Математическое моделирование процессов распространения чистых мод упругих волн в кристаллах и супракристаллах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Кочаев, Алексей Иванович

• Кочаев, Алексей Иванович
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кочаев, Алексей Иванович

СОДЕРЖАНИЕ

Список основных обозначений

Введение

Глава 1. Акустическая анизотропия кристаллов

(аналитический обзор)

1.1. Распространение упругих волн в анизотропных средах.

Продольные и поперечные акустические нормали

Упругая анизотропия кристаллов (18). Закон распространения упругих волн в кристаллах (19). Продольные и поперечные нормали (21). Перенос энергии упругими волнами в кристаллах (22).

1.2. Отыскание продольных акустических нормалей. Методы

Боргниса и Браггера

Отыскание продольных нормалей Боргнисом (23). Отыскание продольных нормалей Браггером (26).

1.3. Отыскание поперечных акустических нормалей. Методы Чанга и Тинга

1.4. Чистые моды упругих волн в пьезоэлектрических кристаллах

Координатные и ковариантные методы (30). «Ужесточенные» модули упругости (32).

1.5. Отыскание продольных и поперечных акустических

нормалей методом построения поверхностей скоростей

Поверхности фазовых скоростей упругих волн(34).

1.6. Выводы по главе 1

Глава 2. Математические модели распространения упругих волн в кристаллах. Методы и программы поиска чистых мод упругих волн

2.1. Метод диагонализации элементов матрицы эффективных модулей упругости. Математическая модель

2.1.1. Продольные нормали

Суть метода (39). Уравнения продольных нормалей (41).

2.1.2. Поперечные нормали

2.1.3. Описание программы

2.1.4. Примеры реализации метода

2.2. Метод построения поверхностей фазовых скоростей. Математическая модель

2.2.1. Продольные нормали

2.2.2. Поперечные нормали

2.2.3. Описание программы

2.2.4. Примеры реализации метода

2.3. Верификация построенных моделей

2.4. Выводы по главе 2

Глава 3. Математические модели, численные расчеты упругих характеристик и поиск чистых мод упругих волн в 2В-супракристаллах

3.1. 20-супракристаллы, их симметрия и упругие свойства

3.1.1. Типы симметрии 20-супракристаллических решеток

Наноразмерные материалы (66). Супракристаллы: модели и симметрия (67).

3.1.2. Численный расчет упругих характеристик

2Б-супракристаллов. Математическая модель

3.1.3. Упругие характеристики углеродных

2Б-супракристаллов

Силовые константы углеродных 2Б-супракристаллов (71). Модули упругости углеродных 2В-супракристаллов (72).

3.2. Упругие волны в 20-супракристаллах

3.2.1. Модификация математической модели

3.2.2. Продольные и поперечные нормали в углеродных 2Б-супракристаллах

3.3. Изгибные волны в 2Б-супракристаллах

3.3.1. Математическая модель. Вывод волнового уравнения

3.3.2. Модуль Юнга и коэффициент Пуассона для 2Б-супракристаллов

3.3.3. Численные расчеты скоростей распространения изгибных

волн в 2Б-супракристаллах

3.4. Выводы по главе 3

Глава 4. Математические модели, численные расчеты упругих характеристик и поиск чистых мод упругих волн в ЗБ-су пракристаллах

4.1. ЗВ-супракристаллы, их симметрия и упругие свойства

4.1.1. Типы симметрии ЗБ-супракристаллических решеток

4.1.2. Численный расчет упругих характеристик

ЗБ-супракристаллов. Математическая модель

4.1.3. Упругие характеристики углеродного

супракристалла (С)СТо

4.2. Упругие волны в ЗБ-супракристаллах

4.2.1. Модификация математической модели

4.2.2. Продольные и поперечные нормали в углеродном

супракристалле (С)СТо

4.3. Выводы по главе 4

Заключение

Приложение 1

Приложение II

Список используемой литературы

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

4а - постоянная решетки;

А - амплитуда волны; выражение, зависящее от направляющих косинусов направления распространения волны;

а - характерный радиус-вектор сферической системы координат; ао - боровский радиус;

аш - направляющие косинусы подвижной системы координат относительно кристаллофизической;

сц...с66 - компоненты тензора модулей упругости при постоянной энтропии;

В, С - выражения, зависящие от направляющих косинусов направления распространения волны;

Ov, Сзу - классы симметрии (обозначение по Шенфлису);

Cikim ~ тензор модулей упругости;

~сМт - «ужесточенный» тензор модулей упругости;

Rlyl] - матрица эффективных модулей упругости; Z)2 - двумерный модуль изгиба;

D4> D4h, D3, D3d- классы симметрии (обозначение по Шенфлису);

Dç— вектор индукции электрического поля;

d - длина ребра супраячейки;

Ег - двумерный модуль Юнга;

£Bf - энергия образования связи;

Eatom ~ энергия, приходящаяся на один атом;

Ebond ~ энергия, приходящаяся на одну связь;

Ее— вектор напряженности электрического поля;

Emet - энергия металлической связи;

Epair - энергия связи на пару атомов;

Ерег - энергия отталкивания;

ем - тензор пьезоэлектрических модулей; П— быстрая квазипоперечная волна; /- частота волны;

/ь/ьУз _ функции, зависящие от компонент модулей упругости, пьезо-констант, диэлектрических проницаемостей, плотности кристалла и трех направляющих косинусов направления распространения; к - приведенная постоянная Планка;

к - волновой вектор;

кг] - коэффициент электромеханической связи;

Ь - чисто продольная волна; Ьк - ось симметрии А:-го порядка; / - межатомное расстояние;

т - плоскость симметрии, масса свободного электрона;

ИА - число Авогадро;

п - вектор волновой нормали;

п2 - число ближайших соседей атома;

р - вектор, параллельный вектору смещения;

QL - квазипродольная волна;

ОТ— квазипоперечная волна;

Ц - вектор, ортогональный векторам п и и;

Я - радиус инерции оболочки относительно оси, перпендикулярной плоскости изгиба; г -радиус-вектор;

- интеграл перекрытия электронных орбиталей; 5Т- медленная квазипоперечная волна;

- удельная поверхность;

Буи - тензор упругих податливостей;

Т2 - чисто поперечная упругая волна, поляризованная вдоль х2'; Т3 - чисто поперечная упругая волна, поляризованная вдоль х3';

? - время;

V— групповая скорость изгибной волны; й - вектор смещения частиц (поляризации волны); и\ V' - внутренние смещения;

У] - матричный элемент оператора энергии металлизации; У2 - матричный элемент оператора ковалентной энергии; Уз - матричный элемент оператора полярной энергии; Ус{ - класс симметрии (обозначение по Шенфлису); V - фазовая скорость волны;

- энергия центрального межатомного взаимодействия; РУус ~ энергия нецентрального межатомного взаимодействия; XV - плотность энергии упругой волны;

(X, У, Т) — кристаллографическая система координат; (хь х2, х3) - кристаллофизическая система координат; {х\,х2\хт,') - произвольная подвижная ортогональная система координат;

а - константа центрального межатомного взаимодействия; ас - степень ковалентности;

а, р,к, ж — типы чистых мод упругих волн в кристаллах; Р - константа нецентрального межатомного взаимодействия; Тш, Г - тензор Грина - Кристоффеля; у!т - тензор деформаций; А - оператор Лапласа; ¿¡т - символ Кронекера;

- тензор Леви-Чивита;

- тензор диэлектрических проницаемостей;

С, - угол поворота каждой из входящих в <т-связь орбиталей; г\2 - коэффициент, зависящий от типа гибридизации; в - характерный угол сферической системы координат;

X - коэффициент, который выражается через матричные элементы оператора ковалентной энергии между соответствующими атомными волновыми функциями и р-состояний; /л - молярная масса; а - коэффициент Пуассона; а,к - тензор механических напряжений; р - плотность; Р2 - двумерная плотность;

ср - характерный угол сферической системы координат; со - циклическая частота волны.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование процессов распространения чистых мод упругих волн в кристаллах и супракристаллах»

ВВЕДЕНИЕ

Упругие волны в кристаллах, благодаря малой по сравнению с электромагнитными волнами скорости распространения, находят широкое применение в акустоэлектронике и акустооптике по двум причинам. Во-первых, упругие волны ультразвуковой частоты являются эффективным средством исследования физических свойств кристаллов: молекулярной структуры, неоднородностей и дефектов. Гиперзвуковые упругие волны применяются при исследовании электронной структуры металлов, электрон-фононных взаимодействий, механизмов фазовых переходов и некоторых других физических явлений. Во-вторых, упругие волны нашли важное практическое применение в таких устройствах, как акустические линии задержки, электромеханические и пьезоэлектрические преобразователи, резонаторы, усилители и генераторы электромагнитных волн сверхвысокой частоты.

Практический интерес представляют, главным образом, чисто продольные и чисто поперечные упругие волны, поскольку в таких направлениях их фазовая и групповая скорости совпадают по направлению. Проблеме поиска чистых мод упругих волн в анизотропных средах уделялось внимание в работах Ф. Е. Боргниса, К. Браггера, 3. Р. Чанга, В. Н. Любимова, К. Р. Пелэза, М. Дуарте и др. исследователей.

Однако, из-за математических сложностей, данная задача до сих пор была решена для каждого класса симметрии кристаллов в отдельности, причем для наименее симметричных кристаллов моноклинной и триклинной симметрии лишь для отдельных кристаллографических направлений. Вклад пьезоэлектрического эффекта в увеличение эффективной жесткости кристалла также не всегда учитывался. Он, в свою очередь, зачастую обусловливает изменение характеристик чистых мод.

Появление новых двумерных (2В) и трехмерных (ЗБ) наноразмер-ных материалов и структур, в частности, супракристаллов, обнаружение

у них интересных с точки зрения возможностей практического применения упругих свойств с новой остротой поставило актуальную задачу построения математических моделей процессов распространения чистых мод упругих волн в произвольной анизотропной среде в самой общей постановке.

Предметом исследования являются процессы распространения и характеристики чистых мод упругих волн в кристаллах и супракристал-лах.

Цель работы - упрощение и унификация процедуры поиска чистых мод упругих волн в произвольной кристаллической (супракристал-лической) среде, в общем случае обладающей пьезоэлектрическими свойствами.

Поставленная цель достигается решением следующих задач:

1. Построение математических моделей распространения объемных упругих волн в кристаллах, позволяющих по известным значениям материальных констант находить направления распространения и поляризации чисто продольных и чисто поперечных упругих волн в кристаллах произвольного класса симметрии.

2. Разработка комплекса программ, позволяющего по заданным значениям плотности кристалла, его упругих, диэлектрических и пьезоэлектрических постоянных вычислять направления распространения и поляризации, скорости распространения и коэффициенты электромеханической связи (в случае пьезоэлектрика) чистых мод упругих волн и строить поверхности их фазовых скоростей для данного кристалла.

3. Исследование в рамках построенных моделей и разработанных программ особенностей распространения продольных, поперечных и из-гибных волн в 2Б-супракристаллах, в частности, в углеродных, гра-феноподобных планарных структурах.

4. Исследование в рамках построенных моделей и разработанных программ акустических свойств ЗБ-супракристаллов, в частности, углеродного супракристалла (С)сто-

Методы исследований. В работе использованы известные методы математического и компьютерного моделирования, методы программирования в среде Maple, численные методы решения систем нелинейных уравнений, основные положения теории сплошных сред, теории упругих волн в кристаллах и оболочках, теории сильной связи в приближении связывающих орбиталей Харрисона.

Научная новизна положений, выносимых на защиту

1. Построены две математические модели распространения упругих волн в произвольном кристаллическом диэлектрике, обладающем, в общем случае, пьезоэффектом, позволяющие находить их чистые моды следующими двумя способами:

- на основе метода диагонализации коэффициентов волнового уравнения;

- на основе построения и анализа ЗО-поверхностей фазовых скоростей. Обе модели в совокупности позволяют упростить и унифицировать проблему поиска чисто продольных и чисто поперечных волн в кристаллах.

2. Разработан комплекс из двух компьютерных программ, основанных на построенных математических моделях, позволяющий отыскивать продольные и поперечные нормали не только в обычных кристаллах, но и в 2D- и ЗБ-супракристаллах, если известен их класс симметрии и материальные константы.

3. Для графеноподобных 20-супракристаллов впервые численными методами вычислены компоненты тензоров упругих жесткостей, двумерный модуль Юнга, коэффициент Пуассона и скорости распростра-

нения продольных и поперечных упругих волн, а также впервые вычислены модуль изгиба и скорости распространения изгибных волн в зависимости от частоты и амплитуды.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректным использованием известных математических методов и физически обусловленных приближений, а также подтверждается экспериментальными и теоретическими результатами других авторов.

Практическая значимость работы. Построенные математические модели и разработанные компьютерные программы значительно упрощают, унифицируют и, благодаря учету пьезоэффекта, в ряде случаев повышают точность отыскания направлений распространения, поляризации и величины скорости распространения чисто продольных и чисто поперечных волн в 2D- и ЗБ-кристаллах и супракристаллах.

Кроме того, полученные результаты показывают перспективность 2В- и ЗБ-супракристаллов как новых сред для наноакустоэлектроники.

Работа поддержана грантом Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 10-02_97002-р_повольжье_а), Премией Московского Физического общества, Премией Правительства Ульяновской области.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на 44-, 45-, 46-й научно-технических конференциях УлГТУ «Вузовская наука в современных условиях» (Ульяновск, 2010-2012), 13- и 14-й региональных научных школах-семинарах «Актуальные проблемы физической и функциональной электроники» (Ульяновск, 2010, 2011), Всероссийской научно-практической конференции «Формирование учебных умений и навыков» (Ульяновск, 2011), V Всероссийской конференции молодых ученых «Наноэлектро-

ника, нанофотоника и нелинейная оптика» (Саратов, 2010), Международной школе-семинаре «Физика в системе высшего и среднего образования» (Москва, 2011), Шестой всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике» (Москва, 2011).

Отдельные результаты работы были представлены на следующих выставках и конкурсах: Конференция-конкурс молодых физиков (Москва, ФИ им. П. Н. Лебедева РАН, 2011) - диплом лауреата (2-е место), Молодежный инновационный форум Приволжского федерального округа (Ульяновск, УлГТУ, 2011) - диплом лауреата (1-е место), XI Всероссийская выставка научно-технического творчества молодежи (Москва, ВВЦ, 2011) - диплом, IV Международный конкурс научных работ молодых ученых в области нанотехнологий (Москва, КшпашЛесЬ, 2011) -диплом.

Личный вклад автора в проведенные исследования отражен в самостоятельных публикациях и публикациях, выполненных в соавторстве. Основные теоретические положения и требования к математическим моделям разработаны совместно с научным руководителем профессором Р. А. Браже. Разработка алгоритмов численного расчета, программных продуктов и их модификация, а также сами расчеты выполнены лично автором. В публикациях с соавторами (ассистент П. А. Арефьева, доцент А. А. Гришина, ассистент А. А. Каренин, доцент Р. М. Мефтахутдинов, ассистент И. С. Оленин) на долю автора приходятся разработка математических моделей и алгоритмов численных расчетов.

Содержание

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цель и задачи исследования, отмечена практиче-

екая значимость полученных результатов, приводятся структура, объем и содержание диссертации.

В первой главе дан обзор и проведен сравнительный анализ существующих методов поиска продольных и поперечных нормалей в кристаллах. В силу сложной зависимости акустических свойств среды от заданного направления, до сих пор поиск чистых мод упругих волн выполнялся для кристаллов каждого класса симметрии в отдельности. Более того, в кристаллах наименее симметричных моноклинной и трик-линной сингоний этот поиск был выполнен лишь для отдельных направлений. Систематического учета пьезоэффекта также не было произведено; он был учтен лишь для некоторых кристаллов. Отмечена целесообразность разработки математических моделей, позволяющих решить задачу поиска направлений распространения и поляризации чистых мод упругих волн в кристаллической среде в самом общем виде, зная ее плотность, упругие и электрические свойства.

Во второй главе описаны две разработанные математические модели распространения упругих волн в произвольной кристаллической среде, позволяющие исследовать условия существования чисто продольных и чисто поперечных объемных волн. На основе построенных моделей разработаны компьютерные программы, осуществляющие поиск чистых мод упругих волн в автоматическом режиме для произвольного кристалла. Первая программа позволяет получить количественные характеристики продольных и поперечных нормалей: направления и скорости распространения, поляризацию волны, а вторая - позволяет указывать данные направления на волновых поверхностях фазовых скоростях упругих волн в кристаллах.

Продемонстрированы примеры применения обеих моделей к кристаллам сапфира и ниобата лития. Обе модели дополняют результаты

друг друга и в совокупности дают полную картину об акустических характеристиках произвольного диэлектрического кристалла.

В третьей главе разработанные математические модели использованы в численных расчетах упругих характеристик и поиске чистых мод упругих волн в 2Б-супракристаллах. Для их применения к протяженным двумерным структурам необходимо применить модификацию, заключающуюся в изменении матрицы направляющих косинусов и редукции числа компонентов тензора модулей упругости.

Вначале на основе метода связывающих орбиталей Харрисона были рассчитаны микроскопические упругие характеристики углеродных 20-супракристаллов - силовые константы. Компоненты модулей упругости 2Б-супракристаллов выражаются через силовые константы по найденной взаимно однозначной связи. Рассчитанные таким образом компоненты модулей упругости были использованы далее в модифицированных математических моделях для нахождения направлений чистых мод, поляризации и скоростей распространения упругих волн.

Отмечено, что, наряду с продольными и поперечными волнами, в двумерных структурах одноатомной толщины возможно распространение изгибных волн. Для отыскания скоростей их распространения предварительно были рассчитаны двумерные модуль Юнга и коэффициент Пуассона, а также выведено соответствующее волновое уравнение.

В четвертой главе исследованы упругие и акустические характеристики ЗО-супракристаллов на примере углеродного супракристалла (С)сто- Как и в случае 2В-супракристаллов, сначала были рассчитаны его силовые константы и компоненты тензора модулей упругости.

Далее с использованием построенных моделей и разработанных программ был осуществлен поиск чистых мод упругих волн в углерод-

ном супракристалле (С)стсь получены количественные характеристики и наглядные образы для распространяющихся в нем упругих волн.

Отмечено, что при использовании математической модели, основанной на методе Харрисона, возникают значительные трудности при определении силовых констант ЗБ-супракристаллов ввиду включения в рассмотрение ¿/-состояний 5- и 6-валентных атомов, из которых состоит большинство таких супракристаллов.

Приложение 1 содержит покомпонентную запись тензора Грина -Кристоффеля в подвижной ортогональной системе координат для произвольного кристалла.

Приложение 2 содержит покомпонентную запись тензора эффективных модулей упругости с^ 1 , в подвижной ортогональной системе

координат для произвольного пьезодиэлектрического кристалла.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Кочаев, Алексей Иванович

Основные результаты по главе 4 опубликованы в работах [103, 117] и доложены на ряде научных конференций и семинаров различного уровня [148-150]. Результаты исследований по четвертой главе позволяют сделать следующие выводы.

1. Обоснована возможность применения адаптированного метода Давыдова (на основе модели связывающих орбиталей Харрисона) к расчету силовых констант взаимодействия атомов углерода в суп-ракристалле (С)сто, позволяющая вычислять его модули упругости.

2. На основе методов диагонализации коэффициентов волнового уравнения и построения поверхностей фазовых скоростей упругих волн был выполнен поиск чистых мод упругих волн, распространяющихся в супракристалле (С)сто- Было установлено, что скорости распространения упругих волн в этом супракристалле сопоставимы с соответствующими скоростями в алмазе.

3. Для расчета силовых констант ЗО-супракристаллов, состоящих из 5-и 6-валентных атомов и принадлежащих, таким образом, к структурам (Х)со, (Х)ссо и (Х)сасо, необходимо дальнейшее развитие предложенной здесь математической модели, позволяющее вычислять ковалентную энергию с учетом не только и р-, но и ¿/-состояний атомов.

4. «Рыхлые» ЗБ-супракристаллы могут найти применение в качестве накопителей водорода в водородной энергетике, а также как молекулярные контейнеры для других атомов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы:

1. Построена математическая модель распространения упругих волн в кристаллах, позволяющая исследовать условия существования чистых мод таких волн на основе метода диагонализации коэффициентов волнового уравнения. Модель позволяет находить направления, поляризацию, а также скорости распространения и коэффициенты электромеханической связи (в случае пьезо-электрика) чисто продольных и чисто поперечных упругих волн в ЗБ- и 2Б-кристаллах и супракристаллах.

2. Построена математическая модель распространения упругих волн в кристаллах, позволяющая исследовать условия существования чистых мод таких волн на основе метода построения и анализа поверхностей (линий) фазовых скоростей. Наряду с моделью, указанной в п. 1, данная модель позволяет упростить и унифицировать проблему поиска чистых мод упругих волн в кристаллах и супракристаллах.

3. Разработан комплекс программ, основанных на построенных математических моделях, позволяющий по заданным значениям плотности кристалла, его упругих, диэлектрических и пьезоэлектрических постоянных полностью описать особенности распространения упругих волн в ЗБ- и 2Б-кристаллах и супракристаллах, если известен их класс симметрии.

4. Впервые на основе численных методов и разработанных программ вычислены компоненты тензоров упругих жесткостей, двумерные модули Юнга, коэффициенты Пуассона и скорости распространения продольных и поперечных упругих волн в гра-феноподобных 20-супракристаллах.

5. Впервые рассчитаны модули изгиба, дисперсия и скорости распространения изгибных волн в планарных графеноподобных 2Б-супракристаллах.

6. Впервые на основе численных методов и разработанных программ вычислены компоненты тензора упругих жесткостей и скорости распространения продольных и поперечных упругих волн в углеродном супракристалле (С)СТо

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кочаев, Алексей Иванович, 2012 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Най, Дж. Физические свойства кристаллов : пер. с англ. / Дж. Най. -2-е изд. - М. : Мир, 1967. - 388 с.

2. Чупрунов, Е. В. Кристаллография: учебник для вузов / Чупрунов Е. В., Хохлов А. Ф., Фаддеев М. А. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2000. -496 с.

3. Сиротин, Ю. И. Основы кристаллофизики / Ю. И. Сиротин, М. П. Шаскольская. - 2-е изд. - М. : Наука, 1979. - 640 с.

4. Физическая энциклопедия. В 4 т. Т. 2. Добротность-Магнитооптика / Д. М. Алексеев [и др.] ; гл. ред. А. М. Прохоров. — М. : Сов. энциклопедия, 1990.-703 с.

5. Федоров, Ф. И. Теория упругих волн в кристаллах / Ф. И. Федоров. -М. : Наука, 1972.-386 с.

6. Треффц, Е. Математическая теория упругости : пер. с нем. / Е. Треффц. - 2-е изд., исправл. - М. : ОНТИ, 1934. - 172 с.

7. Гринченко, В. Т. Гармонические колебания и волны в упругих телах / В. Т. Гринченко, В. В. Мелешко. - Киев : Наук, думка, 1981. - 284 с.

8. Тимошенко, С. П. Теория упругости : пер. с англ. / С. П. Тимошенко, Дж. Гудьер. - М. : Наука, 1975. - 546 с.

9. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика : учебн. пособие. В 10 т. Т. VII. Теория упругости / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. - 4-е изд., исправл., и дополн. - М. : Наука, 1987. - 248 с.

10. Акустические кристаллы / А. А. Блистанов [и др.] ; под ред. М. П. Шаскольской. - М. : Наука, 1982. - 632 с.

11. Christoffel, E.B. Ueber die fortpflanzung von stössen durch elastische feste körper / E. B. Christoffel // Ann. di matematica pura ed applicata. -1877.-V. 8. -№ l.-P. 193-243.

12. Kelvin, W. Т. Lord Kelvin's Baltimore lectures. Lectures XI and XII / W. T. Kelvin. - London : Cambridge University press. - 1904. - P. 122142.

13. Красильников, В. А. Введение в физическую акустику / В. А. Красильников, В. В. Крылов. - М. : Наука, 1984. - 403 с.

14. Петрашень, Г. И. Распространение волн в анизотропных упругих средах / Г. И. Петрашень. - JI. : Наука, 1980. - 280 с.

15. Сивухин, Д. В. Общий курс физики : учебн. пособие. В 5 т. Т. IV. Оптика. / Д. В. Сивухин. - 3-е изд., стереот. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 792 с.

16. Trusdell, С. Existence of longitudinal waves / С. Trusdell // J. Acoust. S. America. - 1966. - V. 40. - № 3. - P. 729-730.

17. Kolodner, I. Existence of longitudinal waves in anisotropic media / I. Kolodner // J. Acoust. S. America. - 1966. - V. 40. - № 3 - P. 730731.

18. Geymonat, G. On the existence of longitudinal waves in general elastic anisotropic media / G. Geymonat, P. Gilormini // J. Elasticity. - 1999. -V. 54. -№ 3. - P. 253-266.

19. Ting, Т. С. T. Longitudinal and transverse waves in anisotropic elastic materials / Т. С. T. Ting // Acta Mechanica. - 2006. - V. 185. - № 3-4. -P. 147-164.

20. Musgrave, M. J. P. Acoustic axes in orthorhombic media / M. J. P. Musgrave // Proc. Roy. S. London A. - 1985. - V. 401. -P. 131-143.

21. Boulanger, Ph. Acoustic axes for elastic waves in crystals: theory and applications / Ph. Boulanger, M. Hayes // Proc. Roy. S. London A. - 1998. -V. 454. - P. 2323-2346.

22. Vavrycuk, V. Acoustic axes in triclinic anisotropy / V. Vavrycuk // J. Acoust. S. America. - 2005. - V. 118. - № 2. - P. 647-653.

23. Shuvalov, A. L. Curvature of acoustic slowness surface of anisotropic solids near symmetry axes / A. L. Shuvalov, A. G. Every // Phys. Rev. B. -1996.-V. 53.-№22.-P. 14906-14916.

24. Sharma, M. D. Existence of longitudinal waves in anisotropic poroelastic solids / M. D. Sharma // Acta Mechanica. - 2009. - V. 208. - № 3-4. -P. 269-280.

25. Физическая акустика. В 4 т. Т. 1. Методы и приборы ультразвуковых исследований. Часть А. : пер. с англ. / Д. Берлинкур, Д. Керран, Г. Жаффе ; под ред. У. Мэзона. - М.: Мир, 1966. - С. 204-326.

26. Green, G. On the propagation of light in crystallized media / G. Green // Trans. Cambridge Phil. Soc. - 1839. - Vol. 7. - Part 2. - P. 121-140.

27. Sagadi, Z. Elastic waves in crystals / Z. Sagadi // Proc. Phys. Math. Soc. Japan. 3rd Series. - 1941. - V. 23. - P. 539-547.

28. Musgrave, M. J. P. On the propagation of elastic waves in aeolotropic media. I. General principles / M. J. P. Musgrave // Proc. Roy. S. London A. - 1954. - V. 226. - P. 339-355.

29. Musgrave, M. J. P. On the propagation of elastic waves in aeolotropic media. II. Media of hexagonal symmetry / M. J. P. Musgrave // Proc. Roy. S. London A. - 1954. - V. 226. - P. 356-366.

30. Musgrave, M. J. P. On the propagation of elastic waves in aeolotropic media. III. Media of Cubic Symmetry / M. J. P. Musgrave, G. F. Miller // Proc. Roy. S. London A. - 1956. - V. 236. - P. 352-383.

31. Borgnis, F. E. Specific directions of longitudinal wave propagation in anisotropic media / F. E. Borgnis // Phys. Rev. - 1955. - V. 98. - № 4. -P. 1000-1005.

32. Kammer, E. W. A determination of the elastic constants of beta-quartz / E. W. Kammer, J. V. Atanasoff// Phys. Rev. - 1958. - V. 62. - № 7-8. -P. 395-400.

33. Thurston, R. N. Third-order elastic constants and the velocity of small amplitude elastic waves in homogeneously stressed media /

R. N. Thurston, K. Brugger // Phys. Rev. - 1964. - V. 133 - № 6A. -P. A1604-A1610.

34. Aleksandrov, K. S. Propagation of elastic waves along specific directions in crystals / K. S. Aleksandrov // Sov. Phys. Crystallography. - 1956. -V. 1.-P. 563-570.

35. Waterman, P. C. Orientation dependence of elastic waves in single crystals / P. C. Waterman // Phys. Rev. - 1959. - V. 113. - № 5. - P. 12401253.

36. Hearmon, R. F. S. An introduction to applied anisotropic elasticity / R. F. S. Hearmon. - London : Oxford University Press, 1961.

37. Brugger, K. Pure modes for elastic waves in crystals / K. Brugger// J. Appl. Phys. - 1965.-V. 36.-№3.-Part l.-P. 759-768.

38. Musgrave, M. J. P. Crystal acoustics / M. J. P. Musgrave. - San Francisco : Holden and Day, 1970. - 288 p.

39. McSkimin, H. J. Conical refraction of transverse ultrasonic waves in quartz / H. J. McSkimin, W. L. Bond // J. Acoust. S. America. - 1966. -V. 39.-№3.-P. 499-505.

40. Chang, Z. P. Pure transverse modes for elastic waves in crystals / Z. P. Chang // J. Appl. Phys. - 1968. - V. 39. - № 12. - P. 5669-5681.

41. Chadwick, P. Wave propagation in transversely isotropic elastic media. I. Homogeneous plane waves / P. Chadwick // Proc. Roy. S. London A. -1989.-V. 422.-P. 23-66.

42. P. Chadwick. Wave propagation in transversely isotropic elastic media. II. Surface waves / P. Chadwick // Proc. Roy. S. London A. - 1989. -V. 422.-P. 67-101.

43. Ostrosablin, N. I. Elastic anisotropic material with purely longitudinal and transverse waves / N. I. Ostrosablin // J. Appl. Mech. Tech. Phys. -2003. - V. 44. -№ 2. - P. 271-278.

44. Ostrosablin, N. I. Purely transverse waves in elastic anisotropic media / N. I. Ostrosablin // J. Appl. Mech. Tech. Phys. - 2005. - V. 46. - № 1. -P. 129-140.

45. Shuvalov, A. L. Topological features of the polarization fields of plane acoustic waves in anisotropic media / A. L. Shuvalov // Proc. Roy. S. London A. - 1998. - V. 454. - P. 2911-2947.

46. Rychlewski, J. Elastic waves under unusual anisotropy / J. Rychlewski // J. Mech. Phys. Solids-2001. -V. 49. - P. 2651-2666.

47. Ting, Т. С. T. Transverse waves in anisotropic elastic materials / Т. С. T. Ting // Wave Motion. - 2006. - V. 44. - №2. - P. 107-119.

48. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика : учебн. пособие. В 10 т. Т. VIII. Электродинамика сплошных сред / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. -4-е изд., стереот. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 656 с.

49. Мэзон, У. Пьезоэлектрические кристаллы и их применения в ультраакустике : пер. с англ. / У. Мэзон ; под ред. А. В. Шубникова, С. Н. Ржевкина. - М. : Иностранная литература, 1952. - 450 с.

50. Балакирев, М. К. Волны в пьезокристаллах / М. К. Балакирев, И. А. Гилинский. - Новосибирск : Наука, 1982. - 240 с.

51. Koga, I. Theory of plane elastic waves in a piezoelectric crystalline medium and determination of elastic and piezoelectric constants of quartz / I. Koga, M. Aruga, Y. Yoshinaka // Phys. Rev. - 1958. - V. 109. - № 5. -P.1467-1473.

52. Hruska, K. The rate of propagation of ultrasonic waves in ADP in voigt's theory / K. Hruska // Czechoslov. J. Phys. - 1966. - V. 16. - № 5. -P. 446-454.

53. Meier, R. Zur theorie der schallausbreitung in piezoelektrischen kristallen / R. Meier, K. Schuster // Ann. Physik. - 1953. - V. 11. - № 8. - P. 397406.

54. Lawson, A. W. Comment on the elastic constants of alpha-quartz / A. W. Lawson // Phys. Rev. - 1941. - V. 59. - № 10. - P. 838-839.

55. Любимов, В. H. Учет пьезоэффекта в теории упругих волн для кристаллов различной симметрии / В. Н. Любимов // Доклады АН СССР. - 1969.-Т. 186. -№ 5. - С. 1055-1058.

56. Любимов, В. Н. Упругие волны в кристаллах при наличии пьезоэффекта / В. Н. Любимов // ФТТ. - 1970. - Т. 12. - № 3. -С. 947-949.

57. Браже, Р. А. Эффективность дифракции света на чистых модах упругих волн / Р. А. Браже, М. А. Григорьев, В. И. Наянов // ФТТ. -1975. - Т. 17. - № 3. - С. 886-895.

58. Физическая акустика. В 4 т. T. IV. Распространение и усиление звуковых волн в пьезоэлектрических полупроводниках. Часть А. : пер. с англ. / Дж. Мак-фи [и др.] ; под. ред. У. Мэзона. - М. : Мир, 1969. -С. 13-62.

59. Lawson, A. W. The vibration of piezoelectric plates / A. W. Lawson // Phys. Rev. - 1942. - V. 62. - № 1-2. - P. 71-76.

60. Физическая акустика. В 4 т. T. III. Определение и некоторые применения изотропных упругих постоянных поликристаллических систем, полученных из данных для монокристаллов. Ч. Б. : пер. с англ. / О. Андерсон ; под. ред. У. Мэзона. -М. : Мир, 1968. - С. 62-121.

61. Кэди, У. Пьезоэлектричество и его практическое применение : пер. с англ. / У. Кэди. - М. : Иностранная литература, 1949. - 722 с.

62. Musgrave, M. J. P. Features of the elastic wave surface for a zinc crystal / M. J. P. Musgrave, M. F. Markham // Proc. Phys. Soc. - 1961. - V. 77. -№2.-P. 335-336.

63. Famell, G. W. Elastic waves in trigonal crystals / G. W. Farnell // Can. J. Phys. - 1961. - V. 39. - № 1. - P. 65-80.

64. Narasimha, V. I. Elastic wave surfaces for the (111) plane of cubic crystals / V. I. Narasimha, K. S. Viswanathan // Pramana. - 1981. - V. 17. -№2.-P. 135-142.

65. Koos, G. L. Phonon focusing in piezoelectric crystals: quartz and lithium niobate / G. L. Koos, J.P.Wolfe // Phys. Rev. B. - 1984. - V. 30. -№6.-P. 3470-3481.

66. Peláez, К. P. Calculation of phase and group angels, slowness surface and ray tracing in transversely isotropic media / K. P. Peláez // Ciencia, Tecnología y Futuro. - 2006. - V. 3. - P. 41-56.

67. Duarte, M. Slowness surface calculation for different media using the symbolic mathematics language Maple / M. Duarte // Earth Sciences Research Journal. - 2004. - V. 8. - № 1. - P. 63-67.

68. Laboratory for scientific visual analysis [Электронный ресурс]. - Режим доступа : http://www.sv.vt.edu.

69. Norris, А. N. On the acoustic determination of the elastic moduli of anisotropic solids and acoustic conditions for the existence of symmetry planes / A.N. Norris // Q. J. Mech. Appl. Math. - 1989. - V. 42. - №3. -P. 413^26.

70. Boulanger, P. On Young's modulus for anisotropic media / P. Boulanger, M. Hayes // J. Appl. Mech. - 1995. - V. 62. - № 3. - P. 819-820.

71. Cowin, S. C. On the number of distinct elastic constants associated with certain anisotropic elastic symmetries / S. C. Cowin // Z. Angew. Math. Phys (ZAMP). - 1995. - V. 46. - Special Issue. - P. S210-S224.

72. Noris, A. N. Acoustical axes in elasticity / A. N. Noris // Wave Motion. -2004. - V. 40. - № 4. - P. 315-328.

73. Khatevich, A. G. The acoustic axes in crystals / A. G. Khatevich // Sov. Phys. Crystallogr. - 1962. - V. 7. - № 5. - P. 601-604.

74. Ting, Т. С. T. Anisotropic elasticity : theory and applications / Т. С. T. Ting. - London : Oxford University Press, 1982. - 592 p.

75. Выгодский, M. Я. Справочник по высшей математике / M. Я. Выгодский. - М. : Астрель, 2006. - 991 с.

76. Kochaev, А. I. Puré modes for elastic waves in crystals: mathematical modeling and search / А. I. Kochaev, R. A. Brazhe // Acta Mechanica. -2011. - V. 220.-№ 1-4.-P. 199-207.

77. Браже, Р. А. Общий метод поиска чистых мод упругих волн в кристаллах / Р. А. Браже, А. И. Кочаев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2010.-Т. 15. -№ 3. - С. 115-125.

78. Дьяконов, В. Maple 6 : учебный курс / В. Дьяконов. - СПб : Питер, 2001.-608 с.

79. Голоскоков, Д. П. Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple : учебник для вузов / Д. П. Голоскоков. -СПб : Питер, 2004. - 544 с.

80. Матросов, А. В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики / А. В. Матросов. - СПб. : БХВ-Петербург, 2001. - 528 с.

81. Сдвижков, О. А. Математика на компьютере : Maple 8 / О. А. Сдвижков. -М. : СОЛОН-Пресс, 2003. - 176 с.

82. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ №2011614305 выдано Федеральной службой по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам. Зарегистрирован в Реестре программ для ЭВМ 31.05.2011 г./ Кочаев А. И.

83. Kochaev, А. I. Mathematical modeling of elastic wave propagation in crystals: 3D-wave surfaces / А. I. Kochaev, R. A. Brazhe // Acta Mecha-nica. - 2011. - V. 222.-№ 1-2.-P. 193-198.

84. Калитиевский, H. И. Волновая оптика / H. И. Калитиевский. -М. : Высш. шк., 1978. - 383 с.

85. Браже, Р. А. Метод поиска чистых мод упругих волн в кристаллах из ЗО-поверхностей фазовых скоростей / Р. А. Браже, А. И. Кочаев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2011. - Т. 17. - № 1. - С. 116-125.

86. Васильев, А. Н. Maple 8. Самоучитель / А. Н. Васильев. -М. : Диалектика, 2003. - 352 с.

87. Кочаев, А. И. Математические модели и компьютерные программы поиска чистых мод упругих волн в кристаллах / А. И. Кочаев // На-ноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика : тез. докл. V Всеросс. конф. молодых ученых. - Саратов : СФИРЭ РАН, 2010. -С. 142-143.

88. Кочаев, А. И. Чистые моды упругих волн в пьезоэлектрических кристаллах : математическая модель и компьютерная программа / А. И. Кочаев // Вузовская наука в современных условиях : тез. докл. 44-й науч.-техн. конференции. - Ульяновск : УлГТУ, 2010. - С. 142.

89. Кочаев, А. И. О применении принципа Гюйгенса - Френеля к поиску чистых мод упругих волн в кристаллах / А. И. Кочаев // Формирование учебных умений в процессе реализации стандартов образования : мат. Межд. науч.-практ. конференции. - Ульяновск: УлГПУ им. И. Н. Ульянова, 2011. - С. 86-89.

90. Novoselov, К. S. Two-dimensional atomic crystals / К. S. Novoselov [etal] // Proc. Nat. Acad. Sci. (PNAS) - 2005. - V. 102. - №30. -P.10451-10453.

91. Kara, A. Physics of silicene stripes / A. Kara [et al] // J. Supercond. Nov. Magn. - 2009. - V. 22. - № 3. - P. 259-263.

92. Balaban, A. T. Estimation of the relative stability of several planar and tridimensional lattices for elementary carbon / A. T. Balaban, С. C. Rentia, E. Ciupitu // Rev. Roum. Chim. - 1968. - V. 13. - P. 231247.

93. Terrones, H. New metallic allotropes of planar and tubular carbon / H. Terrones // Phys. Rev. Lett. - 2000. - V. 84. - № 8. - P. 1716-1719.

94. Balaban, A. T. Carbon and its nets / A. T. Balaban // Comput. Math. Ap-plic.- 1989.-V. 17.-№ 1-3.-P. 397-416.

95. Лисенков, С. В. Геометрическая структура и электронные свойства BN пленарных и нанотрубных структур типа «хаекелит» / С. В. Лисенков [и др.] // ФТТ. - 2006. - Т. 48. - № 1. - С. 179-184.

96. Novoselov, К. S. Electric field effect in atomically thin carbon film / K. S. Novoselov [et al] // Science. - 2004. - V. 306. - № 5696. - P.666-669.

97. Sun, D.-m. Flexible high-performance carbon nanotube integrated circuits / D.-m. Sun [et al] // Nature Nanotech. - 2011. - V. 6. - P. 156-161.

98. Pickard, C. J. Hypothetical low-energy chiral framework structure of group 14 elements / C. J. Pickard, R. J. Needs // Phys. Rev. B. - 2010. -V. 81. -№ l.-P. 014106.

99. Лисенков, С. В. Неспиральные BN-нанотрубки типа «хаекелит» / С. В. Лисенков [и др.] // Письма в ЖЭТФ. - 2005. - Т. 81. - № 7. -С. 431^36.

100. Bunch, J. S. Electromechanical resonators from graphene sheets / J. S. Bunch // Science. - 2007. - V. 315. - № 581 l.-P. 490-493.

101. Браже, P. А. Математические модели двумерных супракристаллов / Р. А. Браже, А. А. Каренин // Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных процессов и систем : мат. Всеросс. конф. ; под ред. Ю. В. Полянскова. - Ульяновск : УлГУ, 2009. - С. 59-62.

102. Браже, Р. А. Компьютерное моделирование физических свойств супракристаллов / Р. А. Браже, А. А. Каренин // Известия ВУЗов. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2011. - Т. 18. -№2.-С. 105-112.

103. Кочаев, А. И. Супракристаллы - новый класс наноразмерных материалов и структур для наноэлектроники и водородной энергетики / А. И. Кочаев, П. А. Арефьева, А. А. Каренин, И. С. Оленин, Р. А. Браже // Физическое образование в вузах. Приложение. - 2011. -Т. 17.-№ 1.-С. 115.

104. Арефьева, П. А. Математическое моделирование супракристалли-ческих наноразмерных структур / П. А. Арефьева, Р. А. Браже, А. А. Каренин, А. И. Кочаев, Р. М. Мефтахутдинов // Необратимые процессы в природе и технике : мат. Шестой Всеросс. конф., Ч. II. -Москва : МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2011. - С. 30-38.

105. Keating, Р. N. Effect of invariance requirements on the elastic strain energy of crystals with application to the diamond structure / P. N. Keating // Phys. Rev. - 1966. - V. 145. - № 2. - P. 637-645.

106. Keating, P. N. Theory of the third-order elastic constants of diamondlike crystals / P. N. Keating // Phys. Rev. - 1966. - V. 149. - № 2. -P. 674-678.

107. Martin, R. M. Elastic properties of ZnS structure semiconductors / R. M. Martin // Phys. Rev. В. - 1970. - V. 1. - № 10. - P. 4005-4011.

108. Губанов, А. И. Ангармонические свойства кристаллов с решеткой цинковой обманки / А. И. Губанов, С. Ю. Давыдов // ФТТ. - 1972. -Т. 14,-№4.-С. 1195-1199.

109. Никаноров, С. П. Упругость и дислокационная неупругость кристаллов / С. П. Никаноров, Б. К. Кардашев. - М. : Наука, 1985. -253 с.

110. Born, М. Zur raumgitter theorie des diamanten / M. Born // Ann. Physik. - 1914. - V. 44. - P. 605-642.

111. Keating, P. N. First- and second-order dipole moments of homopolar crystals / P. N. Keating // Phys. Rev. - 1965. - V. 140. - № 1A. -P. A369-A374.

112. Харрисон, У. Электронная структура и свойства твердых тел. В 2 т. Т. I. : пер. с англ. / У. Харрисон. - М. : Мир, 1983. - 381 с.

113. Давыдов, С. Ю. К построению модели термодеструкции карбида кремния с целью получения графитовых слоев / С. Ю. Давыдов, А.А.Лебедев, Н.Ю.Смирнова // ФТТ. - 2009. - Т. 51. - №3. -С. 452-454.

114. Давыдов, С. Ю. Оценки упругих характеристик графенов / С. Ю. Давыдов // ФТТ. - 2009. - Т. 51. -№ 10. - С. 2041-2042.

115. Давыдов, С. Ю. Об упругих характеристиках графена и силицена / С. Ю. Давыдов // ФТТ. - 2010. - Т. 52. -№ 1. - С. 172-174.

116. Давыдов, С. Ю. О силовых константах графена / С. Ю. Давыдов // ФТТ. - 2010. - Т. 52. - № 9. - С. 1815-1818.

117. Браже, Р. А. Упругие характеристики углеродных 20-супракристаллов в сравнении с графеном / Р. А. Браже [и др.] // ФТТ.-2011.-Т. 53,-№7.-С. 1406-1408.

118. Honenberg, P. Inhomogeneous electron gas / Р. Honenberg, W. Kohn // Phys. Rev. - 1964. - V. 136. - № 3B. - P. B864-B871.

119. Свободное программное обеспечение Abinit [Электронный ресурс]. - Режим доступа : http://www.abinit.org.

120. Давыдов, С. Ю. Упругие свойства графена: модель Китинга / С. Ю. Давыдов // ФТТ. - 2010. - Т. 52. - № 4. - С. 756-758.

121. Браже, P.A. Упругие волны в углеродных 2Б-супракристаллах / Р. А. Браже, А. И. Кочаев Р. М. Мефтахутдинов // ФТТ. - 2011. -Т. 53. - № 8 - С. 1614-1618.

122. Kochaev, А. I. 2D supracrystals as a promising materials for planar na-noacoustoelectronics / A. I. Kochaev [et al] // J. Phys. : Conf. Ser. -2012.-V. 345.-№ l.-P. 012007

123. Браже, P. А. Математические модели явлений переноса в инверсных газах / Р. А. Браже, А. А. Елизарова // Математическое моделирование. - 2008. - Т. 20.-№ 5.-С. 110-118.

124. Браже, Р. А. Чистые моды упругих волн в двумерных кристаллах / Р. А. Браже, А. И. Кочаев // Радиоэлектронная техника : межвузовский сб. науч. тр. ; под ред. В.А.Сергеева. - Ульяновск, 2010. -С. 40-45

125. Flannery, M. Acoustic wave properties of CVD diamond / M. Flannery, M.D.Whitfield, R. B. Jackman // Semicond. Sci. Technol. - 2003. -V. 18. -№ 3. - S86-S95.

126. Жилин, П. А. Прикладная механика. Основы теории оболочек / П. А. Жилин. - СПб : Изд-во политехи, ун-та, 2006. - 167 с.

127. Lu, Q. Elastic bending modulus of monolayer graphene / Q. Lu, M. Arroyo, R. Huang // J. Phys. D : Appl. Phys. - V. 42. - № 10. -P. 102002.

128. Hernández, E. Elastic properties of С and BxCyNz composite nanotubes / E. Hernández [et al] // Phys. Rev. Lett. - 1998. - V. 80. - №. 20. -P. 4502^1505.

129. Xin, Z. Strain energy and Young's modulus of single-wall carbon nanotubes calculated from electronic energy-band theory / Z. Xin, Z. Jianjun, O.-Y. Zhong-can // Phys. Rev. B. - 2000. - V. 62. - № 20. - P. 1369213696.

130. Lu, J. P. Elastic properties of carbon nanotubes and nanoropes / J. P. Lu // Phys. Rev. Lett. - 1997. - V. 79. - № 7. - P. 1297-1300.

131. Kudin, K. N. C2F, BN, and С nanoshell elasticity from ab initio computations / K. N. Kudin, G. E. Scuseria, В. I. Yakobson // Phys. Rev. B. -2001.-V. 64.-№23.-235406.

132. Lier, G. V. Ab initio study of the elastic properties of single-walled carbon nanotubes and graphene. / G. V. Lier [et al] // Chem. Phys. Lett. -2000.-V. 326.-№ 1-2.-P. 181-185.

133. Faccio, R. Mechanical properties of graphene nanoribbons / R. Faccio [et al] // J. Phys. : Cond. Matter. - 2009. - V. 21. - № 28. - P. 285304.

134. Cornwell, C. F. Elastic properties of single-walled carbon nanotubes in compression / C. F. Cornwell, L. T. Wille // Solid State Commun. -1997.-V. 101.-№8.-P. 555-558.

135. Yakobson, В. I. Nanomechanics of carbon tubes: instabilities beyond linear response / В. I. Yakobson, C. J. Brabec, J. Bernholc // Phys. Rev. Lett. - 1966. - V. 76. - № 14. - P. 2511-2514.

136. Глухова, О. E. Теоретическое изучение зависимостей модулей Юнга и кручения тонких однослойных углеродных нанотрубок типа zigzag и armchair от геометрических параметров / О. Е. Глухова, О. А. Терентьев // ФТТ. - 2006. - Т. 48. -№ 7. - С. 1329-1335.

137. Глухова, О. Е. Эмпирическое моделирование продольного растяжения и сжатия графеновых наночастиц и нанолент / О. Е. Глухова, А. С. Колеснкова // ФТТ. - 2011. - Т. 53. - № 9. - С. 1856-1860.

138. Шувалов, Л. А. Современная кристаллография. В 4 т. Т. 4. Физические свойства кристаллов / Л. А. Шувалов [и др.]. - М. : Наука,

1981.-496 с.

139. Переломова, Н. В. Задачник по кристаллофизике / Н. В. Переломова, М. М. Тагиева. - 2-е изд., перераб. - М. : Наука,

1982.-285 с.

140. Lee, С. Measurement of the elastic properties and intrinsic strength of monolayer graphene / C.Lee [et al] // Science. - 2008. - V. 321. -№ 5887. -P. 385-388.

141. Kim, S. Y. On effective plate thickness of monolayer graphene from flexural wave propagation / S. Y. Kim, H. S. Park // J. Appl. Phys. -2011.-V. 110. -№ 5. - P. 054324.

142. Браже, P. А. О преодолении стереотипов в преподавании физики в связи с появлением нано- и метаматериалов / Р. А. Браже, А. А. Гришина, А. А. Каренин, П. А. Арефьева, А. И. Кочаев // Физика в системе высшего и среднего образования : мат. Межд. шк.-сем. -Москва: МИФИ, 2011. - С. 69-71.

143. Кочаев, А. И. Акустика супракристаллов / А. И. Кочаев // Актуальные проблемы физической и функциональной электроники : мат.

13-й регион. науч. шк.-сем. - Ульяновск: УФИРЭ им. В. А. Котельникова РАН, 2010. - С. 34.

144. Тезисы конкурса научных работ молодых ученых в области нано-технологий [Электронный ресурс]. - М. : IV Nanotechnology International Forum (RUSNANOTECH), 2011. - 1 электрон, опт. диск (CD-ROM).

145. McSkimin, Н. J. Elastic moduli of diamond / H. J. McSkimin, W. L. Bond // Phys. Rev. - 1957. - V. 105. - № 1. - P. 116-121.

146. Kittel, С. Introduction to solid state physics / C. Kittel. - 2nd ed. - New York : John Wiley & Sons, 1956. - 571 p.

147. Браже, P. А. Супракристаллические сорбенты водорода / P. А. Браже, А. А. Каренин, И. С. Оленин // Радиоэлектронная техника : межвузовский сб. науч. тр. ; под ред. В. А. Сергеева. - Ульяновск, 2010.-С. 156-161.

148. Кочаев, А. И. Особенности распространения упругих волн в ЗО-супракристаллах / А. И. Кочаев // Актуальные проблемы физической и функциональной электроники : мат. 14-й регион, науч. шк.-сем. - Ульяновск: УФИРЭ им. В. А. Котельникова РАН, 2011. -С. 20.

149. Браже, Р. А. Акустика супракристаллов / Р. А. Браже, Р. М. Мефтахутдинов, А. И. Кочаев // Вузовская наука в современных условиях : тез. докл. 45-й науч.-техн. конференции. - Ульяновск: УлГТУ, 2010. - С. 208.

150. Кочаев, А. И. Разработка теоретических основ физики супракри-сталлических наноразмерных материалов / А. И. Кочаев, А. А. Каренин, П. А. Арефьева // Молодежный инновационный форум Приволжского федерального округа. Конкурс научно-технического творчества молодежи (НТТМ). - Ульяновск, 2011. -[Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://ify.ulstu.ru.