Матричные интегральные преобразования для математического моделирования физических полей в многослойной среде тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Яремко, Олег Эмануилович

• Яремко, Олег Эмануилович
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Яремко, Олег Эмануилович

Введение........................................................8

ГЛАВА 1 ВЗАИМОСВЯЗАННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕПЛОМАССООБМЕНА В ОДНОСЛОЙНОЙ И ДВУХСЛОЙНОЙ СРЕДАХ И МАТРИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ..................21

1.1 Математические модели взаимосвязанного тепломассообмена в

однослойных и двухслойных средах...............................22

1.1.1 Многокомпонентный взаимосвязанный тепломассообмен......22

1.1.2 Смешанная краевая задача для векторного уравнения

тепломассообмена.............................................30

1.2 Взаимосвязный А - компонентный тепломассообмен в неограниченной

среде, задача Штурма - Лиувилля и матричное интегральное преобразование Фурье...........................................32

1.3. Взаимосвязанный А - компонентный тепломассообмен в полуограниченной среде с граничным условием Дирихле............35

1.4 Взаимосвязанный А -компонентный тепломассообмен в

полуограниченной среде с граничным условием Неймана............36

1.5 Взаимосвязанный А -компонентный тепломассообмен в

полуограниченной среде с граничными условиями Робена.......... 41

1.6 Векторное уравнение тепломассопереноса. Вычисление

взаимосвязанного тепломассопереноса в Maxima...................42

1.7 Реализация символьных вычислений матричного интегрального

преобразования Фурье в среде Maxima............................50

1.8 Стационарный тепло- и влаго- перенос в двумерной полуограниченной

среде..........................................................51

1.9 Нейросетевой метод радиально базисных функций для векторной

задачи Дирихле для системы уравнений Лапласа .................. 53

3

1.10 Вычисления матричных интегральных преобразований на

действительной оси и полуоси в среде Maxima....................59

1.11 Нестационарный взаимосвязанный тепломассообмен в неограниченной

двухслойной среде и матричные интегральные преобразования Фурье.62

1.12 Векторная задача выравнивания температур.................67

1.13 Матричные интегральные преобразования Фурье на составной

прямой и интегральные преобразования Фурье ................... 72

1.14 Взаимосвязанные математические модели стационарных

температурных полей............................................74

1.15 Векторное волновое уравнение. Обобщение формулы Даламбера..75

1.16 Вывод формулы типа Даламбера для волнового уравнения на

двухслойной действительной оси в компьютерной алгебре Maxima...79

Выводы по первой главе.......................................81

ГЛАВА 2 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВЗАИМОСВЯЗАННОГО ТЕПЛОМАССООБМЕНА В МНОГОСЛОЙНЫХ СРЕДАХ И МАТРИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ....................................83

2.1 Взаимосвязанный тепломассообмен в полуограниченных многослойных

ограждающих конструкциях........................................83

2.2 Взаимосвязанные модели тепломассообмена в многослойной

полуограниченной среде и матричные интегральные преобразования Фурье для (n + 1)- слойного полупространства.........................100

2.3 Взаимосвязанные модели тепломассообмена в многослойной

ограниченной среде и соответствующие матричные интегральные преобразования Фурье...........................................120

2.3.1 Стационарный взаимосвязанный тепломассообмен через

многослойную стенку..........................................120

2.3.2 Стационарная взаимосвязанная задача тепломассообмена в

многослойной ограниченной среде..............................122

4

2.4 Смешанные краевые задачи для системы итерированных уравнений

взаимосвязанного тепломассопереноса и матричные интегральные преобразования Фурье четного порядка............................128

2.5 Многомерная математическая модель взаимосвязанного

тепломассообмена в многослойных средах и интегральные преобразования Фурье с неразделенными переменными..............................131

2.6 Взаимосвязанный тепломассообмен в неограниченной многослойной среде с осевой симметрией и матричные интегральные преобразования

Фурье - Бесселя на составной полярной оси........138

Выводы по второй главе..........................151

ГЛАВА 3 ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ В МНОГОСЛОЙНОЙ

СРЕДЕ КАК ВОЗМУЩЕНИЙ.............................152

ОДНОРОДНОГО ПОЛЯ.................................152

3.1 Несвязанные математические модели потенциальных полей в

многослойных средах с плоской симметрией........................152

3.1.1 Понятие оператора преобразования........................152

3.1.2 Интерпретация потенциального поля в многослойной полуограниченной по x среде как деформации поля в однослойной среде 158

3.1.3 Оператор преобразования для описания температурных полей в

двухслойной неограниченной среде. Обобщение формулы Пуассона...159

3.1.4 Оператор преобразования для трехмерного волнового уравнения в

двухслойной неограниченной среде. Обобщение формулы Кирхгофа...160

3.1.5 Оператор преобразования J 1,4 для описания потенциальных полей в

двухслойной полуограниченной среде............................163

3.1.6 Оператор преобразования J1,4 для описания стационарных

температурных полей в многослойной полуограниченной среде ..... 165

3.2 Температурное поле в многослойной среде как возмущение поля в однослойной среде................................................167

5

3.2.1 Оператор преобразования J1,3 для описания стационарных

температурных полей в однородной полуограниченной среде с условием Робена теплообмена на границе..................................168

3.2.2 Оператор преобразования J4,4 как изоморфизм двух математических

моделей теплопроводности в полуограниченной двухслойной среде с условиями сопряжения...........................................169

3.2.3 Оператор преобразования J1,4 для описания температурных полей в многослойной полуограниченной среде. Приближение первого порядка . 171

3.3 Асимптотические методы для описания потенциального поля в случае

тонкой оболочки..................................................174

3.4 Векторные операторы преобразования для анализа взаимосвязанных

математических моделей многослойных сред.........................179

3.4.1 Оператор преобразования для взаимосвязанных моделей

тепломассопереноса в неограниченных двухслойных средах.........179

3.4.2 Векторный аналог оператора преобразования для взаимосвязанного

тепломассообмена с условием Робена.............................181

3.4.3 Оператор преобразования как изоморфизм взаимосвязанной и

несвязанной математических моделей стационарного

тепломассопереноса.............................................183

3.4.4 Изоморфизм математических моделей потенциальных полей с нелокальными граничными условиями и моделей стационарного

тепломассопереноса в двухслойной среде....................185

Выводы по третьей главе...................................189

ГЛАВА 4 МЕТОД МАТРИЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ И МЕТОД ОПЕРАТОРОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ МНОГОСЛОЙНЫХ СРЕД.............................191

4.1 Метод операторов преобразования для математического

моделирования нестационарного тепломассопереноса в многослойных

ограждающих конструкциях.........................................191

6

4.2 Матричное интегральное преобразование Фурье в модели

тепломассопереноса в неизотермическом частично насыщенном растворе нефть-парафин с подвижной границей ............................ 193

4.3 Метод интегральных преобразований Фурье на составной

действительной оси в теории фильтрации ........................ 196

4.4 Распределение напряжений в полубесконечном многослойном

упругом теле под давлением .................................... 197

4.5 Моделирование теплообмена в многослойной полуограниченной среде

с изменяющимися во времени граничными условиями ............... 199

4.6 Операторы преобразования в задаче о структуре электромагнитного

поля в многослойной среде ..................................... 202

4.7 Метод операторов преобразования для решения ретроспективной

задачи теплопереноса в двухслойной неограниченной среде........ 209

4.8 Метод операторов преобразования в задаче продолжения поля в

двухслойной среде...............................................212

Выводы по четвертой главе.....................................214

ГЛАВА 5 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕАЛИЗАЦИИ МЕТОДА МАТРИЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ И МЕТОДА ОПЕРАТОРОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ..................................................215

5.1 Численное вычисление матричных интегральных преобразований и

обратных для них................................................215

5.1.1 Программная реализация корректного вычисления матричных

интегральных преобразований Фурье на составной оси в Delphi 7.215

5.1.2 Метод радиально-базисных функций для вычисления матричного

интегрального преобразования Фурье............................219

5.2 Алгоритм регуляризации матричного интегрального преобразования

Фурье для модели взаимосвязанного тепломассообмена в двухслойной среде...........................................................221

7

5.3 Итерационные алгоритмы последовательного отражения на основе

операторов преобразования ...................................... 223

5.4 Аппроксимация взаимосвязанной математической модели

стационарного тепломассопереноса с помощью несвязанной...........234

5.6 Метод фундаментальных базисных функций для взаимосвязанных математических моделей тепломассопереноса....................... 239

Выводы по пятой главе......................................... 257

Заключение ..................................................... 259

Список литературы .............................................. 262

Приложение A Алгоритм вычисления взаимосвязанного тепломассообмена методом матричного преобразования Фурье..........................287

Приложение B Вычисление взаимосвязанного тепломассообмена для двухслойной среды методом операторов преобразования..............288

Приложение C Вычисления взаимосвязанного тепломассообмена для многослойной среды методом операторов преобразования.............289

Приложение D Алгоритм вычисления матричного интегрального преобразования.................................................. 290

Приложение E Интерпретация потенциальных полей в двухслойной среде с плоской симметрией...............................................291

Приложение F Приложение GUIDE для решения стационарных двумерных краевых задач теплопереноса .....................................292

Приложение G Решение задачи Дирихле для двухслойной полуплоскости . 297 Приложение H Приложение Curve Fitting для решения задачи Коши....301

Приложение I Neural Network Toolbox для решения векторной задачи Дирихле..........................................................301

Приложение J Метод отражений в двухслойной полуплоскости ....... 304

Приложение K Задача Коши для уравнения тепломассопереноса в средах с осевой симметрией............................................... 305

8

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Матричные интегральные преобразования для математического моделирования физических полей в многослойной среде»

Введение

Актуальность темы исследования. При создании новых технологий возникает необходимость в проектировании конструкций на основе различных композиционных материалов. Эффективные композиционные смазочноохлаждающие жидкости (СОЖ) являются необходимым элементом технологического процесса. Задачи оптимизации и совершенствования способов и техники подачи СОЖ, выбора оптимальных режимов относятся к числу важнейших технико-экономических проблем современного машиностроения. Для управления свойствами поверхностного слоя при технологической обработке необходимо иметь математическую модель процесса, позволяющую по значениям основных параметров СОЖ, а также граничных и начальных условий, установить температурные поля и поля напряжений в любой момент времени как в зоне обработки СОЖ, так и за ее пределами. Математическое моделирование позволяет определять оптимальные технологические режимы. Теоретической основой для исследований данного направления является моделирование взаимосвязанных многокомпонентных математических моделей тепломассопереноса в многослойных средах.

Добыча нефти и газа из пористых пластов и основные технологии добычи, водоснабжение, проблема охраны грунтовых вод служат естественным источником постановки задач теории фильтрации. В большинстве современных приложений теории фильтрации приходится рассматривать кусочнооднородные системы, многокомпонентные растворы или двух- и трехфазные смеси как с постоянными, так и с подвижными границами. Практическая потребность в развитии методов теории фильтрации обусловливает необходимость исследования многокомпонентных математических моделей для многослойных сред. Влияние технологической среды химических производств фильтрации и сушки может вызывать преждевременный износ оборудования.

9

Совершенствование технологий фильтрации и сушки требует исследования взаимосвязанных многокомпонентных математических моделей тепломассопереноса в многослойных средах.

Создание и совершенствование существующих аналитических методов исследования линейных и нелинейных взаимосвязанных многокомпонентных моделей - значимая проблема математического моделирования и современной вычислительной математики.

Линейные взаимосвязанные многокомпонентные модели учитывают перекрестные эффекты, поэтому они дают более точные результаты, чем линейные несвязанные модели. Многие нелинейные взаимосвязанные задачи в результате линеаризации приводят к линейным многокомпонентным математическим моделям тепломассопереноса, что подтверждает их универсальный характер. Сложность математического моделирования многокомпонентных многослойных систем обусловлена отсутствием точных аналитических методов их решения даже для линейных моделей. При отсутствии аналитического описания модели результаты вычислительного эксперимента не позволяют в полной мере спрогнозировать работу изучаемых систем.

Таким образом, большое количество важных (с точки зрения их практических приложений) взаимосвязанных математических моделей приводит к краевым и смешанным задачам для систем дифференциальных уравнений в частных производных. Краевые и смешанные задачи описывают как однородные среды, когда коэффициенты уравнений являются непрерывными, так и кусочно-однородные и неоднородные среды, когда коэффициенты уравнений кусочно-постоянны.

Степень разработанности темы исследования. В работах Боли Б., Уэйнер Дж. [9], Дейнеки В. С., Сергиенко И. В. [33], Коляно Ю. М. [58, 59], Карташова Э. М. [51], Ломакина В. А. [86], Латышева А.А. и Юшканова А.А. [71] изучен ряд важных взаимосвязанных математических моделей механики

10

деформируемого твердого тела, термомеханики, диффузии, кинетической теории и т.д. в однородных и кусочно-однородных средах. Физическая неоднородность тел привлекает внимание исследователей к линейным и нелинейным задачам тепломассопереноса, теории потенциалов, теории упругости и термоупругости. Областью приложений построенной в работе теории является решение проблем классической и неклассической теории тепломассопереноса. Метод Лапласа и метод Фурье в решении взаимосвязанных задач теплопроводности не дают результатов. Метод Лапласа приводит к существенным трудностям в выборе контура интегрирования при возвращении к оригиналам. Скалярный вариант метода Фурье с разрывными коэффициентами, предложенный Уфляндом Я. С. и др. [130-132], пригоден только для решения несвязанных задач.

Из аналитических методов решения взаимосвязанных задач отметим методы теории функций, которые приводят к краевым задачам Римана. Этими методами проведены исследования взаимосвязанных динамических задач термоупругости в работах Дересевича Х., Чедвика П., Снеддона И., Подстригача Я. С., Новацкого В. [92, 98, 101]. Вместе с тем решение взаимосвязанных динамических задач кусочно-однородных сред по большей части приводилось к интегральным уравнениям Фредгольма, т.е. решение не выписывалось явно.

Известные методы решения краевых и смешанных задач в канонических областях: метод разделения переменных, метод скалярных гибридных интегральных преобразований, - не работают при исследовании взаимосвязанных математических моделей кусочно-однородных сред, т.к. не учитывают характер взаимодействия основных и перекрестных эффектов. Для аналитического исследования взаимосвязанных математических моделей физических полей кусочно-однородных сред должен быть создан аналог интегральных преобразований Фурье, Фурье - Бесселя, Вебера для составного промежутка.

11

Тип дифференциального уравнения и вид среды, в которой рассматривается задача, как известно, обусловливают структуру интегральных преобразований. Метод интегральных преобразований позволяет строить аналитическое представление структуры полей в несвязанных математических моделях многослойных сред в виде интегрального изображения. В работах Лебедева М. М. [71-73], Ленюка М. П. [77-84], Найда Л. С. [98], Проценко B. C. [109, 110], Уфлянда Я. С. [129-131], Fokas A.S. [208] и др. в 70-х гг. прошлого столетия рассмотрены интегральные преобразования Фурье, Фурье - Бесселя, Фурье - Лежандра, Фурье - Ханкеля, Ханкеля - Лежандра на составных неограниченном, полуограниченном и конечном промежутках.

Известные аналитические методы описания взаимосвязанных математических моделей тепломассопереноса плохо адаптированы к изменению и к анализу чувствительности модели при варьировании ее параметров. Поэтому создание метода матричных интегральных преобразований, выполненное в работе, и установление его вариативного характера позволило найти интегральные изображения взаимосвязанных физических полей в кусочно-однородных средах с плоской или осевой симметрией в виде, удобном при вычислениях как для больших так для малых значений

Выше отмечалось, что каждой многокомпонентной модели соответствует собственное матричное интегральное преобразование. Модели и

Ж, . В результате возникает коммутативная диаграмма, представленная

на рис.1, приводящая к необходимости определения нового понятия-оператора преобразования J .

Метод операторов преобразования, получивший дальнейшее развитие в нашей работе, представляет собой еще один аналитический метод исследования математических моделей., Определение операторов преобразования Вейерштрасса, Пуассона, Сонина имеется в монографии [53] и фактически содержится в методе отражений Кельвина [17]. Теория операторов

12

преобразования развита в монографиях Марченко В. А. [91]. Монография И. И. Баврина [4] посвящена операторному методу в комплексном анализе. В исследованиях И. А. Киприянова [53, 54] операторный метод применяется в теории сингулярных краевых задач. Отдельные элементы метода операторов преобразования использовались при решении задачи Коши для волнового уравнения методом отражений см. Р. Курант [64]. Применение метода продолжается в работах Лычева С. А., Самко С. Г., Килбаса А. А., Маричева О. И., Ситника С. М. [52, 118, 119, 122]. Метод отражений был использован в спектральной теории одномерных уравнений Шредингера [91].

Рисунок 1 - Коммутативная диаграмма оператора преобразования

По состоянию на первое десятилетие XXI в. [117] исследования взаимосвязанных математических моделей включают в себя следующие основные направления:

1) численные методы: сеточный метод, метод конечных элементов, метод радиально базисных функций, радиально-базисных нейронных сетей;

2) аналитические методы: метод интегральных преобразований Лапласа, метод интегральных преобразований Фурье;

3) методы теории краевых задач Римана.

На протяжении двух последних столетий наблюдался интенсивный рост интереса к развитию метода интегральных преобразований в математическом моделировании. По данным полнотекстовой базы научно-технической

13

литературы ScienceDirect.com. за последние десять лет было опубликовано 108745 научных работ по данной тематике, содержащих в описании ключевые слова integral transform.

Цель работы: создание теории матричных интегральных преобразований и основанных на ней аналитических, численных методов исследования математических моделей, алгоритмов, комплексов программ для моделирования явлений взаимосвязанного тепломассопереноса.

Для достижения этой цели решались задачи:

1) установить функциональные связи между различными линейными математическими моделями тепломассопереноса;

2) разработать теорию матричных интегральных преобразований, учитывающую перекрестные эффекты, в качестве теоретической основы математического моделирования процессов взаимосвязанного тепломассопереноса;

3) сформулировать условия сопряжения, учитывающие перекрестные эффекты, и разработать технику применения матричных интегральных преобразований для анализа тепломассопереноса в многослойных средах в модифицированной постановке;

4) разработать концепцию операторов преобразования с целью интерпретации вновь сформулированной модели тепломассопереноса в терминах эталонной математической модели тепломассопереноса.

5) модифицировать метод последовательных приближений на основе идеи последовательного отражения модельного решения от границы для вычисления компонент взаимосвязанного тепломассопереноса;

6) установить отличия взаимосвязанных математических моделей от несвязанных;

7) разработать технику применения теории операторов преобразования для интерпретации результатов наблюдений взаимосвязанных математических моделей тепломассопереноса в многослойных средах;

14

8) выполнить аналитический расчет компонент тепло - и массопереноса в многослойных телах методом матричных интегральных преобразований;

9) обосновать и распространить метод расщепления интегрального преобразования Фурье на матричный случай для решения задач с подвижными границами;

10) разработать итерационный вычислительный алгоритм определения

компонент взаимосвязанных математических моделей

тепломассопереноса в виде процедуры отражения решения модельной смешанной краевой задачи от границ;

11) разработать нейросетевое программное обеспечение на радиально базисных нейронных сетях для численного решения начально-краевых задач в многослойных телах.

Научная новизна диссертации определяется новизной постановки задачи исследования и следующими основными результатами.

1. Средствами теории матричных интегральных преобразований впервые установлены функциональные связи между любыми линейными математическими моделями тепломассопереноса посредством изоморфизма. В результате разработан новый подход к аналитическому исследованию процессов тепломассопереноса, в котором на основании имеющейся информации об известной модели тепломассопереноса устанавливают информацию о вновь поставленной модели тепломассопереноса.

2. Разработана теория матричных интегральных преобразований в качестве основы математического моделирования процессов взаимосвязанного тепломассопереноса в различных однородных и кусочно-однородных средах, позволившая получить замкнутые выражения компонент термодинамических процессов в однородных и кусочно-однородных средах.

15

3. Модифицирована постановка внутренних условий сопряжения и выполнен аналитический расчет компонент взаимосвязанного тепломассопереноса в многослойных средах методом матричных интегральных преобразований.

4. В рамках предложенной теории матричных интегральных преобразований разработана концепция операторов преобразования, опирающаяся на групповую природу интегральных преобразований. На ее основе впервые установлена возможность интерпретации вновь сформулированной модели тепломассопереноса в терминах эталонной математической модели тепломассопереноса.

5. Представлен и протестирован модифицированный метод последовательных приближений компонент взаимосвязанного тепломассопереноса, в котором в качестве нулевого приближения выступает модельное решение, а последующие приближения находятся методом последовательных отражений от внешней и внутренних границ.

6. В результате аналитических исследований и проведенного вычислительного эксперимента впервые выявлены существенные отличия взаимосвязанных математических моделей от несвязанных: на одних и тех же данных компоненты взаимосвязанной и несвязанной моделей тепломассопереноса могут отличаться до 19%.

7. Предложен новый подход интерпретации результатов наблюдений для взаимосвязанных математических моделей тепломассопереноса в многослойных средах, при котором решение ретроспективной задачи и задачи продолжения поля получаются из решений соответствующих задач в однослойных средах.

8. Выполнен аналитический расчет компонент процессов тепло - и массопереноса в многослойных телах методом матричных интегральных преобразований, что позволило учесть эффекты сосредоточенных воздействий в граничной зоне.

16

9. Разработан модифицированный метод матричных интегральных преобразований, состоящий в расщеплении ядра на пространственную и временную компоненты, что позволило описать процессы тепло - и массопереноса в кусочно-однородных средах с переменными граничными условиями.

10. Разработан итерационный вычислительный алгоритм определения

компонент взаимосвязанных математических моделей

тепломассопереноса для многослойных тел с плоской симметрией, в котором реализована процедура отражения решения модельной смешанной краевой задачи от границы.

11. Модифицирован метод фундаментальных базисных решений вычисления компонент взаимосвязанного тепломассопереноса в многослойных средах, учитывающий перекрестные эффекты в условиях сопряжения.

Теоретическая значимость работы. Построенная теория матричных интегральных преобразований вносит значительный вклад в развитие аналитических методов математического моделирования взаимосвязанных процессов в однородных и неоднородных средах. Понимание закономерностей взаимодействия основных и перекрестных эффектов взаимосвязанной модели, учитываемые в рамках теории матричных интегральных преобразований, позволило найти решение сложных задач математического моделирования тепломассопереноса, диффузии, теории упругости, провести анализ чувствительности модели к изменению ее параметров. Разработанные на основе теории матричных интегральных преобразований вычислительные методы повышают точность математического моделирования.

Практическая значимость работы. Создан комплекс программ символьного вывода формул для решения начально-краевых задач с небольшим числом слоев, разработано нейросетевое программное обеспечение в среде MatLab численного решения начально-краевых задач в многослойных средах. В этом комплексе программ решение аппроксимируется взвешенной суммой

17

фундаментальных решений и, в отличие от универсальных программных систем конечно-элементного анализа ANSYS и PDETool, не требует триангуляции границы области.

Разработанные в рамках исследования алгоритмы и комплексы прикладных программ в системе компьютерной алгебры Maxima могут быть использованы в анализе и синтезе физических процессов переноса, фильтрации, диффузии в технических системах, в машиностроении при использовании композиционных материалов; нейросетевое программное обеспечение в среде MatLab адаптировано для численного решения начально-краевых задач в многослойных телах. Предложенные тестовые задачи служат для проверки эффективности новых численных методов.

Методы исследования. Для решения поставленных задач комплексно использованы аналитические методы, включая теорию интегральных преобразований, метод отражений в теории краевых задач, метод операторов преобразования, метод фундаментальных решений в качестве базисных функций. Для оценки точности вычислительных методов построены аналитические решения ряда модельных уравнений. Разработанные математические методы и алгоритмы реализованы в виде комплексов программ. Символьные вычисления проводились в системе компьютерной алгебры Maxima, численные процедуры реализованы в среде программирования Borland Delphi и Matlab.

На защиту выносятся следующие научные результаты, полученные автором лично или вклад автора в которые был определяющим:

1) теория матричных интегральных преобразований и техника их применения для исследования многокомпонентных моделей тепломассопереноса в многослойных средах;

2) функциональные связи между линейными математическими моделями тепломассопереноса, установленные посредством оператора преобразования, и новый подход к аналитическому исследованию

18

процессов тепломассопереноса, в котором из имеющейся информации об эталонной модели тепломассопереноса извлекают информацию о вновь поставленной модели тепломассопереноса;

3) модифицированная постановка внутренних условий сопряжения и аналитический, численный расчеты компонент взаимосвязанного тепломассопереноса в многослойных средах с такими условиями сопряжения;

4) концепция операторов преобразования, опирающаяся на групповую природу интегральных преобразований, и интерпретация в рамках этой концепции модели взаимосвязанного тепломассопереноса многослойных сред в терминах эталонной;

5) модифицированный метод последовательных приближений компонент взаимосвязанного тепломассопереноса, в котором приближения находятся отражением от внешней и внутренних границ;

6) отличия компонент взаимосвязанных и несвязанных математических моделей на одних и тех же данных (на примере обобщенной задачи Неймана для полуограниченной среды);

7) интерпретация результатов наблюдений для взаимосвязанных математических моделей тепломассопереноса в многослойных средах в терминах эталонной математической модели;

8) аналитический и численный расчеты компонент процессов тепло- и массопереноса в многослойных телах, учитывающий эффекты сосредоточенных воздействий в граничной зоне;

9) модифицированный метод матричных интегральных преобразований, состоящий в расщеплении ядра на пространственную и временную компоненты, для описания процессов тепло- и массопереноса в кусочнооднородных средах с переменными граничными условиями;

10) итерационный вычислительный алгоритм определения компонент математических моделей тепломассопереноса для многослойных тел с

19

плоской симметрией на основе процедуры отражения решения модельной смешанной краевой задачи от границ;

11) модифицированный метод фундаментальных базисных решений и комплекс программ с нейросетевой реализацией в среде Ма^ЬаЬ для вычисления компонент взаимосвязанного тепломассопереноса в многослойных средах.

Достоверность и апробация результатов. Достоверность полученных результатов подтверждается результатами сравнения с тестовыми задачами, с данными, полученными по другим методикам. Адекватность разработанных аналитических методов и алгоритмов подтверждается тем, что результаты для предельного случая, т.е. без учета перекрестных эффектов или в том случае, когда среда однородная, совпадают с аналогичными результатами других авторов.

Основные результаты по теме диссертации:

* опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК РФ [139,142144,162,164,188,196-200,202], тринадцать работ [140,145,148150,152,177,180,181,195,201,203,227,240] входят в систему цитирования SCOPUS;

* изложены в монографиях [5,138,153,154,156,168,170,241];

* опубликованы в других периодических журналах [151,155,158-

160,163,169,172-176,186-192,228-239,242];

* изложены в трудах международных конференций и семинаров [141,146,157,161,166,167,171,179,18-185,193,194,204,215]:

международной математической конференции, посвященной памяти Ганса Хана, г. Черновцы, 1994; международной научной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения профессора С. П. Пулькина (г. Самара, 1997); международной научной конференции PARCA-2010 (г. Тамбов, 2010); международных научных конференций по моделированию нелинейных процессов и систем, СТАНКИН, г. Москва, 2011, 2015;

20

* доложены на научных семинарах: академика РАН С. М. Никольского, (1999); академиков РАН В. А. Ильина, Е. И. Моисеева, (2003); академика И. К. Лифанова, (2007); академика РАН Е. И. Моисеева, (2007); члена-корреспондента РАН И. А. Шишмарева, (2007); д.ф.-м.н., проф. Л. А. Аксентьева в КФУ, (2008); кафедры дифференциальных уравнений Черновицкого государственного университета, (1998); кафедр компьютерных технологий (2016) и математики и суперкомпьютерного моделирования, зав. каф. проф. Ю. Г. Смирнов (2015); кафедры прикладной математики МГТУ «Станкин», зав. каф. проф. Л. А. Уварова, ( 2017), Обратные задачи математической физики, рук. проф. А.Б.Бакушинский, проф. А.В.Тихонравов, проф. А.Г.Ягола, (2018).

Соответствие паспорту специальности. Диссертационная работа соответствует формуле научной специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (физикоматематические науки) в пунктах 1, 2, 3, 4, 5.

Работа состоит из введения, пяти глав, заключения и одиннадцати приложений.

21

ГЛАВА 1 ВЗАИМОСВЯЗАННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕПЛОМАССООБМЕНА В ОДНОСЛОЙНОЙ И ДВУХСЛОЙНОЙ СРЕДАХ И МАТРИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ

Существует много классов задач, которые трудно решить в их оригинальном представлении. Интегральное преобразование «переводит» уравнение из своей первоначальной «области» в другую. Решение уравнения в изображениях может быть гораздо проще, чем решение в исходной области. Возвращение обратно в исходную область выполняется обратным интегральным преобразованием. Интегральные преобразования Фурье, синус, косинус и преобразования с кусочно-тригонометрическими ядрами показали свою особую роль в описании математических моделей. Чтобы показать универсальность этих преобразований, мы решаем взаимосвязанные аналоги модельных задач математической физики, как в однородных, так и в кусочно-однородных средах. При этом найдены аналитические решения взаимосвязанных аналогов классических математических моделей: уравнения теплопроводности, волнового уравнения и уравнения Пуассона.

Взаимосвязанные модели тепломассопереноса учитывают тот факт, что тепловые и диффузионные потоки могут оказывать друг на друга взаимное влияние, т.е. поток определенной природы может вызываться действием нескольких различных сил. Например, диффузия может вызываться концентрационными градиентами, термодиффузия - температурными градиентами. Верно и обратное: градиент температуры создает не только тепловой поток, но и поток массы вследствие термодиффузии. Такие взаимосвязанные процессы получили название перекрестных процессов [29]. Таким образом, взаимосвязанные модели естественно возникают при исследовании явлений, протекающих одновременно (см. рис.2).

22

Рисунок 2 - Взаимосвязная модель как расширение и обобщение несвязанных

Классические интегральные преобразования Фурье приспособлены для анализа несвязных математических моделей, но в то же время плохо пригодны в теории взаимосвязанных моделей. Основная задача исследования состоит в переносе теории и практики метода интегральных преобразований на взаимосвязанные математические модели. Многокомпонентные взаимосвязанные математические модели для многослойных сред требуют разработки адекватного математического аппарата интегральных преобразований с кусочно-тригонометрическими матричными ядрами.

1.1 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ВЗАИМОСВЯЗАННОГО

ТЕПЛОМАССООБМЕНА В ОДНОСЛОЙНЫХ

И ДВУХСЛОЙНЫХ СРЕДАХ

1.1.1 Многокомпонентный взаимосвязанный тепломассообмен

Обычно уравнения теплопроводности и диффузии рассматриваются независимо друг от друга, в то время как в рамках термодинамики необратимых процессов учитывается взаимосвязь между одновременно идущими процессами переноса тепла и вещества. В концепции Онзагера [21] каждый независимый термодинамический поток У, связан со всеми действующими в системе термодинамическими силами У, линейной зависимостью:

23

7=1

- сопряженные феноменологические коэффициенты. Коэффициенты -собственные коэффициенты теплопроводности, электропроводности, диффузии и других необратимых процессов. Коэффициенты , /' у называют

перекрестными, они характеризуют взаимодействие двух разных необратимых процессов.

Например, при наложении необратимых процессов диффузии и теплопроводности возникают эффекты Ш. Соре и Л. Дюфура [88]: градиент

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Яремко, Олег Эмануилович, 2018 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Аттетков, А.В. Решение одного класса задач нестационарной теплопроводности в области с движущей границей методом расщепления обобщённого интегрального преобразования Фурье / А.В. Аттетков, И.К. Волков // Вестник Московского государственного технического университета. - Москва. -1998. -№ 1.-C.40-48.

2. Аттетков, А. В. Температурное поле изотропного полупространства, подверженного локальному фрикционному нагреву в режиме трения верчения / А. В. Аттетков, И. К. Волков, Е. С. Тверская // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана, Сер.: Машиностроение.-2006.- № 2.-С. 35-44.

3. Ахиезер, Н.И. Лекции об интегральных преобразованиях / Н.И Ахиезер.-Харьков: Вища школа, 1984.- 120 с.

4. Баврин, И.И. Операторный метод в комплексном анализе / И.И. Баврин .-М.: Прометей, 1991.-200 с.

5. Баврин, И.И. Операторы преобразования в анализе, математической физике и теории распознавания образов / И.И. Баврин, В.Л. Матросов, О.Э. Яремко .- М.: Прометей, 2006.-280 с.

6. Березанский, Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов / Ю.М. Березанский.-Киев: Наук. думка, 1965.- 798 с.

7. Бесов, О.В. Интегральные представления функций и теоремы вложения / О.В. Бесов, В.П. Ильин, С.М. Никольский.-М.: Наука, 1996.- 480 с.

8. Бекман, И. Н. Феноменологическая теория диффузии в гетерогенных средах и ее применение для описания процессов мембранного разделения / И. Н. Бекман, И. П. Романовский // Усп. хим. - 1988. -т.57№ 6. - C.944-958.

9. Боли, Б. Теория температурных напряжений / Б. Боли, Дж. Уэйнер .-М.: Мир. 1964. -517 с.

10. Бохнер, С. Лекции об интегралах Фурье / C. Бохнер .- М.: Физматгиз, 1969.-360 с.

263

11. Брычков Ю.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования обобщенных функций / Ю.А. Брычков, А.П. Прудников // Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Матем.анализ.- 1982.- т.20.- С.78-115.

12. Борина М.Ю., Полежаев А.А. Диффузионная неустойчивость в трехкомпонентной модели типа «реакция-диффузия» / М.Ю. Борина, А.А. Полежаев // Компьютерные исследования и моделирование, 2011, т. 3, № 2, с. 135-146

13. Ватульян, А. О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела / А. О. Ватульян .- М.: Физматлит, 2007.-223 с.

14. Ватульян, А.О. Прямые и обратные задачи для однородных и неоднородных упругих и электроупругих тел / А.О. Ватульян, А. Н. Соловьев // Ростов н/Д.:Изд. Южного федерального университета. - 2008. -176 с.

15. Васильев А. Н., Тархов Д. А., Шемякина Т.А. Нейросетевой подход к задачам математической физики / А.Н. Васильев, Д.А. Тархов, Т.А. Шемякина. - СПб.: Нестор-История, 2015, 260 с.

16. Винер, Н. Интеграл Фурье и некоторые его применения / Н. Винер .-М.: Физматгиз, 1963.- 256 с.

17. Владимиров, В.С. Уравнения математической физики / В.С. Владимиров,

В.В. Жаринов . - М.: Физматлит, 2004.- 512 с.

18. Выблив, О.Я. Интегральные преобразования Ханкеля II рода для кусочнооднородных сегментов / О.Я. Выблив, М.П. Ленюк //Изв. ву-зов. Математика.-1987.- вып.5.- С.82-85.

19. Гандель, Ю.В. О парных рядах Фурье некоторых смешанных краевых задач математической физики / Ю.В. Гандель // Теория функций, функцион. анализ и их прил. 1982.-вып.18.-С. 13-18.

20. Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер .- М.: Наука, 1988.- 548 с.

21. Грот, С. Д. Неравновесная термодинамика / С. Д. Грот, П. Мазур.- М.: Мир, 1964.-456 с.

264

22. Гобсон, Е.В. Теория сферических и эллипсоидальных функций / Е.В. Гобсон.-М.: Изд-во иностр. лит., 1948.- 476 с.

23. Гольденвейзер, А.Л. Теория тонких упругих оболочек / А.Л. Гольденвейзер .- М.: Наука, 1976. - 512 с.

24. Горбаченко, В.И. Решение краевых задач математической физики с помощью сетей радиальных базисных функций / В.И. Горбаченко, М.В. Жуков // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 2017. - т.57(1), C. 133-143.

25. Горбаченко, В.И. Нейрокомпьютеры в решении краевых задач теории поля / В. И. Горбаченко. - М.: Радиотехника. -2003. - 336 с.

26. Грей, Э. Функции Бесселя и их приложения в физике и механике / Э. Грей, Г.Б. Метьюз .-М.: Изд-во иностр. лит. - 1949.- 386 с.

27. Голоскоков Д.П. Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple/ Голоскоков Д.П. - СПб.: Питер, 2004. - 539 с.

28. Гришин, М.А. Модель динамического структурирования влаги в процессе сушки / М.А. Гришин, Н.И. Погожих, В.А. Потапов //Промышленная теплотехника. - 2001. - Т. 23, № 4(5). - С. 100-105.

29. Гуров К.П., Карташкин В.А., Угасте Ю.А. Взаимная диффузия в многофазных металлических системах / К.П. Гуров, В.А. Карташкин, Ю.А. Угасте. - М.: Наука. - 1981. - 350 с.

30. Даниловская, В И. Об одной динамической задаче термоупругости / В И. Даниловская // Прикл мат. и мех. - 1952. - Т. 16, № 3. - С 342-344.

31. Данфорд, Н. Линейные операторы. Общая теория / Н. Данфорд, Дж. Шварц .- M.: ИЛ. -1962.- 895 с.

32. Дейнека, В.С. Модели и методы решения задач в неоднородных средах / В.С. Дейнека, И.В. Сергиенко. - Киев: Наук. думка, 2001.- 606 с.

33. Дейнека, В.С. Математические модели и методы расчета задач с разрывными решениями / В.С. Дейнека, И.В. Сергиенко, В.В. Скопецкий. -Киев: Наук. думка, 1995.- 262 с.

265

34. Денисов, А. М. Введение в теорию обратных задач / А. М. Денисов.- М.: МГУ, 1994.- 206 с.

35. Джрбашян, М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области / М.М. Джрбашян.-М.: Наука, 1966.- 672 с.

36. Диткин, В. А. Интегральные преобразования и операционное исчисление / В. А. Диткин, А. П. Прудников.- М.: Физматгиз, 1961.-544 с.

37. Елизаров А. М. Обратные краевые задачи аэрогидромеханики / А. М. Елизаров, Н. Б. Ильинский, А. В. Поташев // Итоги науки и техники. Серия Механика жидкости и газа. -М.: ВРШИТИ, 1989.-Т. 23.-С.3-115.

38. Ерофеенко, В.Т. Аналитическое моделирование в электродинамике / В.Т. Ерофеенко, И.С. Козловская. - Минск : БГУ, 2010. -303 с.

39. Ефимова, И.Т. Некоторые задачи теории теплопроводности для двухслойной среды / И.Т. Ефимова // МФК. -1968. - Т.10.-№ I.

40. Зайцев, В.Ф. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин. 2001.- М.: Физматлит.- 2001. - 576 с.

41. Ибрагимов, Н. Х. Группы преобразований в математической физике / Н. Х. Ибрагимов.- М.: Наука, 1983.-280с.

42. Ильин, В. А. Формула типа Даламбера для продольных колебаний бесконечного стержня, состоящего из двух участков разной плотности и разной упругости / В. А. Ильин // Доклады Академии наук.-2009.-Т. 427, № 4. - С. 466-468.

43. Ильин, В.А. Спектральная теория дифференциальных операторов / В.А. Ильин.-М.: Наука, 1991.- 368 с.

44. Ильин, В.А. Нелокальная краевая задача первого рода для оператора Штурма - Лиувилля в дифференциальной и разностных трактовках. / В.А. Ильин, Е.И. Моисеев // Дифференц. уравнения. - 1987. - т.2З, № 7. -С. 1198-1207.

45. Ильинский, Н.Б. Обратные краевые задачи и их приложения / Н.Б. Ильинский // Соросовский образовательный журнал. -1997, № 4. - C. 105-110.

266

46. Ионкин, Н. И. О задаче для уравнения теплопроводности с двуточечными краевыми условиями / Н. И. Ионкин, Е. И. Моисеев // Дифференциальные уравнения. - 1979. Т. 15, № 7. - С. 1284-1295.

47. Катрахов В.В. Метод факторизации в теории операторов преобразования. / В.В. Катрахов, С.М. Ситник //Мемориальный сборник памяти Бориса Алексеевича Бубнова: неклассические уравнения и уравнения смешанного типа. (ответственный редактор В.Н. Врагов). - Новосибирск. — 1990, С. 104-122.

48. Камынин Л.И. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими граничными условиями / Л.И. Камынин // ЖВМиМФ.-Т.4.-1964.-С. 1006-1024.

49. Капустин, Н. Ю. К проблеме сходимости спектральных разложений для одной классической задачи со спектральными параметром в граничном условии / Н. Ю. Капустин, Е. И. Моисеев //Дифференциальные уравнения. РАН. - 2001. - Т. 37, № 12. - C.1599-1604.

50. Карслоу, Г. Теплопроводность твердых тел / Г. Карслоу, Д. Егер. -М.:Наука. 1964.-487С.

51. Карташов, Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел / Э.М. Карташов. -М.: Высшая школа, 1985. - 480 с.

52. Килбас, А. А. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / А. А. Килбас, О. И. Маричев, С. Г. Самко.- Минск, Наука и техника, 1987.- 688 с.

53. Киприянов, И.А. Преобразование Фурье-Бесселя и теоремы вложения для весовых классов / И.А. Киприянов // Тр. МИАН СССР. - 1967. -С.130-213.

54. Киселев, Е.С. Механическая обработка заготовок в условиях критического тепломассопереноса. Избранные труды Российской школы по проблемам науки и технологий / Е.С. Киселев, В.Н. Ковальногов -. М.: РАН, 2008. 250 с.

55. Киселев, Е. А. О константах Рисса для некоторых систем целочисленных

267

сдвигов / Е. А. Киселев, Л. А. Минин, И. Я. Новиков, С. М. Ситник // Матем. Заметки. -2014. -Т.96,№2 . -С. 239-250.

56. Коваленко, А.Д. Основы термоупругости / А.Д. Коваленко.- Киев: Наукова думка, 1970.-307 с.

57. Коллатц, Л. Задачи на собственные значения (с техническими приложениями) / Л. Коллатц.- М.: Наука, 1968.- 503 с.

58. Коляно, Ю.М. Применение обобщенных функций в термомеханике кусочнооднородных тел / Коляно Ю.М. // Мат. методы и физ.-мех. поля. -1978.-№ 7.-С.7-11.

59. Коляно, Ю.М. Температурные напряжения в слоистых телах при неидеальном термомеханическом контакте на поверхности раздела / Ю.М. Коляно, Р.М. Кушнир, Ю.А. Музычук // Прикл. механика. - 1986.-Т. 22, № 11. -С. 28-36.

60. Копаев А. В. Фильтрационные теоремы о сферах / А. В. Копаев, В. М.

Радыгин // Известия АН СССР. МЖГ. - 1991, № 2. - C. 105 - 109.

61. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике / Дж. Коул. - М.: Мир, 1972. - 274 с.

62. Кошляков, Н.С. уравнения в частных производных математической физики / Н.С.Кошляков, Э.Б.Глинер, М.М. Смирнов.-М.:Высшая школа,1970.-710 с.

63. Купрадзе, В. Д. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости / В. Д. Купрадзе, Т. Г. Гегелиа, М. О. Башелейшвили, Т. В. Бурчуладзе.- М.: Наука, 1976. - 664 с.

64. Курант, Р. Уравнения с частными производными / Р. Курант.-М.: Мир. -1964.-830с.

65. Курош, А.Г. Курс высшей алгебры / А.Г. Курош.- М.: Наука, 1971.- 432 с.

66. Купрадзе В. Д. Динамические задачи теорииупругости и термоупругости / В. Д. Купрадзе, Т. В. Бурчуладзе// Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат., 7, ВИНИТИ. - М. - 1975. -C. 163-294.

268

67. Лаврентьев, М. М. Одномерные обратные задачи математической физики / М. М. Лаврентьев, К. Г. Резницкая, В. Г. Яхно.- Новосибирск: Наука. -1982. -88 с.

68. Лаврентьев, М. М. Некорректные задачи математической физики и анализа / М. М. Лаврентьев, В. Г. Романов, С. П. Шишатский - Новосибирск. Наука. -1980.- 315с.

69. Лаврентьев, М.А. Методы теории функций комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат.-М.: Наука, 1973.- 736 с.

70. Ладыженская, О.А. Краевые задачи математической физики. / О.А. Ладыженская. - М.: Наука, 1973.-408 с.

7 1 .Латышев, А.В. Аналитическое решение граничных задач для кинетических уравнений/ Латышев А.В., Юшканов А.А.-Москва, Из-во МГОУ,2004.-286 с.

72. Лебедев, Н.Н. Специальные функции и их приложения (2-е изд.) / Н.Н. Лебедев.- М.-Л.: ГИФМЛ, 1963.-358с.

73. Лебедев Н.Н., Скальская И.П. О разложении произвольной функции в интеграл по присоединенным сферическим функциям / Н.Н. Лебедев, И.П. Скальская // Прикл.матем. и механ. - 1968. - Т.32,№ 3.-С. 421-427.

74. Левитан, Б. М. Обратные задачи Штурма Лиувилля / Б. М. Левитан.- М.: Наука. - 1984.- 240 с.

75. Левитан, Б.М. Введение в спектральную теорию / Б.М.Левитан, И.С. Саргсян.- М.: Наука.- 1970. 432 с.

76. Лексина, С. В. Начальные задачи для системы волновых уравнений / Лексина С. В. // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. -2009. -Т.1,№ 18. -С.280-282.

77. Ленюк, М.П. Гибридные интегральные преобразования (Бесселя- Фурье-Бесселя) / М.П. Ленюк // Матем. физика и нелинейная механика.-1989.-Вып.12,№ 46.- С.68-74.

78. Ленюк, М.П. Гибридные интегральные преобразования (Бесселя, Лежандра, Бесселя) / М.П. Ленюк // Укр. матем. журнал.-1991.- Т. 43,№ .6.- С.770-779.

269

79. Ленюк, М.П. Гибридные интегральные преобразования (Фурье-Бесселя, Бесселя-Фурье, Вебера-Фурье, Вебера-Бесселя) / М.П. Ленюк .- Киев, Инт математики, АН УССР. -1985.- 64 с.

80. Ленюк, М.П. Интегральное преобразование Фурье на кусочно-однородной полупрямой / М.П. Ленюк // Изв. вузов. Математика.-1989.- Т.4.- С.14-18.

81. Ленюк, М.П. Интегральные преобразования с разделенными переменными (Вебера, Фурье-Бесселя, Лежандра-Фурье) / М.П. Ленюк .- Киев, Ин- т математики. АН УССР. -1983.- 56 с

82. Ленюк, М.П. Интегральные преобразования Фурье для кусочно-однородных неограниченных и полуограниченных сред / М.П. Ленюк .- Киев, Ин- т математики. АН УССР. -1985.- 60 с.

83. Ленюк, М.П. Интегральные преобразования Фурье-Бесселя и Вебера для кусочно-однородной полярной оси / М.П. Ленюк .- Киев, Ин- т математики. АН УССР. -1985.- 64 с.

84. Лифанов, И. К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент в математической физике, аэродинамике, теории упругости и дифракции волн/ И. К. Лифанов. - М.: Янус, 1995. - 519 с.

85. Лифанов, И. К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях / И. К. Лифанов.- М.: Наука, 1985.- 256 с.

86. Ломакин, В. А. Теория упругости неоднородных тел / В. А. Ломакин. -М.: Изд-во МГУ, 1976.- 368 с.

87. Лурье, А.И. Теория упругости / А.И. Лурье.- М.: Наука. - 940 с.

88. Лыков, А. В. Теория теплопроводности / А. В. Лыков.- М.: Высшая школа. 1967.-599 с.

89. Лыков, А.В. Теория сушки / А.В. Лыков. -М.: Энергия, 1968. - 472 с.

90. Д. В. Лукьяненко, А. Г. Ягола, Использование многопроцессорных систем для решения обратных задач, сводящихся к интегральным уравнениям Фредгольма 1-го рода, Тр. ИММ УрО РАН, 18, № 1, 2012, 222-234.

270

91. Марченко, В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения / В.А. Марченко.-Киев: Наукова думка. - 1977.-331 с.

92. Мелан, Э. Термоупругие напряжения, вызываемые стационарными температурными полями / Э. Мелан, Г. Паркус.-М.: Физматгиз, 1958.- 166c.

93. Малоземов, В. Н. Введение в минимакс / В.Н. Малоземов, В. Ф. Демьянов. -М.:Наука. - М. 1972. -368 с.

94. Михайлов, В.П. О граничных значениях решений эллиптических уравнений второго порядка / В.П. Михайлов //Матем. сб. -1976.-Т.100, № 142. -С. 5-13.

95. Моисеев, А.В. Решение дифференциальных уравнений теории теплопроводности методом операторов / А.В. Моисеев, Г.С. Колгушкина, О.Э. Яремко // Математические методы в технике и технологиях .ММТТ-25. Сборник трудов XXV Международной научной конференции. - Саратов: Саратовский гос. технический ун-т. - 2012.

96. Морс, Ф.М. Методы теоретической физики / Ф.М. Морс, Г. Фешбах .-М.: ИЛ. - 1958.-932С.

97. Мусхелишвили, Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н.И. Мусхелишвили. - М.: Наука, 1966.-707 с.

98. Найда, Л.С. Гибридные интегральные преобразования типа Ханкеля-Лежандра / Л.С. Найда //Мат. методы анализа динам. систем. -Харьков. -1984.- Т. 8.- С.132-135.

99. Никитенко Н.И., Снежкин Ю.Ф., Сороковая Н.Н. Моделирование тепломассопереноса, фазовых превращений и усадки при сушке / Н.И. Никитенко, Ю.Ф. Снежкин, Н.Н. Сороковая // Труды Международной научно-практической конференции “Современные энергосберегающие тепловые технологии (сушка и термовлажностная обработка материалов)”. -Т. 2. - М.: МГАУ. - 2002. - С. 49-53.

100. Новацкий, В. Теория упругости / В. Новацкий .-М.: Мир, 1975. - 871 с.

101. Оболашвили, Е.И. Преобразования Фурье и его применение в теории упругости / Е.И. Оболашвили .-Тбилиси: Мецниереба, 1979.- 230 с.

271

102. Петрова, А.Г. Одномерное движение эмульсии с затвердеванием / А.Г. Петрова, В.В. Пухначев // Прикладная механика и техническая физика. -1999. - Т. 40, № 3. - С.128-136.

103. Пивоварчик, В.Н. Обратная задача Штурма-Лиувилля с зависящими от спектрального параметра краевыми условиями / В.Н. Пивоварчик, Ван Дер Мей // Функц. анализ и его приложения. -2002. - Т. 36. № 4. - С. 74-77.

104. Плаксипа, О. А. Обратные задачи спектрального анализа для операторов Штурма-Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями / О. А. Плаксипа // Матем. сб. - 1986. - Т. 131, № 1. - С. 326.

105. Подстригач, Я.С. Обобщенная термомеханика / Я.С. Подстригач, Ю.М. Коляно.-Киев.: Наукова думка,1976.-312 с.

106. Подстригач, Я.С. Термоупругость тел при переменных коэффициентах теплоотдачи / Я.С. Подстригач, Ю.М. Коляно, В.И. Громовык, В.А. Лозбень. -Киев: Наук. думка, 1977. -158с.

107. Попов, С. В. Нелокальные контактные краевые задачи для итерированных уравнений теплопроводности / С. В. Попов // Мат. заметки ЯГУ. - 1994. - Т. 1, № 2. - С. 55-65.

108. Попов, C.B. Об одной краевой задаче со сдвигом для параболического уравнения переменного типа / C.B. Попов // Динамика сплошной среды. -Новосибирск. - 2000. - Вып.116. - С. 83-94.

109. Проценко, B.C. Обобщенное интегральное преобразование типа Фурье-Лежандра / B.C. Проценко, A.B. Головченко // Математические методы анализа. Харьков. - 1982. - № 6. - С. 26-28.

110. Проценко, В.С. Некоторые гибридные интегральные преобразования и их приложения в теории упругости неоднородных сред / В.С. Проценко, А.И. Соловьёв // Прикладная механика.-1982.- Т.13.-№ 1.-с.62-67.

111. Радыгин, В. М. Применение функций комплексного переменного в задачах физики и техники / В. М. Радыгин , О. В. Голубева .- М.: Высш. школа, 1983. - 160 с.

272

112. Радыгин, В. М. Фильтрационные теоремы о сферах / А. В. Копаев, В. М.

Радыгин. //. Известия АН СССР. МЖГ. - 1991. - № 2. - C. 105 - 109.

113. Руссаковский, Е. М. Матричная задача Штурма-Лиувилля со спектральным параметром в граничных условиях / Е. М. Руссаковский // Функц. анализ и его прил. -1993. -Т.27№ 1. -С. 86-88.

114. Руссаковский, Е.М. Задача Штурма- Лиувилля с параметром в граничных условиях / Е. М. Руссаковский //Труды сем. И. Г. Петровского . -1983,Т. 9. -

С. 190-229.

115. Садовничий, В. А. Обратные задачи Штурма-Лаувиля с нераспадающимися краевыми условиями / В. А. Садовничий, Я. Т. Султанаев, А. М. Ахтямов. - М.: МГУ, 2009-183 с.

116. Самарский, А. А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач / А. В. Бицадзе, А. А. Самарский // Докл. АН СССР. - 1969. - Т. 185, № 4. - C. 739- 740.

117. Самарский, А.А. Численные методы решения обратных задач математической физики / А.А.Самарский, П.Н. Вабищевич.- М.:Из-во ЛКИ. - 2009.-409 с.

118. Самко, С.Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. / С.Г. Самко, А.А. Килбас, О.И. Маричев .- Минск, Наука и техника, 1987.- 688 с.

119. Самко, С. Г. Гиперсингулярные интегралы и разности дробного порядка / С. Г. Самко //Дифференциальные уравнения и функциональные пространства, Сборник статей. Посвящается памяти академика Сергея Львовича Соболева, Тр. МИАН СССР. - М.:Наука. - 1990. М., Т. 192. -С. 164-182.

120. Снеддон, И. Преобразования Фурье / И. Снеддон.-М.: Изд-во иностр. лит- ры, 1955.- 668 с.

273

121. Ситник С.М. Факторизация и оценки норм в весовых лебеговых пространствах операторов Бушмана-Эрдейи / С.М. Ситник // ДАН СССР. -1991. - Т. 320. - № 6. - С. 1326-1330.

122. Ситник С.М. Композиционный метод построения В-эллиптических, В-параболических и В-гиперболических операторов преобразования / С.М. Ситник, В.В. Катрахов // Доклады РАН. - 1994. -Т. 337. - № 3. - С. 307-311.

123. Ситник С.М. О представлении в интегральном виде решений одного дифференциального уравнения с особенностями в коэффициентах /С.М. Ситник // Владикавказский математический журнал. - Вып. 4. -2010. - Т. 12. - С. 73-78.

124. Титчмарш, Е.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка / Е.Ч. Титчмарш.-М.: Изд-во иностр. лит., 1960.- 278 с.

125. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский.- М.: Наука, 1977.-735 с.

126. Тихонов, А.Н. Методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин .- М.: Наука, 1979.- 285 с.

127. Трантер, К. Д. Интегральные преобразования в математической физике / К. Дж. Трантер.-М.: Гостехтеориздат, 1956.- 204 с.

128. Уизем, Д. Линейные и нелинейные волны / Д. Уизем.-М.: Мир. - 1977.-624 с.

129. Уфлянд, Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости / Я.С. Уфлянд.- Л.: Наука. - 1967.- 402 с.

130. Уфлянд, Я.С. Об одном классе задач математической физики по смешанным спектром собственных значений / Я.С. Уфлянд, И.Т. Лозановская // Докл. АН СССР. - 1965.-Т.164,№ 5.-С.40-42.

131. Уфлянд, Я.С. О некоторых новых интегральных преобразованиях и их приложениях к задачам математической физики / Я.С. Уфлянд //Вопросы математической физики. Л. - 1976.- С.93-106.

274

132. Федосов, СВ. Математическая модель нестационарного теплопереноса в многослойной ограждающей конструкции / СВ. Федосов, Л.М. Ибрагимов, Л.Ю. Гнедина, А.В. Гущин // Доклады XII российско-польского семинара «Теоретические основы строительства».- Варшава. - 2003. -C. 253-261.

133. Фёдоров, В.Е. Нелокальная по времени задача для неоднородных эволюционных уравнений / Фёдоров В.Е., Иванова Н.Д., Фёдорова Ю.Ю. // Сиб. матем. журн. - 2014. - Т.55, № 4. - С. 882-897.

134. Черных, К. Ф. Симметричные функции симметричных тензоров в анизотропной теории упругости / К. Ф. Черных // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1970. - № 3. - С. 5-14.

135. Черных К.Ф. Альтернативный метод (расчленения граничных условий) в теории упругости / К.Ф. Черных // Изв. РАН. - 2006. - № 3. - С. 71-88.

136. Шапиро, 3. Я. Об эллиптических системах уравнений с частными производными /3. Я. Шапиро //Доклады АН СССР. -1945. - Т. 46, № 4. -С. 146-149.

137. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. т.2 / Г.М. Фихтенгольц. -М.: Физматлит, 2001.-810с.

138. Баврин, И. И. Операторы преобразования для краевых задач, интегральных представлений и восстановления зависимостей / И. И. Баврин, В. Л. Матросов, О. Э. Яремко. - М.: Прометей, 2016. - 358 с.

139. Яремко, О. Э. Метод операторных преобразований для функций бигармонических в шаре / О. Э. Яремко, Ю. А. Парфёнова // Известия ПГПУ им. В.Г. Белинского. -2009. -№ 17. - C.53-57.

140. Яремко, О.Э. Операторы преобразования и краевые задачи теории гармонических и бигармонических функций / Яремко О.Э . , Баврин И. И. // М.: Доклады РАН. -2003. -Т.393, № 4. -С.439-444.

141. Яремко, О.Э. Решение дифференциальных уравнений теории упругости методом операторов / О.Э. Яремко, Г.С. Колгушкина, А.В. Моисеев // Материалы XXIV Международной научной конференции «ММТТ-24» . -2011.

275

142. Яремко, О.Э. Операторы преобразования в задаче о структуре электромагнитного поля в многослойной среде / О.Э. Яремко // Радиотехника. Электромагнитные волны и электронные системы. -2006. -Т.11,№ 9. -С.4-8.

143. Яремко, О.Э, Парфёнова Ю.А. Задача продолжения функции, гармонической в шаре / О.Э. Яремко, Ю.А. Парфёнова //Вестник Московского государственного областного университета серия «Физика-математика». - 2010. - № 3. - С.3-9.

144. Яремко, О.Э, Елисеева Т. В. Интегральные представления функций гармонических в кольце / О.Э. Яремко, Т. В. Елисеева //. Известия ПГПУ им.

B. Г. Белинского. -2010. - № 18 (22). - С. 38-43.

145. Яремко, О.Э. Операторы преобразования и краевые задачи / О.Э. Яремко, И. И. Баврин // Дифференциальные уравнения. РАН. - 2004. -Т.40,№ 8. -

C. 1085-1095.

146. Яремко, О.Э. Аналитическое решение граничных задач для нестационарных модельных систем кинетических уравнений / О.Э. Яремко //Международная математическая конференция, посвященная памяти Ганса Гана. Тезисы докл.- Черновцы. - 1994.- С.158.

147. Яремко, О.Э. Аналитическое решение задачи о продолжении потенциала в кольце с внутренней окружности и задача Адамара / О.Э. Яремко // Вестник МГТУ «Станкин». - М.: МГТУ «Станкин». -2011. - № 1(13). -C. 102 -110

148. Яремко, О.Э. О локализации средних Рисса спектральных разложений в кусочно- однородном полупространстве / О.Э. Яремко, И.И. Баврин // М.:Доклады РАН. -2002. -Т.387, № 5. -С.586-588.

149. Яремко, О.Э. Интегральные представления в областях Темлякова-Вейля / О.Э. Яремко, И.И. Баврин // М.:ДАН СССР. -1986. -Т.289,№ 6.-С.1293-1996.

276

150. Яремко, О.Э. Операторный метод в теории интегральных преобразований для кусочно-однородных сред / О.Э. Яремко, И.И. Баврин //Докл. РАН-2001.- Т.379, № 3.-С.295-298.

151. Яремко, О.Э. Задача Дирихле в классе двояко-гармонических функций / О.Э. Яремко, И.И. Баврин // Комплексный анализ и его приложения, Межвуз. Сб. Науч. Тр. М.: Прометей. - 1996.-C. 11-24.

152. Яремко, О.Э. Интегральные преобразования Фурье на компактах из и их приложения к проблеме моментов / О.Э. Яремко, И.И. Баврин // М.:Доклады РАН. -2000. -Т.374,№ 2.-С.154-156.

153. Яремко, О.Э. Интегральные преобразования и представления функций в действительной и комплексной областях / О.Э. Яремко, И.И. Баврин, В.Л. Матросов.- М.: Прометей, 2000.- 416 с.

154. Яремко, О.Э. Операторы преобразования для краевых задач, интегральных представлений и восстановления зависимостей/ О.Э. Яремко, И.И. Баврин, В.Л. Матросов.- М.: Прометей, 2016.- 358 с.

155. Яремко, О.Э. Обобщённый оператор Римана-Лиувилля в классе матричнозначных функций гармонических в единичном круге и его применения / О.Э. Яремко, И.И. Баврин, В.Л. Матросов // Математический анализ, Межвуз. Сб. Науч. Тр. М.: Прометей. -2000.-С. 3-12.

156. Яремко, О.Э. Спектральная теория матричных гибридных операторов и ее применения / О.Э. Яремко, И.И. Баврин, В.Л. Матросов.- М.: Прометей, 1996.- 236 с.

157. Яремко, О.Э. Параметризация границы кратно-круговых областей и ее приложения / О.Э. Яремко, И.И. Баврин // Всесоюзный симпозиум по теории приближения функций. Тезисы докл.- Уфа. - 1987.- С.14-16.

158. Яремко, О.Э. Распространение интегральных преобразований Фурье для кусочно- однородного полупространства операторным методом / О.Э. Яремко, И.И. Баврин // Математический анализ. Меж- вуз. Сб. Науч. Тр. -М.: Прометей. - 1998.-С. 44-49.

277

159. Яремко, О.Э. Операторы преобразования в теории смешанных краевых задач кусочно-однородных структур / О.Э. Яремко, Т.В. Елисеева // Труды СВМО.-2005. -Т 7,№ 1-С. 223-231.

160. Яремко, О.Э. Задача линейного сопряжения на сфере / О.Э. Яремко // Интегральные преобразования и их применения для краевых задач.- Киев. Ин-т математики. - 1996.- вып.11.- С.235-257.

161. Яремко, О.Э. Задача продолжения потенциала в шаре с внутренней сферы из / О.Э. Яремко // Проблемы информатики в образовании, управлении, экономике и технике: Сб. статей Междунар. научно-техн. конф.- Пенза: ПДЗ. - 2010. - С. 58-62.

162. Яремко, О.Э. Задача продолжения функции гармонической в шаре

/ О.Э. Яремко // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского физикоматематические и технические науки. -2010. - № 18 (22). -С.34-38.

163. Яремко, О.Э. Интегральные преобразования типа Фурье-Бесселя для кусочно-однородной полярной оси / О.Э. Яремко // Интегральные преобразования и их применения для краевых задач.- Киев. - 1996. -вып.11.- С.276-280.

164. Яремко, О.Э. Интегральные преобразования Фурье в задаче о структуре нестационарного температурного поля на кусочно-однородной полуоси / О.Э. Яремко // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Физико-математические науки. 2006. - № 1. - С. 42-48.

165. Яремко, О.Э. Интегральные преобразования Фурье на компактах из / О.Э. Яремко // Тезисы докл. научно-практической конференции. Пенза. -1999.-С.83-84.

166. Яремко, О.Э. Интегральные преобразования, порожденные одномерным оператором Дирака, для сегмента с точками сопряжения / О.Э. Яремко // Труды третьей международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения ".- Саранск. -1998.-С.176-177.

278

167. Яремко, О.Э. Матричные интегральные преобразования для (n+1)-слойного полупространства / О.Э. Яремко, М.П. Ленюк // Дифференциальные уравнения. Интегральные уравнения, специальные функции. Тезисы докл.-Самара. -1997.- С.99-100.

168. Яремко, О.Э. Матричные интегральные преобразования / О.Э. Яремко, М.П. Ленюк.- Киев: Ин- т математики НАН Украины. - 1999.- 240 с.

169. Яремко, О.Э. Ленюк М.П., Смешанные матричные интегральные преобразования Вебера для (п+1)-слойного полупространства / О.Э. Яремко, М.П. Ленюк // Вестник педагогического университета. Душанбе. -2001.- № 1. -C.39-47.

170. Яремко, О.Э. Матричные гибридные интегральные преобразования и их применения / О.Э. Яремко.-Киев: Ин- т математики НАН Украины. - 1997.- 117 с.

171. Яремко, О.Э. Матричные интегральные преобразования в задачах движения вязкой жидкости под действием поверхностной нагрузки / О.Э. Яремко // Фунд. физико--матем. проблемы и моделирование технико--технолог. систем. Вып. 14. Материалы второй Международной научной конференции «Моделирование нелинейных процессов и систем».-М.:Станкин. - 2011. - С. 396-403.

172. Яремко, О.Э. Матричные интегральные преобразования для (n+1)-слойного полупространства / О.Э. Яремко // Краевые задачи для дифференциальных уравнений.- Киев : Ин- т математики НАН Украины. -1998.- вып.2.- C.292-298.

173. Яремко, О.Э. Матричные интегральные преобразования типа Ватсона для n- слойного полупространства / О.Э. Яремко // Интегральные преобразования и их применения для краевых задач.- Киев. : Ин- т математики НАН Украины. - 1996.- вып.13.- C.234-242.

174. Яремко, О.Э. Матричные интегральные преобразования типа Фурье для n- слойного полупространства, порожденные дифференциальными операторами четвертого порядка / О.Э. Яремко // Интегральные

279

преобразования и их применения для краевых задач.- Киев: Ин- т математики НАН Украины. - 1996.- C.258-264.

175. Яремко, О.Э. Матричные интегральные преобразования Фурье для (n+1)-слойного полупространства со спектральным параметром в граничных условиях / О.Э. Яремко // Краевые задачи для дифференциальных уравнений. Сб. Науч.Тр.- Киев. -2000. Вып.5. -C.259-269.

176. Яремко, О.Э. Матричные интегральные преобразования Фурье для двухслойного полупространства / О.Э. Яремко // Краевые задачи для дифференциальных уравнений. Киев: Ин- т математики НАН Украины.-

1995.-вып.10.-С205-217.

177. Яремко, О.Э. Матричные интегральные преобразования Фурье для задач с разрывными коэффициентами и операторы преобразования / О.Э. Яремко // Доклады Академии Наук. -Т. 417, № 3. -2007. - С.323-325.

178. Яремко, О.Э. Матричные интегральные преобразования Фурье для полупространства со спектральным параметром в граничных условиях / О.Э. Яремко // Краевые задачи для дифференциальных уравнений.- Киев: Ин- т математики НАН Украины.-1998.- вып.1.- С.271-277.

179. Яремко, О.Э. Метод операторов преобразования для математического моделирования полей в кусочно-однородных средах / О.Э. Яремко // Моделирование нелинейных процессов и систем. Третья международная конференция, сборник тезисов. - М.:Станкин. - 2015. -С. 185-186.

180. Яремко, О.Э. Метод операторов преобразования для решения векторных краевых задач / О.Э. Яремко // М.:Доклады РАН. -2007. -Т. 415, № 1.-С. 31-35.

181. Яремко, О.Э. Метод операторов преобразования для решения краевых задач в сферически-симметричных областях / О.Э. Яремко // М.: Доклады РАН. -2006. -Т.409,№ 2.-С.167-170.

182. Яремко О.Э. Метод радиально базисных функций в задаче Дирихле для уравнения Лапласа и его реализация в MATLAB / О.Э. Яремко, Д.А. Хоцян // Проблемы информатики в образовании, управлении, экономике и технике:

280

Сб. статей XVII Междунар. научно-техн. конф. - Пенза: ПДЗ. - 2017. - С. 65-69.

183. Яремко, О.Э. Моделирование явлений теплопроводности в кусочнооднородных структурах / О.Э. Яремко // VII Международная Конференция. Проблемы информатики в образовании, управлении, экономике и технике: Сб. статей междунар. научно-техн. конф.- Пенза: ПДЗ. -2007.-С.36-40.

184. Яремко, О.Э. Обращение интегральных преобразований с ядрами Дирака. / О.Э. Яремко // Современные проблемы математики. Тезисы докл.-Черновцы-Киев. -1998.-С.246-248.

185. Яремко, О.Э. Преобразования с ядрами Миттаг-Леффлера на кусочнооднородной полуоси и их обращение при помощи преобразований Фурье / О.Э. Яремко // Международная школа- семинар по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. Тезисы докл.- Абрау-Дюрсо. -1998.-С.140-141.

186. Яремко, О.Э. Преобразования Фурье для кусочно- однородного полупространства и их обращение посредством преобразований с ядрами Миттаг-Лефф Краевые задачи для дифференциальных уравнений.- Киев . -1998.- вып.3.- С.300-306.

187. Яремко, О.Э. Решение обратных краевых задач в кусочно-однородных средах методом регуляризации / О.Э. Яремко // Программные продукты и системы. Приложение к международному журналу “Проблемы теории и практики управления” Тверь. -2007. - Т.3,№ 79. -С.91-92.

188. Яремко, О.Э. Векторное преобразование Фурье с разрывными коэффициентами и его применение в теории упругости / А. А. Малышев, О. Э. Яремко// Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер. -2011-№ 8(89).-C. 50-58.

189. Яремко, О.Э. Связь интегрального преобразования Фурье для двухслойного пространства с интегралом типа Пуассона для полуплоскости / О.Э. Яремко // Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения.-Киев. - 1995.- С.293-296.

281

190. Яремко, О.Э. Спектральная теория оператора Дирака в регулярном случае для кусочно-однородного сегмента полуплоскости / О.Э. Яремко // Краевые задачи для дифференциальных уравнений.-Кшв. - 1999.-^1^4.-0235-242.

191. Яремко, О.Э. Фильтрационная теорема о сферах / О.Э. Яремко // Интегральные преобразования и их применения для краевых задач.- Киев. -

1996.- вып. 4.- C.219-225.

192. Яремко, О.Э. Формула Пуассона для шарового слоя / О.Э. Яремко // Интегральные преобразования и их применения для краевых задач.- Киев. -1994.- вып. 5.- C.224-226.

193. Яремко, О.Э. Формулы Кирхгофа для решения волнового уравнения в кусочно-однородном пространстве / О.Э. Яремко // IX Международная Конференция. «Проблемы информатики в образовании, управлении, экономике и технике». Сб. статей междунар. научно-техн. конф.- Пенза: ПДЗ. -2009. -С.119-121.

194. Яремко, О.Э. Формулы типа Даламбера для волнового уравнения на двухслойной действительной оси в CAS / О.Э. Яремко // Проблемы информатики в образовании, управлении, экономике и технике: Сб. статей XVI Междунар. научно-техн. конф. - Пенза: ПДЗ. -2016. - С. 62-65.

195. Яремко, О.Э. Операторы преобразования и краевые задачи. Дифференциальные уравнения / О.Э. Яремко, И. И. Баврин // РАН. М. -2004. - Т.40,№ 8. -С.1085-1095.

196. Яремко, О.Э. Реконструкция функции, аналитической в единичном круге из C / О.Э. Яремко, И. И. Баврин // Владикавказский математический журнал. - 2017 . - Т. 19, № 1. - C.3-10.

197. Яремко, О.Э. Решение смешанной краевой задачи с внутренними условиями сопряжения для уравнения Лапласа в кольце / О.Э. Яремко, А. А. Малышев // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского, физико-математические и технические науки. -2010- № 18 (22). - С.43-46.

282

198. Яремко, О.Э. Оптимальное граничное управление в третьей краевой задаче для уравнения Лапласа в шаре / О.Э. Яремко, Ю. А. Парфёнова // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского, физико-математические и технические науки. -2010- № 18 (22). -С.46-51.

199. Яремко, О.Э. Параллельные вычисления для преобразования Фурье с разрывными коэффициентами / О.Э. Яремко, Н.Н. Яремко // Вестник Тамбовского Университета Серия: Естественные и технические науки. -2010. - Т.15, № 4. - С. 1436-1442.

200. Яремко, О. Э. Статистические структуры, порождаемые рандомизированными плотностями распределения / О. Э. Яремко, И. И. Баврин, В. И. Паньженский // Чебышевский сб. -2015. - Т.16№ 4 . - C.28-40.

201. Яремко, О. Э. Обращение обобщенного оператора Римана-Лиувилля с помощью интегрального преобразования Лапласа / О. Э. Яремко, И. И. Баврин // Уфимск. матем. журн. -2016. -Т. 8,№ 3. -С. 41 -48.

202. Яремко, О.Э. Моделирование потенциальных полей в средах с тонким включением методом деформирующих операторов / О. Э. Яремко, Е.С. Могилева // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2013. -Т. 4 № 28. -С. 49-60.

203. Яремко, О.Э. Обобщение интегральной формулы Пуассона для гармонических и бигармонических в шаре функций / О.Э. Яремко // Новосибирск, Матем. тр. -2013. -Т. 16, №:1 . - С. 189-197.

204. Яремко, О.Э. Метод радиально базисных функций для гауссовой фильтрации сигналов и его реализация в MatLab / О.Э. Яремко, Н.Н. Яремко // Проблемы информатики в образовании, управлении, экономике и технике: Сб. статей XVII Междунар. научно-техн. конф. - Пенза: ПДЗ, 2017. - С. 65-68.

205. Berezanskii, U. M. Integration of Some Differential-Difference Nonlinear Equations Using the Spectral Theory of Normal Block Jacobi Matrices / U. M. Berezanskii, A. A. Mokhon'ko // Funct. Anal. Appl. - 2008. -V.42№ 1. - P. 1-18.

283

206. Carroll, R. Toward a general theory of transmutation / R. Carroll, A. Boumenir. // arXiv: fUnct.an/9501006. 1995. 19 p.

207. Delsarte J., Lions, Jacques-Louis Transmutations d'operateurs differentiels dans le domaine complexe / J.Delsarte, J.-L. Lions // (French) C. R. Acad. Sci., Paris. -1957. - V.244. -P. 832-834.

208. Binding, P. A. Sturm-Liouville problems with eigenparameter dependent boundary conditions / P. A. Binding, P. J. Browne and К. Seddighi // Proc. Edinburgh Math. Soc. 37. - 1993. - P. 57-72.

209. Fasano, A. General free-boundary problems for the heat equation / A. Fasano, M. Primicerio //I. J Math Anal Appl. -1977. -V.57. -P.694-723.

210. Fokas, A. S. A transform method for linear evolution PDEs on a finite interval / A. S. Fokas, B. Pelloni // IMA J. Appl. Math. - 2005. -V.70. - P.564-587.

211. Fulton, С. T. Two-point boundary value problems with eigenvalue parameter contained in the boundary conditions / С. T. Fulton // Proc. Roy. Soc. Edin. -1977. -V. 77A. -P. 293-308.

212. Grafakos, L. Classical and Modern Fourier Analysis, 2nd ed./ L. Grafakos . -New York, Springer. - 2008.-P.489.

213. Gurpreet, S. B. Radial Basis Function Methods for Solving Partial Differential Equations / S. B. Gurpreet, A. Geeta // A Review. Indian Journal of Science and Technology. - 2016. - Vol 9,№ 45 .

214. Hinton, D. В. An expantion theorem for an eigenvalue problem with eigenvalue parameter in the boundary condition / D. В. Hinton // Quart. J. Math. Oxford. -1979. - V.30, № 2. - P. 33-42.

215. Iaremko, O. E. Kernel basis functions method for coupled mathematical models of heat and mass transfers. International conference on mathematical modelling in applied sciences / O. E. Iaremko, V. I. Gorbachenko, M. M. Alqezweeni // Saint Petersburg-Russia, SPbPU Publication. - 2017. - P. 79-80.

216. Lions, J. L. Operateurs de Delsarte et problemes mixtes / J. L. Lions // Bull. Soc. Math., France. -1956. - V.84 . -P.9-95.

284

217. Lychev, S. A. Closed solutions of boundary-value problems of coupled thermoelasticity / S. A. Lychev, A. V. Manzhirov, S. V. Joubert // 2010. - Vol. 45, № . 4. - P. 610-623.

218. Polyanin, A.D. Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations / A.D. Polyanin, V. F. Zaitsev // London, New York: CRC Press. -2003.- P.803.

219. Schneider, A. A. A note on eigenvalue problems with eigenvalue parameter in the boundary conditions / A. A. Schneider // Math. Z. - 1974. -V. 136. - P. 163-167.

220. Sitnik, S.M. Buschman-Erdelyi transmutations, classification and applications / S.M. Sitnik // In the book: Analytic Methods Of Analysis And Differential Equations: Amade 2012. (Edited by M.V. Dubatovskaya, S.V. Rogosin). At Cambridge : Cambridge Scientific Publishers, Cottenham. cientificons: Amade 2

221. Sitnik S.M. Transmutations and Applications: a survey / S.M. Sitnik // [math.CA] arXiv:1012.3741 [Электронный ресурс]. — 2010. — 141p.

222. Stone, M. H. Irregular differential systems of order two and realted expantions problems / M. H. Stone // Trans. Amer. Math. Soc. - 1927. -V. 29. -P.23-53.

223. Traytak, S. D. On the time-dependent diffusive interaction between stationary sinks / S. D. Traytak // Phys. Letters. - 2008. - V. 453. - P. 212-216.

224. Walter, J. Regular eigenvalue problems with eigenvalue parameter in the boundary conditions / J. Walter // Math. Z. - 1973. -V. 133. -P. 301-312.

225. Wong, S.M. Multi-zone decomposition of time-dependent problems using the mulitquadric scheme / S.M.Wong, , Y.C. Hon, T.S. Li, S.L. Chung, E.J. Kansa // Comput. Math. Applic. -1999. -V. 37. -P. 23-43.

226. Zettl, A. Sturm-Liouville Theory / A. Zettl.- New York,AMS. - 2005.-P.328.

227. Yaremko, O. E. A generalization of the Poisson integral formula for the functions harmonic and biharmonic in a ball / O. E. Yaremko // Siberian Adv. Math. -2014. -V. 24,№ 3. -P. 222-227.

228. Yaremko, O. Vector transform operators / O. Yaremko // Asian Journal of Mathematics and Physics. - 2013. -V.1. -P.1-8.

285

229. Yaremko, O. Boundary Value Problem for two-layer half-plain / O. Yaremko // Asian Journal of Mathematics and applications. - 2013. -V. 1. - P.1-10.

230. Yaremko, O. Hermite functions with discontinuous coefficients for the solution of fractal diffusion retrospective problems / O. Yaremko, E. Mogileva // International journal of applied mathematics and informatics. -2013. - V.7,№ 3. -P.78-86.

231. Yaremko, O. The Cauchy problem and Hadamard's example / O. Yaremko, E.Mogileva // Global Journal of Mathematical Analysis. - 2013. - V.1,№ 2. -P. 48- 52.

232. Yaremko, O. The Solution of Fractal Diffusion Retrospective Problem / O.Yaremko, E.Mogileva // Applied Mathematics and Physics. - 2013. - V.1,№ 3. -P. 60-66.

233. Yaremko, O. Matrix Fourier Transforms and Application / O.Yaremko, O.Nikitina, E.Zuravleva // International Journal of Partial Differential Equations and Applications. - 2014. -V. 2№ 5. -P.91-95.

234. Yaremko, O. On a New Formulas for a Direct and Inverse Cauchy Problems of Heat Equation / O.Yaremko, N.Yaremko // International Journal of Partial Differential Equations and Applications, Science and Education Publishing. -2014. -V. 2, № 1. -P. 1-6.

235. Yaremko, O. Transformation operators and their applications for modeling in two-layer media / O.Yaremko, N.Yaremko // Global Journal of Mathematical Analysis. - 2014. - Vol 2, No 4. -P.1-10.

236. Yaremko, O. Vector Transformation Operators for a Systems Partial Differential Equation / O.Yaremko, N.Yaremko, T.Eliseeva //International Journal of Partial Differential Equations and Applications. - 2015. -V3,№ 1. -P. 7-11.

237. Yaremko, O. Fourier-type integral transforms in modeling of transversal oscillation / O.Yaremko, N.Yaremko, N.Tyapin // International Journal of Applied Mathematics, Electronics and Computers. -2015. - Vol 3, No 1. -P.18-22.

286

238. Yaremko, O.E. Matrix Integral Fourier-Bessel Type Transforms on Piecehomogenius Polar Axis / O.E. Yaremko, M.P. Lenuk // Крайовi задачi для диференщальних рiвнянь.- Ки!в. - 1998.- V.1.- P.154-162.

239. Yaremko, O.E. Matrix Integral Fourier type 2q order transforms on real axis with n contact points / O.E. Yaremko, M.P. Lenuk // Крайовi задачi для диференщальних рiвнянь.- Кшв. - 1998.- V.2.- P.185-192.

240. Yaremko, O.E. The Fourier Transform with piecewise trigonometric kernels and its Applications / O.E. Yaremko, V.D. Selutin, N.N. Yaremko // WSEAS transactions on Mathematics. -2014. -Vol. 13. -P. 615 - 627.

241. Iaremko O.E. Matrix Fourier Integral Transforms for Coupled Mathematical Models. Nonlinearity: Problems, Solutions and Applications. Volume 1, Chapter

9. Nova Science Publishers, Hauppauge, New York, 2017, pp.151 - 170.

242. Yaremko O.E. Fundamental solution method for coupled mathematical models of heat and mass transfers / V. Gorbachenko, O. Yaremko, N. Yaremko, M. Alkazweeny// International Journal of Pure and Applied Mathematics. Academic Publications, LTD , Sofia.- 2018.- Vol. 118, No 3.-P. 637 - 649.

243. Iaremko O.E. Matrix Fourier Transforms for Consistent Mathematical Models/ O. Yaremko, N. Yaremko// Hindawi. Chinese Journal of Mathematics.- 2016-P.1-

10.

287

Приложение

А Алгоритм

вычисления

взаимосвязанного

тепломассообмена методом матричного преобразования Фурье

начало

ввод коэффициентов уравнений,данных условий сопряжения, начальных условий fl,f2

ф

Х<1

f

вычисление Fi (А)- вычисление F2 (А)-

изображение/1 при изображение/2 при

х<1 Решение в изображениях х>1

U(A):=e-^(Fi (A)+F, (А))

конец

288

Приложение В Вычисление взаимосвязанного тепломассообмена для двухслойной среды методом операторов преобразования

начало

модельное начальное условие f при х>1

модельное начальное условие f ППМ Х<1

3S,

конец

289

Приложение С Вычисления взаимосвязанного тепломассообмена для многослойной среды методом операторов преобразования

начало

290

Приложение D Алгоритм вычисления матричного интегрального

конец

291

Приложение Е Интерпретация потенциальных полей в двухслойной среде с плоской симметрией

конец

292

Приложение F Приложение GUIDE для решения стационарных двумерных краевых задач теплопереноса

function varargout = model(varargin)

% MODEL M-file for model.fig

% MODEL, by itself, creates a new MODEL or raises the existing

% singleton*.

% H = MODEL returns the handle to a new MODEL or the handle to

% the existing singleton*.

% MODEL('CALLBACK',hObject,eventData,handles,..) calls the local

% function named CALLBACK in MODEL.M with the given input arguments.

% MODEL('Property','Value',..) creates a new MODEL or raises the

% existing singleton*. Starting from the left, property value pairs are

% applied to the GUI before model_OpeningFcn gets called. An

% unrecognized property name or invalid value makes property application

% stop. All inputs are passed to model_OpeningFcn via varargin.

% *See GUI Options on GUIDE's Tools menu. Choose «GUI allows only one

% instance to run (singleton)».

% See also: GUIDE, GUIDATA, GUIHANDLES

% Edit the above text to modify the response to help model

% Last Modified by GUIDE v2.5 19-Sep-2017 15:41:03

% Begin initialization code-DO NOT EDIT

gui_Singleton = 1;

gui_State = struct('gui_Name', mfilename, ..

'gui_Singleton', gui_Singleton, ..

'gui_OpeningFcn', @model_OpeningFcn, ..

'gui_OutputFcn', @model_OutputFcn, ..

'gui_LayoutFcn', [] , ..

'gui_Callback', []);

if nargin && ischar(varargin{1})

gui_State.gui_Callback = str2func(varargin{1});

end

if nargout

[varargout{1:nargout}] = gui_mainfcn(gui_State, varargin{:});

else

gui_mainfcn(gui_State, varargin{:});

end

% End initialization code-DO NOT EDIT

%-----Executes just before model is made visible.

function model_OpeningFcn(hObject, eventdata, handles, varargin)

% This function has no output args, see OutputFcn.

% hObject handle to figure

% eventdata reserved-to be defined in a future version of MATLAB

% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

% varargin command line arguments to model (see VARARGIN)

293

% Choose default command line output for model handles.output = hObject;

% Update handles structure

guidata(hObject, handles);

% UIWAIT makes model wait for user response (see UIRESUME)

% uiwait(handles.figure_model);

%-----Outputs from this function are returned to the command line.

function varargout = model_OutputFcn(hObject, eventdata, handles)

% varargout cell array for returning output args (see VARARGOUT);

% hObject handle to figure

% eventdata reserved-to be defined in a future version of MATLAB

% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

% Get default command line output from handles structure

varargout{1} = handles.output;

%-----Executes on selection change in popupmenu_task.

function popupmenu_task_Callback(hObject, eventdata, handles)

% hObject handle to popupmenu_task (see GCBO)

% eventdata reserved-to be defined in a future version of MATLAB

% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

% Hints: contents = get(hObject,'String') returns popupmenu_task contents as cell array

% contents{get(hObject,'Value')} returns selected item from popupmenu_task

%-----Executes during object creation, after setting all properties.

function popupmenu_task_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)

% hObject handle to popupmenu_task (see GCBO)

% eventdata reserved-to be defined in a future version of MATLAB

% handles empty-handles not created until after all CreateFcns called

% Hint: popupmenu controls usually have a white background on Windows.

% See ISPC and COMPUTER.

if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white');

end

%-----Executes on button press in btnplot.

function btnplot_Callback(hObject, eventdata, handles)

% hObject handle to btnplot (see GCBO)

% eventdata reserved-to be defined in a future version of MATLAB

% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

F cnPop=get(handles.popupmenu_task, ' String');

PopId=get(handles.popupmenu_task, 'Value');

FcnName=FcnPop{PopId};

if PopId==2

x = (-4:0.1:4)';

gdata = atan(1*(x+1))+atan(1*(1-x))+0.1*(rand(size(x))-.5);