Математическое моделирование течения гетерогенной многоматериальной среды тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Чжан Чао

• Чжан Чао
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Чжан Чао

Оглавление

Введение

1 Неравновесная многофазная модель сжимаемой среды

1.1 Неравновесная двухфазная модель

1.2 Неравновесная модель для N (Ж > 3) компонент

2 Равновесная многоматериальная модель для сжимаемой гетерогенной среды

2.1 Уравнения состояния

2.2 Модель четырех уравнений

2.3 Модель пяти уравнений

2.4 Редуцированная модель пяти уравнений

2.5 Асимптотический анализ неравновесной модели

2.6 Модель с вязкостью

2.7 Модель с поверхностным натяжением

3 Численные методы для решения редуцированной модели

3.1 Метод расчета уравнений переноса многокомпонентной гетерогенной системы

3.2 Численные тесты на задачи адвекции

3.2.1 Адвекция трехкомпонентной системы

3.2.2 Перенос межфазной границы

3.2.3 Перенос семи компонент

3.2.4 Двумерная задача переноса 4-х компонентной системы

3.2.5 Перенос 4-х компонентной системы в вихревом поле

3.3 Численные методы для решения редуцированной модели

3.3.1 Дискретизация методом конечного объема

3.3.2 Аппроксимация невязкого потока

3.3.3 Аппроксимация вязкого потока

3.3.4 Аппроксимация потока поверхностного натяжения

3.3.5 Алгоритм

3.4 Верификация модели и численных методов - численные примеры 86 3.4.1 Задача Римана для трех компонент

3.4.2 Взаимодействие ударной волны и межфазных интерфейсов

3.4.3 Взаимодействие ударной волны и прямоугольного блока БЕб

3.4.4 Задача о тройной точке

3.4.5 Жидкая линза между двумя неперемешиваюгцимися жидкостями

3.4.6 Задача о всплывающем пузыре

3.4.7 Приложение модели для подводного взрыва

4 Методы для разрешения межфазных интерфейсов

4.1 Метод составной задачи Римана

4.1.1 Подсеточная реконструкция

4.1.2 Составная задача Римана

4.1.3 Источниковый член

4.1.4 Шаг по времени

4.2 Численные тесты для метода СЗР

4.2.1 Перенос межфазного интерфейса

4.2.2 Ударная труба

4.2.3 Взаимодействие плоской ударной волны и межфазного интерфейса

4.2.4 Задача о тройной точке

4.2.5 Взаимодействие ударной волны и прямоугольного блока БЕб

5 Основные результаты и выводы 134 Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование течения гетерогенной многоматериальной среды»

Настоящая работа посвящена математическому моделированию течения неоднородной среды, состоящей из нескольких различных материалов, разделенных контактными границами (межфазными границами). Такое течение является частным случаем многофазного течения и называется "multimaterial flow" в литературе. Ниже мы используем дословный перевод этого термина - "многоматериальное течение". Также употребляются термины "ин-тepфeйc(interface)" или "межфазный интерфейс" как альтернативные варианты термина "межфазная граница".

Актуальность работы обусловлена важностью рассматриваемых задач во многих промышленных и биомедицинских приложениях, таких как ударно-пузырьковое взаимодействие[1-4], горение[5], подводный взрыв[6, 7], ударно-волновые процессы в слоистых системах [8, 9], дробление почечных камней[10]. Течения многоматериальных гетерогенных сжимаемых сред с тремя и более компонентами часто встречаются в прикладных задачах, например, в задачах нефтегазовой отрасли, где среда состоит из природного газа, нефти, воды и дополнительных специальных включений. В литературе имеется мало работ, посвященных моделированию многоматериальных течений с числом компонент более трех. Разработка численных методов высокого порядка для многоматериальных течений требует выполнение дополнительных условий на объемные доли компонент. Моделирование физических эффектов, таких как поверхностное натяжение, вязкость и сила тяжести, также является важной и актуальной задачей. Кроме того, размазывание межфазной границы из-за численной диссипации может приводить к искажению результатов численного моделирования. Поэтому актуальной задачей является также разработка специальных методов, обеспечивающих высокое пространственное разрешение межфазных границ.

Степень разработанности данной темы. В дополнение к хорошо известным разрывам, возникающим в однофазной газовой динамике, в многоматериальных течениях имеется ещё один тип разрывов - межфазный интерфейс, соответствующий границе, разделяющей разные материалы. В таких задачах взаимодействие ударных волн и межфазной границы приводит к сложной для численных методов задаче определения положения межфазной границы. В зависимости от подхода для определения межфазной границы численные методы можно разделить на две категории: методы разрешенной границы (sharp interface method) [11—27] и методы диффузной границы

(diffuse interface method) [28—37].

Модель разрешенной границы предполагает, что межфазная граница является математической поверхностью (геометрическим объектом нулевой "толщины"). Большенство таких моделей основаны на чисто лагранжевых подходах. В этих методах используется подвижная сетка, на которой границы ячеек всегда совпадают с межфазной границей, которая рассматривается как разрыв без толщины. Таким образом, значения описывающих течение параметров имеет разрыв на межфазной границе. Численные методы, такие как ALE (Arbitrary Lagrangian Eulerian) [11, 13, 38], free-Lagrange [16], front-tracking [17—20] и level-set [21—24], относятся к этой группе. Однако, эволюция межфазной границы со временем может привести к серьезным искажениям вычислительной сетки и ухудшению точности решений. Вычислительные сложности из-за непрерывного изменения топологии вычислительной сетки делают эти методы практически неосуществимыми для трёхмерных задач. Другой недостаток этих методов состоит в том, что они, как правило, не являются дискретно консервативными на межфазных границах материалов, что может привести к неправильному вычислению их положения, а также положению ударных волн. Чтобы избежать сложности, связанной с деформацией сетки, несколько методов разрешенной границы были разработаны на неподвижной сетке. Однако эти методы не могут устранить неконсервативность.

Чтобы обойти трудности модели разрешенной границы, были разработаны модели диффузной границы, к которым относится и настоящая диссертационная работа. Модели диффузной границы предполагают, что среда из разных материалов является некоторой однородной эффективной средой, свойства которой зависят от характеристических функций (обычно объемной доли), определяющих пространственное распределение составляющих компонент. В данной модели, межфазная граница может претерпевать численную диффузию в конечной области. Таким образом, материалы разделены тонкой диффузионной зоной конечной ширины, в пределах которой действуют силы межфазного взаимодействия, определяющие динамику контактной границы. Преимущество этой модели над моделью разрешенной границы заключается в том, что можно проводить сквозной расчет области без выделения границы на неподвижной эйлеровой сетке. Более того, дискретная консервативность массы поддерживается. По сути, эти модели являются простыми обобщением модели однофазной жидкости с введением правила смешивания для ячеек, в которых существует смесь. Что касается правила смешивания в диффузной зоне, они должны удовлетворять так называемому PV условию (или "well-balancing" в литературе): смешивание двух жидкостей с одинаковым давлением должно привести к состоянию смеси с тем же давлением. Нарушение этого условия приводит к осцилляции в давлении, и может приводить к авост-ной остановке вычислений.

Модели диффузной границы для двух компонент еще можно разделить

на две группы: неравновесные модели семи уравнений и равновесные модели пяти уравнений. Первая включает в себя релаксацию по скорости из эффекта сопротивления и релаксацию по давлению из эффекта сжатия. Неравновесную модель можно использовать как для моделирования дисперсного многофазного течения, так и течения с разрешенными межфазнами границами. Однако, если нас интересуют только течения с разрешенными межфазными границами, использование модели семи уравнений приводит к некоторым отрицательным аспектам, как, например, большее количество распространяющихся в среде волн и жесткая система релаксации. На самом деле, для течения неперемешивающихся материалов с разрешенной межфазной границей, релаксационные процедуры кажутся излишними, потому что механическое равновесие достигается почти мгновенно. Этот факт мотивирует разработку более простой модели — равновесной модели пяти уравнений, где процессы релаксации по скорости и давлению отсутствуют. Как показано в работе [39], модель пяти уравнений можно получить путем асимптотического разложения модели семи уравнений в пределе жесткой механической релаксации, т.е., две группы модели диффузионной границы асимптотически совместимы. Это факт дает ключевую идею для разработки модели многоматериального течения с произвольным числом неперемешивающихся компонент.

Точность моделирования при этом подходе напрямую зависит от размера зоны межфазной границы, потому что эта диффузионная зона возникает из-за численных причин, а не физических. Поэтому важной задачей является разработка вычислительных технологий, помогающих максимально уменьшить размер зоны размазывания межфазной границы. На сегодняшний день разработаны несколько таких методик. К ним относятся: метод LD (Limited Downwind) [40, 41], метод THINC [42], метод AntiD (Anti-diffusion) [43], метод ACM (Artificial Compression Method) |44 47|. Сравнительный анализ этих методик пока отсутствует в литературе. С целью уменьшения размера зоны межфазной границы, Tiwari и др. [47] ввел математическую регуляризацию межфазной границы в модель пяти уравнений.

Все вышеупомянутые работы по моделям диффузной границы рассматривают многоматериальные течения только с двумя компонентами. Вместе с тем, как уже упоминалось выше, течение с тремя и более компонентами также часто встречаются в прикладных задачах. Однако, в литературе остается заметный пробел в численных исследованиях течений с N(N > 3) компонентами. Прямое обобщение модели и численных методов для двух компонент на любое число компонент не приводит. Как и в случае для двух компонент, основой для разработки модели с N компонентами должна быть асимптотическая совместность между равновесной и неравновесной моделями. Кроме этого, с точки зрения численных методов, возникают новые трудности при разработке схем повышенного порядка точности. Распределение фаз в рассматриваемой модели определяется характерическими функциями, имеющими смысл объемных долей фаз и удовлетворяющими уравнениям типа ад-

векции. Для последних необходимо выполнение условий нормировки (сумма равна единице) и положительности (значения между нулем и единицей). Эти условия могут нарушить при использовании схем подсеточной реконструкции решения типа MUSCL.

Моделирование физических эффектов, таких как поверхностное натяжение, вязкость и сила тяжести, также является важной задачей для модели диффузионной границы с N компонентами. Что касается эффекта поверхностного натяжения, рассматривается метод непрерывной поверхностной силы (continuum surfce force, CSF) [48]. С помощью этого метода поверхностное натяжение заменяется эквивалентной объемной силой, которая существует повсюду в диффузионной зоне. Однако модель CSF изначально была разработана для несжимаемых течений с двумя компонентами, где уравнение сохранения энергии отсутствует. Поэтому, чтобы использовать метод CSF в модели сжимаемых течений с N > 3 компонентами (в данной работе только рассматривается случай N = 3 с поверхностным натяжением), необходимо решить две проблемы: во-первых, обобщить метод CSF на случай трех компонент; во-вторых, определить поверхностную энергию для сжимаемой модели, которая термодинамически согласуется с поверхностным натяжением, определенным моделью CSF.

Цели настоящей диссертационной работы -

1. Разработать математическую модель для течений гетерогенных не-перемешивакжцихся сред, разделенных межфазными границами, с учетом физических явлений, таких как поверхностное натяжение, вязкость и сила тяжести.

2. Построить численные методы для решения предложенной модели.

3. Разработать методику высокого разрешения межфазной границы.

4. Создать параллельный (MPI) комплекс программ на основе разработанных модели и численных методов для решения широкого класса задач механики гетерогенных сжимаемых сред.

5. Провести верификационные расчеты и расчет прикладной задачи о подводном взрыве со свободной поверхностью с помощью разработанного программного комплекса. Выполнить сравнительный анализ полученных результатов с результатами, полученными альтернативными методами и экспериментальными данными.

Объект и предмет исследования. В диссертации используются методы вычислительной математики и математического моделирования. Комплекс программ разработан на языке С с использованием технологией MPI.

Научная новизна представленных в диссертации результатов состоит в следующих

1. Обобщена математическая модель течения двух неперемешивающихся компонентов на произвольное число компонент с учетом физических

процессов поверхностного натяжения на межфазных границах, вязкости компонент и силы тяжести.

2. Для предложенной модели неперемешиваюгцихся многоматериальных течений разработан новый алгоритм, обеспечивающий гарантированное выполнение условий неотрицательности объемных долей компонент.

3. Для модели диффузной границы разработан новый численный метод высокого пространственного разрешения межфазной границы на основе решения составной задачи Римана (ЗР).

Теоретическая ценность и практическая значимость диссертационной работы заключаются в разработанной модели для многоматериального течения неперемешивающихся сжимаемых сред с произвольным числом компонент и с учетом физических процессов поверхностного натяжения на межфазных границах, вязкости и силы тяжести, соответствующих численных методов для ее решения и программном комплексе (с использованием технологии MPI) для расчета многоматериального сжимаемого течения. Разработанная модель и программный комплекс дают возможность для моделирования физических процессов во многих прикладных задачах.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Модель для течений гетерогенных смесей с произвольным числом сжимаемых несмешиваюгцихся компонент с учетом межфазного поверхностного натяжения, вязкости компонент и силы тяжести.

2. Численные метод для решения системы определяющих уравнений модели, обеспечивающий выполнение условий положительности объемной доли.

3. Численный метод для высокого разрешения межфазной границы на основе решения составной задачи Римана (СЗР).

4. Комплекс программ для моделирования течения многоматериальных сред и его параллельная реализация с использованием технологии MPI на современных многопроцессорных системах.

Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечены строгостью используемого математического аппарата и подтверждаются сравнением результатов вычислительных экспериментов с известными в литературе экспериментальными и расчетными данными, а также данными, полученными с помощью других методов.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на следующих научных конференциях.

1. Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных "Ломоносов-2018";

2. Научная конференция "Ломоносовские чтения-2018";

3. 6th European Conference on Computational Mechanics & 7th European Conference on Computational Fluid Dynamics, 2018, Glasgow, UK;

4. Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных "Ломоносов-2019" (Лучший доклад секции "Математика и механика");

5. Научно-техническая конференция по аэродинамике, 2019, г. Жуковский, ЦАГИ.

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 9 научных работах |49 531. Из них 4 статьи опубликованы в рецензируемых научных журналах из списка RSCI, Web of Science, SCOPUS, 1 из списка ВАК и 4 тезиса докладов на научных конференциях.

Личный вклад соискателя. Все исследования, изложенные в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций [49—53] в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю; заимствованный материал обозначен в работе ссылками.

Постановка математической задачи и анализ полученных результатов проводились под руководством Меньшова И.С. Чжан Чао является автором предложенной модели, численных методов для её решения и комплексов параллельных программ. Численный метод для высокого пространственного разрешения межфазной границы (метод СЗР) в работе [51] был разработан Чжан Чао на основе модификации метода предложенного Меньшов И.С. в работе [36]. Материалы для публикации в всех совместных работах, диссертация и автореферат были подготовлены Чжан Чао самостоятельно и корректированы Меньшовым И.С.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Работа представлена на 142 страницах, содержит 56 иллюстраций и 9 таблиц. Список литературы содержит 87 наименование.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Чжан Чао

Основные результаты и выводы

В диссертации получены следующие основные результаты

1. Предложена односкоростная модель для моделирования течения гетерогенных многоматериальных сжимаемых сред с разрешенными межфазными интерфейсами и произвольным числом компонента. Модель замыкается двух пари метрическим уравнением состояния (обобщенное уравнение Ван дер Вальса и уравнение Ми-Грюнайзена). Данная модель получена с помощью асимптотического анализа неравновесной модели типа Baer-Nuziato в пределе жесткой релаксации по скорости и давлению. В модель включены следующие физические процессы: сила тяжести, вязкость и поверхностное натяжение. Описание поверхностного натяжения выполнено с помощью модели непрерывно распределенной объемной силы (continuum surface force, CSF), первоначально предложенной для двухфазной несжимаемой среды. В данной работе этот подход обобщен на случай трех сжимаемых фаз.

2. Разработан новый метод решения системы уравнений переноса объемных долей многокомпонентной гетерогенной системы в заданном поле скорости на неподвижных эйлеровых сетках. Метод гарантировано обеспечивает выполнение условий совместности объемных долей, а именно: (1) объемная доля каждого компонента должна быть в диапазоне [0,1] и (2) любая частичная сумма объемных долей не должна превышать единицу. При этом метод совместим с разными TVD схемами и методами разрешения межфазных границ. Метод прост и не требует существенных изменений в расчетных схемах. Он протестирован на разных задачах со схемами MUSCL (со ограничителями Minmod, Van Leer, Van Albada, Superbee), THINC, LD, AntiD, AMC. Наилучшие свойства разрешения интерфейсов были получены со схемой LD. Метод применен к расчету сквозным образом (на фиксированных эйлеровых

сетках) сжимаемых течений многофазных сред с разрешенными интерфейсами.

3. На основании предложенного метода решения системы уравнений переноса, разработаны численные методы для решения модели для моделирования течения гетерогенных многоматериальных сжимаемых сред. Разработанные численные методы одновременно обеспечивают РУ условие и условие совместности.

4. Составлена программа с использованием разработанных модели и численных методов на языке С для последовательного и параллельного исполнения на современных вычислительных системах. Используя разработанную программу, проведен ряд численных экспериментов для верификации предложенных модели и численных методов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Чжан Чао, 2019 год

Список литературы

[1] Allaire G., Clerc S., Kokh S. A five-equation model for the simulation of interfaces between compressible fluids // Journal of Computational Physics. 2002. T. 181, № 2, c. 577^616.

[2] Ranjan D., Oakley J., Bonazza R. Shock-Bubble Interactions // Annual Review of Fluid Mechanics. 2011. T. 43, № 1, c. 117 140.

[3] Quirk J. J., Kami S. On the dynamics of a shock-bubble interaction // Journal of Fluid Mechanics. 1996. T. 318, 129-163.

[4] Klaseboer E. h ^p. Simulations of pressure pulse-bubble interaction using boundary element method // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2006. T. 195, c. 4287 4302.

[5] Clemens N. T., Mungal M. G. Large-scale structure and entrainment in the supersonic mixing layer // Journal of Fluid Mechanics. 1995. T. 284, 171-216.

[6] KLASEBOER E. h ^p. Experimental and numerical investigation of the dynamics of an underwater explosion bubble near a resilient/rigid structure // Journal of Fluid Mechanics. 2005. T. 537, 387-413.

[7] Sprague M. A., Geers T. L. A spectral-element/finite-element analysis of a ship-like structure subjected to an underwater explosion // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2006. T. 195, № 17. Fluid-Structure Interaction, c. 2149 —2167.

[8] Frid H., Shelukhin V. A Quasilinear Parabolic System for Three-Phase Capillary Flow in Porous Media // Siam Journal on Mathematical Analysis - SIAM J MATH ANAL. 2003. T. 35.

[9] Chen Z., Ewing R. E. Comparison of Various Formulations of Three-Phase Flow in Porous Media // Journal of Computational Physics. 1997. T. 132, № 2, c. 362 373.

[10] Johnsen E., Colonius T. Shock-induced collapse of a gas bubble in shockwave lithotripsy. // The Journal of the Acoustical Society of Am,erica,. 2008. T. 124 4, c. 2011—20.

[11] Peery J. S., Carroll D. E. Multi-Material ALE methods in unstructured grids // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2000. T. 187, № 3, c. 591 —619.

[12] Galera S., Maire P.-H., Breil J. A two-dimensional unstructured cell-centered multi-material ALE scheme using VOF interface reconstruction // Journal of Computational Physics. 2010. T. 229, № 16, c. 5755^5787.

[13] Codina R. h ^p. The fixed-mesh ALE approach for the numerical approximation of flows in moving domains // Journal of Computational Physics. 2009. T. 228, № 5, c. 1591 -1611.

[14] Maire P.-H. h ^p. A Cell-Centered Lagrangian Scheme for Two-Dimensional Compressible Flow Problems // SI AM J. Set. Comput. 2007. T. 29, № 4, c. 1781—1824.

[15] Smith R. W. AUSM(ALE): A Geometrically Conservative Arbitrary Lagrangian-Eulerian Flux Splitting Scheme // Journal of Computational Physics. 1999. T. 150, № 1, c. 268 ^286.

[16] Ball G. h Shock-induced collapse of a cylindrical air cavity in water: a free-Lagrange simulation // Shock Waves. 2000. T. 10, № 4, c. 265^276.

[17] Glimm J. h ^p. Conservative front tracking with improved accuracy //SIAM Journal on Numerical Analysis. 2003. T. 41, № 5, c. 1926 1947.

[18] Cocchi J.-P., Saurel R. A Riemann problem based method for the resolution of compressible multimaterial flows // Journal of Computational Physics. 1997. T. 137, № 2, c. 265^298.

[19] Glimm J. h ^p. Three-dimensional front tracking // SIAM Journal on Scientific Computing. 1998. T. 19, № 3, c. 703^727.

[20] Terashima H., Tryggvason G. A front-tracking/ghost-fluid method for fluid interfaces in compressible flows // Journal of Computational Physics. 2009. T. 228, № 11, c. 4012 4037.

[21] Osher S., Sethian J. A. Fronts propagating with curvature-dependent speed: algorithms based on Hamilton-Jacobi formulations // Journal of computational physics. 1988. T. 79, № 1, c. 12^49.

[22] Mulder W, Osher S, Sethian J. A. Computing interface motion in compressible gas dynamics // Journal of Computational Physics. 1992. T. 100, № 2, c. 209^228.

[23] Fedkiw R. P. h ^p. A non-oscillatory Eulerian approach to interfaces in multimaterial flows (the ghost fluid method) // Journal of computational physics. 1999. T. 152, № 2, c. 457 492.

[24] Osher S, Fedkiw R. Level sets and dynamic implicit surfaces // Applied Mathematical Sciences. 2002. T. 153.

[25] Nourgaliev R. R., Liou M.-S., Theofanous T. G. Numerical prediction of interfacial instabilities: sharp interface method (SIM) // Journal of Computational Physics. 2008. T. 227, № 8, c. 3940-3970.

[26] Chang C.-H., Deng X., Theofanous T. G. Direct numerical simulation of interfacial instabilities: A consistent, conservative, all-speed, sharp-interface method // Journal of Computational Physics. 2013. T. 242, c. 946 ^990.

[27] Lin J.-Y. и др. Simulation of compressible two-phase flows with topology change of fluid-fluid interface by a robust cut-cell method // Journal of Computational Physics. 2017. T. 328, c. 140 -159.

[28] Abgrall R. How to prevent pressure oscillations in multicomponent flow calculations: a quasi conservative approach // Journal of Computational Physics. 1996. T. 125, № 1, c. 150-160.

[29] Shyue K.-M. An efficient shock-capturing algorithm for compressible multicomponent problems // Journal of Computational Physics. 1998. T. 142, № 1, с. 208-242.

[30] Saurel R., Abgrall R. A simple method for compressible multifluid flows // SIAM Journal on Scientific Computing. 1999. T. 21, № 3, c. 1115—1145.

[31] Shyue K.-M. A fluid-mixture type algorithm for compressible multicomponent flow with van der Waals equation of state // Journal of Computational Physics. 1999. T. 156, № 1, c. 43-88.

[32] Saurel R., Abgrall R. A Multiphase Godunov Method for Compressible Multifluid and Multiphase Flows // Journal of Computational Physics. 1999. T. 150, № 2, c. 425 -467.

[33] Perigaud G., Saurel R. A compressible flow model with capillary effects // Journal of Computational Physics. 2005. T. 209, № 1, c. 139 —178.

[34] Johnsen E., Ham F. Preventing numerical errors generated by interface-capturing schemes in compressible multi-material flows // Journal of Computational Physics. 2012. T. 231, № 17, c. 5705 ^5717.

[35] Coralic V., Colonius T. Finite-volume WENO scheme for viscous compressible multicomponent flows // Journal of Computational Physics. 2014. T. 274, c. 95-121.

[36] Menshov I., Zakharov P. On the composite Riemann problem for multimaterial fluid flows // International Journal for Numerical Methods in Fluids. 2015. T. 76, № 2, c. 109-127.

[37] Балашов В.А. Прямое численное моделирование течений жидкости в поровом пространстве пород-коллекторов, дис. ... канд. Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша, 2016.

[38] Luo Н., Baum J. D., Lohner R. On the computation of multi-material flows using ALE formulation // Journal of Computational Physics. 2004. T. 194, Л'° 1, c. 304-328.

[39] Kapila А. К. и др. Two-phase modeling of deflagration-to-detonation transition in granular materials:Reduced equations // Physics of Fluids. 2001. T. 13, № 10, c. 3002 3024.

[40] Jaouen S., Lagoutiere F. Numerical transport of an arbitrary number of components // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2007. T. 196, № 33, c. 3127 3140.

[41] Despres В., Lagoutiere F. Contact Discontinuity Capturing Schemes for Linear Advection and Compressible Gas Dynamics // Journal of Scientific Computing. 2001. T. 16, № 4, c. 479 524.

[42] Xiao F., Honma Y., Kono T. A simple algebraic interface capturing scheme using hyperbolic tangent function // International Journal for Numerical Methods in Fluids. 2005. T. 48, № 9, c. 1023^1040.

[43] So К. К., Ни X. Y., Adams N. A. Anti-diffusion Interface Sharpening Technique for Two-Phase Compressible Flow Simulations // Journal of Computational Physics. 2012. T. 231, № 11, c. 4304 4323.

[44] Harten A. The artificial compression method for computation of shocks and contact discontinuities. I. Single conservation laws // Communications on Pure & Applied Mathematics. 2010. T. 30, № 5, c. 611^638.

[45] Harten A. The artificial compression method for computation of shocks and contact discontinuities. III. Self-adjusting hybrid schemes // Mathematics of Computation. 1978. T. 32, № 142, c. 363^389.

[46] Shukla R. K., Pantano C., Freund J. B. An interface capturing method for the simulation of multi-phase compressible flows // Journal of Computational Physics. 2010. T. 229, № 19, c. 7411 7439.

[47] Tiwari A., Freund J. В., Pantano C. A diffuse interface model with immiscibility preservation // Journal of Computational Physics. 2013. T. 252, № С, c. 290^309.

[48] Brackbill J., Kothe D., Zemach C. A continuum method for modeling surface tension // Journal of Computational Physics. 1992. T. 100, № 2, c. 335 — 354.

[49] Zhang C., Menshov I. Eulerian modelling of compressible three-fluid flows with surface tension // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. 2019. № 4. T. 34, c. 225 240.

[50] Чжан Ч., Меньшов И.С. Сквозной метод расчета уравнений переноса многокомпонентной гетерогенной системы на фиксированных эйлеровых сетках // Математическое моделирование. 2019. № 4. Т. 31, с. 111— 130.

[51] Zhang С., Menshov I. Using the composite Riemann problem solution for capturing interfaces in compressible two-phase flows // Applied Mathematics and Computation. 2019. T. 363, art. 124610.

[52] Zhang С., Menshov I. A sharp diffuse-interface approach to compressible multi-fluid flows // Proceedings 6th European Conference on Computational Mechanics (ECCM 6) 7th European Conference on Computational Fluid Dynamics (ECFD 7). 2018, c. 3085-3096.

[53] Чжан Ч., Меньшов И.С. Моделирование утечки природного газа из подводного газопровода // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. 2017. Л" 74, с. 1-18.

[54] Baer М., Nunziato J. A two-phase mixture theory for the deflagration-to-detonation transition (ddt) in reactive granular materials // International Journal of Multiphase Flow. 1986. T. 12, № 6, c. 861 -889.

[55] Jayanti S., Valette M. Prediction of dryout and post-dryout heat transfer at high pressures using a one-dimensional three-fluid model // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2004. T. 47, c. 4895—4910.

[56] Herard J.-M. A three-phase flow model // Mathematical and Computer Modelling. 2007. T. 45, № 5, c. 732 -755.

[57] Schoch S., Nikiforakis N. Numerical modelling of underwater detonation of non-ideal condensed-phase explosives // Physics of Fluids. 2015. T. 27, c. 016101.

[58] Кривцов A.M., Кузькин B.A. Получение уравнений состояния идеальных кристаллов простой структуры // Механика твердого тела. 2011. Т. 3, с. 67-82.

[59] Shyue К.-М. A Fluid-Mixture Type Algorithm for Compressible Multicomponent Flow with Mie-Griineisen Equation of State // Journal of Computational Physics. 2001. T. 171, № 2, c. 678 -707.

[60] Shyue К. M., Xiao F. An Eulerian interface sharpening algorithm for compressible two-phase flow: The algebraic THINC approach // Journal of Computational Physics. 2014. T. 268, № 2, c. 326-354.

[61] Wallis G. One-dimensional two-phase flow. McGraw-Hill, 1969.

[62] GueyfAer D. и др. Volume-of-Fluid Interface Tracking with Smoothed Surface Stress Methods for Three-Dimensional Flows // Journal of Computational Physics. 1999. T. 152, № 2, c. 423 -456.

[63] Smith K., Sons F., Chopp D. A projection method for motion of triple junctions by level sets // Interfaces and Free Boundaries. 2002. T. 4, № 3, c. 263-276.

[64] Godunov S. K. A difference method for numerical calculation of discontinuous solutions of the equations of hydrodynamics // Mat. Sb. (N.S.) 1959. T. 47(89), № 3, 271 - 306.

[65] Olsson E., Kreiss G. A conservative level set method for two phase flow // Journal of computational physics. 2005. T. 210, № 1, c. 225—246.

[66] Roe P. Some contributions to the modelling of discontinuous flows // Large-Scale Computations in Fluid Mechanics. 1985, c. 163—193.

[67] Того E. F. Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics. Springer, 2009.

[68] Johnsen E., Colonius T. Implementation of WENO schemes in compressible multicomponent flow problems // Journal of Computational Physics. 2006. T. 219, № 2, c. 715—732.

[69] Saurel R., Petitpas F., Berry R. A. Simple and efficient relaxation methods for interfaces separating compressible fluids, cavitating flows and shocks in multiphase mixtures // Journal of Computational Physics. 2009. T. 228, № 5, c. 1678 —1712.

[70] Roe P. Approximate Riemann solvers, parameter vectors, and difference schemes // Journal of Computational Physics. 1981. T. 43, № 2, c. 357 — 372.

[71] Harten A., Lax P. D., Leer B. van. On Upstream Difference and Godunov-Type Schemes for Hyperbolic Conservation Laws // SI AM Review. 1983. T. 25, c. 35—61.

[72] Einfeldt В., Munz C. D., Roe P. L. On Godunov-type methods near low densities // Journal of Computational Physics. 1991. T. 92, № 2, c. 273^ 295.

[73] Batten P. и др. On the Choice of Wavespeeds for the HLLC Riemann Solver // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1997. T. 18, № 6, 1553-1570.

[74] Friess M. В., Kokh S. Simulation of sharp interface multi-material flows involving an arbitrary number of components through an extended five-equation model // Journal of Computational Physics. 2014. T. 273, № 273, c. 488^519.

[75] Bates K. R., Nikiforakis N., Holder D. Richtmyer-Meshkov instability induced by the interaction of a shock wave with a rectangular block of SF6 //Physics of Fluids. 2007. T. 19, № 3, c. 323.

[76] Данилин А.В., Соловьев А.В. Использование алгоритма «КАБАРЕ» для моделирования турбулентного перемешивания на примере неустойчивости Рихт.мииери Мешкова // Математическое моделирование. 2018. Т. 30, № 8, с. 3-16.

[77] Shen W., Tian В. A Global Arbitrary Lagrangian-Eulerian Method for Stratified Richtmyer-Meshkov Instability // Computers & Fluids. 2014. T. 46, № 1, c. 113—121.

[78] LeVeque R., Li Z. Immersed Interface Methods for Stokes Flow with Elastic Boundaries or Surface Tension // SIAM Journal on Scientific Computing. 1997. T. 18, № 3, c. 709^735.

[79] Miller S. и др. A pressure-based, compressible, two-phase flow finite volume method for underwater explosions // Computers and Fluids. 2013. T. 87. USNCCM Moving Boundaries, c. 132 -143.

[80] Wilkerson S. A. Boundary Integral Technique for Explosion Bubble Collapse Analysis. ARMY RESEARCH LABORATORY, 1993.

[81] Кедринский В.К. Гидродинамика взрыва. Эксперимент и модели. Сибирского отделения РАН, 2000.

[82] Shyue К.-М. A Wave-propagation Based Volume Tracking Method for Compressible Multicomponent Flow in Two Space Dimensions // J. Com/put. Phys. 2006. T. 215, № 1, c. 219-244.

[83] Hirt C. W., Nichols B. D. Volume of fluid /VOF/ method for the dynamics of free boundaries // Journal of Computational Physics. 1981. T. 39, c. 201— 225.

[84] F. Noh W, Woodward P. SLIC (simple line interface method). T. 59. 2007, c. 330-340.

[85] Youngs D. L. Time-dependent multi-material flow with large fluid distortion // Numerical Methods for Fluid Dynamics. 1982.

[86] Ashgriz N., Poo J. Y. FLAIR - Flux line-segment model for advection and interface reconstruction // Journal of Computational Physics. 1991. T. 93, c. 449-468.

[87] Shukla R. K. Nonlinear preconditioning for efficient and accurate interface capturing in simulation of multicomponent compressible flows // Journal of Computational Physics. 2014. T. 276, № 276, c. 508-540.