Математическое моделирование наноструктур с элементами различных размерностей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Мелихова, Алина Семеновна

• Мелихова, Алина Семеновна
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Мелихова, Алина Семеновна

Введение..........................................................................................4

1 Краткий обзор имеющихся результатов ................................................9

2 Математическая модель цепочек слабо связанных шарообразных резонаторов . 14

2.1 Общая постановка задачи..............................................................14

2.2 Построение математической модели взаимодействующих резонаторов..........14

2.2.1 Случай двух связанных резонаторов..........................................15

2.2.2 Случай бесконечной цепочки связанных резонаторов......................21

2.3 Решение спектральной задачи для цепочки с однократным изломом..............23

2.3.1 Задача с условием ^-соединения резонаторов ..............................24

2.3.2 Задача с условием ^'-соединения резонаторов..............................34

2.4 Изучение изменения спектра при изменении параметров элементарной ячейки 40

2.4.1 Случай ^-взаимодействия между резонаторами ............................41

2.4.2 Случай 6'-взаимодействия между резонаторами............................46

2.5 Дискретный и непрерывный спектр для Y-разветвлённой цепочки................49

2.5.1 Случай наличия дельтаобразного потенциала в точках сочленения резонаторов ..........................................................................50

2.5.2 Случай наличия ^'-потенциала в точках сочленения резонаторов .... 56

3 Математическая модель цепочек слабо связанных шарообразных резонаторов

при воздействии внешнего магнитного поля............................................59

3.1 Общая постановка задачи..............................................................59

3.2 Построение математической модели взаимодействующих резонаторов ..........59

3.3 Изучение влияния магнитного поля на спектр системы с однократным изломом 66

3.4 Изучение влияния магнитного поля на спектр системы с Y-разветвлением ... 72

4 Задача об операторе Дирака для изогнутой и разветвлённой цепочек..............76

4.1 Непрерывный спектр модельного гамильтониана ..................................78

4.2 Дискретный спектр модельного гамильтониана для цепочки с изгибом ..........79

4.3 Дискретный спектр модельного гамильтониана для разветвлённой цепочки . . 81

Заключение......................................................................................84

Список рисунков................................................................................86

Список литературы............................................................................88

A Вывод аналитических выражений для функции Грина..............................96

A.1 Функция Грина для оператора Лапласа в шаре......................................96

A.2 Функция Грина для оператора Лапласа в шаре при наличии внешнего магнитного поля ................................................................................97

А.3 Тензор Грина для оператора Дирака на отрезке......................................98

А.4 Тензор Грина для оператора Дирака на сфере ......................................99

B Квадрат модуля собственной функции для заряженной частицы в шаре при

воздействии постоянного однородного магнитного поля...............100

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование наноструктур с элементами различных размерностей»

Актуальность.В связи с бурным развитием нанотехнологий совершенно естественно возникает потребность создания качественных решаемых моделей, предоставляющих необходимые сведения о некотором объекте, требуемые в процессе создания этого самого объекта в реальном мире. В том числе, это касается спектральных и транспортных свойств объектов исследования. Математическая модель, являясь, в определённом смысле, упрощением реального объекта, тем не менее отражает его качественные характеристики и позволяет «удешевить» процесс создания объекта с требуемыми свойствами.

Открытие Х. Крото, Дж. Хисом, С. О'Брайеном, Р. Кёрлом и Р. Смолли в 1985 году фул-лерена стало настоящим прорывом, затрагивающим различные области науки, в связи с интереснейшими свойствами, которыми обладают эти углеродные соединения и их производные. Наряду с фуллеренами следует отметить нанотрубки, графен, квантовые провода и точки — все те новые объекты, которые появились в связи с новым пониманием природу вещей. Среди таких новых структур можно выделить так называемый наностручок — нантрубку, заполненную молекулами фуллерена, как гороховый стручок — горошинами. Модель, построенная в настоящей работе, может быть применена для описания подобных структур. В то же время, она объединяет идеи моделей точечных отверстий и моделей квантовых графов цепочечного типа, которые активно изучаются последнее время. Интерес к моделям такого типа вызван не только практическими соображениями, ведь рассмотрение подобных задач очень привлекательно с теоретической точки зрения, так как затрагивает фундаментальные вопросы теории операторов.

Объектом исследования являются спектральные свойства наноструктур цепочечного типа с элементами различных размерностей. Предмет исследования — математические модели, описывающие цепочечные наноструктуры различных конфигураций.

Цель диссертационного исследования — описание непрерывного спектра и связанных состояний для цепочечных наноструктур типа гибридных многообразий.

Для достижения этой цели в диссертации:

1. Построено решение спектральной задачи для изогнутой цепочки слабо связанных шарообразных резонаторов при наличии различных типов соединения в точках сочленения резонаторов;

2. Построено решение спектральной задачи для зигзагообразной цепочки слабо связанных шарообразных резонаторов, допускающей излом, и проанализирована зависимость структуры спектра от угла, задающего зигзаг;

3. Построено решение спектральной задачи для разветвлённой цепочки слабо связанных шарообразных резонаторов при наличии различных типов соединения в точках сочленения резонаторов;

4. Описана модель цепочки слабо связанных резонаторов, подверженных влиянию внешнего магнитного поля, направленного вдоль перпендикуляра к плоскости, содержащей центры формирующих цепочки резонаторов;

5. Описана математическая модель для цепочек сфер, соединённых проводами, и изучена структура спектра в зависимости от геометрических параметров системы (на примере возмущений прямой цепочки типа изгиба и разветвления) в релятивистском случае.

Теоретическая и практическая значимость работы. Полученные в работе результаты затрагивают фундаментальные вопросы теории самосопряжённых операторов, активно обсуждаемые в связи с решаемыми моделями квантовой механики. Работа имеет также и практическую значимость, так как в ней рассматриваются системы, подобные тем, что встречаются в относительно недавних экспериментальных работах (например, нансотручок).

Методы исследования. Для достижения поставленной цели в настоящем диссертационном исследовании применялись методы теории операторов, уравнений в частных производных, обыкновенных дифференциальных уравнений, методы решения алгебраических систем. При численном моделировании были использованы методы решения алгебраических уравнений, доступных в пакете Wolfram Mathematica, а также метод конечных элементов, адаптированный для отыскания необходимых значений функций Грина, реализованный в COMSOL Multiphysics.

Научная новизна. В работе была построена математическая модель для бесконечных цепочек слабо связанных шарообразных резонаторов и для бесконечного числа сфер, связанных проводами одинаковой длины. В рамках данной модели были получены новые теоретические результаты:

• Полностью описана структура спектра для цепочек, возмущённых по типу излома и разветвления, доказано существование точечного спектра модельного гамильтониана при наличии указанного возмущения;

• Проанализирована зависимость картины непрерывного спектра от параметров элементарной ячейки цепочки слабо связанных шарообразных резонаторов на примере зигзагообразной цепочки;

• Проанализировано влияние наведения магнитного поля, направленного перпендикулярно плоскости, на которую может быть уложена цепочка резонаторов;

• Описана структура спектра для изогнутой и разветвлённой цепочек связанных проводами сфер.

Степень достоверности полученных результатов обеспечивается использованием строгих математических методов, подробным изложением всех математических выкладок. Результаты работы находятся в соответствии с результатами в исследовании спектральных свойств цепочечных структур, полученными другими авторами.

Апробация работы. Основные результаты диссертационного исследования были доложены на 17 научных конференциях, из них 10 международных и 7 всероссийских:

1. A. S. Anikevich. On the spectrum of Y-type chain of weakly coupled conglobated resonators // Mathematical Challenge of Quantum Transport in Nanosystems. ITMO University, Saint Petersburg, Russia. 12.03.2013-15.03.2013.

2. A. S. Anikevich. Negative eigenvalues of Laplacian for the Y-bent chain of weakly coupled conglobated resonators // Days on Diffraction 2013. Mathematical Institute, Saint Petersburg and Physics Faculty, Petrodvorets, Russia. 27.05.2013-31.05.2013.

3. A. S. Melikhova. Estimates for numbers of negative eigenvalues of Laplacian for Y-type chain of weakly coupled ball resonators // QMATH 12 — Mathematical Results in Quantum Mechanics. Humboldt University, Berlin, Germany. 10.09.2013-13.09.2013.

4. A. S. Melikhova, I. Y. Popov. Bent and branched chains of resonators // 1st International School and Conference "Saint Petersburg OPEN 2014". St. Petersburg National Research Academic University of the Russian Academy of Sciences, Saint Petersburg, Russia. 25.03.2014-27.03.2014.

5. A. S. Melikhova. Spectral bands for chain of ball resonators with Dirichlet condition // Days on Diffraction 2014. Mathematical Institute, Saint Petersburg and V. A. Fock Institute in Physics, Petrodvorets, Russia. 26.05.2014-30.05.2014.

6. I. V. Blinova, A. S. Melikhova, I. Y. Popov. Periodic chain of resonators: gap control and the system geometry // IX International Conference of Young Scientists and Specialists "Optics-2015". ITMO University, Saint Petersburg, Russia. 12.10.2015-16.10.2015.

7. A. S. Melikhova. Zigzag chain model and its spectrum // Mathematical Challenge of Quantum Transport in Nanosystems, "Pierre Duclos Workshop". ITMO University, Saint Petersburg, Russia. 14.11.2016-15.11.2016.

8. A. S. Melikhova. Spectral problem for Dirac operator for a bent chain of nanospheres // Days on Diffraction 2017. Mathematical Institute, Saint Petersburg and V. A. Fock Institute in Physics, Petrodvorets, Russia. 19.06.2017-23.06.2017.

9. A. S. Melikhova. On the spectrum for hybrid manifolds of chain structures // Insubria Summer School in Mathematical Physics "Spectral and scattering theory: from selfadjoint operators to boundary value problems". Department of Science and High Technology of the University of Insubria, Como, Italy. 18.09.2017-22.09.2017.

10. A. S. Melikhova, I.Y.Popov. Spectral problem for Dirac operator for Y-type splitted chain of nanospheres // Days on Diffraction 2018. Mathematical Institute and ITMO University, Saint Petersburg and Physics Faculty, Petrodvorets, Russia. 04.06.2018-08.06.2018.

11. А. С. Аникевич. Спектральная задача для цепочек слабо связанных резонаторов // I Всероссийский конгресс молодых учёных. НИУ ИТМО, Санкт-Петербург, Россия. 08.04.2012-11.04.2012.

12. А. C. Аникевич. Отрицательные собственные значения оператора Лапласа для цепочки слабо связанных шарообразных резонаторов с Y-разветвлением // II Всероссийский конгресс молодых учёных. НИУ ИТМО, Санкт-Петербург, Россия. 09.04.2013-12.04.2013.

13. А. C. Мелихова. Построение математической модели и ее спектральный анализ для изогнутой и разветвлённой цепочек нанорезонаторов // III Всероссийский конгресс молодых учёных. Университет ИТМО, Санкт-Петербург, Россия. 08.04.2014-11.04.2014.

14. А. С. Мелихова. Математическая модель цепочки нанорезонаторов с однократным изломом: случай 5- и ^'-соединения // IV Всероссийский конгресс молодых учёных. Университет ИТМО, Санкт-Петербург, Россия. 07.04.2015-10.04.2015.

15. А. С. Мелихова. Применение теории самосопряжённых расширений симметрических операторов для численного моделирования с помощью метода конечных элементов // V Всероссийский конгресс молодых учёных. Университет ИТМО, Санкт-Петербург, Россия. 12.04.2016-15.04.2016.

16. А. С. Мелихова. Спектр нерелятивистской частицы, помещённой в цепочку слабосвязанных резонаторов, при воздействии внешнего магнитного поля // VI Всероссийский конгресс молодых учёных. Университет ИТМО, Санкт-Петербург, Россия. 18.04.201721.04.2017.

17. А. С. Мелихова. Спектральная задача для изогнутой цепочки резонаторов при воздействии внешнего магнитного поля // VII Всероссийский конгресс молодых учёных. Университет ИТМО, Санкт-Петербург, Россия. 17.04.2018-20.04.2018.

Публикации. По теме диссертационной работы автором опубликовано 10 статей, из них 4 работы изданы в журналах, рекомендованных Перечнем ВАК, 4 — в журналах, входящих в списки Web of Science/Scopus.

Статьи, входящие в Перечень ВАК:

1. Аникевич А. С. Спектральная задача для цепочек слабо связанных шарообразных резонаторов [Текст] / А. С. Аникевич // Наносистемы: Физика, Химия, Математика. — 2012. — Т. 3. — № 3. — C. 23-30. — ISSN 2220-8054 (0,47 п.л. / 0,47 п.л.).

2. Anikevich A. S. Negative eigenvalues of the Y-type chain of weakly coupled ball resonators [Text] / A. S. Anikevich // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. — 2013. — Vol. 4 — No. 4. — P. 545-549. — ISSN 2220-8054 (0,31 п.л. / 0,31 п.л.).

3. Melikhova A. S. Zigzag chain model and its spectrum [Text] / A. S. Melikhova // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. — 2017. — Vol. 8 — No 2. — P. 188-193. — DOI 10.17586/2220-8054-2017-8-2-188-193 (0,37 п.л. / 0,37 п.л.).

4. Мелихова А. С. Математическая модель цепочек резонаторов в присутствии внешнего магнитного поля [Текст] / А. С. Мелихова // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. — 2018. — Т. 18. — № —3. — С. 535-542. — ISSN 2226-1494. — DOI 10.17586/2226-1494-2018-18-3-535-54 (0,47 п.л. / 0,47 п.л.).

Статьи из списков Web of Science/Scopus:

1. Melikhova A. S. Bent and branched chains of nanoresonators [Text] / A. S. Melikhova, I. Y. Popov // Journal of Physics: Conference Series. — 2014. — Vol. 541. — P. 012061. — DOI 10.1088/1742-6596/541/1/012061 (0,27 п.л. / 0,17 п.л.).

2. Melikhova A. S. Periodic chain of resonators: gap control and geometry of the system [Text] / I. V. Blinova, A. S. Melikhova, I. Y. Popov // Journal of Physics: Conference Series. — 2016. — Vol. 735 — P. 012062. — DOI 10.1088/1742-6596/735/1/012062 (0,22 п.л. / 0,04 п.л.).

3. Melikhova A. S. Spectral problem for solvable model of bent nano peapod [Text] / A. S. Melikhova, I. Y. Popov // Applicable Analysis. — 2017. — Vol. 96 — No 2. — P. 215224. — DOI 10.1080/00036811.2015.1120289 (0,62 п.л. / 0,31 п.л.).

4. Melikhova A. S. On the spectrum of the Dirac operator for bent periodic chain of spheres connected through 1D wires [Text] / A. S. Melikhova, I. Y. Popov // Proceedings of the International Conference Days on Diffraction 2017. — 2017. — P. 233-236. — DOI 10.1109/DD.2017.8168030 (0,24 п.л. / 0,1 п.л.).

Прочие публикации:

1. Мелихова А. С. О спектре цепочек слабо связанных шарообразных резонаторов [Текст] / А. С. Мелихова // Труды студенческого центра прикладных математических исследований / под ред. И.Ю. Попова. — Санкт-Петербург: НИУ ИТМО, 2013. — Т. 3. — С. 70-79(0,59 п.л. / 0,59 п.л.).

2. Melikhova A. S. Estimates for numbers of negative eigenvalues of Laplacian for Y-type weakly coupled chain of ball resonators [Text] / A. S. Melikhova // Mathematical Results in Quantum Mechanics. Proceedings of the QMath12 Conference. — 2014. — P. 325-330 (0,33 п.л. / 0,33 п.л.).

Положения, выносимые на защиту:

1. Оператор Шрёдингера для изломанной цепочки связанных резонаторов имеет непустой дискретный спектр, зависящий от угла излома и характеристик соединения нанорезона-торов, который рассчитывается в рамках построенной модели, основанной на подходе фон Неймана в теории самосопряжённых расширений операторов;

2. Непрерывный спектр оператора Шрёдингера определяется параметрами элементарной ячейки периодической цепочки, в частности геометрическими характеристиками зигзагообразной цепочки;

3. Оператор Шрёдингера для У-разветвлённой цепочки связанных нанорезонаторов имеет непустой дискретный спектр, определяемый углами разветвления и характеристиками связи резонаторов;

4. Для оператора Шрёдингера с магнитным полем в изломанной и разветвлённой цепочках резонаторов непрерывный спектр смещается и искажается в зависимости от магнитного поля. Положение уровня дискретного спектра в лакунах непрерывного определяется величиной магнитного поля и параметрами соединения нанорезонаторов и рассчитываются в рамках построенной математической модели;

5. Дискретный спектр для оператора Дирака в изломанной и разветвлённой цепочках резонаторов зависит от геометрических характеристик системы и определяется дисперсионным уравнением, полученным в рамках построенной модели, основанной на подходе М. Г. Крейна в теории самосопряжённых расширений операторов.

Объем и структура работы. Диссертация изложена на 101 странице, состоит из введения, четырёх глав, заключения и двух приложений; содержит 36 рисунков. Список литературы содержит 123 наименованиия.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Мелихова, Алина Семеновна

В работе были построены модели наноструктур типа гибридных многообразий, позволяющие исследовать спектр подобных систем в зависимости от задающих их параметров. Был подробно изучен вопрос влияния геометрии системы на её спектральные свойства. А именно, было изучено два основных типа возмущения периодической системы: изгиб и разветвление, — чаще всего встречающиеся в реальных системах. Наряду с геометрическими параметрами, в работе исследовалось влияние «физических» параметров или воздействий. А именно, было рассмотрено два типа частицы: нерелятивистская (описываемая уравнением Шрёдингера) и релятивистская (описываемая уравнением Дирака). Для нерелятивистской частицы были также рассмотрены разные типы соединения и изучен вопрос влияния магнитного поля на структуру спектра. На основе анализа, построенных в работе моделей были получены следующие результаты:

• Полностью описана структура спектра для изогнутой и разветвлённой цепочек резонаторов, не подверженных воздействию внешних полей, при двух разных типах соединения. Показана зонная структура непрерывного спектра, доказано существование связанных состояний при наличии возмущения периодической цепочки.

• На примере зигзагообразной цепочки шарообразных резонаторов было исследовано влияние параметров элементарной ячейки цепи на её спектральные характеристики. В частности, было показано, что изменение угла зигзага может привести к исчезновению или, например, раздвоению зоны непрерывного спектра.

• Для так называемого дельтаобразного типа соединения шарообразных резонаторов было изучено влияние внешнего магнитного поля, ориентированного вдоль оси, перпендикулярной плоскости, содержащей все точки сочленения резонаторов. Показан эффект сгущения зон непрерывного спектра.

• Для изучения спектра релятивистской частицы была построена модель бесконечной цепочки связанных проводами сфер. В случае оператора Дирака (как и ранее для оператора Шрёдингера) было рассмотрено два типа возмущения такой цепочки. Описана структура спектра для таких систем.

Построенные в работе модели объединяют идеи моделей точечных отверстий и моделей квантовых графов типа цепочек колец (или полос шестиугольников). Являясь моделями сложных трёхмерных объектов, они, тем не менее, обладают существенным преимуществом. А именно, благодаря тому, что взаимодействие элементов цепочек осуществляется посредством точек, становится возможным применение методов, приспособленных для решения одномерных задач.

Описанные в работе модели наноструктур типа гибридных многообразий, затрагивая фундаментальные вопросы теории операторов, вносят существенный вклад в изучение так называемого класса явно решаемых моделей квантовой механики. В то же время они могут найти своё применение при решении практической задачи проектирования и анализа структур типа

наностручка. Модели, построенные в работе, имеют несколько варьируемых параметров, которые могут служить инструментом воздействия на структуру спектра. Таким образом, имея такую математическую модель, исследователь может проанализировать, какая комбинация параметров, описывающих внутреннее взаимодействие, геометрию системы и внешнее воздействие, может обеспечить те или иные спектральные свойства реального объекта.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Мелихова, Алина Семеновна, 2018 год

1. Альбеверио, С. Решаемые модели в квантовой механике [Текст] / С. Альбеверио, Ф. Гесте-зи, Р. Хеэг Крон, Х. Хольден. — Москва : Мир, 1991. — 568 с.

2. Аникевич, А. С. Спектральная задача для цепочек слабо связанных шарообразных резонаторов [Текст] / А. С. Мелихова // Наносистемы: Физика, Химия, Математика. — Санкт-Петербург: НИУ ИТМО, 2012. — Т. 3. — N 3. — С. 23-30.

3. Ахиезер, Н. И. Теория линейных операторов в Гильбертовом пространстве [Текст] / Н. И. Ахиезер, И. М. Глазман. — Москва : Наука, 1966. — 544 с.

4. Ашкрофт, Н. У. Физика твердого тела. Т. 1 [Текст] / Н. У. Ашкрофт, Н. Д. Мермин — Москва : Мир, 1979.

5. Багмутов, А. С. Вольт-амперные характеристики для двух систем квантовых волноводов с присоединёнными квантовыми резонаторами [Текст] / А. С. Багмутов, И. Ю. Попов // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. — 2016. — Т. 16. — N4. — С. 725-730.

6. Березин, Ф. А. Замечание об уравнении Шрёдингера с сингулярным потенциалом [Текст] / Ф. А. Березин, Л. Д. Фаддеев // ДАН СССР. — 1961. — Т. 137. — N 5. — С. 1011-1014.

7. Бирман, М. Ш. Спектральная теория самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве [Текст] / М. Ш. Бирман, М. З. Соломяк. — Санкт-Петербург : Лань, 2010. — 464 с.

8. Брюнинг, Й. Спектральные свойства операторов Шредингера на декорированных графах [Текст] / Й. Брюнинг, В. А. Гейлер, И. С. Лобанов // Математические заметки. — 2005. — Т. 77. — N 6. — С. 932-934.

9. Гейлер, В. А. Некоторые разделы спецкурса «Спектральная теория операторов в гильбертовых пространствах» : учеб. пособие. Ч. 1 [Текст] / В. А. Гейлер, Е. Н. Гришанов, И. И. Чу-чаев. — Саранск : Изд-во Мордов. ун-та, 2005. — 80 с.

10. Демков, Ю. Н. Метод потенциалов нулевого радиуса в атомной физике [Текст] / Ю. Н. Демков, В.Н. Островский — Ленинград : Изд-во Ленингр. ун-та, 1975.

11. Елецкий, А. В. Фуллерены и структуры углерода [Текст] / А. В. Елецкий, Б. М. Смирнов // Успехи физических наук. — 1995. — Т. 165, N 9. — С. 977-1009.

12. Зорич, В. А. Математический анализ. Часть II [Текст] / В. А. Зорич. — 6-е изд., дополн. — Москва : МЦНМО, 2012. — XIV + 818 с.

13. Крейн, М. Г. Теория самосопряжённых расширений полуограниченных эрмитовых операторов и ее приложения. I [Текст] / М. Г. Крейн // Мат. сборник. — 1947. — Т. 20. — N 62. — С. 431-495.

14. Крейн, М. Г., Лангер Г. К. О дефектных подпространствах и обобщённых резольвентах эрмитова оператора в пространстве Пк [Текст] / М. Г. Крейн, Г. К. Лангер // Функ. анализ и прил. — 1971. — Т. 5. — N 3. — С. 54-69.

15. Костенко, А. С. Бесконечные квантовые графы / А. С. Костенко, М. М. Маламуд, X. Ней-дхардт, П. Экснер // Доклады Академии Наук. — 2017. — Т. 472. — N 3. — £. 253-258.

16. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика. Т. 2. Теория поля [Текст] / Л. Д. Ландау, Е. М. Лиф-шиц. — Москва : Наука, 1988. — 509 £.

17. Ли, Ц. Математические методы в физике [Текст] / Цзун-дао Ли. — Москва : Мир, 1965. — 296 с.

18. Лобанов, И. С. Создание лакун в спектрах периодических дифференциальных операторов на метрических графах с помощью декорации [Текст] / И. С. Лобанов // Труды Средне-волжского математического общества. — 2005. — Т. 7, N 1. — С. 231-239.

19. Лобанов, И. С. Оценка снизу спектра двумерного оператора Шрёдингера с ^-потенциалом на кривой [Текст] / И. С. Лобанов, В.Ю. Лоторейчик, И.Ю. Попов // Теоретическая и математическая физика. — 2010. — Т. 162. — N0 3. — С. 397-407.

20. Маслов, В. А. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики [Текст] / В. А Маслов, М. В. Федорюк. — Москва : Наука, 1976. — 296 с.

21. Мелихова, А. С. О спектре цепочек слабо связанных шарообразных резонаторов [Текст] / Мелихова А. С. // Труды студенческого центра прикладных математических исследований / под ред. И.Ю. Попова. — 2013. — Т. 3. — С. 70-79.

22. Мелихова, А. С. Математическая модель цепочек резонаторов в присутствии внешнего магнитного поля [Текст] / Мелихова А. С. // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. — 2018. — Т. 18. — № 3. — С. 535-542.

23. Павлов, Б. С. Теория расширений и явнорешаемые модели [Текст] / Б. С. Павлов // УМН. — 1987. — Т. 42. —N 6(258). — С. 99-131.

24. Павлов, Б. С. Электрон в однородном кристалле из точечных атомов с внутренней структурой. I [Текст] / Б. С. Павлов // Теоретическая и математическая физика. — 1987. — Т. 72. — N3. —С. 403-415.

25. Павлов, Б. С. Модель дифракции на бесконечно узкой щели и теория расширений [Текст] / Б.С. Павлов, И.Ю. Попов // Вестник ЛГУ. — 1983. — N 19. — С. 36-44.

26. Панов, Ю. Д., Егоров Р. Ф. Математическая физика. Методы решения задач : учеб. пособие [Текст] / Ю. Д. Панов, Р. Ф. Егоров. — Екатеринбург : УГУ, 2005. — 150 £.

27. Попов, И. Ю. Применение теории расширений к исследованию дифракции на цилиндрических и сферических щелевых резонаторах [Текст] / И. Ю. Попов // Вестник ЛГУ. — 1984. — N 16. — С. 79-83.

28. Попов, И.Ю. Щель нулевой ширины и условие Дирихле [Текст] / И.Ю. Попов // ДАН СССР. — 1987. — Т. 294. — N 2. — С. 330-334.

29. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики [Текст] / А.Н. Тихонов, А. А. Самарский. — Москва : Наука, 1977. — 735 с.

30. Ферми, Э. Научные труды. Т. I [Текст] / Э. Ферми — Москва : Наука, 1971.

31. Фок, В. А. Начала квантовой механики [Текст] / В. А. Фок — Москва : Наука, 1976.

32. Харрис, П. Углеродные нанотрубы и родственные структуры. Новые материалы XXI века [Текст] / П. Харрис — Москва : Техносфера, 2003. — 336 с.

33. Шубин, М. А. Лекции об уравнениях математической физики [Текст] / М. А. Шубин — 2-е изд., испр. — Москва : МЦНМО, 2003. — 303 с.

34. Эйнштейн, А. Собрание научных трудов. Т. 4 [Текст] / А. Эйнштейн — Москва : Наука, 1967.

35. Abou-Hamad, E. Hydrogenation of C60 in Peapods: Physical Chemistry in Nano Vessels [Text] / E. Abou-Hamad, Yo. Kim, A. V. Talyzin, Ch. Goze-Bac, D. E. Luzzi, A. Rubio, T. Wagberg // J. Phys. Chem. C. — 2009. — Vol. 113. — P. 8583-8587.

36. Abrikosov, A. A.,jr. Fermion states on the sphere S2 [Text] / A. A. Abrikosov, jr. // International Journal of Modern Physics A. — 2002. — Vol. 17. — No 6-7. — P. 885-889.

37. Albeverio, S. The relation between quantum mechanics and classical mechanics: a survey of some mathematical aspects. In: Chaotic Behavior in Quantum Systems. Theory and Applications. Edited by G. Casati [Text] / S. Albeverio, T. Arede — New York-London: Plenum Press, 1985. — P. 37-76.

38. Albeverio, S. Coupling in the singular limit of thin quantum waveguides [Text] / S. Albeverio, C. Cacciapuoti, D. Finco // J. Math. Phys. — 2007. — Vol. 48. — P. 032103.

39. Albeverio, S. The number of eigenvalues of three-particle Schrodinger operators on lattices [Text] / S. Albeverio, G. Dell'Antonio, S. N. Lakaev // J. Phys. A. — 2007. — Vol. 40. — P. 1481914842.

40. Albeverio, S. The band structure of the general periodic Schrodinger operator with point interactions [Text] / S. Albeverio, V. A. Geyler // Commun. Math. Phys. — 2000. — Vol. 210. — No 1. — P. 29-48.

41. Albeverio, S. Singular perturbations of differential operators [Text] / S. Albeverio, P. Kurasov // Cambridge : Cambridge University Press. — 2000.

42. Anikevich, A. Negative eigenvalues of the Y-type chain of weakly coupled ball resonators [Text] / A. Anikevich // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. — 2013. — P. 545-549.

43. Bakharev, F. L. Geometrically induced spectral effects in tubes with a mixed Dirichlet-Neumann boundary [Text] / F. L. Bakharev, P. Exner // Reports on Mathematical Physics. — 2017. — Vol. 81. — No 2. — P. 213-231.

44. Barseghyan, D. A magnetic versionof the Smilansky-Solomyak model [Text] / D. Barseghyan, P. Exner // J. Phys. A: Mayh.Theor. — 2017. — Vol. 50. — P. 485203 (24 p.).

45. Behrndt, J. Spectral theory for Schrodinger operators with £-interactions supported on curves in R3 [Text] / J. Behrndt, R.L. Frank, C. Kiihn., V. Lotoreichik, J. Rohleder // Ann. Henri Poincare. — 2017. — Vol. 18. — P. 1305-1347.

46. Behrndt, J. On the spectral properties of Dirac operators with electrostatic i-shell interactions [Text] / J. Behrndt, P. Exner, M. Holzmann, V. Lotoreichik // Journal de Mathematiques Pures et Appliquees. — 2018. — Vol. 11. — P. 47-78.

47. Behrndt, J. Schrödinger operators with 8 and -potentials supported on hypersurfaces [Text] / J. Behrndt, M. Langer, V. Lotoreichik // Ann. Henri Poincare Online First. — 2012.

48. Behrndt, J. Scattering matrices and Dirichlet-toNeumann maps [Text] / J. Behrndt, M. M. Malamud, H. Neidhardt // Journal of Functional Analysis. — 2017. — Vol. 273. — P. 19702025.

49. Belov, M. On the discrete spectrum of the Dirac operator on a bent chain quantum graph [Text] / M. Belov, I. Popov, I. Blinova // ITM Web Conference. — 2017. — Vol. 9. — P. 01007 (5 pp.).

50. Benvegnu, S. Relativistic point interaction [Text] / S. Benvegnu, L. Dabrowski // Letters in Mathematical Physics. — 1994. — Vol. 30. — P. 159-167.

51. Bercioux, D. Rashba-Effect-Induced localization in quantum networks [Text] / D. Bercioux, M. Governale, V. Cataudella, M. Ramaglia // Physical Review Letters. — 2004. — Vol. 93. — No 5. —P. 056802(4).

52. Berkolaiko, G. Introduction to quantum graphs [Text] / G. Berkolaiko, P. Kuchment // Amer. Math. Soc. — 2013.

53. Bitbol, M. Schrodinger's philosophy of quantum mechanics [Text] / M. Bitbol // Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. — 1996.

54. Blinova, I. V. Periodic chain of resonators: gap control and geometry of the system [Text] / I.V. Blinova, A. S. Melikhova, I. Y. Popov // Journal of Physics: Conference Series. — 2016. — Vol. 735. — P. 012062.

55. Boitsev, A. A. Weyl functions for sum of operators tensor products [Text] / A. A. Boitsev,

H. Neidhardt, I. Y. Popov // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. — 2013. — Vol. 4. — No 6. — P. 747-759.

56. Boitsev, A. A. Dirac operator coupled to bosons [Text] / A. A. Boitsev, H. Neidhardt,

I.Y. Popov // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. — 2016. — Vol. 7. — No 2. — P. 332-339.

57. Bulla, W. The free Dirac operator on compact and non compact graphs [Text] / W. Bulla, T. Trenkler // Journal of Mathematical Physics. — 1990. — Vol. 31. — P. 1157.

58. Carlone, R. On the spectral theory of Gesztesy-Seba realizations of 1-D Dirac operators with point interactions on a discrete set [Text] / R. Carlone, M. Malamud, A. Posilicano // Journal of Differential Equations. — 2013. — Vol. 254. — No 9. — P.3835-3902.

59. Correggi, M. Stability for a system of N fermions plus a different particle with zero-range interactions [Text] / M. Correggi., G. Dell'Antonio, D. Finco, A. Michelangeli, A. Teta // Rev. Math. Phys. — 2012. — Vol. 24. — P. 1250017.

60. Davies, E.B. Non-Weyl asymptotics for quantum graphs with general coupling conditions [Text] / E.B. Davies, P. Exner, J. Lipovskiy // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. — 2010. — Vol. 43. — No 47. — P. 474013.

61. Dell'Antonio, G. Some remarks on quantum mechanics [Text] / G. Dell'Antonio // International Journal of Geometric Methods in Modern Physics. — 2012. — Vol. 9. — No 2. — P. 1260018.

62. Dittrich, J. Dirac operators with a spherically symmetric i-shell interaction [Text] / J. Dittrich, P. Exner, P. Seba // J. Math. Phys. — 1989. — Vol. 30. — No 12. — P. 2875-2882.

63. Dresselhaus, M. S. Carbon nanotubes: synthesis, structure, properties, and applications [Text] / M. S. Dresselhaus, G. Dresselhaus, P. Avouris // Springer. — 2001.

64. Duclos, P. On the spectrum of a bent chain graph [Text] / P. Duclos, P. Exner, O. Turek // J. Phys. A: Math. Theor. — 2008. — Vol. 41. — P. 415206.

65. Enyashin, A. N. Nanotubular composites: modeling of capillary filling of nanotubes of disulfide of molybdenum by molecules of TiCl4 [Text] / A. N. Enyashin, A. L. Ivanovskii // Nanosystems: Phys. Chem. Math. — 2010. — Vol. 1 — No 1. — P. 63-71.

66. Evans, W.D. Smilansky's model of irreversible quantum graphs: I. The absolutely continuous spectrum [Text] / W. D. Evans, M. Solomyak // Journal of Physics. A, Mathematical and General. — Vol. 38. — No 21. — P. 4611-4627.

67. Evans, W. D. Smilansky's model of irreversible quantum graphs: I. The point spectrum [Text] / W.D. Evans, M. Solomyak // Journal of Physics. A, Mathematical and General. — 2005. — Vol. 38. — No 35. — P. 7661-7675.

68. Eremin, D. A. An explicitly solvable model for tunneling through a quantum dots array in a magnetic field [Text] / D. A. Eremin, E. N. Grishanov, D. A. Ivanov, A. A. Lazutkina, E. S. Minkin, I. Y. Popov // Chinese Journal of Physics. — 2014. — Vol. 52. — No 3. — P. 11191128.

69. Eremin, D. A. Model of tunneling through nanosphere in a magnetic field [Text] / D. A. Eremin, D. Ivanov, I. Y. Popov // Physica E: Low-dimensional Systems and Nanostructures. — 2012. — Vol. 44. — P. 1598-1601.

70. Eremin, D. A. Electron energy spectrum for a bent chain of nanospheres [Text] / D. A. Eremin, D. A. Ivanov, I. Y. Popov // European PhysicalJournal B. — 2014. — Vol. 87. — P. 181.

71. Exner, P.Cantor spectra of magnetic chain graphs [Text] / P. Exner, D. Vasata // J. Phys. A: Math. Theor. — 2017. — Vol. 50. — P. 165201. — 13 pp.

72. Exner P. Spectral Theory of Infinite Quantum Graphs [Text] / P. Exner, A. Kostenko, M. Malamud, H. Neidhardt // http://arxiv.org/ [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://arxiv.org/pdf/1705.01831.pdf, свободный. - Яз. англ. (дата обращения 20.05.2018).

73. Exner, P. Non-Weyl resonance asymptotics for quantum graphs in a magnetic field [Text] / P. Exner, J. Lipovskiy // Phys. Lett. A. — 2011. — Vol. 375. — P. 805-807.

74. Exner, P. Bound states in point-interaction star graphs [Text] / P. Exner, K. Nemcova // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 2001. — Vol. 34. — No 38. — P. 7783.

75. Exner, P. Convergence of spectra of graph-like thin manifolds [Text] / P. Exner, O. Post // Journal of Geometry and Physics. — 2005. — Vol. 54. — No 1. — P. 77-115.

76. Exner, P. Bound states in curved quantum waveguides [Text] / P. Exner, P. Seba // J. Math. Phys. — 1989. — Vol. 30. — No 11. — P. 2574-2580.

77. Exner, P. Quantum graphs with vertice of a preferred orientation [Text] / P. Exner, M. Tater // Phys. Lett. A. — 2018. — Vol. 382. — No 5. — P. 283-287.

78. Fermi, E. Sul moto dei neutroni nelle sostanze idrogenate [Text] / E. Fermi // La Ricerca Scientifica. — 1936. — Vol. 7. — No 2. — P. 13-52.

79. Froman, N. JWKB approximation [Text] / N. Froman, P. O. Froman // Amsterdam: North-Holland Publishing Company. — 1965.

80. Fulling, S. A. Index theorems for quantum graphs [Text] / S. A. Fulling, P. Kuchment, J. H. Wilson // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. — 2007. — Vol. 40. — No 47. — P. 14165-14180.

81. Geyler, V. A. Fractal spectrum of periodic quantum systems in a magnetic field [Text] / V. A. Geyler, I. Y. Popov, A. V. Popov, A. A. Ovechkina // Chaos, Solitons Fract. — 2000. — Vol. 11. — No 1-3. — P. 281-288.

82. Goldbereger, M. L. Theory of the refractions and the diffraction of neutrons by crystals [Text] / M. L. Goldbereger, F. Seltz // Physical Review. — 1947. — Vol. 71. — No 5. — P. 294-310.

83. Grishanov, E.N. Dirac operator on he sphere with attached wires [Text] / E.N. Grishanov,

D. A. Eremin, D. A. Ivanov, I. Y. Popov // Chin. Phys. B. — 2016. — Vol. 25. — No 4. — P. 047303 (4 pp.).

84. Grishanov, E. N. Periodic chain of disks in a magnetic field: bulk states and edge states [Text] /

E.N. Grishanov, D. A. Eremin, D. A. Ivanov, I. Y. Popov, P.I. Smirnov // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. — 2015. — Vol. 6. — No 5. — P. 637-643.

85. Grishanov, E.N. Spectral properties of multi-layered graphene in a magnetic field [Text] / E.N. Grishanov, I. Y. Popov // Superlattices and Microstructures. — 2015. — Vol.86. — P. 68-72.

86. Harrison, J. M. Quantum graphs with spin Hamiltonians [Text] / J. M. Harrison // Analysis on Graphs and its Applications, Proc. Symp. Pure. Math. — 2008. — Vol. 77. — P. 261-278.

87. Kostrykin, V. Quantum wires with magnetic fluxes [Text] / V. Kostrykin, R. Schrader // Commun. Math. Phys. — 2003. — Vol. 237. — P. 161-179.

88. Kronig, R. de L. Quantum mechanics of electrons in crystal lattices [Text] / R. de L. Kronig, W.G. Penny // Proc. Roy. Soc. A. — 1931. —Vol. 130. —P. 499-513.

89. Kroto, H. W. Cöo: Buckminsterfullerene, the celestial sphere that fell to Earth [Text] / H. W. Kroto // Angewandte Chemie International Edition in English. — 1992. Vol. 31. — No 2. — P. 111-246.

90. Kroto, H.W. Coo: Buckminsterfullerene [Text] / H.W. Kroto, J.R. Heath, S.C. O'Brien, R. F. Curl, R. E. Smalley // Nature. — 1985. — Vol. 318. — P. 162-163.

91. Kuchment, P., Quantum graphs: I. Some basic structures [Text] / P. Kuchment // Waves Random Media. — 2004. — Vol. 14. — P. S107-S128.

92. Kuchment, P., Quantum graphs: II. Some spectral properties of quantum and combinatorial graphs [Text] / P. Kuchment // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 2005. — Vol. 38. — No 22. — P. 4887.

93. Kuchment, P. Quantum graphs: an introduction and a brief survey [Text] / P. Kuchment // Analysis on Graphs and its Applications, Proc. Symp. Pure. Math. — 2008. — Vol. 77. — P. 291314.

94. Kuchment, P. On the structure of eigenfunctions corresponding to embedded eigenvalues of locally perturbed periodic graphs operator [Text] / P. Kuchment, B. Vainberg // Commun. Math. Phys. — 2006. — Vol. 268. — P. 673-686.

95. Kurasov, P. Spectral asymptotics for Schrödinger operators with periodic point interactions [Text] / P. Kurasov, J. Larson // J. Math. Anal. Appl. - 2002. - Vol. 266. - P. 127-148.

96. Lotoreichik, V. Point contacts and boundary triplets [Text] / V. Lotoreichik, H. Neidhardt, I. Popov // Mathematical Results in Quantum Mechanics. Proceedings of the QMath12 Conference. - 2014. - P. 283-294.

97. Melikhova, A. S. Zigzag chain model and its spectrum [Text] / A. S. Melikhova // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. - 2017. - Vol. 8 (2). - P. 188-193.

98. Melikhova, A. S. Estimates for numbers of negative eigenvalues of Laplacian for Y-type weakly coupled chain of ball resonators [Text] / A. S. Melikhova // Mathematical Results in Quantum Mechanics. Proceedings of the QMath12 Conference. - 2014. - P. 325-330.

99. Melikhova, A. S. Bent and branched chains of nanoresonators [Text] / S.A. Melikhova, I. Y. Popov // Journal of Physics: Conference Series. -2014. - Vol. 541. - P. 012061.

100. Melikhova, A. S. Spectral problem for solvable model of bent nano peapod [Text] / A. S. Melikhova, I.Y. Popov // Applicable Analysis. - 2017. - Vol. 96. - No 2. - P. 215224.

101. Melikhova, A. S. On the spectrum of the Dirac operator for bent periodic chain of spheres connected through 1D wires. [Text] / A. S. Melikhova, I. Y. Popov // Proceedings of the International Conference Days on Diffraction 2017. - 2017. - P. 233-236.

102. Melikhova, A. S. Spectral problem for Dirac operator for Y-type splitted chain of nanospheres. [Text] / A. S. Melikhova, I.Y. Popov // International Conference Days on Diffraction 2018 Abstracts. - 2018. - P. 73-74.

103. Ostrogradsky, M. V. Memoire sur le calcul des variations des integrales multiples [Text] / M. V. Ostrogradsky // Mem. l'Acad. - 1838. - Vol. 24. - No 1. - P. 35-58.

104. Pavlov, B. S. Model of free electrons and the scattering problem [Text] / B. S. Pavlov, M.P. Faddeev // Theoret. Math. Phys. - 1983. - Vol. 55. - P. 485-492.

105. Plank, von M. Ueber das gesetz der energieverteilung in normalspectrum [Text] / von M. Planck // Annalon der Physik. - 1900. - IV. - F. 4. - P.553-563.

106. Popov, I. Y. The extension theory and the opening in semitransparent surface [Text] / I.Y. Popov // J. Math. Phys. - 1992. - Vol. 33. - No 5. - P. 1685-1689.

107. Popov, I. Y. The resonator with narrow slit and the model based on the operator extensions theory [Text] / I.Y. Popov // J. Math. Phys. - 1992. - Vol. 33. - No 11. - P. 3794-3801.

108. Popov, I.Y. Model of tunneling through periodic array of quantum dots in a magnetic field [Text] / I.Y. Popov, S.A. Osipov // Chin. Phys. B. - 2012. - Vol. 21. - No 11. - P. 117306.

109. Popov, I. Y. The extension theory and resonances for a quantum waveguide [Text] / I. Y. Popov, S. L. Popova // Phys. Lett. A. - 1993. -Vol. 173. - P. 484-488.

110. Popov, I.Y. Zero-width slit model and resonances in mesotropic systems [Text] / I.Y. Popov, S. L. Popova // Europhys. Lett. - 1993. - Vol. 24. - No 5. - P. 373-377.

111. Popov, I. Y. On the existence of point spectrum for branching strips quantum graph [Text] / I.Y. Popov, A.N. Skorynina, I.V. Blinova // J. Math. Phys. - 2014. - Vol. 55. - P. 033504.

112. Popov, I.Y. Spectral problem for branching chain quantum graph [Text] / I.Y. Popov, P. I. Smirnov // Phys. Lett. A. — 2013. — Vol. 377. — No 6. — P. 439-442.

113. Rech, J. Electronic transport in inhomogeneous quantum wires [Text] / J. Rech, K. A. Matveev // J. Phys: Condens. Matter. — 2008. — Vol. 20. — P. 164211.

114. Sanchez-Soto, L. L.,The transfer matrix: a geometrical perspective [Text] / L. L. Sanchez-Soto, J. J. Monzon, A. G. Barriuso, J. F. Carifiena // Physical Reports. — 2012. — Vol. 513. — No 4. — P. 191-227.

115. Schenker, J. H. The creation of spectral gaps by graph decoration [Text] / J. H. Schenker, M. Aizenman // Letters in Mathematical Physics. — 2000. — Vol. 53. — No 3. — P. 253-262.

116. Smilansky, U. Irreversible quantum graphs [Text] / U. Smilansky // Waves in Random Media. — 2004. — Vol. 14. — P. S143-S153.

117. Sommerfeld, A. Elektronentheorie der Metalle [Text] / A. Sommerfeld, H. Bethe // Handbuch der Physik. Vol. XXIV/2. — Berlin : Springer, Berlin, Heidelberg, 1933.

118. von Below, J. The index of a periodic graph [text] / J. von Below // Results in Mathematics. — 1994. — Vol. 25. — No 3-4. — P. 198-223.

119. Wang C. Electrochromic nanocrystal quantum dots [Text] / C. Wang, M. Shim, P. Guyot-Sionnest // Science. — 2001. —Vol. 291 (5512). —P. 2390-2392.

120. Wang, Y. Designed Functional Systems from Peapod-like Co@Carbon to Co3O4@Carbon Nanocomposites [Text] / Y. Wang, H. J. Zhang, L. Lu, L. P. Stubbs, C. C. Wong, J, Lin // ACS Nano. — 2010. — Vol. 4. — No 8. — P. 4753-4761.

121. Warner, J. H. Graphen: Fundamentals and emergent applications [Text] / J. H. Warner, F. Schaffel, A. Bachmatiuk, M.H. Rümmeli — New York: Cambridge University Press, — 2012.— 366 p.

122. Wehling, T. O. Dirac materials [Text] / T. O. Wehling, A. M. Black-Schaffer, A. V. Balatsky // Advanced in Physics. — 2014. — Vol. 63. — No 1. — P. 1-76.

123. Yang Y,. Plasmon Absorption of Au-in-CoAl2O4 Linear Nanopeapod Chains [Text] / Y. Yang, L. Li, W. Li // J. Phys. Chem. C. — 2013. — Vol. 117. — No 27. — P. 14142-14148.