Мечено-порядковые многогранники тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Мелихова Екатерина Владимировна

• Мелихова Екатерина Владимировна
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Мелихова Екатерина Владимировна

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ

Объект и предмет исследования

Цель и задачи исследования

Актуальность исследования 6 Общее описание области исследований и место полученных результатов в

общем контексте области исследований

Результаты, выносимые на защиту 8 Описание методов, которыми получены результаты, выносимые на защиту

Формулировки основных результатов исследования 10 Рекуррентное соотношение на /-многочлен многогранника Гельфанда-

Цетлина

/

многогранника Гельфапда-Цетлина

/

Мечено-порядковый многогранник и его кубо-еимнлициалыюе подразбиение

Вычисление /-вектора многогранника О(Р, А)

Теоретическая и практическая значимость работы

Апробация результатов исследования

Публикации автора но теме диссертации

Личный вклад

Благодарности

Часть 1. МНОГОГРАННИКИ ГЕЛЬФАНДА^ЦЕТЛИНА

1.1. Введение

1.2. Рекуррентное соотношение

1.3. Вычисления с использованием рекуррентного соотношения

1.3.1. Симплексы Гельфапда-Цетлина

1.3.2. Одна лемма о комбинаторной эквивалентности

1.3.3. Вычисление /- и ^-многочлена многогранников GZ(1 2к 3)

1.3.4. Вычисление /- и ^-многочленов многогранников GZ(1 2 3к) и

GZ(22 3к)

Часть 2. МЕЧЕНО-ПОРЯДКОВЫЕ МНОГОГРАННИКИ

/

2.2. Мечено-порядковый многогранник и его кубо-еимнлициалыюе

подразбиение

2.3. Вычисление /-вектора многогранника О(Р, А)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

57

Список литературы

ВВЕДЕНИЕ

По произвольному выпуклому многограннику и его подразбиению мы строим ко-цепной комплекс, размерности групп когомологий которого (над Z2) совпадают с /-вектором исходного многогранника. Далее мы показываем, что в случае мечено-порядкового многогранника и его канонического кубо-симплициалыюго подразбиения построенный коцешюй комплекс можно комбинаторно описать — получив тем

/

зультаты опубликованы в работе |М2|,

Одним из важных примеров мечено-порядковых многогранников являются многогранники Гельфанда-Цетлина, возникающие в теории представлений классических групп, В случае многогранников Гельфанда-Цетлина мы выводим рекуррепт-

/

нескольких простейших типов, образующих одпонараметрические семейства, с помощью найденного рекуррентного соотношения явно выписаны /-многочлен и Н-многочлен. Эти результаты опубликованы в работе |М1|,

Объект и предмет исследования

Определение . Пусть А1 < • • • < А* — неубывающая конечная последовательность действительных чисел. Рассмотрим треугольную таблицу

А1

Л2

«1,1 «1,2 «2,1

Аз

«2,2

«1,3

А4

А*

«1,8-

«2,*-2

(1)

«8-2,1 «8-2,2 «8- 1,1

Будем считать, что каждые три символа а, Ь, с, которые в таблице стоят в вершинах треугольника

а с Ь,

а < Ь < с

набор линейных неравенств, зависящих от А^, который определяет некоторый выпуклый многогранник в К - , Заметим, что координаты в нашем случае занумерованы упорядоченными парами целых чисел (г, ]), оде г пробегает значения от 1 до в — 1, а ] пробегает значен ия от 1 до в —г. Этот выпуклый многогранник называется м'1 югогрт 1,1 шком Гелъфт /,да-Цетлич ш,, соответствующим последовательности, А1 < • • • < А*. Обозначим его через GZ(А1... А8).

Пример . Рассмотрим многогранник GZ(12 3), Выпишем соответствующую ему треугольную таблицу и систему линейных неравенств (3). Заметим, что первые

две строки системы ( ) определяют параллелепипед, из которого (12 3) высекается полупространствами, заданными неравенствами: м^, < п2д и п2д < «т2. Построим многогранник (12 3) (см, рис, ),

2 3 I 1 < «1,1 < 2,

«1,1 «1,2 ^ < 2 < и1,2 < 3,

«2,1 I «1,1 < «2,1 < «1,2.

(3)

«2,1

«1,2

«1,1

Рис. . Многогранник (12 3), высеченный из параллелепипеда.

Дадим ещё одно определение. Пусть Р = (Р, — конечное частично упорядоченное множество (далее — чум), Р* — подмножество Р, содержащее все экстремальные элементы и Р* = (Р*, — заданный им подчум чума Р (далее — подчум отмеченных элементов), Л — сохраняющая порядок функция Р* ^ К. Векторное пространство Кр функций Р ^ К изоморфно координатному пространству К#р; значение функции х Е Кр на элементе р Е Р отождествляется с р-ой координатой хр соответствующей точки.

Определение . Мечено-порядковым, многогранником 0(Р, Л) называется множество точек х Е Кр, таких что хр < хд, если р ^ д, и ха = Л (а), если а Е Р*,

Определение 2.14. Будем говорить, что в чуме Р = (Р, ^элемент д накрывает элемент р и писать р д, если р и д различны, р ^ д и условие р ^ г ^ д не выполнено для любого г Е Р отличного от р и д.

Пример . Пусть Р = {г,р, д, 5, ¿}. Отношение частичного порядка ^ зададим накрывающими соотношениями: г —• р —• д —• 5 и р —• £ (рис. 6а). В качестве Р* выберем трёхэлементное подмножество {г, Сохраняющую порядок функцию Л : Р* ^ К определим равенствами: Л(г) = 0 Л(з) = 2 и Л(£) = 1 (рис, 66), Выпишем систему неравенств, определяющую многогранник 0(Р, Л) и построим его проекцию на плоскость Охрхд (рис, в). Согласно определению (2,11),

0(Р,Л)

>х г < < >х ^ < >х §

о

^С р < £

1

2

q• *t

У

a)

q• ei

I/

v

o®

6)

0(V, А)

Xr¡

Рис. . а) Диаграмма Хассе чума Р из примера ; б) та же диаграмма Хассе, в которой выделены элементы Р* и указаны значения функции А на них; в) проекция 0(Р, А) на координатную плоскость

Замечание 2.13. Несложно видеть, что многогранник Гельфапда-Цетлина является мечено-порядковым многогранником.

Цель и задачи исследования

Мы изучаем комбинаторику мечено-порядковых многогранников. В частности, хотим описать ¡-вектор такого многогранника (т.е. конечную последовательность (/о, /1,..., /п), оде ¡г - число г-мерных граней, п - размерность многогранника). Соответствующую производящую функцию / (¿) = /0 + /1 • £ + • • • + /п • ¿п называют /

В некоторых случаях нам будет удобнее рассуждать на языке к-многочлена. По/

пп

к(в) := /(в - 1) = £ кгв\ кг = £ /к(-1)к-

г=0 к=г

Конечную последовательность (к0, к1,..., кп) называют к-вектором.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Мечено-порядковые многогранники»

Актуальность исследования

Многогранники Гельфапда-Цетлина берут своё начало в теории представлений группы GL(n) (см. [ , §5.2] и [ ]) и тесно связаны с исчислением Шуберта и топологией многообразий полных флагов (см. |15| и |11|). Так, кольцо когомологий многообразия полных флагов Fl(n) изоморфно кольцу Хованского-Пухликова многогранника Гельфанда-Цетлина GZ (Ai. ..An), оде Ai < ••• < An (К. Каве; см. |15, §5.1|), причём умножение в этом кольце описывается в терминах пересечения граней многогранника GZ(А1... An) (см. [ ] и [ , §5.4]). Таким образом, комбинаторика многогранников Гельфапда-Цетлина представляет определённый интерес.

Понятие мечено-порядкового многогранника впервые ввели Ф, Ардила, Т, Блим и Д. Салазар в работе |2|, они же впервые отмстили, что многогранники Гельфанда-Цотлина можно рассматривать как мечено-порядковые многогранники. Поэтому изучение комбинаторики мечено-порядковых многогранников безусловно окажется полезным, в частности, дня изучения комбинаторики многогранников Гельфанда-Цетлина и ряда других многогранников, возникающих в комбинаторике, теории представлений и алгебраической геометрии.

Общее описание области исследований и место полученных

результатов в общем контексте области исследований

Пусть Р = (Р, - конечное частично-упорядоченное множество с наименьшим и наибольшим элементами 0 и 1. Порядковый многогранник О(Р) лежит в конечномерном векторном пространстве Кр всех отображений х из Р в прямую, В этом пространстве он задаётся неравенствами х(р) < х(д) для всех р, д из Р, таких что р ^ д, а также равенствами х(0) = 0 х(1) = 1, Порядковый многогранник определил и начал изучать в 1981 году Гейсингер, В работе |6| он описан решётку граней многогранника О(Р), а также каноническую триангуляцию этого многогранника. Эти результаты можно найти также в работе |16| Р. Стенли, где они приведены как совокупность уже известных фактов,

Ф, Ардила, Т. Блим и Д. Салазар в работе |2| рассмотрели общее обобщение многогранника О(Р) и многогранников Гельфанда-Цетлина. Оно строится по конечно-

Р

Р

Л

0(Р, Л) (см, определение ),

К, Петель в работе |13|, обобщая подход Гейсипгера, дан комбинаторное описание решётки граней многогранника 0(Р, Л), В той же статье он определил регулярные частичпо-упорядочеппые множества и доказан, что их накрывающие соотношения находятся во взаимно однозначном соответствии с гинерграпями соответствующих им мечено-порядковых многогранников.

Мы хотим описать /-вектор мечено-порядкового многогранника. Безусловно, к решению этой задачи можно подходить непосредственно, опираясь па описание решётки граней 0(Р, Л), которое дал К, Пегель [ ], Мы предлагаем другой, менее очевидный подход.

Для произвольного (политопального) подразбиения К произвольного выпуклого многогранника М мы строим коцепной комплекс С* (над Z2), такой что размерности его когомологий совпадают с компонентами /-вектора многогранника М (см,

лемму 2,7), В случае мечено-порядковых многогранников эту конструкцию удаётся

/

ка 0(Р, Л) имеется кубо-симплициальное подразбиение КР,л (каждый элемент этого

подразбиения является произведением симплексов), которое обобщает «каноническую» триангуляцию Стенли порядкового многогранника O(P). Для многогранника Гельфанда-Цетлина это кубо-симплициалыюе подразбиение построй,:: А, Постников |14, proof of Theorem 15,1|, а в общем случае — Р, Лиу, К, Месарош и Э, Сеп-Дизье |12, proof of Theorem 3,4 (см, также §5,2)|, Из этих работ можно извлечь и комбинаторное описание граней старшей размерности подразбиения Мы описываем грани всех размерностей подразбиения KP,\ в чисто комбинаторных терминах: они соответствуют некоторым цепям вложенных идеалов P (см, предложение 2.24 и следствие 2.30). Пользуясь этим описанием KP,A, мы даём комбинаторное описание коцепного комплекса CKy ■ Полученное комбинаторное описание CK позволяет вычислить когомологии этого коцепного комплекса, размерности которых, согласно лемме , совпадают с компонентами /-вектора многогранника O(P, А), Таким образом, мы получаем новый способ вычисления /-вектора мечено-порядкового многогранника O(P, А) (см. теорему ),

Комбинаторика многогранников Гельфанда-Цетлина изучается в частности в статьях |М1,1,8,9|, В работах |М1,1,8| многогранник Гельфанда-Цетлина понимается в смысле определения 1,1, В |8| было найдено рекуррентное соотношение на число

вершин многогранников Гельфанда-Цетлина. В работах Ан, Чо, Кима |1| и, незави-

/

мпогограппиков Гельфанда-Цетлина.

Подход авторов работы |1| заметно отличается от используемого в |М1|, Наше доказательство теоремы 1,17 основано на геометрических свойствах линейной проекции многогранника Гельфанда-Цетлина па некоторый куб. Можно сказать, что оно развивает методы и идеи работы |8|,

Авторы работы |1| дают описание решётки граней многогранника Гельфанда-Цетлина в терминах некоторого ориентированного плоского графа, называемого ступенчатой диаграммой (ladder diagram). Каждому классу комбинаторно эквивалентных многогранников Гельфанда-Цетлина они ставят в соответствие некоторую ступенчатую диаграмму и доказывают, что их решётки граней изоморфны, («Гранями» ступенчатой диаграммы авторы называют некоторые её подграфы специального вида.) Пользуясь только комбинаторными свойствами ступенчатых диа-

/

/

мерпостей.

Упомянем также работу |9|, где в определение многогранников Гельфанда-Цетлина включается дополнительное условие: сумма координат в каждой строке таблицы (1) должна быть равна наперёд заданному числу. Эта статья посвящена изучению вершин таких многогранников.

Результаты, выносимые на защиту

/

фанда-Цетлипа (теорема 1.17).

(b) Найдены явные формулы для компонент ^-вектора многогранников Гель-

(1, 2, . . . , 2, 3)

(теорема 1.19).

(c) Для ^-многочленов многогранников Гельфанда-Цетлина, соответствующих

(1, 2, 3, . . . , 3) (2, 2, 3, . . . , 3) в которых участвуют многочлены Виста-Фибоначчи (теорема 1.21 и замечание 1.22); также найдены замкнутые формулы дня производящих функций этих ^-многочленов (следствие ), (с1) По произвольному выпуклому многограннику и его политональному иод-

разбиению построен ко цепной комплекс (над Z2), такой что размерности его

/

(лемма 2.7).

(0) Для мечено-порядкового многогранника и его кубо-еимилициалыюго подразбиения получено комбинаторное описание коцеппого комплекса из пункта (с1) (теорема 2.41).

(1) Получено комбинаторное описание кубо-еимплициалыюго подразбиения мечено-порядкового многогранника, известного ранее в геометрических терминах (предложение 2.24 и следствие 2.30).

Описание методов, которыми получены результаты, выносимые на

защиту

В главе 1 диссертации мы развиваем идеи и методы статьи |8|. А именно, дня

/

гранника Гельфанда-Цетлина (см. следствие 1.15) мы пользуемся комбинаторно-геометрическими свойствам,и ,линейной проекции изучаемого многогранника па некоторый куб (см. подробнее в следующем пункте). Чтобы получить окончательную версию найденного рекуррентного соотношения (см. теорему 1.17), мы пользуемся методом, известным в комбинаторике как «метод биекций». А именно, мы устанавливаем взаимно однозначное соответствие между множеством барицентров всех граней уже упомянутого куба и множеством мономов некоторого многочлена. При исследовании конкретных серий многогранников Гельфанда-Цетлина мы используем ^-вектор, который связан с /-вектором заменой переменной, что позволяет существенным образом упростить алгебраические выкладки. И, наконец, мы используем метод производящих функций для работы с последовательностями ^-многочленов многогранников Гельфанда-Цетлина выделенных серий.

В главе 2 диссертации мы применяем некоторые методы теории гомологий, которые могут быть мотивированы их связью со спектральной последовательностью

/

вектора произвольного мечено-порядкового многогранника к вычислению размерностей групп когомологий (над Z2) некоторого коцепного комплекса. Для изучения мечено-порядковых многогранников мы используем их описание из |12| в терминах кубо-симплициальных многогранников, каждый из которых является весьма

просто устроенным мечено-порядковым многогранником (а именно, произведением симплексов), а также пашу интерпретацию этого описания в терминах цепей чума порядковых идеалов исходного чума.

Формулировки основных результатов исследования

/

Цетлина. В этом раздело мы формулируем упомянутое выше рекуррентное со/

1,1), пользуясь геометрическими свойствами линейной проекции на некоторый куб, впервые построенной в работе |8|, Ключевой момент состоит в том, что каждая грань многогранника Гельфапда-Цетлина отображается па некоторую грань куба, и дня каждой грани куба полный прообраз любой её внутренней точки комбинаторно эквивалентен некоторому многограннику Гельфапда-Цетлина, Полученное

/

/

лентных полным прообразам барицентров граней куба при рассматриваемой проекции, Геометрическая часть доказательства теоремы 1,17 заключена в леммах 1,7, 1,11 и следствии 1,15, Более подробно.

Здесь и далее мы используем мультипликативную запись дня последовательности А1 < • • • < Аз с повторениями: показатель равен количеству копий основания, (Иначе говоря, А11 ... Аг£ обозначает последовательность А1 = • • • = А1 < А2 = • • • = А2 < • • • < Ак = • • • = Ак.) В наших рассуждениях многогранник С^(1г1 2г2 ... кгк) будет использоваться в качество эталонного представителя своего комбинаторного класса.

Следуя | рассмотрим линейную проекцию п многогранника С^(1г1 2г2 ... кг*) на куб С, заданный в координатах неравенствами

1 < и1 < 2 < и2 < 3 •••< к - 1 < ик-1 < к. (4)

Лемма . Если, С - грань многогранника С^(1г1 2г2 ... кгк), то п(С) - грань куба С

Пусть А - некоторая (непустая) грань куба С; обозначим через А барицентр грани А, Заметим, что между множеством барицетров всех граней куба С и множеством мономов многочлена р := Лj—l(xj + х^+0.5 + существует взаимно однозначное соответствие. Поясним это соответствие. Чтобы зафиксировать барицетр А некоторой грани куба С нужно для каждого ] от 1 до к — 1 указать, какое из равенств Uj = Uj = ] + 0.5 или Uj = ] + 1 имеет место. Аналогично, чтобы зафиксировать моном в многочлене р нужно для каждого ] от 1 до к — 1 указать, какое слагаемое из скобки (xj + Ж;+0.5 + Х+О войдёт в моном.

Пусть A - барицентр, соответствующий моному

x«1 x«1.6 , , «fc-0.6 «fc

x1 x 1.5 xk-0.5 xk • W

Тогда можно показать, что n-1(A) комбинаторно эквивалентен многограннику

GZ (1г1 -1+а1 1.5а1.Б ••• (k - 0.5)afc-0.6 kгк-1+afc )• (7)

Теперь мы знаем, что прообразы барицентров граней куба C являются многогранниками Гельфанда-Цетлина, более того, дня каждого прообраза мы знаем определяющую его неубывающую последовательность действительных чисел

1 г 1 1+а1 i 5«1.б (k — о 5)ak-0.5 kifc-1+afc

Пусть G - некоторая грань многогранника GZ(1г1 • • • kifc), Обозначим через Aa грань n(G) куб a C (здесь мы пользуемся леммой ), Тогда Aa - барицентр грани AG, Пересечение многогр анника n-1(Aa) и гран и G является некоторой гранью этого многогранника, которую мы обозначим через Ea,

Лемма 1.11. Отображение из множества, всех непустых граней многогранника GZ(1г1 • • • kifc) во множество всех непустых граней всех многогранников вида, п-1 (A), которое переводит грань G в грань EG, является биекцией; причём оно не сохраняет размерность грани, но изменяет её понятны,м образом,, а, именно

dim G = dim Ea + dim Aa (9)

Следствие . Можно восстановить f -многочлен многогранника GZ(1г1 • • • kifc) по f -многочленам многогранников n-1(A) при помощи равенства

faz(t)= £ tdimЧ-чА)^ (ю)

AeL(C)

Вспомним, что мы занумеровали барицентры граней куба С мономами многочле-к-1(

нар := П+ Xj+0.5 + Xj+i), Определим коэффициенты cai,ai6,...,afc_05,ak равен

ством

p — V^ С xai . . Xafc-°.6 xak hH

«1,«1.б ,...,afc-°.5,«fc

Мы будем использовать мульти-индексы i — (¿i, i2, • • •, ¿k) и a — (ai, a^5, • • •, ak) для записи итоговой формулы. Обозначим через GZ[a, i] многогранник Гельфанда-Цетлина, комбинаторно эквивалентный n-1(Aa), явный вид которого мы уже выписали формулой (7), тогда имеет место

Теорема . Справедливо следующее рекуррентное соотношение на f -многочлен многогранника Гельфанда-Цетлина GZ(Г1 • • • kik)

faz(iii...к'к)(t) — Eca ■ tdÍm(Aa) ■ faz[a, »](*)• (12)

Вычисления с использованием рекуррентного соотношения на /-многочлен многогранника Ге л ь ф анд а Це т л и н а. В этом разделе мы применяем найденное рекуррентное соотношение дня исследования многогранников Гельфапда-Цетлина, соответствующих неубывающим последовательностям видов (12к3) (123к) и (223к), Для многогранников С^(12к3) мы увидим, что многочлен кс^(12к;3) унимодален.-. его компоненты сначала возрастают, а затем убывают. Причём если исключить из рассмотрения компоненту старшей размерности, то любые две соседние компоненты отличаются па единицу (см, теорему 1,19), Для мпогораппиков С^(123к) и С^(223к) результатом является теорема , которая даёт достаточно компактные формулы для к-многочленов многогранников С^(123к) и С^(223к); а также следствие 1,24, которое но этим формулам находит производящие функции последовательностей {кс^(123й)} и (223£)}. Приведём точные формулировки.

Теорема . Компоненты к-вектора (2к + 1) -мерного многогранника С^(1 2к 3) имеют вид

к2к+1 = 1

!г + 1, если 0< г<к + 1; . „

- - (17)

2к + 3 - г, к + 1 < г < 2к.

Теорема . Пусть {Фк} - последовательность, заданная рекуррентным соотношением

Фк+1 = («2 + 5)Фк — 32Фк-1,

с начальными условиям,и Ф0 = 0, Ф1 = 1 и Ф-1 = — 32 • Тогда, А) к-многочлен многогранника С^(1 2 3к) имеет вид

А — 1

кс^(12з^)(«) = -фk-j+l; (24)

j=о 8 2к

Б) к-многочлен многогранника GZ(22 3k) имеет вид

к sk+i _ !

kGz(22зк}(s) = X, sj+2$k-j +-. (25)

j=o s

Замечание 1.22. Несложно видеть, что Фк(s) = sk-1Vk(s + 1), оде Vk(x) - это так называемый многочлен Виста-Фибоначчи, заданный рекуррентным соотношением Vk+1(x) = xVk (x) — Vk-1(x) с начальными уеловиями V0(x) = 0 и V1(x) = 1 [10], [17, Theorem VII]. Следует отметить, что Vk(x) = Ura-1(x/2), оде — многочлен Чебышёва второго рода. Также известна явная формула для Vk (см. [ ]):

1 — 1

L 2 J /7 •

k — г — 1

Vk(x)=£(—1)4k г 1 )xk-2i-1

г=0

Следствие 1.24. А) Производящая функция последовательности (кс^(123ь)(з))ГО=0 описывается замкнутой формулой

го + ) + 1

Я^(12з.)(.,г) = £ )(фк = (! - г)(1 - -(Я2 + ^ + 1) • (32)

Б) Производящая функция последовательности (кс^(22 3й)^)) описывается замк11,утой формулой

го + (

Я^(22 = ^ ^(22 3* ^ = (1 - *)(1 - ^(Х* -()2 + ^ + 1) • (33)

т/ и «-» (• т~»

Коцепнои комплекс, который «считает» /-вектор многогранника. В этом разделе по произвольному выпуклому многограннику М и его подразбиению (см, определение 2,4) мы строим некоторый кодеппой комплекс с коэффициентами в поле Z2, такой, что размерноеть его п-ой группы когомологий совпадает с п-ой /М В основном следуя |19|, дадим несколько определений. Также следуя |19|, уточним, что мы рассматриваем только выпуклые многогранники и далее будем писать многогранник, имея в виду выпуклый многогранник.

Определение . Политональным комплексом К называется конечное семейство непустых многогранников, .нежащих в некотором евклидовом пространстве и удовлетворяющих следующим условиям:

(1) любая грань многогранника из К снова принадлежит К;

(2) пересечение любых двух многогранников М1,М2 € К либо пусто, либо является гранью каждого из них.

Множество |К| = иМеЛ- М называется телом политопального комплекса К,

Определение . Комплексом К(М) многогранника М называется политопаль-

М

Определение . Политопальный комплекс К' называется подразбиением политопального комплекса К, если |К'| = |К| и каждый многогранник комплекса К'

К

М

КМ

КМ

ном случае выполнятся автоматически).

Определение 2.5. Подмножество политонального комплекса называется подкомплексом, соли оно само является политональным комплексом.

^Пустое множество мы но считаем гранью.

Пусть M — произвольный многогранник, K' — некоторое подразбиение комплекса K(M). Заметим, что K' естественным образом наделяет многогранник M структурой конечного CW-комплекса.

Пусть A — произвольная грань многогранника M, Рассмотрим подкомплекс A' комплекса K', состоящий из всех многогралпиков S G K', целиком лежащих в A. Также рассмотрим подкомплекс dA' комплекса A', состоящий из всех многогранников T G A', целиком лежащих в dA,

Пусть C*(A',5A'; Z2) — комплекс относительных клеточных коцепей с коэффициентами в Z2 пары CW-комплексов, заданной парой политопальных комплексов (A', дA'). Возьмём прямую сумму таких комплексов коцепей по всем граням мно-M

Определение 2.6.

CK' := 0 C*(A', дA'; Z2)• ( )

Аек(и)

Оказывается, что размерности групп когомологий / совпадают с соответствую-f

ма 2,7,

Лемма 2.7. dimHn(CK,) = f„(M).

Мечено-порядковый многогранник и его кубо-симплициальное подразбиение. Как уже говорилось ранее, мечено-порядковый многогранник O(P, А) (см. определение 2.11) обладает некоторым каноническим кубо-симплициалънъш (см. определение 2.16) подразбиением Kp,a, приходящим го структуры чума P, В этом разделе мы даём комбинаторное описание подразбиения Кр,д.

Определение 2.16. Политональный комплекс, в котором каждый многогранник является произведением симплексов, назовём кубо-симплициалъпым комплексом.

Определение 2.17. Порядковым, идеалом, чума P = (P, называется подмножество I С P такое, что если x G I и у ^ x , то у G I,

Заметим, что порядковые идеалы чума P также образуют чум по включению. Пусть P, P* и А — это участвующие в определении O(P, А) чум, подчум отмеченных элементов и сохраняющая порядок функция из P* в R соответственно.

Определение . Цепь L (т.е. конечное подмножество, линейно упорядоченное по включению) в чуме порядковых идеалов чума P будем называть А-допустимой или просто допустимой (когда А ясна из контекста), если она имеет вид 0 = I0 С I1 С ■ ■ ■ С Im С Im+1 = P и удовлетворяет условию

каждое А((Iг \ Iг-1) П P*) пусто ми равно {¿г} для некоторого ¿г G R,

причем ¿г < tj при условии, что г < j и как ¿г, так и tj определены.

Пусть теперь Ь — цепь вида 0 = 10 С 11 С ■ ■ ■ С 1т С /т+1 = Р в чуме порядковых идеалов чума Р.

Определение . Будем обозначать через ^ = ^(А) множество то чек х € М дня которых выполнены три условия:

p

)

• х|р * = А,

• функция x : P ^ R постоянна та множествах /1 \ /о,..., /m+1 \ /m, ( )

• x(/i) < x(/2 \ /1) < ■ ■ ■ < x(/m \ /m-i) < x(P \ /m).

Лемма . Соответствие L м- между допустимыми цепями чума порядковых идеалов чум,a, Т и непустыми множествами вида взаимно однозначно.

Предложение 2.24. Совокупность

КТ,А := | L — А-допустимая цепь в чуме порядковы,х идеалов Т}

является, политональным комплексом.

Следствие 2.30. Политональный комплекс КТ,А является, подразбиением многогранника 0(Т, А).

Замечание 2.31. Политопальный комплекс КТ,А кубо-симплициальный, так как каждый из многогранников FL = , А) является произведением симплексов.

Замечание 2.32. Подразбиение КТ,А мечено-порядкового многогранника можно описать геометрически 112, proof of Theorem 3.4|.

Вычисление /-вектора многогранника O(P, А). В этом разделе мы даём описание коцепного комплекса CKy х в чисто комбинаторных терминах, т.е. напрямую в терминах чума Т и сохраняющего порядок отображения А, без ссылок на какие-либо многогранники.

Определение 2.34. Назовём размерностью А-допустимой цепи L = = /0 С

/1 С ■ ■ ■ С /m С /m+1 = P^ количество таких разностей последовательных идеалов / \ /¿-1; которые не пересекаются с P*. Обозначенне: dim L,

Легко видеть, что dim = dim L,

Определение . Назовём размерностью пары (Т, А) максимум размерностей А-допустимых цепей в чуме порядковых идеалов чума Т. Обозначен не: dim(P, А),

Легко видеть, что dim(T, А) = dim 0(Т, А).

Определение . Скажем, что А-допустимая цепь Lk получена /k-уплотнением из А-допустимой цепи L = ^0 = /0 С /1 С ■ ■ ■ С /m С /m+1 = P^, если Lk получена из L добавлением единственного идеала Jk, такого что /k-1 С Jk С /fc.

Лемма 2.37. В этом, случае dim Lk = dimL + 1.

Следствие 2.38. Пусть L и L' — \-допустимые цепи, L С L и dim L' = dim L + 1.

Тогда L' получена из L некоторым Ik-уплотнением.

Определение . Будем говорить, что А-допустимые цепи L' и L", Ik-сопряжены, если они получены ^-уплотнением из некоторой цепи L и справед-

ливы равенства Jk+i \ Jk = J'k \ Jk \ Jk-1 = Jk+1 \ Jk-2

Пусть Сг(У, А) — векторное пространство над Z2 с базисом, состоящим из всех А-допустимых цепей размерности i в чуме порядковых идеалов чума P. Для А-допустимой цепи L = = Io С I1 С ••• С Im = Р^ положим 6(L) = S1(L) + ■ ■ ■ + Em(L), оде Sk (L) — формальная сумм а всех ^-уплотнен ий L, имеющих Ik-сопряжённое. Заметим, что 6(L) е Ci+1(P, А), так как всякое Ik-уплотнение увеличивает размерность А-допустимой цепи на единицу (см. лемма ), Продолжив 6 по линейности, получим линейные отображения 6 : Сг(У, А) — Ci+1(P, А). Положим

C*(P, А) = (с0(У, А) — ... — Cn(P, А)) , где n = dim(P, А).

Теорема 2.41. C*(P, А) является, коцепным комплексом (т.е. 6 о 6 = 0J и изоморфен комплексу CKP .

Теоретическая и практическая значимость работы

Исследование носит теоретический характер. Изучение комбинаторики мечено-порядковых многогранников может оказаться полезным в задачах алгебраической геометрии, теории представлений, а также в различных разделах перечислительной комбинаторики, связанных с изучением конечных частичпо-упорядочеппых множеств.

Апробация результатов исследования

Доклады на конференциях:

(1) О числе граней .многогранников Гелъфмнда-Цетлина,, 60-я Научная конференция МФТИ, Долгопрудный, Россия, ноябрь 2017

(2) О числе граней .многогранников Гелъфмнда-Цетлина,, XV Международная конференция «Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения», носвящёппая столетию со дня рождения профессора Н. М. Коробова, Тула, Россия, май 2018

(3) On the number of faces of Gelfand-Zetlin polytopes, Algorithmic and Ennmerative Combinatorics Summer School, poster session, Hagenberg, Austria, July 2018

(4) О числе граней мечено-порядковых многогранников, XIV Белорусская математическая конференция, Минск, Беларусь, ноябрь 2024

2Другими словами, разность идеалов Ik\Ik-i распадается на две части (Ik\Ik-i = AuB), которые, присоединяясь в разном порядке, приводят к образованию L' и ¿".Имеем Jk = Ik-i U A = Ik \ B и Jk = Ik-1 U B = Ik \ A.

Доклады на семинарах:

(1) О числе граней многогранников Гелъфанда-Цетлина, Семинар магистрантов под руководством С, А, Локтева, Факультет математики ВШЭ, Москва, февраль 2017

(2) О числе граней многогранников Гелъфанда-Цетлина, Семинар по комбинаторике под руководством М, Н, Вялого и С, П, Тарасова, Вычислительный центр им. А, А, Дородницына РАН, Москва, март 2017

(3) О числе граней многогранников Гелъфанда-Цетлина, Геометрический семинар под руководством Н, П, Долбилина и Н, Г, Мощевитина, МГУ, Москва май 2017

(4) f -Вектор мечено-порядковых многогранников, онлайн-ееминар «Polytopes

and polynomials» под руководством А, И, Эстерова, ноябрь 2021 f

докладов на семинаре Международной лаборатории кластерной геометрии под руководством М, Э, Казаряна и С, К, Ландо, октябрь 2023

Публикации автора по теме диссертации

[Ml] Е. В. Мелихова, О числе граней многогранников Гелъфанда-Цетлина, Алгебра и анализ 33 (2021), по. 3, 169-190; English transl., Оп the number of faces of Gelfand Zetlin polytopes, St. Petersburg Math. J. 33 (2022), по. 3, 553-568. [M2] E. В. Мелихова, О числе граней мечено-порядковых многогранников, Матем. заметки СВФУ (принята в печать).

личный вклад

Все результаты, выносимые на защиту, получены автором лично, а все публикации автора по теме диссертации написаны без соавторов.

Благодарности

Я благодарна моему научному руководителю В, А, Тиморину за постановку задачи, многочисленные обсуждения и внимание к работе на всех её этапах, Я признательна М, Н, Вялому, Н, П, Долбилину, М. Э. Казарину. В. А. Кириченко, С. К. Ландо, Е. Ю. Смирнову, С. П. Тарасову и А. И. Эстерову за интерес к работе, полезные обсуждения и замечания. Отдельные слова благодарности руководству матфака и Аспирантской школы по математике III IN ВШЭ: А. Г. Горинову, М. В. Игнатьеву и А. С. Скрипченко - за отзывчивость и всестороннее содействие в организационных вопросах. Также я очень благодарна моему мужу Сереже Мелихову за поддержку и веру в меня.

Часть 1. МНОГОГРАННИКИ ГЕЛЬФАНДА^ЦЕТЛИНА

1.1. Введение

Определение 1.1. Пусть А1 < • • • < А« — неубывающая конечная последовательность действительных чисел. Рассмотрим треугольную таблицу

Ai

А2

«1,1 Ui,2

«2,1

A3

«2,2

«1,3

A4

As

«1,s-1

«2,s—2

(1)

«8-2,1 ««-2,2 «8-1,1

Будем считать, что каждые три символа а, Ь, с, которые в таблице стоят в вершинах треугольника

b '

связаны двойным неравенством: а < b < c. Тогда наша таблица даёт конкретный набор линейных неравенств, зависящих от Ai; который определяет некоторый выпуклый многогранник в R - , Заметим, что координаты «¿j в нашем случае занумерованы упорядоченными парами целых чисел (i, j), оде i пробегает значения от 1 до s — 1, a j пробегает значения от 1 до s — i. Этот выпуклый многогранник и называется многогранником Гелъфапда-Цетлипа, соответствующим последовательности, A1 < ■ ■ ■ < As. Обозначим его через GZ(A1... As).

Замечание 1.2. Если в последовательности A1 < ■ ■ ■ < As имеется k различных чисел с кратностями i1, i2, ... ik соответственно, то dim GZ(A1... As) = 1 (s2 — Xj=1 j2)

Пример 1.3. Рассмотрим многогранник GZ(011), (Здесь и далее мы используем мультипликативную запись для последовательности A1 < ■ ■ ■ < As с повторениями: показатель равен количеству копий основания. В частности, GZ(0 11) - это многогранник Гельфанда-Цетлина, отвечающий последовательности из одного пуня и l единиц.) Соответствующая треугольная таблица равносильна цепочке нестрогих неравенств 0 < «1,1 < «2,1 < ■ ■ ■ < «1,1 < 1 и, следовательно, GZ(0 11) является l-мерным симплексом. (Для многогранника GZ(011) соответствующая треугольная таблица равносильна цепочке 0 < «1,1 < «1-1,2 < ■ ■ ■ < «1,1 < 1 и, следовательно, GZ(011) также является l-мерным симплексом.) Более подробно см. раздел

Напомним, что решёткой граней L(P) многогранника P называют множество его граней, упорядоченное по включению, и что два многогранника P и P' называют комбинаторно эквивалентными, если их решётки граней изоморфны, то есть существует биекция L(P) на L(P'), сохраняющая отношение включения. Если многогранник P комбинаторно эквивалентен многограннику Pмы будем писать

а

c

Р ~ Р'. Одной из важнейших характеристик класса комбинаторно эквивалентных многогранников является конечная последовательность (/о, /1, ...,/п) где п - размерность многогранника, / - число граней размерности г. Её называют /вектором. Соответствующую производящую функцию /(¿) = /0 + /1 • £ + • • • + /п • ¿п /

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Мелихова Екатерина Владимировна, 2025 год

список литературы

[1] Byung Нее An, Yunhyung Cho, and Jang Soo Kim, On the f-vectors of Gelfand Cetlin polytopes, European J. Combin. 67 (2018), 61-77.

[2] F. Ardila, T. Bliem, and D. Salazar, Gelfand Tsetlin polytopes and Feigin-Fourier-Littelmann-Vinberg polytopes as marked poset polytopes, J. Combin. Theory Ser. A 118 (2011), no. 8, 24542462.

[3] H. S. M. Coxeter, Regular polytopes, 3rd ed., Dover Publications, Inc., New York, 1973.

[4] А. Т. Фоменко and Д. Б. Фукс, Курс гомотопической топологии, Наука, Москва, 1989; English transl. in Homotopical topology, 2nd ed., Grad. Texts in Math., vol. 273, Springer, 2016.

[5] H. Freudenthal, Simplizialzerlegungen von beschränkter Flachheit, Ann. of Math. (2) 43 (1942), 580-582 (German).

[6] L. Geissinger, The face structure of a poset polytope, Proceedings of the Third Caribbean Conference on Combinatorics and Computing, Univ. West Indies, Cave Hill, 1981, pp. 125-133.

[7] II. M. Гельфанд and M. JI. Цетлин, Конечномерные представления группы унимодулярных матриц, Докл. АН СССР 71 (1950), 825-828. English transl. in: I. M. Gelfand, Collected Papers, vol. II (S. G. Gindikin, V. W. Guillemin, A. A. Kirillov, B. Konstant and S. Sternberg, eds.), Springer, Berlin, 1988, pp. 653-656.

[8] P. Gusev, V. Kiritchenko, and V. Timorin, Counting vertices in Gelfand Zetlin polytopes, J. Combin. Theory Ser. A 120 (2013), no. 4, 960-969.

[9] J. A. De Loera and Т. B. McAllister, Vertices of Gelfand Tsetlin polytopes, Discrete Comput. Geom. 32 (2004), no. 4, 459-470.

[10] A. F. Horadam, Vieta polynomials, Fibonacci Quart. 40 (2002), no. 3, 223-232.

[11] В. А. Кириченко, E. Ю. Смирнов, and В. А. Тиморин, Исчисление Шуберта и многогранники Гельфанда-Цетлина, Успехи мат. наук 67 (2012), по. 4, 685-719; English transl., V. А. Kirichenko, Е. Yu. Smirnov, and V. A. Timorin, Schubert calculus and Gelfand Tsetlin polytopes, Russian Math. Surveys 67 ( 2012), no. 4, 685-719.

[12] R. I. Liu, K. Meszäros, and A. St. Dizier, Gelfand Tsetlin polytopes: a story of flow and order polytopes, SIAM J. Discrete Math. 33 (2019), no. 4, 2394-2415.

[13] C. Pegel, The face structure and geometry of marked order polyhedra, Order 35 (2018), no. 3, 467-488.

[14] A. Postnikov, Permutohedra, associahedra, and beyond, Int. Math. Res. Not. IMRN 6 (2009), 10261106.

[15] E. Smirnov, Grassmannians, flag varieties, and Gelfand Zetlin polytopes, Recent Developments in Representation Theory, Contemp. Math., vol. 673, Amer. Math. Soc., 2016, pp. 179-226.

[16] R. P. Stanley, Two poset polytopes, Discrete Comput. Geom. 1 (1986), no. I, 9-23.

[17] F. Vietae, Ad Angulares Sectiones, Alexander Anderson, 1617. Reprinted in Vieta's Opera Mathematica, Fran van Schooten, Leyden, 1646; Georg Olms Verlag, Hildesheim, 1970, pp. 286-304; English transl., F. Viete, On Angular Sections, translated by I. Bruce, https://www.17centurymaths.com/contents/Angular Sections.pdf.

[18] D. B. Wagner, An early Chinese derivation of the volume of a pyramid: Liu Hui, third century A.D., Historia Math. 6 (1979), no. 2, 164-188.

[19] G. M. Ziegler, Lectures on Polytopes, Graduate Texts in Mathematics, vol. 152, Springer, 1995.