Математическое моделирование квазибессиловых соленоидов для получения сильных магнитных полей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Лобачев Максим Игоревич

• Лобачев Максим Игоревич
• кандидат наук
• 2026

Оглавление диссертации кандидат наук Лобачев Максим Игоревич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ СТАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЦЕНТРАЛЬНОЙ ЧАСТИ КВАЗИБЕССИЛОВЫХ СИСТЕМ

1.1. Математическая модель строго-бессилового проводника

1.1.1. Бессиловое магнитное поле в полом цилиндре

1.1.2. Зоны прямого и обратного токов в конфигурации бессиловых проводников

1.1.3. Остаточная индукция и полное описание конфигурации бессиловых проводников

1.2. Математическая модель уравновешенного проводника

1.2.1. Параметризация для квазистатической магнитной задачи

1.2.2. Осесимметричная задача плоской деформации под действием объемной силы

1.2.3. Задача минимизации максимального значения п(^)

1.3. Масштабирование методики на многослойную систему

1.3.1. Методика выбора распределения шг

1.3.2. Механические характеристики многослойной системы

1.4. Вычислительный программный комплекс анализа центральной части квазибессиловых магнитных систем

1.4.1. Архитектура вычислительного комплекса

1.4.2. Алгоритмы численной реализации

ГЛАВА 2. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЭФФЕКТЫ

КВАЗИБЕССИЛОВЫХ СИСТЕМ

2.1. Динамические эффекты импульсного воздействия

2.1.1. Собственные частоты полого цилиндра

2.1.2. Динамическая задача о полом цилиндре под действием объемной нагрузки

2.1.3. Аппроксимация в виде математической модели с одной степенью свободы

2.2. Диффузия магнитного поля в проводящую среду

2.2.1. Диффузия магнитного поля в полый цилиндр

2.2.2. Численная реализация задачи магнитной диффузии

2.2.3. Масштабирование модели диффузии магнитного поля на многослойную систему

2.3. Тепловые эффекты импульсного воздействия

2.4. Интеграция нестационарных модулей в вычислительный программный комплекс

ГЛАВА 3. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ТОРЦЕВОЙ ЗОНЫ

КВАЗИБЕССИЛОВЫХ СИСТЕМ

3.1. Переходная зона квазибессиловой магнитной системы

3.1.1. Однослойная модель перехода в зону сниженной

магнитной индукции

3.1.2. Численная реализация расчетов для криволинейного профиля проводника в переходной зоне

3.1.3. Многослойная реализация

3.2. Параметрическая оптимизация криволинейной торцевой зоны квазибессиловой магнитной системы

3.2.1. Постановка задачи параметрической оптимизации

3.2.2. Алгоритм Improved Grey Wolf Optimizer (I-GWO)

3.2.3. Результаты параметрической оптимизации

3.3. Алгоритм комплексного численного моделирования и оптимизации геометрических параметров торцевой зоны квазибессиловой магнитной системы

3.3.1. Общая структура вычислительного алгоритма

3.3.2. Оптимизация геометрических параметров торцевой зоны

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ И УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

СПИСОК ТЕРМИНОВ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ А. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование квазибессиловых соленоидов для получения сильных магнитных полей»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. Сильные (5^10 Тл) и сверхсильные (В > 100 Тл) магнитные поля являются универсальным инструментом управления электронными, магнитными и структурными свойствами вещества, поскольку позволяют напрямую изменять энергетический спектр носителей заряда. При увеличении магнитной индукции циклотронная энергия и зеемановское расщепление достигают значений порядка десятков миллиэлектронвольт (например, —11.6 меВ при 100 Тл), что делает их сопоставимыми с характерными энергиями низкоэнергетических возбуждений. Это приводит к возможности индуцировать фазовые переходы и изменять состояние вещества без изменения температуры или давления, то есть использовать магнитное поле как управляемый параметр фазового состояния системы [1].

Квантование орбитального движения электронов в магнитном поле (уровни Ландау) лежит в основе квантовых осцилляционных эффектов (Шубникова-де Гааза и де Гааза-ван Альфена), которые позволяют экспериментально восстанавливать поверхность Ферми, эффективные массы и параметры взаимодействий в металлах и полупроводниках [2]. Практическая значимость этих методов заключается в том, что они являются одним из немногих прямых инструментов диагностики электронной структуры вещества, определяющей его проводящие, магнитные и сверхпроводящие свойства.

В сверхсильных магнитных полях реализуются режимы, в которых магнитное поле становится фактором, определяющим фазовое состояние вещества, то есть совокупность его структурных, электронных и магнитных характеристик (металлическое, диэлектрическое, магнитоупорядоченное состояния и др.), что позволяет индуцировать фазовые переходы, недоступные при других внешних воздействиях. Экспериментально показано, что в ультравысоких полях происходят структурно-магнитные перестройки, например в а-фазе твёрдого кислорода при полях до —193 Тл [3], а также металл-диэлектрические переходы в системах с сильными электрон-электронными взаимодействиями (так называемых

коррелированных системах), например в VO2 при полях до —500 Тл [4]. При этом в ванадиевых оксидах установлено, что магнитное поле может приводить к разрушению молекулярных орбиталей, сопровождающемуся переходом диэлектрик-металл и значительными изменениями кристаллической решётки, в частности в VeOi3 при полях выше —110 Тл, что свидетельствует о возможности прямого управления электронным состоянием вещества с помощью магнитного поля [5]. Такие исследования позволяют разделять вклад электронных корреляций, орбитальных и решёточных степеней свободы в механизмы фазовых переходов и уточнять фундаментальные модели конденсированного состояния.

Сильные магнитные поля являются необходимым инструментом исследования сверхпроводящих материалов, поскольку позволяют подавлять сверхпроводимость и тем самым получать доступ к нормальному состоянию вещества, скрытому при низких температурах. Это дает возможность исследовать конкурирующие электронные порядки, реконструкцию поверхности Ферми и механизмы разрушения куперовских пар, что является ключевым для разработки новых сверхпроводящих материалов и повышения критических параметров существующих систем [6].

Развитие методов измерений в сильных магнитных полях приводит к появлению новых экспериментальных подходов, позволяющих исследовать динамические свойства вещества. В частности, применение высокочастотных и time-resolved методов (включая ТГц-спектроскопию и измерения диэлектрической проницаемости) в импульсных магнитных полях позволяет напрямую изучать динамику носителей заряда, коллективные возбуждения и нелинейные отклики системы. Это важно для разработки материалов с заданными электронными и оптическими свойствами, а также для создания новых функциональных устройств [7,8].

Сильные магнитные поля лежат в основе ряда ключевых технологий. В гиротронах магнитное поле определяет циклотронную частоту электронов (-28 ГГц/Тл), что позволяет генерировать мощное излучение в миллиметровом и терагерцовом диапазонах. Это излучение используется, в частности, для нагрева и

поддержания плазмы в установках управляемого термоядерного синтеза, а также в спектроскопии и диагностике материалов [9].

В технологиях магнитно-импульсной обработки материалов сильные магнитные поля (порядка 20-50 Тл) используются для создания интенсивных сил Лоренца, обеспечивающих высокоскоростную деформацию при скоростях до 103-104с-1 в течение микросекундных интервалов времени (—100-200 ^с) [10]. Это позволяет реализовывать формование и сварку без контакта и теплового воздействия, повышать предельную формуемость материалов и обеспечивать надежное соединение разнородных металлов, что востребовано в высокотехнологичных отраслях промышленности.

В магнитно-резонансной томографии увеличение магнитного поля приводит к росту отношения сигнал/шум и спектрального разрешения, что обеспечивает переход от морфологической визуализации к высокоточной функциональной и спектроскопической диагностике. Современные клинические системы работают на уровне 7 Тл, при этом активно развиваются установки с полями 10.5 Тл и выше, а в экспериментальных исследованиях используются магнитные поля до 20-30 Тл [11]. Выход в область сверхсильных полей сопровождается появлением новых эффектов взаимодействия магнитного поля с биологическими системами, включая влияние на вестибулярные функции и клеточные процессы, что одновременно расширяет диагностические возможности и требует исследования биофизических механизмов и безопасности воздействия [12,13].

Повышение магнитного поля определяет развитие термоядерных установок [14-18] и ускорителей частиц [19]. Увеличение магнитной индукции позволяет уменьшать размеры установок при сохранении требуемых физических параметров плазмы или повышать энергию ускоряемых частиц, что является ключевым фактором развития как термоядерной энергетики, так и физики высоких энергий.

При этом переход к сверхсильным магнитным полям сопровождается фундаментальными инженерными ограничениями. Стационарные методы генерации поля достигают отметку в 45 Тл [20], а импульсные позволяют преодолеть порог на данный момент в 100 Тл. Такие высокие поля характеризуются

экстремальными токами, электромагнитными силами и механическими нагрузками. Это делает задачу обеспечения прочности и устойчивости проводящих элементов ключевой проблемой при проектировании магнитных систем сверхсильного поля.

Таким образом, сильные и сверхсильные магнитные поля являются как фундаментальным инструментом исследования свойств вещества [21,22], так и основой ряда критически важных технологий, при этом дальнейшее развитие данной области определяется необходимостью преодоления механических ограничений, связанных с действием сил Лоренца, что обуславливает актуальность разработки новых методов проектирования магнитных систем.

Степень разработанности темы. Теоретические основы бессиловых (forcefree) магнитных полей, описываемых уравнениями типа Бельтрами и условиями сонаправленности вихревых и полевых величин, были заложены в классических работах по осесимметричным конфигурациям и их свойствам (в частности, в рамках решений для цилиндрической геометрии и связанных вариационных постановок) [23-26]. Первоначально указанные результаты носили преимущественно фундаментальный характер и формировались в контексте задач плазменной физики и астрофизики, однако впоследствии стали естественной математической основой для поиска инженерных конфигураций с частичной компенсацией сил Лоренца.

В инженерных приложениях, связанных с получением сильных и сверхсильных магнитных полей, развитие импульсных методов исторически опирается на идею использования кратковременных токовых импульсов для ослабления тепловых ограничений проводника и переноса «критического барьера» в область механической прочности конструкций [27]. В дальнейшем центральным объектом исследований стали соленоидальные системы, для которых разработан широкий класс расчётных моделей напряжённо-деформированного состояния и конструктивных приёмов обеспечения прочности, включая анализ электромеханических напряжений и методы разгрузки обмотки [28-30]. Существенное развитие получили равнонагруженные (equal-stress) обмотки, где

специальный выбор распределения токов используется для снижения максимальных механических напряжений; такие принципы применяются в современных магнитных импульсных установках ведущих центров [31-33]. Одновременно с этим было показано, что корректный анализ работоспособности импульсных магнитов требует учёта нестационарных эффектов: магнитной диффузии в проводниках, перераспределения токов и связанного с этим джоулева нагрева [34].

Альтернативное направление снижения электромагнитных нагрузок связано с квазибессиловыми конфигурациями магнитного поля, в которых за счёт согласования структуры токов и магнитной индукции достигается частичная компенсация силы Лоренца и приближение к бессиловому состоянию. Существенный вклад в развитие данного подхода внесён работами Г. А. Шнеерсона и его школы, где сформулированы принципы построения аксиально-симметричных квазибессиловых магнитных систем, рассмотрены решения для протяжённых соленоидов с бессиловой/уравновешенной обмоткой и показаны возможности снижения механических нагрузок за счёт выбора токораспределения [35]. Вдохновленная данной концепцией и идеями, текущая работа развивает и продолжает данные методы.

Целью работы является разработка математических моделей квазибессиловых соленоидов для генерации сильных импульсных магнитных полей и формирование комплексной методики определения геометрических и электромагнитных параметров системы с целью удовлетворения структурной целостности конструкции.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

1. Разработка и исследование математической модели строго бессилового магнитного поля в полом цилиндрическом проводнике и оценка границ применимости эталонной модели к реальным конструкциям.

2. Разработка программно-вычислительного комплекса для определения электромагнитных параметров центральной части квазибессиловой системы с

минимизацией эквивалентных напряжений по Мизесу, обусловленных действием объёмных сил Лоренца.

3. Разработка методики выбора частоты подачи униполярного импульса на основе анализа нестационарной магнитной диффузии с целью снижения тепловыделения.

4. Численное моделирование осесимметричных квазибессиловых конфигураций с учётом торцевой зоны и разработка подхода к корректировке геометрических и электромагнитных параметров, обеспечивающего механическую целостность конструкции.

Научная новизна:

1. Впервые разработаны обобщённые математические модели строго бессилового магнитного поля в полом цилиндрическом проводнике, устанавливающие условия полной компенсации объёмных сил Лоренца и точные соотношения между компонентами тока и магнитной индукции. В отличие от известных решений, полученное справедливо для произвольного отношения радиусов и допускает непосредственное применение к многослойным системам.

2. На основе полученной модели впервые выполнено строгое механическое обоснование метода минимизации напряжений в двухкомпонентной осесимметричной системе с использованием уравнений теории упругости. Разработан комплекс программ, реализующий расчёт напряжённого состояния и подбор пространственной конфигурации и распределения токов по критерию минимизации эквивалентных напряжений по Мизесу, что позволяет перейти от идеализированной бессиловой конфигурации к конструктивно реализуемой многослойной системе.

3. Разработана уточнённая осесимметричная многослойная модель нестационарной магнитной диффузии в полых цилиндрических слоях, основанная на спектральном разложении по собственным функциям цилиндрического оператора. С применением численных методов получены безразмерные частотные зависимости критериальной величины тепловыделения и показано, что оптимальная частота подачи униполярного импульса отличается от значения,

полученного ранее для плоского слоя, что обеспечивает более корректную оценку нагрева в реальной цилиндрической геометрии.

4. На основе численных методов разработана новая методология проектирования криволинейной торцевой части квазибессилового магнита, объединяющая аналитические условия сохранения потока и нулевой интегральной силы с параметрической оптимизацией и мультифизичным конечно-элементным анализом. Предложен целостный алгоритм перехода от требований к магнитному полю в центральной части системы к согласованной оптимизированной геометрии торца и распределению компонент плотности тока.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертационное исследование носит как теоретический, так и прикладной характер. Математическая модель строго бессилового поля, предложенная в главе 1, описывается уравнениями, представляющими частный случай полей Бельтрами (тркалиановых полей). Подобные поля возникают в магнитогидродинамике (в частности, в конфигурациях токамаков и солнечной короны), гидродинамике идеальной жидкости (например, в виде АВС-течений), а в рамках настоящей работы рассматривается задача распределения полей в эталонном бессиловом соленоиде для последующей аппроксимации. Разработанная методика аппроксимации (главы 1 и 2) реализована в виде программного комплекса, предназначенного для проектирования центральной области импульсных магнитных квазибессиловых систем. На разработанный комплекс программ получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ (Приложение А). Результаты, представленные в главе 3, обобщают предложенный подход на случай осесимметричных криволинейных проводников торцевой зоны, формируя алгоритм проектирования указанных магнитных систем в более общей постановке.

Методология и методы исследования. В работе используются методы математического моделирования, теория электромагнитного поля и теория упругости, а также аналитические и численные методы решения краевых задач. Моделирование пикового магнитного поля основано на уравнениях квазистатической электродинамики; аналитические решения получаются методом

разделения переменных с использованием специальных функций (функций Бесселя) и спектральных разложений по собственным функциям цилиндрических операторов. Анализ напряженно-деформированного состояния выполняется в рамках линейной теории упругости для осесимметричных задач с объемной силой Лоренца с использованием критерия прочности по Мизесу. Нестационарные процессы, включая динамический отклик и диффузию магнитного поля, описываются уравнениями в частных производных и решаются с применением преобразования Лапласа и спектральных методов. Численная реализация разработанных моделей выполнена в виде программного комплекса на языке Python, а также с использованием пакета конечно-элементного анализа COMSOL Multiphysics для расчета осесимметричных задач с криволинейной геометрией. Параметрическая оптимизация геометрии и распределений плотности тока осуществляется с применением генетических модифицированного алгоритма Grey Wolf Optimizer (I-GWO) и NSGA-II. Связь между задачами реализована в последовательной постановке с передачей результатов между этапами расчета.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Математическая модель двухкомпонентного строго бессилового поля внутри полого бесконечно-длинного проводника (п.7 паспорта специальности: Качественные или аналитические методы исследования математических моделей)

2. Комплекс программ на языке Python, реализующий математическую модель многослойной двухкомпонентной осесимметричной квазибессиловой уравновешенной системы, аппроксимирующую строго бессиловую и обеспечивающую минимальные механические эквивалентные напряжения по Мизесу (п.3. паспорта специальности: Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента).

3. Методика выбора частоты подачи подачи униполярного импульса по критерию минимизации максимального тепловыделения, основанная на численном решении задачи нестационарной магнитной диффузии в многослойных полых цилиндрах с использованием спектрального разложения по собственным функциям

(п.9. паспорта специальности: Постановка и проведение численных экспериментов, статистический анализ их результатов, в том числе с применением современных компьютерных технологий).

4. Методика комплексного математического моделирования квазибессиловых магнитных систем, включающая применение численных методов для формирования торцевой части магнита в программном комплексе COMSOL Multiphysics, а также использование алгоритмов многоцелевой оптимизации (I-GWO, NSGA-П) для определения геометрических параметров, обеспечивающих выполнение критериев структурной целостности конструкции (п.8. паспорта специальности: Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента).

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием стандартных методов математического моделирования. Результаты находятся в соответствии с результатами, полученными другими авторами.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались на следующих семинарах и конференциях:

1. I Всероссийская научная школа НЦФМ и НПЦ ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ» по проблемам исследований в сильных и сверхсильных магнитных полях (г. Саров,

2023)

2. XIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Санкт-Петербург, 2023)

3. II Всероссийская научная школа НЦФМ и НПЦ ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ» по проблемам исследований в сильных и сверхсильных магнитных полях (г. Саров,

2024)

4. 51 школа-конференция «Актуальные проблемы механики» (Великий Новгород, 2024)

5. Всероссийская научная конференция «Неделя науки ФизМех» СПбПУ (Санкт-Петербург, 2025)

6. III Всероссийская научная школа НЦФМ и НПЦ ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ» по проблемам исследований в сильных и сверхсильных магнитных полях (г. Саров, 2025)

7. 52 школа-конференция «Актуальные проблемы механики» (Санкт-Петербург 2025)

Результаты диссертации частично получены при выполнении следующих научно-исследовательских работ:

- Разработка квазибессилового магнита сильных магнитных полей (научно-исследовательская работа в рамках направления №7 «Исследования в сильных и сверхсильных магнитных полях. Этап 2023-2025». Шифр «НЦФМ-7-2325»).

Личный вклад автора: постановка целей и задач исследования, разработка подходов, моделей, алгоритмов и комплекса программ. Основные результаты диссертационной работы получены автором лично. Автор лично принимал участие в подготовке публикаций и докладов, лично участвовал в семинарах и конференциях.

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 10 печатных работах, 4 из которых опубликованы в журналах перечня ВАК, 2 - в журналах, входящих в международные базы данных и системы цитирования Scopus и Web of Science, 5 - в тезисах докладов. Зарегистрирована 1 программа для ЭВМ.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка сокращений и условных обозначений, списка терминов, библиографического списка и приложения, содержит 171 страницу машинописного текста, 58 Рисунков и 1 таблицу. Список литературы содержит 97 наименований.

ГЛАВА 1. ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ СТАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЦЕНТРАЛЬНОЙ ЧАСТИ КВАЗИБЕССИЛОВЫХ СИСТЕМ

В рамках проектирования магнитных систем мегагауссного уровня, способных функционировать в неразрушающем режиме, центральное место занимает анализ механического состояния обмотки в стационарном приближении. Такой анализ позволяет установить предельные параметры системы, определяемые прочностными характеристиками материалов, до рассмотрения более сложных динамических и тепловых эффектов. Данный раздел посвящен построению и исследованию осесимметричных стационарных моделей механического равновесия базовой (центральной) части квазибессиловой магнитной системы.

1.1. Математическая модель строго-бессилового проводника

Первой идеализированной математической моделью, представленной исторически в рамках данной концепции, является модель строго-бессилового магнитного поля. Изначально эта задача сформировалась в астрофизическом контексте как частный случай стационарных магнитогидродинамических состояний, при которых объёмная плотность силы Лоренца равна нулю:

/ = /х В = 0 ^ / = а(г)В, (1.1)

где f - вектор силы Лоренца;

/ - вектор плотности тока;

В_ - вектор магнитной индукции;

а параметр а (г), в общем случае зависящий от радиус-вектора г, характеризует локальную закрученность магнитного поля и определяет пропорциональность между векторами / и Б. Кроме того, вектора должны

удовлетворять квазистатической системе уравнений Максвелла:

V •В = 0, \u0J = VxB,

где До - магнитная постоянная.

В одной из первых работ Лункдвиста [23] бессиловое состояние было получено как частный случай магнитогидростатического равновесия при постоянном давлении, что привело к линейному уравнению Fx6 = аВ_ при а = const и позволило построить осесимметричные цилиндрические решения, сыгравшие важную роль в моделировании магнитных структур космической плазмы. Люст и Шлютер [24] сформулировали общую постановку задачи при переменном параметре а(г) и показали, что из уравнений Максвелла следует условие сохранения а вдоль магнитных линий, тем самым строго разграничив линейный и нелинейный классы бессиловых конфигураций. В работе Чандрасекара [26] линейная задача была интерпретирована как спектральная проблема для оператора ротора, что придало теории строгий математический характер и позволило связать её с вариационными принципами и вопросами энергетической минимизации.

В самом простом линейном случае для а = const, применяя оператор ротора на обе части (1.2), и подставляя пропорциональность векторов из (1.1), получаем уравнение Гельмгольца:

АВ + а2В = 0 (1.3)

Поля, удовлетворяющие уравнению (1.3), называются полями Тркалиана, а те, в свою, очередь, являются частным случаем полей Бельтрами [25]. Поля Бельтрами — это особый класс векторных полей скорости в гидродинамике, для которых вихрь сонаправлен самой скорости течения.

В целях же проектирования бессиловой проводящей квазистатической системы, особое внимание стоит уделить решению Лундквиста [23] для сплошного цилиндра:

В=Ао {А(аг)е^ + ¡о(аг)е^}, (1.4)

где /х,/0 - функции Бесселя первого рода первого и нулевого порядка; еср, ег - орты в цилиндрической системе координат.

Константа А0 в оригинальной статье не была интерпретирована (что подтверждено в [36]), но раскрыта, например, более подробно в более поздней работе [37] как значение аксиальной компоненты магнитного поля В2(0) в центре цилиндра. Графическая интерпретация решения для вектора магнитной индукции представлена на Рисунке 1.1.

Рисунок 1.1 - Бессиловое решение Лундквиста [23] для сплошного цилиндра.

Сплошной цилиндр, описываемый решением Лундквиста (1.4), естественным образом интерпретируется как модель локализованного магнитного жгута конечного радиуса с максимальной аксиальной компонентой поля на оси. Подобная конфигурация широко применяется для аппроксимации солнечных магнитных жгутов (flux ropes) в короне, а также межпланетных магнитных облаков [38], регистрируемых в солнечном ветре, где наблюдается винтовая структура силовых линий и квазииосесимметричное распределение поля. В этих задачах сплошной цилиндр адекватно отражает структуру компактной магнитной системы с распределённым по сечению током и затухающим к границе полем.

Вместе с тем при переходе к инженерным и прикладным задачам, связанным с проектированием проводящих квазистатических систем, более релевантной оказывается геометрия полого цилиндра. В отличие от сплошного случая, ток здесь протекает в ограниченной по радиусу области R0 < г < Rt, где R0 и Rt внутренний и внешние радиусы соответственно, тогда как внутренняя область г < R0 может рассматриваться как рабочая зона, в которой формируется заданное магнитное поле. Такая постановка представляет собой естественную идеализацию бессилового соленоидального элемента, предназначенного для создания интенсивного аксиального поля в центральной области при одновременном снижении наибольшей радиальной компоненты объёмной плотности силы Лоренца в самом проводнике. Это приводит к необходимости решения уравнения Гельмгольца (1.3) в кольцевой области с наложением граничных условий на внутренних и внешних цилиндрических поверхностях, что и определяет дальнейшую постановку рассматриваемой задачи. Такая задача была решена, например, в виде частного случая в [39], но не была обобщена на произвольные значения радиусов, чему свидетельствуют обзоры [36,40].

1.1.1. Бессиловое магнитное поле в полом цилиндре

Рассматривается осесимметричная задача для квазистатического бессилового двухкомпонентного магнитного поля внутри полого цилиндра с произвольными внутренним Я0 и внешним радиусами.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Лобачев Максим Игоревич, 2026 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Chiu P., Ishii Y, Matsuda Y. H. Development of techniques for the dielectric constant measurement in matter in ultrahigh magnetic fields exceeding 100 T // J. Appl. Phys. 2025. T. 137, № 15. C. 1-6.

2. Shoenberg D. Magnetic oscillations in metals. Cambridge [Cambridgeshire]; New York: Cambridge University Press, 1984. 570 c.

3. Nomura T. h gp. Novel Phase of Solid Oxygen Induced by Ultrahigh Magnetic Fields // Phys. Rev. Lett. 2014. T. 112, № 24. C. 1-5.

4. Matsuda Y. H. h gp. Magnetic-field-induced insulator-metal transition in W-doped VO2 at 500 T // Nat. Commun. 2020. T. 11, № 1. C. 1-8.

5. Ishii Y., Ikeda A., Matsuda Y. H. Large magnetostriction and first-order phase transition induced by ultrahigh magnetic fields in V6O13. 2026.

6. Sebastian S. E., Harrison N., Lonzarich G. G. Quantum oscillations in the high- Tc cuprates // Philos. Trans. R. Soc. Math. Phys. Eng. Sci. 2011. T. 369, № 1941. C. 1687-1711.

7. Kohama Y h gp. Time-resolved measurements in pulsed magnetic fields // J. Appl. Phys. 2022. T. 132, № 7. C. 16.

8. Baydin A. h gp. Time-Domain Terahertz Spectroscopy in High Magnetic Fields // Front. Optoelectron. 2021. T. 14, № 1. C. 110-129.

9. Thumm M. State-of-the-Art of High-Power Gyro-Devices: 2025 Update of Experimental Results // J. Infrared Millim. Terahertz Waves. 2025. T. 46, № 6. C. 35.

10. Alves Z. J. R., Bay F. Magnetic pulse forming: simulation and experiments for high-speed forming processes // Adv. Mater. Process. Technol. 2015. T. 1, № 3-4. C. 560-576.

11. Tian X. h gp. Safety evaluation of mice exposed to 7.0-33.0 T high-static magnetic fields // J. Magn. Reson. Imaging. 2021. T. 53, № 6. C. 1872-1884.

12. Tkác I. h gp. Long-term behavioral effects observed in mice chronically exposed to static ultra-high magnetic fields // Magn. Reson. Med. 2021. T. 86, № 3. C. 15441559.

13. Zhang L. h gp. 27 T ultra-high static magnetic field changes orientation and morphology of mitotic spindles in human cells // eLife. 2017. T. 6. C. e22911.

14. Kirienko I. h gp. Engineering analyses of Divertor Thomson scattering system // Fusion Eng. Des. 2017. T. 124. C. 512-515.

15. Nemov A. S. h gp. Generalized stiffness coefficients for ITER superconducting cables, direct FE modeling and initial configuration // Cryogenics. 2010. T. 50, № 5. C. 304-313.

16. Novokshenov A. h gp. Multidisciplinary optimization of the waveguide transmission line for ITER HFS reflectometry // Fusion Eng. Des. 2021. T. 168. C. 5.

17. Creely A. J. h gp. Overview of the SPARC tokamak // J. Plasma Phys. 2020. T. 86, № 5. C. 26.

18. Sorbom B. N. h gp. The engineering design of ARC: A compact, highfield, fusion nuclear science facility and demonstration power plant // 2015 IEEE 26th Symposium on Fusion Engineering (SOFE). Austin, TX, USA: IEEE, 2015. C. 1-6.

19. Todesco E. Status and Perspectives of High Field Magnets for Particle Accelerators // IEEE Trans. Appl. Supercond. 2025. Т. 35, № 5. С. 1-14.

20. Battesti R. и др. High magnetic fields for fundamental physics // Phys. Rep. 2018. Т. 765-766. С. 1-39.

21. Boriskov G. V. и др. Research in ultrahigh magnetic field physics // Phys.-Uspekhi. 2011. С. 421-427.

22. Schneider-Muntau H. J. MEGAGAUSS MAGNETIC FIELD GENERATION, ITS APPLICATION TO SCIENCE AND ULTRA-HIGH PULSED-POWER TECHNOLOGY // Megagauss Magnetic Field Generation, Its Application to Science and Ultra-High Pulsed-Power Technology. Tallahassee, Florida, USA: WORLD SCIENTIFIC, 2004.

23. Lundquist S. Magneto-Hydrostatic Fields // Ark. För Fys. 1950. Т. 2. С. 361-365.

24. Lüst R., Schlüter A. Kraftfreie Magnetfelder // Z. Für Astrophys. 1954. Т. 34. С. 263-282.

25. Reed D. Beltrami Vector Fields in Electrodynamics—A Reason for Reexamining the Structural Foundations of Classical Field Physics? // Advances in Chemical Physics / под ред. Evans M. W. New York, USA: John Wiley & Sons, Inc., 2001. Т. 119. С. 525-569.

26. Chandrasekhar S., Kendall P. C. On Force-Free Magnetic Fields // Astrophys. J. 1957. Т. 126. С. 457-460.

27. Kapitza P. L. A method of producing strong magnetic fields // Proc. R. Soc. A. 1924. Т. 105, № 734. С. 691-710.

28. Montgomery D. B. Получение сильных магнитных полей с помощью соленоидов: магнитные и механические свойства конструкций из обычных и сверхпроводящих материалов. Москва: Мир, 1971. 362 с.

29. Hord J. Stress analysis of tape-wound magnet coils // J. Res. Natl. Bur. Stand. Sect. C Eng. Instrum. 1965. Т. 69C, № 4. С. 287.

30. Gray W. H., Ballou J. K. Electromechanical Stress Analysis of Transversely Isotropic Solenoids: ORNL/TM-5528. Oak Ridge, Tennessee, USA: Oak Ridge National Laboratory, 1977. С. 59.

31. Nguyen D. N., Michel J., Mielke C. H. Status and Development of Pulsed Magnets at the NHMFL Pulsed Field Facility // IEEE Trans. Appl. Supercond. 2016. Т. 26, № 4. С. 1-5.

32. Beard J. и др. Design and Tests of the 100-T Triple Coil at LNCMI // IEEE Trans. Appl. Supercond. 2018. Т. 28, № 3. С. 1-5.

33. Han X. и др. The pulsed high magnetic field facility and scientific research at Wuhan National High Magnetic Field Center // Matter Radiat. Extrem. 2017. Т. 2, № 6. С. 278-286.

34. Li L., Herlach F. Magnetic and thermal diffusion in pulsed high-field magnets // J. Phys. Appl. Phys. 1998. Т. 31, № 11. С. 1320-1328.

35. Shneerson G. A., Dolotenko M. I., Krivosheev S. I. Strong and Superstrong Pulsed Magnetic Fields Generation: DE GRUYTER, 2014. 441 с.

36. Marsh G. E. Force-Free Magnetic Fields: Solutions, Topology and Applications. Singapore: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 1996.

37. Scott D. E. Birkeland Currents: A Force-Free Field-Aligned Model. 2015. Т. 11, № 2.

38. Burlaga L. F. Magnetic clouds and force-free fields with constant alpha // J. Geophys. Res. Space Phys. 1988. Т. 93, № A7. С. 7217-7224.

39. Шнеерсон Г. А. Длинные соленоиды с бессиловой обмоткой без внешних разгружающих проводников // Журнал Технической Физики. 1986. Т. 56, № 1. С. 36-43.

40. Rembeczki S. Design and Optimization of Force-Reduced High Field Magnets. Melbourne, Florida, USA: Florida Institute of Technology, 2009. 186 с.

41. Шнеерсон Г. А., Волошин К. В., Лобачев М. И. Бессиловое магнитное поле в области между двумя коаксиальными цилиндрами как модель поля реального магнита с многослойной уравновешенной обмоткой // Физмат. 2024. Т. 2, № 34. С. 184-190.

42. Knoepfel H. E. Magnetic Fields: A Comprehensive Theoretical Treatise for Practical Use. 1st ed. New York, NY: John Wiley & Sons, Incorporated, 2000. 636 с.

43. Шнеерсон Г. А. Сильные электромагнитные поля. Ленинград: Издательство ЛПИ (Ленинградский политехнический институт им. М. И. Калинина), 1985. 121 с.

44. Игнатченко В. А., Карпенко М. М. О возможности получения постоянных сверхсильных магнитных полей // Журнал Технической Физики. 1968. Т. 38, № 1. С. 200-204.

45. Li H., Herlach F. Deformation analysis of pulsed magnets with internal and external reinforcement // Meas. Sci. Technol. 1995. Т. 6, № 7. С. 1035-1042.

46. Sims J. R. и др. Assembly, Commissioning and Operation of the NHMFL 100 Tesla Multi-Pulse Magnet System // IEEE Trans. Appl. Supercond. 2008. Т. 18, № 2. С. 587-591.

47. Nguyen D. N. и др. Recent Magnet Developments at the Pulsed Field Facility (NHMFL) at Los Alamos // IEEE Trans. Appl. Supercond. 2026. Т. 36, № 3. С. 1-6.

48. Beard J., Debray F. The French High Magnetic Field Facility // J. Low Temp. Phys. 2013. Т. 170, № 5-6. С. 541-552.

49. Zherlitsyn S. и др. Status of the Pulsed-Magnet-Development Program at the Dresden High Magnetic Field Laboratory // IEEE Trans. Appl. Supercond. 2012. Т. 22, № 3. С. 3.

50. Liu S. и др. Design of a New Duplex Magnet for 80 T at WHMFC // IEEE Trans. Appl. Supercond. 2024. Т. 34, № 5. С. 1-4.

51. Miyata A. и др. Current Status and Recent Developments of Non-Destructive Pulsed Magnets at ISSP, the University of Tokyo // IEEE Trans. Appl. Supercond. 2026. Т. 36, № 3. С. 1-4.

52. Han K. и др. Reinforcement Materials for High Field Magnets // IEEE Trans. Appiled Supercond. 2004. Т. 14, № 2. С. 1141-1144.

53. Wang S. и др. Development of Zylon-Kevlar-Zylon Hybrid Fiber Reinforcement Technology for 100 T Pulsed Magnet at the WHMFC // IEEE Trans. Appl. Supercond. 2020. С. 1-1.

54. Xiao H. и др. Comprehensive analyses of buckling and stress failure of high-field pulsed magnets under biaxial Lorentz force body load // Thin-Walled Struct. 2023. Т. 183. С. 10.

55. Chen S. и др. Mechanical Behaviors of Polymer-Based Composite Reinforcements within High-Field Pulsed Magnets // Polymers. 2024. Т. 16, № 5. С. 722.

56. Лурье А. И. Пространственные задачи теории упругости. Москва: Государственное Издательство Технико-Технической Литературы, 1955. 493 с.

57. Shneerson G. A., Koltunov O. S., Khozikov V. Yu. The minimization of residual stresses in magnetic systems with quasi-force-free current distribution // Tech. Phys. 2002. Т. 47, № 1. С. 107-113.

58. Lobachev M. I., Novokshenov A. D. Solution to the Quasi-Static Axisymmetric Problem for a Single-Layer Quasi-Force-Free Magnet // Mosc. Univ. Mech. Bull. 2025. Т. 80, № 5. С. 187-194.

59. Волошин К. В. Многослойная уравновешенная обмотка реальной толщины // Известия СПбГЭТУ «ЛЭТИ». 2026. Т. 19, № 3. С. 76-83.

60. Shneerson G. A. и др. The concept of quasi-force-free magnets: theoretical substantiation, estimation of parameters, and feasibility // Phys. B Condens. Matter. 2004. Т. 346-347. С. 566-570.

61. Shneerson G. A. и др. Models of Magnets With the Quasi-Force-Free Winding Manufactured From the Thin Solid Sheets or Transposed Conductors // IEEE Trans. Plasma Sci. 2010. Т. 38, № 8. С. 1731-1738.

62. Greenspon J. E. Vibrations of a Thick-Walled Cylindrical Shell—Comparison of the Exact Theory with Approximate Theories // J. Acoust. Soc. Am. 1960. Т. 32, № 5. С. 571-578.

63. Gazis D. C. Exact Analysis of the Plane-Strain Vibrations of Thick-Walled Hollow Cylinders // J. Acoust. Soc. Am. 1958. Т. 30, № 8. С. 786-794.

64. Ghosh A. K. Axisymmetric Vibrationof a Long Cylinder // J. Sound Vib. 1995. № 186. С. 711-721.

65. Keles I., Tutuncu N. Effect of anisotropy on axisymmetric dynamic response of thick-walled cylinders // Int. J. Press. Vessels Pip. 2009. Т. 86, № 7. С. 435-442.

66. Brusilovskaya G. A., Ershov L. V. Response of a hollow elastic thick-walled cylinder to a dynamic load of general form // Strength Mater. 1975. Т. 7, № 2. С. 144-150.

67. Savruk M. P., Onyshko L. I., Senyuk M. M. A plane dynamic axisymmetric problem for a hollow cylinder // Mater. Sci. 2008. Т. 44, № 1. С. 1-9.

68. Nowacki W. Теория упругости. Мир. Москва, 1975.

69. Hasegawa H. An Extension of Love's Solution for the Axisymmetric Problems of Elasticity // Bull. JSME. 1975. Т. 18, № 119. С. 484-492.

70. Hasegawa H. Green's Functions for Torsional Body Force Problems of an Elastic Layer on an Elastic Half Space // JSME Int. J. 1990. Т. 33, № 4. С. 468-473.

71. Hasegawa H., Lee V.-G., Mura T. Green's Functions for Axisymmetric Problems of Dissimilar Elastic Solids // J. Appl. Mech. 1992. Т. 59, № 2. С. 312-320.

72. Achenbach J. D. Wave propagation in elastic solids. Amsterdam New York: North-Holland Pub. Co. American Elsevier Pub. Co, 1973.

73. Graff K. F. Wave Motion in Elastic Solids. New York: Dover Publications, 1975.

74. Nayfeh A. H. Wave propagation in layered anisotropic media: with applications to composites. Amsterdam; New York: Elsevier, 1995. 332 с.

75. Mirsky I. Wave Propagation in Transversely Isotropic Circular Cylinders Part I: Theory // J. Acoust. Soc. Am. 1965. Т. 37, № 6. С. 1016-1021.

76. Jacquot R. G., Steadman J. W., Rhodine C. N. The Gaver-Stehfest algorithm for approximate inversion of Laplace transforms // IEEE Circuits Syst. Mag. 1983. Т. 5, № 1. С. 4-8.

77. Clough R. W., Penzien J. Dynamics of Structures. Berkeley, CA: Computers and Structures, Inc., 2003.

78. Carslaw H. S., Jaeger J. C. Conduction of Heat in Solids. Oxford University Press. Oxford, 1959. 510 с.

79. Knoepfel H. E. Сверхсильные импульсные магнитные поля: методы генерации и физические эффекты, связанные с созданием импульсных полей мегаэрстедного диапазона. Москва: Мир, 1972.

80. Шнеерсон Г. А. Поля и переходные процессы в аппаратуре сверхсильных токов. Москва: Энергоатомиздат, 1992.

81. Колтунов О. С. Квазибессиловые неразрушаемые магнитные системы для получения сверхсильных полей: Кандидатская диссертация. Санкт-Петербург: Санкт-Петербургский государственный политехнический университет, 2004.

82. Dodd C. V., Cheng C. C., Deeds W. E. Induction coils coaxial with an arbitrary number of cylindrical conductors // J. Appl. Phys. 1974. Т. 45, № 2. С. 638-647.

83. Vujevic S. и др. COMPUTATION OF ELECTRIC AND MAGNETIC FIELD DISTRIBUTION INSIDE A MULTILAYER CYLINDRICAL CONDUCTOR // Prog. Electromagn. Res. M. 2020. Т. 88. С. 53-63.

84. Theodoulidis T., Skarlatos A. Efficient calculation of transient eddy current response from multi-layer cylindrical conductive media // Philos. Trans. R. Soc. Math. Phys. Eng. Sci. 2020. Т. 378, № 2182. С. 13.

85. Lehner G. One-dimensional cylindrical diffusion of electromagnetic fields, part I // Electr. Eng. 1996. Т. 79, № 6. С. 393-406.

86. Lehner G. One-dimensional cylindrical diffusion of electromagnetic fields, Part II // Electr. Eng. 1997. Т. 80, № 3. С. 155-161.

87. Шнеерсон Г. А. Конфигурации аксиально-симметричных квазибессиловых магнитных систем. I // Журнал Технической Физики. Санкт-Петербург, 2008. Т. 78, № 10. С. 19-28.

88. Шнеерсон Г. А. и др. Конфигурации аксиально-симметричных квазибессиловых магнитных систем. II // Журнал Технической Физики. Санкт-Петербург, 2008. Т. 78, № 10. С. 29-39.

89. Schneerson G. A. и др. Computer Model of Megagauss Multilayer Quasi-Force-Free Magnet With Balanced End Parts // IEEE Trans. Plasma Sci. 2010. Т. 38, № 8. С. 1726-1730.

90. Shneerson G. и др. Basic Configuration of an Indestructible Quasi-Force-Free Magnet with Magnetic Flux Density above 100 T // 2018 16th International Conference on Megagauss Magnetic Field Generation and Related Topics (MEGAGAUSS). Kashiwa, Japan: IEEE, 2018. С. 1-5.

91. Lagutkina A. и др. Feasibility of development of non-destructive magnets with megagauss field for controlled thermonuclear fusion. St. Petersburg, Russia, 2019. С. 11.

92. Шнеерсон Г. А., Дегтев Д. А. Уравновешенные концентраторы потока и их применение для снижения электромагнитных сил в магнитных системах // Журнал Технической Физики. 2019. Т. 89, № 6. С. 812.

93. Shneerson G. A. и др. Conceptual Model of a Quasi-Force-Free Magnet of Small Volume with Inertial Retention of Its End Part // Tech. Phys. Lett. 2021. Т. 47, № 8. С. 573-576.

94. Nemov A. S., Lagutkina A. D., Shneerson G. A. A Conceptual 3-D Design of a Non-Destructive Two-Layer Quasi-Force-Free Magnet for Megagauss Field Generation // IEEE Trans. Magn. 2022. Т. 58, № 3. С. 1-9.

95. Nadimi-Shahraki M. H., Taghian S., Mirjalili S. An improved grey wolf optimizer for solving engineering problems // Expert Syst. Appl. 2021. Т. 166.

96. Боровков А. И. и др. Программа параметрической оптимизации демонстратора программного комплекса автоматизированного проектирования и расчёта электромагнитного проектирования групп БВС. Санкт-Петербург, 2024.

97. Deb K. и др. A fast and elitist multiobjective genetic algorithm: NSGA-II // IEEE Trans. Evol. Comput. 2002. Т. 6, № 2. С. 182-197.

ПРИЛОЖЕНИЕ А. Свидетельство о государственной регистрации

программы для ЭВМ

(справочное)