Математическое моделирование многокаскадного моноимпульсного твердотельного лазера тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Шарандин Евгений Анатольевич

• Шарандин Евгений Анатольевич
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Шарандин Евгений Анатольевич

Введение

Глава 1. Уравнения взаимодействия электромагнитного поля с

активной средой

1.1. Уравнения для напряженности электромагнитного поля, поляризованности и инверсии населенностей активной среды

1.2. Уравнения для интенсивности электромагнитного поля и коэффициента усиления активной среды

1.3. Уравнения для населенностей уровней и коэффициента усиления

1.3.1. Трехуровневые среды

1.3.2. Четырехуровневые среды

1.3.3. Активные среды, активированные атомами О", Tm и Но

1.4. Уравнения для населенностей уровней и коэффициента поглощения пассивного модулятора добротности

Выводы по первой главе

Глава 2. Математическая модель многокаскадного моноимпульсного

лазера

2.1. Оптические элементы лазерного тракта

2.1.1. Слой пространства

2.1.2. Зеркало

2.1.3. Светоделитель

2.1.4. Нейтральный светофильтр

2.1.5. Диафрагма

2.1.6. Расширитель пучка

2.1.7. Поляризатор

2.1.8. Полуволновая пластинка

2.1.9. Деполяризатор

2.1.10. ВРМБ зеркало

2.1.11. Пассивный модулятор добротности

2.1.12. Активный модулятор добротности

2.1.13. Внешний задающий генератор

Стр.

2.1.14. Активные элементы

2.2 Лазерные каскады

2.2.1. Задающий генератор с линейным резонатором

2.2.2. Задающий генератор с поляризационным выводом излучения из резонатора

2.2.3. Задающий генератор с разгрузкой резонатора (схема Вейлстеке)

2.2.4. Однопроходный усилитель

2.2.5. Регенеративный однопроходный усилитель

2.2.6. Двухпроходный усилитель

2.2.7. Двухпроходный регенеративный усилитель

2.2.8. Четырехпроходный усилитель

2.3. Многокаскадный моноимпульсный лазер

2.4. Результаты расчетов

2.5. Модификация модели твердотельного многокаскадного лазера, учитывающая пространственные характеристики излучения

2.6. Численный метод решения системы нелинейных дифференциальных уравнений и его программная реализация

Выводы по второй главе

Глава 3. Результаты моделирования многокаскадных

моноимпульсных твердотельных лазеров

3.1. Сравнение результатов моделирования импульсных лазеров с экспериментальными данными

3.2. Численное моделирование многокаскадных импульсных лазеров

3.3. Численное моделирование импульсных лазеров на YSGG:Cr:Tm:Ho

3.4. Увеличение пространственной однородности лазерных пучков в многокаскадных твердотельных лазерах

Выводы по третьей главе

Заключение

Список литературы

Список сокращений и условных обозначений

АЭ - Активный элемент

ВРМБ - Вынужденное рассеяние Мандельштама-Бриллюена

ЗГ - Задающий генератор

КПД - Коэффициент полезного действия

МД - Модулятор добротности

ОВФ - Обращение волнового фронта

ПЧ - Преобразователь частоты

Aij Вероятность спонтанного перехода с уровня i на уровень j

B Магнитная индукция

c Скорость света в вакууме

D Коэффициент деполяризации

Б Вектор электрического смещения

d Диаметр

dd Диаметр диафрагмы

Е Напряженность электрического поля

Ешс, Еатр Выходная энергия ьго импульса генератора и усилителя,

соответственно

ЕоШ Суммарная выходная энергия

Е3 Энергия накачки

Е5{ Запасенная активным элементом энергия

Е1 Энергия порога ВРМБ-зеркала

F Фокусное расстояние линзы

О Коэффициент усиления усилителя

00 Коэффициент усиления слабого сигнала Н Напряженность магнитного поля

1 Интенсивность электромагнитной волны J Плотность потока фотонов

к Коэффициент усиления активной среды

К0 Начальное значение коэффициента усиления активного элемента

кш Коэффициент поглощения пассивного затвора

кб Постоянная Больцмана

¡ш Длина оптического затвора

п Показатель преломления

М Кратность телескопа

N Плотность населенности ьго энергетического уровня

Nе Концентрация активатора в активной среде

Ш Плотность инверсии населенностей

Р Поляризуемость среды

Qs Плотность энергии насыщения

Я Коэффициент отражения зеркала по интенсивности

Язю Коэффициент отражения ВРМБ-зеркала

Яу Коэффициент отражения вертикальной компоненты поляризации

Т Коэффициент пропускания по интенсивности

Т1 Время продольной релаксации

Т2 Время поперечной релаксации

Т0 Начальное пропускание затвора

Те Конечное пропускание затвора

Т Коэффициент пропускания горизонтальной компоненты

поляризации

Т5 Длительность импульса накачки

Коэффициент пропускания затвора

о Скорость света в среде

Жу Вероятность индуцированного перехода с уровня i на уровень j

wij Вероятность безызлучательного перехода с уровня i на уровень j

И Постоянная Планка

в Декремент затухания, характеризует потери в среде

е Относительная электрическая проницаемость

е0 Электрическая постоянная

% Эффективность съема запасенной в активном элементе энергии

X Длина волны

у Частота

/ Относительная магнитная проницаемость

/0 Магнитная постоянная

р Объемная плотность электрического заряда

а Удельная проводимость среды

а Поперечное сечение перехода с уровня i на уровень j

Ъ Постоянная времени спонтанных переходов с уровня i на уровень j

Эффективное время жизни верхнего лазерного уровня

Ъ Время включения затвора

Тк Время удержания затвора в открытом состоянии

Тг Постоянная времени затухания ВРМБ-зеркала

ю Круговая частота гармонического сигнала

X Предельный коэффициент усиления активной среды

С Доля шумового потока активного элемента, идущая в генерацию

7

Введение

Создание первых квантовых оптических генераторов в 60-х годах XX века и последующие исследования в этой области привели к возникновению таких новых разделов физики, как квантовая электроника и нелинейная оптика [1].

Современные твердотельные лазеры при относительно небольших габаритах способны формировать излучение мощностью от 10-6 Вт до более чем 1012 Вт,

12

сверхкороткие импульсы (до 10- с и менее) [2]. Это, в сочетание с удобством их эксплуатации и надежностью, во многом предопределило их широкое распространение.

В современных задачах спектроскопии, лазерной локации, мониторинга параметров атмосферы и др. возникает необходимость применения многокаскадных моноимпульсных лазеров с предельно достижимыми параметрами выходного излучения. В большом количестве публикаций рассматриваются отдельные вопросы расчета подобных лазеров. При этом одной из важных задач является учет детальной физической картины процессов создания в активной среде инверсии на-селенностей и обеспечение эффективного энергосъема. Использование вычислительной техники позволяет провести более детальный анализ протекающих в лазерах процессов и обеспечивает независимость исследователя от наличия сложного оборудования и дорогостоящих комплектующих, необходимых для проведения натурных экспериментов [3].

16 мая 1960 года Т. Мейман продемонстрировал работу первого оптического квантового генератора, лазера [4]. Всего на год позже появились созданная Р. Баракатом программа численного моделирования для реального расчета дифракционных изображений, которая могла применяться для анализа распространения лазерных пучков [5-7]. Одновременно с работами Р. Бараката, А.Г. Фоксом и Т. Ли была опубликована работа [8], в которой дана теория открытого резонатора в скалярном приближении. Приведенные в работе уравнения, не имеющие аналитического решения, А.Г. Фокс и Т. Ли решали численными методами с помощью ЭВМ [8]. Последовавшие за ними публикации, как правило, затрагивают только один из аспектов функционирования лазеров [9]. Исключения редки. Так, двухтомная монография [10; 11], описывает простые и эффективные методы расчета основных энергетических характеристик твердотельных квантовых генераторов, позволяющие получить окончательные результаты в удобной для инженеров

форме. Приведенные в монографии методы расчетов учитывают специфические особенности нелинейных процессов, влияние радиационных шумов, теплового баланса и т.д.; затрагивают все аспекты функционирования твердотельных лазерных генераторов, работающих в различных режимах. Однако вопросы усиления лазерного излучения в монографии не рассматриваются.

Использование в работе [12], посвященной вопросам расчета и проектирования лазеров с использованием ЭВМ, сеточных методов решения дифференциальных уравнений в частных производных ограничило длительность анализируемых импульсов излучения значением порядка 10-10 с, что заставило авторов сделать утверждение о необходимости поиска более совершенных методов решений. В этой же работе отмечается необходимость обязательного учета взаимного влияния лазерных каскадов друг на друга.

Сегодня для проведения расчета отдельных элементов твердотельных лазеров доступны такие программы, как LASCAD, ReZonator, LineRes, SintRes, Fresnel и другие. Однако отсутствуют программы, позволяющие осуществить расчет лазера в целом. Поэтому разработчики пользуются простыми моделями [13; 14], не обеспечивающими необходимой точности расчетов. Например, в работах [15; 17] для расчета многопроходных усилителей использовалась модель Франца - Но-двика, которая не учитывает взаимодействие усиливаемых потоков и справедлива только для усилителей, потерями излучения в которых можно пренебречь. Более полное согласие всех параметров лазерного излучения может быть получено в моделях, базирующихся на уравнениях переноса и учитывающих реальные параметры всех элементов оптического тракта, встречное взаимодействие усиливаемых потоков излучения и развитие шумов в элементах лазера [16]. Обзор математических моделей импульсных твердотельных лазеров и связанных с ними методов проектирования импульсных твердотельных лазеров был дан в [18]. В работах [19-23] дано описание расчетно-программных комплексов серии LID и используемых в них методов проектирования твердотельных многокаскадных лазеров, а в [24] приведена методика оптимизации двухкаскадных импульсных лазерных излучателей на максимум КПД, учитывающая лазерную прочность используемых в лазерах оптических элементов.

В многокаскадных лазерах в силу неидеальности оптических элементов часть излучения из усилительных каскадов возвращается в задающий генератор, что, с одной стороны приводит к изменению кинетики формирования его импуль-

са излучения, а с другой - появляются предпосылки возникновения паразитной генерации. Паразитная генерация, в свою очередь, может привести как к резкому снижению уровня запасенной энергии в активных элементах (АЭ), так и к их разрушению в момент генерации в лазерах с модуляцией добротности. Немаловажными, особенно в случае установки на выходе лазера генераторов гармоник, являются и поляризационные параметры излучения. При проведении расчетов для многокаскадных лазерных систем, имеющих в своем составе усилители с большими коэффициентами усиления (~ 100 и более) или обращающие волновой фронт (ОВФ) зеркала учет межкаскадных связей особенно важен.

В ряде работ отмечается, что межкаскадные связи могут в значительной степени определять развитие процесса генерации и обосновывается необходимость их учета [16]. Однако практически отсутствуют работы, в которых описываются методы исследования многокаскадных лазерных систем, учитывающие взаимное влияние каскадов.

В наиболее часто используемых схемах многокаскадных усилителей предварительное усиление осуществляется в двухпроходных схемах с поляризационной развязкой усиливаемых потоков [29]. Широкое использование двухпроход-ных схем с поляризационной развязкой связано с тем, что в подобных усилителях возможна эффективная реализация компенсации термонаведенных искажений волнового фронта [34; 35]. Иногда используется пространственная развязка усиливаемых потоков [26-30] и применяются усилительные каскады с большим количеством проходов. Например, в [32; 36] приведены результаты исследований четырехпроходного усилителя, в [33; 34] - регенеративных усилителей, а в [37] -регенеративного четырехпроходного усилителя с ОВФ зеркалом, основанном на эффекте вынужденного рассеяния Мандельштама-Бриллюена (ВРМБ). Корректный расчет характеристик подобных усилителей без учета взаимного влияния встречных усиливаемых потоков невозможен.

Наличие явление паразитного усиления спонтанных квантов (явления усиленной люминесценции) приводит к потерям энергии возбуждения в процессе накачки активной среды. Особенно большие потери характерны для лазеров, работающих моноимпульсном режиме [10; 25; 28]. Поэтому, учет данного явления при моделировании подобных лазеров является необходимым.

При анализе процессов взаимодействия лазерного излучения с активной средой обычно ограничиваются рассмотрением активных сред лазеров в трех- или

четырехуровневом приближении. Обычно это обеспечивает хорошее согласие теоретических результатов с экспериментальными данными. В отдельных случаях наблюдаются значительные расхождения результатов - например, для лазеров с активными средами на основе стекла, активированного трехвалентными ионами неодима [25], могут быть объяснены конечным временем жизни нижнего рабочего лазерного уровня [26; 27].

Введение при создании активных сред помимо иона-активатора ионов-соактиваторов позволят увеличить эффективность создания инверсии населенно-стей как за счет расширения линий поглощения и их количества, так и за счет увеличения коэффициента поглощения излучения накачки. В ряде случаев такие активные среды удовлетворительно описываются с использованием традиционной четырехуровневой модели. К таким средам, например, относятся скандивые гранаты, активированные ионами Сг и

Ш3+ - УБОО, ОБОО, ООО и др. [40]. В других случаях, для описания процессов взаимодействия активной среды с оптическим излучением требуются более сложные модели. Ярким представителем таких сред являются среды, активированные ионами Сг3+, Тш3+ и Но3+, позволяющие получить лазерную генерацию в диапазоне длин волн 2..3 мкм [40; 43]. Использование двухмикронных лазеров представляет большой интерес в таких сферах, как научные исследования, в мониторинге газового состава воздуха, контроле окружающей среды, спектроскопии, медицине, для военно-технического применения и других [41; 42]. Однако, в лазерах с подобными активными средами наблюдается громадное отличие КПД для режимов свободной генерации и модуляции добротности [44; 45-48]. Поэтому представляет интерес исследование путей повышения эффективности таких лазеров при их работе в режиме модуляции добротности.

Расчет пространственных характеристик излучения лазеров необходим для анализа амплитудно-фазового распределения поля в поперечном сечении лазерного пучка с целью обеспечения его высокой пространственной однородности на всем протяжении оптического тракта и уменьшения расходимости выходного излучения. Это особенно важно, когда на выходе лазеров устанавливаются нелинейно-оптические преобразователи частоты (ПЧ) излучения.

Обеспечение высокой пространственной однородности пучка излучения на всем протяжении лазерного тракта позволит уменьшить лучевые нагрузки во всех оптических элементах лазера [49], что особенно актуально для одночастотных од-

номодовых лазеров. При этом создаются предпосылки использования активных элементов меньшего диаметра, а значит и к увеличению КПД лазера, уменьшению его массогабаритных характеристик и стоимости. Помимо этого, плотность мощности выходного излучения моноимпульсного лазера может превышать 1 ГВт/см2, что уже близко к порогу самофокусировки излучения в его активных

Л

элементах. Например, в YAG:Nd порог самофокусировки составляет ~3 ГВт/см . Учитывая это, может потребоваться решение задачи проектирования многокаскадного лазерного усилителя с высокой степенью однородности пучка на всем протяжении усилительного тракта и формирующего выходное излучение с гипергауссовым пространственным распределением амплитуды.

Иллюстрацией необходимости анализа пространственных характеристик излучения может служить работа [50], в которой описан лазер на YAG:Nd с выходной энергией 400 мДж, на выходе которого устанавливался преобразователь частоты в четвертую гармонику. Лазер имел в своем составе одномодовый задающий генератор с модуляцией добротности, формирующий импульсы энергией 2 мДж и длительностью 9 нс. После временного селектора импульс длительностью 1 нс и энергией 0,1 мДж направлялся в двухкаскадный усилитель. В первом каскаде усиления была использована двухпроходная схема с компенсацией деполяризации, во втором каскаде - однопроходная. В работе сообщается о том, что расходимость излучения как после задающего генератора, так и после усилителя была близка к дифракционной, однако излучение после преобразователя частоты

л

имело параметр

M2 ~ 5. Это противоречит как теории преобразования частоты, так и результатам экспериментальных наблюдений других авторов.

В результате возникает необходимость построения математической модели моноимпульсного многокаскадного твердотельного лазера, которая должна учитывать

- встречное взаимодействие усиливаемых потоков излучения,

- развитие шумов в элементах лазера,

- взаимное влияния лазерных каскадов,

- время жизни нижнего рабочего лазерного уровня в четырехуровневых средах и скорости изменения населенностей в активных средах, активированных трехвалентными ионами Сг3+, Tm3+ и Но3+,

- степень согласования спектра излучения источников накачки со спектром поглощения активных элементов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование многокаскадного моноимпульсного твердотельного лазера»

Цель работы:

Разработка математических моделей, высокопроизводительных численных

алгоритмов и программ для исследования процессов формирования излучения в

многокаскадных импульсных твердотельных лазерных излучателях.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1. Разработка математической модели процессов генерации и усиления оптического излучения в многокаскадных твердотельных лазерах с модуляцией добротности и высокопроизводительных расчетных программ на их основе.

2. Численный анализ и экспериментальное исследование процессов формирования энергетических, временных и поляризационных параметров оптического излучения в многокаскадных лазерах при наличии межкаскадных связей.

3. Математическое моделирование и экспериментальное исследование процессов формирования пространственных характеристик световых пучков в многокаскадных лазерах с неоднородным распределением инверсии населенностей по сечению активных элементов.

Научная новизна работы заключается в том, что:

1. Разработана математическая модель многокаскадного импульсного твердотельного лазера, учитывающая взаимодействие усиливаемых потоков излучения, развитие шумов в элементах лазера, взаимное влияние лазерных каскадов, степень согласования спектра излучения источников накачки со спектром поглощения активных элементов, время жизни нижнего рабочего лазерного уровня в четырехуровневых средах и скорости изменения населенностей в активных средах, активированных трехвалентными ионами Сг, 3+ Тш3+ и Но3+.

2. Проведены численные и экспериментальные исследования процессов формирования временных, энергетических и поляризационных параметров излучения в лазерных системах с многопроходными усилителями.

3. Проведены численные и экспериментальные исследования процессов распространения пучков оптического излучения в многокаскадных лазерах, в том числе дифракционно ограниченных. Проведено исследование влияния распределения инверсии населенностей на пространственные характеристики в различных режимах работы лазера. Предложен метод регулирования пространственных характеристик лазерного излучения, основанный на изменении профиля распределения инверсии населенностей по сечению активных элементов при вариации температуры полупроводниковых излучателей накачки.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Математическая модель и комплекс программ для анализа процессов формирования временных, энергетических и поляризационных характеристик многокаскадных моноимпульсных лазеров, учитывающие взаимное влияние каскадов лазера, взаимодействие встречных усиливаемых потоков излучения, развитие люминесценции и предельные режимы работы оптических элементов лазерных излучателей.

2. Результаты теоретического и экспериментального исследования особенностей формирования оптического излучения в моноимпульсных твердотельных многокаскадных лазерах и способов увеличения их эффективности.

3. Результаты теоретического и экспериментального исследования влияния профиля инверсии населенностей в активных элементах лазера на его пространственные характеристики. Метод управления пространственными характеристиками оптического излучения лазера, основанный на изменении профиля распределения инверсии населенностей по сечению АЭ при вариации температуры полупроводниковых источников накачки.

Практическая значимость диссертационной работы связана с ее прикладной ориентацией. Полученная математическая модель и результаты исследований могут быть использованы при разработке и создании импульсных твердотельных лазерных излучателей с различными конфигурациями оптических схем на различных типах активных сред.

Полученные результаты исследований позволят определить функциональные возможности формирования различных параметров выходного излучения, сформулировать требования к узлам межкаскадной развязки и разработать предложения по параметрам элементов излучателя и режимам их работы. Предложен комплекс мер, направленный на увеличение эффективности лазеров с активными элементами, активированными ионами Сг3+, Tm3+ и Но3+.

Выявленная связь между распределением инверсии населенностей, формируемой при использовании полупроводниковой накачки, и параметрами выходного излучения позволяет определить требования к квантронам для различных целевых применений.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

В первой главе приведен вывод самосогласованной системы дифференциальных уравнений для напряженности электромагнитного поля и его интенсивности, поляризованности среды, населенностей энергетических уровней и коэффициента усиления активной среды. Проведен анализ сделанных при выводе допущений и определена область применимости полученных уравнений для анализа импульсных твердотельных лазеров. При расчете временных, энергетических и поляризационных параметров многокаскадных лазеров использовались уравнения для интенсивностей лазерного излучения и коэффициента усиления активной среды.

На основании рассмотрения диаграмм энергетических уровней получены уравнения для населенностей четырехуровневых активных сред, учитывающие конечное время жизни нижнего лазерного уровня, а также уравнения для населен-ностей уровней в активных средах, активированных атомами Сг, Тт и Но.

Во второй главе получена математическая модель импульсного твердотельного многокаскадного лазера в плосковолновом приближении, основанная на уравнениях переноса. В модели учитывается взаимодействие всех усиливаемых потоков излучения, межкаскадные связи, развитие шумового излучения, согласование спектра излучения источников накачки со спектрами поглощения активных элементов, поляризационные характеристики излучения. Полученная модель позволяет рассчитать временные, энергетические и поляризационные характеристики лазерного излучения. Проведен анализ устойчивости и сходимости используемой для аппроксимации уравнений разностной схемы.

Для решения задачи формирования пространственных характеристик световых пучков в многокаскадных лазерах с неоднородным распределением инверсии населенностей по сечению активных элементов математическая модель дополнена дифракционным интегралом Кирхгофа, решение которого позволяет рассчитать амплитудно-фазовое распределение электромагнитного поля лазерного пучка при переходе от одного пространственного слоя к другому.

В третьей главе проводится моделирование процессов формирования лазерного излучения в многокаскадных лазерных системах и их сравнение с результатами экспериментальных исследований. Расчеты выполнены с учетом влияния межкаскадных связей и взаимодействия встречных усиливаемых потоков на кинетику развития генерации в многокаскадных моноимпульсных лазерах, влияния шумового потока на порог самовозбуждения лазера и порог возникновения гене-

рации. Показано, что результаты численного моделирования соответствуют полученным экспериментальным данным с высокой точностью.

Приводятся результаты исследований:

- влияния межкаскадных связей и взаимодействия встречных усиливаемых потоков на кинетику развития генерации в моноимпульсных лазерах,

- влияния шумового потока на порог самовозбуждения лазера и порог возникновения генерации,

- факторов, влияющих на эффективность моноимпульсных двухмикронных лазеров с большой средней выходной мощностью на активных элементах, активированными ионами Сг3+, Tm3+ и Но3+,

- влияния распределения инверсии населенностей по сечению активных элементов на пространственные характеристики излучения лазеров.

Предложен метод управления пространственными характеристиками оптического излучения лазера, основанный на изменении профиля распределения инверсии населенностей по сечению АЭ при вариации температуры полупроводниковых излучателей накачки. Данный метод может быть использован как для увеличения однородности лазерного пучка в ближней зоне, так и для оперативного изменения угловой расходимости лазерного излучения в лазерных локаторах с целью увеличения скорости обнаружения и точности определения оптических параметров объектов.

Глава 1. Уравнения взаимодействия электромагнитного поля с активной средой

Математическая модель импульсного многокаскадного лазерного излучателя должна включать в себя уравнения, описывающие процессы взаимодействия электромагнитного поля с активной средой. Эти уравнения должны быть получены в общем виде, позволяющем их использовать для описания процессов в активных средах как в одиночном лазерном каскаде, так и в связанной системе каскадов.

Уравнения для напряженности электромагнитного поля необходимо получить для произвольной поляризации электромагнитной волны, распространяющейся вдоль оптической оси лазера в противоположных направлениях. В общем случае эти уравнения должны описывать суперпозицию электромагнитного поля всех электромагнитных волн в активной среде лазера. При выводе материальных уравнений необходимо учесть связь между инверсией населенности уровней и поляризованностью среды.

Следует отметить, что вывод уравнений для напряженности электромагнитного поля, поляризованности активной среды и связь поляризованности с инверсией населенностей описывался в большом количестве работ, например [1; 51-55].

Приведенный в данной главе вывод уравнений преследует цель анализа сделанных допущений, определения границ применимости и записи уравнений в форме, позволяющей их использовать для создании математической модели твердотельного импульсного многокаскадного лазерного излучателя. Уравнения для инверсии населенностей уровней в активной среде позволят перейти к расчету коэффициента усиления среды, необходимого для его дальнейшего использования в общей математической модели лазерной системы.

Модулятор добротности является обязательным оптическим элементом, входящим в состав задающего генератор импульсного лазера с модуляцией добротности. Поглощательные характеристики пассивных модуляторов добротности его описываются уравнениями, аналогичными уравнениям для коэффициента усиления активной среды. Поэтому в данной главе будут приведены уравнения, использованные для их описания.

1.1. Уравнения для напряженности электромагнитного поля, поляризованности и инверсии населенностей активной среды

Электромагнитное поле и его связь с электрическими зарядами в сплошных средах описывается уравнениями Максвелла. В дифференциальной форме они представляют собой систему из четырех уравнений [51]:

дБ

гогЕ =

дг

Гт т дБ

гогн = з +— дг

йыВ = р, йШ = 0,

(1.1)

(1.2)

(1.3)

(1.4)

где

Е Б

н

Б

3 р

- вектор напряженности электрического поля,

- вектор магнитной индукции,

- напряженность магнитного поля,

- вектор электрического смещения,

- плотность электрического тока,

- объемная плотность электрического заряда.

Запишем материальные уравнения для электромагнитного поля в активной среде. В подавляющем большинстве случаев лазерные активные среды являются диэлектриками, в которых относительная магнитная проницаемость ц=1 и отсутствуют объемные заряды (р=0). Для подобных сред материальные уравнения имеют следующий вид

Б = Мо Н Б = 88оЕ з = аЕ

где

е0, ¡¿о - электрическая и магнитная постоянные, соответственно, е - относительная электрическая проницаемость, а - удельная проводимость среды.

Введение тока проводимости в (1.2) необходимо для учета потерь в среде

Наличие инверсной населенности в среде может быть учтено в выражении для вектора электрического смещения введением нелинейной поляризованности среды [1; 51]

D = ££п E + Р .

(1.5)

Первое слагаемое в (1.5) описывает линейный отклик диэлектрической среды. Второе слагаемое рнел учитывает нелинейный отклик среды, возникающий в результате изменения энергетического состояния атома во внешнем электромагнитном поле.

Получим уравнение, связывающее характеристики электромагнитного поля с нелинейной поляризованностью среды. Для этого возьмем операцию rot от левой и правой частей первого уравнения (1.1) и подставим в него (1.2) и (1.5)

rotrotE = -rot

Mo°

icq d drotB

dt ) = dt

dE d2 E

dt dt2

Mo

drotH dt

Mo°

dE

dt

Mo

d d d2

Mo

d Р

dt2

(1.6)

Учтем, что

rotrotE = grad (divE) - V2 E.

(1.7)

где V2

d2 d2 d2

+

+

dx2 dy2 dz2

Рассмотрим случай, когда свободные заряды отсутствуют, что характерно для твердотельных лазерных активных сред. Тогда divD = 0 [51; 55] и должно выполняться неравенство

grad(divE(z, t))V2E(z,t).

(1.8)

Учитывая (1.8) из (1.6) с учетом (1.7) и (1.5) получим уравнение для мгновенного значения напряженности поля электромагнитной волны

2* _ .. d2E „ _dE „ d2Рнел

V E-££oMo—T-Mo° dt

dt Mo~ dt2

(1.9)

Это неоднородное волновое уравнение, решением которого является уравнение электромагнитной волны в нелинейной среде.

Так как в лазерных системах ширина спектра много меньше частоты излучения, излучение имеет высокую направленность, а характерные поперечные размеры пучка излучения много больше длины волны, то можно принимать во внимание только аксиальные изменения поля. В случае плоской волны

д2 д2

дх2 ду1

0.

Тогда можно рассматривать одномерный случай. Для электромагнитной волны в изотропной среде в (1.9) можно перейти от векторных переменных Е и Р к скалярным:

д2 Е Е ¡адЕ =еид Рнел (110)

—— ~ееоМо —ТГ-¡оа—Г = £оМо ~ГТ~. (110)

дг дг дг дг

В частном случае, при равенстве нулю Рнел и проводимости среды а из (1.10) получатся волновое уравнение Гельмгольца [55]. Решению его удовлетворяют плоские монохроматичные волны, распространяющиеся в противоположных направлениях. Уравнение плоской бегущей волны имеет следующий вид

Е(г) = о, 5ЕМ (ехр(](юг - кг)) + ехр(-](юг - кг)),

где ю - круговая частота гармонического сигнала,

1 ю2 2п к - волновой вектор к = ¡8

о1 Я

с - скорость света в вакууме,

Я - длина электромагнитной волны.

Преобразуем уравнение (1.10) в квазигармоническом приближении. В середе с нелинейной поляризованностью амплитуда поля становится зависящей от координат и времени, то есть Е = Е (г, г). В дальнейших рассуждениях будем считать, что нелинейность мала и одним из решений (1.10) является бегущая волна с частотой ю

Е(г, г) = о, 5ЕМ (г, г) (ехр(] (юг - кг)) + ехр(--] (юг - кг) ). (1.11)

Предположение о монохроматичности волны в (1.7) справедливо в приближении «слабого поля» [55]. При этом под слабым подразумевается поле, по порядку величины значительно меньшее внутриатомного. Для твердых тел напря-

о о

женности внутриатомных полей находятся в интервале 10 ..10 В/см, что ограни-

чивает интенсивность электромагнитной волны величиной много меньшей 10

Л

Вт/см . На практике это условие выполняется с большим запасом. Аналогично (1.11) запишем для поляризованности среды:

Pнeл (г, t) = 0,5Pm (^ t) ( ехри(юХ - кг)) + 6хр(-](оХ - кг)). (1.12)

Уравнение (1.11) учитывает тот факт, что поляризация меняется с той же частотой, что и высокочастотное электромагнитное поле [55]. Запишем выражения для первых и вторых производных по 2 и t от (1.11) и (1.12):

д2Е(г, X) _ 1

дг2 2

дЕ(г, X) _ 1( дХ ~ 21

д2Е(г, X) _ 1 дХ2 " 2

д2Р(г, X) _ 1 дХ2 " 2

д2^ - j 2к - к2Е.

дг2

дг

(ехр( j(оХ - кг)) + ехр(- j(оХ - кг)) и (1.13)

д—т

дх

+ ]°Еп,

(ехр( j(оХ - кг)) + ехр(- j(оХ - кг))!

(1.14)

д2 Е дЕ

+ j 2ю——т

дХ2

дХ

о Е„

д2 Р + j 2о-т-о2 Р

дХ2

дХ

(ехр( ](оХ - кг)) + ехр(- ](оХ - кг)) и (1.15)

( ехр( ](оХ - кг)) + ехр(- j(оХ - кг))1 (1.16)

Ограничимся приближением медленно меняющихся амплитуд поля е (г, X) и поляризации среды Р

д2 Е

дЕ„

дг2

т <<о—т и

д2 Рт дг2

дг

<<о

д2 Ет дг 2

<< к

дЕ

_т

дг

дР

__т

дг

<< о2 Р

Данные условия означают, что время изменения комплексных амплитуд напряженности электрического поля и поляризованности среды много больше периода колебаний, а в пространстве они изменяются на расстоянии много большем длины волны. В оптическом диапазоне характерные времена рассматриваемых процессов при этом должны существенно превышать величину порядка 10-15 с. В этом случае уравнения (1.13), (1.15) и (1.16) примут вид

д2Е(г, X) _ 1 дг2 ~~ 2

—E(г,X)_11_ дХ2 ~ 2

] 2к

дЕ __т

дг

+ к2 Е„

] 2од—т -о2 Еп дх

(ехр( j(оХ - кг)) + ехр(- j(оХ - кг)) ! (ехр(](оХ - кг)) + ехр(-](оХ - кг))

(1.17)

(1.18)

= -1 {[ю2 Pm ] ( ехр(]'(юг - кг)) + exp(-j (юг - кг))}. (Ы9)

Подставив в (1.10) получим уравнение для напряженности поля в нелинейной среде в квазигармоническом приближении

^ +1 дЕт + 1е =-}-юР , (1.20)

о 2 г\ т ^ г\ т? V'/

дг и дг 2 2по

где и = о / п = 1 / ^££0^0 - скрость света в активной среде,

Р = ¡си - потери в активной среде.

Дополним полученное уравнение для напряженности поля в активной среде уравнениями, связывающими векторы р, Ет с инверсией населенности Ш. Для среды с двумя энергетическими состояниями поляризованность определяется следующими уравнениями [1; 53; 54]

дР 1 р2

—- + — Рп=—ШЕп, (1-21)

т т2 т п т

л Тх к т т К 7

где Ш - инверсия населенностей (разность населенностей уровней),

N - плотность активных центров,

Т1 - время продольной релаксации, характеризующее скорость изменения энергии системы активных центров,

Т2 - время поперечной релаксации, определяющее скорость перераспределения энергии в системе активных центров.

Уравнения (1.21, 1.22) предполагают, что взаимодействие активного атома с электрическим полем существенно только для двух рассматриваемых уровней. Физически это обосновано тем, что частота электрического поля находится в точном резонансе или близка к частоте перехода между соответствующими уровнями. Применяемые на практике лазерные среды имеют большее число энергетических уровней. При этом, во многих случаях, системы с числом уровней большем двух (например, для классических трех- и четырехуровневые сред) можно рассматривать как двухуровневые путем переопределения параметров [54].

Уравнения (1.20) - (1.22) образуют полную систему уравнений для амплитуды напряженности поля, амплитуды поляризованности среды и инверсии насе-

ленностей, в которой изменения Ет (z, t) и р (z, t) определяются гармоническими функциями

Ет (z, t) = Еа (z, t) cos(<( z, t)) и Pm (z, t) = р (z, t) cos(^( z, t)). (123)

В (1.23) функции фазы <(z, t) и y/(z, t) являются, в общем случае, независимыми друг от друга. Подставив (1.23) в (1.20)-( X1.22) получим

^ + 1 ^ + £е р smф (1.24)

dz и2 dt 2 а 2nc

dP 1 p2

—(1.25)

dt Т2 а h а

dAN AN-AN0 1 n _ . ^

- 0 PaEas шФ, (1.26)

dt Tx h

dF

dF=K}

rp2eANEa | coPa Л

V kPa Ea J

cos Ф, (1.27)

где Ф = у — р - разность фаз, ал, а - частота электромагнитной волны и частота, соответствущая переходу атома в возбужденное состояние.

Полученные уравнения имеют наиболее общую форму и могут описывать

поле в среде, когда частота ал .

При возбуждении среды на частоте перехода (ал — ар = 0), что обычно

А ^Ф П реализуется в лазерных системах, разность фаз постоянна во времени и -= 0.

dt

Далее, так как выражение в скобках в правой части (1.26) не равно нулю, cos Ф = 0 и Ф (t) = л/ 2. Тогда уравнения (1.24)-( 1.26) примут следующий вид

дЕ 1 дЕ в а п dz v dt 2 2nc

дР 1 p2

+ — (1.29)

dt Т2 m h m K J

dt тх h m m K }

Полученные уравнения описывают процесс взаимодействия электромагнитного поля и активной среды в двухуровневом приближении.

Также можно рассмотреть распространенный в лазерных системах случай, когда ширина спектра бегущей волны много меньше ширины контура усиления активной среды (Д^л • Т << 1). Тогда в уравнении (1.29)

dP 1 о <<— P

dt

(1.31)

и, следовательно, для амплитуды поляризованности среды и напряженности поля получаем

P

т2р] h

А№,

m '

(1.32)

Подставив (1.28) в (1.24) и (1.26) получим систему

Г т 2

dE„

dz

d AN dt

+

1 dE„

v2 dt

®Т2Р2г л Л Г P

V

2 nch

■AN- —

J

AN - N

T

T^AN{Emf

(НУ

(1.33)

(1.34)

Следует подчеркнуть, что условие (1.31) означает медленное изменение по-ляризованности среды, амплитуды напряженности поля и инверсии населенно-стей за время Т2. Для неодимовых лазеров Т2 не превышает 10-12 с.

Полученные уравнения могут быть использованы при описании процессов генерации и усиления в лазерных системах с произвольным количеством активных сред. В этом случае уравнения имеют вид:

d£ . 1 dE_.

dz

d AN. dt

+

v2 dt

AN,. - N

Inch 1 2

t2ip:

0 i

T.

(hf

AN.(E У

Л mi /

(1.35)

(1.36)

Здесь I - номер активной среды.

Для каждого активного элемента, входящего в состав лазерного каскада, система уравнений (1.33) - (1.34) должна дополняться начальными и граничными условиями. В дальнейшем данная система уравнений будет использована для по-

лучения уравнений, связывающих инверсию населенностей уровней с интенсивностью лазерного излучения.

1.2. Уравнения для интенсивности электромагнитного поля и коэффициента усиления активной среды

Для анализа временных, энергетических и поляризационных характеристик лазерного излучения в плосковолновом приближении целесообразно перейти от уравнений для напряженности электромагнитного поля и инверсии населенностей к уравнениям для интенсивности и коэффициенту усиления среды. В этом случае уравнения, описывающие спектрально-люминесцентные свойства среды и характеристики излучения, будут иметь более простую и наглядную форму и позволят учесть большее число экспериментально измеряемых параметров.

С целью перехода к уравнениям для коэффициента усиления введем следующие обозначения [51; 52]: соТ2р]

<js = —- сечение перехода, 2 ncfi

к = <SAN - коэффициент усиления среды, tuo

(j =--плотность энергии насыщения.

С использованием этих обозначений система уравнений (1.33-1.34) примет

вид

dE_ 1 дЕ„

dz и2 dt

v 2 2 у

dk к - к0 к (Em)

Я Т Qs .

При переходе к уравнениям для интенсивности учтем, что интенсивность электромагнитной волны I, определяемая на периоде волнового процесса, связана с напряженностью поля следующим выражением

25

1 ^ п2Е2

I = — СЕ2

т

2 0 т 240п

где п - показатель преломления среды.

После умножения обеих частей уравнения (1.31) на 2Е* п2 / 240п и с учет

том того, что 2Ет • дЕт / дх — д(Ет )2 / дх, получим

д1 1 д1 /, т

д + - д = (к-Р) I» (°7)

дг и д1

Л (1.38)

йг Т- О, у '

Уравнения (1.37) и (Х.1.38) - уравнения для интенсивности электромагнитной волны и коэффициента усиления активной среды. В случае распространения через среду двух встречных потоков излучения, уравнения (1.37) и (1.38) примут следующий вид

(-1У + = ( к-Р)1„ (1.39)

дг и дг

йк к - к к Е1

— = -к-к0---(1.40)

йг Т- Qs у 7

где /=1,2 - номер потока излучения.

Использование системы уравнений (1.39-1.40) для описания поля внутри оптических резонаторов является справедливым в том случае, когда ширина спектра излучения значительно больше ширины линии резонансной кривой резонатора и значительно меньше частоты оптического излучения [52; 56].

При выводе уравнения (1.38) в рассмотрение принималось только два энергетических состояния среды, резонансный переход между которыми соответствует длине волны лазерного излучения. В реальных лазерных средах задействуется большее число энергетических уровней, в частности - для создания в ней инверсии населенностей. В следующем параграфе будут приведены уравнения для коэффициента усиления среды с большим количеством уровней. Эти уравнения составят часть математической модели импульсного твердотельного многокаскадного лазера.

1.3. Уравнения для населенностей уровней и коэффициента усиления

При рассмотрении процессов взаимодействия лазерного излучения с активной средой обычно ограничиваются рассмотрением систем, в которых имеется либо три, либо четыре энергетических состояния.

В предыдущем параграфе получены уравнения для двухуровневой среды полуклассическим методом, основанном на решении уравнений электродинамики. Использование данного метода для трех- и четырех- уровневых систем сталкивается со сложностями. Поэтому в дальнейшем при выводе уравнений для сред с несколькими уровнями мы перейдем к использованию квантово-статистического подхода. При этом уравнения, которые будут получены, должны в частном случае двухуровневой системы переходить в уравнение (1.40).

Квантово-статистический подход обычно обеспечивает хорошее согласие теоретических результатов с экспериментально наблюдаемыми данными. Однако в ряде случаев наблюдаются значительные расхождения результатов - например, для лазеров с активными средами на основе стекла, активированного ионами трехвалентного неодима [25]. Эти расхождения могут быть объяснены конечным временем жизни нижнего рабочего лазерного уровня [26; 27], поэтому в данном параграфе приводятся уравнения как для «классических» трех- и четырехуровневых сред, так и уравнения для четырехуровневой среды, учитывающие конечное время жизни нижнего лазерного уровня.

Введение при создании активных сред помимо иона-активатора ионов-соактиваторов позволят увеличить эффективность создания инверсии населенно-стей как за счет расширения линий поглощения и их количества, так и за счет увеличения коэффициента поглощения излучения накачки. В ряде случаев такие активные среды удовлетворительно описываются с использованием традиционной четырехуровневой модели. К таким средам, например, относятся скандиевые гранаты, активированные ионами Сг и Ш - УБОО, ОБОО, ООО и др. [40]. В других случаях, для описания процессов взаимодействия активной среды с оптическим излучением требуется более сложная модель. Ярким представителем таких сред являются среды, активированные ионами Сг, Тт и Но, позволяющие получить лазерную генерацию в диапазоне длин волн 2..3 мкм [40]. В данном параграфе будут приведены уравнения и для этого класса сред.

В реальных лазерных системах уровни энергии находятся достаточно далеко друг от друга, поэтому индуцированные переходы в трех- и четырех- уровне-вых системах могут рассматриваться как независимые. Это условие будет использовано в дальнейшем при получении уравнений для населенностей уровней и коэффициента усиления для трех- и четырехуровневых сред.

1.3.1. Трехуровневые среды

Энергетическая схема трехуровневой системы с указанием возможных переходов приведена на Рис. 1.1 [52]. В исходном состоянии частицы находятся в энергетически устойчивом состоянии на уровне 0. Под действием излучения накачки (Иу02) частицы переходят на промежуточный уровень 2, откуда безызлуча-тельно переходят на метастабильный уровень 1. Лазерный переход осуществляется между уровнями 1-0.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Шарандин Евгений Анатольевич, 2019 год

Список литературы

1. Звелто О. Физика лазеров : пер. с англ. М.: Мир, 1979. 376 с.

2. Коржиманов А.В., Гоносков А.А., Хазанов Е.А., Сергеев А.М. Горизонты пе-таваттных лазерных комплексов // УФН. 2011. Т. 181. С. 9-32.

3. Баракат Р., Даллас У., Фриден Б., Мерц Л., Педжис Р., Риглер А. Компьютеры в оптических исследованиях : Пер. с англ. / Под ред. Б. Фридена. М.: Мир. 1983. 488 с.

4. Maiman T.H. Stimulated optical radiation in ruby // Nature. 1960. № 187(4736). P. 493-494.

5. Barakat R. Total Illumination in a Diffraction Image Containing Spherical Aberration // J.Opt.Soc.Amer. 1961. № 51. P. 152.

6. Barakat R. Computation of the Transfer Function of an Optical System from the Design Data for Rotationally Symmetric Aberrations : I. Theory // J.Opt.Soc.Amer. 1962. № 52. P. 985.

7. Barakat R., Levin E. Transfer Functions and Total Illuminance of High Numerical Aperture System Obeying the Sine Condition // J.Opt.Soc.Amer. 1963. № 53. P. 324.

8. Fox A.G., Li T. Resonant Modes in a Maser Interferometer // Bell. Syst. Tech. Journ. 1961. № 40. P. 453.

9. Карамзи Ю.Н., Сухоруков А.П., Трофимов В.А. Математическое моделирование в нелинейной оптике. М.: Изд-во Моск. Ун-та. 1989. 154 с.

10. Методы расчета оптических квантовых генераторов. Т. 1 / Под ред. Б.И. Степанова // Минск: Наука и техника. 1966. 484 с.

11. Методы расчета оптических квантовых генераторов. Т. 2 / Под ред. Б.И. Степанова // Минск: Наука и техника. 1968. 656 с.

12. Балошин Ю.А., Крылов К.И., Шарлай С.Ф. Применение ЭВМ при разработке лазеров. Л.: Машиностроение. 1989. 236с.

13. Пархоменко А.И., Шалагин А.М. Аналитическая модель лазера на парах щелочных металлов с поперечной диодной накачой // Квантовая электроника. 2017. Т.47, № 8. С. 683.

14. Пархоменко А. И., Шалагин А. М. Лазер на парах щелочных металлов с поперечной диодной накачкой // Квантовая электроника. 2015. Т.45, № 9. С. 797.

15. Ватник С.М. Расчет коэффициента однопроходного усиления для лазерной керамики с потерями // Квантовая электроника. 2018. Т.48, № 4. С. 363.

16. Векторная модель кольцевого твердотельного лазера, учитывающая пространственную неоднородность накачки и поля излучения / Д.А. Алешин // Квантовая электроника. 2008. Т.38, № 11. С. 1016.

17. Епатко И.В., Пашинин П.П., Серов Р.В. Характеристики многопроходовых усилителей // Квантовая электроника. 1990. Т. 17, № 3. С. 310-313.

18. Grechin S.G., Sharandin E.A., Son J.-Y. Methods and programming facility for investigation and development of solid-state lasers and training professionals // Proceedings of SPIE - The International Society for Optical Engineering «17th Congress of the International Commission for Optics»: Optics for Science and New Technology. 1996. С. 713.

19. Гречин С.Г., Шарандин Е.А. Методы и программные средства для исследования и разработки твердотельных лазеров и подготовки специалистов // 165 лет МГТУ им. Н.Э.Баумана : Тез. докл. науч.-техн. конф. Часть II. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана. 1995. С.77.

20. Шарандин Е.А. Методы и программные средства исследования и разработки мощных импульсных твердотельных лазеров // Инженерно-физические проблемы авиационной и космической техники. Сб. мат. Четвертой Межд. науч-но-техническская конф. «Чкаловские чтения». Егорьевск: ЕАТК ГА. 2002. с.222.

21. Метод теоретического исследования и проектирования лазерных устройств / Е.А. Шарандин [и др.] // Проблемы создания лазерных систем. VI Всероссийская научно-техническая конференция ГосНИИЛЦ РФ «Радуга». 2008.

22. Обронов И.В., Сыпин В.Е., Ларин С.В. Оптимизация параметров тулиевого волоконного лазера при генерации импульсов модуляцией накачки // Квантовая электроника. 2015. Т.45, № 7. С.617.

23. Компактный лазер на фосфатном стекле с неодимом с энергией 100 Дж и мощностью 100 ГВт для накачки параметрического усилителя чирпированных импульсов / А.К Потемкин [и др.] // Квантовая электроника. 2005. Т.35, №4. С.302-310.

24. Проектирование импульсных твердотельных лазерных излучателей / Е.А.Шарандин [и др.] // М.: МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2006, 44с.

25. Мак А.А., Сомс Л.Н., Фромзель В.А., Яшин В.Е. Лазеры на неодимовом стекле. М: Наука. 1990. 288 с.

26. Иванов В.В., Сенатский Ю.В., Склизков Г.В. Влияние безызлучательных переходов в активной среде на кинетику генерации и усиление в неодимовом стекле // Труды физического института имени П.Н.Лебедева. 1987. Т. 178. С. 125.

27. Иванов В.В., Сенатский Ю.В., Склизков Г.В. Численное моделирование динамики сброса инверсии и усиления наносекундных импульсов в неодимовом стекле // Квантовая электроника. 1987. Т. 14, № 2. С.184.

28. Ананьев Ю.А., Мак А.А., Седов Б.М. Усиление света четырехуровневыми квантовыми системами // ЖЭТФ. 1965. Т.48, № 1, С. 7 .

29. 1 J pulse Q-switched 2 цт solid-state laser / Yu Jirong [et al.] // Optics Letters. 2006. V. 31, № 4. P.462-464.

30. High-energy single longitudinal mode 1 ns all-solid-state 266 nm lasers / Liu Qiang [et al.] // Applied Physics B. 2007. V. 89, № 2-3. P. 155-158.

31. High-energy, all-solid-state, ultraviolet laser power-amplifier module design and its output-energy scaling principle / Ono Shingo [et al.] // Applied Optics. 2002. V. 16. P.7556-7560.

32. Ross Ian N., Csatari M., Hutchins S. High-Performance Diode-Pumped Nd:YLF Amplifier // Applied Optics. 2003. V. 42. P.1040-1047.

33. Okishev A.V., Zuegel J.D. Highly Stable, All-Solid-State Nd:YLF Regenerative Amplifier // Applied Optics. 2003. V. 33. P. 6180-6186.

34. Compensation of Birefringence in Active Elements with a Novel Faraday Mirror Operating at High Average Power / E. Khazanov [et al.] // Applied Optics. 2002. V. 15. P. 2947-2954.

35. Quasi-continuous-wave birefringence-compensated single- and double-rod Nd:YAG lasers / Ostermeyer M. [et al.] // Applied Optics. 2002. V. 36. P. 7573-7582.

36. Предельные параметры лазерных излучателей со схемой генератор - многопроходный усилитель с ОВФ-ВРМБ зеркалом / Е.А. Шарандин [и др. ] // 165 лет МГТУ им. Н.Э.Баумана : Тез. докл. науч.-техн. конф. Часть II. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана. 1995. С.77.

37. Regenerative amplification in four-pass laser amplifier on YAG:Nd with PC-SBS mirror / E.A. Sharandin [et al.] // Proceedings of SPIE - The International Society for Optical Engineering «Laser Optics '95»: Phase Conjugation and Adaptive Optics. 1996. P. 34-42.

38. Bagnoud V., Luce J., Videau L., Rouyer C. Diode-pumped regenerative amplifier delivering 100-mJ single-mode laser pulses // Optics Letters. 2001. V. 26. N 6. P. 337-339.

39. Kinetics of laser processes in the multi-cascade optical schemes / E.A. Sharandin [et al.] // Proceedings of SPIE. 1999. V.3682. P. 163-169.

40. Оптически плотные активные среды / Под ред. И.А. Щербакова // М: Наука. 1990. 160 с.

41. Development of a thulium (TM:YAP) laser system for brain tissue ablation / T. Bilici [et al.] // Lasers in Medical Science. 2011. V. 26, iss. 5. P. 699-706.

42. Минаев В.П., Жилин К.М. Современные лазерные аппараты для хирургии и силовой терапии на основе полупроводниковых и волоконных лазеров. Рекомендации по выбору и применению. М.: Издатель И.В. Балабанов. 2009. 48 с.

43. Гольмиевый волоконный лазер с длиной волны излучения 2,21 мкм / О.И. Медведков [и др.] // Квантовая электроника. 2013. № 43. С. 603-604.

44. Mahendra G. Jani, Norman P.Barnes, Keith E. Murray. Flash-lamp-pumped Ho:Tm:Cr:YAG and Ho:Tm:Er:YLF lasers: experimental results of single, long pulse length comparasion // Applied Optics. 1997. V. 36. № 15. P. 3357.

45. Лазер на ионах гольмия в кристалле иттрий-скандий-галлиевого граната с модуляцией добротности / А.Н.Алпатьев [и др.] // Квантовая электроника. 1988. Т.15, № 5. С. 960.

46. Генерация гигантского импульса в моде TEM00 (X = 2,088 мкм) на кристалле ИСГГ: Cr, Tm, Ho с ламповой накачкой / А.Н.Алпатьев [и др.] // Квантовая электроника. 1989. Т.16, № 4. С. 672.

47. Генерация гигантских импульсов двухмикронными лазерами с выходным германиевым зеркалом / А.Н.Алпатьев [и др.] // Квантовая электроника. 1991. Т.18, № 6. С. 695.

48. Гречин С.Г., Шарандин Е.А. Особенности генерации и усиления импульсов в лазерах на кристаллах, активированных ионами Cr-Tm-Ho // Лазеры в науке, технике, медицине : тез. докл. IX международной научно-технической конференции. М.: ИРЭ РАН. 1999. С.17.

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

Мягкая апертура на основе усилителя с профилированной инверсией / М.Е. Бродов [и др.] // Квантовая электроника. 1979. Т. 6. № 2. C. 377-379. High-energy single longitudinal mode 1 ns all-solid-state 266 nm lasers / Qiang Liu [et al.] // Applied Physics B. 2007. V. 89, № 2-3. P.155-158

Кугушев А.М., Голубева Н.С. Основы радиоэлектроники (Нелинейные электромагнитные процессы). М.: Энергия. 1977. 400 с.

Микаэлян А.Л., М.Л. Тер-Микаэлян, Турков Ю.Г. Оптические генераторы на твердом теле. М.: Сов. Радио. 1967. 240 с.

Хакен Г. Лазерная светодинамика : пер. с англ. М.: Мир. 1988. 350 с. Самсон А.Н., Котомцева Л.А., Лойко Н.А. Автоколебания в лазерах. Мн.: На-вука i тэхшка. 1990. 280 с.

Страховский Г.М., Успенский А.В. Основы квантовой электроники. М.: Высшая школа. 1973. 312с.

Ханин Я.И. Динамика квантовых генераторов. М.: Сов. Радио. 1975. Пантел Р., Путхоф Г. Основы квантовой электроники. М.: Мир. 1972. 384 с. Алпатьев А.Н., Смирнов В.А., Щербаков И.А. Модель активной среды на основе кристалла ИСГГ:Сг, Тт, Но // Квантовая электроника. 1993. Т.20, № 11. С. 1105.

Алпатьев А.Н. Лазеры 2-мкм диапазона на ионах гольмия и тулия в скандиевых гранатах : автореферат на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Москва. ИОФРАН. 1993.

Генерация ионов гольмия на переходе 5I7^5I8 при комнатной температуре в кристалле иттрий-скандий-галлиевого граната с ионами хрома, тулия и гольмия / А.Н.Алпатьев [и др.] // Квантовая электроника. 1986. Т.13, N10. С.2127. Эффективный лазер (X = 2,088 мкм) на иттрий-скандий-галлиевом гранате с ионами хрома, тулия и гольмия при комнатной температуре / А.Н.Алпатьев [и др.] // Квантовая электроника. 1987. Т.14, № 5. С. 922.

Ostroumov V.G. [et al.] // PrePrint № 15, Institute for General Physics of the Russian Academy of Sciences. 1993.

Влияние спектрального состава возбуждающего света на генерационные и спектрально-люминесцентные свойства кристаллов ИСГГ: Cr3+, Тт3+, Но3+ и ГСАГ:Сг3+, Тт3+, Но3+ / А.Н.Алпатьев [и др.] // Квантовая электроника. 1991. Т.18, № 2. С. 166.

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

Alpat'ev A.N., Smimov V.A., Scherbakov I.A. // Preprint N 99, Institute for General Physics of the Russian Academy of Sciences. Moscow. 1990. Пилипович В.А., Ковалев А.А. Оптические квантовые генераторы с просветляющимися фильтрами // Минск: Наука и техника. 1975. 216 с. Определение сечений поглощения пассивных затворов Cr4+:GSGG и Cr4+:YAG на длине волны генерации Nd:YAG лазера / Р. Бузялис [и др.] // Литовский физический журнал. 1997. № 4. С. 291.

Обращение волнового фронта излучения в нелинейных средах / Под ред. В.И.Беспалова // Сборник научных трудов. Институт прикладной физики АН СССР. 1982. 248 с.

Импульсные источники света. / Под ред. И. C. Маршака // М.: Энергия. 1978. 472 с.

Ермаков Б.А., Лукин А.В., Мак А.А. // Опт. и спектр. 1965. Т.18. С. 353. Дойников А.С. Спектральные характеристики излучения трубчатых ксеноно-вых ламп импульсных и дуговых ламп // Обзоры по электронной технике, серия «Электровакуумные и газоразрядные приборы». М.: ЦНИИ Электроника. 1973. Вып. 11. С. 192.

Турчак Л.И. Основы численных методов. М.: Наука. 1987. 320 с. ГаланинМ.П., Савенков Е.Б. Методы численного анализа математических моделей. М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2018. 591 с. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука. 1989. 616 с. Обзоры по электронной технике. Сер. «Электровакуумные и газоразрядные приборы» / В.М. Градов [и др.]. М.: ЦНИИ «Электроника». 1978. Вып. 10. С. 68.

Препринт/ФИАН / В.М. Градов [и др.]. М. 1984. №105. С. 54. ЖЭТФ / О.К. Алимов [и др.]. 1978. Т.74. С.57.

Моноимпульсный ИСГГ:Сг, Nd-лазер с КПД 4 % / В.В. Лаптев [и др.] // Квант. электрон. 1991. Т.18. № 5. С.579.

Усиление и генерация импульсного излучения в твердотельных лазерах. Электронное учебное пособие / Е.А.Шарандин [и др.] // studfiles.net : файловый архив студентов. 2015. URL https://studfiles.net/preview/1674508/ (дата обращения 22.12.2018). М. 2000. 145 с.

Компенсация фазовых искажений в «бриллюэновском зеркале» / О.Ю. Носач [и др.] // Письма в ЖЭТФ. 1972. Т.16, Вып.11. С.617-621.

80. Плоткин М.Е., Рогозин Е.Н. Неодимовый лазер для плазменных исследований, использующий эффект ОВФ // ЖТФ. 1981. Т.51, Вып. 2. С.361-366.

81. Использование эффекта обращения волнового фронта при ВРМБ для фокусировки лазерного излучения на мишень / А.А.Илюхин [и др.] // Письма в ЖЭТФ. 1979. Т.29, Вып. 6. С.364-368.

82. Получение мощных коротких импульсов с обращением волнового фронта в стационарном режиме ВРМБ / В.Ф.Ефимков [и др.] // Квантовая электроника. 1979. Т.6, №9. С.2031-2033.

83. Зубарев И.Г., Миронов А.Б., Михайлов С.И. Одномодовая система генератор-усилитель импульсно-периодического действия с обращением волнового фронта // Квантовая электроника. 1980. Т.7. №9. С.2035-2038.

84. Исследование особенностей использования ОВФ при ВРМБ в мощных лазерных системах на АИГ:Ш с малой расходимостью / Н.М.Артемьев [и др.] // В сб. : Обращение волнового фронта лазерного излучения в нелинейных средах. Минск. 1987. С.247-250.

85. Крылов В.Н., Парфенов В.А., Сизов В.Н. Когерентность излучения неодимо-вого лазера с ВРМБ зеркалом в усилителе // Оптика лазеров : Тез.докл. 5 Всес. конф. Ленинград. 1986. С.103.

86. Бузялис Р.Р., Дементьев А.С., Косенко Е.К. Об особенностях вынужденного рассеяния Мандельштама-Бриллюэна сфокусированных пучков в частотном режиме // Оптика и спектроскопия. 1984. Т.56, Вып. 4. С.749-751.

87. Импульсно-периодический лазер с обращение влнового фронта ВРМБ-зеркалом и удвоением частоты / Б.Н.Борисов [и др.] // Квантовая электроника. 1983. Т.10, №10. С.2113-2115.

88. Двухпроходовый малогабаритный лазерный усилитель на кристалле ГСГГ:Сг3+:Ш3+ / Т.Т. Басиев [и др.] // Квантовая электроника. 1986. Т.13, №2. С.412-414.

89. ВРМБ зеркало с плазменным затвором в двухпроходовом лазерном усилителе / С.Ю.Натаров [и др.] // Квантовая электроника. 1987. Т.14, №3. С.477-480.

90. Натаров С.Ю., Шкловский Е.И. Об одной схеме четырехпроходного лазерного усилителя с ВРМБ зеркалом // Квантовая электроника. 1984. Т.11, №6. С.1286-1288.

91. Четырехпроходная лазерная система на YAG:Nd с компенсацией аберрационных и поляризационных искажений волнового фронта / Н.Ф.Андреев [и др.] // Квантовая электроника. 1996. Т.23, №1. С.21-24.

92. Многопроходный лазерный усилитель на неодимовом стекле с ВРМБ зеркалом / Ю.П.Васильев [и др.] // Квантовая электроника. 1984. Т.11, №11. С.2359-2361.

93. The kinetics of laser processes in the multi-cascade optical schemes / E.A.Sharandin [et al.] // Progress in Biomedical Optics and Imaging. 1998. Т. 3682. С. 163.

94. Кошечкина В.В., Гречин С.Г., Шарандин Е.А. Автомодуляционный режим работы твердотельного лазера с непрерывной накачкой и пассивной модуляцией добротности // Вестник МГТУ. Сер. Приборостроение. 2005. С.60-66.

95. Гречин С.Г., Шарандин Е.А. Высокоэффективный малоапертурный лазерный усилитель с боковой диодной накачкой с высоким качеством пространственных характеристик // Проблемы создания лазерных систем : тез. докл. VI Всероссийской научно-технической конференции. ГосНИИЛЦ РФ «Радуга». 2008.

96. High power operation of cladding pumped holmium-doped silica fibre lasers / A. Hemming [et al.] // Optics Express. 2013. V. 21. P. 4560-4567.

97. Импульсно-периодические ^:YLF лазеры, проблемы оптимизации / А.С. На-ривончик [и др.] // Сборник тезисов докладов Всероссийской научно-технической конференции «Инновационные проекты в оптико-электронном приборостроении». ПАО «Красногорский завод им. С.А.Зверева». 2016.

98. Мамаев И.Э. Гольмиевый (Ho-YAG) лазер и БЦЖ-терапия в лечении больных с папилломавирусными образованиями полового члена и уретры : автореферат диссертации кандидата медицинских наук. Москва. 2003.

99. Ho^AG-лазер с двухсторонней накачкой и высокой выходной энергией / Ду-ань С.М. [и др.] // Квантовая электроника. 2015. Т.45, №8. С.701-703.

100. High-efficiency 2.08 |m flashlamp-pumped laser / G.J. Quarles [et al.] // Appl.Phys.Lett. 1989. V.55. P.1062.

101. Импульсно-периодический гольмиевый лазер для медицинских целей / Б. М. Антипенко [и др.] // Квантовая электроника. 1989. Т.16, № 11. С.2349-2351.

102. Flash-lamp-pumped Ho:Tm:Cr:YAG and Ho:Tm:Er:YLF lasers: modeling of single, long pulse length comparasion / Norman P.Barnes [et al.] // Applied Optics, V.36. № 15. 1997. P.3363.

103. ГСГГ-Сг, Кё-лазер с призменным резонатором и поляризационным выводом излучения / В.Н. Григорьев [и др.] // Квантовая электроника. 1986. Т.13, № 11. С. 2349.

104. ИСГГ:Сг, Ш-лазер с КПД 3,6 частотой повторения импульсов 50 Гц / Г.И. Дьяконов [и др.] // Квантовая электроника. 1988. Т.15, № 1. С.67.

105. . Мезенов А.В., Сомс Л.Н., Степанов А.И. Термооптика твердотельных лазеров. Л.: Машиностроение. 1986. 199 с.

106. Антипенко Б.М., Глебов А.С., Киселева Т.И., Письменный В.А. Опт. спек-троск.1987. Вып. 63. С. 230.

107. Гречин С.Г., Николаев П.П., Шарандин Е.А. Функциональные возможности формирования распределений инверсной населенности в квантронах с поперечной диодной накачкой // Квантовая электроника. 2014. Т. 44, № 10. С. 912920.

108. Николаев П.П. Квантроны твердотельных лазеров с изменяемым распределением коэффициента усиления в активном элементе : дис. на соискание ученой степени канд.физ.-мат.наук. Москва. 2016. 149 с.

109. Николаев П.П., Шарандин Е.А. Формирование инверсной населенности в квантронах с боковой диодной накачкой: новые возможности // Проблемы создания лазерных систем : тез. докл. VI Всероссийской научно-технической конференции. ГосНИИЛЦ РФ «Радуга». 2008.

110. Николаев П.П., Шарандин Е.А. Особенности полупроводниковой накачки твердотельных лазеров с большой энергией импульсов излучения // Радиооптические технологии в приборостроении : раб. мат. научно-технической конференции. п. Небуг, Краснодарский край. 2014.

111. Математическое моделирование пространственного распределения пучка лазера с керамическими активными элементами / Е.А.Шарандин [и др.] // Необратимые процессы в природе и технике : сб. научн. трудов Десятой Всероссийской конференции. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана. 2019.

112. ГОСТ 26086-84 Лазеры. Методы измерения диаметра пучка и энергетической расходимости лазерного излучения. 2002. М. 14 с.

113. Цветков В.Б. Твердотельные лазеры на основе оптически плотных кристаллических сред : автореферат дис. докт.физ.-мат.наук. Москва. 2002. 32 с.

114. Захаров Н.Г. Высокоэффективные лазеры двухмикронного диапазона на основе кристаллов Tm:YLF и Ho:YAG с диодно-лазерной накачкой : автореферат дис. канд.физ.-мат.наук. Нижний Новгород. 2010.

115. Система формирования однородного облучения мишеней на установке «Луч» с использованием декогерентизации излучения в многомодовом волноводе / И.А. Белов [и др.] // Сб. докл. Десятой Всероссийской школы для студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов по лазерной физике и лазерным технологиям. Саров. 2017. С.239.

116. Шарандин Е.А., Гладышев В.О. Математическая модель процессов генерации и усиления излучения в многокаскадном лазерном излучателе // Математическое моделирование. 2018. Т. 30, №8. С.51-66.

117. Первые результаты измерения зависимости пространственного увлечения света во вращающейся среде от скорости вращения / Е.А. Шарандин [и др.] // Письма в ЖТФ. 2007. Т. 33, № 21. С.17-24. (0,7 п.л. / 0,1 п.л.).

118. Исследование анизотропии пространства скоростей электромагнитного излучения в движущейся среде / Е.А. Шарандин [и др.] // Журнал технической физики. 2012. Т. 82, Вып. 11. С.54-63. (0,9 п.л. / 0,1 п.л.).

119. Экспериментальные исследования поляризации лазерного излучения во вращающемся оптическом стекле / Е.А. Шарандин [и др.] // Оптика и спектроскопия. 2013. Т. 115, № 3. C. 398-405. (0,7 п.л. / 0,1 п.л.).

120. Измерение оптических характеристик поляризованного лазерного излучения в диэлектрике при его низкочастотном вращении и нагреве / Е.А. Шарандин [и др.] // Оптика и спектроскопия. 2015. Т. 119, № 2. С. 317-322. (0,5 п.л. / 0,1 п.л.).

121. Устройство измерения анизотропии пространства скоростей электромагнитного излучения : Патент на изобретение RU 2498214 / В.О. Гладышев, П.С. Тиунов, А.Д. Леонтьев, Е.А. Шарандин; заявл. 22.03.2012. Бюлл. №31.

122. Теоретическое изучение эффектов оптики движущихся сред : Отчет по теме 1.27.06. /МГТУ им. Н.Э.Баумана. Исполнители Гладышев В.О., Глаголев К.В., Морозов А.Н., Герценштейн М.Е., Гладышева Т.М., Корниенко В.Н., Табалин С.Е., Шарандин Е.А., Лельков М.В., Дашко М.И., Трофимов Н.Е. ГР № 01200702095, Инв. № 02200701496. М., 2006. 148 с.

123. Анализ, выбор и обоснование перспективности применения в ракетно-космической промышленности принципиально новой технологии автономной

ориентации космических аппаратов, основанной на современных достижениях в области фундаментальных космических исследований : Отчет по государственному контракту от 09.07.2014 № 851-2138/14/247 на СЧ НИР «Магистраль» (Основа-Реликт-МГТУ) между Роскосмосом и ФГУП ЦНИИмаш. / МГТУ им. Н.Э.Баумана. Исполнители Гладышев В.О., Кауц В.Л., Челноков М.Б., Фомин И.В., Тиунов П.С., Терешин А.А., Шарандин Е.А., Портнов Д.И., Филатов В.В. ГР № 0173100007014000096, Инв. № 03.07-25/02. Рег. номер ИКРБС АА-АА-Б16- 216111070043-8. Регистрационный номер НИОКТР 114111740003. М., 2015. 276 с.

124. Generation and detection of high-frequency gravitational waves at intensive external excitation / E.A.Sharandin [et al.] // Physical Interpretations of Relativity Theory : Abstracts of International Scientific Conference 2017. Moscow: BMSTU, 2017. P. 63-64.

125. Generation and detection of high frequency gravitational waves at intensive electromagnetic excitation / E.A.Sharandin [et al.] // Journal of Physics Conference Series. 2018. V. 1051:012001 DOI: 10.1088/1742-6596/1051/1/012001.

Отзыв научного руководителя

на диссертационную работу Шарандина Евгения Анатольевича «Математическое моделирование многокаскадного моноимпульсного

твердотельного лазера».

Шарандин Е.А. окончил в 1990 г. кафедру радиоэлектронных устройств Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана, а в 1996 г. - очную аспирантуру МГТУ им. Н.Э.Баумана.

В период подготовки диссертации Шарандин Е.А. работал в МГТУ им. Н.Э. Баумана на кафедре физики в должности ведущего инженера.

В 2018 г. Шарандин Е.А. представил диссертацию на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

Вопросами моделирования твердотельных лазеров Шарандин Е.А. начал заниматься на старших курсах обучения в МВТУ им. Н.Э. Баумана. По теме диссертации соискателем опубликовано более 20 научных работ, в том числе 17 статей в журналах и изданиях из Перечня российских рецензируемых научных журналов и изданий, входящих в реферативную базу данных РИНЦ, и 1 1 научных публикаций в изданиях, входящих в Международные реферативные базы данных и системы цитирования. Представленные в диссертационной работе результаты докладывались на российских и международных конференциях и научных семинарах, были использованы в научно-исследовательских и опытно-конструкторских работах, грантах РФФИ(2015г., 2016г., 2017г., 2018г.), патенте на изобретение. Созданный в МГТУ им. Н.Э. Баумана экспериментальный стенд используется для исследований в области физики лазеров и нелинейной оптики. Разработанный комплекс программ применяется рядом российских и зарубежных компаний, внедрен в учебный процесс МГТУ им. Н.Э.Баумана.

Считаю, что диссертация Шарандина Евгения Анатольевича на тему «Математическое моделирование многокаскадного моноимпульсного твердотельного лазера» соответствует заявленным специальностям 05.13.18 - Математическое

моделирование, численные методы и комплексы программ и 01.04.05 - Оптика и удовлетворяет критериям Положения о присуждении ученой степени кандидата наук, утвержденным постановлением правительства РФ от 24 сентября 2013 года № 842, а Шарандин Евгений Анатольевич заслуживает присуждения степени кандидата физико-математических наук.

Научный руководитель, декан факультета «Фундаментальные науки» МГТУ им. Н.Э. Баумана, профессор кафедры физики МГТУ им. Н.Э. Баумана,

доктор физико-математических наук, Гладышев

доцент Владимир Олегович