jahsman // Trans. ASME. Ser. E. J. Appl. Mech. - 1975. - Vol. 42, №2. - P. 369-374.

[123] Gens, A. An interface element formulation for the analysis of soil-reinforcement interaction / A. Gens, I. Carol, E.E. Alonso // Comput. Geotech. - 1989. - Vol. 7. - P. 133-151.

[124] Georgieva, A. Wave propagation and resonance in a one-dimensional nonlinear discrete periodic medium / A. Georgieva, T. Kriecherbauer, S. Venakides // Siam J. Appl. Math. - 1999. - Vol. 60, №1. - P. 272-294.

[125] Ghaboussi, J. Finite element for rock joints and interfaces / J. Ghaboussi, E.L. Wilson, J. Isenberg // J. Soil. Mech. Div. ASCE. - 1973. -P. 833-848.

[126] Goodman, R.E. A model for the mechanics of jointed rock / R.E. Goodman, R.L. Taylor, T. Brekke // J. Soil. Mech. Found. Div., Proc. ASCE. - 1968. - Vol. 94. - P. 637-659.

[127] Goodman, R.E. Methods of geological engineering in discontinuous rocks / R.E. Goodman. - Minneapolis: St. Paul West Publish Co., 1976. -472 p.

[128] Hansson, H. 3-D DEM modelling of coupled thermo-mechanical response for a hypothetical nuclear waste repository / H. Hansson, L. Jing, O. Stephansson // Proceedings of the NUMOG V-International Symposium on Numerical Models in Geomechanics, Davos, Switzerland.

- Rotterdam: Balkema, 1995. - P. 257-262.

[129] Hart, R.D. Formulation of a threedimensional distinct element method

- part II: mechanical calculations for motion and interaction of a system composed of many polyhedral blocks / R.D. Hart, P.A. Cundall,

J.V. Lemos // Int. J. Rock. Mech. Min. Sci. Geomech. Abstr. - 1988. -Vol. 25, №3. - P. 117-125.

[130] Huang, T.H. Elastic moduli for fractured rock mass / T.H. Huang, C.S. Chang, Z.Y. Yang // Rock Mech. and Rock Eng. - 1995. - Vol. 28, №3. - P. 135-144.

[131] Invernizzi, S. AE monitoring and numerical simulation of a two-span model masonry arch bridge subjected to pier scour / S. Invernizzi, G. Lacidogna, A. Manuello et al. // Strain. - 2011. - Vol. 47, suppl. 2. - P. 158-169.

[132] Jaswon, M.A. Integral equation methods in potential theory. I / M.A. Jaswon // Proc. R. Soc. London A. - 1963. - Vol. 275. - P. 23-32.

[133] Jeffrey, A. Nonlinear wave propagation with applications to physics and magnetohydrodynamics / A. Jeffrey, T. Tanuiti // - New York: Academic Press, 1964. - 369 p.

[134] Jensen, J.S. Phononic band gaps and vibrations in one- and two-dimensional mass - spring structures / J.S. Jensen // J. Sound Vib. - 2003. - Vol. 266. - P. 1053-1079.

[135] Jensen, J.S. Topology optimization of phononic band gap materials and structures / J.S. Jensen, O. Sigmund // Fifth World Congress on omputational Mechanics (Vienna, Austria, 2002). - URL: http://wccm.tuwien.ac.at

[136] Jensen, J.S. Topology optimization of phononic band gap materials and structures / J.S. Jensen, O. Sigmund // Proceedings of Fifth World Congress on Computational Mechanics (Vienna, Austria, 2002). - URL: http://wccm.tuwien.ac.at.

[137] Jing, L. A review of techniques, advances and outstanding issues in numerical modelling for rock mechanics and rock engineering / L. Jing // Int. J. Rock. Mech. Min. Sci. - 2003. - Vol. 40. - P. 283-353.

[138] Jing, L. Fundamentals of Discrete Element Methods for Rock Engineering: theory and applications / L. Jing, O. Stephansson. -Amsterdam: Elsevier, 2007. - 545 p.

[139] Jing, L. Study of rock joints under cyclic loading conditions / L. Jing, O. Stephanson, E. Nordlund // Rock. Mech. Rock. Eng. - 1993. - Vol. 26, №3. - P. 215-232.

[140] Kafadar, C.B. Micropolar media - I. The classical theory / C.B. Kafadar, A.C. Eringen // Int. J. Eng. Sci. - 1971. - Vol. 9. - P. 271-305.

[141] Kaneko, K. Equivalent volume defect model for estimation of deformation behaviour of jointed rock / K. Kaneko, T. Shiba // Proc. of int. symp. on mechanics of jointed and faulted rock (MJFR-1). - In: Rossmanith, H.-P. (ed.). - Rotterdam: Balkena, 1990. - P. 277-284.

[142] Katona, M.G. A simple contact-friction interface element with applications to buried culverts / M.G. Katona // Int. J. Numer. Anal. Methods Geomech. - 1984. - Vol. 8. - P. 19-43.

[143] Konovalov, A.N. Completely conservative difference schemes for dynamic problems of linear elasticity and viscoelasticity / A.N. Konovalov // Differential equations. - 2013. - Vol. 49, Iss. 7. - P. 857-868.

[144] Kosevich, A.M. Self-localization of vibrations in a one-dimensional anharmonic chain / M.A. Kosevich, A.S. Kovalev // Sov. Phys.- JETP. -1975. - Vol. 40, №5. - P. 891-896.

[145] Lakes, R. Experimental methods for study of Cosserat elastic solids and other generalized elastic continua / R. Lakes // Continuum Models for Materials with Micro-Structure. - Ed. by H. Muhlhaus, J. Wiley. - New York, 1995. - P. 1-22.

[146] Lax, P.D. Systems of conservation laws / P. D. Lax, B. Wendroff // Comm. Pure Appl. Math. - 1960. - Vol. 13, №2. - P. 217-237.

[147] Lax, P. D. Weak solutions of nonlinear hyperbolic equations and their numerical computations / P.D. Lax // Comm. Pure Appl. Math. - 1954. - Vol. 7, №1. - P. 159-193.

[148] Lemos, J.V. Discrete element modeling of masonry structures / J.V. Lemos // Int. J. Archit. Herit. - 2007. - Vol. 1. - P. 190-213.

[149] Leonard, A. Travelling waves in 2D hexagonal granular crystal lattices / A. Leonard, C. Chong, C. Kevrekidis et al. // Granular Matter. - 2014.

- Vol. 16, Iss. 4. - P. 531-542.

[150] Lisitsa, V. Combination of the discontinuous Galerkin method with finite differences for simulation of seismic wave propagation / V. Lisitsa, V. Tcheverda, C. Botter // Journal of Computational Physics. - 2016.

- Vol. 311. - P. 142-157.

[151] Lord Rayleigh, C. On the maintenance of vibrations by forces of double frequency, and the propagation of waves through a medium endowed with periodic structure / C. Lord Rayleigh // Philos. Mag. - 1887. - Vol. 24, №147. - P. 145-159.

[152] Man, Y. Defect modes in one-dimensional granular crystals / Y. Man, N. Boechler, G. Theocharis et al. // Phys. Rev. E. - 2012. - Vol. 85, №3 (Pt 2). - 037601.

[153] Manevich, A.I. The Mechanics of nonlinear systems with internal resonances / A.I. Manevich, L.I. Manevich. - Imperial College Press, 2005. - 276 p.

[154] Muhlhaus, H.-B. Continuum models for layered and blocky rock / H.-B. Muhlhaus // Comprehensive rock Eng., Invited chapter for Vol. II: Analysis and Design Methods. - Pergamon Press, 1993. - P. 209-320.

[155] Mukherjee, Y.X. The boundary node method for potential problems / Y.X. Mukherjee, S. Mukherjee // Int. J. Numer. Methods. Eng. - 1997.

- Vol. 40. - P. 797-815.

[156] Murad, M.A. Multiscale flow and deformation in hydrophilic swelling porous media / M.A. Murad, J.H. Cushman // Int. J. Engng. Sci. -1996. - Vol. 34. - P. 313-338.

[157] Oda, M. An equivalent continuum model for coupled stress and fluid flow analysis in fractured rock masses / M. Oda // Water Resources Research.

- 1986. - Vol. 22, №13. - P. 1845-1856.

[158] Oda, M. Fabric tensor for discontinuous geological materials. Soils and foundations / M. Oda // Jap. Soc. Soil. Mech. and F. Eng. - 1982. - Vol. 22, №4. - P. 96-108.

[159] Oden, J.T. The best FEM / J.T. Oden // Finite Element Anal Design. -1990. - Vol. 90, №2. - P. 103-114.

[160] Osharovich, G. Wave propagation in elastic lattice subject to a local harmonic loading. I: A quasi-one-dimensional problem / G. Osharovich, M. Ayzenberg-Stepanenko, O. Tsareva // Contin. Mech. Thermodyn. -2010. - Vol. 22, №6. - P. 581-597.

[161] Osharovich, G. Wave propagation in elastic lattice subject to a local harmonic loading. II: two-dimensional problems / G. Osharovich, M. Ayzenberg-Stepanenko, O. Tsareva // Contin. Mech. Thermodyn. -2010. - Vol. 22, №6. - P. 599-616.

[162] Pan, E.A symmetric integral approach to transient poroelastic analysis / E. Pan, G. Maier // Comput. Mech. - 1997. - Vol. 19. - P. 169-178.

[163] Pan, X.D. A coupled distinct element-finite element method for large deformation analysis of rock masses / X.D. Pan, M.B. Reed // Int. J. Rock. Mech. Min. Sci. Geomech. Abstr. - 1991. - Vol. 28, №1. - P. 93-99.

[164] Pan, Y.-S. Study effect of block-rock scale on pendulum-type wave propagation / Y.-S. Pan, K.-X. Wang // Chin. J. Rock Mech. Eng. -2012. - Vol. 31, №2. - P. 3459-3465.

[165] Pande, G.N. Numerical methods in rock mechanics / G.N. Pande, G. Beer, J.R. Williams. - New York: Wiley, 1990. - 327 p.

[166] Plesha, M.E. Constitutive models for rock fractures with dilatancy and surface degradation / M.E. Plesha // Int. J. Num. Anal. Meth. in Geomech. - 1987. - Vol. 11, №4. - P. 345-362.

[167] Postma, G.W. Wave propagation in a stratified medium / G.W. Postma // Geophysics. - 1955. - Vol. 20, №4. - P. 780-806.

[168] Richardson, L.F. On the approximate arithmetical solution by finite differences of physical problems involving differential equations, with application to the stresses in a masonry dam / L.F. Richardson // Proc. R. Soc. Lond. - 1910. - Vol. 83. - P. 335-336.

[169] Rizzo, F.J. An integral equation approach to boundary value problems of classical elastoplastics / F.J. Rizzo // Q. Appl. Math. - 1967. - Vol. 25. - P. 83-95.

[170] Sadovskii, M.V. Modeling of elastic waves in a blocky medium based on equations of the Cosserat continuum / V.M. Sadovskii, O.V. Sadovskaya // Wave Motion. - 2015. - Vol. 52. - P. 138-150.

[171] Sadovskii, V.M. Analysis of oscillation processes in a blocky medium by means of continuous models / V.M. Sadovskii, E.P. Chentsov // AIP Conference Proceedings. - 2016. - Vol. 1773. - 080003-1 - 080003-9.

[172] Sadovskii, V.M. Analysis of resonant excitation of a blocky media based on discrete models / V.M. Sadovskii, E.P. Chentsov // VI Annual International Conference of the Georgian Mathematical Union: book of abstracts. - 2015. - P. 164-165.

[173] Sadovskii, V.M. Discrete modeling of oscillatory processes in a blocky medium / V.M. Sadosvkii, E.P. Chentsov // Lect. Notes Com. Sc. -2017. - Vol. 10187. - P. 583-590.

[174] Sadovskii, V.M. Numerical solution of dynamic problems in couple-stressed continuum on multiprocessor computer systems. / V.M. Sadovskii, O.V. Sadovskaya, M.P. Varygina // Int. J. Numer. Anal. Mod., Ser. B. - 2011. - Vol. 2, №2-3. - P. 215-230.

[175] Saraikin, V.A. Wave propagation in two-dimensional block media with viscoelastic interlayers / V.A. Saraikin, A.G. Chernikov, E.N. Sher // J. Appl. Mech. Tech. Phys. - 2015. - Vol. 56, №4. - P. 688-697.

[176] Schwartz, F.W. A Stochastic analysis of macroscopic dispersion in fractured media / F.W. Schwartz, L. Smith, A.S. Crowe // Water Resources Research. - 1983. - Vol. 19, №5. - P. 1253-1265.

[177] Schwartz, L.M. Vibrational modes in granular materials / L.M. Schwartz, D.L. Johnson, S. Feng // Physical Review Letters. - 1984. - Vol. 52, №10. - P. 831-834.

[178] Sher, E.N. Influence of the block-hierarchial structure of rocks on the peculiarities of seismic wave propagation / E.N. Sher, N.I. Aleksandrova, M.V. Ayzenberg-Stepanenko et al. // J. Min. Sci+. - 2007. - Vol. 43, №6. - P. 585-591.

[179] Shi, G. Three-dimensional discontinuous deformation analysis / G. Shi // Proceedings of the 38th US rock mechanics symposium, Washington DC, July 7-10. - In: Ellsworth et al., editors. - 2001. - P. 1421-1428.

[180] Shi, G. Two dimensional discontinuous deformation analysis / G. Shi, R.E. Goodman // Int. J. Numer. Anal. Methods Geomech. - 1985. - Vol. 9. - P. 541-556.

[181] Singh, B. Continuum characterization of jointed rock masses, part I -the constitutive equations / B. Singh // Int. J. Rock Mech. Min. Sci. Geomech.: Abstracts. - 1973. - Vol. 10. - P. 337-345.

[182] Souley, M. An extension to the Saeb and Amadei constitutive model for rock joints to include cyclic loading paths / M. Souley, F. Homand, B. Amadei // Int. J. Rock. Mech. Min. Sci. Geomech. - 1995. - Vol. 32, №2. - P. 101-109.

[183] Stefanou, I. Three-dimensional Cosserat homogenization of masonry structures: elasticity / I. Stefanou, J. Sulem, I. Vardoulakis // Acta Geotechnica. - 2008. - Vol. 3. - P. 71-83.

[184] Sulem, J.A. continuum model for periodic two-dimensional block structures / J. Sulem, H.-B. Muhlhaus // Mech. Cohesive-Frictional Materials. - 1997. - Vol. 2. - P. 31-36.

[185] Terzaghi, K. Die Berechnung der Durchlassigkeitsziffer des Tones aus dem Verlauf der Hydrodynemischen Spannungserscheinungen / K. Terzaghi // Sitz. Akad. Wissen., Wien Math. Naturwiss. Kl. - 1923. - Vol. 132(IIa). - P. 105-124.

[186] Truesdell, C. Die Entwicklung des Drallsatzes / C. Truesdell // ZAMM.

- 1964. - Vol. 44, Iss. 4/5. - P. 149-158.

[187] Van Leer, B. J. Towards the ultimate conservative difference schemes. Second-order sequel to Godunov's method / B.J. Van Leer // J. Comp. Phys. - 1979. - Vol. 54, №1. - P. 101-136.

[188] Varadarajan, A. Some aspects of coupled FEBEM analysis of underground openings / A. Varadarajan, K.G. Sharma, R.B. Singh // Int. J. Numer. Anal. Methods Geomech. - 1985. - Vol. 9. - P. 557-571.

[189] Veneziano, D. Probabilistic Model of Joints in Rock / D. Veneziano.

- Internal report. - Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, Massachusetts. - 1979.

[190] Von Neumann, J.A. A method for the numerical calculations of hydrodynamical shocks / J.A. Von Neumann, R. Richtmayer //J. Appl. Phys. - 1950. - Vol. 21. - P. 232.

[191] Wang, G. A new method for solving the contact-friction problem / G. Wang, J. Yuan // Computer Methods and Advances in Geomechanics.

- 1997. - Vol. 2. - P. 1965-1967.

[192] Zalezak, S.T. Fully multidimensional flux - corrected transport algorithm for fluids / S.T. Zalezak // J. Comput. Phys. - 1979. - Vol. 31. -P. 248-283.

[193] Zhang, C.-X. Fano resonance and wave transmission through a chain structure with an isolated ring composed of defects / C.-X. Zhang, X.-H. Ding, R. Wang et al. // Chin. Phys. B. - 2012. -Vol. 21, Iss. 3. - 034202.

[194] Zienkiewicz, O.C. Analysis of non-linear problems in rock mechanics with particular reference to jointed rock systems / O.C. Zienkiewicz, B. Best, C. Dullage, K. Stagg // Int. Soc. Rock Mech. - 1970. - Vol. 3, №8-14.

- P. 501-509.

[195] Zienkiewicz, O.C. The coupling of the finite element method and boundary solution procedures / O.C. Zienkiewicz, D.W. Kelly, P. Betteess // Int. J. Numer. Methods Eng. - 1977. - Vol. 11. - P. 355-375.

Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.