Математическое моделирование взаимосвязи циркуляции напряженности электрического поля и электродвижущей силы индукции в измерительном контуре тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Федорова, Ольга Сергеевна

• Федорова, Ольга Сергеевна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Федорова, Ольга Сергеевна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ОБЗОР МЕТОДОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ ИЗМЕРЕНИЯ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ.

ГЛАВА II. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВЗАИМОСВЯЗИ

ИСТИННОГО И НАВЕДЕННОГО В ИЗМЕРИТЕЛЬНОМ

ПРОВОДЕ ПЛОСКИХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ.

§1. Аналитическое решение задачи о взаимосвязи истинного и наведенного в измерительном проводе плоских электрических полей.

§ 2. Применение метода интегральных уравнений к решению задачи о взаимосвязи истинного и наведенного в измерительном проводе плоских электрических полей.

§3. Результаты численного эксперимента.

Выводы по главе.

ГЛАВА III. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВЗАИМОСВЯЗИ

ЦИРКУЛЯЦИИ НАПРЯЖЕННОСТИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ И ЭЛЕКТРОДВИЖУЩЕЙ СИЛЫ ИНДУКЦИИ ПРИ ИЗМЕРЕНИИ ОСЕСИММЕТРИЧЕСКОГО

ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ.

§ 1. Применение метода интегральных уравнений к решению задачи о взаимосвязи циркуляции напряженности электрического поля и электродвижущей силы индукции при измерении осесимметрического электрического поля.

§ 2. Результаты численного эксперимента.

Выводы по главе.

ГЛАВА IV. ВЗАИМОСВЯЗЬ ЦИРКУЛЯЦИИ НАПРЯЖЕННОСТИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ И ЭЛЕКТРОДВИЖУЩЕЙ СИЛЫ ИНДУКЦИИ ПРИ ИЗМЕРЕНИИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО

ПОЛЯ.

§ 1. Нахождение циркуляции напряженности электрического поля по известной ЭДС индукции.

§ 2. Восстановление ЭДС индукции по заданной циркуляции напряженности электрического поля.

§ 3. Примеры, иллюстрирующие взаимосвязь циркуляции напряженности электрического поля и ЭДС индукции.

Выводы по главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование взаимосвязи циркуляции напряженности электрического поля и электродвижущей силы индукции в измерительном контуре»

Актуальность темы. Неотъемлемой составной частью любого измерительного прибора или системы являются датчики. Датчик (измерительный преобразователь) - это средство измерения, преобразующее измеряемую физическую величину (перемещение, давление, температуру, электрическое напряжение и т.д.) в сигнал (обычно электрический) для передачи, обработки или регистрации. Таким образом, датчик выполняет функцию первичного элемента, который воспринимает информацию от исследуемого объекта и преобразует ее для передачи в измерительное устройство [3,20,39,47,64].

Тот факт, что присутствие датчика может оказывать существенное влияние на измеряемую величину, в литературе подтверждается многими авторами. Например, об этом в своих работах пишут М. А. Земельман, Н. П. Миф [34], Ж. Аш [3], А. Г. Мошков, Л. Г. Гросс [43], С. А. Чугунов, В. М. Юркевич, Б. Л. Кондратьев [67, 68, 71], С. В. Бирюков [9,10] и др.

Для измерения циркуляции напряженности электрического поля используются индукционные датчики, в состав которых обязательно входит приемная рамка или петля. Каждый виток этой петли представляет собой провод (чаще всего медный), в котором наводится электродвижущая сила (ЭДС) индукции. При этом ЭДС индукции принято отождествлять с циркуляцией напряженности электрического поля по контуру петли. Такое представление, бесспорно, верно на очень низких частотах возбуждаемого электромагнитного поля, когда толщина скин-слоя значительно превышает толщину измерительного провода. В этом случае электрическое поле практически без искажений проникает в провод и наводит в нем электрический ток, по величине которого определяют циркуляцию напряженности электрического поля.

Очевидно, что внесенный в среду провод изменяет распределение электропроводности среды и, следовательно, возмущает исходное электромагнитное поле, причем, если это возмущение несущественно на достаточно низких частотах (или поздних стадиях переходного процесса), но, благодаря скин-эффекту, может быть очень значительным на высоких частотах (ранних временах неустановившегося процесса). В работе П. О. Барсукова, Э.Б. Файнберга, Е.О. Хабенского [4] экспериментально доказано, что при измерении переходных процессов величина ЭДС индукции зависит от электропроводности измерительного провода и дано качественное объяснение этого эффекта на основе теории двухпроводной линии.

Таким образом, является актуальной проблема исследования взаимосвязи циркуляции напряженности электрического поля и ЭДС индукции, поскольку ее решение позволит найти количественную оценку искажений, вносимых приемным контуром при измерении электромагнитного поля.

Индукционные датчики являются составной частью большого числа измерительных приборов, применяемых в различных областях: в методах индуктивной электроразведки для поисков и разведки месторождений полезных ископаемых [33, 52, 73], в инженерной геофизике [46], в дефектоскопии, в частности, для контроля за состоянием трубопроводных систем, при археологических исследованиях, при проведении строительных работ и т.д. Поэтому изучение данного вопроса имеет большое практическое значение, так как позволит разработать прецизионную измерительную аппаратуру, а также уточнить результаты измерений и правильно их интерпретировать.

Целью диссертационной работы является разработка математической модели взаимосвязи циркуляции напряженности электрического поля и ЭДС индукции, основанной на асимптотических решениях интегральных уравнений, для количественной оценки искажений, вносимых измерительным контуром при регистрации электромагнитного поля.

Для достижения поставленной цели были решены следующие основные задачи:

1. Разработка математической модели взаимосвязи истинного (поле в отсутствие измерительного провода) и наведенного в измерительном проводе плоских электрических полей.

2. Разработка математической модели взаимосвязи циркуляции напряженности электрического поля и ЭДС индукции для осесимметрического электрического поля.

3. Проведение численного эксперимента по оценке искажений, вносимых приемным контуром при измерении плоского и осесимметрического электрических полей.

4. Оценка величины искажений, вносимых измерительным проводом, в зависимости от размеров провода, его электропроводности, электропроводности окружающей провод среды и частоты электромагнитного поля.

Методы исследований для решения перечисленных задач базируются на теории уравнений математической физики, теории обобщенных функций и теории интегральных уравнений.

Достоверность и обоснованность полученных результатов определяется:

1. Корректностью и строгостью применяемых математических методов, предварительной оценкой допускаемых приближений и их физическим обоснованием.

2. Сравнением результатов, полученных разными методами, решения поставленных задач.

3. Соответствием основных результатов и выводов общефизическим представлениям о характере процессов, протекающих при измерении электромагнитного поля.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. На основе аналитического решения задачи о возбуждении гармонического электромагнитного поля в проводящем круговом цилиндре получена асимптотическая формула, устанавливающая линейную связь истинного и наведенного плоских электрических полей. Сравнение результатов расчета, полученных по асимптотической и точной аналитической формулам, показало, что асимптотическая формула обеспечивает достаточно высокую для практики точность в широком интервале частот.

2. С помощью асимптотического решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода разработана математическая модель взаимосвязи истинного и наведенного электрических полей при измерении плоского электрического поля. Решение этой задачи совпадает с асимптотической формулой, полученной на основе аналитического решения.

3. Проведены расчеты отношения истинного и наведенного в измерительном проводе плоских электрических полей в зависимости от толщины измерительного провода, его электропроводности и частоты измеряемого поля. Показано, что с увеличением этих параметров возрастает отличие истинной и наведенной напряженностей электрического поля, однако это отличие уменьшается при уменьшении контраста электропроводности провода и вмещающей его среды.

4. На основе асимптотического решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода проведено математическое моделирование взаимосвязи циркуляции напряженности осесимметрического электрического поля и ЭДС индукции, наведенной тороидальным измерительным проводом. Для этого найдено представление скалярной функции Грина в виде определенного интеграла, отличающееся от ранее известного выражения этой функции, введена специальная ортогональная система координат, наиболее приспособленная для решения данной задачи.

5. Получена асимптотическая формула, линейно связывающая истинную и наведенную в тороидальной петле азимутальные компоненты напряженности осесимметрического электрического поля. Коэффициент пропорциональности между истинной и наведенной напряженностями электрического поля зависит от толщины, электропроводности и радиуса тороидального измерительного провода, а также от частоты измеряемого поля, но при сделанных допущениях не зависит от электропроводности исходной среды. Проведенные по этой формуле расчеты показали, что так же, как и в случае измерения плоского электрического поля, с увеличением электропроводности, толщины измерительного провода и частоты измеряемого поля возрастает отличие истинной и наведенной напряженностей электрического поля. Это отличие возрастает также с увеличением радиуса измерительной петли.

6. Разработана математическая модель взаимосвязи циркуляции напряженности электрического поля и ЭДС индукции при измерении неустановившегося осесимметрического электрического поля круговой петлей. Получены соотношения, позволяющие рассчитать циркуляцию напряженности электрического поля по измеренной ЭДС индукции и, наоборот, восстановить ЭДС индукции по заданной циркуляции напряженности электрического поля.

7. На примере переходного процесса вертикального магнитного диполя в однородном пространстве построены кривые зависимости истинного и наведенного в круговой измерительной петле электрических полей от времени переходного процесса, а также кривая, соответствующая квазистационарному приближению. Показано существенное отличие истинного и наведенного полей на ранних и промежуточных стадиях переходного процесса. На поздних же стадиях неустановившегося процесса этим отличием можно пренебречь. Отмечено, что это отличие может быть значительным даже для квазистационарного электромагнитного поля.

Основные положения и результаты, выносимые на защиту:

1. На основе асимптотических решений интегральных уравнений Фредгольма второго рода разработана математическая модель взаимосвязи истинного и наведенного в измерительном проводе плоского или осесимметрического электрических полей, позволяющая количественно оценить погрешности измерения в зависимости от параметров измерительного провода, электропроводности вмещающей его среды и частоты измеряемого поля.

2. В явном виде определен коэффициент пропорциональности, связывающий циркуляцию напряженности осесимметрического электрического поля и ЭДС индукции, наведенную в круговой измерительной петле, и зависящий от электропроводности, толщины и радиуса петли, а также частоты измеряемого поля. Показано, что отличие циркуляции напряженности электрического поля и ЭДС индукции возрастает по мере увеличения этих параметров. Полученные соотношения между истинным и наведенным электрическими полями позволяют разработать индукционные датчики, измеряющие с высокой точностью электрическое поле (циркуляцию напряженности электрического поля) в широком диапазоне частот (времен).

3. Разработана математическая модель взаимосвязи циркуляции напряженности электрического поля и ЭДС индукции при измерении неустановившегося осесимметрического электрического поля круговой петлей. Показано, что для нахождения циркуляции напряженности электрического поля по известной ЭДС индукции достаточно к последней применить зависящий от времени оператор дифференцирования определенного вида. Решение обратной задачи - восстановление ЭДС индукции по заданной циркуляции напряженности электрического поля, представлено в виде свертки. Различие между циркуляцией напряженности электрического поля и ЭДС индукции пренебрежимо мало на самых поздних стадиях переходного процесса, однако оно может быть существенно на ранних и промежуточных стадиях неустановившегося процесса и даже в области квазистационарности электромагнитного поля.

Практическая ценность работы состоит в возможности применения полученных результатов для уточнения результатов измерений индукционными датчиками и разработки прецизионной измерительной аппаратуры.

Апробация работы.

Основные результаты работы докладывались: на Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения - XV" (Воронеж, ВГУ, 2004), на Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, СамГТУ, 2004), на научном семинаре "Математическое моделирование геофизических полей" (Саратов, СГТУ, 2006).

Публикации.

Основные положения диссертации опубликованы в работах [24-27, 61,

62].

Объем и структура работы.

Диссертация общим объемом 103 страницы состоит из введения, четырех глав и заключения, включает 15 рисунков и список использованной литературы из 76 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Федорова, Ольга Сергеевна

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ ПО ДИССЕРТАЦИИ

1. Разработана математическая модель взаимосвязи истинного и наведенного электрических полей при измерении плоского и осесимметрического электрических полей, основанная на асимптотических решениях интегральных уравнений.

2. Проведены численные эксперименты, в результате которых показано, что отличие истинного электрического поля от наведенного возрастает с увеличением частоты колебаний электромагнитного поля, толщины измерительного провода и его электропроводности, причем это отличие меньше для замкнутого провода при измерении осесимметрического электрического поля, чем при регистрации плоского электрического поля прямолинейным проводом. С увеличением радиуса круговой петли возрастает отличие циркуляции напряженности электрического поля от ЭДС индукции на тех же частотах.

3. Получены асимптотические формулы, определяющие коэффициенты пропорциональности между истинным и наведенным в измерительном проводе электрическими полями. Применяя эти формулы, можно количественно оценить ошибки измерения электрического поля (циркуляции напряженности электрического поля) и разработать индукционные датчики, измеряющие с высокой точностью электрическое поле (циркуляцию напряженности электрического поля) в широком диапазоне частот (времен).

4. Установлено, что различие между циркуляцией напряженности электрического поля и ЭДС индукции может быть существенным на ранних и промежуточных стадиях переходного процесса и им можно пренебречь лишь на самых поздних стадиях установления электромагнитного поля.

5. Получены соотношения, позволяющие рассчитать в случае переходного процесса циркуляцию напряженности электрического поля по известной ЭДС индукции, а также восстановить ЭДС индукции по заданной циркуляции напряженности электрического поля.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Федорова, Ольга Сергеевна, 2007 год

1. Арутюнов В. О. Электрические измерительные приборы и измерения/

2. B. О. Арутюнов. М.-Л.: Госэнергоиздат, 1958. - 631 с.: ил.

3. Атамалян Э. Г. Приборы и методы измерения электрических величин : учеб. пособие / Э. Г. Атамалян. М.: Высш. шк., 1982. - 223 с.: ил.

4. Аш Ж. Датчики измерительных систем : в 2 кн. / Ж. Аш и др. ; пер. с франц. Н. В. Васильченко [и др.]. М.: Мир, 1992. - Кн. 1. - 480 с.: ил. -ISBN 5-03-001641-4.

5. Барсуков П. О. Антенный поляризационный эффект в импульсных электромагнитных исследованиях / П. О. Барсуков, Э. Б. Файнберг,

6. Е. О. Хабенский // Известия РАН. Физика Земли. 2003. -№11.1. C. 81-87.

7. Барсуков П. О. Импульсные электромагнитные зондирования в микросекундном диапазоне : дис. . д-ра физ.-мат. наук : 25.00.10 / Барсуков Павел Олегович. Троицк, 2004. - 195 с.

8. Бейтмен Г. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены /

9. Г. Бейтмен, А. Эрдейи ; пер. с англ. Н. Я. Виленкина. 2-е изд., стереотип. - М.: Наука, 1974. - 295 с.: черт.

10. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. Электромагнитное поле : учебник для вузов / Л. А. Бессонов. 10-е изд. -М.: Гардарики, 2003. - 317 с.: ил. - ISBN 5-8297-0158-8.

11. Бирюков С. В. Цифровой измеритель напряженности электрического поля промышленной частоты / С. В. Бирюков, В. Я. Ложников // Приборы и техника эксперимента. 1981. -№ 1. - С. 275.

12. Бирюков С. В. Расчет электрического поля на поверхности электроиндукционного сферического датчика напряженности, находящегося в поле сферического конденсатора / С. В. Бирюков //

13. Известия вузов. Электромеханика. 2002. - № 5. - С. 73-74.

14. Бирюков С. В. Градуировка электроиндукционных датчиков напряженности электрического поля в сферическом конденсаторе/ С. В. Бирюков // Известия вузов. Приборостроение. 2004. - Т.47, № 6. -С. 35-39.

15. Бицадзе А. В. Уравнения математической физики : учеб. /

16. А. В. Бицадзе. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1982. - 336 с.: ил.

17. Бобровников JI. 3. Электроразведочная аппаратура и оборудование : учеб. для техникумов / JI. 3. Бобровников, И. Н. Кадыров, В. А. Попов.2.е изд., перераб. и доп. М.: Недра, 1985. - 336 с.

18. Бобровников JI. 3. Полевая электроразведочная аппаратура : справочник / JI. 3. Бобровников, JI. И. Орлов, В. А. Попов. М.: Недра, 1986. - 223 с.

19. Бобровников JI. 3. Радиотехника и электроника: учеб. для вузов/ JI. 3. Бобровников. 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Недра, 1990. - 374 с.: ил. - ISBN 5-247-01313-1.

20. Бронштейн И. Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов / И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев. 13-е изд., испр. - М. : Наука, 1986.-514 с.

21. Бузинов B.C. Образцовая установка для поверки и калибровки малых дипольных антенн / В. С. Бузинов // Измерительная техника. 1967. -№6.-С. 50-53.

22. Бурсиан В. Р. Теория электромагнитных полей, применяемых в электроразведке / В. Р. Бурсиан. 2-е изд., испр. и доп. - JI. : Недра, 1972.-368 с.

23. Вайнштейн JI. А. Электромагнитные волны / JI. А. Вайнштейн. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Радио и связь, 1988. - 440 с. - ISBN 5-256-00064-0.

24. Вострокнутов Н. Г. Техника измерений электрических и магнитных величин / Н. Г. Вострокнутов. 3-е изд., испр. - M.-JI. : Госэнергоиздат-Судпромгиз, 1958.-365 с.: ил.

25. Вострокнутов Н. Г. Основы информационно-измерительной техники / Н. Г. Вострокнутов, Н. Н. Евтихиев. М., 1972. - 331 с.

26. Вострокнутов Н. Н. Цифровые измерительные устройства. Теория погрешностей, испытания, поверка / Н. Н. Вострокнутов. М. : Энергоатомиздат, 1990. - 208 с.: ил. - ISBN 5-283-00614-Х.

27. Губатенко В. П. Обобщенные функции с приложениями в теории электромагнитного поля : учеб. пособие / В. П. Губатенко. Саратов : Стило, 2001.-138 с. - ISBN 5-85559-084-4.

28. Губатенко В. П. Квазиволновые свойства сигнала становления электромагнитного поля / В. П. Губатенко, В. Г. Осипов, А. А. Назаров // Известия РАН. Физика Земли. 2000. - № 3. - С. 40-49.

29. Губатенко В. П. Математическая модель измерения плоского электрического поля / В. П. Губатенко, О. С. Федорова (Пескова) // Вестник Саратовского государственного технического университета.2005.-№4 (9).-С. 24-29.

30. Губатенко В. П. Математическая модель измерения осесимметрического электрического поля / В. П. Губатенко, О. С. Федорова (Пескова) // Вестник Саратовского государственного технического университета.2006. №4 (18); Вып. 3. - С. 22-28.

31. Губатенко В. П. Математическое моделирование измерений электрического поля в индуктивной электроразведке / В. П. Губатенко, О. С. Федорова (Пескова) // Геология и геофизика. 2006. - Т. 47, № 7. -С. 902-912.

32. Губатенко В. П. О взаимосвязи циркуляции напряженности электрического поля и электродвижущей силы индукции во временной области / В. П. Губатенко, О. С. Федорова (Пескова) // Приборы и системы разведочной геофизики. 2006. - № 01 (15). - С. 5-8.

33. Гурский Д. А. Вычисления в MathCAD / Д. А. Гурский. Минск : Новое знание, 2003. - 814 с. - ISBN 985-475-013-2.

34. Двайт Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы / Г. Б. Двайт; пер. с англ. Н. В. Леви. 6-е изд. - М.: Наука, 1983.176 с.: ил.

35. Диткин В. А. Интегральные преобразования и операционное исчисление / В. А. Диткин, А. П. Прудников. М.: Наука, 1974. - 542 с.

36. Дмитриев В. И. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики : учеб. пособие / В. И. Дмитриев, Е. В. Захаров. М. : Изд-во Моск. ун-та, 1987. - 167 с.

37. Долинский Е. Ф. Обработка результатов измерений / Е. Ф. Долинский. -2-е изд. М.: Изд-во стандартов, 1973. - 192 с.

38. Жданов М. С. Электроразведка : учеб. для вузов / М. С. Жданов. М. : Недра, 1986.-316 с.

39. Земельман М. А. Планирование технических измерений и оценка их погрешностей / М. А. Земельман, Н. П. Миф. М. : Изд-во стандартов, 1978.-80 с. :ил.

40. Зимовнов В. Н. Вопросы оценки точности результатов измерений / В. Н. Зимовнов. М.: Геодезиздат, 1951. - 112 с.

41. Клаассен К. Б. Основы измерений. Электронные методы и приборы в измерительной технике / пер. с англ. Е. В. Воронова и А. JL Ларина.

42. М.: Постмаркет, 2000. 352 с.: ил. - ISBN 5-901095-02-2.

43. Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Определения, теоремы, формулы / Г. Корн, Т. Корн ; под общ. ред. И. Г. Арамановича. 5-е изд. -М.: Наука, 1984. - 831 с.: ил.

44. Краснов М. Л. Интегральные уравнения (Введение в теорию) / М. Л. Краснов. М.: Наука, 1975. - 304 с.

45. Левшина Е. С. Электрические измерения физических величин : (Измерительные преобразователи): учеб. пособие для вузов /

46. Е. С. Левшина, П. В. Новицкий. Л.: Энергоатомиздат, 1983. - 320 с.

47. Маликов М. Ф. Основы метрологии / М. Ф. Маликов. М. : Изд-во Комитета по делам мер и измерительных приборов при СМ СССР, 1949.-480 с.

48. Метрология и электрорадиоизмерения в телекоммуникационных системах : учеб. для вузов / В. И. Нефёдов и др.; под ред.

49. B. И. Нефёдова. М.: Высш. шк., 2001. - 383 с.: ил. -ISBN 5-06-004069-0.

50. Миф Н. П. Модели и оценка погрешности технических измерений / Н. П. Миф. М.: Изд-во стандартов, 1976. - 143 с.

51. Мошков А. Г. Измерение параметров электростатического поля /

52. А. Г. Мошков, JI. Г. Гросс // Измерительная техника. 1978. - № 5.1. C. 61-63.

53. Никольский В. В. Электродинамика и распространение радиоволн : учеб. пособие для вузов / В. В. Никольский, Т. И. Никольская. 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1989. - 544 с.: ил. - ISBN 5-02-014033-3.

54. Новицкий П. В. Оценка погрешностей результатов измерений / П. В. Новицкий, И. А. Зограф. 2-е изд., перераб. и доп. - Л. : Энергоатомиздат. Ленингр. отд-ние, 1991. - 304 с.: ил.1.BN 5-283-04513-7.

55. Огильви А. А. Основы инженерной геофизики : учеб. для вузов / А. А. Огильви ; под ред. В. А. Богословского. М.: Недра, 1990. - 501 с.: ил.-ISBN 5-247-01414-6.

56. Островский Л. А. Основы общей теории электроизмерительных устройств / Л. А. Островский. Л.: Энергия, 1971. - 544 с.: ил.

57. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными / И. Г. Петровский. М.: Физматгиз, 1961. - 400 с.

58. Прудников А. П. Интегралы и ряды: специальные функции /

59. А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев. -М.: Наука, 1983. -752 с.

60. Рабинович С. Г. Погрешности измерений / С. Г. Рабинович. JI. : Энергия, 1978. - 262 с.: ил.

61. Самарский A.A. Численные методы : учеб. пособие /

62. А. А. Самарский, А. В. Гулин. М.: Наука, 1989. - 429 с.: ил. -ISBN 5-02-013996-3.

63. Светов Б. С. Теория, методика и интерпретация материалов низкочастотной индуктивной электроразведки / Б. С. Светов. М. : Недра, 1973.-256 с.

64. Светов Б. С. Аналитические решения электродинамических задач / Б. С. Светов, В. П. Губатенко. -М.: Наука, 1988. 344 с. -ISBN 5-02-001297-1.

65. Смайт В. Электростатика и электродинамика / В. Смайт ; пер. со 2-го амер. изд. А. В. Гапонова и М. А. Миллера. М. : Изд-во иностр. лит., 1954. - 604 с.: черт.

66. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами / под ред. М. Абрамовича, И. Стиган ; пер. с англ. под ред. В. А. Диткина и JI. Н. Кармазиной. М. : Наука, 1979. -832 с.: ил.

67. Тамм И. Е. Основы теории электричества : учеб. пособие для вузов / И. Е. Тамм. 11-е изд., испр. и доп. - М. : Физматлит, 2003. — 616 с. — ISBN 5-9221-0313-Х.

68. Татур Т. А. Основы теории электромагнитного поля : справ, пособие для электротехнических специальностей вузов / Т. А. Татур. М. : Высш. шк., 1989. - 271 с.: ил. - ISBN 5-06-000108-3.

69. Тихонов А. Н. Уравнения математической физики : учеб. пособие для вузов / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. 5-е изд., стереотип. - М. : Наука, 1977.-735 е.: ил.

70. Тойберт П. Оценка точности результатов измерений : пер. с нем. / П. Тойберт. М.: Энергоатомиздат, 1988. - 88 с.: ил.1.BN 5-283-02438-5.

71. Трикоми Ф. Интегральные уравнения / Ф. Трикоми. М.: Изд-во иностр. лит., 1960.-232 с.

72. Федорюк М. В. Асимптотика : интегралы и ряды / М. В. Федорюк. М. : Наука, 1987.-544 с.

73. Фрайден Дж. Современные датчики : справочник / Дж. Фрайден. М. : Техносфера, 2005. - 592 с.: ил. - ISBN 5-94836-050-4.

74. Хмелевской В. К. Краткий курс разведочной геофизики /

75. В. К. Хмелевской. 2-е изд. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1979. - 287 с.: ил.

76. Хмелевской В. К. Электроразведка / В. К. Хмелевской. 2-е изд. - М. : Изд-во Моск. ун-та, 1984. - 422 с.

77. Чугунов С. А. Расширение зоны измерения параметров электростатического поля зондовым методом / С. А. Чугунов, В. М. Юркевич // Измерительная техника. 1981. - № 1. - С. 33-35.

78. Чугунов С. А. Геометрические соотношения при измерениях напряженности электрического поля / С. А. Чугунов, В. М. Юркевич // Измерительная техника. 1982. - № 8. - С. 52-56.

79. Щигловский К. Б. Приборы для измерения параметров электростатического поля и их калибровка / К. Б. Щигловский, В. С. Аксельрод // Измерительная техника. 1978. - № 5. - С. 63-65.

80. Электроразведка : справочник геофизика : в 2 кн. / под ред.

81. В. К. Хмелевского, В. М. Бондаревского. 2-е изд., перераб. и доп. - М. : Недра, 1989. - Кн. 1. -438 с.: ил. - ISBN 5-247-01838-9.

82. Юркевич В. М. О методике измерения напряженности и других характеристик электрического поля / В. М. Юркевич, Б. JI. Кондратьев // Измерительная техника. 1980. -№ 5. - С. 57-59.

83. Якубовский Ю. В. Электроразведка / Ю. В. Якубовский. М. : Недра, 1980.-300 с.

84. Якубовский Ю. В. Электроразведка : учеб. пособие для вузов / Ю. В. Якубовский, И. В. Ренард. 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Недра, 1991. - 359 с.: ил. - ISBN 5-247-01044-2.

85. Янке Е. Специальные функции: Формулы, графики, таблицы / Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Лёш ; пер. с 6-го перераб. нем. изд.; под ред. Л. И. Седова. М.: Наука, 1977. - 342 с.: ил.

86. Paul D. J. Accuracy in instrumental measurement and calculation / D. J. Paul // Australian journal of instrument technology. 1965. - № 4. - C. 122-128.

87. Paul D. J. Accuracy in instrumental measurement and calculation / D. J. Paul // Australian journal of instrument technology. 1966. - № 1. - C. 6-12.