Математическое моделирование производственных систем с интервальной неопределенностью параметров тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Немкова, Елена Анатольевна

• Немкова, Елена Анатольевна
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Немкова, Елена Анатольевна

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ОПТИМИЗАЦИИ ПАРАМЕТРОВ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ СИСТЕМ В УСЛОВИЯХ ИНТЕРВАЛЬНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

1.1 Состояние проблемы

1.2 Выбор подхода к математическому моделированию производственных систем с интервальной неопределенностью параметров

1.3 Определенные, неопределенные и интервальные числа

1.4 Алгебра интервальных чисел

1.5 Некоторые особенности интервальных чисел и действий над ними

1.6 Математическое моделирование функций в условиях неопределенности

1.7 Задача оптимизации функций в условиях неопределенности

1.8 Метод сравнения интервалов

1.9 Решение задачи условной оптимизации целевой функции

в условиях неопределенности

1.10 Выводы по главе 1

Глава 2. ИНТЕРВАЛЬНАЯ ЗАДАЧА МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ И ОПТИМИЗАЦИИ СЕБЕСТОИМОСТИ И ЭФФЕКТИВНОСТИ ПРОДУКЦИИ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ

СИСТЕМ

2.1 Постановка задачи математического моделирования и оптимизации себестоимости и эффективности продукции производственных систем

2.2 Метод и алгоритм математического моделирования и оптимизации себестоимости (эффективности) продукции производственных систем

с двумя видами выпускаемых изделий

2.3 Пример решения задачи моделирования и оптимизации себестоимости (эффективности) продукции производственной системы с двумя видами выпускаемых изделий

2.4 Метод и алгоритм математического моделирования и оптимизации себестоимости (эффективности) продукции производственных систем

с произвольным числом выпускаемых изделий

2.5. Пример решения задачи моделирования и оптимизации себестоимости (эффективности) продукции производственной системы с несколькими видами изделий выпускаемой продукции

2.6. Метод решения детерминированных задач нелинейного математического программирования

2.7. Детерминированная задача квадратичного математического программирования и метод ее решения

2.8. Интервальная задача квадратичного математического программирования и метод ее решения

2.9. Выводы по главе 2

Глава 3. ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ СИСТЕМА С ИНТЕРВАЛЬНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

3.1 Постановка интервальной задачи математического моделирования и оптимизации функционирования производственно-транспортных систем

3.2 Детерминизация задачи

3.3. Условия существования решения задачи и алгоритм его отыскания

3.4 Математическое моделирование производственной деятельности предприятия в виде производственной функции

3.5 Основные требования к производственным функциям

3.6 Виды производственных функций

3.7 Моделирование производства с помощью интервальных производственных функций

3.8 Численные методы моделирования производственных процессов с типовыми интервальными производственными функциями

3.9 Выводы по главе 3

Глава 4. КОМПЛЕКС ПРОГРАММ ДЛЯ РАБОТЫ С ИНТЕРВАЛЬНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ СИСТЕМ

4.1 Метод и алгоритм математического моделирования решения производственных задач с интервальными параметрами

4.2 Парадигмы программирования

4.3 Структура комплекса программ

4.4 Описание разработанного комплекса программ

4.5 Пример решения интервальной транспортной задачи

4.6 Интервальная производственная задача расчета потреблению электроэнергии

4.7 Интервальная производственная задача по определению относительных значений величины выпуска продукции и числа занятых в производстве

4.8 Выводы по главе 4

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ. Акты об использовании результатов диссертационного исследования

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование производственных систем с интервальной неопределенностью параметров»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. В процессе проектирования, разработки и последующего функционирования разнообразных создаваемых человеком систем — технических, экономических, социальных, производственных и т.д. - возникают проблемы, связанные с неточностью задания их параметров, а также с влиянием на эти системы большого числа различных внешних факторов и со значительной неполнотой информации о степени воздействия этих факторов на систему. Возможность пополнения этой информации сопряжена с необходимостью выделения дополнительных времени и средств, и потому, как правило, ограничена. В то же время указанная неполнота информации в сочетании с нестационарностью внешних воздействий не позволяет достаточно точно описать систему и, следовательно, обеспечить в полной мере заданные технические характеристики. Ввиду этого необходимо проведение исследований, разработка и внедрение в практику новых подходов к проектированию систем с неполной информацией об их параметрах в условиях неопределенности данных о факторах внешней среды.

В условиях неопределенности и неточности исходных данных для расчета систем уже долгое время традиционно применяются вероятностно-статистические методы. В последние годы все большее внимание исследователей сосредотачивается также на лингвистических методах и методах теории нечетких множеств, позволяющих в обоснованных случаях перейти от объективных, но сложных в использовании вероятностно-статистических оценок к субъективным, но более доступным нечетко-множественным экспертным оценкам. Однако в условиях высокой неопределенности, усугубленной нестационарностью происходящих в системе процессов и часто ограниченными возможностями наблюдения и контроля этих процессов, ни вероятностно-статистические, ни лингвистические (нечетко-множественные) методы не обеспечивают получения количественных оценок параметров системы, а также численных значений различных вероятностей и мер принадлежности нечетких множеств.

Одним из методов снижения неопределенности параметров системы является метод точечных оценок параметров, выбираемых в центрах соответствующих областей неопределенности, получивший развитие в трудах В.М. Белова, A.A. Ватолина, А.П. Вощинина, Ю.М. Гусева, А. Жолен, В.И. Жуковского, Л. Заде, В.П. Кузнецова и других. Несколько иной подход к проблеме математического моделирования систем в условиях неопределенности, развитый в трудах Ю.М. Волина, Т.В. Лаптевой, Т.М. Островского и др., заключается в исследовании систем, определяемых задачами математического моделирования со случайными коэффициентами в системе ограничений, но с точно заданными коэффициентами целевой функции. Задача приводится к полностью определенной обычными методами математического моделирования.

В последние годы трудами ряда зарубежных и отечественных ученых (Г. Алефельд, К. Иенсон, Р. Мур, Дж. Рон, Г.Р. Сотиров, И. Хансен, Ю. Херц-бергер, А.И. Орлов, С.П. Шарый, Ю.И. Шокин, З.Х. Юлдашев и др.) успешно развивается интервальный метод решения задачи математического моделирования систем в условиях неопределенности. В 1990-е годы В.И. Левиным был предложен систематический подход к решению данной задачи для систем с интервальной неопределенностью. Этот подход основан на том, что любую статическую систему, функционирующую в условиях неопределенности, с количественной характеристикой в виде интервальной функции [у, (х), у2 (х)] можно представить парой статических систем, функционирующих в условиях полной определенности, количественные характеристики которых суть _у,(х) (нижняя граничная система) и у2(х) (верхняя граничная система).

В соответствии с названным подходом задаются только интервалы возможных значений неопределенных параметров системы, однако не задаются никакие (ни объективные - вероятностные, ни субъективные - нечетко-множественные) функции распределения этих параметров внутри их заданных интервалов. Благодаря этому сложные расчеты систем с использованием функций распределения их параметров, имеющие своей целью нахождение точных

оценок этих параметров, при некоторых допущениях удается заменить расчетами, основанными на простых правилах выполнения элементарных операций над интервалами. Таким образом, применение интервального подхода к моделированию систем, работающих в сложных условиях (высокая неопределенность происходящих процессов, ограниченные возможности наблюдения и измерения характеристик процессов), может оказаться вполне эффективным. Поэтому тема данного исследования, посвященного моделированию систем с интервальной неопределенностью параметров, является актуальной.

Цель диссертационной работы заключается в разработке основанных на принципе математической детерминизации методов математического моделирования производственных систем с интервальной неопределенностью параметров, а также методов анализа и оптимизации этих систем.

Для достижения цели в диссертационной работе поставлены следующие задачи.

1. Развитие метода математического моделирования и оптимизации функционирующих в условиях интервальной неопределенности параметров производственных систем с целью достижения оптимального соотношения «затраты - выпуск».

2. Разработка методики математического моделирования производственного процесса в приложении к интервальной транспортной задаче линейного математического программирования в условиях интервальной неопределенности параметров недетерминированной производственной функции путем её детерминизации.

3. Разработка численных методов и алгоритмов для расчета динамических характеристик моделей производственных систем, имеющих интервальные двухфакторные производственные функции различного типа.

4. Создание комплекса программ для моделирования производственных процессов с интервальной неопределенностью параметров на основе разработанных методик и алгоритмов, а также проведение компьютерного эксперимен-

та на примере решения интервальной транспортной задачи и интервальной производственной задачи.

Объектом исследования являются производственные системы, функционирующие в условиях неопределенности технологических параметров и условий внешней среды.

Предмет исследования - математические модели и методы математического моделирования производственных систем и процессов в условиях интервальной неопределенности их параметров.

Методы исследования: методы интервальной математики, теории множеств, линейного и нелинейного программирования, математической детерми-низации, математической экономики, вычислительной математики.

Научная новизна работы. Новыми являются следующие научные результаты.

1. Разработаны методики математического моделирования и оптимизации производственных систем, функционирующих в условиях интервальной неопределенности параметров.

2. Разработаны эффективные вычислительные методы и алгоритмы для расчета характеристик, анализа и оптимизации систем с интервальной неопределенностью параметров, основанные на сочетании традиционных вычислительных методов исследования детерминированных систем с новым методом математической детерминизации систем с неопределенностью.

3. Создан комплекс проблемно-ориентированных программ для моделирования производственных функций с учетом интервальной неопределенности, а также решения задач оптимизации процессов с интервальными параметрами.

4. Проведены комплексные компьютерные исследования производственных систем с интервальной неопределенностью параметров на примере решения интервальной транспортной задачи и построения интервальных производственных функций с помощью комплекса проблемно-ориентированных программ.

Практическая значимость работы заключается в следующем.

1. Применение созданных методик и комплекса программ позволяет упростить расчеты и сократить затраты средств и времени на проектирование производственных систем, а также дает возможность определить многие важные характеристики этих систем: производительность, экономическую эффективность и устойчивость к внешним воздействиям, что открывает практические перспективы для синтеза оптимальных производственных систем.

2. Разработанные методика и расчетные алгоритмы обеспечивают проведение всестороннего анализа и оптимизацию производственных систем, они могут также оказаться полезными при исследовании ряда технических, социальных и биологических систем, функционирующих в условиях неопределенности.

Внедрение результатов работы. Основные результаты исследований внедрены в ОАО «Научно-производственное предприятие «Химмаш-Старт», г. Пенза, для исследования динамики основных фондов и объема выпускаемой продукции на примере механического участка. Результаты исследований в части решения транспортной задачи внедрены в МП «Автотранс», г. Заречный Пензенской области, для построения оптимального плана перевозок. Методика решения транспортной задачи и задач линейного программирования с интервальными параметрами использована в учебном процессе кафедры «Математика» Пензенского государственного технологического университета при реализации основных профессиональных образовательных программ.

Достоверность результатов работы подтверждается корректностью основных допущений, использованием апробированных методов математического моделирования, малой вычислительной погрешностью применяемых численных методов, внедрением на промышленном предприятии, апробацией на международных научных конференциях.

На защиту выносятся.

1. Метод математического моделирования производственных систем с интервальной неопределенностью параметров, обеспечивающий формализо-

ванный переход от словесного описания системы к ее математической модели с представлением в виде задачи дробно-линейного математического программирования, а от математической модели — к искомому оптимальному соотношению «затраты — выпуск» производственной системы.

2. Методика математического моделирования производственного процесса на примере решения транспортной задачи линейного математического программирования в условиях интервальной неопределенности параметров недетерминированной производственной функции, предусматривающая детермини-зацию параметров посредством задания верхних и нижних граничных детерминированных функций, которые получаются заменой всех интервальных коэффициентов и неизвестных переменных их нижними или верхними значениями.

3. Численные методы и алгоритмы определения характеристик производственных систем, имеющих типовые интервальные двухфакторные производственные функции - линейную, Кобба-Дугласа, с постоянной эластичностью замены факторов.

4. Комплекс программ для моделирования производственных процессов с интервальной неопределенностью параметров, а также результаты математического моделирования и компьютерного исследования решения интервальной транспортной задачи и интервальной производственной задачи с применением разработанных программных средств.

Соответствие паспорту научной специальности. Область исследования соответствует паспорту специальности 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ по пункту 2 «Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей», пункту 4 «Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента» и пункту 5 «Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента».

Публикации и апробация работы. По материалам диссертации имеется 15 публикаций, в том числе 4 статьи в журналах, рекомендованных ВАК, глава в коллективной монографии, свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. Основные положения диссертации докладывались на международных научно-технических конференциях «Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии и образовании» (Пенза, 2008, 2010 гг.), «Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-24» (Саратов, 2011 г.), «Проблемы управления, обработки и передачи информации - АТМ» (Саратов, 2011 г.), «Мегпе^еёисаиоп-Баепсе» (Украина, Винница, 2012 г.), «Современные информационные технологии» (Пенза, 2013 г.).

Личный вклад автора. Все основные научные результаты, приведенные в диссертации и сформулированные в положениях, выносимых на защиту, получены автором лично. Работы опубликованы в соавторстве с научным руководителем, которому принадлежат постановка решаемой задачи и формулирование цели исследования. Лично автором проведено математическое моделирование производственных систем с интервальной неопределенностью параметров, обработаны статистические данные, проведены экспериментальные исследования, интерпретированы и обобщены полученные результаты, сформулированы выводы.

Объем и структура диссертации. Работа состоит из введения, 4 глав, основных результатов и выводов по работе, библиографического списка из 123 наименований и приложения. Текст изложен на 153 страницах, содержит 15 рисунков, 17 таблиц.

Глава 1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ОПТИМИЗАЦИИ ПАРАМЕТРОВ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ СИСТЕМ В УСЛОВИЯХ ИНТЕРВАЛЬНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

1.1 Состояние проблемы

Неполнота информации о системе и вытекающие из этого проблемы математического моделирования систем в условиях неопределенности уже довольно продолжительное время и достаточно широко рассматриваются в работах зарубежных и отечественных ученых. При этом в большинстве работ применяются вероятностно-статистические, лингвистические или нечетко-множественные подходы к математическому моделированию систем. В качестве основного метода ухода от неопределенности заданных параметров системы используется метод точечных оценок параметров, выбираемых в центрах соответствующих областей неопределенности [9, 12, 13, 17-19, 41, 44, 46, 51, 71, 90, 91, 102, 106, 119, 123].

Несколько иной подход к проблеме математического моделирования систем в условиях неопределенности в связи с задачами оптимизации этих систем развит в работах [ 111, 118]. Здесь исследуются системы, определяемые задачами математического моделирования со случайными коэффициентами в системе ограничений, но с точно заданными коэффициентами целевой функции. Тогда для математического моделирования системы выбираются значения коэффициентов в системе ограничений, при которых эта система выполняется с высокой вероятностью р (например, р = 0,9 ) после чего решается получившаяся полностью определенная задача обычными методами математического моделирования. Если же не только коэффициенты ограничений, но и коэффициенты целевой функции случайны, то (в предположении, что речь идет о задаче максимизации) выбирается наихудшее возможное сочетание значений коэффициентов целевой функции из их областей неопределенности. Это дает полностью опре-

деленную задачу математического моделирования, которая решается обычными методами. Очевидно, что такое решение соответствует минимаксному методу-

Интервальный подход к проблеме математического моделирования систем в условиях неопределенности начался с работ, направленных на следующее:

1) анализ неопределенности, возникающей при вычислениях по данным с ошибками в условиях чисто детерминированной (интервальной) информации об ошибках;

2) анализ неопределенности из-за возникновения ошибок округления при расчетах на компьютерах.

Эти две задачи стимулировали поток публикаций зарубежных и отечественных ученых по созданию математического аппарата интервальных вычислений [1, 4, 21, 23, 28, 31, 40, 45, 52, 88, 89, 96, 98, 100, 101, 107, 110, 117, 118, 121, 122].

Этот аппарат позволяет вести вычисление интервальных функций и анализировать их, составлять и решать интервальные уравнения, интервальные задачи оптимизации и т.д. Однако результаты решений всех этих задач, полученные с помощью указанного аппарата, имеют принципиально интервальную форму. Другими словами, в рамках данного подхода невозможно получить решение задачи с интервальными исходными данными в форме точно задуманного числа. Это не всегда удобно, особенно когда речь идет о задачах принятия решения (в экономике, социальной сфере и т.д.). Поэтому в ряде работ, в первую очередь, связанных с принятием экономических решений, были предложены различные приемы, позволяющие при исследовании систем с интервальными исходными данными получать точные (однозначные) решения [19,20,21,24].

Все изложенные выше подходы к изучению функционирования систем в условиях неопределенности обладают одной общей принципиальной особенностью. Эта особенность заключается в том, что при математическом моделировании системы области возможных значений неопределенных собственных па-

раметров системы и области возможных значений внешних, влияющих на нее факторов, заменяются соответствующими точными значениями — «представителями» указанных областей, выбираемыми из соображений приемлемости, целесообразности или оптимальности, понимаемых в традиционном смысле. Такая замена позволяет свести исходную задачу моделирования системы в условиях неопределенности к задаче моделирования системы в условиях полной определенности, после чего остается лишь применить к последней хорошо известные детерминистические методы, чтобы получить ее решение и тем самым решение (в указанном выше смысле) исходной задачи [13,19].

Однако, указанная замена одной задачи на другую неэквивалентна, поскольку любая система, функционирующая в условиях неопределенности «содержит» в себе целое множество (в общем случае бесконечное) полностью определенных систем. Таким образом, проблема математического моделирования систем в условиях неопределенности остается. Она может быть сформулирована следующим образом: можно ли заменить моделирование системы, функционирующей в условиях неопределенности, моделированием конечного числа К (К>\ ) систем в условиях полной определенности так, чтобы второе было в строго определенном смысле эквивалентно первому? Понятно, что с практической точки зрения число К должно быть не слишком большим.

В 1990-е годы был предложен систематический подход к решению сформулированной проблемы для систем с интервальной неопределенностью [54,56,61,63] . Этот подход основан на том давно известном факте, что алгебраические операции над интервалами (сложение и вычитание, умножение и деление) сводятся к соответствующим операциям над точными числами — границами указанных интервалов. Это означает, что любую статическую систему, функционирующую в условиях неопределенности, с количественной характеристикой в виде интервальной функции [у1(х),у2(х)] можно представить парой статических систем, функционирующих в условиях полной определенности,

количественные характеристики которых суть >\(х) (нижняя граничная система) и у2{х) (верхняя граничная система).

Таким образом, оказывается возможным решать проблему моделирования статической системы в условиях неопределенности сведением к моделированию эквивалентной ей пары (т.е. К = 2) статических, полностью определенных (детерминированных) систем. Для того, чтобы сделать это возможным и для других, более сложных классов систем в условиях неопределенности, нужно вышеуказанное полезное свойство алгебраических операций над интервалами распространить и на другие необходимые операции, определив их надлежащим образом. Для динамических, оптимальных и некоторых других систем такой дополнительной необходимой операцией являются операции сравнения интервалов и выделение большего и меньшего из них. Построение этих операций таким образом, чтобы они обладали вышеуказанными полезными свойствами алгебраических операций над интервалами, было выполнено в работах [54, 58, 59, 61, 66], после чего и появился подход, позволяющий сводить моделирование, расчет и оптимизацию системы с интервальной неопределенностью к решению аналогичных задач для К = 2 полностью определенных (детерминированных) систем. Этот подход, получивший название математической детерми-низации, открыл дорогу математическому моделированию функционирующих в условиях неопределенности систем разнообразного назначения: экономических, социальных, технических, производственных, военных и т.д. — с использованием хорошо разработанных и эффективных методов исследования полностью определенных (детерминированных) систем. Вышесказанное определило цель и задачи диссертационного исследования.

1.2. Выбор подхода к математическому моделированию производственных систем с интервальной неопределенностью параметров

В настоящее время наука накопила богатый опыт исследования различных систем с полностью определенными (детерминированными) параметрами. Соответствующие задачи обычно формулируются как задачи расчета, анализа и синтеза тех или иных функций с детерминированными параметрами, которые являются характеристиками изучаемых систем. Однако, на практике все чаще встречаются системы с неполностью определенными (недетерминированными) параметрами. Причины этого явления таковы:

1) естественная неопределенность, свойственная многим реальным процессам и системам;

2) неточное задание параметров большинства систем из-за погрешностей вычислений или измерений;

3) возникающая необходимость совместного изучения семейства однотипных систем, имеющих однотипные функции-характеристики и различающихся лишь значениями параметров указанных функций;

4) изменение во времени параметров некоторых систем.

Исследование неопределенных систем формулируется в виде задач расчета,

анализа и синтеза характеристик этих систем, имеющих вид тех или иных функций с недетерминированными параметрами: случайными, нечеткими, интервальными и т.д. Все эти задачи гораздо сложнее их детерминированных аналогов, что связано со значительным усложнением алгебраических операций над числами при переходе в область недетерминированных чисел.

В настоящее время наиболее распространены три различных подхода к исследованию неопределенных систем: детерминированный, вероятностный и нечеткий.

Первый подход состоит в решении поставленной задачи для определенных значений параметров системы, взятых достаточно произвольно внутри соответствующих заданных областей неопределенности. Так, можно выбрать наихуд-

Л' I,

шее значение или сочетание значений параметров (пессимистический подход), их наилучшее значение или наилучшее сочетание значений (оптимистический подход) и др. Достоинство этого подхода - простота интерпретации получаемого решения (так, при пессимистическом подходе получается наихудшее возможное решение, при оптимистическом подходе - наилучшее возможное решение); недостаток - ориентировка на какое-то одно определенное (чаще всего экстремальное) значение или сочетание значений параметров системы, которое на практике реализуется очень редко, что может обернуться неоправданной сложностью получаемого в результате исследования системы решения [42,108].

Второй подход состоит в решении задачи для усредненных (ожидаемых) значений параметров системы, что предполагает задание вероятностных распределений этих параметров внутри соответствующих областей неопределенности. Достоинство этого подхода — ориентировка получаемого решения хотя и на одно, но зато наиболее часто реализующееся значение или сочетание значений параметров системы, недостаток - необходимость знания вероятностных распределений параметров системы, что далеко не всегда возможно [35].

Третий подход идейно близок второму, но отличается тем, что вместо вероятностных распределений параметров изучаемой системы, являющихся объективными характеристиками значений этих параметров, используются нечеткие распределения параметров системы, получаемые экспертным путем.

Все три изложенных подхода к исследованию неопределенных систем объединяет предварительная, достаточно произвольная «детерминизация» параметров системы, выполняемая перед решением поставленной задачи исследования неопределенной системы.

Однако возможен и принципиально иной, четвертый подход - математическая детерминизация [55, 60, 64] , когда параметры системы не детерминизи-руются произвольным образом путем ее детерминизации, а решение нужной задачи проводится в ее «естественной» форме, т.е. с учетом взятого целиком множества всех возможных значений недетерминированных параметров систе-

мы. Именно такой подход используется в данной диссертации для исследования производственных систем с учетом неопределенности параметров.

Достоинство этого подхода — ориентировка получаемого решения на все множество возможных значений параметров изучаемой системы внутри их областей неопределенности и отсутствие потребности в знании вероятностных, нечетких или других распределений этих параметров внутри их области неопределенности; недостаток - несколько более сложная интерпретация решения. При изложении используемого подхода будем считать параметры всех функций - характеристик изучаемых производственных систем - неопределенностями интервального типа. При этом мы будем стремиться к тому, чтобы свести решение возникающей недетерминированной задачи изучения неопределенной системы к решению эквивалентного ей минимального числа (двух) соответствующих детерминированных задач, в которых параметры изучаемой системы образуются в результате некоторых операций над конкретными комбинациями нижних и верхних границ интервалов - параметров исходной системы. Первое обстоятельство важно потому, что интервальные оценки неизвестных параметров систем наиболее просты и доступны для получения. Второе важно тем, что позволяет привлечь к исследованию неопределенных систем весь арсенал средств, разработанных в теории полностью определенных (детерминированных) систем. В результате исследование неопределенных систем становится, с вычислительной точки зрения, сопоставимым с исследованием полностью определенных систем.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Немкова, Елена Анатольевна, 2014 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. — М.:Мир, 1987.-360 с.

2. Алексеев Е., Чеснокова О. Решение задач вычислительной математики в пакетах Mathcad 12, MATLAB 7, Maple 9 - М.: «НТ пресс», 2006. - 492 с.

3. Астахов Ю.И., Клейнер Г.Б., Рейхельсон Е.И. Применение производственных функций на стадии предплановых расчетов в электромашино-строении//Электротехническая промышленность. — 1982. — № 2. - С. 47-54.

4. Ащепков Л.Т., Косогорова И.Б. Минимизация квадратичной функции с интервальными коэффициентами // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2002.- Т.42. - № 5.- С. 653-664.

5. Ащепков Л.Т., Милютин A.B. Управление запасами с ограниченным сроком хранения в условиях интервального спроса // Труды ХШ Байкальской международной школы-семинара «Методы оптимизации и их приложения».- Т.4. Интервальный анализ. - Иркутск: ИСЭМ СО РОН, 2005. - С. 27-33.

6. Ащепков Л.Т., Стегостенко Ю.Б. Стабилизация линейной дискретной системы управления с интервальными коэффициентами // Изв. вузов. Математика. - 1998. - № 12 (439). - С.3-10.

7. Баркалов Н.Б. Производственные функции в моделях экономического роста. -М.МГУ, 1981. -214 с.

8. Бодров В.И., Лазарева Т.Я., Мартемьянов Ю.Ф. Математические методы принятия решений Учеб. пособие. — Тамбов: Изд-во Тамб. гос. тех. ун-та. — 2004.-124 с.

9. Белов Б.И., Анциферов Е.Г. К установлению линейных зависимостей в условиях неопределенности исходных данных // Информационный сборник трудов Вычислительного центра Иркутского государственного университета. Вып. II. Иркутск: Изд-во Иркутского университета, 1968. - С. 143147.

10. Бережная Е.В., В.И. Бережной Математические методы моделирования экономических систем — М.: Финансы и статистика, 2003. — 368 с.

11. БобылевН.А., Емельянов C.B., Коровин С.К. О положительной определенности интервальных семейств симметрических матриц // Автоматика и телемеханика. -2000. - № 8. - С. 5-10.

12. Бронз П.В. Оценка экономической эффективности инвестиционных проектов по интервальным данным // Всероссийское (с международным участием) совещание по интервальному анализу и его приложениям «Интервал -06». - СПб.: ВВМ, 2006. - С. 21-25.

13. Ватолин A.A. О линейных моделях с неоднозначно заданной информацией // Методы выпуклого программирования и некоторые приложения : Сб. научн. трудов. - Свердловск, 1992. - С.3-18.

14. Вентцель Е.С.Овчаров Л.А. Теория вероятностей и её инженерные приложения - М.: Высшая школа, 2000. - 480 с.

15. Вержбицкий В.М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные диференциальные уравнения) -М.: Оникс, 2005. - 400 с.

16. Вильяме С.С. Параметрическое программирование в экономике. — М.: Статистика, 1976. - 96 с.

17. Вощинин А.П. Задачи анализа с неопределенными данными - интерваль-ность и/или случайность? // Труды международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2004. - Новосибирск: Изд-во ИВ-МиМГ СО РАН, 2004.- С.147-158.

18. Вощинин А.П., Сотиров, Г.Р. Оптимизация в условиях неопределенности. -Москва-София: Изд-во МЭИ (СССР), «Техника» (НРБ), 1989. - 224 с.

19. Вощинин А.П., Тюрин A.B., Яковлев Н.Е. Вероятностная, интервальная и нечеткая модель неопределенных чисел при оценке риска // Бюллетень по атомной энергии, « 12, 2003.

20. Горчаков A.A., Орлова И.В. Компьютерные экономико-математические модели - М.:ЮНИТИ, 1999. - 345 с.

21. Гусев Ю.М., Ефанов В.Н., Крымский В.К., Рутковский В.Ю. Анализ и синтез линейных интервальных динамических систем (состояние проблем). Часть I. Анализ с использованием интервальных характеристик полиномов. Часть II. Анализ устойчивости интервальных матриц и синтез робаст-ных регуляторов// Изв. РАН. Техн. кибернетика. - 1991.-№ 1. С.3-23; - № 2.-С. 3-20.

22. Давыдов Д.В. «Портфельное» инвестирование в ресурсной экономике. Интервальный подход// Экономика природопользования. — 2009. - № 1. С. 69-79.

23. Давыдов Д.В. Идентификация параметров линейных интервальных управляемых систем с интервальным наблюдением // Известия РАН, Теория и системы управления. - 2008. - № 6. - С. 25-29.

24. Давыдов Д.В. Интервальная идентификация макроэкономических параметров // Информатика и системы управления. - 2009. - № 2 (20). — С. 6886.

25. Давыдов Д.В. Интервальная модель оценки инвестиционных проектов // XXX международная научная школа-семинар им. акад С.С. Шаталина. Труды школы-семинара. Часть II.- Воронеж: Изд-во ВГУ, 2007. - С. 296298.

26. Давыдов Д.В. Интервальное восприятие информации и экономическое поведение потребителя: методологические аспекты // Вопросы экономики. -2007.-№ 12.-С. 60-70.

27. Давыдов Д.В. Методология принятия экономических решений с позиций субъективной неопределенности // Вестник Российской экономической академии им. Г.В.Плеханова. - 2009. - № 2(26). С. 111-120.

28. Давыдов Д.В. Стабилизация управляемых систем с интервальными параметрами: Диссертация ... канд. физ.-мат. наук. - Владивосток, 2003. - 123 с.

29. Давыдов Д.В., Тарасов A.A. Интервальное представление цен и оптимальный выбор потребителя // Информатика и системы управления. - 2004. № 2(8).-С. 80-89.

30. Давыдов Д.В., Тарасов A.A. Модели поведения потребителей: экспериментальная проверка в региональных условиях // Информатика и системы управления. - 2003. - № 2(6). - С. 57-66.

31. Давыдов Д.В., Тарасов A.A. Существование функций полезности при интервальных предпочтениях с показателем // Информатика и системы управления. - 2008 .- № 1(15). - С. 113-120.

32. Дилигенский Н.В., Дымова Л.Г., Севастьянов П.В. Нечеткое моделирование и многокритериальная оптимизация производственных систем в условиях неопределенности: технология, экономика, экология. — М.: «Издательство Машиностроение -1», 2004. - 335 с.

33. Дубров A.M., Лагоша Б.А., Хрусталев Е.Ю. Моделирование рисковых ситуация в экономике и бизнесе. -М.: Финансы и статистика, 2003. — 224 с.

34. Дуброва, Т.А. Статистические методы прогнозирования - М.: ЮНИТИ — ДАНА, 2003.-206 с.

35. Дугарова И.В. Применение интервального анализа при проектировании систем управления с неопределенными параметрами: Диссертация ... канд. тех.наук. - Томск, 1989. - 189с.

36. Дьяконов В. П. Maple 10/11/12/13/14 в математических расчетах.— М.: ДМК-Пресс. 2011. — С. 800.

37. Еремин И.И. Противоречивые модели оптимального планирования .- М.: Наука, 1988.-159 с.

38. Ермольцев Ю.М., Ястремский А.И. Стохастические модели и методы в экономическом планировании. - М.: Наука, 1979. - 256 с.

39. Жолен Л., Кифер М., Дидри О., Вальтер Э. Прикладной интервальный анализ. - Ижевск: НИЦ РХД,2007. - 468 с.

40. Жуковский В.И., Молоствов B.C. Многокритериальное принятие решений в условиях неопределенности. -М.: МНИИПУ, 1988. - 131 с.

41. Заде JI. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. - М.: Мир, 1976. - 165 с.

42. Захаров A.B., Шокин Ю.И. Синтез систем управления при интервальной неопределенности параметров их математических моделей. // ДАН СССР. - 1988. - Т. 299, № 2. С.292-295.

43. Зельдович, Я.Б., Мышкис А.Д. Элементы прикладной математики - СПб.: Лань, 2002. - 592 с.

44. Ивлев P.C. Асимптотическая устойчивость и положительная определенность интервальной матрицы со связями // Вычислительные технологии. -2003.-Т.8.- №5. С. 63-77.

45. Калмыков С.А., Шокин Ю.И., Юлдашев З.Х. Методы интервального анализа. - Новосибирск: Наука, 1986. - 224 с.

46. Канторович Л.В. О некоторых новых подходах к вычислительным методам и обработке наблюдения // Сибирский математический журнал. — 1961. - Т.З- № 5. - С. 701-709.

47. Колемаев В.А. Математическая экономика. - М.: ЮНИТИ, 2002. - 398 с.

48. Клейнер Г.Б. Производственные функции: теория, методы, применение. — М.: Финансы и статистика, 1986. - 238 с.

49. Клейнер Г.Б. , Смоляк С.А. Эконометрические зависимости: принципы и методы построения - М.: Наука, 2000. - 104 с

50. Кузнецов В.П. Интервальные статистические модели. - М.: РиС, 1991. -347 с.

51. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. -М.: Наука, 1977.-390 с.

52. Красовский H.H., Куржанский А.Б., Кибзун А.И. Современные проблемы оптимизации и устойчивости неопределенных и стохастических систем / // Автоматика и телемеханика. - 2007.- № 10.-С.3-26.

53. Лазарев Ф.В., Лебедев С.А. Проблема истины в социально-гуманитарных науках: интервальный подход // Вопросы философии. - 2005. - № 10. - С. 95-115.

54. Левин В.И. Булево линейное программирование с интервальными коэффициентами // Автоматика и телемеханика. - 1994. - № 7. -С. 111-122

55. Левин В.И. Что такое интервальная задача математического программирования // Информационные технологии. - 2009. - № 2. - С.80-81

56. Левин В.И. Дискретная оптимизация в условиях интервальной неопределенности // Автоматика и телемеханика, 1992. №7. - с.97-106.

57. Левин В.И. Интервальная логика и ее применение к задачам управления // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 2002. - С. 174-188.

58. Левин В.И. Интервальная математика и исследование систем в условиях неопределенности - Пенза: Изд-во Пенз. технол. ин-та. — 1998. — 56 с.

59. Левин В.И. Интервальные методы оптимизации систем в условиях неопределенности. - Пенза: Изд-во Пенз. технол. Ин-та. - 1998. - 101 с.

60. Левин В.И. Моделирование задач оптимизации в условиях интервальной неопределенности // Изв. Пенз. гос. пед. ун-та. Сер. «Физ.-мат. и техн. науки».-2011.- № 26. - С.589-595.

61. Левин В. И. Непрерывная логика и ее применение // Информационные технологии, 1997. № 1. С. 17—21.

62. Левин В.И. Оптимизация систем в условиях интервальной неопределенности. Метод детерминизации . -М.: ВСПУ-2014- С.2313-2319.

63. Левин В.И. Сравнение интервальных величин и оптимизация неопределенных систем // Информационные технологии. 1998. № 7. С.22-32.

64. Левин В.И. Интервальная математика и изучение неопределенных систем // Информационные технологии. 1998. № 6. С.27-33.

65. Левин В.И. Сравнение интервальных чисел и оптимизация систем с интервальными параметрами. // Автоматика и телемеханика. — 2004. — № 4— С .133-143.

66. Левин В.И. Упорядочение интервалов и оптимизация в задачах с интервальными параметрами // Кибернетика и системный анализ. - 2004. —№ 3. -С. 14-24.

<

67. Левин В.И. Упрощенная методика оптимизации систем в условиях интервальной неопределенности //Информационные технологии. - 2012. - № 12. -С. 19-24.

68. Левин В.И. Непрерывная логика. Ее обобщения и применения. 1, 2 //Автоматика и телемеханика, 1990. №8. - С.3-22 - и - №9. - С. 3-26.

69. Малыхин, В.И. Математика в экономике [Текст] / В.И. Малыхин. - М.: ИНФРА-М, 2002. - 352 с.

70. Математическое программирование/ Кузнецов A.B. и др. - М.: Лань, 2010. -351 с.

71. Моисеев H.H. Предисловие/ В кн.: Орловский С.А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации. - М.: Наука, 1981. - 208 с.

72. Назаренко Т.И., Марченко Л.В. Введение в интервальные методы вычислительной математики. - Иркутск: Иркутский государственный университет, 1982.- 108 с.

73. Назарова Н.В. Математическое моделирование производственных функций со случайными аргументами: Диссертация ... канд. техн. наук. — Пенза, 2005.-151 с.

74. Немкова Е.А. Интервальное решение недетерминированной транспортной задачи// Известия Пензенского государственного педагогического университета. Физико-математические и технические науки. — 2012. - № 30. С. 443-447

75. .Немкова Е.А. Интервальные методы оптимизации в условиях неопределенности / В.И.Левин. Е.А.Немкова // Internet-education-science: сборник статей международной НТК (г. Винница, 1-5 октября 2012) - Винница: Изд-во Винницкого национального технического университета - С. 150151.

76. Немкова Е.А. Математические и компьютерные методы в технических, гуманитарных и общественных науках: монография / С.Д.Алгазини др-Пенза; Москва: Приволжский Дом знаний; МИЭМП, 2011. - С. 31-41.

77. Немкова Е.А. Моделирование, анализ, оптимизация систем в условиях неопределенности// Интеллектуальны технологии будущего. Естественный и искусственный интеллект: материалы Всероссийской молодежной конференции. - Воронеж: ИПЦ «Научная книга», 2011. - 61-65.

78. Немкова Е.А., Земцова Н.К. Интервальное решение транспортной задачи // Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии и образовании Сборник статей XXVI Международной НТК -Пенза, ПДЗ, 2010. С. 18-20.

79. Немкова Е.А., Земцова Н.К., Пильщикова И.Ю. Интервально-параметрический подход к решению транспортной задачи// Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии, образовании: Сборник статей XXI Международной научно-технической конференции. - Пенза. ПДЗ, 2008. - С. 39-40.

80. Немкова Е.А., Левин В.И. Интервальная задача дробно-линейного программирования //Обозрение прикладной и промышленной математики: научно-технический журнал. - Т. 13. - Выпуск 4, 2006.-Москва: «ОПиПМ», С. 666.

81. Немкова Е.А., Левин В.И. Интервальная задача дробно-линейного программирования. Графическое решение. // Сборник трудов международной конференции «Ресурсосбережение в химической технологии».- С.-Пб.: СПб ГТИ(ТУ), 2012 .- С. 63-65.

82. Немкова Е.А., Левин В.И. Решение интервальной задачи дробно-линейного программирования //Математические методы в технике и технологиях -ММТТ-24:сб.трудов XXIV Междунар. Науч.конф.: в Ют. Т.2. Секция 2, 8 /под общ. ред. В.С.Балакирева. - Киев: Национ. Техн. ун-т Украины «КПИ», 2011. - С.12-14.

83. Немкова Е.А., Левин В.И. Решение интервальной задачи дробно-линейного программирования сведением к задаче линейного программирования// Молодой ученый: научный журнал. - Т.1. - №8(31), 2011.- Чита: «Молодой ученый», С.30-34.

84. Немкова Е.А., Левин В.И. Решение интервальной задачи квадратично го программирования методом детерминизации// Вестник Тамбовского государственного технического университета. - Тамбов: ГОУ ВПО ТГТУ, 2012.-Т. 18. - № 1. - С. 203-211

85. Немкова, Е.А., Левин В.И. Интервальная задача дробно-линейного программирования// Проблемы управления, обработки и передачи информации - ATM - 2011: сб.трудов П междунар. науч. конф. /под ред. А.Г.Александрова и М.Ф.Степанова: Саратов: изд-во «Научная книга», 2011.-С. 55-58.

86. Немкова, Е.А., Бурков В.В. Комплекс программ моделирования производственных систем с интервальными параметрами // XXI век: итоги прошлого и проблемы настоящего ПЛюс - 2012. - № 5. - С. 205-211.

87. Немкова Е.А. Моделирование интервальных производственных функций // Современные информационные технологии: сборник статей Международной НТК. - Пенза: ПГТА, 2013. - Вып. 17. - С. 40-43.

88. Орлов А.И. Интервальная статистика //Interval Computations. -1992 - № 1(3).-С. 44-52.

89. Орлов А.И. Интервальный статистический анализ // Статистические методы оценивания и проверки гипотез: Межвуз. сб. науч. трудов. — Пермь: Изд-во Пермс.гос.ун-та, 1993.-С. 149-158.

90. Орловский С.А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации. - М.: Наука, 1981. - 208 с.

91. Островский Г.М., Волин, Ю.М. Технические системы в условиях неопределенности. Анализ гибкости и оптимизация. - М.: Бином. - 2008 —

92. Островский Г.М., Зиятдинов, Н.Н., Лаптева, Т.В. Оптимизация технических систем. -М.: ООО «Кнорус». - 2012. -

93. Рамик Я., Римайнек Й. Линейные ограничения с неточными данными // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. - 1987. - № 2. - С. 41-48.

94. Тарасевич, Ю.Ю. Математическое и компьютерное моделирование — М.: Едиториал УРСС, 2003. - 144 с.

95. Тарасов А.А. Интервальные оптимизационные задачи в теории потребительского выбора // Исследовано в России: электрон, многопредм. научн. журн. URL: http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2006/124.pdf (дата обращения 15.04.2013 г.)

96. Тен И.Г. Синтез оптимального управления в условиях интервальной неопределенности в моделях.// Интервальные вычисления. - 1992. . - № 11. -С. 27-30.

97. Трухаев Р.И. Модели принятия решений в условиях неопределенности. — М.: Наука, 1981.-257 с.

98. Уланов Б.В. Управление динамическими системами при неполной информации об их параметрах, состоянии и размерности. // ДАН СССР, 1989, Т.308.. - № 4. - С.308-316.

99. Шарый С.П. Интервальные алгебраические задачи и их численное решение: Диссертация ... д-ра физ.-мат. наук. - Новосибирск: ИВТ СО РАН, 2000.-332 с.

100. Шашихин В.Н. Оптимизация интервальных систем. // Автоматика и телемеханика. - 2000. - № 11. - С. 17-24.

101. Шашихин В.Н. Решение интервальной матричной игры в смешанных стратегиях // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2001. - № 5. С. 97-104.

102. Шокин Ю.И. Интервальный анализ. - Новосибирск: Наука.- 1981. - 284 с.

103. Юдин, Д.Б. Задачи и методы стохастического программирования. - М.: Сов.Радио,1979. - 392 с.

104. Aschepkov L.T., Dolgy D.V. The interval solutions of interval systems of linear algebraic équations // International journal of software engineering and knowledge engineering. - 1993. - V.3.- № 4. - Pp. 477-485.

105. Aschepkov L.T., Davydov D.V. Réductions of interval noncooperative games // Computational mathematics and mathematical physics. - 2006. - Vol. 46, № 11.-Pp. 1910-1917.

106. Beeck H. Linear programming with inexact data // Report TUM-ISU-7830. Technical University.-Munich, 1978.

107. Bilgic T. Interval-valued preference structures // European journal of operational research. - 1998. - №105(1). - Pp. 162-183.

108. Collins W.D., Hu C. Fuzzily determined interval matrix games // Mathematics and computer science department, Hendrix College; Computer science department, University of Central Arkansas. - Mimeo, 2005. - 7 p.

109. Davydov D.V. Identification of parameters of linear interval controllable systems with interval observation //Journal of computer and systems sciences international. -2008. -Vol. 47. - № 6. Pp. 861-865.

110. Jansson C. A self-validating method for solving linear programming problems with interval input data// Computing supplement. - 1998. - № 6. - Pp. 33-46.

111. Karl W.C., Greschak J.P., Verghese G.C. Comments on " A necessary and sufficient conditions for stability of interval matrices."// Int.J.Contr., 1984, Vol. 39. - № 4. - Pp. 849-851.

112. Levin V.I. An M-Stage System with Indeterminate Processing Time. Schedule Optimization. I,II // Automation and Remote Control. - 2002. -Vol.63. -№ 2. Pp. 289-295.

113. Levin V.I. Comparison of Interval Nambers and Optimization of Interval-Parameter Systems// Automation and Remote Control. - 2004. -Vol. 65. - № 4. Pp. 625-633.

114. Levin V.I. Interval Discrete Programming // Cybernetics and System Analysis. -1994.- Vol. 30.- № 4. -Pp.866-874.

115. Levin V.I. Optimization in Terms of Interval Uncertainty: The Determinization Method. // Automatic Control and Computer Sciences. - 2012. - Vol. 46.- № 4. -Pp. 157-163.

116. Levin V.I. Ordering of Intervals and Optimization in Interval-Parameter Problems // Cybernetics and System Analysis. - 2004.- Vol. 40- № 3. -Pp.316-324.

117. Moore R.E. Methods and applications of interval analysis. - SIAM, Philadelphia, 1979.-190 p.

118. Mraz F. Calculating the exact bounds of optimal values in LP with interval coefficients // Annals of operations research. - 1998. - Vol. 51. - Pp. 51-62.

119. Peto R. Experimental survival curves for interval-censored data // Applied statistics. - 1973. - Vol. 22. -Pp.86-91.

120. Rohn J., Kreslova J. Linear interval inequalities // Linear and multilinear algebra. - 1994. - Vol. 38. -P.41-43.

121. Rohn J. Input-output model with interval data // Econometrica. - 1980. -Vol.48.-Pp. 767-769.

122. Yedavalli R.K. Stability analysis of interval matrices: another sufficient condution // International journal of control. - 1986. - Vol.43. - № 3. - Pp. 767772.

123. Zadeh L. Fuzzy sets // Information and control. - 1965. - Vol. 8. - № 1. - Pp. 338-353.