Математическое моделирование одномодового поляризующего W-световода тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Курбатов, Роман Александрович

• Курбатов, Роман Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Курбатов, Роман Александрович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. W-световод PANDA с большим линейным двулучепреломлением

1.1. Общий метод математического моделирования оптических световодов

1.2. Линейное двулучепреломление в волоконных световодах PANDA

1.3. Фундаментальный предел поляризационных свойств световода PANDA

ГЛАВА II. Отсечка фундаментальной моды W-световода

2.1. Фундаментальная мода W-световода со "ступенчатым" профилем показателя преломления

2.2. Влияние формы профиля показателя преломления световедущей жилы на порог отсечки фундаментальной моды

2.3. Влияние конечных размеров W-световода на порог отсечки фундаментальной моды

ГЛАВА Ш. Фундаментальная мода W-световода

3.1. Фундаментальная мода W-световода в режиме отсечки. Модель с безграничной внешней оболочкой

3.2. Фундаментальная мода W-световода в режиме отсечки. Учёт конечных размеров оболочки W-световода. Модель связанных мод

3.3. Фундаментальная мода W-световода в режиме отсечки. Модель супермод

3.4. Моды излучения W-световода

3.5. Общее математическое описание короткого отрезка W-световода с дополнительным слоем во внешней оболочке, рассеивающим излучение

3.6. Модели распределения рассеивающих центров в дополнительном слое

3.7. Распространение фундаментальной моды W-световода в отсутствие отсечки

3.8. Потери основной моды W-световода на микроизгибах

3.9. Потери на стыке W-световода со стандартным одномодовым световодом

ГЛАВА IV. Экспериментальные исследования поляризующих W-световодов

PANDA с высоким двулучепреломлением

1.1. Технология получения световодов PANDA с высоким двулучепреломлением

1.2. Измерение основных параметров световодов PANDA • 89 Заключение 113 Библиографический список 116 Приложение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование одномодового поляризующего W-световода»

В последние десятилетия были предприняты большие усилия для создания специального вида одномодовых световодов, которые проводили только одно состояние поляризации фундаментальной моды. Подобного рода световоды крайне необходимы как в когерентных линиях оптической связи [1], так и во всевозможных датчиках физических величин, имеющих интерферометрический принцип действия [2]-[5].

Для получения поляризующего эффекта в волоконных световодах было реализовано множество схем. Одной из них является шлифовка оболочки обычного одномодового световода почти до световедущей жилы, и приведение сошлифованной плоской грани световода в контакт с двулучепреломляющим кристаллом [6]. Другим способом является нанесение на сошлифованную грань световода слоя металла [7].

В 1983 году была предложена математическая модель принципиально однополяризационного световода, имеющего большое двулучепреломление [8]-[10]. Однако такого рода однополяризационные световоды действуют в области очень малых нормализованных частот. Поэтому здесь неизбежны большие потери на микро- и макроизгибах [11]- [13]. В них сообщалось о световодах bow-tie, в которых действительно был обнаружен однополяризационный режим, но на длинах волн излучения,, гораздо меньших предсказанных согласно модели, предложенной в [8]-[10]. Это смещение окна однополяризационного режима было связано с потерями на микроизгибах. В тех же работах [11]-[13] было предложено использовать обычные анизотропные световоды, намотанные в кольца. Механизм, ответственный в данном случае за поляризующий эффект, подробно описан в работе [14]. В работе [15] сообщается ещё об одном способе получения волоконного поляризатора на основе биконической перетяжки световода с высоким двулучепреломлением. Механизм взаимодействия локальных мод перетянутых световодов, на котором основано действие такого поляризатора, подробно описан в работах [16]-[22].

Существует ещё один способ реализации поляризующего волокна, основанный на использовании анизотропного световода с W-профилем показателя преломления [23]-[26]. В данном случае поляризующий эффект существует, даже если этот световод не подвергать изгибу. В работе [23] был получен однополяризационный световод на основе W-световода с эллиптической нагружающей оболочкой. Ширина спектрального окна однополяризационного режима такого световода составила не более 5%. В работе [24] сообщается о коротком (48 мм) отрезке световода, с коэффициентом поляризационной экстинкции 39 дБ в видимом диапазоне излучения. Ширина полосы этого поляризатора составила приблизительно 30 нм (620-650 нм), а вносимые потери - 1 дБ. Этого недостаточно для того, чтобы наладить массовое производство таких поляризаторов. Отметим, что с тех пор других сообщений о коротких, полностью волоконных поляризаторах, насколько мы знаем, не было.

В работе [26], наряду с результатами измерений, была представлена упрощённая математическая модель W-световода с эллиптической нагружающей оболочкой. Данная модель касалась лишь того, чтобы обеспечить отсечку одной из поляризационных мод при конечной длине волны излучения, в отсутствие таковой отсечки у другой поляризационной моды. В то же время не были рассмотрены собственно процессы затухания излучения в режиме отсечки. Далее, было дано лишь качественное объяснение тому факту, что сохраняемая поляризационная мода также начинала испытывать резко растущие с длиной волны потери, похожие на потери в режиме отсечки.

Настоящая работа посвящена математическому моделированию и экспериментальному исследованию поляризующего W-световода PANDA. Оптимальной конструкцией с точки зрения максимального двулучепреломления является конструкция bow-tie [28], однако, во-первых, она превосходит конструкцию PANDA с этой точки зрения совсем ненамного, а во-вторых, она достаточно сложна в изготовлении.

Насколько нам известно, в литературе было лишь одно сообщение о попытке получения поляризующего W-световода PANDA [25]. В данном случае за основу принято волокно с широкой внутренней (60 мкм) и внешней (155 мкм) оболочками, при диаметре световедущей жилы порядка 5 мкм. В боросиликатные нагружающие стержни добавляли германий, в результате чего они имели показатель преломления, равный показателю преломления кварца, из которого состояла внешняя оболочка. Стержни были расположены достаточно близко к световедущей жиле и именно они использовались в качестве внешней оболочки, ' в которую туннелирует излучение, когда оно распространяется в режиме отсечки. В результате был получен поляризующий эффект, однако в очень узкой полосе: потери отсекаемой поляризационной моды с увеличением длины волны излучения нарастали недостаточно резко, а потери проводимой моды достигали ощутимой величины, когда коэффициент экстинкции отсекаемой моды едва достигал 20 дБ. Поэтому использовать такое волокно в качестве широкополосного поляризатора не представляется возможным.

В работе [29] описан широкополосный W-световод PANDA, которому посвящена настоящая диссертация. Относительная ширина полосы этого световода составляет более 10%. Поляризующий эффект обеспечивается тем, что защитно-упрочняющее покрытие, наносимое на световод, поглощает излучение с нежелательным состоянием поляризации, выходящее во внешнюю оболочку в режиме отсечки. В работе [29] также сообщается о коротком (порядка 50 мм) поляризаторе на основе W-световода PANDA, имеющем во внешней оболочке дополнительный рассеивающий и поглощающий слой, благодаря которому излучение, выходящее во внешнюю оболочку в режиме отсечки, эффективно поглощается. Из всех работ, предлагающих вводить эффективное поглощение внутрь световода для получения поляризующего эффекта, нам известна только теоретическая работа [31], в которой автор, на основе стандартного двухслойного световода, предлагает . получить поляризующий световод, используя в качестве области "осаждения" излучения с нежелательным состоянием поляризации нагружающие стержни конструкции PANDA.

В связи с вышеизложенным можно утверждать, что цельной модели волоконного поляризатора оптического излучения на основе анизотропного W-световода не существует. Между тем крайне необходимым является создание математических моделей процессов затухания излучения в W-световоде в режиме отсечки, моделей потерь мощности фундаментальной моды в отсутствие отсечки, а также рассмотреть механизмы, принципиально ограничивающие коэффициент поляризационной экстинкции поляризованного излучения, созданного рассматриваемым W-поляризатором. Необходимость в таких моделях обусловлена тем, что крайне важным является возможность предсказания положения рабочего спектрального диапазона поляризатора, а также возможность подбора параметров профиля показателя преломления световода для его наибольшего затухания подавляемой поляризационной моды при малых потерях сохраняемой.

Задачи, которые ставятся и решаются в настоящей диссертации, следующие:

- Получить простые аналитические зависимости порогов отсечки основной и первой высшей мод W-световода;

- создать математические модели распространения фундаментальной моды W-световода в режиме отсечки, описывающие процесс подавления излучения с нежелательным состоянием поляризации;

- создать математические модели распространения фундаментальной моды W-световода в режиме отсутствия отсечки, описывающие механизмы потерь и возможности их подавления для излучения с желательным состоянием поляризации;

- определить параметры профиля показателя преломления W-световода для получения поляризаторов средних (~ 1 м) и малых (~ 50 мм) длин;

- исследовать ограничения поляризационных характеристик W-световодов PANDA;

- экспериментальная проверка предлагаемых математических моделей.

Научная новизна работы состоит в следующем:

- в получении простых аналитических выражений для порогов отсечки фундаментальной и первой высшей мод W-световода для широкого класса W-профилей показателя преломления;

- в применении математической модели супермод изотропных оптических световодов для расчёта поляризующих свойств W-световодов PANDA;

- в создании математической модели короткого поляризатора с дополнительным слоем, рассеивающим и поглощающим оптическое излучение, во внешней оболочке;

- в создании математической модели потерь сохраняемой поляризационной моды W-световода PANDA на микроизгибах;

- в исследованиях фундаментальных пределов поляризационных характеристик W-световодов PANDA;

Таким образом, на защиту выносятся:

- постановка задачи о создании волоконных поляризаторов оптического излучения.

- математические модели и экспериментальные исследования волоконного световода, поляризующего оптическое излучение, на основе W-световода PANDA с большим линейным двулучепреломлением;

- математическая модель и экспериментальные исследования короткого волоконного W-поляризатора PANDA с большим линейным двулучепреломлением, имеющего дополнительный слой во внешней оболочке, рассеивающий и поглощающий излучение;

- математическая модель потерь фундаментальной моды W-световода на микроизгибах его оси, имеющих случайный характер;

- математическая модель фундаментальных ограничений на поляризационные характеристики поляризующих W-световодов PANDA.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Курбатов, Роман Александрович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Настоящая работа посвящена созданию математических моделей волоконного поляризатора оптического излучения на основе W-световода PANDA с большим линейным двулучепреломлением. Данная работа также включает в себя экспериментальную проверку предложенных математических моделей. Основные результаты работы следующие:

1. Получено простое явное выражение для оптимального размера нагружающих -боросиликатных стержней в световоде PANDA с точки зрения максимальной величины наводимого ими двулучепреломления. Проведено математическое моделирование фундаментального механизма, принципиально ограничивающего коэффициент поляризационной экстинкции излучения в световоде PANDA — механизма искривления силовых линий электрического поля сохраняемой поляризационной моды, имеющего места из-за наличия недиагональной компоненты тензора диэлектрической проницаемости в конструкции PANDA. Данный механизм является главным ограничителем в случае короткого поляризатора. Он имеет место даже в световодах PANDA, обладающих идеальными свойствами - зеркальной симметрией расположения стержней относительно световедущей жилы при их одинаковых размерах. Установлено, что коэффициент поляризационной экстинкции ограничен на уровне от 40 до 60 дБ при изменении величины двулучепреломления от 110~* до 10-Ю"4.

2. Получены простые аналитические соотношения для порогов отсечки основной и первой высшей мод W-световода. Исследована зависимость этих величин для основной моды от формы профиля показателя преломления световедущей жилы. Показано, что в случае градиентных профилей, если эта градиентность не слишком сильна, порог отсечки можно вычислять, пользуясь известной теорией эквивалентных ступенчатых световодов, для которых получены простые аналитические выражения. Также рассматривается модель W-световода с конечной оболочкой, вычисляется порог отсечки основной моды в этой модели. При этом показано, что в практически интересных случаях граница внешней оболочки с воздухом практически никак не влияет на порог отсечки основной моды W-световода.

3. Рассмотрены процессы распространения фундаментальной моды W-световода вдоль его оси. Для моделирования распространения излучения в режиме отсечки применяется модель супермод - мод цельного W-световода с конечной внешней оболочкой, возбуждаемых входным квази-гауссовым пучком. Эта модель применяется для расчёта параметров световода, необходимых для обеспечения наиболее эффективного подавления излучения с нежелательным состоянием поляризации в W-световоде PANDA. Показано, что для этого следует выбрать внутреннюю оболочку W-световода достаточно узкой.

4. Введено определение континуума мод излучения W-световода с безграничной оболочкой, являющихся суперпозицией мод свободного пространства и полей рассеяния, описывающих искажения этих мод изменениями показателя преломления в световедущей жиле и внутренней оболочке на фоне показателя преломления кварца, к которому приравнивается показатель преломления упомянутого свободного пространства.

5. Предложен новый W-поляризатор малой длины, имеющий дополнительный слой во внешней оболочке, поглощающий и рассеивающий излучение, а также предложена новая математическая модель этого поляризатора. При этом та супермода, которая наиболее эффективно возбуждается входным пучком ("выделенная" супермода) рассматривается в модели световода с конечной оболочкой, а дискретный набор остальных супермод заменяется континуумом мод излучения, введённых выше, и с которыми "выделенная" супермода взаимодействует на рассеивающих центрах дополнительного слоя.

6. Рассмотрены основные механизмы потерь фундаментальной моды W-световода в режиме отсутствия отсечки: потери на микроизгибах оси световода и потери на стыке со стандартным двухслойным одномодовым световодом. В этом случае рассматривается световод с безграничной внешней оболочкой, а потери основной моды на микроизгибах обусловлены взаимодействием с континуумом мод излучения, вводимых выше. Потери на стыке с двухслойным световодом рассчитываются методом нормированного интеграла перекрытия полей фундаментальных мод стыкуемых световодов.

7. Четвёртая глава, содержащая описание технологии изготовления световодов PANDA и описание методик исследования W-поляризаторов, показывает адекватность применения развиваемых в первых трёх главах изотропных математических моделей к случаю W-световода PANDA с азимутальной асимметрией в профиле показателя преломления, вносимой боросиликатными нагружающими стержнями, имеющими пониженный показатель преломления.

Предлагаемые изотропные модели достаточно хорошо согласуются с экспериментом, а также позволяют осуществлять подбор параметров W-поляризатора, обеспечивающих его наиболее эффективное действие. Однако актуальным и открытым остаётся вопрос о том, как на характеристиках этого поляризатора сказывается тот факт, что боросиликатные стержни, имеющие пониженный показатель преломления, лишают профиль показателя преломления всего световода азимутальной симметрии. Далее, на практике показатель преломления защитно-упрочняющего покрытия превышает таковой для кварца, поэтому открытым остаётся и вопрос о создании математической модели для этого случая. Ещё одной существенной проблемой является математическое моделирование потерь в W-поляризаторе на его изгибах, т. е. когда он намотан в кольца определённого диаметра. Все эти вопросы являются предметом для исследований в ближайшем будущем и являются логическим продолжением настоящей работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Курбатов, Роман Александрович, 2004 год

1. Y. Yamamoto, and Т. Kimura, "Coherent Optical Fiber Transmission Systems", IEEE J. Quant. Electron., vol. QE-17, № 6, pp. 919-934,1981.

2. R. Ulrich, "Fiber-optic rotation sensing with low drift", Opt. Lett., vol. 5, № 5, pp. 173-175, 1980.

3. E. C. Kintner, "Polarization control in optical-fiber gyroscopes", Opt. Lett., vol. 6, № 3, pp. 154-156,1981.

4. W. K. Bums, R. P. Moeller, C. A. Villaruel, and M. Abebe, "Fiber-optic gyroscope with polarization-holding fiber", Opt. Lett., vol. 8, № 10, pp. 540-542,1983.

5. I. P. Kaminow, "Polarization in Optical Fibers", IEEE Journal of Quant. EL, vol. QE-17, № l,pp. 15-22, 1981.

6. R. A. Bergh, H. C. Lefevre, and H. J. Shaw, "Single-mode fiber-optic polarizer". Opt. Lett., Nov. № 11, pp. 479-481, 1980.

7. T. Hosaka, K. Okamoto and J. Noda, "Single-Mode Fiber-Type Polarizer". IEEE Quantum Electron. QE-18, pp. 1569-1572,1982.

8. A. W. Snyder, and F. Ruhl, "New single-mode, single-polarisation optical fibre", El. Lett., 19, pp. 185-186, 1983.

9. A. W. Snyder, and F. Ruhl, "Single-mode, single-polarization fibers made of birefringent material", J. Opt Soc Am., vol. 73, № 9, pp. 1165-1174, 1983.

10. A. W. Snyder, and F. Ruhl, "Utrahigh Birefringent Optical Fibers", IEEE J. Quant. Electron., vol. QE-20, № 1, pp. 80-85, 1984.

11. M. P. Vamham, D. N. Payne, R. D. Birch and E. J. Tarbox, "Single-Polarization Operation of Highly Birefringent Bow-Tie Optical Fibers" El. Lett. 19, pp. 246-247, 1983.

12. M. P. Vamham, D. N. Payne, R. D. Birch and E. J. Tarbox, "Bend Behaviour of Polarising Optical Fibers" El. Lett. 19, pp. 679-680,1983.

13. M. P. Varnham, D. N. Payne, R. D. Birch and E. J. Tarbox, "Coiled-birefringent-fiber polarizers" Opt. Lett., Vol. 9, № 7, pp. 306-308,1984.

14. K. Okamoto, "Single-polarization operation in highly birefringent optical fibers" Applied Optics, vol. 23, № 15, pp. 2638-2641, 1984.

15. F. De Fornel., M. P. Vamham, D. N. Payne, "Finite cladding effects in highly birefringent fibre taper-polarisers", El. Lett., vol. 20, № 10, pp. 398-399,1984.

16. A. W. Snyder, "Coupling of modes on a tapered dielectric cylinder", IEEE Trans., MTT-18, pp. 383-392,1970.

17. A. W. Snyder, "Coupled-mode theory for optical fibers", J. Opt. Soc. Am., vol. 62, pp. 1267-1277,1972.

18. W. J. Stewart, and J. D. Love, "Design limitation on tapers and couplers in single mode fibers", PROC. of Int. Conf. on Int. Opt. And Opt Comm., Venetia, Oct., pp. 559-562, 1985.

19. J. D. Love, and W. M. Henry, "Quantifying loss minimisation in single-mode fibre tapers", El. Lett., vol. 22, № 17, pp. 912-914,1986.

20. R. J. Black, J. Bures, J. Lapierre, "Finite-cladding fibres: HE и and local-normal-mode coupling evolution", IEE PROCEEDINGS-J, Vol. 138, № 5, pp. 330-336, 1991.

21. J. D. Love, W. M. Henry, W. J. Stewart, R. J. Black, S. Lacroix, F. Gonthier, 'Tapered single-mode fibres and devices. Part 1: Adiabaticity criteria", IEE PROCEEDINGS-J, Vol. 138, № 5, pp. 343-354, 1991.

22. R. J. Black, S. Lacroix, F. Gonthier, J. D. Love, 'Tapered single-mode fibres and devices. Part 2: Experimental and theoretical quantification", IEE PROCEEDINGS-J, Vol. 138, № 5, pp. 355-364,1991.

23. J. R. Simpson, R. H. Stolen, F. M. Sears, W. Pleibel and J. B. Mac-Chesney, "A Single-Polarization Optical Fiber". J. Lightwave Technol. LT-1, pp. 370-373, 1983.

24. R H. Stolen, W. Pleibel, J. R. Simpson, W. A. Reed, and G. Mitchell. "Short W-tunneling fibre polarizers" El. Lett. Vol. 24, pp. 524-525,1988.

25. K. Tajima, M. Ohashi, and Y. Sasaki, "A New Single-Polarization Optical Fiber". J. Lightwave Technol. LT-7,pp. 1499-1502,1989.

26. M. J. Messerly, J. R. Onstott, and R. C. Mikkelson. "A Broad-Band Single-Polarization Optical Fiber". J. Lightwave Technol. LT-9, pp. 817-820,1991.

27. A. M. Курбатов. "Одномодовый однополяризационный световод для поляризационного модового фильтра" Патент РФ № 2040493, заявка № 4529325 от 9.04.1990.

28. М. P. Varnham, D. N. Payne, A. J. Barlow and R. D. Birch, "Analytic Solution for the Birefringence Produced by Thermal Stress in Polarization-Maintaining Optical Fibers" Journal of Lightwave Technol., vol. LT-1, № 2, pp. 332-339, 1983.

29. A. M. Курбатов, P. А. Курбатов. "Одномодовый однополяризационный световод", Патент РФ № 2223522, заявка № 2001119331, положительное решение от 7.10.03.

30. А. М. Курбатов, "Способ получения одномодового волоконного световода", Патент № 2043313, Заявка № 3151759 от 25.07.1986.

31. Kin Seng Chiang, "Stress-Induced Birefringence Fibers Designed for Single-Polarization Single-Mode Operation", Journal of Lightwave Technol., vol. 7, № 2, pp. 436-441,1989.

32. A. W. Snyder and F. Ruhl, "Single-mode, single-polarization fibers made of birefringent material", J. Opt. Soc. Am., vol. 73, № 9, pp. 1165-1174, 1983.

33. A. W. Snyder, J. D. Love, and R. A. Sammut, "Green's-function methods for perturbed optical fibers", J. Opt. Soc. Am., vol. 72, № 9, pp.1131-1135, 1982.

34. R. A. Sammut, C. D. Hussey, J. D. Love and A. W. Snyder, "Modal Analysis of polarization effects in weakly-guiding fibres", IEE PROC., Vol. 128, Pt. H, № 4, pp. 173-187, 1981.

35. F. F. Ruhl and A. W. Snyder, "Anisotropic Fibers Studied by the Green's Function Method", J. Lightwave Technol. LT-2, № 3, pp. 284-291, 1984.

36. C. Vassallo, "A direct analysis of the dispersion equation in birefringent optical fibres", Opt. Quant. El., 16, pp. 427-433,1984.

37. J. D. Love, C. D. Hussey, A. W. Snyder and R. A. Sammut, "Polarization corrections to mode propagation on weakly guiding fibers", J. Opt. Soc. Am., vol. 72, № 12, pp. 1583-1591,1982.

38. K. Takada, K. Okamoto, and J. Noda, "Polarization mode coupling with a broadband source in birefringent polarization-maintaining fibers", J. Opt. Soc. Am., vol. 2, № 5, pp. 753-758,1985.

39. D. Marcuse, "Coupled-mode theory for anisotropic optical waveguides", Bell. Syst. Techn. J, vol. 54, pp. 985-995, 1975.

40. S. C. Rashleigh, "Origins and Control of Polarization Effects in Single-Mode Fibers", J. Lightwave Technol., vol. LT-1, № 2, 1983.41Л. P. Kaminow and V. Ramaswamy, "Single-polarization optical fibres: Slab model", Appl. Phys. Lett., pp. 268-270,1979.

41. P. L. Chu and R. A. Sammut "Analytical Method for Calculation of Stresses and Material Birefringence in Polarization-Maintaining Optical Fiber" J. Lightwave Technol. LT-2, pp. 650-662,1984.

42. Kun-Hsieh Tsai, Kyung-Suk Kim, and T. F. Morse, "General Solutions for Stress-Induced Polarization in Optical Fibers", J. Lightwave Technol. LT-9, pp. 7-17,1991.

43. K. Okamoto, M. P. Varnham, and D. N. Payne, "Polarization-Maintaining Optical Fibers with Low Dispersion over a Wide Spectral Range", Appl. Opt., 22, p. 2370, 1983.

44. К- Okamoto, Т. Hosaka, and Т. Edahiro, "Stress Analysis of Optical Fibers by a

45. Finite Element Method", IEEE Journal of Quant. El., vol. QE-17, № 10, pp. 2123" 2129,1981.

46. M. P. Varnham, D. N. Payne, J. D. Love, "Fundamental limits to the transmission of linearly polarized light by birefiingent optical fibers", El. Lett., vol. 20, pp. 55-56, 1984.

47. C. Vassallo, "Increase of the Minor Field Component in Stress-Induced Birefringent . Fibers, due to Nonuniformity of Stress", J. Lightwave Technol., LT-5, № 1, pp. 2428, 1987.

48. J. P. Meunier, J. Pigeon, and J. N. Massot, "A general approach to-the numerical determination of modal propagation constants and field distributions of optical fibers", Opt. Quant. Electron., vol. 13, pp. 71-83, 1981.

49. O. Georg, "Use of the orthogonal system of Laguerre-Gaussian functions in the theory of circularly symmetric optical waveguides", Appl. Opt., vol. 21, pp. 141-146, 1982.

50. S. Kawakami and S. Nishida, "Characteristics of a Doubly Clad Optical Fiber with a Low-Index Inner Cladding" IEEE Journal of Quant. El., vol. QE-10, № 12, pp. 879887, 1974.

51. M. Monerie, "Propagation in Doubly Clad Single-Mode Fibers", IEEE Journal of Quant. El., vol. QE-18, № 4, pp. 535-542, 1974.

52. H. D. Rudolph and E. G. Neumann, "Approximations for the eigenvalues of the fundamental mode of a step index glass fiber waveguide", Nachrihctentech. Z., 29, pp. 328-329, 1976.

53. M. Monerie, "Fundamental-mode cutoff in depressed inner cladding fibres", El. Lett., vol. 18, № 5, pp. 642-644,1982.

54. A. W. Snyder and R. A. Sammut, "Fundamental (HEU) modes of graded optical fibers" J. Opt. Soc. A., vol. 69, № 12, pp.1663-1671, 1979.

55. P. L. Francois, M. J. Adams, R. J. Mansfield, R. D. Birch, E. J. Tarbox, "Equivalent step-index profile for graded W-fibres: application to TEm mode cutoff', Opt. And Quant. Electr. 14, pp. 483-499,1982.

56. С. D. Hussey and С. Pask, "Characterization and design of single-mode optical fibres", Opt. And Quant. Electr. 14, pp. 347-358, 1982.

57. А. Снайдер, Дж. Лав, "Теория оптических волноводов", Москва, Радио и связь, Гл. 14, 1987.

58. J. D. Love and С. D. Hussey, "Variational approximations for modes of weakly guiding fibers", Opt. Quant. EL, 16,1984.

59. A. Sharma, S. I. Hosain and A. K. Ghatak, "The fundamental mode of graded-index fibres: simple and accurate variational methods", Opt. Quant. El., 14, pp. 7-15, 1982.

60. P. K. Mishra, S. I. Hosain, I. G. Goyal and A. Sharma, "Scalar variational analysis of single mode, graded core, W-type fibres", Opt. Quant. El., 16, pp. 287-296,1984.

61. Mu-Shiang Wu, Mei-Hua Lee, and Woo-Hu Tsai, "Variational Analysis of Single-Mode Graded-Core W-Fibers", Journal of Lightwave Technology, vol. 14, № 1, 1996.

62. R. A. Sammut, A. K. Ghatak, "Perturbation theory of optical fibres with power-law core profile", Opt. Quant. El., 10, pp. 475-482,1978.

63. K. Okamoto and T. Okoshi, "Vectorial wave analysis of inhomogeneous optical fibers using finite element method", IEEE Trans. Microwave Theory Tech. MTT-26, №2, pp. 109-114,1978.

64. T. Tanaka and Y. Suematsu, "An exact analysis of cylindrical fiber with index distribution by matrix method and it's application to focusing fiber", Trans. Inst. Electronics Comm Eng. Jpn., Sect. E E59, № 11, pp. 1-8,1976.

65. W. A. Gambling, H. Matsumura, "Propagation in radially-inhomogeneous single-mode fibre", Opt. Quant. El., 10, pp. 31-40,1978.

66. A. Safaai-Jazi, and G. L. Yip, "Cutoff conditions in three layer cylindrical dielectric waveguides", IEEE Trans., MTT-26, pp. 898-903, 1978.

67. R. J. Black, and R. Bourbonnais, "Core-mode cutoff for finite-cladding lightguides", IEE PROCEEDINGS, Vol. 133, Pt. J, № 6, pp. 377-384,1986.

68. S. Kawakami and S. Nishida, "Perturbation theory of a doubly-clad optical fibre with low inner index cladding", IEEE J. Quant Electron, QE-11, pp. 130-138,1974.

69. L. G. Cohen, D. Marcuse and W. L. Mammel, "Radiating Leaky-Mode Losses in Single-Mode Lightguides with Depressed-Index Claddings", IEEE J. Quant. Electron, QE-18, pp. 1467-1472,1982.

70. P. Sansonetti, F. Alard, C. Vassallo, R. Kammere, P. L. Francois, M. Monerie, "Evidence of fundamental mode cutoff in depressed inner cladding single-mode fibres", El. Lett., Vol. 18, № 23 pp. 989-990,1982.

71. P. L. Francois and C. Vassallo, "Finite cladding effects in W fibers: a new interpretation of leaky modes", Appl. Opt., Vol. 22, № 19, pp. 3109-3120, 1983.

72. A. Tomita and D. Marcuse, "Mode Coupling Loss in Single-Mode Fibers with Depressed Inner Cladding", Journal of Lightwave Technology, vol. 1, № 3, pp. 449452, 1983.

73. W. M. Henry, J. D. Love and G. D. Peng, "Anomalous loss in depressed-cladding and W-fibres", Opt. Quant. El., 25, pp. 409-416,1993.

74. J. A. Besley and J. D. Love, "Supermode analysis of fibre transmission", EEE Proc.-Optoelectron., Vol. 144, № 6, pp. 411-419,1997.

75. A. W. Snyder, "Continuous modes of a circular dielectric rod'V IEEE Trans. Microwave Theory Tech., MTT-19, pp. 720-727,1971.

76. A. W. Snyder, and R. A. Sammut, "Radiation modes of optical waveguides", El. Lett., v. 15, pp. 4-5,1979.

77. А. Снайдер, Дж. Лав, "Теория оптических волноводов", Москва, Радио и связь. Гл. 25,1987.

78. R. A. Sammut, "Orthogonality and normalization of radiation modes in dielectric waveguides", Journal of Optical Society of America, v. 72, pp. 1335-1337, 1982.

79. W. A. Gambling, H. Matsumura, С. M. Ragdale, "Curvature and Microbending losses in single-mode optical fibres", Opt. Quant. El., 11, pp. 43-59,1979.

80. А. Снайдер, Дж. Лав, "Теория оптических волноводов", Москва, Радио и связь, Гл. 33, 1987.

81. К. Petermann, "Microbending loss in monomode fibers", El. Lett., vol. 12, pp. 107108,1976.

82. В. M. Файн, Я. И. Ханин, "Квантовая радиофизика", Москва, Сов. Радио, гл. П-VIII, 1965.

83. М. Лэкс, "Флуктуации и когерентные явления", М.: Мир, 1974.

84. Л. Мандель, Э. Вольф, "Оптическая когерентность и квантовая оптика", Москва, Физматлит, Гл. 17,2000.

85. М. О. Скалли-, М. С. Зубайри, "Квантовая оптика", Москва. Физматлит, 2003.

86. Р. А. Курбатов, "Потери фундаментальной моды W-световода на микроизгибах", Вестник ПГТУ. Математика и прикладная математика, 2004, стр. 14-22.

87. R. Olshansky, "Mode coupling effect in graded-index optical fibers", Appl. Opt., vol. 935-937, 1975.

88. К. Petermann, "Fundamental mode microbending loss in graded-index and W fibres", Opt. Quant. El., 9, pp. 167-175, 1977.

89. D. Marcuse, "Loss analysis of single-mode fiber splices", Bell. Syst. Tech. J., vol. 56, pp. 703-718,1977.

90. D. Marcuse, "Gaussian approximation of the fundamental modes of graded index fibers", J. Opt Soc. Am., Vol. 68, № 1, pp. 103-109,1978.

91. M. Artiglia, G. Coppa, P. Di Vita, M. Potenza, and A. Sharma, "Mode Field Diameter Measurements in Single-Mode Optical Fibers", Journal of Lightwave Technol., vol. 7, №8, pp. 1139-1152, 1989.

92. K. Petermann, "Constraints for fundamental-mode spot size for broad-band dispersion-compensated single-mode fibres", El. Lett., vol. 19, pp. 712-714,1983.

93. M. G. Blankenship, D. B. Keck, "Method of fabricating a polarization retaining single-mode optical waveguide", U. S. Patent № 4,395,270, July 26, 1983.

94. R. D. Birch, D. N. Payne, M. P. Varnham, "Fabrication of polarization-maintaining fibres using gas-phase etching", El. Lett., vol. 18, № 24, pp. 1036-1038, 1982.

95. T. Hosaka, K. Okamoto, T. Miya, Y. Sasaki, and T. Edahiro, "Low-loss single-polarization fibers with asymmetrical strain birefringence", El. Lett., vol. 17, № 15, pp. 530-531, 1981.

96. T. Katsuyama, H. Matsumura, T. Suganuma, "Low-loss single-polarisation fibres", El. Lett., vol. 17, № 13, pp. 473-474 1981.

97. Y. Sasaki, "Long-Length Low-Loss Polarization-Maintaining Fibers", J. Lightwave Technol., LT-5, № 9, pp. 1139-1146,1987.

98. J. Noda, K. Okamoto, and Y. Sasaki, "Polarization-Maintaining Fibers and Their Applications", J. Lightwave Technol., LT-4, № 8, pp. 1071-1089,1986.

99. A. M. Курбатов, P. А. Курбатов, В. П. Первадчук. "Математическая модель и экспериментальные исследования короткого волоконного поляризатора оптического излучения", Вестник ill "1'У. Математика и прикладная математика, 2004, стр. 14-22.

100. W. Freude and A. Sharma, "Refractive-index profile and modal dispersion prediction for a single-mode optical waveguide from its far-radiation pattern", J. Lightwave Technol., v. LT-3, № 3, pp. 628-634,1985.

101. K. Hotate and T. Okoshi, "Measurement of refractive-index profile and transmission characteristics of a single-mode optical fiber from its exit-radiation pattern", Appl. Opt., v. 18, № 19, pp. 3265-3271,1979.