Математическое моделирование стационарных магнитных полей на основе метода интегральных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Саядян, Дмитрий Левонович

  • Саядян, Дмитрий Левонович
  • кандидат физико-математических науккандидат физико-математических наук
  • 2004, Ставрополь
  • Специальность ВАК РФ05.13.18
  • Количество страниц 144
Саядян, Дмитрий Левонович. Математическое моделирование стационарных магнитных полей на основе метода интегральных уравнений: дис. кандидат физико-математических наук: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. Ставрополь. 2004. 144 с.

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Саядян, Дмитрий Левонович

Введение

Содержание

Глава 1. Метод интегральных уравнений в задачах магнитостатики:.

1.1 Основы теории магнитного поля постоянного тока.

1.2 Теория потенциала и метод интегральных уравнений:.

1.3 Математические модели стационарного магнитного поля на основе линейных интегральных уравнений.281.4 Математическая модель стационарного магнитного поля на основе нелинейных интегральных уравнений:.

Глава 2. Численное решение интегральных уравнений в задачах магнитостатики.

2.1 Метод граничных элементов для численного решения интегральных уравнений в задачах магнитостатики.

2.2 Вычисление интегралов в численном решении интегральных уравнений.

2.3 Выбор метода решения системы линейных алгебраических уравнений, к которой сводится интегральное уравнение.

2.4 Построение вычислительной схемы решения интегрального уравнения математической модели магнитного поля в кусочно-однородной среде для ферромагнитного тела в форме эллипсоида.

2.5 Построение вычислительной схемы решения системы интегральных уравнений математической модели магнитного поля в кусочно-однородной среде для ферромагнитного тела в форме эллипсоидальной оболочки

Глава 3. Моделирование характеристик магнитного поля токовош системы с ферромагнитным телом в форме эллипсоида.

3.1 Анализ погрешности приближенного решения интегрального уравнения и значений модуля напряженности результирующего поля.

3.2 Об одном способе вычисления интегралов в численном решении интегрального уравнения, позволяющем сократить время решения.

3.3 Исследование зависимости характеристик магнитного поля от ориентации эллипсоида относительно токовой системы.

3.4 Исследование зависимости характеристик магнитного поля от соот-ноошения полуосей эллипсоида.

3.5 Исследование зависимости характеристик магнитного поля от радиусов круговых витков токовой системы.

Глава 4. Моделирование характеристик магнитного поля токовой системы с ферромагнитным экраном в форме эллипсоидальной оболочки.

4.1 Исследование зависимости характеристик магнитного поля от значения толщины экрана.

4.2 Исследование зависимости характеристик магнитного поля от значе ния магнитной проницаемости экрана.

4.3 Исследование зависимости модуля напряженности поля от значений полуосей эллипсоидов, образующих эллипсоидальную оболочку.

Рекомендованный список диссертаций по специальности «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», 05.13.18 шифр ВАК

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование стационарных магнитных полей на основе метода интегральных уравнений»

Во всех отраслях современной техники широко используются электромагнитные явления и процессы, лежащие в основе действия большого числа различных электромагнитных приборов и устройств, используемых на практике. К числу таких приборов и устройств могут быть отнесены: электрические машины и аппараты, электромагнитные и электронные элементы автоматики; магнитные экраны, радиотехнические средства передачи^ информации; электромедицинские приборы; и устройства, устройства! электрометаллургии; электрохимии, геологоразведки, навигации и многие другие. Без преувеличения можно сказать, что технический прогресс существенно зависит от быстроты и надежности их проектирования;

В'процессе проектирования возникает необходимость в решении задач моделирования характеристик электромагнитного процесса, причем это решение из-за сложности форм электротехнических приборов и устройств в подавляющем большинстве случаев приходится! осуществлять при помощи численных методов.

Метод интегральных уравнений является одним из эффективных, методов решения- краевых задач, возникающих в различных научно-технических областях, таких как электродинамика, механика,, гидродинамика, теплофизика и многих других, наряду с такими методами, как методы конечных разностей, конечных элементов, методы теории функций; комплексного переменного, метод функции Грина. Его сущность состоит в сведении; исходной краевой» задачи для дифференциальных уравнений в частных производных к интегральным; уравнениям; и их численному решению на; ЭВМ: Широко применяется метод интегральных уравнений; и для решения прикладных задач моделирования стационарных электрических и мишйьиз гкшрзйлх значительных работ, посвященных методу интегральных уравнений применительно к задачам электро- и магнитостатики, можно назвать работу Г.А. Гринберга [24], предложившего один из вариантов метода. Работа вышла в свет в 1949 году, когда о практическом- использовании интегральных уравнений для расчета трехмерных магнитных полей сложных магнитных систем не могло быть и речи. Интерес к методу интегральных. уравнений возник после появления в начале семидесятых годов работ О.В.Тозони, И.Д. Майергойза [42,71,72,73], в которых метод интегральных уравнений был представлен в физической интерпретации как метод вторичных источников. В этих работах было осуществлено построение и теоретическое обоснование математических моделей электрического и магнитного поля в кусочно-однородных, неоднородных, нелинейных средах на основе интегральных уравнений, а также первые попытки внедрения метода в практику электротехнических расчетов приборов и устройств. Дальнейшие исследования, связанные с расчетом электромагнитных полей на основе интегральных методов, разработкой математических моделей гистерезиса, нелинейных интегральных уравнений, построении универсальных вычислительных алгоритмов, были проведены С.Т.Толмачевым, П.А.Курбатовым, С.А. Арынчиным и другими [40,70]. Среди, последних: работ, посвященных развитию метода вторичных источников и численных методов решения интегральных уравнений, к которым приводит этот метод, необходимо отметить следующие работы отечественных и зарубежных ученых [26,74,75,77,78].

На теоретическом уровне вопросы, связанные с использованием метода интегральных уравнений для решения стационарных задач можно считать проработанными! достаточно полно; Но инженеру, решающему конкретные задачи при проектировании электротехнических приборов и устройств, необходима не только информация теоретического характера, но также и информация об особенностях использования метода на практике для решения того или иного класса: задач, например, информация об объеме ресурсов ЭВМ (оперативная память, память на жестком диске, машинное время), который потребуется для решения задачи с заданными входными данными и требуемыми точностными характеристиками. Эту информацию можно получить только путем вычислительного эксперимента. Возможности вычислительной техники до последнего времени не позволяли широко применять метод интегральных уравнений для решения трехмерных задач, проводить вычислительный эксперимент для оценки эффективности численных методов и алгоритмов в требуемом масштабе. Поэтому, в имеющейся в настоящее время литературе отмечается недостаток рекомендаций по практическому использованию этого метода.

Выполненные в настоящей диссертационной работе исследования направлены на то, чтобы восполнить указанные выше пробелы применительно к задачам? моделирования? слабых магнитных полей, в* случаях, когда граница ферромагнитного тела представляет собой замкнутую гладкую поверхность. Необходимость в. решении таких задач возникает при,' проектировании различного рода приборов и устройств, например, устройств для приема и передачи информации; магнитопроводов малогабаритных трансформаторов, реакторов, дефектоскопов, магнитных экранов, элементов высокочувствительной аппаратуры. При этом используется математическая модель, основанная на допущении линейности; однородности и изотропности ферромагнетика. Здесь необходимо отметить, что использование нелинейной; модели? (учитывающей нелинейную зависимость индукции от напряженности) для решения рассматриваемых задач оказывается нецелесообразным, поскольку в этом случае необходимы значительные затраты ресурсов ЭВМ; Линейная же модель описывает поле магнитной; системы с достаточной степенью точности: Экономия ресурсов ЭВМ за счет использования линейной модели» позволяет "отдать" эти ресурсы; на решение задач с достаточно сложными формами границ ферромагнитных тел.

В частности рассматриваются задачи для ферромагнитного тела в форме трехосного эллипсоида, эллиптического тора и? эллипсоидальной оболочки; Ферромагнитное тело в форме эллипсоидальной? оболочки интерпретируется как магнитный экран — устройство, предназначенное для ослабления!внешнего магнитного поля с целью защиты чувствительных приборов и устройств, помещаемых внутрь экрана; Среди работ, посвященных расчету экранов в форме замкнутых оболочек следует выделить работы С.М. Апполон-ского [2,3]. В этих работах получены точные и приближенные аналитические решения для экранов в форме сферической, сфероидальной и эллипсоидальной оболочки. Однако эти решения соответствуют случаям, когда внешнее магнитное поле либо является однородным, либо же неоднородным, порожденным источниками относительно несложной структуры. Кроме того, рассматриваются в основном тонкие оболочки, то есть оболочки, толщина которых мала по сравнению с их диаметром. Аналогичная ситуация обстоит и с эллипсоидом и эллиптическим тором: хотя такие формы и рассматривались ранее, но аналитические решения получены при значительных упрощениях и соответствуют частным случаям.

Путем вычислительного эксперимента получена; ценная для инженера-проектировщика информация о зависимостях погрешности приближенного решения от параметров дискретизации, а также от физических (магнитная проницаемость) и геометрических (соотношение полуосей эллипсоида) параметров. Эта информация позволяет оценить затраты ресурсов ЭВМ; необходимые для вычисления характеристик магнитного поля с заданной степенью точности. Кроме того, проведено сопоставление различных вычислительных схем рассматриваемого численного метода, отличающихся способом вычисления; интегралов по поверхности граничных элементов, и показано, какая из этих схем оказывается предпочтительной с точки зрения меньших затрат машинного времени. Практическую ценность имеют не только результаты, связанные с оценкой эффективности численных методов, но и результаты по исследованию характеристик поля магнитных систем. Например, результаты анализа зависимости напряженности поля от толщины и магнитной проницаемости эллипсоидального экрана могут быть использованы при решении задачи выбора оптимальной толщины с целью получения, с одной стороны, необходимого экранирующего эффекта, а с другой стороны, минимальной массы экрана.

Целью работы являлась разработка математических моделей; на основе метода интегральных уравнений, вычислительного алгоритма и программного комплекса для решения задач моделирования слабых стационарных магнитных полей токовых систем с ферромагнитными телами, ограниченными гладкими замкнутыми поверхностями.

Задачи исследования состояли в следующем:

1. Разработать вычислительную схему решения интегрального уравнения второго рода с поверхностным интегралом и наличием слабой особенности, а также системы из двух таких уравнений на основе метода граничных элементов.

2. Разработать вычислительный алгоритм и программный комплекс для решения задач моделирования поля магнитной системы с ферромагнитным телом в форме трехосного эллипсоида. С использованием этого комплекса: а) оценить погрешность решения при различном выборе параметров дискретизации, геометрических параметров эллипсоида и; магнитной проницаемости ферромагнетика; б) исследовать влияние ферромагнитного тела на внешнее магнитное поле в: зависимости от ориентации. эллипсоида относительно токовой системы и соотношения его полуосей; в) для токовой системы, состоящей из круговых витков с током, провести исследование зависимости характеристик поля от радиусов круговых витков при фиксированных геометрических параметрах эллипсоида.

Решить перечисленные выше задачи для ферромагнитного тела в форме эллиптического тора.

3. Разработать вычислительный алгоритм и программный комплекс для решения задач моделирования поляшагнитной системы с экраном в форме эллипсоидальной оболочки.Оценить экранирующие действие в зависимостиi от толщины, магнитной проницаемости и полуосей эллипсоидальной; оболочки.

Таким образом, объектом исследования являются слабые стационарные поля магнитных систем с ферромагнитными телами с гладкой границей, а предметом исследования — оценка влияния ферромагнитного тела на внешнее магнитное поле токовой системы в зависимости от геометрических и магнитных параметров этого тела.

Научная; новизна полученных результатов заключается в следующем: разработаны математические модели стационарного магнитного поля в кусочно-однородной среде на основе линейных интегральных уравнений; вычислительный алгоритм и программный комплекс MagnostatS (свидетельство об официальной; регистрации; в Российском• агентстве по патентам и товарным знаками № 2004611907) для решения практических; задач моделирования трехмерных полей; магнитных систем; с: ферромагнитными» телами, ограниченными: гладкими : поверхностями: Впервые * с: использованием метода интегральных уравнений решены г эти задачш для- ферромагнитных тел в форме трех, часто встречающихся на практике, гладких:поверхностей: эллипсоида, эллиптического тора и эллипсоидальной; оболочки. В частности, исследовано влияние ферромагнитного эллипсоида на внешнее магнитное поле в зависимости от соотношения его полуосей и ориентации относительно токовой системы. Произведена оценка экранирующего действия магнитного экрана в форме эллипсоидальной оболочки* в зависимости от толщины, оболочки, и магнитной проницаемости ферромагнетика;

Достоверность, полученных результатов подтверждается: корректностью использованных методик исследования, основанных на: математическом аппарате теории: потенциала, интегральных уравнений, теории вычислительных методов; сравнением численных и аналитических решений интегральных уравнений:

Практическая значимость работы состоит в том, что программный комплекс MagnostatS, а также полученная путем вычислительного эксперимента информация? о точностных характеристиках численного метода; могут быть использованы; при- проектировании электротехнических; приборов и устройств i преимущественным; образом для; решения: задач моделирования слабых стационарных магнитных полей? токовых систем с телами из "мягких" ферромагнетиков, ограниченными гладкими; поверхностями. Такими ; электротехническими; устройствами являются, например, магнитные экраны в форме:замкнутой -гладкой оболочки, предназначенные для: настройки, проверки, и защиты от влияния внешнего магнитного поля высокочувствительных приборов, помещаемых в эти экраны. Кроме того, на основе результатов диссертационной работы были выработаны методические указания, которые используются в процессе обучения студентов СевКавГТУ по специальности "Прикладная математика" (акт внедрения от 22.09.04).

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и двух приложений;

Похожие диссертационные работы по специальности «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», 05.13.18 шифр ВАК

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Саядян, Дмитрий Левонович

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем.

1. Рассмотрены вопросы, связанные с построением при помощи метода интегральных уравнений и обоснованием математических моделей трехмерных стационарных магнитных полей в кусочно-однородных средах. Построены математические модели с использованием потенциалов простого и двойного слоя: на основе интегральных уравнений второго рода со слабой особенностью; рассмотрена модель магнитного поля для случая, когда граница раздела магнитных сред является многосвязной. Кроме того, показано, каким образом можно построить математические модели, если ферромагнитную среду считать неоднородной и нелинейной.

2. Проведено обсуждение особенностей использования метода граничных элементов для численного решения линейных интегральных уравнений математических моделей магнитных полей в кусочно-однородных средах. Предложены способы вычисления поверхностных интегралов в численном решении интегрального уравнения и методы решения системы линейных алгебраических уравнений, к которой: сводится интегральное уравнение в. результате дискретизации.

3.-Осуществлено- построение-вычислительной- схемы, решения: интегрального уравнения математической модели стационарного магнитного поля в кусочно-однородной среде для ферромагнитного тела в форме эллипсоида на основе метода граничных элементов с кусочно-постоянной аппроксимацией искомой функции Построена вычислительная схема решения системы интегральных уравнений математической модели стационарного магнитного поля в кусочно-однородной среде для ферромагнитного тела в форме эллипсоидальной оболочки на основе метода Крылова-Боголюбова. При этом: предложен способ построения на поверхности сетки граничных элементов; показано, каким образом при построении вычислительного алгоритма можно за счет учета центральной или вращательной симметрии ферромагнитного тела, сократить объем вычислений; предложен способ вычисления несобственных интегралов при формировании матрицы алгебраической системы к которой сводится интегральное уравнение.

4. На основе разработанного программного комплекса MagnostatS осуществлено решение задач моделирования характеристик магнитного поля токовой системы с ферромагнитным телом в форме эллипсоида.

Проведен анализ погрешности приближенного решения; показано, каким образом погрешность решения интегрального уравнения и значений напряженности результирующего поля зависит от геометрических параметров эллипсоида, параметров дискретизации и значения относительной магнитной проницаемости fi+ ферромагнетика.

Проведено исследование влияния ферромагнитного тела на поле магнитной i системы в зависимости от ориентации эллипсоида относительно этой системы. Исследованы зависимости характеристик поля от соотношения полуосей г эллипсоида. В частности показано, в каких случаях ферромагнитное тело оказывает наибольшее влияние на магнитное поле. Выполнено исследование зависимостей характеристик поля от радиусов круговых витков токовой системы при фиксированных геометрических параметрах ферромагнитного тела.

5. С использование комплекса программ MagnostatS решены задачи моделирования характеристик магнитного поля заданной токовой системы при наличии экрана в форме эллипсоидальной оболочки.

Выполнено исследование зависимости модуля напряженности поля в точках, расположенных внутри экрана, от значения толщины этого экрана. Показано, что при увеличении d экранирующее действие усиливается; но при этом скорость уменьшения модуля напряженности убывает и, начиная с некоторого значения толщины, величина модуля практически не изменяется.

Проведено исследование зависимости модуля напряженности поля в точках, расположенных внутри- экрана, от- значения- относительной- магнитной-проницаемости экрана Полученные результаты показывают, что при увеличении проницаемости экранирующее действие усиливается. При этом интенсивное уменьшение модуля напряженности имеет место при небольших значениях цэ> а при дальнейшем увеличении проницаемости модуль напряженности практически не меняется.

Выполнено исследование зависимости модуля напряженности поля от значений полуосей эллипсоидов, образующих эллипсоидальную оболочку. В частности показано, каким образом изменяется значение модуля напряженности в центре экрана при его горизонтальном и вертикальном вытягивании.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Саядян, Дмитрий Левонович, 2004 год

1. Антонов, В.А. Введение в теорию ньютоновского потенциала. М.:Наука,1988. 268 с.

2. Апполонский С.М., Ерофеенко В.Т. Электромагнитные поля в экранирующих оболочках. Минск: Университетское, 1988. 245 с.

3. Апполонский С.М. Справочник по расчету магнитных экранов. Минск: Университетское, 1988. 135 с.

4. Балбеков В.И., Ткаченко JI.M., Федосеев А.И. Программа MULTIC для расчета трехмерных магнитных полей. Серпухов: Препринт ИФВЭД981. С.81-121.

5. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Лаборатория базовых знаний, 2000. 624 с.

6. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях и их применение в аэродинамике, теории упругости, электродинамике. М.: Наука, 1985. 253 с.

7. Беляев Н.М., Рядно А.Г. Методы теории теплопроводности. Tl. М.: Высшая школа, 1982. 328 с.

8. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках: Пер. а англ. М.: Мир, 1984. 496 с.

9. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электромагнитное поле. М.: Гардарики, 2001. 317 с.

10. Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование. М.: Высшая школа, 1990. 543 с.

11. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубелл Л. Методы граничных элементов: Пер. с англ. М.: Мир, 1987. 524 с.

12. Бухгольц Г. Расчет электрических и магнитных полей. М.: Изд-во иност. лит., 1961. 712 с.

13. Васильева А.Б., Тихонов А.Н. Интегральные уравнения. М.: Изд-во МГУ,1989. 157 с.

14. Вербицкий Б.В., Коваленко Н.А. Интегральные уравнения. Основы теории и простейшие методы решения. М.: Издательство МАИ, 1991. 35 с.

15. Вержбицкий В.М. Численные методы, (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения) М.: Высшая школа, 2001.382 с.

16. Вержбицкий В.М; Численные методы, (линейная алгебра и нелинейные уравнения) М.: Высшая школа, 2000. 266 с.

17. Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы: Справочное пособие. Киев: Наукова Думка, 1986. 542 с.18; Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Физ.-мат. лит., 2000.400с.

18. Власова Е.А., Зарубин B.C., Кувыркин Т.Н. Приближенные методы математической физики. М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001.700 с.

19. Галанин М. П., Попов Ю.П. Квазистационарные магнитные поля в неоднородных средах: математическое моделирование. М. Наука, 1995. 320с.

20. Геворкян Р.Г., Шепель В.В: Курс общей физики. М: Высшая школа, 1972. 600 с.

21. Гобсон Е.В. Теория сферических и эллипсоидальных функций. М. ИЛ, 1952.210 с.

22. Голуб Д.Х., Ван Лоун Ч.Ф. Матричные вычисления. М.: Мир, 1999. 548 с.

23. Гринберг Г.А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений. М.: Наука, 1972.

24. Гюнтер Н.М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики. Гостехиздат, 1953.

25. Демирчян К.С., Чечурин В.Л. Машинные расчеты электромагнитных полей. М.: Высшая школа, 1986. 239 с.

26. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики. М.: Изд-во МГУ, 1987. 165 с.

27. Дыбин В. Б. Корректные задачи для сингулярных интегральных уравнений. Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 1988. 158 с.

28. Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике. М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. 496 с.

29. Ильин В.А. Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Часть1. М.: Наука, Физматлит, 2000. 616 с.

30. Ильин В.П. Численные методы решения задач электрофизики; М;: Наука, 1985. 334 с.

31. Ионкин П;А., Даревский А.И., Кухаркин Е.С. Теоретические основы электротехники. В 2-х т. Том 1 М.: Высшая школа, 1976. 282 с.

32. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. M.-JL: Физматгиз, 1962, 696 с.

33. Кит Г.С., Хай М.В. Метод потенциалов в трехмерных задачах термоупругости тел с трещинами. Киев: Наукова думка, 1989. 282 с.

34. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.:Мир, 1987.311 с.

35. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров, М.: Наука, 1968, 720 с,

36. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Начала теории вычислительных методов. Интегральные уравнения, некорректные задачи и улучшение сходимости. Минск: Наука и техника, 1984. 263 с.

37. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Начала теории вычислительных методов. Интерполирование и интегрирование. Минск: Наука и техника, 1983. 287с.

38. Курбатов П.А., Аринчин С.А. Численный расчет электромагнитных полей. М.: Энергоатомиздат, 1984. 168 с.

39. Ландкоф Н.С. Основы современной теории потенциала. М.: Наука, 1966 г. 202 с.42; Маергойз И. Д. Итерационные методы расчета статических полей в неоднородных, анизотропных и нелинейных средах. Киев: Наукова думка, 1979.210 с.

40. Марков Г.Т., Васильев Е.Н. Математические методы прикладной электродинамики. М.: Сов. радио, 1970. 120 с.

41. Миролюбов Н.Н., Костенко М.В., Левинштейн МЛ, Тиходеев Н.Н. Методы расчета электростатических полей. М.: Высшая школа, 1963. 415 с.

42. Михлин С.Г. Курс математической физики. СПб.: Лань, 2002. 576 е.

43. Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М.: Физматгиз, 1959. 232 с.

44. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1972.

45. Мысовских И.П. Интерполяционные кубатурные формулы. М.: Наука, 1981. 336 с.

46. Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники. Т.2. М.: Высшая школа, 1981. 533 с.

47. Никольский С.М. Квадратурные формулы. М.: Наука, 1979. 233 с.

48. Петровский И.Г. Лекции по теории интегральных уравнений. М: Гос. из-дат. техн.-теорет. лит, 1951.128с.52: Подбельский В.В* Язык Си++. М.: Финансы и статистика, 1996. 560 с.

49. Положий Г.Н; Уравнения математической физики. М.: Высшая школа, 1964; 560 с.

50. Саядян Д.Л. Математическое моделирование магнитных полей при наличии экранов методом интегральных уравнений. // Труды участников 5-ой

51. Международной конференции «Компьютерное моделирование 2004». Санкт-Петербург, 2003. С.58-59.

52. Саядян Д:Л.Моделирование магнитостатического поля в кусочно-однородной среде. // Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу. Ростов-на-Дону, 2002 . С.218-219.

53. Саядян Д.Л.Оценка погрешности приближенного решения в задаче расчета стационарного магнитного поля в пространстве с ферромагнитным эллипсоидом. // Сборник научных трудов 4-ой региональной научной конференции

54. Проблемы компьютерных технологий и математического моделирования в естественных, технических и гуманитарных науках», Георгиевск, 2004. С. 32-33.

55. Саядян Д.Л.Численное решение интегрального уравнения задачи расчета магнитостатического поля в кусочно-однородной среде. // Материалы третьей межрегиональной научной конференции «Студенческая наука---экономике России», Ставрополь, 2002. С. 56.

56. Саядян Д.Л. Об одной задаче расчета стационарного магнитного поля в кусочно-однородной среде с многосвязной границей раздела сред. // Материалы 5-ой региональной конференции «Вузовская наука — СевероКавказскому региону». Ставрополь, 2002. С. 44.

57. Татур Т.А. Основы теории электромагнитного поля. М.: Высшая школа, 1989.270 с.

58. Теллес Д. Применение метода граничных элементов для решения неупругих задач. М.: Строй издат., 1987. 159 с.

59. Тихонов АН., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. 736 с.

60. Ткаченко Л.М. Пакет программ MULTIC для расчета магнитных полей произвольной конфигурации. Протвино: Препринт ИФВЭ, 1998. 48 с.70.-Толмачев,С.Т. Специальные-методы-решения-задач магнитостатики. Киев: Вища школа, 1983. 166 с.

61. Тозони О.В. Расчет электромагнитных полей на вычислительных маши-нах.Киев: Техника, 1967. 252 с.

62. Тозони О.В: Метод вторичных источников в электротехнике. М.: Энергия, 1975.296 с.

63. Тозони О.В., Маергойз И.Д. Расчет трехмерных электромагнитных полей. Киев: Техника, 1974.352с.

64. Урман Ю.М. Теория расчета силовых характеристик электромагнитного подвеса сверхпроводящего тела. // Журнал технической физики, 1997, том 67, №1, с 3-15.

65. Ушаков А.Н., Ушакова Н.Ю. О развитии метода вторичных источников.// Электричество. 1999, № 9. С.22-31.

66. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. СПб.: Лань, 2002, 736 с.

67. Atkinson К. Е., Graham I.G. Iterative solution of linear systems arising from the boundary integral methods. SIAM J. Sci. Stat. Сотр., vol.13 ,1992,pp. 694-722.

68. Ykka Sarvas, Pasi Yla-Oijala. Integral equation method in computational electromagnetics. Electromagnetics Laboratory, Helsinki University of Technology, Spring term, 2003, 80 p.

69. Amini S., Chen K., Harris P. J. Iterative solutions of the boundary elements equations for the exterior acoustic problem. ASME, J. Vib. Acous., vol.112 ,1990, pp. 257-262.

70. Chen K. Conjugate gradient method for the solutions of boundary integral equations on apiecewise smooth boundary. J. Comput. Phys., vol. 97, 1991 ,pp. 127-143.

71. Erdogan F. Gupta G.D. On the numerical solution of singular integral equations. Q. Appl. Math., vol. 30, 1972, pp. 525-524.

Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.