Математическое моделирование напряженно-деформированного состояния стальных канатов при действии поперечных статических и ударных нагрузок тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Тарасов Денис Александрович

• Тарасов Денис Александрович
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Тарасов Денис Александрович

ВВЕДЕНИЕ

1 СУЩЕСТВУЮЩИЕ ТЕХНОЛОГИИ МОДЕЛИРОВАНИЯ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ СТАЛЬНЫХ КАНАТОВ

1.1 Обзор особенностей работы стальных канатов при внешнем воздействии

1.2 Методы математического моделирования напряженно-деформированного состояния стальных канатов при действии поперечных статических нагрузок

1.3 Методы математического моделирования напряженно-деформированного состояния стальных канатов при действии поперечного удара

1.4 Современные подходы к задачам оптимизации параметров стальных канатов

1.5 Обзор программных комплексов по моделированию напряженно-деформированного состояния стальных канатов

1.6 Постановка задач исследования

2 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ И ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ СТАЛЬНЫХ КАНАТОВ

2.1 Математическое моделирование напряженно-деформированного состояния стальных канатов при действии поперечных статических нагрузок

2.2 Математическое моделирование напряженно-деформированного состояния стальных канатов при действии поперечного удара

2.3 Постановка задачи оптимизации

2.4 Оптимизация геометрических и физических параметров стальных канатов

2.4.1 Формулирование задачи оптимизации параметров

2.4.2 Численный алгоритм оптимизации параметров стальных канатов

при действии поперечных статических нагрузок

2.4.3 Численный алгоритм оптимизации параметров стальных канатов

при действии поперечного удара

2.5 Выводы по разделу

3 РЕАЛИЗАЦИЯ ЧИСЛЕННЫХ СХЕМ РЕШЕНИЯ В ВИДЕ КОМПЛЕКСА ПРОГРАММ

3.1 Комплекс программ моделирования напряженно-деформированного состояния стальных канатов

3.2 Численные методы решения нелинейных уравнений и систем

3.3 Комплекс программ оптимизации физических и геометрических параметров стальных канатов

3.4 Численные методы решения задач оптимизации

3.5 Выводы по разделу

4 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ СТАЛЬНЫХ КАНАТОВ

4.1 Цели и задачи экспериментального исследования

4.2 Исследование влияния геометрических параметров на напряженно-деформированное состояние стальных канатов

4.3 Натурный эксперимент

4.3.1 Характеристика объекта испытания

4.3.2 Описание хода натурного эксперимента

4.3.3 Приборы и оборудование

4.3.4 Результаты натурного эксперимента

4.4 Проверка адекватности метода математического моделирования напряженно-деформированного состояния стальных канатов при действии поперечных статических нагрузок

4.5 Проверка адекватности метода математического моделирования напряженно-деформированного состояния стальных канатов при действии поперечного удара

4.6 Тестирование численных алгоритмов оптимизации параметров сталь-

ных канатов

4.7 Выводы по разделу

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ А

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование напряженно-деформированного состояния стальных канатов при действии поперечных статических и ударных нагрузок»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. В инженерной практике широко распространены системы, в которых основными силовыми элементами, обеспечивающими прочность конструкции при внешнем воздействии, являются стальные канаты. К таким системам относятся воздушные линии электрических проводов, контактные провода электрифицированных железных дорог и трамваев, канаты висячих мостов и покрытий большепролетных производственных и общественных зданий, тросы канатных дорог и кабель-кранов и т. п. [90, 106].

Стальные канаты как силовые элементы для инженерных конструкций привлекали внимание ученых с давних времен. Это объясняется тем, что прочность материала используется наилучшим образом, если он работает на усилия сжатия, либо растяжения и наихудшим - если на изгиб. При этом следует отметить, что стальные канаты не оказывают существенного сопротивления изгибу [68].

Долгое время инженеры опасались применять стальные канаты в качестве основных силовых элементов механических систем. Причина заключалась в недостаточной изученности свойств таких элементов и в отсутствии методов определения возникающих в них усилий и деформаций от внешнего воздействия, подтвержденных экспериментальными исследованиями [20].

Как силовые элементы, стальные канаты стали применять сравнительно недавно. Одними из первых механических систем с такими элементами следует считать висячие покрытия производственных и общественных зданий. Так в 50-е годы XX века было начато бурное использование стальных канатов для перекрытий больших пролетов. Впервые это сделал польский архитектор М. Новицкий с созданием в 1950 г. оригинальной конструкции спортивного зала с размером в плане 97x92 м, который через два года был построен в США в городе Рэлей [45].

При этом в указанных системах внешнее воздействие на силовые элементы представляет собой произвольную статическую поперечную нагрузку.

Однако с течением времени появляется новая техника, требующая решения многих прикладных задач, относящихся к работе стальных канатов при действии

динамических нагрузок. К таким задачам относится математическое моделирование напряженно-деформированного состояния (НДС) стальных канатов при действии поперечного удара.

В последнее время все чаще внедряются специальные физические препятствия для предотвращения несанкционированного въезда автотранспортных средств на территорию охраняемых объектов различного назначения. Наиболее широкое распространение в качестве физического препятствия на эксплуатируемых объектах ядерной энергетики, аэропортов, гидросооружений и железнодорожных переездах получили противотаранные устройства шлагбаумного типа [35]. Принцип действия данных устройств заключен в быстром перекрытии проезжей части дорожного полотна перемещающейся стрелой изделия. Главной конструктивной особенностью таких устройств является то, что основными силовыми элементами, воспринимающими ударную нагрузку, вследствие таранного удара автомобилем, являются стальные канаты расположенные внутри стрелы изделия.

В настоящее время определение напряженно-деформированного состояния стальных канатов при действии поперечных ударных нагрузок сводится, как правило, к анализу дифференциальных уравнений математической физики [70, 71, 72, 73]. Однако очень часто решение простой, казалось бы, задачи сопряжено со сложными преобразованиями, причем сложность анализа иногда многократно возрастает при вариациях исходных данных [44]. Это ограничивает возможности данного метода, в частности решение инженерных задач требует привлечения специалистов, обладающих глубокими математическими познаниями, что, в свою очередь, приводит к увеличению сроков и затрат на принятие решений в процессе проектировании и конструировании.

Также отметим, что в данной области существует ряд задач, которые еще не нашли удовлетворительного разрешения с помощью известных экспериментальных и теоретических методов. Среди таких актуальных задач выделяется поиск методов оптимального конструирования и проектирования систем с основными силовыми элементами, выполненными из стальных канатов, методами математического моделирования.

Невозможно представить современную техническую науку без исследования методов и средств оптимизации процессов и объектов предметной области. Подчас аналитические подходы, использующие классические методы дифференциального и вариационного исчислений, оказываются непригодными для решения многих нелинейных задач, к каким относится моделирование напряженно -деформированного состояния стальных канатов [61].

К общим методам, которые эффективно применяются при решении задач оптимизации, относятся в первую очередь численные методы, реализуемые на ЭВМ. Как и любой математический аппарат, методы численной оптимизации нельзя слепо применять для решения той или иной задачи без ее тщательного предварительного анализа. При этом совершенно необходимо корректное построение модели. Выбор модели, отражающей в математической форме важнейшие свойства объекта, является первым этапом математического моделирования [15]. Математическое моделирование напряженно-деформированного состояния стальных канатов должно основываться на фундаментальных положениях теоретической механики и механики деформируемого твердого тела [36, 113].

Таким образом, можно сделать вывод о том, что разработка и совершенствование методов математического моделирования напряженно-деформированного состояния и оптимизации параметров стальных канатов, испытывающих воздействие поперечных статических и ударных нагрузок, является актуальной задачей.

Степень разработанности темы.

Значительный вклад в развитие теории гибких нитей внесли В.К. Качурин, Н.С. Москалев, Р.Н. Мацелинский, Г.С. Веденников, А.А. Соколов, А.В. Перель-мутер, Е.М. Сидорович и другие.

Общие вопросы по определению напряженно-деформированного состояния стальных и синтетических канатов, в том числе и колебаний, даны в монографиях В.Л. Бидермана, И.М. Бабакова, В.П. Селяева, В.А. Светлицкого, Д.Р. Меркина, В.К. Качурина, С.П. Тимошенко, И.И. Мигушова, Б.С. Расторгуева, Н.Н. Попова.

Вопросами, связанными с поиском оптимальных компоновочных параметров строительных конструкций, занимались А.Р. Ржаницын, В.П. Селяев, Е.В. Горохов, В.В. Бирюлев, Я.И. Ольков, И.С. Холопов, А.Г. Юрьев, В.Н. Алехин и другие. Применительно к стальным канатам современные подходы оптимизации компоновочных параметров использованы в работах Л.Г. Дмитриева, А.В. Пе-рельмутера, А.В. Касилова, В.В. Трофимовича.

Тем не менее, вопросы математического моделирования напряженно-деформированного состояния и оптимизации параметров стальных канатов в статической и динамической постановке задачи в настоящее время изучены и проработаны недостаточно.

Целью диссертационной работы является развитие методов математического моделирования напряженно-деформированного состояния, а также создание численных алгоритмов оптимизации параметров стальных канатов при воздействии поперечных статических и ударных нагрузок с дальнейшей реализацией в виде комплекса проблемно-ориентированных программ.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решаются следующие задачи.

1. На основе анализа существующих методик и комплексов программ моделирования напряженно-деформированного состояния стальных канатов разработать метод математического моделирования напряженно-деформированного состояния стальных канатов при действии поперечных статических нагрузок, позволяющий определять количественные характеристики напряжений, а также выявлять формы равновесия деформированного состояния на всем интервале изменения отношения первоначальной стрелы провеса к пролету стального каната.

2. Разработать метод математического моделирования напряженно -деформированного состояния стальных канатов при действии поперечных ударных нагрузок, позволяющий определять усилия и перемещения в канате, а также значение инерционной нагрузки и время ее действия при значительных отклонениях от первоначального равновесного состояния и углах поворота сечений.

3. Разработать численные алгоритмы оптимизации физических и геометрических параметров стальных канатов, обладающих заданной прочностью и жесткостью при минимальной затрате материала, в условиях поперечных статических и ударных нагрузок.

4. Создать комплекс программ моделирования напряженно -деформированного состояния и оптимизации параметров стальных канатов, воспринимающих поперечные статические и ударные нагрузки и провести исследование по влиянию геометрических параметров на напряженно-деформированное состояние стальных канатов.

Объект исследования: основные силовые элементы механических систем, выполненные из стальных канатов, работающие по восприятию поперечных статических и ударных нагрузок.

Предмет исследования: методы математического моделирования напряженно-деформированного состояния стальных канатов для определения действительных напряжений и деформаций, возникающих в результате действия поперечных статических и ударных нагрузок.

Методы исследований основаны на теории математического моделирования с использованием аппарата дифференциального и интегрального исчисления функций одной и нескольких переменных, положениях теоретической механики, методах математического программирования, проведении натурного и вычислительного экспериментов. Реализация алгоритмов выполнена на языке программирования С# в среде Visual Studio Express 2010 с использованием математического пакета Mathcad для расчетных модулей.

Научная новизна работы. Новыми являются следующие научные результаты.

1. Разработан метод математического моделирования напряженно-деформированного состояния стальных канатов при действии поперечных статических нагрузок, учитывающий полный диапазон отношения первоначальной стрелы провеса к пролету стального каната, что обеспечивает нахождение коли-

чественных характеристик, а также определение форм равновесия деформированного состояния каната.

2. Разработан метод математического моделирования напряженно-деформированного состояния стальных канатов при действии поперечных ударных нагрузок, принимающий во внимание значительные отклонения каната от первоначального равновесного состояния и углы поворота его сечений, что позволяет определять действительные усилия и перемещения, а также значение инерционной нагрузки и время ее действия.

3. Разработаны эффективные численные алгоритмы на основе модифицированной функции Лагранжа, позволяющие определять оптимальные геометрические и физические компоновочные параметры стальных канатов, воспринимающих поперечные статические и ударные нагрузки.

4. Создан комплекс проблемно-ориентированных программ, реализующий разработанные методы и численные алгоритмы, обеспечивающий решение задачи оптимизации параметров и моделирования напряженно-деформированного состояния стальных канатов при действии поперечных статических и ударных нагрузок.

Практическая значимость работы состоит в следующем.

Применение представленных в диссертационной работе результатов исследований, а также комплекса программ, реализующих численные алгоритмы оптимизации параметров, позволяет при конструировании и проектировании систем с основными силовыми элементами из стальных канатов, работающих по восприятию поперечных статических и ударных нагрузок, создать изделия и конструкции с наилучшими (оптимальными) характеристиками.

Разработаны защищенные патентами РФ на полезную модель новые конструктивные решения противотаранного барьера и фундамента для его установки, применение которых повышает надежность и увеличивает срок их службы.

Внедрение результатов работы. Результаты диссертационной работы использованы в ЗАО «ЦеСИС НИКИРЭТ», г. Пенза при проведении опытно -конструкторских работ и разработке проектно-конструкторской документации

опытного образца противотаранного барьера (патент на полезную модель №131741) и металлического свайного фундамента (патент на полезную модель №123425) для его установки. Результатом внедрения явилось постановка на производство и серийный выпуск разработанных изделий, что подтверждается сертификатом соответствия в системе ГОСТ Р № 0698601. При этом снизилась материалоемкость, упростилось ведение монтажа, повысилась технологичность изготовления и эксплуатации противотаранного барьера в результате применения новых конструктивных решений, за счет снижения усилий, возникающих в основных силовых элементах изделия от внешнего воздействия.

Достоверность результатов работы обеспечивается: использованием современных методов математического моделирования, вычислительной математики, фундаментальных положений теоретической механики; сопоставлением полученных данных и их согласованностью с результатами тестовых расчетов, а также результатами, полученными другими авторами; подтверждением теоретических результатов исследований данными натурного эксперимента.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Метод математического моделирования напряженно-деформированного состояния стальных канатов при действии поперечных статических нагрузок, ориентированный на определение количественных характеристик и формы равновесия деформированного состояния стального каната.

2. Метод математического моделирования напряженно-деформированного состояния стальных канатов, позволяющий определять действительные усилия и перемещения, а также значение инерционной нагрузки и время ее действия в случае поперечных ударных нагрузок в расширенном диапазоне отклонений от первоначального равновесного состояния и углов поворота сечений.

3. Численные алгоритмы оптимизации геометрических и физических компоновочных параметров стальных канатов, воспринимающих поперечные статические и ударные нагрузки, реализованные с использованием модифицированной функции Лагранжа.

4. Комплекс проблемно-ориентированных программ, реализующий разработанные методы и численные алгоритмы, для решения задач оптимизации параметров и моделирования напряженно-деформированного состояния стальных канатов при действии поперечных статических и ударных нагрузок.

Соответствие паспорту научной специальности. Область исследования соответствует паспорту специальности 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ по пунктам: 1 - «Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений»; 4 - «Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента»; 5 -«Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента»; 7 - «Разработка новых математических методов и алгоритмов интерпретации натурного эксперимента на основе его математической модели».

Апробация работы. Основные положения диссертации и отдельные результаты исследований докладывались на VIII всероссийской научно-технической конференции «Современные охранные технологии и средства обеспечения комплексной безопасности объектов» (Пенза, 2010); региональном молодежном форуме «Открытые инновации - вклад молодежи в развитие региона» (Пенза, 2013); международной научно-практической конференции молодых ученых и исследователей «Приоритетные направления науки и техники» (Пенза, 2014); международных научных чтениях «Информационно-вычислительные технологии и математическое моделирование в решении задач строительства, техники, управления и образования» (Пенза, 2014); всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Актуальные проблемы науки и образования» (Пенза, 2014).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 19 научных работ, в том числе 7 статей в журналах, рекомендованных ВАК, 4 свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ, 2 патента на полезную модель.

Личный вклад автора. Все основные научные результаты, приведенные в диссертации и сформулированные в положениях, выносимых на защиту, получены автором лично. В работах, опубликованных в соавторстве, научному руководителю принадлежат формулировки концепций решаемых задач и постановка цели исследования. Лично автором предложен метод математического моделирования напряженно-деформированного состояния стальных канатов при действии поперечных ударных нагрузок, численные алгоритмы оптимизации параметров, разработан комплекс программ для проведения вычислительного эксперимента, а также проведены экспериментальные исследования, интерпретированы и обобщены полученные результаты, сформулированы выводы.

Объем и структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, 4 разделов, выводов по работе, списка литературы из 1 43 наименований и приложения. Основной текст изложен на 146 страницах и содержит 51 рисунок, 3 таблицы.

1 СУЩЕСТВУЮЩИЕ ТЕХНОЛОГИИ МОДЕЛИРОВАНИЯ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ СТАЛЬНЫХ

КАНАТОВ

1.1 Обзор особенностей работы стальных канатов при внешнем воздействии

Одной из главных особенностей работы стальных канатов под действием произвольной поперечной нагрузки является их способность существенно изменять начальные очертания при изменении характера внешнего воздействия, поэтому принцип суперпозиции и независимости действия сил здесь не применим. Вследствие этого при определении НДС стальных канатов и образованных ими систем в ряде случаев оказываются неприменимыми основные приемы классической теоретической механики, так как задача оказывается, по меньшей мере, геометрически нелинейной [69].

Так для определения усилий и прогибов, возникающих при воздействии некоторой дополнительной нагрузки, необходимо сначала произвести расчет на приложенную начальную нагрузку, а затем на совместное действие начальной и дополнительной. Результатом является разница усилий и прогибов от указанных воздействий. В линейных системах такая задача решается непосредственным определением усилий и прогибов на дополнительную нагрузку.

Для нелинейных явлений, математические модели которые не подчиняются принципу суперпозиции, знание о поведении части объекта еще не гарантирует знания о поведении всего объекта, а его отклик на изменение условий может качественно зависеть от величины этого изменения. Общее решение для нелинейных моделей можно найти лишь в редких случаях, отдельные же частные решения нелинейных уравнений могут не отражать характер поведения объекта в более общей ситуации.

Как отмечалось ранее, указанные выше системы являются нелинейными, то есть при приложении нагрузки зависимости между внешними силовыми факторами, внутренними усилиями и перемещениями не являются линейными, и их на-

хождение связано с определенными трудностями. Для расчета таких систем на практике применяются методы приращения внешней нагрузки (метод Эйлера), итерационные (метод Ньютона-Рафсона) и энергетические методы [47].

В этих случаях нагрузка, действующая на конструкцию, разбивается на ряд ступеней, на каждой из которых проводится линеаризация расчетов с учетом имевшегося ранее нагружения, деформированного состояния и жесткостных параметров [47].

Еще одной характерной особенностью рассматриваемых элементов является наличие в любом сечении, нормальном к оси, только растягивающих равномерно распределенных напряжений и это ведет к более экономичному использованию прочностных свойств материала. Следовательно, вектор, соответствующий усилию в стальном канате, всегда направлен по касательной к его оси, и в процессе моделирования нет необходимости делать различие между понятиями «канат» и «ось каната». В результате существенно упрощается построение уравнений равновесия стального каната [69, 105].

При проектировании и конструировании систем с основными силовыми элементами, выполненными из стальных канатов следует учитывать их высокую деформативность. Из рисунка 1.1 видно, что прогибы стального каната определяются двумя причинами: упругими деформациями при его растяжении и кинематическими перемещениями [29]. Стальной канат всегда стремится наилучшим образом приспособиться к нагрузке, поэтому его конфигурация при изменении положения поперечной нагрузки всякий раз меняется [45]. Смена нагрузки на стальной канат может привести к резкому изменению его положения равновесия. Большие перемещения точек каната, связанные с его переходом в новое положение, могут проходить только за счет кинематических перемещений без деформирования материала, другими словами без изменения длины каната, либо сопровождаться пренебрежимо малыми деформациями.

Обратим внимание на одну особенность при моделировании НДС стальных канатов. Для того чтобы определить продольное усилие, нужно знать стрелу провеса в конечном состоянии. Эту величину конструктор может задать по своему

усмотрению, но для этого нужно знать стрелу провеса в начальном состоянии, которая вследствие изменившихся условий (нагрузок, температуры, перемещения опор и др.) будет иной. Другими словами, необходимо связать два состояния равновесия стального каната: исходное и конечное. Задав произвольную стрелу провеса в одном из этих состояний, следует найти вполне определенное значение этой величины в другом состоянии, изменившееся за счет упругих деформаций и кинематических перемещений.

Итак, можно выделить два равновесных состояния стального каната: исходное, характеристики которого будем снабжать индексом «0», и конечное, которое будем снабжать связанные с ним обозначения индексом «1» [45]. а)

б)

Рисунок 1.1 - Прогибы стального каната: а - вызванные упругими деформациями; б - то же, кинематическими

перемещениями; - начальное состояние линии равновесия;--конечное

состояние линии равновесия от внешнего воздействия

Как отмечалось выше, математическое моделирование НДС стальных канатов от действия произвольной поперечной нагрузки в общем случае является задачей нелинейной вызванной их большой упругой деформативностью [9].

Во-первых, она связана с повышенными упругими деформациями применяемых высокопрочных материалов, в которых нормальные напряжения в несколько раз больше, а модуль упругости меньше, чем в обычной конструкционной стали. Таким образом, относительное удлинение элементов оказывается значительно большим, чем в традиционных конструкциях [9].

Во-вторых, повышенная деформативность вызвана геометрической изменяемостью системы. При нагружении ее нагрузкой, отличающейся по своему характеру распределения от ранее действовавшей, появляются кинематические перемещения, обусловленные изменением формы равновесия системы. При этом изменяется ее напряженное состояние [9].

В-третьих, причиной является горизонтальное смещение опор, их упругая податливость [9].

К одной из основных задач, решаемых при моделировании НДС стальных канатов, относится задача определения по заданному внешнему воздействию равновесной формы стального каната.

В настоящее время, определение форм равновесия отдельных стальных канатов, несущих поперечную нагрузку, ведется с использованием известных методик расчета пологих гибких нитей [16, 21, 54], вошедших в нормативную литературу [64, 74, 75].

Пологой принято считать такую нить, у которой до и после деформации углы наклона касательных в любой точке ее к оси координат, проходящей через две крайние точки нити или параллельной такой соединительной линии, представляют собой достаточно малые величины, что дает возможность считать ¿•шйр^йг, а [17, 20].

Однако такие подходы не позволяют с достаточной точностью определять НДС стальных канатов с большими стрелами провеса. Проблема заключается еще и в том, что указать точную границу между малыми и большими стрелами провеса невозможно, так как эта граница зависит от характера и величины нагрузки, от материала и условий работы стального каната [28].

В таком случае становится очевидным, что требуется одна методика моделирования НДС стальных канатов, как с малыми, так и с большими стрелами провеса, обеспечивающая достаточную степень точности.

Точные и строгие методы сопротивления материалов - ветви механики деформируемого твердого тела - позволяют производить большую часть расчетов стальных канатов на прочность и жесткость. Но в условиях больших перемещений и углов поворота эти методы становятся непригодными. Для стальных канатов, обладающих малой жесткостью при растяжении, изгибе и кручении в отличие от конструкционных материалов, необходимы методы нелинейной механики.

Малость удлинения и сдвигов по сравнению с единицей не является достаточным критерием для перехода от нелинейных формул к линейным. Существенную роль при этом играют также величины углов поворота. В некоторых задачах определение компонентов деформации линейными формулами оказывается недопустимым даже при очень малых удлинениях и сдвигах. В других задачах эти формулы будут пригодны при гораздо более значимых удлинениях и сдвигах. Разница между линейными и нелинейными формулами состоит не в том, что первые относятся только к малым деформациям, а вторые - к конечным деформациям, а в том, что нелинейные формулы могут быть использованы при любой величине поворотов, а линейные - только при малых поворотах, примерно одного порядка с удлинениями и сдвигами [111, 112].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Тарасов Денис Александрович, 2016 год

№ - №

• iH1 -а) + fid) = 0 = а-

Ъ - а

Таким образом, можно записать:

fid)

f(a) • (b — а) fib) - f(a) ■

с = a-

ib - a).

(3.3)

(3.4)

fib) - f(a)

Численная схема решения, реализующая метод хорд представлена в виде алгоритма, изображенного на рисунке 3.12.

Начало

_*_

a, b, £

Нет

Да

a=c

Конец J

Рисунок 3.12 - Алгоритм метода хорд

Рассмотрим еще один численный метод решения уравнения (3.1) - метод касательных (метод Ньютона). Пусть корень уравнения находится на отрезке [а,

d2

Ь], причем Д(И1) и —2/(^1) непрерывны и сохраняют определенные знаки при а < Н1 < Ь. Геометрически рассматриваемый метод эквивалентен замене не-

большой дуги кривой у=/(Н1) касательной, проведенной в некоторой точке кривой так, как показано на рисунке 3.13.

У

а '^^ с2 с1 с Ь н Рисунок 3.13 - Графическая интерпретация метода Ньютона

й 2

Условимся, что f(b)--2f(b) > 0, тогда проведем касательную к кривой

(1Н1

у= /(Д1) в точке (Ь; /(Ь)). В качестве первого приближения корня с выбираем абсциссу точки пересечения этой касательной с координатной осью. Затем проводим касательную через точку (с; /(с)) абсцисса точки, пересечения которой с осью абсцисс дает второе приближение корня с, и так далее до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность.

Уравнение касательной в точке (с; /(с)) будет иметь вид:

й

У - Г(С) =^7ГГ(с) • (С1 - с).

аНл

(3.5)

При условии, что у=0, точку пересечения касательной с осью абсцисс можно определить по формуле:

с1 = с

Г(с)

а

йН1

Г(с)

(3.6)

Рассмотрим другой случай, представленный на рисунке 3.14, когда касательная к кривой у=/(Д1) проходит в точке (а; /(а)), другими словами f(a) X

а2

-—2/(а) < 0. Получим точку начального приближения корня с, лежащую вне от-

иН1

резка [а; Ь].

у

Ь с Н1

Рисунок 3.14 - Графическая интерпретация метода Ньютона (случай неверно выбранного начального приближения корня)

Из этого можно сделать вывод о том, что начальное приближение должно находиться в точке, в которой функция и ее вторая производная не меняют знак, то есть выполняется условие:

(3.7)

а2

/СФтгтт Ас) >°

ип1

Общая последовательность нахождения корня нелинейного уравнения методом касательных представлена в виде алгоритма, отображенного на рисунке 3.15.

Рисунок 3.15 - Алгоритм метода Ньютона

с=а

с=Ь

Для моделирования НДС стальных канатов при действии поперечного удара, необходимо решить систему нелинейных уравнений, состоящую из уравнения неразрывности деформаций (2.55) и уравнения сохранения энергии (2.44) - (2.47) в зависимости от направления удара и ширины зоны взаимодействия.

Рассмотрим численную схему решения на примере системы состоящей из нелинейных уравнений (2.55) и (2.44). Для этого перепишем указанные уравнения в виде:

(И,,д,) = Ь0 + М(И,,д,) + М, -И,,д,) = 0;

/2(И!, д1) = Д

V 2 J

И1Л1,х4 )

+ ш - g - w(И1, д,х^) - - д - ёх = 0.

0

(3.8)

Совокупность аргументов функций представим в виде 2-мерного вектора:

х = 1 ,

а совокупность самих функций - 2-мерным вектором-функцией:

(3.9)

(3.10)

(3.11)

/(х) =

Тогда систему уравнений (3.8) можно записать в виде:

/(х) = о.

Разберем выше рассмотренный метод Ньютона для решения системы (3.11). Предположим, что известно начальное значение х, тогда итерационное значение на п+1-м шаге хп+1 может быть получено по итерационному значению на п-м шаге по формуле, которая своим видом повторяет ранее полученную формулу (3.6):

хп+1 = хп—]—1 (х)^(хп), (3.12)

где ]-1 (х) - матрица, обратная к матрице производных от вектора-функции /(х) по каждому из элементов вектора-аргумента функции и определяется по выражению:

Г1 (*) =

а ЛФ а

йх1 йх

а /2Ф й

йх1 йх

-1

■ЛФ

-/2(*)

(3.13)

При практической реализации рассматриваемого метода, вычисления по формуле (3.12) прекращаются, когда выполняется условие:

| х11+1 — х11 \ < Е, (3.14)

где е - заданная точность вычислений.

На рисунке 3.16 приведен алгоритм, в котором описана численная процедура решения системы из двух нелинейных уравнений методом Ньютона с учетом того, что функции и матрица их производных уже определены.

<

2

2

Да

_▼_

'П +1

X

Конец

Рисунок 3.16 - Алгоритм метода Ньютона для решения нелинейных систем

3.3 Комплекс программ оптимизации физических и геометрических

параметров стальных канатов

Обзор существующих компьютерных программных комплексов, реализованных с использованием метода конечных элементов, показал, что проводимые в них расчеты основаны на анализе модели, то есть позволяют определять напряженно-деформированное состояние по расчетной схеме, заранее заданной рядом геометрических и физических параметров. При этом теоретическая площадь поперечного сечения элементов является одной из обязательных физических величин, без которой невозможен расчет модели. При таком подходе отсутствует возможность ставить и решать задачи оптимизации параметров, так как площадь по-

перечного сечения является аргументом, по которому производится минимизация и не известна до момента ее определения [12].

Поэтому на основе приведенных в разделе 2 численных алгоритмов разработан комплекс прикладных программ, позволяющий определять оптимальные физические и геометрические параметры стальных канатов. В этом заключается отличие разработанной системы от существующих программных комплексов. Условием при оптимизации является достаточная прочность и жесткость при минимальной теоретической площади поперечного сечения. Расчет ведется по заданному внешнему воздействию, пролету, разности отметок и горизонтальному смещению опор, физическим характеристикам материала и начальному очертанию.

Комплекс состоит из двух программ.

1. Программа оптимизации физических и геометрических параметров стальных канатов (свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2014619644) [81]. Главное окно программы представлено на рисунке 3.17.

Данная форма приложения предполагает:

• ввод исходных данных;

• сброс введенных данных;

• сохранение введенных данных;

• загрузку исходных данных предыдущего расчета;

• загрузку результатов предыдущего расчета;

• использование справки по работе с программой;

• вычисление и вывод результатов.

Ввод исходных данных включает:

• пролет - /, м;

• абсциссу текущего сечения линии равновесия - х, м;

• стрелу провеса от начальной нагрузки -/0, м;

• абсциссу стрелы провеса от начальной нагрузки - х0, м;

• допустимый прогиб - [*м], м;

• абсциссу сечения с допустимым прогибом - х1, м;

Рисунок 3.17 - Главное окно программы

• горизонтальное смещение опор - и, м;

• модуль упругости материала - Е, кПа;

• допустимое напряжение материала - [о], кПа;

• объемный вес материала - р, кН/м ;

• угол наклона хорды - в, град;

• коэффициент линейного расширения материала - а, °С-1;

• расчетный перепад температур - At, °С;

• массив сосредоточенных сил начальной и дополнительной нагрузки - Е0и

Flu кН;

• массив абсцисс точек приложения сосредоточенных сил начальной и дополнительной нагрузки - хш, хР1и м;

• массив точек контура распределенной начальной и дополнительной нагрузки - доь дп, кН;

• массив абсцисс точек контура распределенной начальной и дополнительной нагрузки - хд0г-, хд1г-, м.

Во время ввода исходных данных программой проводится проверка по следующим критериям:

• количество сосредоточенных сил начальной и дополнительной нагрузки должно соответствовать количеству абсцисс точек приложения;

• значения абсцисс точек приложения сосредоточенных сил начальной и дополнительной нагрузки не должны превышать значение пролета;

• количество точек контура распределенной начальной и дополнительной нагрузки должно соответствовать количеству абсцисс данных точек;

• значения абсцисс точек контура распределенной начальной и дополнительной нагрузки должны задаваться в порядке возрастания и не должны превышать значение пролета;

• значения модуля упругости, допустимого напряжения, объемного веса и коэффициента линейного расширения материала, а также пролета должны быть больше нуля.

В случае не корректного ввода исходных данных, в строке состояния появляется сообщение с указанием конкретной проблемы. Кнопка «Расчет» становится не активной. Для выполнения расчета, необходимо проверить и исправить введенные значения. После осуществления ввода уточненных параметров появляется возможность сделать расчет, нажав соответствующую кнопку.

После вычислений, выводится окно результатов расчета со значением минимально допустимой площади поперечного сечения из условия прочности и жесткости при заданных физических и геометрических параметрах, что полностью соответствует характеристике принятой в государственных стандартах на стальные канаты, а именно расчетной площади сечения всех проволок в канате. Панель представлена на рисунке 3.18.

Оптимизация параметров стальных канатов I сз | В

Результаты расчета

Минимально допустимая площадь поперечного сечения - А . м2 | D.DDS4515D378SD6571 |

Распор - Н. кН

1577,824656676082 |

Вертикальная составляющая опорной реакции в точке крепления А - R а . кН |-409,5 |

Вертикальная составляющая опорной реакции в точке крепления В - Rв, кН |-409.5 |

Максимальное продольное усилие - Т апзх. кН

1705.217156929552 |

Максимальная ордината линии равновесия -у max. н 52

Абсцисса соответствующая максимальной ординате линии равновесия -х max. м 115.4260043774352 |

Ордината от абсциссы текущего сечения линии равновесия - у( ж) . м |1S.42SDP457745S2 |

Прогиб в текущем сечении линии равновесия - w { ж). м 10.426004977435156 |

[~ Закрыть |

Рисунок 3.18 - Окно результатов расчета

При этом программа определяет распор, вертикальные составляющие опорных реакций в точках крепления, максимальное продольное усилие, максимальную ординату конечной линии равновесия и соответствующую ей абсциссу, а так же при заданной абсциссе сечения линии равновесия определяет ординату и прогиб в данном сечении.

Численный алгоритм поиска оптимальных физических и геометрических параметров стальных канатов при действии поперечных статических нагрузок отражен в виде схемы представленной на рисунке 3.19.

Начало

l, х, f0, xo, [w], xi, u, E, [G], p, в, «, А, Ям, Fi,

xF0b xF1b q0 i, qib

що, xqn

M0(R0 A> R0B > x) (2.10)

T

Нет

R0A = R0 A +1;

R0B = R0B +1

Ввод исходных данных: l - пролет; f — стрела провеса от начальной нагрузки; хо — абсцисса стрелы провеса от начальной нагрузки; [w] — допустимый прогиб; xi — абсцисса сечения с допустимым прогибом; u — горизонтальное смещение опор; E - модуль упругости материала; [G] - допустимое напряжение материала; p - объемный вес материала; в - угол наклона хорды; а - коэффициент линейного расширения материала; Аt - расчетный перепад температур; Foi, Fii - массив сосредоточенных сил начальной и дополнительной нагрузки; XF0i, XFii - массив абсцисс точек приложения сосредоточенных сил начальной и дополнительной нагрузки; qoi, qii - массив точек контура распределенной начальной и дополнительной нагрузки; xqoi, xqii - массив абсцисс точек контура распределенной начальной и дополнительной нагрузки

Интерполировать функцию распределенной начальной нагрузки

R0 A; R0B

I

Интерполировать функцию распределенной дополнительной нагрузки

Определить функцию равномерно-распределенной нагрузки от собственного веса

Определить функцию поперечной силы в шарнирно опертой балке при действии начальной нагрузки

Определить функцию изгибающего момента в шарнирно опертой балке при действии начальной нагрузки

Исходные параметры

Условие равновесия балки при действии нагрузки, вызывающей начальное очертание

Приращение параметров

Нет

_Ж_

Но=0

-Да-

Приращение параметров

Ql ( R1A , R1B x)

(2.11)

Щ№ы> R1B x)

(2.12)

Определить функцию поперечной силы в шарнирно опертой балке при совместном действии начальной и дополнительной нагрузки

Определить функцию изгибающего момента в шарнирно опертой балке при совместном действии начальной и дополнительной нагрузки

Исходные параметры

Условие равновесия балки при совместном действии начальной и дополнительной нагрузки

Нет

R1A N R A +1;

R1B = R1B +1

Да

Рисунок 3.19 - Схема алгоритма оптимизации параметров при действии поперечных статических нагрузок (продолжение и окончание см. на с. 86-87)

Рисунок 3.19 - Продолжение (начало см. на с. 85, окончание см. на с. 87)

Определить функцию прогиба

Определить

функцию

прогиба

Приращение параметров

Условие прочности; условие жесткости; условие неразрывности деформаций

-ДаП

Ял (2.38)

А, Н

Яв (2.39)

Определить вертикальную составляющую опорной реакции в точке крепления А

Определить вертикальную составляющую опорной реакции в точке крепления В

I

Определить функцию конечной линии равновесия

Определить функцию продольного усилия

У1(х) (2.8)

А, Яь Ял, Яв, 7\(х), уо(х), У1(х), w(Нl,x)

I

ВД (2.37)

Вывод результатов расчета: А - минимально допустимая площадь поперечного сечения; Н — распор; Ял — вертикальная составляющая опорной реакции в точке крепления л; Яв — вертикальная составляющая опорной реакции в точке крепления в; Т1(х) - функция продольного усилия; У0(х) - функция начальной линии равновесия; У1(х) - функция конечной линии равновесия; w(Нl,x) - функция прогиба

Б

Рисунок 3.19 - Окончание (начало см.

на с. 85)

2. Программа оптимизации физических и геометрических параметров стальных канатов при действии поперечного удара (свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2015612114) [82]. Главное окно программы представлено на рисунке 3.20.

Данная форма приложения предоставляет те же возможности, которые предполагает главное окно предыдущего пакета, изображенное на рисунке 3.17.

Рисунок 3.20 - Главное окно программы

Ввод исходных данных включает параметры динамической нагрузки, а также все расчетные значения выше представленного проекта, кроме величин, относящихся к дополнительной нагрузке:

• направление удара;

• массу ударяющего тела - т, кг;

• скорость ударяющего тела - и, м/с;

• ширину зоны взаимодействия - d, м;

• абсциссу центра зоны взаимодействия - xd, м.

Во время ввода исходных данных программой, также проводится проверка по вышеуказанным критериям, кроме критериев, относящихся к дополнительной нагрузке.

После осуществления ввода начальных физических и геометрических параметров, появляется возможность перейти к форме «Результаты расчета», представленной на рисунке 3.21, нажав кнопку «Расчет».

Р? Оптимизация параметров стальных канатов

Минимально допустимая площадь поперечного сечения - А . м2

Вертикальная составляющая опорной реакции в точке крепления А - R а . кН Вертикальная составляющая опорной реакции в точке крепления В - R в. кН

Максимальная ордината линии равновесия -у тзх. м

Абсцисса соответствующая максимальной ординате линии равновесия -х тзх, м Ордината от абсциссы текущего сечения линии равновесия -у (ж). м Прогиб в текущем сечении линии равновесия - w (хк). м

Рисунок 3.21 - Окно результатов расчета

В процессе вычислений, определяются наименьшая теоретическая площадь поперечного сечения, инерционная нагрузка, вызванная поперечным ударом, время ее действия, а также все результирующие величины, получаемые при статической постановке задачи.

Реализация расчетных модулей комплекса программ выполнена с помощью математического пакета Mathcad [42, 50, 51], пользовательский интерфейс - с помощью объектно-ориентированного языка программирования С# в среде Visual Studio Express 2010.

При разработке приложения предусмотрена возможность, создавать XML-документ с числовыми данными и листингом кода для построения в системе

Mathcad [52, 53, 62] начального очертания и конечной линии равновесия от внешнего воздействия. Результаты моделирования НДС стального каната приведены на рисунке 3.22.

у, м _

X, м

Рисунок 3.22 - Линия равновесия стального каната:

начальное состояние линии равновесия,--конечное

состояние линии равновесия от внешнего воздействия

Комплекс программ применим в области строительства, а также машиностроения и рассчитан на широкий круг пользователей. Все примеры, приведенные в разделе 4, решены с помощью разработанного приложения. Достоверность результатов счета подтверждена его апробацией на множестве тестовых примеров, представленных в разделе 4 и проведенным сравнительным анализом с данными полученными другими авторами.

На рисунке 3.23 представлена схема численного алгоритма поиска оптимальных физических и геометрических параметров стальных канатов при действии поперечного удара [101].

Начало

1, Х, /о, Хо,

Х1, и, Е, [О], р, в, а, Д/, ^оь Хро,-, ^0., Х^о,-, да, и, d, Ха, направление удара

1

х)

(2.13)

бо(А , , х)

(2.9)

I

*0 А = Я0 А +1;

Я0Б = Я0Б +1

Ввод исходных данных:

I - пролет; / — стрела провеса от начальной нагрузки; Хо — абсцисса стрелы провеса от начальной нагрузки; [^] — допустимый прогиб; Х1 — абсцисса сечения с допустимым прогибом; и — горизонтальное смещение опор; Е - модуль упругости материала; [О] - допустимое напряжение материала; р - объемный вес материала; в - угол наклона хорды; а - коэффициент линейного расширения материала; Д/ - расчетный перепад температур; Ро, - массив сосредоточенных сил начальной нагрузки; Хро, - массив абсцисс точек приложения сосредоточенных сил начальной нагрузки; до, - массив точек контура распределенной начальной нагрузки; Хдо, -массив абсцисс точек контура распределенной начальной нагрузки; т - масса ударяющего тела; и - скорость ударяющего тела; а - ширина зоны взаимодействия; Ха - абсцисса центра зоны взаимодействия

Интерполировать функцию распределенной начальной нагрузки

Определить функцию равномерно-распределенной нагрузки от собственного веса

Определить функцию поперечной силы в шарнирно опертой балке при действии начальной нагрузки

Определить функцию

поперечной

силы в

шарнирно Да

опертой балке при \ 1 г

совместном действии Ql(qv х)

начальной и инерционной нагрузки (2.50)

Определить функцию изгибающего момента в шарнирно опертой балке при совместном действии начальной и инерционной нагрузки

Определить функцию изгибающего момента в шарнирно опертой балке при действии начальной нагрузки

Исходные параметры

Условие равновесия балки при действии нагрузки, вызывающей начальное очертание

Приращение параметров

-Нет

Но=о

Уо(Х) (2.28)

& Оь х)

(2.51)

I

Определить расстояние от центра зоны взаимодействия до опоры В

Определить

функцию

поперечной

силы в

шарнирно

опертой

балке при

совместном

действии

начальной и

инерционной

нагрузки

Определить функцию начальной линии равновесия

Определить распор вызванный действием начальной нагрузки

Определить

функцию

изгибающего

момента в

шарнирно

опертой

балке при

совместном

действии

начальной и

инерционной

нагрузки

Рисунок 3.23 - Схема алгоритма оптимизации параметров при действии поперечного удара (продолжение и окончание см. на с. 92-94)

Рисунок 3.23 - Продолжение

(начало см

на с. 91 , окончание

см. на с. 94)

Рисунок 3.23 - Продолжение (начало см. на с. 91, окончание см. на с. 94)

г

(2.66)

Определить время действия инерционной 7 нагрузки

А, #ь qь Ял,

Яв, Т1(х), уо(х), У1(Нъд1,х), w(Н1,q1,x), г

НетЧ

г

(2.67)

Определить время действия инерционной нагрузки

Вывод результатов расчета:

А - минимально допустимая площадь поперечного

сечения;

Н1 — распор;

ql — инерционная нагрузка;

Ял — вертикальная составляющая опорной реакции в точке крепления л;

Яв — вертикальная составляющая опорной реакции в точке крепления в;

Т1(х) - функция продольного усилия;

Уо(х) - функция начальной линии равновесия;

У1(Н1^1,х) - функция конечной линии равновесия;

^(Н^1,х) - функция прогиба;

г — время действия инерционной нагрузки

Рисунок 3.23 - Окончание (начало см. на с. 91)

3.4 Численные методы решения задач оптимизации

В процессе решения задачи оптимизации необходимо найти наиболее выгодные значения параметров, определяющих данную задачу. Рассмотрим на примере задачи оптимизации параметров стальных канатов при действии поперечных статических нагрузок стратегию поиска этих величин. Параметрами являются

площадь поперечного сечения и распор, возникающий от совместного действия начальной и дополнительной нагрузки.

Выбор оптимального решения производится с помощью некоторой функции, определяемой искомыми параметрами, которая называется целевой функцией. Она и является критерием качества. Перепишем целевую функцию (2.68) в виде:

/(А, И,) = Т1(А, И,) - [а] • А < 0. (3.15)

При этом задача оптимизации содержит ряд ограничений. Эти ограничения задаются совокупностью некоторых функций, удовлетворяющих равенствам или не равенствам.

Ограничение в виде равенства вытекает из условия неразрывности деформаций (2.73) и выражает зависимость между отыскиваемыми параметрами, которая должна учитываться при нахождении оптимального решения:

gl(A, И,) = А, + АДА, И,) + Д4 - Ь1(И1) = 0. (3.16)

Ограничение в виде неравенства получается из уравнения (2.69) и устанавливает менее жесткую обусловленность между величинами, позволяя им в некоторой области возможных значений оставаться независимыми, а в остальной части проявлять зависимость друг от друга:

¿2(Л,И,) = м?(И„х)-М < 0. (3.17)

Рассмотрим аналитический метод решения задачи условной минимизации -метод множителей Лагранжа.

Суть метода заключается в том, что ограничения (3.16) и (3.17) вводятся в новую целевую функцию с помощью неопределенных параметров (коэффициентов) - множителей Лагранжа, которая в свою очередь называется функцией Лагранжа. Эта функция удовлетворяет всем заданным ограничениям, при этом заменяя собой исходную целевую функцию (3.15), и записывается следующим образом:

А(А,И,,А,,Х2) = /(А,И,) + А, • ^(А,И,) + Х2 • g2(А,И,)• 0 + sign(¿¿А,И,))), (3.18) где и Х2 - множители Лагранжа.

В точке минимума функции (3.15), ограничение (3.17) выполняется либо в виде равенства g2(A,H1)=0, либо в виде неравенства g2(A,H1)<0. Ограничение первого вида назовем активным ограничением, второго вида - неактивным ограничением. Если ограничение не активно, то множитель (1+sign(g2(A,H1))) обращает третье слагаемое уравнения (3.18) в ноль.

Очевидно, что какими ни были бы значения множителей Лагранжа, при выполнении ограничений значение функции (3.18) совпадает со значением функции (3.15), поэтому необходимым условием минимума функции будет следующее:

V ^лл L(A, Hlt ^ X 2) = 0. (3.19)

Условие равенства нулю градиента функции Лагранжа можно записать в виде системы уравнений:

df (A,Hг) + \ A,Hг) + X2 •dg2(A,H• (1 + sign (g2(A,H,)) = 0;

dA dA dA

d f (A,Hi) + Xi • ~^gi(A,Hi) + X2 • g2{A,Hi) • (1 + sign (g2(A,Hi)) = 0;

dH, dH 2 dH.

d d d (3-2°)

— f (A,Hi) + Xx-—gx(A,Hx) + X2 • — g2(A,Hx)-(\ + sign (g2(A,Hj)) = 0; dAj dXj dXj

-^f (A, H i) + Xj • A, H i) + X 2 • 2 (A, H iy(l + sign (g 2( A, H j)) = 0.

dX2 dX2 dX2

Для нахождения стационарной точки функции (3.18) необходимо решить систему (3.20), состоящую из четырех уравнений с четырьмя неизвестными, что не вызывает трудности. Это возможно сделать численным методом решения систем нелинейных уравнений - методом сопряженных градиентов.

Таким образом, задача условной минимизации сведена к задаче безусловной оптимизации с помощью множителей Лагранжа.

Последовательность решения задачи оптимизации параметров стальных канатов при действии поперечного удара аналогична последовательности выше рассмотренного метода и отличается только размерностью решаемой задачи, а именно количеством уравнений и неизвестных в системе (3.20).

3.5 Выводы по разделу 3

1. На основе разработанных методов математического моделирования создан комплекс прикладных программ по моделированию НДС стальных канатов при действии поперечных статических и ударных нагрузок на языке программирования С# в среде Visual Studio Express 2010 с реализацией расчетных модулей в математическом пакете Mathcad. В отличие от существующих коммерческих программных комплексов, позволяет вести расчет по заданной первоначальной стреле провеса в произвольном сечении при произвольном внешнем воздействии.

2. На основе разработанных алгоритмов создан комплекс прикладных программ оптимизации компоновочных параметров стальных канатов на языке программирования С# в среде Visual Studio Express 2010 с реализацией расчетных модулей в математическом пакете Mathcad, позволяющий решать задачи с учетом геометрической нелинейности в статической и динамической постановке.

3. Задача оптимизации параметров стальных канатов относится к классу од-нокритериальных многопараметрических задач условной оптимизации. Для решения этой задачи использована модифицированная функция Лагранжа, которая сводит задачу условной минимизации к задаче безусловной оптимизации. Решение безусловной экстремальной задачи выполнено методом сопряженных градиентов.

4 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ СТАЛЬНЫХ КАНАТОВ

4.1 Цели и задачи экспериментального исследования

Цель экспериментального исследования - оценка адекватности принятых при моделировании допущений, разработанных методов математического моделирования и численных алгоритмов оптимизации параметров действительному НДС стальных канатов путем сопоставления, полученных экспериментальных и теоретических результатов исследований.

Для реализации поставленной цели были сформулированы следующие задачи:

• исследовать влияние геометрических параметров на НДС стальных канатов для создания объекта испытания с наилучшими характеристиками;

• разработать, изготовить и смонтировать объект испытания;

• разработать методику проведения натурного эксперимента;

• провести натурный эксперимент по разработанной методике;

• определить экспериментальные параметры НДС стальных канатов в ходе натурного испытания;

• сопоставить экспериментальные и теоретические результаты исследований, полученные с использованием разработанного комплекса программ.

4.2 Исследование влияния геометрических параметров на напряженно-деформированное состояние стальных канатов

Оценку влияния геометрических параметров при решении задач параметрической оптимизации будем вести с помощью разработанного комплекса программ для следующих величин:

1. предельно допустимого прогиба -

2. начальной стрелы провеса - /о;

3. горизонтального смещения опор - и.

В качестве базовой расчетной схемы для исследования примем стальной канат с опорами на одном уровне пролетом 1=5 м, выполненный из материала с

"5

модулем упругости £=167057,433 МПа и объемным весом р=47 кН/м . Допустимое напряжение в канате [о]=1570 МПа.

Для оценки влияния первого и второго параметра рассмотрим задачу расчетная схема, которой представлена на рисунке 4.1.

Рисунок 4.1 - Расчетная схема стального каната:

- начальное состояние линии равновесия;--конечное состояние

линии равновесия от внешнего воздействия