Математическое моделирование прыжка на лыжах с трамплина тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Подгаец, Александр Романович

• Подгаец, Александр Романович
• кандидат физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Подгаец, Александр Романович

Оглавление.

Введение.

Глава 1. Постановка задачи оптимального управления полётом лыжника

1.1. Математическая постановка задачи оптимального управления.

1.2. Введённые предположения.

Глава 2. Определение аэродинамических коэффициентов системы лыжник-лыжи.

2.1. Теоретическое определение аэродинамических коэффициентов системы лыжник-лыжи.

2.1.1. Силы, действующие на лыжника в полёте.

2.1.2. Обзор литературы по дозвуковому обтеканию тел.

2.1.3. Математическая постановка задачи обтекания.

2.1.4. Метод решения задачи обтекания

2.1.5. Решение модельной задачи.

2.1.6. Расчёт аэродинамических коэффициентов.

2.1.7. Расчёт аэродинамических коэффициентов системы лыжник-лыжи в переменных вихрь - функция тока.

2.2. Экспериментальное определение аэродинамических коэффициентов системы лыжник-лыжи.

2.2.1. Метод определения аэродинамических коэффициентов по видеозаписи прыжка.

2.2.2. Описание эксперимента.

2.2.3. Определение аэродинамических коэффициентов.

Глава 3. Математическая модель прыжка с трамплина на лыжах.

3.1. Разгон лыжника.

3.2. Отталкивание и полёт.

3.3. Приземление.

Глава 4. Оптимизация прыжка лыжника с трамплина.

4.1. Детерминированная оптимизация дальности полёта лыжника

4.1.1. Максимизация дальности полёта.

4.1.2. Минимизация скорости приземления.

4.1.3. Оптимизация массы системы лыжник-лыжи.

4.2. Оценка устойчивости дальности к возмущениям.

4.2.1. Математическая постановка задачи стохастической устойчивости.

4.2.2. Алгоритм решения задачи стохастической устойчивости.

4.2.3. Результаты расчёта доверительных интервалов.

4.3. Оптимизация дальности полёта с возмущениями.

4.3.1. Математическая постановка задачи стохастической оптимизации.

4.3.2. Алгоритм решения задачи стохастической оптимизации

4.3.3. Результаты расчёта стохастически оптимальных углов атаки

Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование прыжка на лыжах с трамплина»

Достижения лыжников-прыгунов на состязаниях любого ранга, будь то всесоюзные или международные соревнования, первенства мира или олимпийские игры, предопределены всей историей прыжков на лыжах -творческим трудом учёных, тренеров, самих спортсменов. Неоднократное низвержение "законодателей стшя", устоявшихся взглядов на "каноны" техники всегда знаменовало собой "новый" этап, который тут же становился "пройденным", в развитии спорта. Постоянное усовершенствование спортивной техники, модернизация спортивных сооружений (профилей трамплина) - вот основные условия высоких достижений в прыжках на лыжах. "

Е.А.Грозин, "Прыжки с трамплина")

Прыжки с трамплина издавна были известной забавой на севере России и в Скандинавии [1], однако, как и у большинства видов спорта, официальное их "появление" произошло век назад. Обзор развития этого вида спорта может быть найден в книге Е.А.Грозина [2]. С первых лет существования этого вида спорта учёные помогали спортсменам оттачивать технику прыжка. Первые исследования, носившие экспериментальный характер, были проведены на рубеже веков [3], а первым крупным достижением явилось появление в 1924 году так называемого "норвежского" стиля прыжка [2].

На рис. 1 изображён трамплин в разрезе. Трамплины создаются на определённую максимальную дальность прыжка, которая вычисляется как длина нити, натянутой между кромкой стола отрыва и точкой приземления на склоне горы (точкой приземления считается та точка, где касается земли место лыж, к которому крепятся ботинки). Например, в Перми есть детские трамплины, рассчитанные на максимальную дальность 10, 15, 20 и 29 метров и два трамплина для соревнований - с дальностью 48,5 и 70 метров. Для вычисления геометрических размеров трамплинов (их называют профильными характеристиками) существуют специальные уравнения и нормы, призванные предотвратить травмы лыжников из-за чрезмерной дальности прыжка.

Трамплин состоит из криволинейного склона разгона, имеющего обычно форму окружности радиуса R^, и так называемого стола отрыва, с которого лыжники уходят в свободный полёт. Стол отрыва имеет небольшой отрицательный угол к горизонтали G , обычно составляющий от 6° до 12°. Здесь собственно трамплин заканчивается и то, что дальше, строго говоря, уже является горой приземления. Склон горы приземления состоит из трёх участков: участка высотой Н и длиной N, участка приземления ВК и закругляющегося вверх участка торможения. Высота стола отрыва над началом горы приземления обозначается буквой Т и обычно составляет 2-4% от максимальной дальности (см. рис.1).

Рис. 1. Геометрические элементы трамплина.

Прыжок с трамплина состоит из нескольких фаз. В фазе разгона лыжник набирает скорость, скользя по трамплину. Следующая фаза - очень ответственная и сложная - отрыв. Достигнув конца трамплина, лыжник отталкивается от стола отрыва, принимая полётную позу. Начинается третья фаза - полёт. Прыжок завершается четвёртой фазой, приземлением.

Для успешного приземления и достаточно большой дальности прыжка необходимо оптимальное выполнение всех его предыдущих стадий. В фазе разгона лыжник должен набрать какможшбадьшую скаросхь~ Следующую фазу - отталкивание - некоторые тренеры считают ответственней даже полёта. Ведь от силы и скорости отталкивания зависит то, сколько времени лыжник будет находиться в аэродинамически невыгодной позе, какую скорость он за это время потеряет, а какую сообщит себе отталкиванием. Во время полёта лыжник непрерывно управляет своим положением в воздухе, добиваясь максимальной подъёмной силы при минимуме сопротивления. Для удачного полёта необходимо быстрое принятие оптимального положения в воздухе и большая начальная скорость. Прыжок будет засчитан, только в том случае, если во время приземления лыжник устоял на ногах.

Следует также отметить, что фаза полёта в свою очередь делится на три фазы: принятие полётной позы, основная фаза полёта и подготовка к приземлению.

Большинство опубликованных работ по прыжкам на лыжах с трамплина носит экспериментальный характер. Такова ситуация не только у нас в стране [4], но и за рубежом. В ряде работ исследуются отдельные фазы прыжка на лыжах: разгон лыжника [5-10], отталкивание от стола отрыва [11-20], полёт [21 -24, 78, 79,102,103, 107-116], приземление и торможение [25].

Целью работы английских учёных Б.М.Квигли и Д.Б.Чаффина [5] было нахождение условия сохранения динамического равновесия во время спуска с горы на лыжах. Ф.Ваверка (Чехия, Палацкий университет) и Б.Йост (Словения, Университет Любляны) со своими сотрудниками с 1992 года проводят видеосъёмки разгона, отрыва и полёта лыжников на международных турнирах.

Все их статьи, например, [6-7, 14, 20, 22-24] посвящены статистическому обобщению достигнутых спортсменами результатов. Работы М.Вирмавирты и П.В.Коми посвящены видеосъёмке и кинематическому анализу фазы отталкивания [18], решению обратной задачи динамики отрыва, то есть нахождению сил, действующих на лыжника во время отталкивания, по известным кинематическим параметрам движения [11] и экспериментальному измерению этих сил с помощью специального тренажёра [17]. Японский профессор Т.Сасаки и его ученики классифицируют способы отталкивания по кинематическому признаку и выбирают из них наилучший [13]. В статье Н.А.Масальгина и др. [12] методом наименьших квадратов установлена экспериментальная зависимость между силой мышц спортсмена и дальностью прыжка. Работа итальянских исследователей А.Вольпе и др. [25] посвящена измерению силы удара при приземлении. Статья Х.Мросса и Х.Хоффмана [26] представляет собой комплексное исследование, суммирующее данные о всех фазах прыжка большого числа спортсменов с целью проанализировать связи между факторами, влияющими на результат прыжка. К разряду статей для тренеров, суммирующих данные научных разработок, относятся работы [2728]. В работе О.М.Боженинова [29] опубликованы результаты обдува манекена спортсмена в современной полётной позе и определён угол атаки, при котором достигается максимальное аэродинамическое качество системы лыжник-лыжи, однако это сделано для одного набора параметров системы.

Авторы теоретических исследований решают задачи оптимизации отдельных фаз прыжка, чтобы найти, как достичь максимальной дальности. Монография В.А.Петрова и Ю.А.Гагина [30] представляет собой учебник по механике спортивных движений, где задачи о разгоне лыжника решаются в достаточно простом и наглядном виде. Угол атаки при спуске с горы считается постоянным, а аэродинамические коэффициенты - известными (из [2]). В этом учебнике приведены аэродинамические коэффициенты и площади миделя среднего лыжника в глубоком приседе, низкой, средней и высокой стойке. В работах [115-117] все аэродинамические характеристики лыжника на лыжах сгруппированы в один параметр, определено его значение для нескольких спортсменов.

В работе Н.А.Багина и др. [31] выведена аналитическая формула для быстрой оценки дальности прыжка, учитывающая массу спортсмена и скорость вылета. К сожалению, при выводе уравнений движения была допущена ошибка в учёте влияния ветра. Более старая книга Е.А.Грозина [2] представляет собой комплексное исследование стилей прыжка 50-х и 60-х годов. Аэродинамические коэффициенты в ней найдены из экспериментов с фигурками лыжника в аэродинамической трубе. Л.П.Ремизов [32, 33] использовал эти коэффициенты для решения задачи оптимизации: он нашёл оптимальный угол атаки, обеспечивающий максимальную дальность полёта, применив принцип максимума Понтрягина. Аналогичные задачи решались и японскими исследователями И.Тани и М.Иучи [34].

Обзор работ по прыжкам на лыжах с трамплина приведён в [109].

Таким образом, при большом количестве исследований отдельных факторов и их комбинаций, влияющих на успех лыжников, не было выполнено ни одного исследования, рассматривающего прыжок на лыжах с трамплина как единый процесс, где все фазы влияют друг на друга. Научно-исследовательская и методическая литература в помощь тренеру и спортсмену обширна, но там даются рецепты чужих успехов, которые по многим причинам могут не подойти для конкретного спортсмена. Оптимальная тактика поведения в воздухе меняется в зависимости от трамплина и снаряжения. Статистические данные часто оказываются чересчур общими, и, как показывает практика, есть опасность, что конкретному спортсмену они не подойдут. В.Н.Селуянов пишет [35], что на современном этапе развития прыжков с трамплина реальную помощь спортсменам способно оказать только теоретическое исследование, учитывающее индивидуальные характеристики спортсмена.

Камнем преткновения для таких исследований становится невозможность с достаточной точностью определить силы, действующие на лыжника в полёте. В настоящее время в спортивной биомеханике используется только один и чрезвычайно дорогой способ достаточно точного нахождения аэродинамических сил - продувка моделей лыжников в аэродинамической трубе. Судя по найденным источникам, последнее такое исследование для лыжников-прыгунов с трамплина было проведено в России в 1993 году. К сожалению, высокие погрешности проведения этого актуального по замыслу и грандиозного по исполнению эксперимента не позволяют использовать эти результаты даже для качественного анализа. В настоящее время готовятся к изданию две статьи доцента К.Сео из университета Ямагата, Япония. В своём исследовании он с коллективом сотрудников находит аэродинамические коэффициенты ведущих японских лыжников-прыгунов с трамплина и формулирует рекомендации для достижения наибольшей дальности полёта. Для спортсменов, пока не добившихся выдающихся успехов, такие исследования недоступны ввиду их очень высокой стоимости. Поэтому чрезвычайно актуальна разработка новых методов определения аэродинамических сил, которые бы не требовали значительных финансовых вложений.

Ещё одна нерешённая задача касается безопасности прыжка. В доступной автору литературе не было найдено ни одного исследования, где бы учитывались условия безопасности прыжка - хотя бы в виде ограничений в задаче максимизации дальности.

Объект настоящего исследования - прыжки на лыжах с трамплина. Предметом исследования являются механические аспекты прыжка.

Цель исследования - разработать методику индивидуального определения техники выполнения прыжка на лыжах с трамплина, обеспечивающей максимальную дальность полёта, и определить такую технику для конкретного спортсмена.

Задачи исследования:

- Создать математическую модель прыжка на лыжах с трамплина, учитывающую взаимодействие различных его фаз (разгон, отталкивание, полёт, приземление).

- Определить аэродинамические коэффициенты системы лыжник-лыжи способами, основанными на математическом моделировании обтекания системы потоком воздуха, ранее мало использовавшимися в биомеханике спорта;

- Определить аэродинамические коэффициенты системы лыжник-лыжи из обработки видеозаписи полёта системы лыжник-лыжи;

- На основе знания аэродинамических сил найти оптимальную тактику поведения спортсмена в воздухе, чтобы дальность полёта была максимальной;

- Исследовать оптимальные параметры системы лыжник-лыжи.

Методы исследования. Основным методом исследования в данной работе является математическое моделирование. Кроме того, для идентификации моделей был поставлен эксперимент. Модель прыжка состоит из моделей четырёх его основных фаз, и начальные условия каждой следующей являются результатами предыдущей. Аэродинамические коэффициенты лыжника в полёте находятся в задаче обтекания системы лыжник-лыжи потоком воздуха и методом обработки видеозаписи полёта. Задача обтекания решается методом конечных разностей в естественных переменных и в переменных вихрь -функция тока. Для идентификации было проведено два эксперимента на базе Специализированной детско-юношеской спортивной школы олимпийского резерва г. Перми «Летающий лыжник» (1998, 2002). Для максимизации дальности прыжка при ограничениях на безопасность прыжка поставлена задача оптимального управления, которая решена методом Нелдера-Мида (деформируемого многогранника) в семействе полиномов. Для оценки устойчивости оптимальной техники прыжка к возмущениям применён метод стохастической устойчивости. Для определения влияния возмущений на технику прыжка с максимальной дальностью поставлена задача оптимального управления с возмущениями.

Научная новизна. Разработаны, исследованы и верифицированы следующие математические модели и алгоритмы:

- математическая модель обтекания системы лыжник-лыжи потоком воздуха в естественных переменных; математическая модель обтекания системы лыжник-лыжи потоком воздуха в переменных вихрь, функция тока; математическая модель прыжка на лыжах с трамплина;

- алгоритм определения аэродинамических коэффициентов системы лыжник-лыжи из математической модели обтекания системы лыжник-лыжи потоком воздуха; алгоритм определения аэродинамических коэффициентов системы лыжник-лыжи в полёте из обработки видеозаписи полёта; алгоритм максимизации дальности прыжка; алгоритм оценки устойчивости дальности прыжка к возмущениям угла атаки и скорости ветра; алгоритм оптимизации прыжка лыжника с трамплина с возмущениями угла атаки и скорости ветра в полёте.

На основе компьютерных реализаций разработанных моделей:

- изучено влияние параметров трамплина, спортсмена и его снаряжении на дальность прыжка; определена тактика выполнения разгона и полёта для ряда спортсменов, максимизирующая дальность полёта при ограничении на скорость приземления;

- разработаны методики: эксперимента для последующей идентификации математической модели обтекания системы лыжник-лыжи потоком воздуха; эксперимента для последующего определения аэродинамических коэффициентов системы лыжник-лыжи в полёте путём обработки видеозаписи полёта; индивидуального определения зависимости угла атаки от времени, максимизирующей дальность прыжка; определения наиболее выгодных в смысле максимизации дальности параметров системы лыжник-лыжи для прыжков на конкретном трамплине.

Практическая ценность. Определены аэродинамические коэффициенты конкретной системы лыжник-лыжи в полёте. Создана математическая модель прыжка конкретной системы лыжник-лыжи с трамплина. Представлены индивидуальные практические рекомендации по максимизации дальности прыжка для всех фаз прыжка.

Внедрение результатов исследования. Методики индивидуального определения зависимости угла атаки от времени, максимизирующей дальность полёта, а также программные продукты на их основе используются Специализированной детско-юношеской спортивной школой олимпийского резерва «Летающий лыжник» (г. Пермь) для расчётов оптимальных зависимостей угла атаки от времени, максимизирующих дальность полёта, для конкретных спортсменов.

Достоверность результатов. Справедливость применяемых гипотез, допущений и результатов, полученных с использованием разработанных методик, подтверждается сопоставлением численных решений, полученных разными методами, а также удовлетворительным соответствием результатов численного моделирования данным проведённых экспериментов.

На защиту выносятся:

- Методика определения аэродинамических коэффициентов на основе математического моделирования обтекания системы лыжник-лыжи потоком воздуха.

- Эксперименты по исследованию' кинематики» динамики спуска с горы разгона и фазы полёта.

- Методика экспериментального определения аэродинамических коэффициентов системы лыжник-лыжи.

- Аэродинамические коэффициенты системы лыжник-лыжи.

- Оптимальная траектория системы лыжник-лыжи.

- Учёт влияния ветра на полёт лыжника.

- Математическая модель отдельных фаз прыжка на лыжах и их взаимодействие.

- Определение оптимальных параметров системы лыжник-лыжи.

- Доверительные интервалы стохастической устойчивости оптимальных траекторий системы лыжник-лыжи.

- Оптимизация параметров системы лыжник-лыжи с возмущениями угла атаки и скорости ветра.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы обсуждены и одобрены на Научно-технической конференции ПГТУ (1998), Региональной конференции молодых учёных «Молодёжная наука Прикамья» (Пермь: 2000), Российских конференциях молодых учёных по математическому моделированию (Пермь: 1997, 1998, 1999), Научно-методическом семинаре преподавателей теоретической механике (Екатеринбург: 1997), Российской конференции по биомеханике спорта (Пенза: 2001), Российских конференциях по биомеханике (Нижний Новгород: 1998, 2000; Пермь: 1999), Международных конференциях по кинезиологии и спортивной медицине (Дубна: 1994; Москва: 2000; Новосибирск: 2001); XVI Международном симпозиуме по биомеханике спорта (Констанц, Германия: 1998), VI Международной конференции по спортивной кинетике (Любляна, Словения: 1999), VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь: 2001). До защиты результаты также будут обсуждены на IV Международной конференции по спортивной механике (Киото, Япония: 2002).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 24 научные работы.

Структура работы. В первой главе поставлена задача оптимального управления прыжком лыжника с ограничениями на допустимое изменение угла атаки и на скорость приземления. Формулируются и обосновываются основные предположения построенных в следующих главах математических моделей, что позволяет свести задачу оптимального управления прыжком лыжника к задаче оптимизации функции нескольких переменных и значительно упростить математические модели вспомогательных задач.

Вторая глава посвящена нахождению аэродинамических коэффициентов лыжника в полёте. Аэродинамические коэффициенты находятся из расчёта и из эксперимента. Математическая постановка задачи выполнена двумя способами: в естественных переменных и в переменных вихрь-функция тока. Для решения обоих вариантов нахождения аэродинамических коэффициентов использован метод конечных разностей. Затем эти коэффициенты сравниваются с найденными экспериментально (из решения первой задачи динамики дла видеозаписи прыжка на лыжах с трамплина).

В третьей главе описана математическая модель прыжка лыжника. Она состоит из математических моделей разгона, отталкивания, полёта и приземления. В качестве демонстрации возможностей модели разгона описывается несложный метод, позволяющий экспериментировать с позой разгона не на трамплине, а на достаточно пологом склоне. Математическая модель полёта служит для расчёта дальности прыжка и для ещё одной проверки аэродинамических коэффициентов. Математическая модель приземления завершает модель и оценивает безопасность приземления.

Четвёртая глава посвящена решению задачи оптимального управления полётом. На основании физиологических ограничений на выполнимость результирующих управлений спортсменом выбирается класс функций, в рамках которого и ищется решение. Другими словами, задача оптимального управления сводится к более простой задаче оптимизации функции нескольких переменных. Также решены ещё две задачи оптимизации: какая оптимальная масса должна быть у снаряжения, чтобы при данной длине разгона полёт был на максимально возможную дальность; как нужно управлять своим движением в полёте, чтобы приземлиться с минимальной посадочной скоростью.

В выводах суммируются основные результаты работы.

В приложении приведен акт внедрения результатов научно-исследовательской работы в СДЮСШОР «Летающий лыжник» (г. Пермь).

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Подгаец, Александр Романович

102 Выводы

Составлена и исследована математическая модель обтекания системы лыжник-лыжи потоком воздуха.

Составлена математическая модель прыжка, учитывающая взаимовлияние его фаз.

Определены аэродинамические коэффициенты из математической модели обтекания системы лыжник-лыжи потоком воздуха.

Проведён эксперимент и методом обработки видеозаписи полёта определены аэродинамические коэффициенты системы лыжник-лыжи потоком воздуха.

Решена задача максимизации дальности прыжка и представлены рекомендации для всех фаз прыжка.

Методом стохастической устойчивости исследована устойчивость дальности прыжка к возмущениям скорости ветра и угла атаки, определены наиболее опасные направления и величины порывов ветра.

Решена задача оптимизации полёта с возмущениями для прыжка лыжника.

Определена оптимальная масса системы лыжник-лыжи для соревнований на конкретном трамплине.

При разгоне следует стремиться к наиболее обтекаемой стойке с минимальной площадью миделя.

Отталкивание следует производить перпендикулярно столу отрыва при как можно большей скорости отталкивания.

Для достижения максимальной дальности в полёте угол атаки должен меняться по параболе с максимумом около 45 градусов, начальным и конечным значением 5-15 градусов.

Колебания лыж и порывы ветра могут повлиять на дальность полёта, причём, чем легче лыжник, тем больше.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Подгаец, Александр Романович, 2002 год

1. Раменская Т.И. К истории и характеристике некоторых результатов научных исследований в лыжных гонках // Теория и практика физической культуры. - 1995. -№ 1.-е. 57-59.

2. Грозин Е.А. Прыжки с трамплина. М.: Физкультура и спорт, 1971.88 с.

3. Славский В.Ф. Прыжки на лыжах с трамплина. // Теория и практика физической культуры. 1995. - № 1.-е. 7-9.

4. Баталов А.Г., Раменская Т.И., Кубеев А.В., Храмов Н.А. Результаты приоритетных научных исследований на кафедре лыжного спорта в период 1993-1998 гг // Теория и практика физической культуры. 1998. — № 5. - с. 5052.

5. Quigley В.М., Chaffin D.B. A computerised biomechanical model appied to analysis of skiing // Medicine and science in sports. 1971. - Vol. 3, No. 2. - pp. 8996.

6. Vaverka F., Zhanel J. Ski-jumper's approach body position biomechanical aspect // Acta University Palackianae. - Praha: Stat. ped. nakl. - 1994. - pp. 177-204.

7. Luethi S.M., Denoth J. The influence of aerodynamics and antropometric factors on speed in skiing // International journal of sport biomechanics. 1987. -No. 3. - pp. 345-352.

8. Ремизов JI.П. Математическое моделирование в горнолыжном спорте II Теория и практика физической культуры. 1970. - № 11.-е. 20-25.

9. Ремизов Л.П. Оптимальное управление в горнолыжном спорте // Теория и практика физической культуры. 1973. -№ 10.-е. 9-13.

10. Virmavirta M., Komi P.V. The take-off forces in ski jumping // International journal of sport biomechanics. 1989. - No. 5. - pp. 248-257.

11. Масальгин H.A., Жиляков A.A., Фалалаев А.Г. Зависимость между взрывной силой мышц и длиной прыжка на лыжах с трамплина у лыжников двоеборцев в различные периоды тренировки // Теория и практика физической культуры. 1993. - № 4. - с. 40-41.

12. Vaverka F., Janura M., Elfmark M., Salinger J., McPherson M. Inter- and intra-individual variability of the ski-jumper's take-off // Science and skiing. -London: E&FN Spon. 1997. - pp. 61-71.

13. Komi P.V., Virmavirta M. Ski-jumping take-off performance: determining factors and motodological advances // Science and skiing. London: E&FN Spon. -1997.-pp. 3-26.

14. Sasaki Т., Tsunoda K., Nishizono H. Video analysis of take-off actions in ski jumping // Proceedings of Xllth International congress of biomechanics. Los Angeles: UCLA. - 1991. - pp. 203-204.

15. Virmavirta M., Komi P.V. Measurement of take-off forces in ski-jumping. Part I // Scandinavian journal of medicine and science in sports. 1993. - No. 3. -pp. 229-236.

16. Virmavirta M., Komi P.V. Takeoff analysis of a champion ski jumper // Proceedings of XlVth International congress of biomechanics. Los Angeles: UCLA. - 1995. - pp. 418-419.

17. Colja I., Strojnik V., Jost B. Inverse dynamics of take-off on ski-jumping simulator // Proceedings of Xllth International symposium on biomechanics in sports. Budapest: Hungarian university of physical education. - 1994. - pp. 282-284.

18. Jost В., Kugovnik О., Strojnik V., Colja I. Analysis of kinematic variables and their relation to the performance of ski jumpers at the World Championship in Ski Flight at Planica in 1994 // Kinesiology. 1997. - No. 29. - Vol. 1. - pp. 35-44.

19. Jost В., Coh M. Factor analysis of kinematic parameters of the flight phase in ski jumping // Proceedings of XVTth International symposium on biomechanics in sports. Book 2. Konstanz: UVK-Universitatsverlag Konstanz GmbH. - 1998. - pp. 209-212.

20. Puumala R., McPherson M. A kinematic analysis of the flight phase of ski jumping // Proceedings of Xlllth International symposium on biomechanics in sports.- Thunder Bay: Lakehead university. 1995. - pp. 257-260.

21. Мросс X., Хоффман X. Результаты исследований состояния развития прыжков на лыжах в мире, проведённых 04.01.89 в Иннсбруке (Австрия) // Прыжки с трамплина и лыжное двоеборье. Зарубежный спорт. Сборник статей.- М.: ЦООНТИ-ФиС. 1993. - Вып. 2. - с. 3-21.

22. Боженинов О.М. Факторы, влияющие на результат в прыжках с трамплина на лыжах и эволюцию техники полёта // Теория и практика физической культуры. 1995. -№ 1.-е. 37-40.

23. Боженинов О.М., Жиляков А.А. Основные направления совершенствования техники прыжка на лыжах. М.: ЦНИС, РГАФК. - 1993. -106 с.

24. Боженинов О.М. V-стиль стиль победы // Теория и практика физической культуры. - 1995. - № 1.-е. 29.

25. Петров В.А., Гагин Ю.А. Механика спортивных движений. М.: Физкультура и спорт, 1974. - 232 с.

26. Багин Н.А., Волошин Ю.И., Евтеев В.П. К теории полёта лыжника при прыжке с трамплина // Теория и практика физической культуры. 1997. - № 2. — с. 9-11.

27. Ремизов Л.П. Максимальная дальность прыжка с трамплина // Теория и практика физической культуры. 1973. - № 3. - с. 73-75.

28. Remizov L.P. Biomechanics of optimal ski jump // Journal Biomechanics. -1984.-Vol. 3. No. 3. - pp. 167-171.

29. Tani I., Iuchu M. Flight-mechanics investigation // Scientiffic study of skiing in Japan. Tokyo: Hitachi, 1971. - pp.34-52.

30. Селуянов B.H. Эмпирический и теоретический пути развития теории спортивных тренировок // Теория и практика физической культуры. 1998. - № 3.-е. 46-50.

31. Кроули У. FLAG свободно лагранжев метод для численного моделирования гидродинамических течений в двух измерениях // Численные методы в механике жидкостей. Под ред. Белоцерковского О.М. - М.: Мир, 1973.-е. 135-145.

32. Херт С. Произвольный лагранжево-эйлеров численный метод // Численные методы в механике жидкостей. Под ред. Белоцерковского О.М. -М.: Мир, 1973.-е. 156-164.

33. Harlow F.H., Welch J.E. Numerical calculation of time-dependent viscous incompressible flow of fluid with free surface // Physics of fluids. 1965. - Vol. 8. -No. 2.-pp. 2182-2189.

34. Welch J.E., Harlow F.H., Shannon J.P., Daly B.J. The MAC method // LASL Report No. LA-3425. Los Alamos: Los Alamos Scientific Laboratory.

35. Роуч П.Дж. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980. - 616 с.

36. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Нестационарный метод «крупных частиц» для газодинамических расчётов. // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1971, т. 11, № 1, с. 182-207.

37. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц в газовой динамике. М.: Наука, 1982. - 392 с.

38. Джо Г. Марвин. Расчёты трёхмерного потенциального обтекания воздушного винта методом конечных объёмов К Аэрокосмическая техника. -1984. -№ 3.-С.21-41.

39. Тарунин Е. JI. Вычислительный эксперимент в задачах свободной конвекции. Иркутск: Изд. ИУ, 1990. - 223 с.

40. Минайлос А.Н. Точность численных решений уравнений Навье-Стокса // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1998. - т. 38.-№7.-с. 1220-1232.

41. Вабищевич П.Н., Матус П.П., Самарский А.А. Разностные схемы II порядка точности на неравномерных сетках // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1998. - т. 38. - № 3. - с. 413-424.

42. Накахаси К., Дейуэрт Дж.С. Новый метод построения трёхмерных адаптирующихся сеток /У Аэрокосмическая техника. 1987. - № 1. - с. 3-14.

43. Флорес Дж., Резник С.Г., Холст Т.Л., Ганди К. Расчёты трансзвукового обтекания комбинации крыло-фюзеляж истребителя на основе уравнений Навье-Стокса // Аэрокосмическая техника. 1989. - № 7. - с. 15-22.

44. Гхиа У., Рамамурти Р., Гхиа К.Н. Решение задачи Неймана для давления на ортогональной сетке с помощью многосеточного метода // Аэрокосмическая техника. 1987. - № 7. - с. 3-14.

45. Чайма Р.В., Джонсон Г.М. Эффективный распараллеленный многосеточный алгоритм решения уравнений Эйлера и Навье-Стокса // Аэрокосмическая техника. 1986. - № 2. - с. 93-104.

46. Neumann J., Richtmayer R. A method for the numerical calculation of hydrodynamic shocks // Journal of applied physics. 1950. - Vol. 21. - No. 3. - pp. 232-237.

47. Годунов C.K., Семендяев K.A. Разностные методы численного решения задач газовой динамики // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1962. - т. 2. - № 1. - с. 3-14.

48. Самарский А.А., Арсенин В.Я. О численном решении уравнений газовой динамики с различными типами вязкости // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1961. - т. 1. - № 2. - с. 357-360.

49. Берковский Б.М., Полевиков В.К. Вычислительный эксперимент в конвекции. Минск: Университетское, 1988. -166 с.

50. Бояршинов М.Г. Модели переноса и рассеяния примесей в растительном массиве. Пермь: ПГТУ, 2000. - 142 с.

51. Бартон Дж.Г., Пуллиам Т.Х. Влияние вязкости и погрешностей, свойственных численным методам, на результаты расчёта обтекания профиля при больших углах атаки // Аэрокосмическая техника. 1987. - № 2. - с. 15-22.

52. Прабху Д.К., Таннехилл Дж.К. Численный расчёт обтекания КЛАМИ с учётом эффектов реального газа. // Аэрокосмическая техника. 1987. - № 2. -с.3-14.

53. Величко С.А., Лифшиц Ю.Б, Солнцев И.А. Расчёт нестационарного течения при помощи схем повышенной точности // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1999. — т.39. -№ 5. - с. 850-864.

54. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Об однородных разностных схемах // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1961. - т. 1. -№ 1. — с. 5-63.

55. Cyrus N.J., Fulton R.E. Accuracy study of finite difference methods //' NASA TN D-4372. Hampton: National Aeronautics and Space Administration, Langley Research Center, Langley Station.

56. ГаранжаВ.А., Коньшин B.H. Численные алгоритмы для течений вязкой жидкости, основанные на консервативных компактных схемах высокого порядка аппроксимации // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1999. - т. 39. -№ 8. - с. 1378-1392.

57. Дородницын Л.В. Неотражающие граничные условия для систем уравнений газовой динамики // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2002. - т. 42. -№ 4. - с. 522-549.

58. Яненко Н.Н. Об экономичных неявных схемах (метод дробных шагов) //Доклады АН СССР.-1960.-т. 134.-№5.-с. 1034-1036.

59. Peaceman D.W., Rachford Н.Н. The numerical solution of parabolic and elliptic differential equations If Journal of social industry and applied mathematics. -1955.-Vol.3.-pp. 28-41.

60. Douglas J. On the numerical integration of problems by implicit methods // Journal of social industiy and applied mathematics. 1955. - Vol. 3. - pp. 42-65.

61. Douglas J., Rachford H.H. On the numerical solution of heat conduction problems in two and three space variables // Transitions of American Mathematical Society. 1956. - Vol. 82. - № 2. - pp. 421-439.

62. Ковеня B.M., Тарнавский Г.А., Чёрный С.Г. Применение метода расщепления в задачах аэродинамики. Новосибирск: Наука, 1990. - 242 с.

63. Ковеня В.М., Яненко Н.М. Метод расщепления в задачах газовой динамики. Новосибирск: Наука, 1981. - 304 с.

64. Марчук Г.И. Методы расщепления. М.: Наука, 1988. - 262 с.

65. Ковеня В.М., Лебедев А.С. Модификации метода расщепления для построения экономичных разностных схем // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1994. - том 34. - № 6. - с. 886-897.

66. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. -541 с.

67. Сегерлинд JI. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979.-392 с.

68. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977.-349 с.

69. Nyashin Y. I., Podgayets A. R., Rudakov R. N. Mechanics of a Ski Jump. Russian Journal of Biomechanics (Российский журнал биомеханики). 1998. -Vol. 2.1-2.-pp. 89-97.

70. Podgayets A., Rudakov R. Computer Modelling of a Ski Jump. // Proceedings of XVIth International symposium on biomechanics in sports. Book 1. -Konstanz: UVK-Universitatsverlag Konstanz GmbH. 1998. - pp. 372-375.

71. Коннор Дж., Бреббиа К. Метод конечных элементов в механике жидкости. Л.: Судостроение, 1979. - 263 с.

72. Темам Р., Томассе Ф. Решение уравнений Навье-Стокса методом конечных элементов. Механика. М.: Мир, 1977. - № 14. - с. 157-162.

73. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса: теория и численный анализ. М.: Мир, 1981.-408 с.

74. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галёркина. М.: Мир, 1988.-352 с.

75. Уонг Я., Хафез М. Применение методов сопряжённого градиента при расчёте трансзвуковых течений методами конечных разностей и конечных элементов // Аэрокосмическая техника. 1983. - № 6. - с. 49.

76. Аэродинамическая компоновка и характеристики летательных аппаратов. Под ред. М.И. Ништа. М.: Машиностроение, 1991. - 255 с.

77. Аэродинамическое проектирование летательных аппаратов. Тематический сборник научных трудов // Харьковский авиационный институт им. Н.Е. Жуковского. Под ред. В.И.Холявко и др. Харьков: ХАИ, 1985. -189 с.

78. Аллен Дж., Балтакис Ф. Аэродинамика ракет. М.: Мир, 1989. - Том 1. -425 с.; Том 2.-508 с.

79. Роди В. Примеры моделей турбулентности для течений несжимаемой жидкости // Аэрокосмическая техника. 1983. - № 2. - с. 3-14.

80. Шринивасан Дж.Р., Маккроски У.Дж., Бэдэр Дж.Д., Эдварде Т.А. Численное моделирование концевых вихрей, возникающих при обтекании крыльев дозвуковыми и трансзвуковыми потоками // Аэрокосмическая техника.- 1989. № 10. -с.109-121.

81. Фудзи К., Шифф Л.Б. Численное моделирование вихревых течений около треугольного крыла с наплывом // Аэрокосмическая техника. 1991. - № 7.-е. 3-15.

82. Фудзи К., Обаяси Ш. Применение противопоточной схемы высокого разрешения для моделирования вихревых течений // Аэрокосмическая техника.- 1991.-№ 7. -с. 16-25.

83. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. М.: Мир, 1991. - Том 1. - 504 е.; Том 2. - 552 с.

84. Механика жидкости и газа. Итоги науки и техники. ВИНИТИ. М.: Гос. комитет СССР по науке и технике, АН СССР, 1987. - т. 21. - 184 с.

85. Гаухман Я.Н., Касторский В.Е., Логачёв Ю.Г., Стадник И.В. Аэродинамика и динамика полёта транспортных летательных аппаратов. Том 1. Под ред. Касторского В.Е. Рига: РКИИГА, 1968. - 457 с.

86. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. М.: Наука, 1982. - 519 с.

87. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Наука, 1992. - 422 с.

88. Бояршинов М.Г. Численные методы. Часть 2. Пермь: ПГТУ, 1999. -200 с.

89. Бояршинов М.Г. Численные методы. Часть 3. Пермь: ПГТУ, 2002. -134 с.

90. Идельчик И.Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям. М.: Наука, 1992. - 671 с.

91. Depra P., Brenzikofer R., Goes М., Barros R. Fluid mechanics analysis in volleyball services// Proceedings of XVIth International symposium on biomechanics in sports. Book 2. Konstanz: UVK-Universitatsverlag Konstanz GmbH. - 1998. -pp. 161-164.

92. Rudakov R.N., Nyashin Yu.I., Podgayets A.R., Lisovski A.F., Miheeva S.A. The influence of aerodynamic forces on the movement of sportsmen and sport balls // Russian Journal of Biomechanics. 2001. - Vol. 5. - № 2. - pp. 20-30.

93. Podgayets A.R., Rudakov R.N., Tuktamishev V.S. Aerodynamic optimization of a ski jump // Proceedings of IV International Conference on the Engineering of Sport. Ujihashi S., Haake S.J. (eds.) Oxford: Blackwell Publishing, 2002. - pp.415-422.

94. Костров A.B., Гуков B.B. Итерационный синтез-метод идентификации аэродинамических характеристик космического аппарата по измерениям его движения // Космические исследования. 1986. - т.24. - вып.5. - с.680-694.

95. Гуков В.В., Костров А.В. Метод нелинейной идентификации движения летательного аппарата // Автоматика и телемеханика. 1988. - № 7. -с.38-50.

96. Дроздов A.JI. Алгоритм идентификации характеристик динамической системы по данным наблюдений // Автоматика и телемеханика. 2000. - № 5. -с.58-66.

97. Podgayets A.R., Rudakov R.N. Evaluation of the Effect of Ski-Jumper's Aerodynamic Quality on Safety of Landing. Russian Journal of Biomechanics // 1999. vol. 3. - № 3. - pp. 91 -98.

98. Podgayets A.R., Rudakov R.N., Gitman M.B., Shvetsov B.S. Stochastic Optimisation of Ski-Jumper's Flight // Proceedings of VI International Conference on Sport Kinetics. Coh M. (ed.) Ljubljana: Univerza v Ljubljani. - 1999. - pp.281284.

99. Подгаец A.P., Рудаков P.H. Биомеханические проблемы прыжка на лыжах с трамплина // Russian Journal of Biomechanics. 2000. - vol.4. - №2. -pp.20-30.

100. Подгаец A.P., Рудаков Р.Н. Математическое моделирование прыжков с трамплина // IV Всероссийская конференция по биомеханике. Тезисы докладов. Под ред. В.А.Антонца. Нижний Новгород: ИПФ РАН. -1998.-стр.73.

101. Podgayets A.R., Rudakov R.N., Shvetsov B.S. Mathematical modeling of the main flight phase of a ski jump // Russian Biomechanics Conference. Book of Abstracts. Yu.I.Nyashin (ed.) Perm: PSTU. - 1999. - pp.13-14.

102. ИЗ. Рудаков P.H., Няшин Ю.И., Подгаец A.P. Некоторые задачи биомеханики спорта // Медицина и физическая культура на рубеже тысячелетий. Международная конференция. Сборник тезисов. Под ред.

103. A.Н.Коротаева Москва: РАН. -2000. - стр.96-97.

104. Подгаец А.Р., Рудаков Р.Н. Оценка влияния аэродинамического качества лыжника на безопасность приземления // V Всероссийская конференция по биомеханике. Тезисы докладов. Под ред. В.А.Антонца. -Нижний Новгород: ИПФ РАН. 2000. - стр.191.

105. Гайсина А.Р., Лисовский А.Ф., Михеева С.А., Подгаец А.Р., Рудаков Р.Н. Некоторые задачи биомеханики спорта. // Восьмой Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. Под ред.

106. B.П.Матвеенко и др. -Екатеринбург: УрО РАН. -2001. стр.172.

107. Гитман М.Б., Якубович М.В. К вопросу об устойчивости процесса деформирования при стохастическом распределении начальных параметров. Вестник ПГТУ. Математика и прикладная математика. межвуз.сб.Пермь.: изд. ПГТУ, 1996. №1.с.61-66.

108. Кибзун А.И. О наихудшем распределении в задачах стохастической оптимизации с функцией вероятности // Автоматика и телемеханика. 1998. -№ 11. -с.104-116.

109. Колемаев В.А., Староверов О.В., Турундаевский В.Б. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1991. - 400 с.

110. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. -М.: Наука, 1988. 549 с.

111. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. М.: Наука, 1981.-488 с.1. Б.С.Швецов2002 г.

112. АКТ ВНЕДРЕНИЯ результатов научно-исследовательской работы

113. Рабочие программы с инструкциями по их использованию переданы в СДЮШОР «Летающий лыжник» и используются тренерами при проведении тренировок и методической работе, в частности, при написании методических пособий.

114. В результате проведённых исследований получено решение ряда прикладных задач математического моделирования прыжка на лыжах с ' трамплина индивидуально для каждого спортсмена.

115. Тренер, мастер спорта международного класса

116. Старший тренер Пермской с мастер спорта СССР