Метод анализа ресурсной модели с сигналами и его применение к расчету показателей эффективности высокочастотной мобильной сети тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Маслов Александр Русланович

• Маслов Александр Русланович
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Маслов Александр Русланович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. МОДЕЛИ БАЗОВОЙ СТАНЦИИ МОБИЛЬНОЙ СЕТИ С ПОВТОРНЫМИ ВЫЗОВАМИ

1.1. Неоднородность требований сессий к радиоресурсам в сетях пятого поколения

1.2. Методы расчёта вероятностных характеристик ресурсной системы с сигналами

1.3. Разработка и анализ ресурсной модели с повторными вызовами

1.4. Постановка задачи исследования

ГЛАВА 2. МЕТОД ПРИБЛИЖЁННОГО РАСЧЁТА ВЕРОЯТНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК РЕСУРСНОЙ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С СИГНАЛАМИ

2.1. Стационарное распределение ресурсной системы без сигналов в моменты окончания обслуживания

2.2. Разработка метода приближённого расчёта вероятностей потери и прерывания

2.3. Численный анализ точности метода приближённого расчёта

ГЛАВА 3. МОДЕЛЬ ОБСЛУЖИВАНИЯ СЕССИЙ ВЫСОКОЧАСТОТНОЙ БЕСПРОВОДНОЙ СЕТИ С ПОВТОРНЫМИ ВЫЗОВАМИ

3.1. Построение модели в виде ресурсной системы с сигналами и орбитой

3.2. Анализ вероятностных характеристик модели

3.3. Численный анализ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ОСНОВНЫХ СОКРАЩЕНИЙ

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод анализа ресурсной модели с сигналами и его применение к расчету показателей эффективности высокочастотной мобильной сети»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. Ресурсные системы представляют собой системы массового обслуживания, в которых заявкам для обслуживания требуется сервер и случайный объём ресурса, который определяется заданным вероятностным распределением. Недавно они получили широкое применение при анализе сотовых систем 5G и 6G, в которых процессоры и частотно-временные ресурсы, используемые входящими заявками совместно, ограничены. В современных сотовых системах, использующих миллиметровые и терагерцовые диапазоны частот, множества различных факторов влияют на требования заявок к частотно-временным ресурсам передачи данных. В них входят непредсказуемые местоположения пользователей и изменения качества радиоканала. Всё это в совокупности делает объём необходимых ресурсов случайной величиной. Помимо всего прочего, действующие сессии могут прерываться из-за блокировок путей прямого распространения сигнала. Для принятия во внимание этой особенности РеСМО была дополнена так называемыми «сигналами». Сигналы инициируют перераспределение ресурсов у действующих сессий. Другими словами, заявки освобождают занятые ими ресурсы и требуют новое их количество для продолжения своего обслуживания.

Несмотря на все приложения РеСМО с сигналами, для них так и не было предложено никакого аналитического решения. Следовательно, распределение стационарных вероятностей каждый раз приходится получать путём численного решения системы уравнений равновесия. Но из-за того, что пространство состояний системы, как правило, довольное большое, возникает проблема вычислительной сложности подобных решений.

Помимо этого, в классических РеСМО не учитывается сценарий, при котором пользователи беспроводных сетей не могут просто так смириться с тем, что у них не получилось установить соединение или что их сеанс связи был прерван. Вместо этого они пытаются восстановить свою сессию, оказывая дополнительную нагрузку на систему. При этом зачастую возникает деградация

качества связи, так как это, в некотором смысле, мера для того, чтобы подобное поведение системы не повторилось. Для пользователя более приоритетным является сохранить свою сессию активной, нежели не допустить потерю качества сигнала.

Степень разработанности темы. Анализ вероятностных характеристик систем массового обслуживания с сигналами и орбитой проведён с помощью аппарата теории вероятностей, теории массового обслуживания, теории случайных процессов, теории телетрафика. К российским учёным, исследователям, внёсшим большой вклад в эти области, относятся Г.П. Башарин [1 - 6], П.П. Бочаров [2, 7], В.М. Вишневский [8 - 11], Ю.В. Гайдамака [6, 32, 33, 52], А.Н. Дудин [9], А.И. Зейфман [36-40], Гольдштейн Б.С. [12], А.Е. Кучерявый [12, 13], Е.А. Кучерявый [13, 18, 57], А.Н. Моисеев [15, 16], С.П. Моисеева [14], Д.А. Молчанов [17, 18, 54, 57 - 69], А.А, Назаров [19], В.А, Наумов [20 - 23, 32, 33, 52], А.П. Пшеничников [24], В.В. Рыков [56], К.Е. Самуйлов [4, 6, 21 - 23, 32, 33, 42, 52, 54], С.Н. Степанов [28 - 30], М.С. Степанов [30], И.И. Цитович [43, 44], С.Я. Шоргин [34, 35, 41, 42] и др., а к зарубежным - M. Dohler [51, 53, 54], J.G. Andrews [47-50], F.P. Kelly [25, 26], V.B. Iversen [31], L. Kleinrock [61], E. Gelenbe [45, 46], Luis M Correia [55], K.W. Ross [27], J. R. Artalejo [73], T. Phung Duc [74] и др.

В диссертационной работе представлен обзор конкретных работ в главах, относящихся к конкретной тематике.

Целью диссертационной работы является разработка и анализ ресурсной модели с сигналами и повторными вызовами для расчёта вероятностных характеристик высокочастотной мобильной сети.

Для достижения цели в диссертационной работе решаются следующие задачи:

1. Разработка марковской модели ресурсной системы массового обслуживания

с дискретными требованиями к ресурсу и повторными вызовами.

2. Разработка метода приближённого анализа вероятностных характеристик ресурсной системы массового обслуживания с сигналами.

3. Разработка модели обслуживания сессий в высокочастотной мобильной сети с учётом повторных вызовов из-за нехватки ресурсов.

Объём и структура работы. Структура диссертации построена из введения, трёх глав, заключения и списка литературы из 77 источника. Научная работа изложена на 118 страницах текста, содержит 12 рисунков и 9 таблиц.

Краткое изложение диссертации. Диссертация состоит из трёх глав. В первой главе работы рассмотрены модели базовой станции мобильной сети с повторными вызовами, проведены обзор методов анализа ресурсных систем массового обслуживания с сигналами и построение ресурсной системы массового обслуживания с орбитой. В разделе 1.1 рассмотрены особенности возникновения неоднородности требований к ресурсам в сетях пятого поколения. В разделе 1.2 изложены методы анализа ресурсной системы массового обслуживания с сигналами. В разделе 1.3 рассмотрена ресурсная модель с повторными вызовами в виде системы массового обслуживания с орбитой. В разделе 1.4 сформулирована задача исследования.

Во второй главе представлен метод приближённого расчёта вероятностных характеристик ресурсной системы массового обслуживания с сигналами. В разделе 2.1 получено стационарное распределение ресурсной системы без сигналов в моменты окончания обслуживания, разработан механизм для расчёта вероятности потерь с использованием данного распределения и разработан алгоритм свёртки требований к ресурсу. В разделе 2.2 разработан метод приближённого расчёта вероятностей потерь и прерывания ресурсной системы массового обслуживания с сигналами. В разделе 2.3 приведены результаты численного анализа точности метода приближённого расчёта.

В третьей главе построена и проанализирована ресурсная система массового обслуживания с сигналами и орбитой для анализа вероятностных

характеристик высокочастотных беспроводных сетей. В разделе 3.1 представлена ресурсная модель с сигналами и повторными вызовами. В разделе 3.2 разработан метод анализа вероятностных характеристик данной модели. В разделе 3.3 приведены результаты численного анализа.

В заключительном разделе приведены основные результаты диссертационной работы.

Положения, выносимые на защиту:

1. Для моделирования обслуживания сессий в беспроводной сети с учётом настойчивого поведения пользователей может быть использована ресурсная система массового обслуживания с повторными вызовами. Модель позволяет рассчитывать показатели эффективности обслуживания сессий.

2. Для приближенного анализа вероятностных характеристик ресурсной системы массового обслуживания с сигналами можно использовать модель без сигналов, но с дополнительным входящим потоком, интенсивность которого вычисляется итерационно. Для повышения точности расчета вероятностей потери и прерывания заявок использовано стационарное распределение цепи Маркова, вложенной по моментам окончания обслуживания заявок в ресурсной системе без сигналов.

3. Моделирование обслуживания сессий передачи данных в высокочастотной беспроводной сети с учетом настойчивого поведения пользователей может быть проведено при помощи ресурсной системы массового обслуживания с сигналами и повторными вызовами. Для приближенного расчета вероятностно-временных характеристик может быть использован метод, разработанный для ресурсных систем с сигналами.

Научная новизна диссертационной работы:

1. В РеСМО с повторными вызовами, в отличие от известных, было учтено снижение требований к ресурсам при повторной попытке поступления на обслуживание. Случайные величины требований заявок, поступающих с

орбиты, определяются отличным от исходного распределением с меньшим математическим ожиданием.

2. В аналитическом виде получено стационарное распределение экспоненциальной РеСМО с дискретными требованиями к ресурсу по цепи Маркова, вложенной по моментам окончания обслуживания. Показано, что распределение по цепи отличается от распределения по времени не только нормирующей константой, но также дополнительным множителем, зависящим от состояния системы.

3. Проведён анализ вероятностно-временных характеристик РеСМО с дискретными требованиями к ограниченному ресурсу и повторными вызовами. Ранее подобные системы не рассматривались. Получены формулы для ряда вероятностных характеристик модели, таких как вероятность обслуживания без ожидания, вероятность прерывания обслуживания и другие.

Методы исследования. В диссертации применяются методы теории массового обслуживания, теории вероятностей, теории случайных процессов и математической теории телетрафика.

Теоретическая и практическая значимость работы. Полученные в диссертационной работе результаты могут быть использованы операторами сетей связи и проектными телекоммуникационными компаниями для разработки оборудования для высокочастотных мобильных сетей.

Разработанные математические модели, приближённый анализ которых возможен благодаря разработанному методу, позволяют провести расчёт показателей эффективности высокочастотных мобильных сетей.

Результаты работы включены в исследования по гранту РНФ №22-79-10128 «Алгоритмы и модели обеспечения показателей качества обслуживания в беспроводных гетерогенных сетях шестого поколения» и по системе грантовой поддержки научных проектов РУДН 021937-2-000 «Модели математической

теории телетрафика для анализа приоритетного обслуживания потокового и эластичного трафика в сетях новых поколений».

Реализация результатов работы. Основные научные достижения, полученные в диссертации, использованы в совместных исследовательских мероприятиях в рамках сотрудничества РУДН, в исследованиях по грантам РНФ, в системе грантовой поддержки научных проектов РУДН.

Степень достоверности и апробация результатов. Основные результаты, изложенные в диссертации, докладывались на научных конференциях: всероссийская конференция с международным участием «Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем (ИТТММ)» (Москва, апрель 2023 г.); XIV всероссийское совещание по проблемам управления (Москва, июнь 2024 г.); международная конференция «Distributed Computer and Communication Networks: Control, Computation, Communications (DCCN)» (Москва, сентябрь 2024 г.). Также основные результаты докладывались на научном межвузовском семинаре.

Основные результаты опубликованы в ведущих научных журналах - IEEE Communications Letters, IEEE Transactions on Wireless Communications, Информатика и её применения, Mathematics, Lecture Notes in Computer Science, а также в трудах всероссийских и международных конференций, индексируемых WoS (Web of Science) и Scopus.

Степень достоверности результатов подтверждается их строгими математическими доказательствами.

Соответствие паспорту специальности. Диссертационное исследование соответствует следующим разделам паспорта специальности 1.2.3. Теоретическая информатика, кибернетика, а именно п. 11 «Распределенные многопользовательские системы»; п. 12 «Модели информационных процессов и структур»; п. 23 «Новые интернет - технологии, включая средства поиска, анализа и фильтрации информации».

Личный вклад. Численные эксперименты, представленные в диссертации, были проведены с помощью программных средств, разработанных с участием автора. Модели, представленные в диссертации, и результаты их анализа были также получены с участием автора.

Публикации. Основные результаты по теме диссертационного исследования изложены в 5 печатных изданиях [68, 69, 70, 71, 72], которые входят в базы данных Scopus/Wo S.

ГЛАВА 1. МОДЕЛИ БАЗОВОЙ СТАНЦИИ МОБИЛЬНОЙ СЕТИ С

ПОВТОРНЫМИ ВЫЗОВАМИ

1.1. Неоднородность требований сессий к радиоресурсам в сетях пятого поколения

Рассмотрим базовую станции (БС) мобильной сети, начиная с 4-го поколения. БС фактически распределяет частотно-временной ресурс. В сетях 4-го поколения и выше частотно-временной ресурс выделяется ресурсными блоками. В зависимости от качества радиоканала объём информации, которую можно передать в одном ресурсном блоке, может сильно отличаться.

Существуют различные модели распространения, указанные в технических спецификациях. Если выбрать какую-то конкретную из них и совместить её с некоторой моделью расположения пользователей, то можно получить функцию распределения отношения сигнала к шуму (ОСШ). Согласно стандартам и техническим спецификациям, в каждой системе радиодоступа имеется свой набор модуляционно-кодовых схем (МСБ), выбор которых производится на основе оценки качества радиоканала. Для этого используют индикатор качества канала (СР1). Чем он меньше, тем больше избыточности требуется от МСБ, что приводит к снижению спектральной эффективности, как показано в таблице 1.1 на примере системы радиодоступа в сети ЬТБ 30РР ТЯ 38.901. Стоит отметить, что спектральная эффективность - это количество бит в секунду, которое можно получить на полосе частот шириной 1 Гц.

Таблица 1.1. Набор МСБ и их спектральная эффективность

С01 МСБ Спектральная эффективность

0 - -

1 ОРБК, 78/1024 0.15237

2 ОРБК, 78/1024 0.2344

3 ОРБК, 78/1024 0.377

4 ОРБК, 78/1024 0.6016

5 ОРБК, 78/1024 0.877

6 ОРБК, 78/1024 1.1758

7 ОРБК, 78/1024 1.4766

8 ОРБК, 78/1024 1.9141

9 ОРБК, 78/1024 2.4063

10 ОРБК, 78/1024 2.7305

11 ОРБК, 78/1024 3.3223

12 ОРБК, 78/1024 3.9023

13 ОРБК, 78/1024 4.5234

14 ОРБК, 78/1024 5.1152

15 ОРБК, 78/1024 5.5547

Для каждой МСБ можно определить границы ОСШ. Имея границы и функцию распределения ОСШ, можно элементарно вычислить вероятность назначения конкретной МСБ. Пусть г] - случайная величина ОСШ с функцией распределения РГ](х), К - количество МБС, а 5^,1 = 1, ...,К - нижняя граница для назначения /-ой МСБ. Тогда = 1,..., К, где т^ - это вероятность назначения /-ой МСБ, можно получить в виде:

= Еп(31+1)-Еп(здЛ = 1, .,к; (1.1)

тк = 1 - Еп(бк). (1.2)

При фиксированной скорости передачи данных и заданной в стандартах ширины полосы ресурсного блока возможно посчитать число требуемых ресурсных блоков. Пусть е= 1,..., К - спектральная эффективность /-ой МСБ, С - требуемая скорость передачи данных в битах в секунду, а В - ширина полосы ресурсного блока в герцах. Тогда г^,1 = 1,.,К , где гI - число требуемых ресурсных блоков для поддержания скорости С на /-ой МСБ, можно найти по формуле

П =

С

Ве1

,1 = 1,.,К. (1.3)

В таблице 1.2. приведён пример расчёта дискретного требования к ресурсу для конкретных значений. Таким образом, набор пар (т¿, г{) задаёт дискретное распределение вероятностей требований к ресурсу.

Таблица 1.2. Пример получения дискретного требования к ресурсу

С01 ЫСБ Спектральная эффективность Интервалы ОСШ Вероятность назначения Число требуемых ресурсных блоков

0 - -

1 ОРБК, 78/1024 0.15237 ( 51,5?) т1 г.

2 ОРБК, 78/1024 0.2344 (^ 2, $з) т? 7*2

3 ОРБК, 78/1024 0.377 ( тз 73

4 ОРБК, 78/1024 0.6016 ( «4, ^ 5) т4 Г4

5 ОРБК, 78/1024 0.877 тя Г5

6 ОРБК, 78/1024 1.1758 (^ 6, тб 7б

7 ОРБК, 78/1024 1.4766 (^ 7, «й) т7 Г7

8 ОРБК, 78/1024 1.9141 ( тя 78

9 ОРБК, 78/1024 2.4063 (59, 5ю) т9 Г9

10 ОРБК, 78/1024 2.7305 (510, 511) т10 Г10

11 ОРБК, 78/1024 3.3223 (511, 512) тц Гц

12 ОРБК, 78/1024 3.9023 (512,«13) т12 712

13 ОРБК, 78/1024 4.5234 (513, 514) т1з 713

14 ОРБК, 78/1024 5.1152 (514, 515) т14 14

15 ОРБК, 78/1024 5.5547 ( $15,от) т15 715

1.2. Методы расчёта вероятностных характеристик ресурсной системы с сигналами

Рассмотрим ресурсную систему массового обслуживания (РеСМО) с N приборами. В системе имеется некоторый объём ресурса, который можно разделить на Я единиц. Входящий поток заявок соответствует пуассоновскому процессу и имеет интенсивность Я. Для обслуживания каждой заявке требуется прибор и некоторый объём ресурса. За объёмы заявок отвечает распределение (ру), 0 <У < Я. Требования заявок не зависят ни от входящего потока, ни от процесса обслуживания. Если система может позволить себе выделить

необходимый ресурс и прибор, заявка принимается на обслуживание. В ином случае она считается заблокированной. Время обслуживания заявки генерируется экспоненциально с интенсивностью д. Когда обслуживание завершается, заявка освобождает занимаемый ею объём ресурса и прибор.

Для каждой заявки на обслуживании существует пуассоновский поток событий или, по-другому, сигналов с интенсивностью у. Когда заявке поступает событие, она освобождает занятый объём ресурса, не дожидаясь окончания обслуживания. После этого она запрашивает новый объём согласно тому же распределению {ру}, 0 < ] < Я. Если в этот момент в системе нет достаточного количества свободного ресурса, заявка покидает систему, не завершив своё обслуживание. В ином случае процесс обслуживания продолжается.

Стоит упомянуть, что вероятностное распределение {ру}, 0 < ] < Я можно записать без ограничений на объём ресурса в виде {ру}, 0 < ] < ю . Тогда возможны случаи, когда требования одной заявки будут превышать общий объём ресурса в системе. Однако даже настолько объёмные заявки никаким образом не меняют поведение системы. Они лишь увеличивают вероятность блокировки доступа на 1Е'у=к+1 ру. Соответственно, далее мы полагаем, что 1£1у=0 ру = 1.

Поведение системы можно описать при помощи марковского процесса Х(£) = {^0:),г10:), .■■ ,г%&)(£)}. Под здесь понимается количество заявок на обслуживании в момент времени а под г^ (€) - объём /-ой заявки. Однако из-за того, что пространство состояний растёт экспоненциально с ростом Я , как правило, используют более упрощенный подход [32]. Вместо объёмов каждой заявки по отдельности, отслеживается лишь суммарный объём всех заявок на

обслуживании 8^)=^^) +-----+ . Таким образом, рассматривается

стохастический процесс У( ^ = { ^,8^)}.

Процесс У(€) не является марковским, так как неизвестно какой объём ресурса освободится, когда одна из заявок завершит своё обслуживание или когда

в систему поступит сигнал. Для определения объёма используется подход Байеса [65], согласно которому вероятность того, что объём составит у единиц ресурса, равна:

(п-1)

рр-- (14)

рМ ' (14)

при условии, что система находится в состоянии (£ ( t ) = п, £(*:) = г).

При этом {р£п)} - это вероятность того, что п заявок вместе займут г единиц

ресурса. Вероятности {рГП)}, 0 < п < N 0 < г < Я можно вычислить рекуррентно, используя распределение требований к ресурсу (ру), 0 < у < Я:

г

рГп) = ^ рур(П-1), 0 < г < Я, 1 < п < N (1.5)

г г-

у=0

и начальные условия:

р(0) = 1, рГ0) = 0, 0 < г < Я. (1.6)

Таким образом, становится марковским процессом, хотя

освобождаемый объём ресурса при покидании заявкой системы может не соответствовать объёму, который заявка заняла при поступлении. Однако для РеСМО без сигналов стационарное распределение числа заявок и общего объема занятых ресурсов исходной системы с векторным представлением занятых ресурсов эквивалентно соответствующему распределению упрощенной системы [23]. Несмотря на то, что для систем с сигналами подобная эквивалентность не была доказана, данный подход всё ещё даёт хорошую аппроксимацию стационарного поведения [65].

Пространство состояний процесса может быть поделено на N + 1 подмножеств:

N

s = ^ ; (1.7)

n=0

sn = {(n,r)\ 0<r< R,p(rn) > 0}. (1.8)

Стационарные вероятности можно представить в виде:

q0= \\шР{т = 0}; (1.9)

qn(r) = lim P[at) = n,S(t) = r}, (n,r) E (1.10)

Теперь опишем события, которые могут перевести систему из одного состояния в другое. Пусть в некоторый момент времени t > 0 система находится в состоянии (n, г). Возможны три различных события:

1) Новая заявка, которой требуется j единиц ресурса, принимается в систему, если n<Nиr+j<R. Тогда система переходит в состояние (n + 1, г + j). Иначе заявке блокируется доступ на обслуживание, и состояние системы никак не меняется.

2) Заявка завершает своё обслуживание, и система переходит в состояние (n —

(п-1)

1 Л pjpr-j )

1,r — j ) с вероятностью —?п) .

Рг

3) В систему поступает сигнал, и заявка освобождает j единиц ресурса с

(п-1)

вероятностью —и запрашивает I единиц ресурса с вероятностью р^.

Рг

Если г —] + I < Я , заявка продолжает своё обслуживание, и система переходит в состояние (п, г — ] + V) . Иначе обслуживание заявки прерывается, а система переходит в состояние (п — 1, г — у ).

Таким образом, возможны четыре различных перехода состояний:

1) В систему приходит новая заявка;

2) Одна из заявок заканчивает своё обслуживание;

3) Одной из заявок поступает сигнал, и она продолжает обслуживание с новым требованием к ресурсу;

4) Одной из заявок поступает сигнал, и она покидает систему в связи с тем, что новое требование заявки по ресурсу не может быть удовлетворено.

Систему уравнений равновесия процесса У( можно построить в виде:

я

= (1.11)

=0

Я—г

Я ^ ру + пд + п/(1

у=о

г (п—1) рурГ—у

(п) ру у=о рГ)

г

-I

Я—г

= Я^^п—1(Т'-У)ру + (п+ 1)Д^^п+1(Т'+У)

л рур

(п)

=0

Я

+ I

=0

у=тах(0,5—г) рг

=0

(п—1)

рург—у

(п) рг—5+у

р(п + 1) г+

я— г (п) Я

+ (п + 1)7^дп+1(г+У)рур1) I р5, 1 < п < N — 1,

=0

р(п+1) ' г+у 5=Я—г+1

(п, г) е Хп

(1.12)

г

^ + N/(1

г (N — 1)

рург—у

(Ю ру у=0 рг )

I

—I

я

= Я1^—1(Г— Лру + N/1^00 I

=0

=0

(Ю—1)

(Ю) рг—5 + у

у=тах(0,5—г) рг

(N, г) е Х

N.

(1.13)

г

У данной системы существует лишь одно решение, которое можно найти численно, используя условие нормировки. Решение представим в виде вектора д, полученного из матричного уравнения = 0Т. Условие нормировки формирует начальное условие в виде дт1 = 1. Матрица Л имеет трёхдиагональную блочную структуру. На главной диагонали расположены блоки ¥0,¥1, .

Непосредственно над главной диагональю находятся блоки Л1, ...,ЛЮ . Непосредственно под главной диагональю располагаются блоки М0, ...,МЮ—1. Блоки формируются следующим образом:

^о = —Я. (1.14)

^п((п,0,(п,У))

Я —I

яХР* + пи + пУ(1 — 1р£П—

(п—1) 5 р5

= ,

(п)

5=о \ 5=о р

1 < п < N — 1;

Х-р5р(п:1) (1.15)

п/1 (—) ру—£<У, 1 < п < N — 1; ' '

5 = 0 р * (п—1)

пу I р5р(п ру—¿+5, £ > у, 1 < п < N — 1.

V 5 = ¿—у р

^((^¿),Ш)) = <

^ + N7 (1 — I

(Ю—1) р5Р(—5 )

(Ю)

=0 (Ю—1)

р5Р(—5 )

р^

(Ю)

р:

ру —¿ + 5,

N7 1

=0

* (Ю—1)

р5Р(—5 )

= —

р»

(Ю)

р5

= ;

ру —¿+5,

< ;

> .

(1.16)

Л1 = (Яро,Яр1,Яр2, ...,Ярд).

(1.17)

Лп((п-1,1),(п,])) = \ ' 0 .>. (1.18)

Мо = (р, (1.19)

Мп((п + 1,1),(п,]))

(п) (п) Я

Р( ) Р( ) з=и-}+1 (1.20) 1 < п < N — 1;

0, у > I

Используя распределение стационарных вероятностей, можно посчитать

вероятностные характеристики системы. В первую очередь, нас интересует вероятность потери пы:

N-1 Я Я Я

ПМ

= X X Чп(Г) X Р^+Х Г). (1.21)

п=1г=1 ¡=Я-г+1 г=0

Также мы можем посчитать вероятность п5 того, что пришедший сигнал приведёт к прерыванию обслуживания заявки:

п3

N Я г-1 (п-1) Я

--—Р]Р; —

=ХХ«п(г)ХР1Е1-- X Р'' ^

п=2г=1 ]=о РГ Ь=Я-г+]+1

Заявке за период её обслуживания может прийти неограниченно много сигналов. Вероятность того, что обслуживание принятой заявки не сможет завершиться или, другими словами, вероятность прерывания пт можно получить следующим образом:

NynsT ]^уп5 пт = Ит^—-— = -—-г; (1.23)

где N1 выглядит как:

N Я

= Цп^п(г). (1.24)

N =

п=1 г=0

Отметим, что вероятность прерывания можно воспринимать как вероятность того, что заявка будет принята на обслуживание, но не сможет обслужиться до конца. Тогда её можно получить в виде:

;Ю) = — (125)

Мы можем также посчитать среднюю долю занятых единиц ресурса:

N Я

Ь^Цг^п«. (1.26)

п=1г=1

Помимо этого мы можем вычислить среднюю долю единиц ресурса, затраченных впустую:

Д7 = Д:г^; (1.27)

1 —

где пт находится по формуле (1.25).

1.3. Разработка и анализ ресурсной модели с повторными вызовами

Добавим логику появления повторных вызовов в систему из главы 1.2 для частного случая у = 0. Имеем ресурсную систему массового обслуживания с N приборами, дискретным ресурсом ограниченной ёмкости в Я единиц и орбитой ограниченной ёмкости, на которой помещаются максимум М заявок. В системе имеется пуассоновский входящий поток заявок с интенсивностью X. Время обслуживания заявок является независимым и распределено экспоненциально с параметром ¡.

При поступлении новой заявки в систему ей требуется прибор и случайный объём ресурса, который, в свою очередь, также является независимым и имеет

вероятностное распределение {ру}, 0 < у < Я. Если требования заявки к ресурсу могут быть удовлетворены и в системе имеется, по крайней мере, один свободный прибор, то заявка принимается на обслуживание. В ином случае заявка либо отправляется на орбиту с вероятностью в, если максимальная ёмкость орбиты ещё не достигнута, либо покидает систему с вероятностью 1 - в.

Интервалы времени, провидимые на орбите, являются независимыми и распределены экспоненциально с параметром а. Затем заявки вновь пытаются попасть на обслуживание. Заявки, поступающие с орбиты, далее будем называть повторными, а остальные заявки - первичными. Повторные заявки проходят через ту же процедуру доступа на обслуживание, что и первичные. При этом они не запоминают информацию об объёме ресурса, запрашиваемого ими на предыдущих итерациях, а каждый раз генерируют новое требование. Однако в случае отказа в обслуживании повторная заявка отправляется на орбиту с вероятностью в без каких-либо дополнительных условий, так как то место на орбите, которая она до этого занимала, по факту ещё не было освобождено и, следовательно, не могло быть занято никакой другой заявкой.

Поведение системы можно описать стохастическим процессом Х(£) = (£),<(£),?!(£), ...,г^(С)(£)}, где <^(£) - количество заявок на обслуживании, <(£) - количество заявок на орбите, а £) - объём /-ой заявки на обслуживании. Так же, как и для системы из главы 1.2, отдельно следить за объёмом каждой конкретной заявки избыточно, поэтому можно ограничиться суммарным объёмом всех заявок на обслуживании 5(£) = г1(£) + —+^(с)(£) [23]. Однако тогда нельзя с уверенностью спрогнозировать объём освободившегося ресурса, когда одна из заявок закончит своё обслуживание. Для его расчёта можно использовать формулу Байеса, которая применима в этом сценарии и имеет хорошую аппроксимацию [65]. Таким образом, далее рассматривается стохастический процесс У( £) = { £( £),<(£), 5(£)}.

Пространство состояний процесса У( £) можно представить в виде:

- 22 -N

S = ^ S- ; (1.28)

n=0

Sn = {(n,m,r)\0 <m< M,0 <r < R,p(rn) > 0}. (1.29)

(n)

Вероятности p^ , 0<n<N,0<r<R можно найти, используя формулы (1.12) и (1.13).

Стационарную вероятность состояния (n,m,r) стохастического процесса Y(t) можно представить в виде:

q(n,m,r) = lim P[^(t) = n,<p(t) = m,S(t) = r}. (1.30)

События, которые могут перевести систему из одного состояния в другое, могут быть представлены в следующем виде. Предположим, что в данный момент t > 0 система находится в состоянии (n, m, г). Тогда переход в иное состояние произойдет в одном из следующих случаев:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Маслов Александр Русланович, 2025 год

я - - -

У Rfc = 1 ;=0 ¿ = 0 ¿1+¿2H-----+¿n-fc+1:¿ Яу

=¿ Яу5^0-5 + ku

-¿r

'm+1 I

^R^^^)^ ЯyR=-°-¿-s + (n + 1)д -С++«

(n + 1)! un+1-(n+1) яyR=-°'-s

, f(n+1)!.n+1-^ ЯУ5 = 0-5

Z(n + 1)! un+1-(n+1) -;—r ЯyR=-°' - + (n + 1)u

Я Я—}'

— У»У У

Рн

Я—

~+п—I

п—1

] = о — 12 + - + 1п = I Рз+ -

(п + 1)\-п+1 Р}+1

ПП \ _Рьп+г_\

т—1 Х-СГ^Рз + (т+ 1)-)-ЪЯ——1Рз + (п + Ъ-Р^1

п Я Я—

У^УР^У у _Р±_

1к\1Р} у у ХУЯ—}Р +к-к=1 ]=о 1—о 11+12+---+1п-к+1—1 -^з—о Рз + к-

г\( пт+г \ - ъЯ:} Рз (п+1)\ -п—к+1 Р+—г

}пЛ\х1Я:}—^1^=г1рр5 + (ш+к)-^) хЦ=;ГРз + (П + 1)- РК1

+ У Р]—г Я—-11Я=оРз-; (2.21)

=о

Отметим, что во 2-ой сумме у первого слагаемого (при к — 1) знаменатель совпадает со знаменателем из 1 -ой суммы. Сложим эти элементы:

Я Я— п—1

УР} У У ХуЯ—}'Р +Л 11 ^я—}—^^ )

(п + 1)\-п+1 р+

-1Я^}—1Рз + (п + 1)-Р^П++1)

Я Я—} п—1 / \

Я— п

-15^оРз(п+1)\^ -п Р} + 1—г

-ЪЯТРЗ + ^ + Ъ-Р^1

Я

^(п + 1)\-п V V Г7

Я—

п

Р1ш -Р} + 1

)

I - Г

У ¿и 111 — 71(п + 1)

— 11+12+-+1п—1т—1 \-1,з—о Рз + (т+ 1)-] р}+1

у у П^_^_\-ъЯ—оРзР}+—

У У П 1ЬуЯ—}—1?=1к„ ,Ггп,ии) Р(п+1)

— н+12+-+1п—1т—1\-Ьз—о рз + (т+ 1)-/ р}+1

г

Я Я-

V- (п + 1)!дп / V-

ро а£я=ОР* + М\

Я- п

•Х Х П (А уя-;-2^=1^ррг + + )р(+-) ; (2.22)

¿ = о 11 + 12+- + ¿п = I Ш = 1 \АА,5 = о р5 + (Ш + / р;+{

Тогда множитель (д + А^- р*) можно сократить:

Я Я-

V- (п + 1)!дп / V-

ро + ^ Йо

Я- п

X X П

)

Я

_1 р;'+1-г

о

р* +Д

я-У

■ ¿п=1 ш=1 =о Р р* + (т+1)д/р;

= Хру(п + 1)!Д

АЙЮР* +Д

Я- п

^ X 1 ПТ^я-Т-Ё^ . )рсп+1г

¿=о ¿1+¿2+—+ ¿п=^ш=ДАХ5=о Р р* + 0™ + 1)д/ р;+1

Я

= X р; (п + 1)! дп =о

Я- п

X X ПЬя-^р'".....)& (2.23)

¿=о ¿1+¿2+-+¿п=;™=1 \А£Я=о Ур=1'Рр* + (т+ 1)ду

Изменив порядок суммирования, данное слагаемое можно преобразовать следующим способом:

Я Я- п

Xрдп+1)!X X )рш

;=о ¿=о ¿1+¿2+-+¿п=*т=1 \АА,5=о р* + (т + р;+1

Я Я-

^ рДп + 1)!дпр2

п-1

Л

/р(п + 1)

=ДА £*=о Р р* + (т + 2)ду ру+1

Я Я- Я- УУУ У рДп + 1)!дпр2

;=ог=о ¿=г ¿1+12+-+1п-1=1-гА^5=о р* + 2д

п-1

р^ж \ РУ+*

— /

1 \ 1 , , I р(п+1)

1=ДА £*=о Р р* + (т + 2)ду ру+1

я я-уя-у-г - УУ У У р;-(п + 1)!дпр2 = XX X X А УЯ-;-гр +2д

ГТ( _рж_ \ ру + 1+г-г

я я-уя-у-г

рДп + 1)!дпр2

= XXX X

¿=о 11+12+—+1п-1=1 р + 2д

п-1

Ж | рУ + ^+2-г

х ^ , „Я-;-г-2Ж=1 ¿р "" I „(п+1)

(2.24)

Изменим ещё раз порядок суммирования. Возьмём £ = у + г. Тогда у = £ -. Имеем:

Я Я-уя-у-г _ _ п— 1

'п~ рЬ

^р;(п+1)!дпрг Т Г

Я-У-2 ? N

Ж

у=ог=о ¿=о ^+.2+-+.п-1=АуЯ=о 2р* + 2дш=ДаЕя^о г ^ + (т + 2)д

рУ+1+г-г р(п+1)

Я Я- п-1

рс-2(п + 1)!дпр^о / рь

XXX X АУЯ-р + 2и П

Ж

.....АЕЯ=-ОР5 + 2М 1 11 АуЯ-с-^Ж=1^р +(т + 2)„

рС+^-г (п + 1)

Р^ )

Я Я— п—1

(п + 1)\-п Р,т_^

Р1+1—

= УУ V (п + 1)\-- 1 т

г—о — 11+12+-+1п-1—I ^з—огз пт—1\Хъз—о Рз + (т + 2)-1 рг+1

Рг—гРг

У

г—о

Я Я— п—1

= УУ У (п+1)\-п Т-г/_Р1т_\

г—о ¿—о ¿1+12+—+ 1п-1—I з о1з> ' т—1 \-^з—о

(2)

рг+1—грг

р(п+1)

+

Я Я— п—1

= УУ У (п + 1)\-п Г"[[_Рт_

У У 1+12+У п-г—^^Рз + 2-к—[1 {х^ЯТ^ Рз + (т + 2)-,

(2) Р}+1—гР)

( п+1) +

Я Я—} (2), . .ч. г, п—1

Р}+1

уу у p)2)(п + 1)\-пт:1( рь

и ыо 1+1 ъ+ип-г—^—о Рз + 2- тАХ-^^ Рз + (т + 2)-/ Р}+1

I — I

Лп+1) ' Р}+1

(2.25)

Таким образом, имеем:

Я Я— п

[(_Р_т_\1

%(п+1)

+12~+ п—1т—~1\хъз—о " ' ' Рз + (т + 1)-; 1

Я Я—

_р_т_\ 1}+—

ПК ^я—}—ттт=1^ . ¡Р(п+ -

}—о — ^+ Ь2+-+1п—I т—1 \ х ъз—о рз + (т + 1)- р}+1

уР)(п + 1У\-"у У П

р(2)(п + 1)\-п

УУ У ХУЯ—}Р + 2и }—о 1—о ¿1+ ¿2+-+¿п-1—¿х^з—о Рз + 2-

•П\ ^Я—}—^!™ (226)

т—1\Х£з—о ! ! Рз + (т + 2)-1 р}+1

Вернёмся к равенству (2.21). Получаем:

- 44 ■ Я- г

р*

X

=о

Я Я- п-1

р*1 1 Г / р^Ж+1

= Xр>X X

;=о ¿=о ¿1+12+-+1п=1 А£я=ор* + р 1 Рр5 + (т + 1)д

(п + 1)! дп+1 р;+^г

А2Я=Г'р* + (п + 1)др£+1)

п Я Я-

^«(к^ V р«1

+ XкíXрrX X

к! Я-

к = 1 ; = о ! = о !1+!2 + - + !п-й+1

п- к

П

=I А^Я=6 р* + кд

р^ж+1_\А1Я=-о'р*(п + 1)!мп-к+1р;+^г

п- к

т=1 чАЕЯ^о-^Ж=1£рр* + (т + к)„/ АЕЯ-Г р* + (п + р}+1

Я А^Я=ор*

X

Др^ ГАЕЯ^о;р* + (п+!)Д

Я Я-;' (2), , ... п п—1 / х

XX X АУЯ-;'р +2»П1 я-;-2Ж=1»Р . , . ^(п+1) у=о ¿=о ¿1+;2+—+Iп-1=I А^*=ор* + 2дт=1 \А%=о р рр5 + (т + 2)^/р,Ч;

п Я Я-

+ ^ Ш^рГ^ X *

к=2 _/=о ¿=о ¿1+12 + -+1п-л+1=1 А^=о р* +

Р^Ж+1_\А1Я=-о'р*(п + 1)!мп-к+1р;+-г

т=1

П

А^о'р* + (т + к)д/ А2Я-Гр* + (п + 1)д р£+

Ь-^^,/ (2.27)

Теперь у первого слагаемого 2-ой суммы (при к = 2) знаменатель вновь совпадает со знаменателем из 1-ой суммы. Можно было бы опять их сложить и преобразовать получившуюся сумму, но вместо этого проделаем данную процедуру для произвольного к, 1 < к < п. Имеем:

Я ( к) Я—

У 1 У У Рч

у(к — 1)\у у ХуЯ—}Р +к-

}—оУ ' — 11+12 + -+1п-к+1—1 -Ьз—о Рз + к-

п— к

гг (_Р1т+1_\ (п + l)\а"-к+2 Р}+—г

1\ {-Т-^1Рз + (т + к)-) X ИЯ—Г Рз + (п + 1)- Ж1

Я ( к) Я—

+ У Р-кУ У 111

}—о ^ {—о 11+12 + ^^+1— -ТЯ—оРз + к-

п—к ( -т+1 \хzЯ:)Рз(п + l)\\ап—к+1Рj+i—г

иУ-Яог^-. + т+к)-) х£Я:Грз + (п + 1)-

(п + 1)\-п—к+1

Уо к\ -ТЯ^-з + к-

Я— п— к+1

Рь

т

\ каРj+i—п

11 ^ я—}—т1т=1ь ^ , 1 71(п+1)

¿—о ¿1+12+-+1п-к+1— т—1 рз + (т + к)-}+1

Я— п— к+1 Я—

,У V П(_-т_\XТs—0РзРj+i—п

у у п \ л Тя—}—тт=1ЬР +(т + к)и I -(п+1)

¿—о ¿1+¿2+-+1п-к+1—1 т—1 Рз + (т + к)- -}+1

У У п

у-Г (п + 1)\-п—к+1 ? у

Я— п— к+1

•у у п .....(2.28)

Ът_ |Р1+1

1—о 11+12+-+1п-к+1—1 т—1 Тя=о Р~г Р рз + (т +к)-1 Р}+1

Аналогично формуле (2.23) множитель (-Т^о рз + к-) можно сократить:

^p)к\п + l)\ап-к+1 , ^ 1Я—}

^^ 1vЯ—)„_ + ^Лк-+Xу-s

Я— п— к+1

_-т_\Рj+i

11 \ л^я—j—т7т=liP , , ,.. ¡лп-*

¿—о ¿1+12+-+1п-к+1— т—1 рз + (т + к)- -}+1

У У п

( п+1)

= A

7=0 ^ + ^

Л-У n-fc + 1 / \

Y V П _P¿-_\P7+¿-r

A A Hl, v«-7-zs=iíp p + (w + fr)l. )p(n+1)

í=0 ¿1+Í2+-+¿n-fc+i=i rn=1 ps + (m + py+¿

^Р((к)(п + 1)!дп-

A

l-fc+1

fc!

=0

Л-7 n-fc+1 / \

V у ГТ /_p¿-_\Рж-г

A ¿i+¿2+-A^,-fe+i=¿ U U А^Т^Ч + (rn + fcW p7++1) '

Получается, сумма этих двух элементов равна: л (fc) Л-7

Y Р V У P¿1 A( fc — 1)! A A

( fc —1)^ ЯУя-7Р +fcu

y=o v ¿=o ¿i+¿2+ + ¿n-fe+i=¿ Л^=о p +

n-fc

p¿

-+i \ (n + 1)!^n-fc+2 Py+t-r

+ (m + ^A^=r¿ps + (n + 1)Mpf++1)

m=1 \^¿,s=0 + +

Л (fc)

+ A %-A A pti

p¿

n-W yAs=-¿'ps(^+1)!Mn-fc+1p7+¿-r

ж+i ' -'-У-Р- Fy+í-r

^.pf)(n + 1)!Jun-k+1

fc!

=0

Л-7 n-fc+1

pí

A A nL^-gJ-.....fe; (2.30)

¿ж_\ p7+í

í=0 íi+¿2+"-+¿n-fe+i=í rn=1 \AAS=0 P=i Pps + (m +fc)^y p7+í

Изменим порядок суммирования по аналогии с формулой (2.24):

(2.29)

^-(k)(n + 1)!un—k+1

j_

k!

=0

R-; n-fc+l / \

-¿m _ \ -7+i-r

Z Z П

¿ = 0 ¿1+ i 2 + - + ln-fc+1=í m=^'iJS:

1 1 \ ^r—"^^ . , , /ri(n+l)

=i m=l \ЯУ5=0 p p-s + (m + kW-'+i

^-;(k)(n + 1)!un—k+1

k!

=0

R-

-z

ZZ Z

fco Z=0 i^^^Wi-z^s- + (k + 1)u

R- - z

Я У

2+- + tn-

n-k / \

-¿ж _ \ -j + i

— I

M R-j"^^^ - . , . n /n(n+1)

=Т\ЯУя=0 p p-s + (m +k + 1)u/-;+¿

R

= Z

-jk) (n + 1)! un-k+1

k!

=0

R- R-

-z

ZZ Z

R- - z

z=0 ¿=z ^+^4-----+¿n-k=¿-z Я

=¿-z¿yR:¿ -s + (k + l)u

n- k

ж

\ -7+t—r

m

П - . , . n /n(n+1)

=т\Я%=0 p p -s + (m + k + 1)uy -;+¿

Y-;(k)(n + 1)!un—k+1

= Z k!

=0

R- R- - z

-z

Z Z Z

z=0 fc0 ¿l+^n-^^S"-^^1^

ж I P/' + í+Z—r

¡ I (n+l) _

m=1 \ Я ys=0 - + (m + k + 1)u / -;+¿+z

n- k

I -.

ж

я я—jя—j—z Лк)(.лЛ]ип—к+1

^^ ^ ^ -} (п + 1)\- рг

}—о г—о г—о 11+12+-----+гп-к—г ' -Тз—о

к\ -тя:г Рз+ (к+ 1)-

, -2 • • -п-к — -

п— к

1 и^я—j—z—т7т=liP^^1^лл ) Р(п+

т—^-Тз—о ! Рз + (т + к + 1)-) р}+1+г

Изменим ещё раз порядок суммирования аналогично формуле (2.25). Возьмём — + . Тогда — — . Имеем:

П \ ^Я^—г—Т™^ т, , , , , ,, 1 Лп+1) ; (231

Я Я—} Я—}—г (к)

У "

р}К)(п++ 1)\ -п—к+1 -г

-тЯ:г-з + (к + 1)-

к\ XТЯ—j—z

}—о г—о ¿—о г1+г2 + -+гп-к—г з

п— к

р1т _ \ -1+1+г

П

— г

1 \ т x<я—j—z—тт=lh^f^1^лл / Р(п+1)

т—^-Тз—о ! Рз + (т + к + 1)-) р}+1+г

_ р(Ю(П + 1)\ -п—к+1 Рг

— УУУ У

к\ -ТЯ—оРз + (к + 1)-

г—о г—о г—о г1+г2+-+гп-к—г ^-ls—ог's

п— к

р1т \ рг+г

• 11 и ^я—г—тт=1Ь , , , , , )р(п+ т—^-Тз—о ! ! Рз + (т + к + 1)-) рг+1

Я Я—

X 1 (п + 1)\-п—к+1

— г

к\-ТЯ:оРз + (к + 1)-

г—о г—о г1+г2+-+гп-к—г

п— к

П\ _Р1т_ |E£+:nУр(к)р

тлутТХ^-^ъ+ы+к+ъ^р^Ь г г

Я Я—

п— к+1

1)\-

^я—г.

1 (п + 1)\-7

УУ У к\-ТЯ:оРз + (к + 1)-

г—о г—о г1+г2+-+гп-к—г

п—к/„ \ (к+1) П(_Р1т_\ Рг+г—гР1 )

[[^^я—1—тт=1г^ ) р(п+1)

т—^-Тз—о ! !Рз +(т + к + 1)-) рг+г

Я Я-

= XX X

1 (п + 1)!д

п- к+1

; = о ¿ = о ¿1 + 12+- + ¿п-й = п- к

,1.= к!АЕЯ-р* + (к +

рь

ру+^-гр;

( к+1)

,я-;-2Ж=1»г =

Я ( к+1)

т= =о Р р* + (т + к + 1)д/ р;+;

(п+1)

1

=о

п- к

¿=о ¿1+ ¿2 + -+1п-й

рь