Математическое моделирование структуры и функции левого желудочка сердца тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Правдин, Сергей Федорович

• Правдин, Сергей Федорович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Правдин, Сергей Федорович

Оглавление

Введение

1 Осесимметричная математическая модель анатомии левого желудочка сердца

1.1 Введение

1.2 Конструирование модели ЛЖ

1.2.1 Полукруг и хорды на нём

1.2.2 Сворачивание полукруга в конус

1.2.3 Построение спиральных поверхностей

1.2.4 Модель формы ЛЖ

1.3 Спиральные поверхности

1.4 Мышечные волокна как кривые на спиральной поверхности

1.5 Подстройка направлений волокон на эпи- и эндокарде

1.6 Волокна как геодезические линии

1.7 Сравнение модели с экспериментальными данными

1.7.1 Сравнение модели с экспериментальными данными о сердце человека

1.7.2 Сравнение с более современными экспериментальными данными о сердце собаки

1.8 Обсуждение

1.8.1 Ограничения модели

1.8.2 Дальнейшее развитие и использование модели

2 Моделирование электрофизиологической активности левого желудочка

2.1 Введение

2.2 Мера анизотропности миокарда

2.3 Использованная электрофизиологическая модель

2.4 Лапласиан

2.5 Граничные условия

2.5.1 Изотропия. Цилиндрическая система координат

2.5.2 Изотропия. Специальная система координат

2.5.3 Анизотропия. Специальная система координат

2.6 Новая численная схема

2.7 Постановка задачи и значения параметров

2.8 Численные результаты

2.8.1 Время прихода волны в узлы

2.8.2 Средняя скорость возбуждения

2.9 Обсуждение

3 Неосесимметричная математическая модель анатомии левого желудочка

сердца

3.1 Введение

3.2 Построение модели Л Ж

3.2.1 Спиральные поверхности

3.2.2 Построение волокон на спиральных поверхностях

3.2.3 Приближение формы Л Ж

3.3 Методика сравнения модели и данных эксперимента

3.4 Результаты сопоставления с данными о сердце собаки

3.5 Результаты сопоставления с данными о сердце человека

3.6 Обсуждение

3.6.1 Ограничения

3.6.2 Сравнение с другими моделями

3.6.3 Дальнейшее развитие и использование модели

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Словарь терминов

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование структуры и функции левого желудочка сердца»

Введение

Интегративные математические модели таких сложных физиологических систем, как, например, сердце, включают описание этих систем на разных уровнях: от молекулярного до макроскопического, характеризующего структуру и функцию целого сердца и/или его отдельных камер, включая левый желудочек (ЛЖ). Численный анализ таких моделей позволяет как изучить механизм нормального и патологического функционирования сердца, так и предложить потенциальные методы эффективного лечения, например, нарушения механической и электрической функции сердца.

В течение последних лет было предложено множество моделей электрической и/или механической активности целого сердца или его камер [119, 20, 39, 54, 123, 122, 37, 78, 111, 74, 113, 100]. Важнейшими из них являются те, что основаны па детальном описании анатомии сердца и ориентации мышечных волокон, которая крайне важна для корректного представления физиологии сердца.

Можно выделить два подхода к моделированию архитектоники камер сердца; эти подходы скорее дополняют друг друга, нежели конкурируют между собой. Мы назовём их, возможно, с некоторой долей неточности, эмпирическим и теоретическим.

В рамках эмпирических подходов ориентация волокон напрямую измеряется в сердце с помощью различных экспериментальных методик, а в рамках теоретических — поле направлений волокон генерируется некими алгоритмами.

Экспериментальные данные об ориентации волокон могут быть использованы при конструировании вычислительных анатомических моделей:

• как дискретный набор данных в конечно-элементных моделях [127, 41, 133];

• для верификации моделей, основанных на правилах [108, 21, 18, 51].

Эмпирический подход представлен в нескольких опубликованных моделях [41, 126, 73], основанных на детальном экспериментальном картировании индивидуальных сердец. Отличительные особенности таких моделей — очень подробное описание геометрии сердца и тщательная экспериментальная проверка полученных данных.

Существует несколько экспериментальных методов измерения ориентации мышечных волокон в сердце. Один из самых современных — диффузионно-тензорная магнито-резонанс-ная томография (ДТ-МРТ). При использовании этого метода исследователь находит коэффициенты матрицы диффузии молекул воды в сердце. После этого можно найти три собственных вектора данной матрицы, которые и указывают три главные направления анизотропии в ткани: вектор направления волокна (первый собственный вектор), вектор нормали к волокну в касательной плоскости к мышечному слою (второй вектор) и нормаль к слою (третий вектор). Так как эти направления тесно связаны со структурой ткани, мы получаем информацию об анизотропии в ткани сердца [44, 66, 43, 124]. Пространственное разрешение ДТ-МРТ достигает 200 мкм [36]. Другой современный метод - это микроскопическая компьютерная томография (микро-КТ), имеющая разрешение по пространству до 36-70 мкм [16]. Оба эти метода предоставляют данные высокого качества, которые можно использовать в компьютерных моделях.

Ещё один способ прямого измерения анизотропии — тщательное гистологическое исследование направлений волокон в пространстве [110, 75], при котором исследователь делает серию параллельных срезов исследуемой области сердца. В каждом срезе измеряются углы наклона волокон. Когда получены и сопоставлены все значения углов, исследователь получает полную картину направлений волокон в сердце. Не так давно группа Б. Смайла предложила комбинированный метод последовательной микроскопии высокого разрешения [120]. Этот метод включает 5 фаз: первая — это гп vivo регистрация электрической активности сердца с помощью набора электродов, затем гп vivo ДТ-МРТ для получения данных о геометрии сердца. Третья стадия — это заливка сердца прозрачной смолой для фиксации. Эта процедура искажает форму сердца, поэтому результаты 4-й стадии, получения последовательных срезов и их фотографирования, требуют определённой обработки для нивелирования внесённых искажений. Основное достоинство этой методики состоит в том, что она позволяет получить неискажённые данные после финальной, 5-й, стадии процедуры, — компьютерной коррекции собранных данных.

В статье [58] исследуются волокна сердец плодов человека во 2-м триместре беременности с помощью метода количественной световой микроскопии в поляризованном свете. Сердца были помещены в прозрачную смолу, полимеризованы и затем рассечены. После этого в поляризованном свете были вычислены углы возвышения и азимут (подробнее см. в [58]). В качестве итога работы авторы предложили новую модель качественной анатомии сердца «крендель».

Старт количественным методам описания сердца человека и животных был дан Д. Стри-тером [110]. Заметим, что все перечисленные подходы или основаны, или используют результаты классических исследований Д. Стритера. Стритер не только измерил углы наклона волокон в сердце, но и предложил несколько гипотез о том, как это поле направлений может быть получено с помощью некоторых геометрических манипуляций. Однако, эти идеи получили математическую формулировку лишь недавно в работах с участием автора [95, 9, 94].

Каждая модель, основанная на конкретной карте со стрелками, — это модель одного конкретного сердца, поэтому становится актуальным вопрос о разграничении особенностей строения конкретного сердца и общих свойствах сердец животных данного вида. Конечно, индивидуальные вычислительные модели архитектоники камер сердца могут быть доработаны до уровня модели вида. Для этого необходимо корректное усреднение данных картирования нескольких индивидуальных сердец. В этом направлении уже имеется несколько многообещающих работ [33, 131, 91, 92]. Такие модели биологических видов могут, в числе прочего, существенно помочь при верификации параметров моделей, полученных теоретическим методом.

Перечисленные выше экспериментальные методы позволяют получить поле направлений волокон и использовать его для построения модели сердца. Это наилучший способ изучения данного конкретного сердца. Однако, часто исследователю нужно не только изучить данную анизотропию, но и модифицировать её, например для изучения её влияния на различные электромеханические процессы. Кроме того, часто задана лишь анатомия, но не ориентация волокон, и нам нужны алгоритмы построения анизотропии. Для разработки таких моделей необходим некий общий взгляд на анатомию сердца, которая была предметом изучения более ста лет.

Теоретический подход к моделированию архитектоники камер сердца, в том числе, и ЛЖ, появляется на сцене, когда мы пытаемся отыскать общий принцип, которому подчиняется ориентация волокон в стенке сердца. Такие модели могут быть особенно полезны при изучении фундаментальных механизмов работы сердца в норме и при патологии.

Обнаружение вращательной анизотропии миокарда было одним из первых фундаментальных открытий в качественной анатомии сердца. Касательные к волокнам вращаются, если проследить за ними трансмурально, и угол вращения равен примерно 120°. Стритер сравнил эту картину с японским веером [110]. Торрент-Гуасн предложил рассматривать миокард обоих желудочков как уплощённый канат или ленту, имеющую 2 конца и совершающую несколько оборотов [116, 115, 114]. По Стритеру [110], волокна — это геодезические линии на семействе вложенных тороидов, причём внешние тороиды более вытянутые/сплющенные, а

внутренние — более округлые. Кроме этих моделей, существует ещё ряд моделей с несколькими слоями миокарда (чаще тремя — наружным, средним и глубоким, см., например, [106]). Более детальное описание истории качественной анатомии сердца можно найти в работе [58].

Одна группа моделей использует аналогию со скелетными мышцами. Разные модели этой группы включают от 1 до 4 систем пучков миокарда [68, 19, 101, 65, 115]. Однако, есть указания на недостатки такого подхода [67, 107, 118].

Другой подход заключается в рассмотрении ЛЖ как видоизменённого кровеносного сосуда с соответствующей архитектоникой волокон, где есть множество пересечений волокон [49, 50, 32, 63, 38].

Один из ключевых вопросов о строении миокарда Л Ж касается его слоёв, а именно их существования и, если они существуют, их числа и положения. Как правило, модели со слоями рассматривают некоторое конечное количество слоёв, вложенных один в другой [106]. Тем не менее, имеется и слоевая модель, где их число бесконечно и они не делят ЛЖ па внешние и внутренние части. Мы ведём речь о ранней работе [114], где Торрент-Гуасп предложил гипотезу о том, как ориентация волокон может быть получена с помощью некоторых геометрических преобразований.

В эмпирических моделях каждый используемый набор исходных данных касается одного конкретного пациента или лабораторного животного, поэтому такие данные не могут быть использованы напрямую в персонализированных моделях других пациентов или животных. Следовательно, необходимо «спроецировать» существующие данные па произвольное сердце (см., например, [43]) или сгенерировать поле ориентации волокон на основе данных о форме сердца.

Для решения этой задачи были разработаны методы, основанные на правилах [108, 21, 18], и методы отображения волокон сердец животных на геометрию сердца человека [51]. Один из последних методов, основанных на правилах, — это алгоритм Лапласа-Дирихле [18], который обрабатывает зашумлённое поле направлений из томограммы и возвращает, во-первых, трансмуральные и апико-базальные (от верхушки apex к основанию base сердца) направления для всего миокарда и, во-вторых, непрерывное и гладкое поле направлений волокон. Другой подход был использован Ч. Пескиным, который получил поле направлений, исходя из принципов механического равновесия [89].

Чедвик рассмотрел цилиндрический ЛЖ и указал линейную формулу зависимости винтового угла от положения точки в толще стенки [27]. Бейяр и соавт. придали ЛЖ форму сфероида и также использовали линейную зависимость винтового угла от расстояния между точкой и эндокардом [20].

Интересный пример теоретического подхода был предложен Т. Артсом и соавт. в 1992 г. [23]. Они вычислили ориентацию мышечных волокон через распределение винтового угла наклона волокна, которое было найдено с помощью принципа механической адаптации, предложенного Артсом с соавт. в 1982 г. [15].

В данной работе мы предлагаем модель хода волокон в ЛЖ, основанную на гипотезе Торрента-Гуаспа [114]. Он предположил, что ЛЖ может быть представлен как семейство поверхностей, мышечных слоёв, заполненных кривыми, представляющими волокна. Эта идея была проиллюстрирована (со ссылкой на Петтигрю [90]) с помощью плоского бумажного полукруга с несколькими кривыми на нём, который был свёрнут в коническую поверхность. В итоге Л Ж сердца был представлен как семейство таких конических поверхностей, вложенных одна в другую. К сожалению, эта процедура не была явным образом параметризована и, разумеется, конические поверхности не могут дать достаточно точное представление геометрии ЛЖ. Заметим, что Стритер упомянул эти идеи как очень важные, но не формализовал их.

Мы предлагаем аналитическую формулировку этой анатомической концепции Петтигрю и Торрента-Гуаспа. В частности, мы описываем анатомию ЛЖ с помощью семейства в некотором смысле вложенных друг в друга неконических поверхностей, что позволяет нам описать форму ЛЖ с помощью гладких функций. Более того, мы используем семейство кривых на этих поверхностях для моделирования мышечных волокон. Вся модель может быть построена аналитически. Мы описываем все детали конструирования этой модели и сравниваем её результаты с экспериментальными данными об анизотропии в сердце человека и собаки.

Цель данной работы — разработка математической и компьютерной модели структуры ЛЖ сердца с учётом сложного хода волокон в нём, численных методов и основанных на них комплексов программ для проведения численных экспериментов на модели.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Разработать аналитическую математическую модель анатомии и архитектоники миокарда ЛЖ сердца.

2. Разработать численную схему решения задачи реакции-диффузии, моделирующей электрофизиологическую активность сердечной мышцы, на вновь созданной модели с учётом её особенностей.

3. Разработать комплекс программ для проведения численных экспериментов на модели.

4. Верифицировать построенные модели, методы и программы.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Метод спиральных поверхностей [90, 110] позволяет построить адекватную реальности математическую модель геометрии и архитектоники миокарда ЛЖ сердца.

2. Упрощённая осесимметричпая математическая модель миокарда Л Ж позволяет воспроизвести черты архитектоники ЛЖ уровня биологического вида.

3. Усовершенствованная несимметричная математическая модель миокарда Л Ж позволяет воспроизвести особенности структуры желудочка конкретного животного или человека.

4. Численный метод решения задачи Коши для системы реакции-диффузии на симметричной модели с краевыми условиями отсутствия потока потенциала через границу позволяет перейти в области сложной формы к простым сеткам на прямоугольной области.

5. Разработанный комплекс программ для задания архитектоники на базе предложенных анатомических моделей позволяет проводить численные эксперименты, связанные с исследованием влияния формы ЛЖ на его структуру.

6. Разработанный комплекс программ для моделирования электрического возбуждения миокарда ЛЖ, в том числе на параллельных ЭВМ, позволяет проводить численные эксперименты, связанные с изучением влияния структуры Л Ж на его электрофизиологические свойства.

Научная новизна. В области математического моделирования:

1. На основе экспериментальных данных предложен новый метод спиральных поверхностей и с его помощью создана и верифицирована не имеющая аналогов аналитическая осесимметричпая математическая модель структуры ЛЖ.

2. Впервые на трёхмерной математической модели подтверждено, что рост угла вращения волокон в миокарде влияет на проведение возбуждения в сердце, компенсируя анизотропность миокарда и ускоряя распространение волны электрического возбуждения.

3. Впервые разработана с помощью метода спиральных поверхностей и верифицирована с помощью современных данных ДТ-МРТ обобщённая, неосесимметричная модель ЛЖ.

В области численных методов:

5. Разработаны новые численные методы построения сеток и решения задач электрофизиологии (метод решения задачи Коши для систем реакции-диффузии, описывающих распространение электрического возбуждения по миокарду) на данной модели с учётом её особенностей.

В области создания комплекса программ:

6. Разработан новый комплекс программ (па языке Си), который позволяет проводить численные эксперименты на построенных моделях, в том числе на современной вычислительной технике параллельного действия.

Научная и практическая значимость. Использование математического моделирования в данной работе демонстрирует, что модели могут служить самостоятельным источником новых знаний и важным инструментом исследования физиологических явлений. Именно в численных экспериментах па математических моделях левого желудочка сердца подтверждена справедливость теоретических предложений анатомов о моделировании структуры миокарда Л Ж в виде семейства вложенных поверхностей.

Разработанная математическая модель анатомии ЛЖ легко комбинируется с моделями кардиомиоцитов (Алиева-Панфилова, ТХИР, бидоменные модели и др.) и с моделями механической активности миокарда (уже проведено не вошедшее в диссертацию внедрение модели пассивного миокарда Гуччионе [40], Хантера [53], модели активной силы «Екатеринбург-Оксфорд» [69]), что позволяет проводить с её помощью разнообразные численные эксперименты в области математической физиологии, включая электрофизиологию и биомеханику.

Разработан программный комплекс, который позволяет изучать построенную модель: строить спиральные поверхности, волокна на них, вычислять углы наклона волокон, сравнивать их с данными эксперимента. Кроме того, с его помощью можно проводить численные эксперименты на построенной модели: решать задачу Коши для систем реакции-диффузии (реализовано для моделей Алиева—Панфилова и для ионной модели тэн Тю-схер—Панфилова; для обычных и параллельных ЭВМ).

Степень достоверности. Проведённое качественное и количественное сравнение углов наклона волокон в обеих построенных моделях анатомии сердца с экспериментальными данными показало, что данные модели воспроизводят углы наклона и ход волокон в целом достаточно близко к результатам экспериментов. Достоверность результатов электрофизиологических расчётов подтверждается согласием данных, полученных на анатомической трёхмерной

модели органа, с данными литературы, полученными на простейших трёхмерных моделях ткани [132].

Сходимость численных методов подтверждается выполнением критерия устойчивости Куранта-Фридрихса-Леви с учётом того, что использованный шаг по времени в 2 раза меньше максимально допустимого по критерию.

Личный вклад. Автором разработаны осесимметричная и несимметричная математические модели строения левого желудочка сердца, проведена их верификация путём сравнения с данными эксперимента, предложены новые численные методы построения сеток и решения задачи Коши для систем реакции-диффузии на осесимметричной версии модели, разработан программный комплекс для компьютерного моделирования электрофизиологической активности миокарда. Кроме того, автор провёл все численные эксперименты на моделях, визуализировал и проанализировал результаты численных экспериментов. Автор принимал активное участие в формулировке протоколов экспериментов и анализе полученных результатов.

Апробация. Основные результаты диссертационного исследования были представлены автором на различных научных конференциях и семинарах: конференциях аспирантов ИММ УрО РАН (2010-11), 42-й, 43-й, 44-й, 45-й Всероссийской молодежной школе-конференции «Современные проблемы математики» (Екатеринбург, 2011-14), рабочем совещании «Биомехаиика-2012» (Институт механики МГУ, Москва), Международной конференции «Virtual Physiological Human-2014» (Тронхейм, Норвегия), «Математическая биология и биоинформатика-2014» (Пущино), IV интернет-видеоконференции, посвящённой Дню математика и механика (2014).

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 12 печатных изданиях, 3 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК [95, 9, 94, 6] ([9] — русскоязычная, а [94] — англоязычная версии одной и той же статьи), 8 — в тезисах докладов [5, 2, 4, 97, 3, 6, 10, 7], а одна программа для ЭВМ зарегистрирована в Роспатенте [1].

Благодарности. Автор благодарит научного руководителя В.И. Бердышева, научного консультанта A.B. Панфилова и своих коллег из Института математики и механики им. H.H. Красовского УрО РАН П.А. Васёва, A.A. Кошелева, A.B. Созыкина, Ю.Н. Субботина, О.В. Ушакову, М.А. Черноскутова, C.B. Шарфа, из Института иммунологии и физиологии УрО РАН B.C. Зверева, Л.Б. Кацнельсона, B.C. Мархасина, О.Э. Соловьеву, из

Гентского университета (Бельгия) Б. Верхегхе, А. Вершельда, А. Дефау, X. Диркса, Г. Но-отенса, из Чжэцзянского нормального университета (Ханчжоу, Китай) Б.-В. Ли за содействие при проведении исследований и ценные замечания в ходе обсуждения работы.

Диссертационная работа была выполнена при поддержке грантов 09-М-14-2001, 12-М-14-2009 УрО РАН, 1Е2В8М/ЛВ\У/2010-2011/10-ВТЬ-1Ш8-01 Фламандского сообщества Бельгии, 013Е1511 Гентского университета (Бельгия), 13-01-96048 РФФИ и Правительства Свердловской области.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, списка сокращений и условных обозначений, словаря терминов и списка литературы. Полный объем диссертации составляет 100 страниц с 43 рисунками и 2 таблицами. Список литературы содержит 133 наименования.

Глава 1

Осесимметричная математическая модель анатомии левого желудочка сердца

1.1 Введение

В этом разделе мы описываем теоретическую модель анатомии и ориентации волокон миокарда ЛЖ. Модель основана на концепции единой ленты миокарда желудочков, предложенной Торрентом-Гуаспом [114]. В 1972 г. он разработал анатомическую модель, в которой миокард левого и правого желудочков сердца являлся закрученной в спираль толстой мышечной лентой. С тех времён и до наших дней эта идея служит объектом оживлённого обсуждения. Некоторые анатомы [12, 13] считают гипотезу Торрента-Гуаспа чрезмерным упрощением, и ряд специалистов по медицинской визуализации предлагают рассматривать более сложную организацию микроархитектоники ЛЖ [64]. Другая группа исследователей более благосклонна к ленточной концепции [62, 29, 25]. Например, статья за авторством более 20-ти ведущих учёных в этой области [26] содержит следующий вывод: «models such as that of Torrent-Guasp et al., which proposes conduction along fibre orientation in a single muscular band and defies conventional concepts of activation, should be investigated» (Следует изучать модели наподобие предложенной Торрентом-Гуаспом с соавт., где проведение возбуждения происходит вдоль ориентации волокон в единой мышечной ленте, а традиционные концепции возбуждения игнорируются). Несмотря на этот интерес, модель Торрента-Гуаспа до сих пор так и не была формализована и сопоставлена с экспериментальными данными. Заметим, что, по нашему мнению, такие особенности модели, как возможность представле-

ния реалистичной ориентации волокон как единой свёрнутой ленты, могут быть доказаны или опровергнуты лишь с помощью математического моделирования. Вне зависимости от результатов такого исследования, оно будет представлять интерес.

Мы, следуя подходу Петтигрю [90] и Торрента-Гуаспа, с использованием экспериментальных данных Стритера [110], строим анатомические модели сердца возрастающей сложности. Мы показываем, что такое описание позволяет представить важные свойства анизотропии сердца: вращение волокон, зависимость этого вращения от положения «база-верхушка», спиральный ход волокон на верхушке сердца — и учесть максимальный угол вращения волокна вокруг оси ЛЖ. Мы также проводим количественное сравнение с данными Стритера [110] и Нильсена [75] и показываем хорошее согласие полей ориентации волокон между моделью и экспериментом.

В разработанной модели как анатомия, так и поле ориентации волокон определены аналитически. Это позволяет исследователю использовать в том числе и аналитические методы при изучении электрофизиологии и механики сердца. Кроме того, в нашей модели легко можно менять параметры анизотропии и форму ЛЖ.

1.2 Конструирование модели ЛЖ

Мы опишем нашу модель в несколько шагов нарастающей сложности. Вначале мы построим геометрическое представление идеи Петтигрю (копию его рисунка можно найти также в работе Стритера [110, рис. 3]) и затем обобщим её до нашей модели ЛЖ.

1.2.1 Полукруг и хорды на нём

Петтигрю начал своё построение с полукруга с набором кривых на нём, как можно увидеть на рис. За в [110].

Опишем этот рисунок аналитически.

Рассмотрим полукруг радиуса К, заданный в полярной системе координат (Р, Ф):

0^Р ^К, О^Ф^тг. (1.1)

Построим серию горизонтальных хорд (рис. 1.1):

Y = const, 0 <Y <К, (1-2)

у у

Ф0 = arcsin — ^ Ф ^ 7г — arcsin — = Фь (1.3)

У

р(ф) = - ж

8111 Ф

Здесь Ф0 и — полярные углы правого и левого концов хорды.

(1.4)

Ф=ТТ

Рис. 1.1: горизонтальные хорды на полукруге. Начерченные хорды пронумерованы для облегчения нахождения их образов при отображениях, рассматриваемых ниже.

Общая идея модели — свернуть этот полукруг в (коническую) поверхность, тох^да образы кривых дадут ориентацию волокон на этих поверхностях, а затем вращение такой поверхности даст трёхмерную структуру ЛЖ. Первая поверхность, которую мы построим, будет прямым круговым конусом.

1.2.2 Сворачивание полукруга в конус

На рис. ЗЬ, Зс в работе [110| можно увидеть сворачивание полукруга в некую поверхность. Мы предлагаем следующее аналитическое описание этой процедуры.

Представим себе, что этот полукруг сделан из листа бумаги, и завернём его в прямой круговой конус (возможно, частичный или с перекрытием) так, чтобы вершина конуса соответствовала центру полукруга (рис. 1.2). Углом заворота конуса ^тах будем называть центральный угол, стягивающий дугу окружности-основание конуса. Конус замкнут, если <ртах = 27г. Будем рассматривать лишь случай </?тах ^ тх. Конус зададим в цилиндрической СК (р, (р, г).

Рис. 1.2: заворачивание полукруга в конус

Ясно, что каждый радиус полукруга, задаваемый соотношением

Ф = const,

не будет при этом никак изгибаться и перейдёт в образующую конуса. Параметрическое уравнение конуса:

р(Р,Ф) = Р-—, (1.5)

Углах

у(Р,Ф) = Ф-^, (1.6)

7г

г(Р,Ф) = Р^/1-(-?-) . (1.7)

Y тг

Явное уравнение:

z(j>,<p)=p.J(^y- 1. (1.8)

Заметим, что полуокружность, ограничивающая данный полукруг, преобразована в плоское основание конуса, а центр круга стал вершиной конуса.

Чтобы смоделировать не только мышечные слои, но и волокна, нужно указать положение образов хорд после этого преобразования.

Выпишем уравнение образов хорд на конической поверхности. Для этого подставим (1.4) в (1.5), (1.6), (1.7):

р(ф) = • —' №

эш Ф (¿>тах

= (1.10) 7г

г(Ф) = ^-м/1-(—) . (1.11)

ЭШФ у \Утах/

См. результаты на рис. 1.3.

Легко видеть, что вращение такой простой конической поверхности не даёт хорошего представления анатомии сердца, так как мы получаем ту же коническую поверхность, или тело вращения нулевой толщины. Чтобы улучшить модель, мы обобщим эту процедуру путём введения зависимости образующих от угла поворота.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Правдин, Сергей Федорович, 2014 год

Литература

[1] С.Ф. Правдин. Программа расчёта электрофизиологической активности левого желудочка сердца. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2014614919, дата регистрации 13.05.2014, дата поступления заявки 19.03.2014, номер заявки 2014612379.

[2] С.Ф. Правдин, A.B. Панфилов, Л.Б. Кацнельсон, О.Э. Соловьёва, В.И. Бердышев, B.C. Мархасин. Математическая модель архитектоники и электрической активности левого желудочка сердца человека. // Тезисы докладов Международной конференции «Современные проблемы математики, информатики и биоинформатики», с. 58. Новосибирск: СО РАН, 2011.

[3] С.Ф. Правдин, В.И. Бердышев, A.B. Панфилов, Л.Б. Кацнельсон, О.Э. Соловьёва, B.C. Мархасин. Трехмерная математическая модель электромеханической функции левого желудочка сердца человека. / / Тезисы конференции «Математическая биология и биоинформатика», с. 39-40. Пугцино: ИМПБ РАН, 2012.

[4] С.Ф. Правдин, A.B. Панфилов, В.И. Бердышев, Л.Б. Кацнельсон, О.Э. Соловьёва, B.C. Мархасин. Математическая модель миокарда левого желудочка сердца человека: верификация и расчёт электрического возбуждения. // Тезисы докладов Международной (43-й Всероссийской) молодежной школы-конференции «Современные проблемы математики», с. 383-385. Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2012.

[5] С.Ф. Правдин, В.И. Бердышев, Л.Б. Кацнельсон, О.Э. Соловьёва, B.C. Мархасин. Статическая математическая модель архитектоники левого желудочка сердца человека. // Тезисы докладов 42-й Всероссийской молодежной школы-конференции «Современные проблемы математики», с. 323-325. Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2011.

[6] С.Ф. Правдин, Л.Б. Кацнельсон, О.Э. Соловьёва, B.C. Мархасин, A.B. Панфилов. Численное исследование влияния анизотропии миокарда на его электрофизиологические свойства. // Тезисы докладов Международной (44-й Всероссийской) молодежной

школы-конференции «Современные проблемы математики», с. 128-131. Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2013.

[7] X. Диркс, С.Ф. Правдин, А.В. Панфилов. Численное исследование динамики фила-ментов в модели левого желудочка сердца. // Труды Международной (45-й Всероссийской) молодежной школы-конференции «Современные проблемы математики и её приложений», с. 254-256. Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2014.

[8] Ф. Препарата, М. Шеймос. Computational Geometry. An introduction. M.: Мир, 1989.

[9] С.Ф. Правдин. Неосесимметричная математическая модель анатомии левого желудочка сердца. Российский журнал биомеханики, 17(4 (62)):84—105, 2013.

[10] С.Ф. Правдин. Неосесимметричная модель формы и архитектоники левого желудочка сердца. // Тезисы докладов Международной (44-й Всероссийской) молодежной школы-конференции «Современные проблемы математики», с. 131-134. Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2013.

[11] R.R. Aliev and A.V. Panfilov. A simple two-variable model of cardiac excitation. Chaos, Solitons and Fractals, 7(3):293-301, 1996.

[12] R.H. Anderson, M. Smerup, D. Sanchez-Quintana, M. Loukas, and P.P. Lunkenheimer. How are the myocytes aggregated so as to make up the ventricular mass? Semin Thorac Cardiovasc Surg Pediatr Card Surg Annu., pages 76-86, 2007.

[13] R.H. Anderson, M. Swerup, D. Sanchez-Quintana, M. Loukas, and P.P. Lunkenheimer. Three-dimensional arrangement of the myocytes in the ventricular walls. Clinical Anatomy, 22:64-76, 2009.

[14] T. Arts, K.D. Costa, J.W. Covell, and A.D. McCulloch. Relating myocardial laminar architecture to shear strain and muscle fiber orientation. Am J Physiol Heart Circ Physiol, 280(5):H2222-2229, 2001.

[15] T. Arts, P.C. Veenstra, and R.S. Reneman. Epicardial deformation and left ventricular wall mechanics during ejection in the dog. Am J Physiol, Heart Circ. Physiol., 243(12):H379-H390, 1982.

[16] O.V. Aslanidi, T. Nikolaidou, Z. Jichao, B.H. Smaill, S.H. Gilbert, A.V. Holden, T. Lowe, P.J. Withers, R.S. Stephenson, J.C. Jarvis, J.C. Hancox, M.R. Boyett, and H. Zhang.

Application of micro-computed tomography with iodine staining to cardiac imaging, segmentation, and computational model development. Medical Imaging, IEEE Transactions on, 32(1):8—17, 2013.

[17] R.C. Barr and R. Plonsey. Propagation of excitation in an idealized anisotropic two-dimensional tissue. Biophysical Journal, 45:1191-1202, 1984.

[18] J.D. Bayer, R.C. Blake, G. Plank, and N.A. Trayanova. A novel rule-based algorithm for assigning myocardial fiber orientation to computational heart models. Ann Biomed Eng., 2012.

[19] A. Benninghoff. Die Architektur des Herzmuskels. Eine vergleichend anatomische und vergleichend funktionelle Betrachtung. Morph Jahrb., 67:262-317, 1931.

[20] R. Beyar and S. Sideman. A computer study of the left ventricular performance based on fiber structure, sarcomere dynamics, and transmural electrical propagation velocity. Circ Res, 55:358-375, 1984.

[21] M.J. Bishop, G. Plank, R.A.B. Burton, J.E. Schneider, D.J. Gavaghan, V. Grau, and P. Kohl. Development of an anatomically detailed MRI-derived rabbit ventricular model and assessment of its impact on simulations of electrophysiological function. Am J Physiol Heart Circ Physiol., 298(2):H699-H718, 2010.

[22] Y. Bourgault, M. Ethier, and V.G. LeBlanc. Simulation of electrophysiological waves with an unstructured finite element method. M2AN, 37:649-661, 2003.

[23] P.H.M. Bovendeerd, T. Arts, J.M. Huyghe, D.H. van Campen, and R.S. Reneman. Dependence of local left ventricular wall mechanics on myocardial fiber orientation: a model study. J Biomechanics, 25(10):1129-1140, 1992.

[24] G.D. Buckberg. The structure and function of the helical heart and its buttress wrapping. II. interface between unfolded myocardial band and evolution of primitive heart. Semin Thorac Cardiovasc Surg, 13:320-332, 2001.

[25] G.D. Buckberg. Architecture must document functional evidence to explain the living rhythm. European Journal of Cardio-Thoracic Surgery, 27(2):202-209, 2005.

[26] G.D. Buckberg, L.W. Myron, M. Ballester, R. Beyar, D. Burkhoff, H.C. Coghlan, M. Doyle, N.D. Epstein, M. Gharib, R.E. Ideker, N.B. Ingels, M.M. LeWinter, A.D. McCulloch, G.M.

Pohost, L.J. Reinlib, D.J. Sahn, G. Sopko, F.G. Spinale, H.M. Spotnitz, F. Torrent-Guasp, and E.P. Shapiro. Left ventricular form and function : Scientific priorities and strategic planning for development of new views of disease. Circulation, 110(14):e333-336, 2004.

[27] R.S. Chadwick. Mechanics of the left ventricle. Biophysical Journal, 39:279-288, 1982.

[28] R.H. Clayton, O. Bernus, E.M. Cherry, H. Dierckx, F.H. Fenton, L. Mirabella, A.V. Panfilov, F.B. Sachse, G. Seemann, and H. Zhang. Models of cardiac tissue electrophysiology: Progress, challenges and open questions. Progress in Biophysics and Molecular Biology, 104(l-3):22-48, 2011.

[29] A.F. Corno, M.J.F. Kocica, and F. Torrent-Guasp. The helical ventricular myocardial band of Torrent-Guasp: potential implications in congenital heart defects. Eur J Cardiothorac Surg., 29 (Supplement 1):S61-S68, 2006.

[30] H. Delingette, F. Billet, K.C. Wong, and et al. Personalization of cardiac motion and contractility from images using variational data assimilation. IEEE Trans Biomed Eng., 59(l):20-24, 2012.

[31] D.J. Dosdall, P.B. Tabereaux, J.J. Kim, G.P. Walcott, J.M. Rogers, C.R. Killingsworth, J. Huang, P.G. Robertson, W.M. Smith, and R.E. Ideker. Chemical ablation of the Purkinje system causes early termination and activation rate slowing of long-duration ventricular fibrillation in dogs. Am J Physiol Heart Circ Physiol, 295(2):H883-9, 2008.

[32] C.C. Fox and G.M. Hutchins. The architecture of the human ventricular myocardium. Hopkins Med J, 130:289-299, 1972.

[33] A.F. Frangi, D. Rueckert, J.A. Schnabel, and W.J. Niessen. Automatic construction of multiple-object three-dimensional statistical shape models: application to cardiac modeling. IEEE Transact on Med Imag, 21(9):1151-1166, 2002.

[34] P.C. Franzone and L. Pavarino. A parallel solver for reaction-diffusion systems in computational electro cardiology. Mathematical Models and Methods in Applied Sciences, 14:883-911, 2004.

[35] C. Frindel, M. Robini, S. Rapacchi, E. Stephant, Y.-M. Zhu, and P. Croisille. Towards in vivo diffusion tensor MRI on human heart using edge-preserving regularization. In Engineering in Medicine and Biology Society, 2007. EMBS 2007. 29th Annual International Conference of the IEEE, pages 6007-6010, 2007.

[36] S.H. Gilbert, G.B. Sands, I.J. LeGrice, B.H. Sinaill, O. Bernus, and M.L. Trew. A framework for myoarchitecture analysis of high resolution cardiac MRI and comparison with diffusion tensor MRI. In Engineering in Medicine and Biology Society (EMBC), 2012 Annual International Conference of the IEEE, pages 4063-4066, 2012.

[37] E. Grandi, F.S. Pasqualini, and D.M. Bers. A novel computational model of the human ventricular action potential and Ca transient. Journal of Molecular and Cellular Cardiology, 48(1): 112—121, 2010. Special Issue: Ion Channels.

[38] R.P. Grant. Notes on the muscular architecture of the left ventricle. Circulation, 32:301-308, 1965.

[39] J.L. Greenstein and R.L. Winslow. Integrative systems models of cardiac excitation-contraction coupling. Circ Res, 108:70-84, 2011.

[40] J.M. Guccione, A.D. McCulloch, and L.K. Waldman. Passive material properties of intact ventricular myocardium determined from a cylindrical model. J Biomech Eng., 113(1):42—55, 1991.

[41] V. Gurev, T. Lee, J. Constantino, H. Arevalo, and N.A. Trayanova. Models of cardiac electromechanics based on individual hearts imaging data: Image-based electromechanical models of the heart. Biomech Model Mechanobiol, 10:295-306, 2011.

[42] P.W. Hales, J.E. Schneider, R.A.B. Burton, B.J. Wright, C. Bollensdorff, and P. Kohl. Histo-anatomical structure of the living isolated rat heart in two contraction states assessed by diffusion tensor {MRI}. Progress in Biophysics and Molecular Biology, 110(2-3):319-330, 2012. SI: Beating Heart.

[43] P. Helm, M.F. Beg, M.I. Miller, and R.L. Winslow. Measuring and mapping cardiac fiber and laminar architecture using diffusion tensor MR imaging. Ann N Y Acad Sci., 1047:296-307, 2005.

[44] P.A. Helm, H.J. Tseng, L. Younes, E.R. McVeigh, and R.L. Winslow. Ex vivo 3D diffusion tensor imaging and quantification of cardiac laminar structure. Magnetic Resonance in Medicine, 54:850-859, 2005.

[45] C.S. Henriquez. Simulating the electrical behavior of cardiac tissue using the bidomain model. Crit Rev Biomed Eng, 21(l):l-77, 1993.

[46] C.S. Henriquez and R. Plonsey. Simulation of propagation along a cylindrical bundle of cardiac tissue. II. results of simulation. IEEE Transactions on Biomedical Engineering, 37:861-875, 1990.

[47] C. Hoogendoorn, N. Duchateau, D. Sanchez-Quintana, T. Whitmarsh, F.M. Sukno, M. de Craene, K. Lekadir, and A.F. Frangi. A high-resolution atlas and statistical model of the human heart from multislice CT. Medical Imaging, IEEE Transactions on, 32(l):28-44, 2013.

[48] N. Hooke, C.S. Henriquez, P. Lanzkron, and D. Rose. Linear algebraic transformations of the bidomain equations: implications for numerical methods. Mathematical Biosciences, 120:127-145, 1994.

[49] W. Hort. Makroskopische und mikrometrische Untersuchungen am Myokard verschieden stark gefüllter linker Kammern. Virchows Arch Pathol Anat, 333:523-564, 1960.

[50] W. Hort. Quantitative morphology and structural dynamics of the myocardium. Methods Achiev Exp Pathol, 5:3-21, 1971.

[51] R. Hren. A Realistic Model of the Human Ventricular Myocardium: Application to the Study of Ectopic Activation. PhD thesis, Halifax, Nova Scotia, Canada: Dalhousie University, 1996.

[52] P. Hunter, M.P. Nash, and G.P. Sands. Computational Biology of the Heart, chapter Computational Electromechanics of the Heart, pages 345-408. Chichester: John Wiley Sz Sons, 1997.

[53] P.J. Hunter. Myocardial constitutive laws for continuum mechanics models of the heart. Adv Exp Med Biol, 382:303-18, 1995.

[54] P.J. Hunter, A.D. McCulloch, and H.E. ter Keurs. Modelling the mechanical properties of cardiac muscle. Prog Biophys Mol Biol, 69:289-331, 1998.

[55] O. Jarrousse. Modified Mass-Spring System for Physically Based Deformation Modeling. PhD thesis, Universität Karlsruhe, 2011.

[56] X. Jie, V. Gurev, and N. Trayanova. Mechanisms of mechanically induced spontaneous arrhythmias in acute regional ischemia. Circ.Res., 106:185-192, 2010.

[57] P.S. Jouk, A. Mourad, and et al. Analysis of the fiber architecture of the heart by quantitative polarized light microscopy. Accuracy, limitations and contribution to the study of the fiber

architecture of the ventricles during fetal and neonatal life. Eur J Cardiothorac Surg., 31(5):915—921, 2007.

[58] P.S. Jouk, Y. Usson, G. Michalowicz, and L. Grossi. Three-dimensional cartography of the pattern of the myofibres in the second trimester fetal human heart. An at Embryol (Berl)., 202(2):103-118, 2000.

[59] J.P. Keener and K. Bogar. A numerical method for the solution of the bidomain equations in cardiac tissue. Chaos, 8:234-241, 1998.

[60] J.P. Keener and A.V. Panfilov. A biophysical model for defibrillation of cardiac tissue. Biophys. J., 71:1335-1345, 1996.

[61] R.H. Keldermann, M.P. Nash, H. Gelderblom, V.Y. Wang, and A.V. Panfilov. Electromechanical wavebreak in a model of the human left ventricle. Am J Physiol, 299(1):H134-H143, 2010.

[62] M.J. Kocica, A.F. Corno, V. Lackovic, and V.I. Kanjuh. The helical ventricular myocardial band of Torrent-Guasp. Seminars in Thoracic and Cardiovascular Surgery: Pediatric Cardiac Surgery Annual, 10(l):52-60, 2007.

[63] L. Krehl. Beitrage zur Kenntnis der Fullung und Entleerung des Herzens. Abh Math-Phys Kl Saechs Akad Wiss, 17:341-362, 1891.

[64] I.J. LeGrice, B.H. Smaill, L.Z. Chai, S.G. Edgar, J.B. Gavin, and P.J. Hunter. Laminar structure of the heart: ventricular myocyte arrangement and connective tissue architecture in the dog. Am J Physiol, 269(2):H571-582, 1995.

[65] M. Lev and C.S. Simkins. Architecture of the human ventricular myocardium. Technique for study using a modification of the Mall-MacCallum method. Lab Invest., 5:396-409, 1956.

[66] P.P. Lunkenheimer, K. Redmann, and et al. Three-dimensional architecture of the left ventricular myocardium. The Anatomical Record Part A, 288:565-578, 2006.

[67] P.P. Lunkenheimer, K. Redmann, H. Scheld, K.-H. Dietl, C. Cryer, K.-D. Richter, J. Merker, and W. Whimster. The heart muscle's putative "secondary structure". Functional implications of a band-like anisotropy. Technol Health Care, 5:53-64, 1997.

[68] F.P. Mall. On the muscular architecture of the ventricles of the human heart. Am J Anat., 11:211-266,1911.

[69] V.S. Markhasin, 0. Solovyova, L.B. Katsnelson, Y. Protsenko, P. Kohl, and D. Noble. Mechano-electric interactions in heterogeneous myocardium: development of fundamental experimental and theoretical models. Prog. Biophys. Mol. Biol, 82:207-22010.1016/S0079-6107(03)00017-8, 2003.

[70] M. Munteanu, L.F. Pavarino, and S. Scacchi. A scalable Newton-Krylov-Schwarz method for the bidomain reaction-diffusion system. SIAM Journal on Scientific Computing, 31:38613883, 2009.

[71] M. Murillo and X.C. Cai. A fully implicit parallel algorithm for simulating the non-linear electrical activity of the heart. Numerical Linear Algebra with Applications, 11:261-277, 2004.

[72] R.J. Myerburg, K.M. Kessler, A. Interian Jr., P. Fernandez, S. Kimura, P.L. Kozlovskis, T. Furukawa, A.L. Bassett, and A. Castellanos. Cardiac Electrophysiology: From Cell to Bedside, chapter Clinical and experimental pathophysiology of sudden cardiac death, pages 666-678. Philadelphia: Saunders, 1 edition, 1990.

[73] D. Nickerson, N. Smith, and P. Hunter. New developments in a strongly coupled cardiac electromechanical model. Europace, 7:118-127, 2005.

[74] S.A. Niederer, P.J. Hunter, and N.P. Smith. A quantitative analysis of cardiac myocyte relaxation: a simulation study. Biophys J., 90(5):1697-1722, 2006.

[75] P.M.F. Nielsen, I.J. LeGrice, B.H. Smaill, and P.J. Hunter. Mathematical model of the geometry and fibrous structure of the heart. Am. J. Physiol, 260:H1365-H1378, 1991.

[76] D. Noble. A modification of the Hodgkin-Huxley equation applicable to Purkinje fiber action and pacemaker potential. J. Physiol., 160:317-352, 1962.

[77] D. Noble. Systems biology and the heart. Science, 295:1678-1682, 2002.

[78] T. O'Hara, L. Virag, A. Varro, and Y. Rudy. Simulation of the undiseased human cardiac ventricular action potential: Model formulation and experimental validation. PLoS Comput Biol, 7(5):el002061, 5 2011.

[79] A.V. Panfilov. Three-dimensional organization of electrical turbulence in the heart. Phys. Rev. E, 59:R6251-R6254, 1999.

[80] A.V. Panfilov and A.V. Holden. Self-generation of turbulent vortices in a 2-dimensional model of cardiac tissue. Physics Letters A, 151:23-26, 1990.

[81] A.V. Panfilov and A.V. Holden. Vortices in a system of two coupled excitable fibers. Physics Letters A, 147:463-466, 1990.

[82] A.V. Panfilov and A.V. Holden. Computer simulation of re-entry sources in myocardium in two and three dimensions. J. Theor. Biol., 161:271-285, 1993.

[83] A.V. Panfilov and A.V. Holden, editors. Computational Biology of the Heart. Wiley, Chichester, 1997.

[84] A.V. Panfilov and J.P. Keener. Generation of re-entry in anisotropic myocardium. J Cardiovasc Electrophysioi, 4(4):412-421, 1993.

[85] A.V. Panfilov and J.P. Keener. Re-entry in an anatomical model of the heart. Chaos, Solitons and Fractals, 5:681-689, 1995.

[86] A.V. Panfilov and B.N. Vasiev. Vortex initiation in a heterogeneous excitable medium. Physica D: Nonlinear Phenomena, 49(1-2):107-13, 1991.

[87] A.V. Panfilov and A.T. Winfree. Dynamical simulations of twisted scroll rings in three-dimensional excitable media. Physica D, 17:323-30, 1985.

[88] R.C. Penland, D.M. Harrild, and C.S. Henriquez. Modeling impulse propagation and extracellular potential distributions in anisotropic cardiac tissue using a finite volume element discretization. Computing and Visualization in Science, 4:215-226, 2002.

[89] C.S. Peskin. Fiber architecture of the left ventricular wall: An asymptotic analysis. Communications on Pure and Applied Mathematics, 42(1):79-113, 1989.

[90] J. Pettigrew. On the arrangement of the muscular fibers of the ventricular portion of the heart of the mammal. Proc. Roy. Soc., London, 10:433-440, 1860.

[91] J.M. Peyrat, M. Sermesant, X. Pennec, H. Delingette, C. Xu, E. McVeigh, and N. Ayache. Towards a statistical atlas of cardiac fiber structure. LNCS, 4190:297-B-304, 2006.

[92] J.M. Peyrat, M. Sermesant, X. Pennec, H. Delingette, C. Xu, E.R. McVeigh, and N. Ayache. A computational framework for the statistical analysis of cardiac diffusion tensors: application to a small database of canine hearts. IEEE Transact on Med Imag, 26(11):1500-1514, 2007.

[93] A.E. Pollard and R.C. Barr. Computer simulations of activation in an anatomically based model of the human ventricular conduction system. IEEE Transactions on Biomedical Engineering, 38:982-996, 1991.

[94] S.F. Pravdin. Non-axisymmetric mathematical model of the cardiac left ventricle anatomy. Russian Journal of Biomechanics, 17(4 (62)):75-94, 2013.

[95] S.F. Pravdin, V.I. Berdyshev, A.V. Panfilov, L.B. Katsnelson, O. Solovyova, and V.S. Markhasin. Mathematical model of the anatomy and fibre orientation field of the left ventricle of the heart. Biomedical Engineering Online, 54(12):1—21, 2013.

[96] S.F. Pravdin, H. Dierckx, L.B. Katsnelson, O. Solovyova, V.S. Markhasin, and A.V. Panfilov. Electrical wave propagation in an anisotropic model of the left ventriclc based on analytical description of cardiac architecture. PLOS One, 9(5):e93617, 2014. doi: 10.1371/journal.pone.0093617.

[97] S.F. Pravdin, L.B. Katsnelson, O.E. Solovyova, A.V. Panfilov, V.I. Berdyshev, and V.S. Markhasin. 3D mathematical model of the structure and function of the human heart left ventricle. In Proceedings of International Symposium «Biological motility: fundamental and applied science», pages 168-169. Pushchino scientific center of biological research, 2012.

[98] P. Ramrakha and J. Hill, editors. Oxford Handbook of Cardiology. Oxford University Press, 2nd edition, 2012.

[99] M.F. Reiser, W. Semmler, and H. Hricak, editors. Magnetic Resonance Tomography. Springer, 2008.

[100] J.J. Rice and P.P. de Tombe. Approaches to modeling crossbridges and calcium-dependent activation in cardiac muscle. Prog Biophys Mol Biol, 85(2-3):179-195, 2004.

[101] J.S. Robb and R.C. Robb. The normal heart. Anatomy and physiology of the structural units. Am Heart J., 23:455-467, 1942.

[102] B. Rodriguez, L. Li, J.C. Eason, I.R. Efimov, and N.A. Trayanova. Differences between left and right ventricular chamber geometry affect cardiac vulnerability to electric shocks. Circ Res., 97(2):168-175, 2005.

[103] D. Rohmer, A. Sitek, and G.T. Gullberg. Reconstruction and visualization of fiber and laminar structure in the normal human heart from ex vivo diffusion tensor magnetic resonance imaging (DTMRI) data. Invest Radiol, 42(ll):777-789, 2007.

[104] B.J. Roth. Meandering of spiral waves in anisotropic cardiac tissue. Physica D, 150:127-136, 2001.

[105] A.N. Rudenko and A.V. Panfilov. Drift and interaction of vortices in two-dimensional heterogeneous active medium. Studia Biophysica, 98:183-88, 1983.

[106] R.F. Rushmer, D.K. Crystal, and C.C. Wagner. The functional anatomy of ventricular contraction. Circ Res, 1:162-170, 1953.

[107] P. Schmid, P. Niederer, P.P. Lunkenheimer, and F. Torrent-Guasp. The anisotropic structure of the human left and right ventricles. Technol Health Care, 5:29-44, 1997.

[108] G. Seemann. Modeling of Electrophysiology and Tension Development in the Human Heart. PhD thesis, Universität Karlsruhe, 2005.

[109] S. Sinha, K.M. Stein, and D.J. Christini. Critical role of inhomogeneities in pacing termination of cardiac reentry. Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science, 12(3).-893-902, 2002.

[110] D.D.J.R. Streeter. Handbook of physiology. Sec. 2. Vol. I. The Heart, chapter Gross morphology and fiber geometry of the heart, pages 61-112. Bethesda, Maryland: Am. Physiol. Soc, 1979.

[111] T. Sulman, L.B. Katsnelson, O.E. Solovyova, and V.S. Markhasin. Mathematical modeling of mechanically modulated rhythm disturbances in homogeneous and heterogeneous myocardium with attenuated activity of Na+ - K+ pump. Bull Math Biol, 70(3):910-949, 2008.

[112] B. Taccardi, E. Macchi, R.L. Lux, P.R. Ershler, S. Spaggiari, S. Baruffi, and Y. Vyhmeister. Effect of myocardial fiber direction on epicardial potentials. Circulation, 90(6):3076-90, 1994.

[113] H.E. ter Keurs, T. Shinozaki, Y.M. Zhang, M.L. Zhang, Y. Wakayama, Y. Sugai, Y. Kagaya, M. Miura, P.A. Boyden, B.D. Stuyvers, and A. Landesberg. Sarcomere mechanics in uniform and non-uniform cardiac muscle: a link between pump function and arrhythmias. Prog Biophys Mol Biol, 97(2-3):312-331, 2008.

[114] F. Torrent-Guasp. The Cardiac Muscle. Madrid: Fundacion Juan March, 1973.

[115] F. Torrent-Guasp. Zarco P, Perez J (eds) El Fallo Mecánico del Corazon, chapter Organización de la musculatura cardiaca ventricular, pages 3-36. Ediciones Toray, Barcelona, 1975.

[116] F. Torrent-Guasp. La mecanica agonista-antagonista de los segmentos descendente y ascendente de la banda miocardica ventricular. Rev Esp Cardiol, 54:1091-1102, 2001.

[117] F. Torrent-Guasp, M.J. Kocica, A.F. Corno, M. Komeda, F. Carreras-Costa, A. Flotats, J. Cosin-Aguillar, and H. Wen. Towards new understanding of the heart structure and function. European Journal of Cardio-thoracic Surgery, 27:191-201, 2005.

[118] F. Torrent-Guasp, W.F. Whimster, and K. Redman. A silicone rubber mould of the heart. Technol Health Care, 5:13-20, 1997.

[119] N.A. Trayanova, J. Constantino, and V. Gurev. Electromechanical models of the ventricles. Am J Physiol Heart Circ Physiol, 301:H279-H286, 2011.

[120] M.L. Trew, B.J. Caldwell, G.B. Sands, I.J. LeGrice, and B.H. Smaill. Three-dimensional cardiac tissue image registration for analysis of in vivo electrical mapping. Ann Biomed Eng, 39(l):235-248, 2011.

[121] K.H. Ten Tusscher, R. Hren, and A.V. Panfilov. Organization of ventricular fibrillation in the human heart. Circ. Res., 100:87-101, 2007.

[122] K.H. Ten Tusscher and A.V. Panfilov. Alternans and spiral breakup in a human ventricular tissue model. Am. J. Physiol. Heart Circ. Physiol., 291:H1088-1100, 2006.

[123] K.H.W.J. Ten Tusscher, D. Noble, P.J. Noble, and A.V. Panfilov. A model for human ventricular tissue. Am. J. Physiol. Heart Circ. Physiol., 286:H1573-H1589, 2004.

[124] F. Vadakkumpadan, H. Arevalo, A.J. Prassl, and et al. Image-based models of cardiac structure in health and disease. Wiley Interdiscip. Rev. Syst. Biol. Med., 2(4):489-506, 2010.

[125] H. Verschelde, H. Dierckx, and O. Bernus. Covariant stringlike dynamics of scroll wave filaments in anisotropic cardiac tissue. Physical Review Letters, 99(16), 2007.

[126] F.J. Vetter and A.D. McCulloch. Three-dimensional analysis of regional cardiac function: a model of rabbit ventricular anatomy. Prog Biophys Mol Biol, 69(2-3): 157-183, 1998.

[127] Y.W. Vicky. Modelling In Vivo Cardiac Mechanics using MRI and FEM. PhD thesis, Auckland Bioengineering Institute, The University of Auckland, New Zealand, 2012.

[128] E. Vigmond, F. Aguel, and N. Trayanova. Computational techniques for solving the bidomain equations in three dimensions. IEEE Transactions on Biomedical Engineering, 49:1260-1269, 2002.

[129] E.J. Vigmond, R. Weber dos Santos, A.J. Prassl, M. Deo, and G. Plank. Solvers for the cardiac bidomain equations. Progress in Biophysics and Molecular Biology, 96(1-3):3-18, 2008.

[130] L.D Weise and A.V. Panfilov. A discrete electromechanical model for human cardiac tissue: Effects of stretch-activated currents and stretch conditions on restitution properties and spiral wave dynamics. PLoS ONE, 8(3):e59317, 3 2013.

[131] A.A. Young and A.F. Frangi. Computational cardiac atlases: from patient to population and back. Exp Physiol, 94(5):578B—596, 2009.

[132] R.J. Young and A.V. Panfilov. Anisotropy of wave propagation in the heart can be modeled by a Riemannian electrophysiological metric. Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 107:14964-14967, 2010.

[133] Y. Zhang, X. Liang, J. Ma, Y. Jing, M.J. Gonzales, C. Villongco, A. Krishnamurthy, L.R. Frank, V. Nigam, P. Stark, S.M. Narayan, and A.D. McCulloch. An atlas-based geometry pipeline for cardiac Hermite model construction and diffusion tensor reorientation. Medical Image Analysis, 16(6):1130-1141, 2012.