Математическое моделирование в задачах идентификации теплонагруженных тонкостенных конструкций летательных аппаратов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Хуан Шэн

• Хуан Шэн
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Хуан Шэн

Введение

Глава 1. Аналитический обзор современных подходов к решению задач идентификации теплонагруженных тонкостенных конструкций ЛА

1.1. Влияние температуры на силовую конструкцию ЛА

1.2 Задача идентификации конструкций и ее математическая особенность

1.3. Экстремальные методы для задач идентификации

1.3.1 Градиентные методы

1.3.2 Метод чувствительности

Глава 2. Модели тонкостенных конструкций для задач идентификации

2.1. Математическая модель тонкостенной конструкций Ю.Г. Одино-кова

2.2. Конечно-элементная модель

2.3. Супер-элементная модель

2.3.1 Основные расчетные соотношения суперэлементной модели

2.3.2 Числовые примеры Супер-элементной модели

2.4 Сравнение расчетных результатов моделей

2.5 Выводы

Глава 3. Метод градиентов к решению задач идентификации на основе континуальной модель Однинокова

3.1. Математическая постановка задачи

3.1.1 Общая характеристика подхода

3.1.2 Математическая модель

3.2 Уравнения сопряженного состояния

3.2.1. Формулы для элементов матрицы C'^,

3.2.2. Формулы для элементов матрицы (a^)

3.2.3. Формулы для вычисления производных , —^

^ ^ , ^ За 36 „

3.2.4. Формулы для вычисления производных —

3.2.5. Алгоритм вычисления элементов матрицы (лр)

3.3. Вычисление градиентов целевого функционала

3.3.1. Формулы для элементов матрицы С'а

3.3.2. Формулы для элементов матрицы (лр)

3.3.3. Формулы для вычисления градиента J р

3.3.4. Формулы для вычисления градиента J р

3.4. Алгоритм метода решения задачи

3.5. Вычисленные примеры

3.6 Выводы

Глава 4. Численные методы анализа чувствительности в задачах идентификации конструкций

4.1 Общая характеристика похода анализа чувствительности

4.2 Постановка задачи

4.3 Матрица чувствительности для задачи идентификации

4.3.1 Матрица чувствительности для изгибной колебательной консольной балки

4.3.2 Матрица чувствительности для континуальной модели

Ю.Г. Одинокова

4.3.3 Матрица чувствительности для континуальной Суперэлементной модели

4.4 Расчетные примеры

4.5 Выводы

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование в задачах идентификации теплонагруженных тонкостенных конструкций летательных аппаратов»

Введение

Актуальность темы. Современное состояние авиационно-космических отраслей показывает, что все большее внимание уделяется проблеме создания сверх- и гиперзвуковых летательных аппаратов (ЛА). С ростом нагрева, вследствие высоких скоростей полета, возрастает количество факторов влияния на ЛА в целом и конструкцию. Проблема исследования жесткостных характеристик конструкций ЛА с температурной нагрузкой стала особенно актуальной десятилетия назад. В том числе идентификация параметров упругости и диаграммы деформирования материалов в настоящее время является обязательным элементом и наиболее сложной стадией выполнения ряда прикладных проектов. Эти прочностные свойства материалов элементов реальных тонкостенных конструкций могут отличаться от свойств образцов, из-за идеализирования сложных условий закрепления, нагружения, падения механических характеристик и перераспределения нагрузок от температурной нагрузки.

Решение этой задачи может быть представлено в форме задачи оптимизации, где оптимальное управление соответствует минимуму целевой функции невязки. Проблема оптимального управления в этой задаче осложняется тем, что поиск оптимального решения необходимо выполнять на дискретных множествах параметров, к которым следует отнести физико-геометрические характеристики конструкций. Задача в такой постановке далеко не всегда может быть эффективно решена путем традиционного МКЭ, количество элементов и параметров проектирования слишком велико, что бы обеспечить точность его расчета.

Таким образом, адекватное и оперативное решение этой проблемы создает необходимые условия эффективного практического использования математических методов и эффективной модели конструкции.

Настоящая работа направлена на обоснование расчетной эффективно-

сти для моделирования тонкостенных конструкций в задачах идентификации, обретающих исключительно большое значение для дальнейшего развития техники анализа и обоснования рациональной модели.

Цель работы - анализ и адаптация расчетных моделей, разработка расчетно-экспериментального метода, алгоритмов и программного обеспечения для определения упруго-пластических свойств и оценивания состояния теплонагруженных конструкций.

Задачи исследования.

1. Анализ, разработка и обоснование эффективной и рациональной суперэлементной модели (СЭМ) для моделирования нагретых тонкостенных конструкций с целью идентификации жесткостных характеристик конструкций.

2. Разработка алгоритм идентификации переменных параметров упругости тонкостенных конструкций.

3. Разработка программного обеспечения в специализированных системах компьютерной математики для задач идентификации.

4. Решение практических задач идентификации с исходными данными численного эксперимента, исследование результатов на сходимость и эффективность.

Методы исследования - МКЭ, метод суперэлементов, система дифференциальных уравнений равновесия Ю.Г. Одинокова, математическая теория вариационного исчисления, метод переменных параметров упругости И.А. Биргера для решения физически нелинейных задач, метод наименьших квадратов, градиентный метод в сочетании с методом множителей Лагранжа для минимизации функционала качества, метод интегрирующих матриц для численного решения системы дифференциальных уравнений, метод анализа чувствительности.

Научная новизна.

1. В конечно-элементной формулировке представлены эффективные

модели тонкостенных конструкций, занимающие по своим возможностям

6

промежуточное положение между балочным решением и классическим конечно-элементным, и адаптированные для решения задач идентификации.

2. Применение метода градиентов, создание алгоритмов и программного обеспечения для решения задач идентификации параметров упругости материалов элементов теплонагруженных тонкостенных конструкций.

3. Развитие методов оперативной идентификации механических характеристик тонкостенных конструкций с использованием функции чувствительности с применением суперэлементной и континуальной модели.

Практическая ценность работы и внедрение результатов

1. Разработана СЭМ для модерирования нагретых тонкостенных конструкций, обладающая существенно большей точностью, чем балочная, но менее трудоемкая, чем конечно-элементная. Созданная модель хорошо приспособлена для решения физическо-нелинейных и задач идентификации.

2. Методика, алгоритмы и программное обеспечение может быть использованы для идентификации физика механических параметров тепло-нагруженных конструкций по данным натурного прочностного эксперимента.

3. Возможность учета влияния изменения величин физико-механических параметров материалов агрегатов конструкций при реализации термо-нагружения ЛА в автоматическом решении.

Автор представляет на защиту

1. Параметрическую суперэлементную модель, позволяющую в зависимости от постановки получать решения, начиная от балочного до учета всех форм депланаций сечения и деформаций контура, а также учитывающую физически-нелинейные факторы.

2. Функционал цели, обеспечивающий минимум квадрата невязки осевых деформаций (теоретических и экспериментальных), а также выполнение условия равновесия каждого ребра и прилегающих к нему панелей обшивки.

3. Применение метода градиентов для решения обратной задачи для

теплонагруженных конструкций в экстремальной постановке.

7

4. Применение вспомогательной системы линейных уравнений, сопряженной к исходным нелинейным уравнениям равновесия, упрощающее поиск градиента целевого функционала.

5. Применение алгоритма анализа чувствительности для решения задачи идентификации на основе модели Ю.Г. Одинокова и суперэлементной модели.

Апробация работы. Работа выполнялась на кафедре Прочности конструкции КНИТУ-КАИ. Основные положения исследований докладывались на конференциях и симпозиумах, среди которых:

- Международная конференция «Актуальные проблемы авиационных и аэрокосмических систем: процессы, модели, эксперимент», КНИТУ-КАИ, г. Казань 2013 и 2014 г.;

- Всероссийская научно-техническая конференция «Ракетные двигатели и энергетические установки» г. Казань 2015 г; 2015 г.

- Всероссийская научно-техническая конференция «Авиакосмические технологии, современные материалы и оборудование», Казань, 2016 г. (работа отмечена дипломом 3-й степени).

- Азиатский семинар по авиационному проектированию в образовании (Л1№АБЕ), Нанкин (КНР), 2016.

- XI Международная научная конференция «Аналитическая механика, устойчивость и управление», г. Казань, 14-18 июня 2017 г.

Основное содержание диссертации отражено в следующих публикациях в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Ван Ч., Хуан Ш., Кан Л., Кретов А.С., Влияние нагрева на массу силовых конструкций// «Авиационная техника». 2014 г. № 1, 36-42с.

2. Ван Ч. , Кан Л., Кретов А.С., Хуан Ш., Термопрочностная проектировочная модель тонкостенных конструкций // «Вестник КНИТУ-КАИ». 2015 г. № 1, 96-103с.

3. Хуан Ш., Оценка силовой проектировочной модели ЛА с различны-

ми вариантами учета конусности // «Вестник КНИТУ-КАИ». 2015 г. № 6, 92-101с.

4. Ван Ч., Кан Л., Кретов А.С., Хуан Ш., Прочностная проектировочная модель тонкостенных конструкций // «Авиационная техника». 2016 г. № 1, 116-122с.

5. Костин В.А., Хуан Ш., Валитова Н.Л. Применение дискретно-континуальной модели расчета на прочность для решения задачи идентификации теплонагруженной конструкции. // «Авиационная техника». 2017 г. № 3. 3-7 с.

6. Костин В.А., Хуан Ш., Валитова Н.Л. Численные методы анализа чувствительности в задачах идентификации конструкций// «Вестник КНИ-ТУ-КАИ». 2017 г. № 1, 78-87 с.

7. Хуан Ш., Костин В.А. О выборе расчетной модели для задачи идентификации жесткости // «Вестник КНИТУ-КАИ». 2017 г. № 2.

Структура и объём работы

Диссертация состоит из введения, пяти глав, и выводов по полученным результатам и по всей работе, заключения, списка использованных источников из 144 наименований, в том числе 18 - на иностранном языке, и приложения. Работа содержит 129 страниц машинописного текста, 36 рисунок, 9 таблиц.

ГЛАВА 1. АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОБЗОР СОВРЕМЕННЫХ ПОДХОДОВ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ИДЕНТИФИКАЦИИ ТЕПЛОНАГРУЖЕННЫХ

ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ ЛА 1.1. Влияние температуры на силовую конструкцию ЛА

Полет летательного аппарата - это высокоэнергетический процесс, при котором происходит перераспределение энергии, в частности, кинетическая энергия движущегося тела превращается в тепловую [49]. Аэродинамический нагрев, сопутствующий полету при сверхзвуковых скоростях, вызывает значительное повышение температуры элементов конструкций ЛА. Воздействие температурных полей оказывает наиболее существенное влияние на прочность конструкций.

В первую очередь, механические характеристики материала конструкции при нагревании могут существенно изменяться. Модуль упругости, разрушающее напряжение, предел текучести металла с повышением температуры снижаются с возрастающей интенсивностью температуры. Результатом этого, очевидно, будет соответственное падение несущей способности конструкции, рост общих деформаций и деформаций местных, а следовательно, и пере распределение внутренних усилий и напряжений. [84].

Во вторых, Вследствие неравномерного распределения температуры в конструкции могут возникнуть дополнительные (температурные) напряжения. Дело в том, что сложная конструкция ЛА прогревается неравномерно, даже если удельный тепловой поток вдоль поверхности конструкции постоянен. А при сверхзвуковом полете передняя кромка крыла и головная часть ЛА воспринимают гораздо большие тепловые потоки чем остальные части конструкции. Эти напряжения, суммируясь с напряжениями от внешней могут стать причиной преждевременного разрушения конструкции или потери устойчивости [118].

Нагрев в сочетании с высоким уровнем эксплуатационных напряжений создает благоприятные условия и для развития ползучести материалов. Экспериментальные и теоретические исследования показывают, что за счет пла-

10

стичности и ползучести происходит довольно значительное перераспределение напряжений, появляются остаточные деформации.

Рост термических напряжений и остаточных деформаций во времени оказывают также существенное влияние и на потерю устойчивости и искажения формы элементов конструкции. Наиболее вредно это действие в тех участках панелей, которые нагружены усилием сжатия, так как они могут повести к короблению.

Если условия нестационарного теплообмена таковы, что скорость изменения температуры во времени велика, то при исследовании тепловых напряжений в элементах конструкции следует учитывать динамические эффекты - тепловой удар. Колебание тонкостенных элементов конструкций может быть возбуждено посредством импульсных тепловых воздействий. Конструкция ЛА в реальных условиях эксплуатации подвергается воздействию чаше всего циклически изменяющихся температур и нагрузок, которые могут вызвать тепловую усталость.

История развития исследования температурных деформаций и напряжений на силовые конструкции и термоупругости достаточно полно представлена [14, 49, 56, 78, 86, 89, 90, 91, 92, 127].

Одно из направлений термоупругости было связано с появлением проблемы температурных напряжений в авиаконстуркциях [26, 37, 76, 77, 118, 129, 139].

В работах Манохина Д.Г. [70, 71] проводилось исследование температурных напряжений тонкостенного крыла постоянного сечения. Температурное поле предполагалось переменным в поперечном сечении и в направлении продольных ребер. Как дальнейшее обобщение теории Ю.Г. Одинокова задача температурного нагрева для тонкостенных конструкций решались В.Г. Шатаевым, М.А. и Мартыненко [72, 121].

Гейтвуд [26] излагает все вопросы, возникающие при проектировании:

упругие и не упругие температурные напряжения в различных конструкциях,

совместное действие напряжений от внешних сил и температурных напряже-

11

ний, потеря устойчивости, выпучивание, жесткость, термическая усталость, тепловой удар и флаттер при повышенных температурах. В роботе Торнтон [139] предлагается не только конструктивный анализ нагретых конструкций, но и сопроводительный термический анализ, состоящий из внешнего аэродинамического нагрева и внутренней теплопередачи, и обсуждаются разные особенные проблемы нагретых аэрокосмический конструкций.

В монографии Подстригача Я. С. и Швеца Р.Н. изложены термодинамические основы линейной теории теплопроводности и термоупругости тонких оболочек, некоторые общие теоремы и методы решения статических, квазистатических и динамических задач термоупругости оболочек и пластин при различных способах нагрева. [91]

В работе Замулы Г.Н. и Кретова А.С. рассматриваются вопросы прочности конструкций сверх- и гиперзвуковых ЛА, связанные с определением нестационарных температурных полей с учетом лучистого теплообмена, НДС, термоустойчивости, ползучести и несущей способности. Приводятся материалы уникальных численных и экспериментальных исследований, выполненных преимущественно в этих направлениях. [37]

Беловом В.К. и Беловом В.В. в работе представлены результаты теоретических и экспериментальных исследований прочности и устойчивости корпусных конструкций ракет и крыла самолета при комбинированном воздействии внешних нагрузок, аэродинамического нагрева и охлаждения до криогенных температур. [14]

Тем не менее, влияние на решение задачи идентификации тонкостенных конструкций исследовано еще не достаточно.

1.2. Задача идентификации конструкции и ее математическая особенности

Проблема исследования жесткостных характеристик конструкций ЛА с температурной нагрузкой является особенно значимой при проведении проектирования и прочностных расчетов этих типов ЛА, которое требует знание

диаграмм деформирования используемых в конструкции материалов. Эти

12

диаграммы могут быть получены в результате испытания образцов на простые виды нагрузок. Но прочностные свойства материалов элементов реальных тонкостенных конструкций могут отличаться от свойств образцов, из-за идеализирования сложных условий закрепления, нагружения, падения механической характеристики и перераспределения нагрузки от температурной нагрузки. Кроме того, имеющиеся диаграммы могут быть несколько «идеализированными» (без упрочнения, с линейным упрочнением, неточностей изготовления и др.)

Таким образом, возникает вопрос о разработке методики построения диаграмм деформирования не для образцов, а для реальных теплонагружен-ных тонкостенных конструкций. Указанная задача относится к классу обратных задач, известных как задачи идентификации. Характерной особенностью обратных задач является некорректность исходной постановки, связанная с возможной неоднозначностью и неустойчивостью их решения, что требует разработки специальных математических методов и вычислительных алгоритмов, а также оптимального планирования и регуляризации исходных экспериментальных данных.

Долгое время обратные задачи считались неподдающимися решению вследствие нарушения в них причинно-следственных связей, которые делают эти задачи некорректно поставленными. Только после введения академиком А.Н. Тихоновым понятия условной корректности [111,112], а также работ его коллег В.К. Иванова, М.М. Лаврентьева [66,67] и их учеников, появилась возможность решения таких задач.

Обычно различают идентификацию двух видов [55]: структурную и параметрическую. Структурная идентификация - определение общей внутренней структуры модели, уточнение взаимосвязи между ее отдельными элементами. Параметрическая идентификация - оценка параметров, определяющих заданное поведение объекта при известной структуре модели. Интересующие параметры этой модели могут быть уточнены и описаны с достаточной точностью какой-либо математической моделью.

13

Впервые необходимость в проведении идентификации возникла в теории автоматического управления. В настоящее время методы идентификации широко используются для решения обратных задач из разных областей практической деятельности. А.Н. Тихоновом, В.Д. Кальнером и В.Б. Гласком в их работе [112] изложен подход к решению задач управления технологическими процессами в машиностроении и металлургии. Среди большого количества работ, посвященных методам решения обратных задач теплообмены, следует отметить работы О.М. Алифанова, Е.А. Артюхина, П.Н. Вабищевича [1, 2, 3, 5, 7], Ю.М. Мацевитого, С.Ф. Лушпенко [73, 74]. Задачи определения гидро-проводности исследованы в работах [30, 33, 116]. В работах И.Г. Колкера [53] , Ю.Г. Однокова и А.Ю. Одинокова [85] изложена обратная задача для определения нагрузок ЛА. Задачи идентификации, встречающиеся при расчетах на прочности ЛА исследованы в работах В.Д. Ильичева, В.В. Назорова [40] и Я.М. Пархомовского [87].

Методы идентификации широко применяются для определения жест-костных характеристик элементов конструкций (В.А. Костин, М.Ю. Торопов, А.П. Снегуренко [57, 58, 59, 60], О.К. Казначеевы [42]), для определения условий закрепления элементов конструкций (И.И. Ахатов, А.М. Ахтя-мов[8]), для определения оптимальных технических характеристик машин (В.А. Касьянов, Е.П. Ударцев [44]). Разработке методов идентификации линейно- и нелинейно-упругих и жесткостных характеристик композитных материалов был посвящен ряд работ Р.А. Каюмова и его сотрудников КГАСА (КИСИ) [45, 46, 109, 110]. В работе Г.Б. Клейменова и Ю.О. Бахвалова разработан градиентный метод идентификации жесткостных характеристик стыковых соединений ракетно-космической конструкций. [48]

Численные методы решения коэффициентных обратных задач и их приложения разрабатывали П.Г. Данилаев, М.Т. Абасов, Э.Х. Азимов, Т.М. Ибрагимов, А.Д. Искандеров, М.Х. Хайруллин, Н.М. Цирельман [33, 41, 116, 119] и др. Методы идентификации авиаконструкций развиваются и за рубе-

жом: Дж. Д. Коллинз, К.Й. Ли, С.А. Хоссейн, Дж. Мук, Б. Ь. Кикг^а, Ъ. ^Ъ, Б. Оо§е, [54, 69, 79, 131, 134, 141] и др.

Активное развитие численных методов идентификации в инженерном деле в последнее время, получено благодаря компьютерной технике, которая существенно расширяет класс решаемых задач.

Когда интересующие нас параметры находятся непосредственно в ходе решения системы уравнений, мы можем использовать самый простой алгоритм решения задачи идентификации - «одношаговый» (безитерационный) алгоритм. Тем не менее, такой подход в решении задач идентификации практически неприемлем, из того, что задачи идентификации очень чувствительны к точности задания исходных данных. Возникает неустойчивость решения задач идентификации вследствие плохой обусловленности системы разрешающих уравнений. При этом можно принять, например, алгоритм сингулярного разложения матрицы [36, 52], и метод ,наименьших квадратов [3, 113, 125].

С точки зрения управления системы, указанные задачи можно выделить как два типа: восстановление «входного» сигнала по сигналу на «выходе» при известных параметрах системы, или восстановление характеристики системы по тестовому сигналу на «входе» и измеренному «выходному». Рассмотрим в качестве примера крыло самолета, воспринимающее распределенную аэродинамическую нагрузку. Нагрузка д(х) — «вход», деформации (НДС) конструкции — «выход», и самая система представляет собой силовую конструкцию крыла (рис.1.1).

Для прямой задачи, принимая балочную модель, мы по известной нагрузке д(х) «вход» и конструкции «система» однозначно определим де-

конструкция Рис.1.1

Система

формации «выход». При этом, малому изменению д(х) будет соответствовать малое же изменение НДС.

Рассматривая обратная задача, пусть известные нормальные деформации: б1 = у" ■ у, где у" — кривизна, легко определить величину через момент

с помощью приближенного соотношения у" =, и известной дифференци-

EJ

альной зависимости:

/ ч ^Ы (л) д(л) =-2х (1.1)

dx

Однако погрешности результата нахождения д(х) путем двукратного дифференцирования зависимости М(х), построенной по данным измерений, являются неприемлемыми (Рис.1.2).

Рис. 1.2 Погрешность вычисления производной. М (л) - приближенная функция, Ы ( л ) - точная функция.

Теперь рассмотрим интегральную модель задачи. Связь между входным и выходным сигналами в этом случае осуществляется с помощью интегрального оператора:

Ы (л) = |(5 - л)д (л) dx (1.2)

0

где значение М(х) можно быть однозначно определено через известную функцию д(х). При обратной задаче М(х) известно, а из интегрального уравнения определяется д(х). На практике, функция М(х) не точно задана, а с не-

которой неизбежной погрешностью, характерной для экспериментальных данных. Тогда возмущения исходных данных могут вывести функцию М(х) из множества дифференцируемых и в том случае при любой непрерывной д(х) равенство (1.2) не существует. С другой страны, в прямой задаче (ищем М(х)) погрешности подынтегральной функции с высокочастотными колебаниями при каком угодно большом значении амплитуды и частоты мало повлияют на интеграл.

Таким образом, даже достаточно малым возмущениям исходных данных системы может соответствовать сколь угодно большое искажение искомого решения. Т.е., рассматриваемая обратная задача оказывается неустойчивой по отношению к малому неизбежному возмущению входного сигнала.

С точки зрения математики, рассмотрим общий пример задачи, состоящей в нахождении некоторого решения по исходным данным. Обозначим через 2 и и элементы соответственно из множеств математической природы (векторы, функции и т.п.) 2 и и. Тогда можно записать задачу в виде: 2=Я(и), где Я - некоторый «оператор», характеризующий алгоритм вычисления искомой величины 2 по данной и. В соответствии с понятием Ж. Адамара, задача 2=Я(и) является корректно поставленной, если она удовлетворяет условиям:

а) при любом иЕ и решение задачи существует;

б) решение единственно для каждого иеи;

в) решение устойчиво при малых возмущениях и, т.е. достаточно малым изменениям величины иЕ соответствуют как угодно малые изменения величины 2 [111, 112].

Если задача не удовлетворяет любому из указанных условий, то она называется некорректно поставленной задачей, к которой относятся рассмотренная обратная задача. Математическая особенность обратных задач является возможной некорректностью.

Формулируем обратную задачу в виде операторного уравнения:

Лх = и , 2 е 2, и еи. (1.3)

17

где 2 - метрическое пространство искомых характеристик объекта, и - пространство косвенных характеристик наблюдаемого явления, А - известный оператор. Во первых, погрешности (например, вносимые измерениями) неуправляемы, и вариация элемента и может не принадлежать и. В этом случае уравнение не имеет решений и носит чисто условный характер. Во вторых, оператор А обычно имеет «интегральный» характер, поэтому значения А2 слабо чувствительны к возмущениям величины 2 . Таким образом, даже для разрешимых уравнений, малым возмущениям величины и могут соответствовать большие возмущения 2, при этом полученная характеристика объекта искажается полностью.

Для преодоления некорректности хорошо развиты различные математические алгоритмы регуляризации, позволяющие добиться устойчивого счета и уменьшить чувствительность задачи: методы регуляризации [2, 3, 5], метод квазирешений [21], метод квазиобращения (как разновидность метода регуляризации) [68].

Но на практике применение методов регуляризации оказываются не безграничными. Часто встречается ситуация, когда алгоритм задачи становится устойчивым, а получаемое при этом решение - неприемлемым, так как регуляризация «уводит» решение от априорных оценок, которые можно наложить на искомое решение [60]. С использованием методов регуляризации в рамках определения корректности по А.Н. Тихонову можно получить устойчивое решение, но оно не гарантирует его единственности. 1.3. Экстремальные методы для задач идентификации

Наиболее универсальным вариантом численных методов решения задачи идентификации является рассмотрение ее как задачу экстремальной оптимизации и использование теории оптимизации. То есть на основе, имеющейся в распоряжении расчетчика исходной информации подобрать параметры, характеризующие исследуемую систему таким образом, чтобы составленный определенным образом функционал цели достиг своего минимума (максимума) [3, 12, 13, 113]. Такой подход О.М, Алифанов назвал реше-

18

нием задачи идентификации в экстремальной постановке [6]. При этом необходимо соблюдать определенные условия (ограничения) для уточняемых параметров и для модели. Функционал цели может быть простым (выражается одним критерием) и составным (представляет собой свертку нескольких критериев). Характерной особенностью при составлении функционала цели, по обыкновению, является использование принципов метода наименьших квадратов и минимума взвешенного среднеквадратического значения [3, 113, 125].

Методы оптимизации или экстремальные методы отличаются методами численного моделирования, процедурами поиска минимума функционала невязки, видом этого функционала и формой представления искомых величин. Каждый из перечисленных элементов влияет на эффективность и точность решения обратной задачи. Наиболее приемлемыми являются процедуры минимизации, в которых учитываются и анализируются формы функционала невязки. Направление поиска в этих процедурах выбирается либо путем анализа пройденной траектории спуска к минимуму (поисковые методы), либо в результате вычисления производных целевого функционала (градиентные методы).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Хуан Шэн, 2017 год

Список литературы

1. Алифанов О.М. Идентификация процессов теплообмена летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1979. 216 с.

2. Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена. М.: Машиностроение, 1988. 280 с.

3. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1988. 288 с.

4. Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена. М.: Машиностроение, 1988. 280 с.

5. Алифанов О.М., Вабищевич П.Н., Михайлов В.В., Ненарокомов А.В., Полежаев Ю.В., Резник С.В. Основы идентификации и проектирования тепловых процессов и систем. Учебное пособие. М.: Логос, 2001. 400 с.

6. Ануфриев И. Е. Самоучитель MatLab 5.3/6.х. СПб.: БХВ-Петербург, 2004. 736 с.

7. Артюхин Е.А., Ненароков А.В. Численное решение коэффициентных обратных задач теплопроводности и оптимизации температурных измерений // Инж.-физ. журн., 1988. 55, № 2. С. 292-299.

8. Ахатов И.И., Ахтямов А.М. Определение вида закрепления стержня по собственным частотам его изгибных колебаний // Прикл. мат. и мех., 2001, Т. 65, вып.2, С. 290-298.

9. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. - М.: Стройиздат, 1982. - 448 с.

10.Белов В.К., Белов, В.В. Прочность и устойчивость ракетных и авиационных конструкций при термосиловом нагружении : монография. - Новосибирск: изд-во НГТУ, 2011. - 491 с.

11.Боде Г, Теория цепей и проектирование усилителей с обратной связью. Издательство иностр. лит., 1948- - 112 с.

12.Богомолов А.И., Сиразетдинов Т.К. К решению основной задачи управления динамическими объектами. // Проблемы аналитической механики, теории устойчивости и управления. М.: Наука. 1975. С. 62-66.

13.Богомолов А.И., Сиразетдинов Т.К. Решение основной задачи управления методом градиентного спуска //Авиационная техника. 1974. № 1. С. 5-12. (Изв. высш. учеб. заведений).

14.Боли Б., Уэйнер Дж. Теория температурных напряжений. -М.: Мир,1964.

15.Бурман З.И., Лукашенко В.И., Тиофеев М.Т. Расчет тонкостенных подкрепленных оболочек методом конечных элементов и применение ЭЦВМ. - Казань: КГУ, 1973 , - 569 с.

16.Бурман З.И., Аксенов О.М. Суперэлемнтный метод расчета фюзеляжа вертолета. ИВУЗ, «Авиационная техника», № 2, 1977, с. 9-14.

17.Бурман З.И. Суперэлементный расчет подкрепленных оболочек / З.И. Бурамн, О.М. Аксенов, В.И. Лукашенко, М.Т. Тимофеев. - М.: Машиностроение, 1982, - 256 с.

18.Быховский М.Л. Основы динамической точности электрических цепей. Издательство АН СССР, 1958. - 213 с.

19.Быховский М.Л. Чувствительность и динамическая точность систем управления // Известия АН СССР / Техническая кибернетика. - 1964. -№б.-С. 38-43.

20.Быховский М.М. Чувствительность динамических систем // Теория и методы математического моделирования: Труды 4 Всесоюзной конференции. Издательство «Наука», 1966. С. 56 - 58,

21.Вабищевич П.Н., Денисенко А.Ю. Численные методы решения коэффициентных обратных задач. В кн.: «Методы математического моделирования и вычислительной диагностики». М.: МАИ, 1990. С. 35-58.

22.Варвак П.М. Метод конечных элементов. - Киев: Изд. Вища Школа, 1981, - 176 с.

23.Валитова Н.Л. Решение обратных задач прочности тонкостенных конструкций градиентным методом с привлечением сопряженных систем уравнений. диссер. - Казань: КГТУ-КАИ. 2009, 153 с.

24.Вахитов М.Б., Интегрирующие матрицы - аппарат численного решения дифференциальных уравнений строительной механики // Известия вузов. Авиационная техника, - 1966. № 3. С. 50-61.

25.Галлагер Р. Метод конечных элементов основы. - М.: Мир, 1984, -428 с.

26.Гейтвуд Б. Е. Температурные напряжения применительно к самолетам, снарядам, турбинам и ядерным реакторам, под ред. М.Ф. Ди-ментберга, В.К. Житомирского, Ю.Ф. Красонтовича - М.: изд. иностранной литературы, 1959, -349 с.

27. Голованов А.И., Корнишин М.С. Введение в метод конечных элементов статики тонких оболочек. - Казань: Казанский филиал АН СССР, 1989, - 271 с.

28. Голованов А. И., Песошин А.В., Тюленева О. Н. Современные конечно-элементные модели и методы исследования тонкостенных конструкций. - Казань: Казанский государственный ун-т, 2005. - 442 с.

29. Голованов А. П., Тюленева О.Н., Шигабутдинов А. Ф. Метод конечных элементов в статике и динамике тонкостенных конструкций. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 392 с.

30.Голубев Г.В., Данилаев П.Г., Тумашев Г.Г. Определение гидропро-водности неоднородных нефтяных пластов нелокальными методами. Казань: КГУ, 1978. 168 с.

31.Гришанина Т.В., Тютюнников Н.П., Шклярчук Ф.Н. Метод отсеков в расчётах колебаний конструкций летательных аппаратов. - М. : МАИ, 2010. - 180 с.

32.Гурьев Н.И., Поздышев В.Л., Старокадомская З.М. Матричные методы расчета на прочность крыльев малого удлинения. - М.: Машиностроение, 1972, - 260 с.

33.Данилаев П.Г. Коэффициентные обратные задачи для уравнений параболического типа и их приложения. Казань: УНИПРЕСС, 1998. 127 с.

34.Димаки А. В., Светлаков А.А. Регуляризация решения задачи идентификации при использовании алгоритма чувствительности // Известия Томского политехнического университета. 2009. Т. 314. № 5, 27-31

35.Ефименко С.В. Метод конечных отсеков для определения деформаций крыльев малого удлинения. / Труды ЦАГИ, вы. 1284, 1970, 15.

36.Жданов А.И. Введение в вычислительную линейную алгебру, Самара: СГАУ, 2011, 71 с.

37.3амула Г.Н. Прочность высокотемпературных конструкций летательных аппаратов / Г.Н. Замула, А.С. Кретов. - Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2004. -468 с.

38.Иванов Ю.И. Расчет подкрепленных тонкостенных конструкций методом конченого элемента. Ученые записки ЦАГИ, т.3, № 1, 1972, с.51-60.

39.Иванов Ю.И. Метод совместного расчета подконструкций. Ученые записки ЦАГИ, т.7, № 1, 1976, с. 65-76.

40. Ильичев В. Д., Назаров В. В. Результаты прецизионных частотных испытаний как исходные данные при различных исследованиях прочности летательных аппаратов //Труды ЦАГИ. - 1974. - Вып. 1562. - 43 с.

41.Искандеров А.Д. Обратные краевые задачи для определения параметров фильтрующихся сред //Известия АН АзССР. 1971. №2. С.30.

42.Казначеевы О.К. Идентификация параметров упругости и жесткости конструкций и армированных материалов, Новокузнецк: Кемеровский государственный университет - Новокузнецкий институт (филиал)., дис., 143 с.

43.Капорин И. Е., Использование внутренних итераций метода сопряженных градиентов при решении больших разреженных нелинейных задач оптимизации, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2003, том 43, номер 6, 802-807 с.

44.Касьянов В.А., Ударцев Е.П. Определение характеристик воздушных судов методами идентификации. М.: Машиностроение, 1988. 176 с.

45.Каюмов Р.А., Нежданов Р.О., Тазюков Б.Ф. Определение характеристик волокнистых композитных материалов методами идентификации. Казань: Изд-во КГУ, 2005. 258 с.

46.Каюмов Р.А., Страхов Д.Е., Шакирзянов Ф.Р., Гимранов Л.Р., Ман-гушева А.Р. Идентификация жесткостных характеристик композита// Вестник Казанского технологического университета, 2016, № 24, 109-112 с.

47.Кирильчик А. В. Алгоритм идентификации динамических объектов на основе оценок функции чувствительности // Молодежь и наука: сборник материалов IX Всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых с международным участием, посвященной 385-летию со дня основания г. Красноярска -Красноярск: Сиб. федер. ун-т.,2013. 5 с.

48.Клейменова Г.Б. и Бахвалова Ю.О. Методика идентификации жест-костных характеристик стыковых соединений изделий ракетно-космической техники // Научные труды (вестник МАТИ), 2009. № 16(88). С. 65-72.

49.Коваленко А.Д. Основы термоупругости, А.Д. Коваленко - Киев: Наукова думка изд., 1970, - 308 с.

50.Кокотович П.В., Рутман Р.С, Чувствительность систем автоматического управления // Автоматика и телемеханика, - 1965. - Т. 26. - № 4. - С. 85 -87.

51.Кокотович П.В. Метод точек чувствительности в исследовании и оптимизации линейных систем управления // Автоматика и телемеханика. -1964.-Т.25.-№ 12.-С. 79-83.

52.Колесников Е.В., Абгарян К.К. SVD - разложение и его практические приложения, М.: МАИ, 2015, 59 с.

53.Колкер И.Г. Метод интегральной оценки внешних нагрузок, действующих на летательные аппараты в эксплуатационных условиях // Прочность, устойчивость и колебания тонкостенных и монолитных авиационных конструкций. Межвуз. сб. Казань: КАИ, 1978 С. 34-37.

54.Коллинз Дж.Д., Харт Дж.К., Хассельман Т.К., Кеннеди Б. Статистический метод идентификации конструкций //Ракетная техника и космонавтика. 1974. №2. С.74 - 81.

55. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981. 544 с.

56.Колчин Г.Б. , Плят Ш.Н., Шейнкер Н.Я. Некоторые задачи термоупругости для прямоугольных областей. - Кишинев: Штиинца, 1980, -106 с.

57.Костин В.А., Снегуренко А.П, К вопросу уточнения внешней нагрузки по заданным деформациям //Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. -1999. - №4. - С. 3 - 8.

58.Костин В.А., Снегуренко А.П. О построении диаграмм деформирования элементов авиационных конструкций по данным натурного эксперимента //Актуальные проблемы авиационных и аэрокосмиче-

ских систем. - Казань: КГТУ им. А.Н. Туполева, 2000.-№1(9).-С. 6671.

59.Костин В.А., Снегуренко А.П. Идентификация поля цилиндрических жесткостей изотропных и ортотропных пластин //Вестник КГТУ им. А.Н.Туполева. - 2001. -№ 2 . - С. 3 - 9 .

60.Костин В.А., Торопов М.Ю., Снегуренко А.П. Обратные задачи прочности летательных аппаратов. Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2002. 284 с.

61.Костин В.А. Решение обратных задач прочности тонкостенных конструкций градиентным методом с привлечением сопряженных систем. // Авиационная техника. г.2002. № 3 С. 6-9.

62.Костин В.А., Валитова Н.Л. Теория и практика прочностной отработки конструкций летательных аппаратов. Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2014, 140 с.

63.Кретов А.С. Применение дискретно-континуальной модели расчета на прочность для проектирования тонкостенных авиаконструкций минимального веса // Прочность, устойчивость и колебания тонкостенных и монолитньгх авиаконструкций, КАИ. Казань, 1981. С.33 -36.

64. Левашов П.Д., Вахитов М.Б. Применение гибридных схем к расчету тонкостенных конструкций методом перемещений // Изв. вузов, Авиац. техника, 1980, № 2. - С.30-34.

65. Левашов П.Д. Расчет тонкостенных конструкций на основе гибридной схемы методом сил // Прочность и колебания авиационных конструкций, Казань, 1984.-С.21-28.

66.Лаврентьев М.М. Некорректные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: НГУ, 1981. 74 с.

67. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. 286 с.

68.Латтес Р., Лионс Ж.Л. Метод квазиобращения и его приложения. М.: Мир, 1970. 336 с.

69. Ли К.Й., Хоссейн С.А. Непрерывный метод идентификации гибких конструкций //Аэрокосмическая техника. 1988. №8. С.66 - 76.

70.Манохин Д.Г. Температурные напряжения в тонкостенных конструкциях. Труды КАИ, в. 13, - 1958.

71. Манохин Д.Г. Приближенное определение температурных напряжений в тонкостенных конструкциях. ИВУЗ, Авиационная техника. № 3, - 1960.

72.Мартыненко М.А. К расчету неравномерно нагретого тонкостенного крыла. Труды КАИ, вып. 181. -1974, 9-13.

73.Мацевитый Ю.М. Обратные задачи теплопроводности. В 2-х т. Т. 1. Методология. Киев: Наукова думка, 2002. 408 с.

74.Мацевитый Ю.М., Лушпенко С.Ф. Идентификация теплофизических свойств твердых тел. Киев: Наукова думка, 1990. 213 с.

75.Мартыненко М.А. Расчет неравномерно нагретого крыла с учетом пластических деформаций и ползучести на основе пластинной аналогии. Диссертация на соиск.уч. степени канд.техн.наук. Казань. КАИ. 1975. 206 с.

76. Марченко В.М. Температурные поля напряжения в конструкции летательных аппаратов, В.М. Марченко - М.: Машиностроение, 1965, -299 с.

77.Меркурьев В.И. Температурные напряжения в цилиндрической оболочке с произвольным конутром поперечного сечения. / Труды ЦА-ГИ, вып. 1310, -1971, 27 с.

78.Меркурьев В.И. Температурные напряжения в цилиндрической оболочке с произвольным конутром поперечного сечения. / Труды ЦА-ГИ, вып. 1310, -1971, 27 с.

79. Мук Дж. Оценка и идентификация нелинейных динамических систем //Аэрокосмическая техника. 1990. №2. С.44 - 53.

80.Норри Д., Фриз де Ж. Введение в метод конечных элементов. - М.: Изд. Мир, 1981, - 152 с.

81.Образцов И.Ф., Савельев Л.М., Хазанов Х.С. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов. -М.: Выш. Шк., 1985. - 392 с.

82.Одиноков Ю.Г. Расчет тонкостенных конструкций типа крыла, фюзеляжа и оперения самолетов. Тр. КАИ, вып. 18, 1946, с. 39-105

83.Одиноков Ю.Г. Напряжения и деформации в тонкостенных конструкциях переменного сечения. - Тр. КАИ, вып. 20, 1948, с. 3 - 15.

84.Одиноков Ю.Г. Расчет самолета на прочности. - М.: Изд-во «Машиностроение», 1973. -392 с.

85. Одиноков Ю.Г., Одиноков А. Ю. К определению нагрузок на тонко-

стенную конструкцию по параметрам ее напряженно-деформированного состояния //Авиационная техника (Изв. высш. учеб. заведений). - 1984. - №4. - С.53 - 58.

86.Паркус Г. Неустановившиеся температурные напряжения. - М.: Изд ФМ, 1936, - 253 с.

87.Пархомовский Я. М. О двух задачах идентификации, встречающихся при расчетах на прочность //Труды ЦАГИ. - 1979. - Вып. 1999. - 16 с.

88. Петров Б.Н., Крутько ПД. Применение теории чувствительности в

задачах автоматического управления // Изв. АН СССР, Техническая кибернетика. -1970. - №2. - С. 134 -140.

89.Подстригач Я.С., Коляно Ю.М. Обобщенная термомеханика. - Киев: Наукова думка, - 1976, 311 с.

90.Подстригач Я.С. и других. Термоупругость тел при переменных коэффициентах теплоотдачи. - Киев: Наукова думка, - 1977, 160 с.

91.Подстригач Я.С., Швец Р.Н. Термоупругость тонких оболочек. - К.: Наукова Дума, 1978. - 343 с.

92.Подстригач Я.С.. Оптимизация нагрева оболочек и пластин / Э. И. Григолюк, Я. С. Подстригач, С. И. Бурак ; Институт прикладных проблем механики и математики АН УССР (Киев). - Киев : Наук. думка, 1979. - 264 с.

93.Постнов В.А., Дмитриев С.А., Елтышев Б.К., Родионов А.А. Метод суперэлементов в расчетах инженерных сооружений. - Л.: Судостроение, 1979.-287с.

94.Прижеменцкий Е.С. Матричный метод исследования конструкций на основе анализа подструктур // Ракетная техника и космонавтика, 1963, том 1,№1.-с.165-174.

95. Пронин А.С. модифицированный алгоритм чувствительности в

идентификации динамических моделей: синтез, программная реализация и применения. - Томск: диссер. - 2006, 172 с.

96.Рикардс Р.Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин. - Рига: Зинатне, 1988, - 284 с.

97.Розенвассер Е.Н. Об исследовании чувствительности неавтономных колебательных систем по отношению к частоте возбуждения // Автоматика и телемеханика. -1980- - № 00. - С. 100 -102.

98. Розенберг Г. С. О применении градиентного метода для оптимиза-

ции динамических систем, описываемых стохастическими дифференциальными уравнениями, Автомат. и телемех., 1971, выпуск 6, 47-54.

99. Рубан А. И. Чувствительность дискретных линейных моделей, Ав-

томат. и телемех., 1991, выпуск 9, 159-168.

100. Рубан А. И., Чувствительность непрерывных линейных моделей, Автомат. и телемех., 1992, выпуск 9, 93-101.

101. Рубан А. И., Чувствительность многомерных дискретных линейных систем с интегральными суммами и чистыми запаздываниями, Автомат. и телемех., 1996, выпуск 5, 38-48.

102. Рубан А. И. Коэффициенты чувствительности разрывных динамических систем с запаздыванием, Пробл. управл., 2011, выпуск 4, 53-59.

103. Рубан А. И. Функционалы чувствительности в задаче Больца для многомерных динамических систем, описываемых интегродиффе-ренциальными уравнениями с запаздыванием, Пробл. управл., 2013, выпуск 2, 2-8.

104. Рубан А. И. Адаптивные системы управления с идентификацией. -Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2015. - 140 с.

105. Сахаров А. С, Киричевский В. В., Кислоокий В. Н. и др. Метод конечных элементов в механике твердых тел. - Киев: Вища школа, 1982.-480 с.

106. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. - М.: Мир, 1979, - 392 с.

107. Спиди К, Браун Р., Гудвын Дж. Теория управления. - М.: Мир, 1973. -201с.

108. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. - М.: Мир, 1977, - 351 с.

109. Терегулов И.Г., Бутенко Ю.И., Каюмов Р.А. Определение жест-костных характеристик нелинейно-упругих композитных материалов // Ракетно-космич. техника. Серия VIII. Материаловедение. Мех. композ. мат. НПО «Композит», 1993. вып. 2. С. 17-28.

110. Терегулов И.Г., Бутенко Ю.И., Каюмов Р.А., Сафиуллин Д.Х., Алексеев К.П. К определению механических характеристик нелинейно-упругих композитных материалов // Журнал ПМТФ. 1996. Т. 37. № 6. С. 170-180.

111. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 285 с.

112. Тихонов А.Н., Кальнер В.Д., Гласко В.Б. Математическое моделирование технологических процессов и метод обратных задач в машиностроении. М.: Машиностроение, 1990. 264 с.

113. Торопов М.Ю., Костин В.А. Об уточнении жесткостных характеристик конструкций по результатам прочностного эксперимента // Актуальные проблемы авиационных и аэрокосмических систем. Казань: КГТУ им. А.Н. Туполева. 1999. №1(7). С. 71-76.

114. Тютюнников Н.П. Разработка методики решения задач статики и динамики составных тонкостенных аэрокосмических конструкций, дис. - М.: МАИ. 2005, - 296 с.

115. Фаддеев Д.К., Фаддеева В Н Вычислительные методы линейной алгебры. - М. - Л.: ГФ-МЛ, 1963- - 754 с.

116. Хайруллин М.Х. О регуляризации обратной коэффициентной задачи нестационарной фильтрации // Докл. АН СССР. 1988. Т. 299. № 5. С 1108-1111.

117. Хог Э., Чой К., Комков В. Анализ чувствительности при проектировании конструкций: Пер. с англ. -М.: Мир, 1988. - 428 с.

118. Хофф Дж. Н. Влияние высоких температур на авиационные конструкции: Сб. ст. под ред. И.М. Грязнова и С.А. Шестерикова.- М.: научно-тех-изд, 1961, - 416 с.

119. Цирельман Н. М. О корректности аналитического решения обратной задачи теплопроводности. Обратные задачи и идентификация процессов теплообмена: Тез. докл. V Всесоюзного семинара. Уфа: УАИ, 1984. С.83.

120. Черноруцкий И. Г., Градиентные методы оптимизации больших систем, Научно-технические ведомости СПбГПУ. Информатика. Телекоммуникации. Управление, 2014, выпуск 4(200), 47-56 а

121. Шатаев В.Г., Вариационный метод расчета неравномерно нагретых тонкостенных балок с деформируемым контуром поперечного сечения. Труы КАИ, вы 181, - 1975, 51-56 с.

122. Шатаев В.Г. Расчет многоконтурных тонкостенных конструкций методом отсеков. Изв. вузов, Авиационная техника, 1976, № 2. - с. 117-123.

123. Широканев А.С., Кирш Д.В., Куприянов А.В. Применение градиентного метода наискорейшего спуска для решения задачи параметрической идентификации кристаллических решёток // Материалы Международной конференции и молодёжной школы «Информационные технологии и нанотехнологии», с. 319-325.

124. Широканев А.С. Векторный алгоритм параметрической идентификации кристаллических решеток на основе градиентного метода с постоянным шагом // Труды Международной научно-технической конференции "Перспективные информационные технологии (ПИТ 2017)" / под ред. С.А. Прохорова - Самара: Издательство Самарского научного центра РАН, 2017. - С. 492-496.]

125. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. М.: Мир, 1975. 678 с.

126. Юсупов P.M., Захарин Ф.М. Методы теории чувствительности в задачах идентификации динамических систем // Теория и применение адаптивных систем,-1971. С, 145-158,

127. David W. Nicholson Finite Element Analysis. / Thermomechanics of Solids. - Florida: -2002, 271 p.

128. Ed. Ashwell D.G., Gallagher R. H. Finite element for thin shells and curved members. - London, 1976. - 262 p.

129. Fan X.J. Thermal Structures Analysis and Applications of Highspeed Vehicles, X.J. Fan. - Beijing, National Defense Industry Press, 2008, 304 c.

130. Gallagher, R.H. Techniques for Testing Thermally Affected Complex Structures/ R.H.Gallagher, J.F.Quinn, D.Turrentine. Experimental Mechanics. August.1961. p.41-49.

131. Goge, D., "Fast Identification and Characterization of Nonlinearities in Experimental Modal Analysis of Large Aircraft," Journal of Aircraft, Vol. 44, No. 2, 2007, pp. 399-409.

132. Griesse R., Thesis C.H. Stability and Sensitivity Analysis in Optimal Control of Partial Differential Equations. Faculty of Natural Sciences, KarlFranzens University Graz. - 2007, 199 p.

133. Gustavsson I. Survey of application of identification in chemical and physical processes II Identification and System Parameter Estimation: Proceedings of the 3-rd IFAC Symposium, 12-15 June 1973, - The Hague/Delft, The Netherlands, 1973.-p.H,-P. 37-40.

134. Kukreja, S. L., and Brenner, M. J., "Nonlinear Aeroelastic System Identification with Application to Experimental Data," Journal of Guidance, Control, and Dynamics, Vol. 29, No. 2, 2006, pp. 374-381.

135. Choi K.K., Kim N.H. Structural Sensitivity Analysis and Optimization 1 / Linear Systems. Srpinger: 2005, 457 p.

136. Choi K.K., Kim N.H. Structural Sensitivity Analysis and Optimization 1 / Nonlinear Systems and applications. Srpinger: 2005, 336 p.

137. Hetnarksi R.B. Thermal Stresses. / Mechanics and Mathematical Methods. - Amsterdam: Elsevier, -1996, 557 p.

138. Rosenwasser E., Yusupov R. Sensitivity of Automatic control systems. CRC Press. - 2000, 435 p.

139. Thornton E.A. Thermal Structures for Aerospace Applications, E.A. Thornton -Virginia, AIAA, 1996, 479 c.

140. Tomovic R. Sensitivity analysis of dynamic systems. -Belgrade, 1963.314 p.

141. Wu Z., Ning Yang, Chao Yang Identification of Nonlinear Structures by the Conditioned Reverse Path Method// Journal of Aircraft, Vol.52 №2, 2015, pp. 373-356.

142. Yang R.J., Botkin M.E. Accuracy of the domain material derivative approach to shape design sensitivities // AIAA. - 1987, - № 25. - P. 1606 -1610.

143. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. The Finite Element Method. The basis. -Oxford: Butterworth-Heinemann, 2000, - 708 p.

144. Zienkiewicz O.C. The Finite Element Method. Solid Mechanics. - Oxford: Butterworth-Heinemann, 2000, - 479 p.