Математическое моделирование нелинейных процессов массопереноса при фильтрации разноплотностной жидкости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Демидов, Денис Евгеньевич

• Демидов, Денис Евгеньевич
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Демидов, Денис Евгеньевич

Введение

1 Макроскопическая модель фильтрации и массопереноса в однородных пористых средах

1.1 Постановка задачи.

1.2 Процедура гомогенизации.

1.3 Одномерные модели.

1.4 Решетчатая модель.

1.5 Модель идеального перемешивания

1.6 Сравнение с экспериментом.

1.7 Обсуждение результатов.

2 Макроскопическая модель фильтрации и массопереноса в микронеоднородных пористых средах

2.1 Постановка задачи и процедура гомогенизации.

2.2 Многомерные слабонеоднородные среды.

2.3 Сравнение с вычислительным экспериментом.

2.4 Обсуждение результатов .,.

3 Макроскопическая модель массопереноса в слоистых пористых средах

3.1 Постановка задачи и вывод макроскопических уравнений

3.2 Решение задачи на ячейке.

3.3 Сравнение с вычислительным экспериментом.

3.4 Фазовый переход в процессах массопереноса при фильтрации разноплотностной жидкости

3.5 Обсуждение результатов.

Список иллюстраций

Список таблиц

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование нелинейных процессов массопереноса при фильтрации разноплотностной жидкости»

Безопасное захоронение химических и радиоактивных отходов является сегодня ключевой экологической проблемой. По общему мнению наиболее приемлемым методом конечного захоронения высокорадиоактивных, генерирующих тепло отходов является их размещение в подземных геологических формациях. Такой способ имеет ряд преимуществ перед наземным складированием. Геологические образования, такие как соляные формации, существовали на протяжении многих миллионов лет. Они не терпели существенных изменений на протяжении длительных периодов вре мени. Таким образом, они позволяют изолировать высокорадиоактивные отходы (с крайне продолжительными периодами полураспада) на время, превышающее 100 ООО лет. Более того, благодаря глубине залегания таких образований и малым скоростям фильтрации в них, радиоактивные изотопы при возможной утечке потеряют свою активность к тому времени,

I» когда они достигнут биосферы.

Подземные каменно-соляные формации имеют ряд преимуществ в качестве возможных хранилищ радиоактивных отходов [65]. Во-первых, каменная соль практически непроницаема в силу своих пластических свойств * и отсутствия трещиноватой пористости. Вследствие этого внутри каменно-соляных формаций практически отстутствует циркуляция подземных вод. Во-вторых, высокая теплопроводность позволяет рассеивать тепло, порождаемое высокорадиоактивными отходами.

В случае утечки из такого хранилища наиболее вероятным механизмом доставки загрязнений к поверхности является перенос подземными водами [59,01]. Следовательно, для каждого потенциального места захоронения должна быть проведена оценка последствий возможного выброса изотопов [74]. Такая оценка должна учитывать тот факт, что в подземных водах вблизи соляных формаций наблюдаются высокие концентрации соли (вплоть до предела насыщения NaCl), соответствующие большим значениям плотности (до 1200 кг/м3) [34]. При этом возникают большие градиенты концентрации. Так, например, вблизи Горлебенского соляного купола в Германиии наблюдалось изменение плотности в 150 кг/м3 на расстояниях менее 30 м [21]. Наличие больших градиентов концентрации вызывает вопрос о применимости в рассматриваемой ситуации классических линейных реологических соотношений, лежащих в основе стандартных моделей фильтрационного переноса примеси: (г) закона Дарси, связывающего скорость фильтрации и градиент давления, и (И) зависимости Фика между дисперсионным потоком примеси и градиентом концентрации.

В более общем виде проблема заключается в построении математических моделей фильтрации и массопереноса разноплотностных жидкостей, учитывающих наличие больших градиентов концентрации. Ее решение принципиальным образом должно зависеть от того, рассматривается ли неустойчивая (градиент плотности направлен против силы тяжести) либо устойчивая (градиент плотности сонаправлен силе тяжести) ситуация. В первом случае развитие неустойчивости приводит за счет процессов пальцеобразования к активному макроскопическому перемешиванию жидкостей; при этом концентрационные фронты размываются со скоростью, на много порядков превышающей предсказанную линейной теорией. Возможные подходы к моделированию таких процессов предложены в работах [12,13,56,60]. Вторая ситуация реализуется вблизи соляных формаций и представляет основной интерес с точки зрения оценки экологических рисков создания подземных хранилищ радиоактивных отходов. Именно она и будет рассматриваться в данной работе. Ранние лабораторные эксперименты [46,66,68] качественно подтвердили тот физически ожидаемый факт, что увеличение градиентов концентрации при устойчивом расположении высококонцентрированного рассола и пресной воды приводит как к существенному снижению скорости размазывания концентрационных фронтов, так и к некоторому ухудшению фильтрационных свойств среды. В целом это дает отрицательный ответ на вопрос о возможности использования классических линейных реологических соотношений. Последующие тщательные лабораторные эксперименты [18,35,39,43,51] подтвердили это заключение. Авторы пришли к выводу, что наблюдаемые эффекты вызваны стабилизирующим влиянием силы тяжести и могут быть учтены зависимостью коэффициентов дисперсии и фильтрации от градиента концентрации. Вопрос о виде соответствующей зависимости, однако, до сих пор остается открытым. Наиболее популярная полуэмпирическая формула Hassanizadeh-Leijnse [28] i + p\j\)j = -mP, связывающая между собой величину дисперсионного потока примеси J, градиент плотности Vp и заданный (классический) тензор дисперсии В, требует экспериментального определения в каждом конкретном случае параметра модели (3. В свою очередь, этот параметр оказывается [64,72] зависящим от скорости фильтрации и других параметров среды и процесса.

Подчеркнем, что указанные лабораторные эксперименты имели дело с однородными пористыми средами. Подавление дисперсивности здесь происходит уже на уровне пор. Аналогичные, но более масштабные эффекты имеют место и в реальных неоднородных пористых средах. Дисперсив-ность потока, вызванная неоднородностью среды, и здесь должна стабилизироваться гравитационными силами. Результаты, полученные в [76,77] на основе методов стохастической гидрогеологии, подтвердили это предположение. Для частного случая слабонеоднородных сред с экспоненциальной корреляционной функцией поля проницаемости были получены зависимости продольного [76] и поперечного [77] коэффициентов дисперсии от градиента концентрации. Полученные результаты, однако, нуждаются как в экспериментальной проверке, так и в обобщении на другие типы неодно-родностей.

Изложенное выше определяет цель диссертационной работы. Она заключается в выводе макроскопических уравнений, адекватно описывающих процессы фильтрационного переноса примеси при наличии больших градиентов плотности в устойчивой ситуации. Вообще говоря, выделяются два этапа такого исследования. На первом этапе необходимо провести осреднение базовых уравнений с масштаба пор до масштаба лабораторного эксперимента. Второй этап исследования предполагает осреднение уравнений фильтрации и массопереноса с масштаба лабораторных экспериментов (однородные пористые среды) до масштаба полевых испытаний (микронеоднородные среды). На обоих этапах средством построения макроскопических уравнений служит метод осреднения дифференциальных уравнений с быстроосциллирующими коэффициентами (метод гомогенизации). Он был разработан в 70-х годах прошлого века в работах Н. С. Бахвалова, С. М. Козлова, В. В. Жикова, О. А. Олейник, J. L. Lions [2,11,17,20], и с тех пор неоднократно применялся для анализа процессов, происходящих в пористых средах [4,15,38]. Процессы разноплотностной фильтрации, однако, с этих позиций до сих пор не рассматривались.

Остановимся подробнее на содержании диссертации. Она состоит из введения, трех глав и списка использованных источников, содержит 137 страниц сквозной нумерации, в том числе 30 рисунков, 2 таблицы. Список использованной литературы насчитывает 77 наименований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Демидов, Денис Евгеньевич, 2006 год

1. Барепблаттп, Г. И. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа / Г. И. Баренблатт, В. М. Ентов, В. М. Рыжик. — Москва: Недра, 1972. - 288 с.

2. Бахвалов, Н. С. Осреднение дифференциальных операторов с частными производными с быстроосциллирующими коэффициентами / Н. С. Бахвалов // ДАН СССР. 1975. - Т. 221, № 3. - С. 249-252.

3. Бахвалов, Н. С. Осреднение процессов в периодических средах. Математические задачи механики композиционных материалов. / Н. С. Бахвалов, Г. П. Панасенко. — Москва: Наука, 1984. — 352 с.

4. Беляев, А. Ю. Усреднение в задачах теории фильтрации / А. Ю. Беляев. — Москва: Наука, 2004. — 200 с.

5. Козлов, С. М. Осреднение дифференциальных операторов с почти периодическими быстроосциллирующими коэффициентами / С. М. Козлов // ДАН СССР. 1977. - Т. 236, № 5. - С. 1068-1071.

6. Котохов, В. М. Моделирование распространения тяжелых жидких загрязнений в слоистом водоносном пласте / В. М. Конюхов, М. Г. Храмченков, А. Н. Чекалин // ВАНТ. Сер.: Математическое моделирование физических процессов. — 1998. — Т. 4. — С. 36-43.

7. Котохов, В. М. Фильтрационно-диффузионная модель миграции рассолов в неоднородных водоносных пластах / В. М. Кошохов, М. Г. Храмченков, А. Н. Чекалин // МЖГ. 2004. - 2. - С. 140-151.

8. Лаврентьев, М. А. Методы теории функций комплексного переменного / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. — Изд. 4-е, испр. изд. — Москва: Наука, 1973. 736 с.

9. Панфилов, М. Б. Осредненные модели фильтрационных процессов с неоднородной структурой / М. Б. Панфилов, И. В. Панфилова. — Москва: Наука, 1996.

10. Самарский, А. А. Методы решения сеточных уравнений / А. А. Самарский, Е. С. Николаев. — Москва: Наука, 1978. — 592 с.

11. Усреднение и G-сходимость дифференциальных операторов / В. В. Жиков, В. М. Козлов, О. А. Олейник, Ха Тьен Нгоан // УМЕ. 1979. - Т. 34, № 5. - С. 65-133.

12. Anderson, S. J. An experimental investigation of high concentration displacements in saturated porous media: Ph.d. thesis / The university of Western Australia. — 1985.

13. Bear, J. Dynamics of fluids in porous media / J. Bear. — New York: Elsevier, 1972.

14. Bensoussan, A. Asymptotic Analysis for Periodic Structures / A. Bensoussan, J. L. Lions, G. Papanicolau. — Amsterdam: North-Holland, 1978.— 301 p.

15. Boehme, J. Grundwasserbewegung im Deckgebirge liber dem Salzstock Gorleben, Datenermittlung, Interpretation und Modellrechnungen: Report KWA 5107/3 / J. Boehme. — Hanover: Federal Institute for Geosciences and Natural Resources, 1985.

16. Caginalp, G. The dynamics of a conserved phase field system — Stefanlike, Hele-Shaw, and Cahn-Hilliard models as asymptotic limits / G. Caginalp // IMA Journal of Applied Mathematics. — 1990.— Vol. 44, no. 1.— Pp. 77-94.

17. Caginalp, G. Phase Field methods for interfacial boundaries / G. Caginalp, P. C. Fife // Phys. Rev. 1986. - Vol. B, no. 33. - Pp. 7792-7794.

18. Cross-correlated random field generaiotn with the direct fourier transform method / M. J. L. Robin, A. L. Gutjar, E. A. Sudicky, J. L. Wilson // Water Resources Research. 1993. - Vol. 29, no. 7. - Pp. 2385-2397.

19. Dagan, G. Solute transport in heterogeneous porous formations, / G. Da-gan // Journal of Fluid Mechanics. — 1984.- Vol. 145. — Pp. 151-177.

20. Dagan, G. Lagrangian analysis of transport in heterogeneous formations under transient flow conditions / G. Dagan, A. Bellin, Y. Rubin // Water Resources Research. 1996. - Vol. 32, no. 4. — Pp. 891-899.

21. Egorov, A. G. On the interaction between gravity forces and dispersive brine fronts in micro-heterogeneous porous media / A. G. Egorov,D. E. Demidov, R. J. Schotting // Advances in Water Resources. — 2005. — January. — Vol. 28, no. 1. Pp. 55-68.

22. Experimental study of brine transport in porous media: RIVM Report 728514005 / S. M. Hassanizadeh, A. Leijnse, W. J. de Vries, R. A. M. Stap-per. — Bilthoven, The Netherlands: Delft University of Technology, 1990.

23. Fein, E. D3f — ein Programmpaket zur Modellierung von Dicht-estroinungen: Tech. Rep. GRS-139 / E. Fein. — Braunschweig, Germany: GRS, 1998.

24. Fife, P. C. Models for phase separation and their mathematics / P. C. Fife // Electronic Journal of Differential Equations. — 2000.— Vol. 2000, no. 48. Pp. 1-26.

25. Fife, P. C. Interfacial dynamics for thermodynamically consistent phase field models with nonconserved order parameter / P. C. Fife, O. Penrose // Electronic Journal of Differential Equations. — 1995. — Vol. 16. — Pp. 1-49.

26. Gelhar, L. W. Stochastic Subsurface Hydrology / L. W. Gelhar. — Prentice Hall, 1993. 390 p.

27. Gelhar, L. W. Three-dimensional stochastic analysis of macrodispersion in aquifers / L. W. Gelhar, C. L. Axness // Water Resources Research. — 1983. Vol. 19, no. 1. - Pp. 161-180.

28. Giesel, W. Evaluation of groundwater salinity from well logs and conclusions on flow of highly saline water: Report 11656/83 / W. Giesel, K. Fielitz. — Hanover: Federal Institute for Geosciences and Natural Resources, 1983.

29. Hassanizadeh, S. M. A non-linear theory of high-concentration-gradient dispersion in porous media / S. M. Hassanizadeh, A. Leijnse // Advances in Water Resources. 1995. — Vol. 18, no. 4.- Pp. 203-215.

30. High order ENO schemes applied to two- and three- dimensional compressible flow / C.-W. Shu, T. A. Zang, G. Erlebacher et al. // Applied Numerical Mathematics. 1992. - Vol. 9. - Pp. 45-71.

31. Hohenberg, P. C. Theory of dynamical critical phenomena / P. C. Hohen-berg, В. I. Halperin // Rev. Modern Phys.- 1977. Vol. 49.— Pp. 435479.

32. Hornung, U. Homogenization and Porous Media / U. Hornung. — New York: Springer, 1997. 279 p.

33. Jiao, C.-Y. An experimental study of miscible displacements in porous media with variation of fluid density and viscosity / C.-Y. Jiao, H. Hotzl // Transport in Porous Media. — 2004. — Vol. 54. — Pp. 125-144.

34. Johanssen, K. On the validity of the Boussinesq approximation for the Elder problem / K. Johanssen // Computational Geosciences. — 2003. — Vol. 7, no. 3.-Pp. 169-182.

35. Kapoor, V. Transport in heterogeneous aquifers 1. Dynamics of concentration fluctuations / V. Kapoor, L. W. Gelhar // Water Resources Research.- 1994.-Vol. 30, no. 6.- Pp. 1775-1788.

36. Kapoor, V. Transport in heterogeneous aquifers 2. Predictions and observations of concentration fluctuations / V. Kapoor, L. W. Gelhar // Water Resources Research. 1994. - Vol. 30, no. 6. - Pp. 1789-1801.

37. Kempers, L. J. Т. M. The dispersion zone between fluids with different density and viscosity in a heterogeneous porous medium / L. J. Т. M. Kempers, H. Haas // Journal of Fluid Mechanics. 1994. - Vol. 267. - Pp. 299-324.

38. Kichenassamy, S. The Perona-Malik paradox / S. Kichenassamy // SIAM Journal of Applied Mathematics. — 1997. — October. — Vol. 57, no. 5. — Pp. 1328-1342.

39. Kitanidis, P. K. Introduction to GEOSTATISTICS: Application in Hy-drogeology / P. K. Kitanidis. — New York: Cambridge University Press, 1997.

40. Krupp, H. K. Density effects in miscible displacement experiments / H. K. Krupp, D. E. Elrick // Soil Science. 1969. - Vol. 107, no. 5. -Pp. 372-380.

41. Landman, A. J. Analysis of physical mechanisms underlying density-dependent transport in porous media: Ph.d. thesis / Technische Universiteit Delft. 2005.

42. Leroy, C. Tracer dispersion in stratified porous media: Influence of transverse dispersion and gravity / C. Leroy, J. P. Hulin, R. Lenormand // Journal of Contaminant Hydrology. — 1992. — Vol. 11. — Pp. 51-68.

43. Lunati, I. Macrodispersivity for transport in arbitrary nonuniform flow fields: Asymptotic and preasymptotic results / I. Lunati, S. Attinger, W. Kinzelbach // Water Resources Research. — 2002, — Vol. 38, no. 10.— P. 1187.

44. Moser, H. EinfluC der Salzkonzentration auf die hydrodynamische Dispersion im porosen Medium: Mitteilung nr. 128 / Technische Universitat Berlin. 1995.

45. Multigrid Course / A. Brandt, W. Joppich, J. Linden et al. GMD-690. -St. Augustin: Gesellschaft fiir Mathematik und Datenverarbeitung, 1992.

46. Novick-Cohen, A. On the viscous Cahn-Hilliard equation / A. Novick-Cohen // Material Instabilities in Continuum and Related Mathematical Problems / Ed. by J. M. Ball. 1988. - Pp. 329-342.

47. Numerical Recipes in C: The Art of Scientific Computing / W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, B. P. Flannery. — second edition. — New York: Combridge University Press, 1992.

48. On the interaction between gravity forces and hydrodynamic dispersion in heterogeneous porous media / R. Schotting, A. Landman, A. Egorov, D. Demidov // Eos Trans. AGU.- 2005.- Vol. 86, no. 52.- Fall Meet. Suppl., Abstract H51F-0436.

49. Otto, F. Evolution of microstructure in unstable porous media flow: a re-laxational approach / F. Otto // Communications on Pure and Applied Mathematics. 1999. - Vol. 52. - Pp. 873-915.

50. Perona, P. Scale-space and edge detection using anisotropic diffusion / P. Perona, J. Malik // IEEE Transactions on Pattern Aanalysis and Machine Intelligence. 1990. - Vol. 12. - Pp. 629-639.

51. Ritzi, R. W. Behavior of indicator variograms and transition probabilities in relation to variance in lengths of hydrofacies / R. W. Ritzi // Water Resources Research. 2000. - Vol. 36, no. 11.- Pp. 3375-3381.

52. Roxburg, I. S. Geology of high-level nuclear waste disposal / I. S. Rox-burg. — London: Chapman and Hall, 1987.

53. Ruith, M. Miscible rectilinear displacements with gravity override. Part 1. Homogeneous porous medium / M. Ruith, E. Meiburg // Journal of Fluid Mechanics. 2000. - Vol. 420. - Pp. 225-257.

54. Sander, W. NaCl crystallization at the MgCl2/NaCl solution boundary — a possible natural barrier to the transport of radionuclides / W. Sander, H. J. Herbert // Mineralogical Magazine. 1985. - Vol. 49. — Pp. 265-270.

55. Schotting, R. J. Mathematical aspects of salt transport in porous media: Ph.D. thesis / Delft University of Technology. The Netherlands, 1991.

56. Schotting, R. J. High-concentration-gradient dispersion in porous media: experiments, analysis and approximations / R. J. Schotting, H. Moser,S. M. Hassanizadeh // Advances in Water Resources. — 1999. — Vol. 22, no. 7. Pp. 665-680.

57. Site selection factors for repositories of solid high-level and alpha-bearing wastes in geological formations: Technical Report 177. — Vienna: International Atomic Energy Agency, 1977.

58. Slobod, R. L. The effects of gravity segregation in laboratory studies of miscible displacement in vertical unconsolidated porous media / R. L. Slobod, W. E. Howlett // Society of Petroleum Engineers Journal — 1964. — Vol. 4. Pp. 1-8.

59. Spitz, K. Dispersion in Porosen Medien: EinfluB von Inhomogenitiaten und Dichteunterschieden: Mitteilungen heft 60 / Institut fiir Wasserbau. — 1985.

60. Starr, J. L. Solute dispersion in saturated soil columns / J. L. Starr, J. Par-lange // Soil Science. 1976. - Vol. 121, no. 6. - Pp. 364-380.

61. Temporal behavior of a solute cloud in a heterogeneous porous medium 1. Point-like injection / M. Dentz, H. Kinzelbach, S. Attinger, W. Kinzel-bach // Water Resources Research. — 2000. — Vol. 36, no. 12. — Pp. 35913604.

62. Thiele, M. Gravity affected lateral dispersion and diffusion in a stationary horizontal porous medium shear flow / M. Thiele // Transport in Porous Media. 1997. - Vol. 26. - Pp. 183-204.

63. Trottenberg, U. Multigrid / U. Trottenberg, C. Oosterlee, A. Schiiller.— London: Academic Press, 2001.— 631 p.

64. The viscous Cahn-Hilliard equation. Part I: computations / F. Bai, С. M. Eliot, A. Gardiner, A. M. Stuart // Nonlinearity. — 1995. — Vol. 8. -Pp. 131-160.

65. Welty, C. Stochastic analysis of the effect of fluid density and viscosity variability on macrodispersion in heterogeneous porous media / C. Welty, L. Gelhar // Water Resources Research.— 1991.— Vol. 27, no. 8.— Pp. 2061-2075.

66. Welty, C. Simulation of large-scale transport of variable density and viscosity fluids using a stochastic mean model / C. Welty, L. Gelhar // Water Resources Research. 1992. - Vol. 28, no. 3. - Pp. 815-827.

67. Welty, C. Stochastic analysis of transverse dispersion in density-coupledtransport in aquifers / C. Welty, A. C. Kane III, L. J. Kauffman // Water Resources Research. — 2003. — Vol. 39, no. 6. — Art. No. 1150.