Метод и алгоритм расчета упруго-массовых характеристик моделей крыльев большого удлинения на основе гидродинамической аналогии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.07.03, кандидат наук Чан Ван Хынг

• Чан Ван Хынг
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Чан Ван Хынг

Оглавление

Введение

Глава 1. Постановка задачи

1.1 Обзор методов решения

1.2 Метод гидродинамической аналогии

1.2.1 Уравнение Лапласа и его фундаментальные решения

1.2.2 Пример решения задачи обтекания профиля методом гидродинамической аналогии

Глава 2. Реализация метода гидродинамической аналогии в задачах кручения и изгиба призматических стержней

2.1 Кручение и поперечный изгиб сплошных стержней

2.1.1 Кручение сплошных стержней

2.1.2 Поперечный изгиб сплошных стержней

2.1.3 Численный метод и реализация

2.1.4 Численные результаты

2.2 Кручение и поперечный изгиб полых стержней

2.2.1 Кручение полых стержней

2.2.2 Поперечный изгиб полых стержней

2.2.3 Численные результаты

2.3 Кручение и поперечный изгиб стержней, составленных из различных материалов

2.3.1 Кручение составных стержней

2.3.2 Поперечный изгиб составных стержней

2.3.3 Численный метод и реализация

2.3.4 Численные результаты

Глава 3. Определение параметров сечения по заданным характеристикам

3.1 Определение параметров сердечника крестообразного сечения

3.1.1 Метод Ньютона для минимизации целевой функции, заданной в явном

виде

3.1.2 Нахождение параметров крестообразного сечения по заданным характеристикам

3.1.3 Численные результаты

3.2 Определение параметров составного стержня квадратного поперечного сечения

3.2.1 Нахождение параметров сердечника крестообразной формы составного стержня

3.2.2 Метод сопряженных градиентов для минимизации целевой функции

3.2.3 Численные результаты

3.3 Определение параметров сердечника модели крыла по заданным характеристикам

3.3.1 Постановка задачи

3.3.1 Численные результаты

Глава 4. Основные особенности реализации программы для расчета сечений стержней

4.1 Интерактивный режим

4.2 Модуль расчета обратной задачи

4.3 Консольный режим

Глава 5. Применение разработанного метода для практических задач

5.1 Применение метода для расчета жесткости натурного крыла

5.2 Применение метода для расчета жесткости модели крыла самолета для АДТ

5.3 Применение метода для проектирования аэроупругой модели

Заключение

Список использованной литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод и алгоритм расчета упруго-массовых характеристик моделей крыльев большого удлинения на основе гидродинамической аналогии»

Введение

Ключевые слова: упруго-массовые характеристики, аэроупругость, аэроупругая модель, крыло большого удлинения, гидродинамическая аналогия, задача Сен-Венана, кручение призматических стержней, поперечный изгиб, жесткость на кручение, центр изгиба, балочная схематизация, математическое обеспечение.

В процессе проектирования летательных аппаратов (ЛА) наступает этап, при котором необходимо проверять заложенные в проекте аэродинамические характеристики в эксперименте. Для этой цели используются специально изготовленные масштабные модели ЛА. Типы моделей включают в себя модели для проверки взлетно-посадочных характеристик, характеристик крейсерского полета, штопора и другие типы моделей.

Для измерения аэродинамических характеристик самолета используются модели, точно повторяющие геометрические формы самолета, которые должны слабо деформироваться под действием скоростного напора аэродинамической трубы (АДТ), так называемые «жесткие» модели. Деформация под действием скоростного напора подвергаются наиболее нагруженные элементы модели -несущие поверхности и особенно крылья большого удлинения. Несмотря на то, что крылья аэродинамических моделей изготавливаются из сплошного прочного материала - легированной стали (30ХГСА), они могут подвергаться заметным деформациям особенно при испытаниях с большими числами Рейднольдса, которые моделируются увеличением статического давления в АДТ [1,2].

Для оценки влияния упругости «жестких» моделей необходимо рассчитывать изгибные жесткости и жесткость на кручение (крутильную), а также центр жесткости моделей крыльев, изготовленных из сплошного материала. Один из разделов данной работы посвящен именно этой проблеме. При этом используются предположения балочной модели, в которой жесткостные характеристики трехмерного объекта эквивалентны набору жесткостных характеристик отдельных сечений этого объекта.

Существует другой тип аэродинамических моделей, для которых деформации под действием скоростного напора в АДТ должны как можно точнее соответствовать деформациям реального самолета в полете. Этот тип моделей называется упруго-подобные модели (УПМ). Внешняя форма этих моделей подобна внешней форме самолета, но конструкция по многим причинам не может быть просто уменьшенной копией конструкции самолета. Для проверки аэроупругих характеристик ЛА изготавливаются специальные упруго-подобные модели. Эти конструкции проектируются для обеспечения аэроупругих характеристик ЛА по законам подобия.

На ранних стадиях проектирования обычно используют упрощенные УПМ, например, доработанные динамически-подобные (отсечно-балочные) модели, предназначенные главным образом для исследований флаттера в дозвуковых аэродинамических трубах. Простота этих моделей заключается в том, что аэродинамические характеристики обеспечиваются элементами, повторяющими в масштабе контуры ЛА, а жесткостные характеристики обеспечиваются внутренними элементами, подобными по упругости конструкции ЛА. Такие модели крыльев состоят из отдельных формообразующих отсеков, соединенных между собой упругими элементами.

Для того чтобы формообразующие элементы упруго-подобной модели крыла не нарушали упругие свойства, между ними необходимо оставлять промежутки. В результате на поверхности модели крыла образуются щели, которые могут искажать аэродинамические характеристики. В работе [3] в результате численного анализа обтекания отсечно-балочной модели крыла магистрального самолета было определено влияние щелей на аэродинамические характеристики. На рисунках 1 и 2 показано влияние щелей на расчетную зависимость подъемной силы от угла атаки и аэродинамического качества от коэффициента подъемной силы для модели крыла этого магистрального самолета (рисунок 3). Расчеты проводились без учета упругих деформаций модели. Следует отметить существенное влияние щелей на подъемную силу крыла при больших углах атаки и снижение максимального аэродинамического качества

крыла со щелями. Расчетные аэродинамические характеристики жесткой модели с технологическими щелями дают значения Сутах и Ктах примерно на 17% ниже, чем расчеты жесткой модели без щелей.

1.2 1.1 1.0 0.9 0.8

0.7 ^ 06

О

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Угол атаки град.

Рисунок 1 - Влияние щелей на коэффициент подъемной силы

25

20

15

10

5

0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

Су

Рисунок 2 - Влияние щелей на аэродинамическое качество

Рисунок 3 - Аэродинамическая модель крыла магистрального самолета

Необходимой точности на более поздних стадиях проектирования можно достичь при испытаниях гладких УПМ в скоростных АДТ. Проблеме проектирования упруго-подобных моделей посвящено достаточно большое количество работ [4-15,34,36]. Создание гладких упруго-подобных моделей сложнее отсечно-балочных моделей тем, что нельзя выполнить подобие отдельно по аэродинамическим и упруго-массовым характеристикам. Для этой цели необходимо создавать новые методы проектирования УПМ.

Если ограничиться классом ЛА с крылом большого удлинения, то задачу проектирования УПМ можно свести к проектированию отдельных сечений с заданными упруго-массовыми характеристиками. Основой проектирования является прямой расчет жесткостных характеристик сечений, при этом надо предполагать, что сечение может иметь полости, может состоять из различных

материалов, но внешний контур сечения должен строго повторять профиль в заданном сечении крыла. Поэтому трехмерную задачу можно свести к двумерной задаче расчета жесткостных характеристик сечения призматических стержней. Задача на кручение и на изгиб призматических стержней впервые была решена Сен-Венаном [16,26].

Кручение и изгиб призматических стержней изучались во многих работах. Очевидно, что для стержней произвольного сечения применение классических аппаратов аналитического решения затруднительно, и даже в некоторых случаях эффективное решение задачи можно построить лишь численно.

В работе [17] для расчета кручения призматических стержней, авторы совместно использовали аналитический и численный расчеты. Область сечения стержня разбита на подобласти, в одних из которых допускается аналитическое решение, а в других - решение получается численно (метод конечных элементов, метод граничных элементов). При тщательном выборе подобластей авторы показали возможность получения ответа на задачу о кручении стержней с использованием условия непрерывности напряжений и перемещений на поверхностях контакта. Однако эта методика не может претендовать на решение широкого класса задач, в основном, из-за большого разнообразия представлений аналитических решений.

В работе [18] приведены результаты расчета центра изгиба стержня с полостями, используя интегральные представления решения с применением суперпозиции регулярных гармонических функций на внешней границе стержня и сингулярных гармонических функций на внутренних границах полостей. С помощью дискретизации Гаусса-Чебышева, использования интерполяции Лагранжа, авторы построили численный алгоритм решения интегральных уравнений. Были получены расчеты центра изгиба стержня кругового сечения с эксцентричной полостью и центра изгиба стержня, сечение которого имеет форму лепестка с эксцентричной полостью.

Другим подходом к решению задачи Сен-Венана является применение конформных преобразований [19] для приведения области расчета к более

простому виду (например, к кругу). Авторы за основу практического использования конформного отображения взяли итерационный процесс альтернации и использовали метод граничных вариаций М. А. Лаврентьева для улучшения отображений. После редукции краевой задачи Дирихле к задаче в круговой области с помощью конформного отображения, и решения задачи кручения стержня в круговой области, авторы показали возможность получения характеристик сечения стержня, в том числе и крутильную жесткость.

В работе [20] на основании анализа результатов численного решения задач о кручении призматических стержней различного сечения и изопериметрических неравенств получена формула для оценки жесткости на кручение призматического стержня произвольного сечения по двум параметрам сечения -его площади и периметру.

В работах [21-23] для определения жесткости на кручение призматических стержней крестообразного и Н-образного сечения применяется метод «близкой» задачи. Он ставит в соответствие данной задаче другую задачу близкую в определенном смысле к поставленной. Эта близкая задача имеет точное решение. Этот метод занимает промежуточное место между точными методами, в которых удовлетворяются как уравнение, так и краевое условие, и приближенными методами, в которых оба этих условия удовлетворяются приближенно. С помощью метода «близкой» задачи авторами получена жесткость на кручение призматических стержней крестообразного и Н-образного сечения, используемых при изготовлении лонжеронов динамически подобных моделей.

Таким образом, проблема расчета жесткостных характеристик призматических стержней была исследована во многих работах. Для решения этой проблемы использовались различные методы (аналитические, численные и смешанные). Каждый метод имеет свои преимущества и границы применения.

На основании обзора источников литературы можно сформулировать следующие положения.

Актуальность темы исследования:

Во многих задачах аэроупругости и нагрузок применяется балочная схематизация конструкции самолета и его моделей. Например, балочная схематизация используется в расчетных комплексах ЦАГИ - РИФ, ДНВ, КС-М, АРГОН [24] для расчета флаттера, динамических нагрузок, статической аэроупругости, частотных характеристик самолетов с крылом большого удлинения. Балочная схематизация также применяется при проектировании и изготовлении аэроупругих моделей для экспериментальных исследований характеристик аэроупругости в АДТ. Для всех указанных задач нужны жесткостные и массово-инерционные характеристики сечений конструкции. Можно отметить два основных аспекта в задачах определения характеристик сечения балочных конструкций:

• Расчет характеристик сечения тонкостенной натурной конструкции, которые нужны для указанных выше задач. Данная задача может быть решена инженерными методами строительной механики, либо расчетом методом конечных элементов. Оба подхода достаточно трудоемки, требуют ряда предположений и достаточно высокой подготовки.

• Расчет характеристик сплошного сечения, сечения с полостями или выполненного из различных материалов. Данная задача возникает в проектировочных расчетах аэроупругих моделей. Точность инженерных методов для такой задачи невысокая, а выполнение проектировочных расчетов методом конечных элементов весьма трудоемко.

Поэтому создание математического обеспечения для корректного и эффективного определения характеристик сечения балочных конструкций является практически важной и актуальной. В данной диссертации основное внимание уделено решению более сложной в методическом плане второй задачи.

Целью данной работы является разработка метода расчета и проектирования упруго-массовых характеристик сечений крыльев аэроупругих моделей. Основной задачей исследования является выбор среди возможных

вариантов и построение наиболее эффективного алгоритма, позволяющего достичь поставленных целей.

Решены следующие задачи:

- Предложен и разработан метод расчета упруго-массовых характеристик моделей крыльев большого удлинения на основе гидродинамической аналогии.

- Разработаны алгоритмы решения задач:

о расчета жесткости и центра изгиба сплошных однородных сечений

произвольной формы. о расчета жесткости и центра изгиба сплошных сечений с полостями. о расчета жесткости и центра изгиба сплошных сечений из разных материалов.

- Разработаны постановка и алгоритм решения обратной задачи по определению параметров сечения, имеющего заданные значения жесткостей.

Научная новизна работы заключается в том, что:

- Предложено использовать метод гидродинамической аналогии для расчета упруго-массовых характеристик моделей крыльев большого удлинения. Упоминание о наличии гидродинамической аналогии в задаче Сен-Венана можно найти во многих работах [16,25-28]. Однако до сих пор реализации этой аналогии, доведенной до численного алгоритма, не было сделано, несмотря на то, что этот метод прост в применении и позволяет получить результаты с хорошей точностью.

- Предложено использовать два типа гидродинамических особенностей (а именно источников и диполей) для выполнения одновременно двух граничных условий на линиях раздела материалов при решении задачи расчета жесткостных характеристик составных сечений. Потенциал отрезка источников не имеет разрыва при переходе через границу отрезка, а нормальная производная имеет. С другой стороны, потенциал отрезка диполей терпит разрыв значения и не терпит

разрыв нормальной производной. Используя совместно источники и диполи, удалось выполнить сложное граничное условие на линиях раздела материалов.

- Созданы математическое обеспечение и новый метод проектирования жесткостных характеристик сечения балочных конструкций.

Теоретическая значимость работы заключается в исследовании возможности применения гидродинамической аналогии для решения задачи, которые обычно решаются методом конечных элементов. В отличие от метода конечных элементов, при котором необходимо определять гармоническую функцию во всей области сечения с удовлетворением граничного условия, в разработанном методе применяются гидродинамические особенности, которые являются фундаментальными решениями уравнений Лапласа и Пуассона, и нужно определить только их интенсивность из граничных условий.

Практическая значимость данной работы заключается в том, что на основе разработанного метода и алгоритмов создано математическое обеспечение, которое эффективно используется в расчетах характеристик сечений авиационных конструкций. Разработанное математическое обеспечение применяется для расчета жесткости тонкостенного натурного крыла, крыла модели самолета для АДТ, и также применяется для проектирования аэроупругой модели.

Достоверность полученных результатов подтверждена сравнениями с аналитическими результатами (разделы 2.1.4 и 2.2.3), с расчетами по другим методам (разделы 2.1.4, 2.3.4, 5.1 и 5.3) и экспериментальными данными (раздел 5.2).

На защиту выносится:

- Метод и алгоритм расчета упруго-массовых характеристик моделей крыльев большого удлинения на основе гидродинамической аналогии.

- Практические результаты, полученные при применении разработанного метода для расчетов упруго-массовых характеристик сечений авиационных конструкций.

Соответствие паспорту специальности. Содержание диссертации полностью соответствует задаче, указанной в паспорте специальности 05.07.03. В работе предложен и разработан метод расчета упруго-массовых характеристик сечений авиационных конструкций, которые необходимы при применении балочной схематизации для расчета характеристик аэроупругости и прочности летательных аппаратов. Разработаны также численные алгоритмы и программа, которые применяются в проектировочных расчетах аэроупругих моделей.

Апробация работы. Результаты работы прошли апробацию путём обсуждения на конференциях:

1) «54-й научная конференция МФТИ: Проблемы фундаментальных и прикладных естественных и технических наук в современном информационном обществе», г. Жуковский, ноября 2011 г.

2) «55-й научная конференция МФТИ: Проблемы фундаментальных и прикладных естественных и технических наук в современном информационном обществе», г. Жуковский, ноября 2012 г.

3) «Международный авиационно-космический научно-гуманитарный семинар имени братьев Белоцерковских Сергея Михайловича и Олега Михайловича», г. Москва, сентябрь 2016.

Публикации. Результаты, представленные в диссертации, опубликованы в 5 работах, из них 3 в изданиях, рекомендованных ВАК РФ.

Текст диссертации включает в себя 107 страниц, 65 иллюстраций, 8 таблиц, содержит аналитический обзор 64 источников.

Работа содержит введение, 5 глав, заключение, 1 приложение и список использованной литературы.

Во введении сформулированы цель работы и её актуальность, указаны решенные задачи, обоснованы научная новизна и теоретическая значимость работы, отмечены практическая значимость и достоверность результатов, приведены аргументы соответствия паспорту специальности, перечислены основные публикации и конференции.

В первой главе рассмотрена в общем виде задача расчета жесткостных и массово-инерционных характеристик сечений и её роль в проектировании упругих элементов УПМ. Также в этой главе дан обзор методов решения, в том числе и метода гидродинамической аналогии, их преимущества и недостатки. В конце главы показаны результаты расчета обтекания профилей несжимаемым невязким потоком с использованием метода гидродинамической аналогии и дано сравнение с методом конечных объемов расчетного комплекса ANSYS CFX.

Во второй главе рассмотрена задача кручения и поперечного изгиба призматических стержней трех типов: сплошных, полых и составленных из различных материалов. Для каждого типа дана краткая справка из теории упругости о кручении и поперечном изгибе призматических стержней и изложена численная реализация метода на основе гидродинамической аналогии. В конце каждого раздела даны примеры расчета призматических стержней и приведено сравнение с другими методами.

В третьей главе изложена обратная задача и показана возможность определения параметров сечения по заданным жесткостным характеристикам. В первом разделе главы описана задача определения геометрических параметров сердечника модели крыла, поперечное сечение которого имеющее крестообразную форму определяется по заданным жесткостным характеристикам. Дано решение обратной задачи методом минимизации Ньютона. В следующем разделе этой главы для решения обратной задачи применяется метод сопряженных градиентов и дан тестовый пример его использования для определения геометрических параметров внутренней крестообразной вставки в сечение квадратной формы. В конце третьей главы рассмотрена задача определения геометрических параметров сердечника упруго-подобных моделей

крыла большого удлинения и дан пример расчета методом сопряженных градиентов. Разработанные методы решения обратной задачи требуют многократного вызова прямого расчета, поэтому для их реализации необходимы большие ресурсы ЭВМ и значительное время расчета.

В четвертой главе показаны преимущества разработанной программы расчета и проектирования жесткостных характеристик сечений упруго-подобных моделей крыльев большого удлинения. Также даны описание программы и инструкция по её использованию. Компьютерная программа написана на языке высокого уровня JavaTM и работает в двух режимах: интерактивном и консольном. Программа позволяет рассчитать жесткостные и массово-инерционные характеристики сечений моделей крыльев различного типа, от простых сплошных сечений до составных сечений, включая расчет профилей с полостями или со вставками из различных материалов. Программа разделена на два модуля: один модуль предназначен для прямого расчета упруго-массовых характеристик сечений, а другой предназначен для решения обратной задачи, т.е. определение геометрических параметров сечений по заданным жесткостным характеристикам.

В пятой главе представлены примеры применения разработанного метода и разработанной программы для практических расчетов жесткостных характеристик сечений авиационных конструкций. Даны результаты расчета жесткости тонкостенного натурного крыла, расчета жесткости крыла модели самолета для АДТ и возможность применения разработанного математического обеспечения для проектирования аэроупругой модели.

Глава 1. Постановка задачи

Проектирование упруго-подобных моделей отсечно-балочного типа, состоящих из двух элементов: балки с упругими свойствами, подобными упругим свойствам крыла, и отсеков, моделирующих аэродинамическую поверхность крыла, включает в себя разработку упругого элемента в виде балки с заданным распределением жесткостей в горизонтальной и вертикальной плоскости и жесткости на кручение. Поскольку отсечно-балочная модель пригодна для исследования крыльев большого удлинения, то сечение упругого элемента можно считать сечением некоторого призматического стержня, что позволяет трехмерную задачу свести к двумерной задаче и проектировать каждое сечение упругого элемента отдельно. Что касается жесткостей на изгиб, то определение их сводится к вычислению интеграла по сечению стержня 5":

Е!^ = Е Ц х 2ёхёу,

Е!уу=Е Я у2 дхйу,

где Е - модуль Юнга материала стержня. Если сечение стержня состоит из п областей 81,82,...8п, соответствующих материалам с различными модулями Юнга Е1,Е2,.Еп, то изгибные жесткости сечения определяются следующим образом:

П ..

Е!хх =Е Е $х 2 ^у,

г=1 5

п гг

Е!уу Е Ц у2 дхйу,

и

Чтобы определить жесткость на кручение GJ, необходимо решить задачу Сен-Венана для кручения призматических стержней. Такая задача была решена впервые Сен-Венаном в предположении о том, что форма сечений не меняется под действием крутящего момента и действительное распределение сил на основаниях стержня (т.е. каким образом создается момент) не оказывает влияние на части тела, находящиеся вдали от них. При этом трехмерная задача сводится к двумерной краевой задаче в сечении стержня. Очевидно, что изгибные жесткости

в горизонтальной и в вертикальной плоскостях легко определяются двойными интегралами по площади сечения, но жесткость на кручение определяется не так просто. При этом необходимо определить функцию, удовлетворяющую уравнению Лапласа или Пуассона в области сечения стержня с граничным условием Неймана (или Дирихле) на свободной границе сечения. Эту задачу можно обобщить для различных типов стержней, в том числе стержней с полостями, стержней составленных из различных материалов [16,30-33].

Что касается массово-инерционных характеристик сечения, их определение сводится к вычислению следующих интегралов:

моменты инерции

центробежный момент инерции

го1хх =р\\ х

го1ху =р\\хуЛхёу

- статические моменты инерции го1х = р\^у^у

го1у = р^х<3хёу

где р - плотность материала стержня.

В случае, когда сечение состоит из п областей 81,82,...8п, соответствующих материалам с различными плотностями р1, р2, ..., рп, то вышеуказанные формулы превращаются в следующие:

моменты инерции

П ..

Го1хх = ^Рг)\Х 1=1

п гг

го1уу =£рЦ у2 дхйу

,=1 5

центробежный момент инерции

го1ху =£ р!Цху^х4у

,=1

статические моменты инерции

Го1х =Е Рг\\у^

,=1

5

5

5

Гв1у = ^ Х(Ху

'=1 5

Большая часть данной работы посвящена именно проблеме определения жесткостных характеристик сечений на основе решения задач кручения и поперечного изгиба призматических стержней. Разработанная методика и составленная компьютерная программа дает возможность определять жесткостные характеристики произвольных сечений, она активно используется при проектировании сечений упруго-подобных моделей крыльев большого удлинения, предназначенных для испытания в АДТ. Разработанная программа также вычисляет массово-инерционные характеристики сечения, в том числе моменты инерции и статические моменты. Ниже изложен краткий обзор методов решения краевых задач для уравнения Лапласа (Пуассона).

1.1 Обзор методов решения

Существуют несколько методов решения задачи Неймана (или Дирихле) для уравнения Лапласа (Пуассона), в том числе метод конечных разностей, методы аналогии, метод конформных преобразований и другие. Сначала коротко рассмотрим некоторые из этих методов и потом подробно изложим метод гидродинамической аналогии.

Метод конечных разностей

Задача кручения стержня может быть решена методом конечных разностей, то есть сеточным методом решения дифференциальных уравнений, основанным на замене производных разностными схемами. Для иллюстрации изложим метод решения задачи Дирихле в прямоугольнике0 = {(х,у) | 0 < х < а,0 < у < Ь}

1НИ (111)

с граничным условием на границе области:

(р(х, у) = Ро(Х у) (1.1.2)

Сеточная схема представлена на рисунке 1.1.1.

Выбрав шаги ^ 1 по осям х и у соответственно, строим сетку с координатами:

х. = Iк, I = 0,1,...,п, уу = А, ] = 0,1,...,т (113)

где х = пк = а, у = т1 = Ь.

^ п ? у т

к

у

ь

]+1

\

]-1 о

(У)

-

1-1 1 1+1 а

Рисунок 1.1.1 - Сеточная схема

Вводим обозначение ( = (х1, у ) и аппроксимируем частные производные

а (

Эх2

а (

и —- в каждом внутреннем узле сетки центральными разностными схемами

ду2

второго порядка:

ау _ - (

дх2 к2

а у _(, ^- (+(, ^

+ 0(к2)

+ 0(/2)

Эу 2 I2

Тогда уравнение (1.1.1) сводится к конечно-разностному уравнению:

(+и - 2( + + (+1 - 2( + = 0,, = 1п -1, 7 = 1,...,т -1 к2 12

Данное уравнение может быть разрешено относительно у

I2 к2

Если выбирается к=1„ то получается уравнение

(1.1.4)

(1.1.5)

Разностное уравнение, записанное в подобной форме, позволяет определять значение ф по известным значениям функции ф(x, y) в соседних узлах

используемого шаблона. Данный результат служит основой для построения различных итерационных схем решения задачи Дирихле, в которых в начале вычислений формируется некоторое приближение для значений ф , а затем эти

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Чан Ван Хынг, 2016 год

Список использованной литературы

1. Амирьянц, Г. А. Влияние упругих деформаций «жестких» аэродинамических моделей на их аэродинамические характеристики / Г. А. Амирьянц, С. В. Ефименко, С. Я. Сирота // Ученые записки ЦАГИ. - 1993. - Т. XXIV. -№1.

2. Амирьянц, Г. А. О влиянии упругости модели самолета на аэродинамические характеристики при трансзвуковых скоростях / Г. А. Амирьянц, В. А. Баринов, В. А. Белоус, С. В. Ефименко, А. Г. Захаров, В. П. Кулеш, С. И. Скоморохов // ТВФ. - 1997. - Т. ЬХХ1. - № 4 (627).

3. Амирьянц, Г. А. О расчетных исследованиях жесткостных и аэродинамических характеристик упруго-подобных моделей / Г. А. Амирьянц, В. В. Вождаев, Ф. З. Ишмуратов, Нго Ши Хоанг, Л. Л. Теперин, А. А. Чижов // Полет. Общероссийский научно-технический журнал. - 2013. - № 6 - с. 5160.

4. Амирьянц, Г. А. Универсальная аэродинамическая модель и способ ее изготовления / Г. А. Амирьянц // Патент РФ по заявке №94032640/28, 1994.

5. Амирьянц, Г. А. Универсальная упруго-подобная аэродинамическая модель и способ ее изготовления / Г. А. Амирьянц, С. Л. Чернышев // Патент РФ по заявке № 2011103646/ 28(005018), 2011.

6. Амирьянц, Г. А. Многоцелевая аэроупругая модель летательного аппарата / Г. А. Амирьянц, Л. В. Аносова, С. В. Ефименко, Ф. З. Ишмуратов, Н. М. Колушов, В. А. Малютин, Ю. М. Муллов // Труды ЦАГИ. - 2002. - вып. 2658.

7. Транович, В. А. Построение модели, подобной по жесткости натурному крылу / В. А. Транович, Ю. Ф. Яремчук // Труды ЦАГИ. - 1974. - вып. 1578. - С. 15-31.

8. Азаров, Ю. А. Методы проектирования композиционных динамически-подобных моделей агрегатов самолета / Ю. А. Азаров, М. Ч. Зиченков, Ф. З. Ишмуратов, В. В. Чедрик. // Ученые Записки ЦАГИ. - 2006. - Т. XXXVII. - №4 - С.42-53.

9. Амирьянц, Г. А. Станция для определения жесткостных характеристик конструкций и их аэродинамических/аэроупругих моделей / Г. А. Амирьянц, К. Ф. Лацоев, В. А. Малютин, Ю. М. Муллов, Ю. А. Найко // Труды ЦАГИ. -2005. -вып.2669.

10.Амирьянц, Г.А. Проектирование упруго-подобной модели, изготавливаемой на станке с ЧПУ / Г. А. Амирьянц, В. Д. Вермель, Ф. З. Ишмуратов, А. Б. Кудряшов, О. А. Орлова, Д. С. Руденко // Ученые записки ЦАГИ. - 2012. -Т. ^Ш. - № 3. - С. 88-100.

11.Малютин, В. А. О разработке многоцелевой аэроупругой модульной модели / В. А. Малютин // Ученые Записки ЦАГИ. - 2009. - Т. ХК - №3. - С. 82-86.

12. Амирьянц, Г. А. Многоцелевая аэроупругая модульная модель летательного аппарата. - В сборнике статей "Прочность, колебания и ресурс авиационных конструкций и сооружений" / Г. А. Амирьянц, Л. В. Аносова, С. В. Ефименко, Ф. З. Ишмуратов, Н. М. Колушев, В. А. Малютин, Ю. М. Муллов // Труды ЦАГИ. - 2002. - вып.2658. - С. 134-140.

13. Транович, В. А. Решение задачи о численном построении модели, подобной по жесткости исходной конструкции, как задачи квадратичного программирования / В. А. Транович, Ю. Ф. Яремчук // Ученые Записки ЦАГИ. - 1976. - Т. 7. - №1.

14. Транович, В. А. Построение модели, подобной по жесткости натурному крылу / В. А. Транович, Ю. Ф. Яремчук // Труды ЦАГИ. - 1974. - вып. 1578.

15.Amiryants G. A. Multipurpose Modular Aerodynamics / G. A. Amiryants, F. Z. Ishmuratov // Aeroelastic Model // IFASD. Madrid,2001.

16.Арутюнян, Н. Х. Кручение упругих тел. / Н. Х. Арутюнян, Б. Л. Абрамян //ФМ. Москва. 1963.

17.Хачикян, А. С. Об одном подходе к сопряжению численного решения с аналитическим на примере задачи кручения / А. С. Хачикян, А. В. Саакян, В. Г. Саргсян // Известия Национальной академии наук Армении. - 2011. -Т.64. - №1. -С. 17-25.

18.TANG, Ren-ji Method to calculate bending center and stressity factors of cracked cylinder under Saint-Venant bending / Ren-ji TANG, Xin-yan TANG // Applied Mathematics and Mechanics. - Shanghai University. - 2001.- Vol 22.-No 1. - p. 79-88.

19. Соболев, В. В. Численный метод решения задачи Сен-Венана о кручении стержня двусвязного сечения методом конформного отображения / В. В. Соболев, А. А. Молчанов // Вестник Томского государственного университета. - 2011. Т. 14. - №2. - С. 25- 37.

20. Егоров, В. В. Применение изопериметрических неравенств для двухсторонней оценки жесткости кручения призматического стержня / В. В. Егоров // Ученые Записки ЦАГИ. - 1984. - T.XL. -№ 4.- С. 120-123.

21.Пархомовский, Я. М. Метод «близкой» задачи и его применение к решению задачи Сен-Венана о кручении стержней / Я. М. Пархомовский // Ученые Записки ЦАГИ. - 1983. - Т. XIV. - № 6. - С. 54-65.

22.Парховский, Я. М. Кручение призматических стержней крестообразного сечения (лонжеронов) / Я. М. Пархомовский, В. В. Егоров, А. Е. Орлов // Труды ЦАГИ. - 1985. - вып. 2257. - С. 14-34.

23. Пархомовский, Я. М. Кручение H-образных призматических стержней (лонжеронов) / Я. М. Пархомовский, В. В. Егоров, А. Е. Орлов // Труды ЦАГИ. -1985. - вып. 2289. - С. 11-26.

24.Ишмуратов, Ф. З. Опыт и исследования ЦАГИ в области аэроупругости летательных аппаратов / Ф. З. Ишмуратов, П. Г. Карклэ, В. Н. Поповский // Труды ЦАГИ. - 1998. - вып. 2631. - С. 103-113.

25.Прочность. Устойчивость. Колебания. Справочник, под ред. И.А. Биргера и Я.Г. Пановко, Том 1, М., Машиностроение. 1968.

26.Тимошенко, С. П. Теория упругости / С. П. Тимошенко, Дж. Гудьер // ФМ. Москва 1975.

27.Мусхелишвили, Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н. И. Мусхелишвили // Наука, М., 1966. 648 С.

28.Сен-Венан, Б. Мемуар о кручении призм / Б. Сен-Венан // - М.: Физматгиз, 1961.

29.Joseph Katz, Allen Plotkin. Low-speed aerodynamics: From wing theory to Panel methods. // McGraw-Hill, Inc.

30.Евстифеев, В. В. Использование гидродинамической аналогии для определения геометрической жесткости и центра изгиба призматических стержней / В. В. Евстифеев, Л. Л. Теперин, Л. Н. Теперина // Техника воздушного флота. - 2011. - Т. LXXXV. - № 1 (702). - С. 18-24.

31. Теперин, Л. Л. Кручение призматических стержней, составленных из различных материалов. / Л. Л. Теперин, Чан Ван Хынг // Ученые Записки ЦАГИ. - 2013 - ^XLIV. -№ 6. - С. 135-141.

32. Теперин, Л. Л. Применение гидродинамической аналогии для определения центра изгиба призматических стержней, составленных из различных материалов / Л. Л. Теперин, Чан Ван Хынг // Ученые Записки ЦАГИ. - 2014. - Т. XLV. - № 5. - С. 101-106.

33.Вождаев, В. В. Метод определения жесткостных характеристик аэроупругих моделей крыльев большого удлинения / В. В. Вождаев, Л. Л. Теперин, Чан Ван Хынг // Авиационная промышленность. - 2014. - № 3. - С.4-12.

34. Александров, Г. В. О моделировании в аэродинамических трубах влияния упругости конструкции на стационарные аэродинамические характери-

стики. / Г. В. Александров, Г. А. Амирьянц, П. Д. Нуштаев, Я. М. Пархо-мовский // Доклад на советско-французском симпозиуме. - 1979. - Москва.

35.Попов Л.С., Кирштейн Б.А., Каширин А.М. и др. Моделирование флаттера в аэродинамических трубах. // Руководство для конструкторов самолетов и крылатых ракет. - том IV, книга 2. - вып. 9.

36.Яремчук, Ю. Ф. Моделирование упругости конструкции крыла / Ю. Ф. Яремчук // Ученые Записки ЦАГИ. -1985. - T.XVI. - № 6.

37.Woodward, F. A. An improved method for the aerodynamic analysis of wing-body-tail configurations in subsonic and supersonic flow / F. A. Woodward // NACA CR-2228. - 1973. - Part 1. - Pp. 125.

38.Аоки, М. Введение в методы оптимизации / М. Аоки // Наука. - Москва. -1977. - 344С.

39.Васильев, О. В. Методы оптимизации в задачах и упражнениях / О. В Васильев, А. В. Аргучинцев // Физматлит. - Москва. - 1999. - 208С.

40.Васильев, Ф. П. Методы оптимизации / Ф. П. Васильев // Факториал пресс. -Москва. - 2002. - 824С.

41.Гилл, Ф. Практическая оптимизация / Ф. Гилл., У. Мюррей, М. Райт // Мир. - Москва. - 1977. - 509С.

42.Амосов, А. А. Вычислительные методы для инженеров / А. А. Амосов, Ю. А. Дубинский, Н. П. Копченова // Высшая школа. - Москва. - 1994. - 544С.

43.Волков, Е. А. Численные методы / Е. А. Волков // Физматлит. - Москва. -2003. - 248С.

44. Самарский, А. А. Численные методы / А. А. Самарский, А. В. Гулин // Наука. - Москва. - 1989. - 432С.

45.Аббасов, М. Э. Методы оптимизации / М. Э. Аббасов // Издательство «ВВМ». - Санкт-Петербург. - 2014. - 64С.

46.Fletcher, R. Function minimization by conjugate gradients / R. Fletcher, C. M. Reeves // Computational Journal. - 1964. - C. 149-154.

47. Акулич, И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах / И.

Л. Акулич // Высшая школа. - Москва. - 1986. - 320С.

105

48.Кочегурова, Е. А. Теория и методы оптимизации / Е. А. Кочегурова // Юрайт. - Москва. - 2016. - 134С.

49.Уманский, А. А. Кручение и изгиб тонкостенных авиаконструкций / А. А. Уманский // М-Л Оборонгиз. - 1939. - 112С.

50.Образцов, И. Ф. Строительная механика летательных аппаратов / И. Ф. Образцов, Л. А. Булычев, В. В. Васильев, А. Н. Елпатьевский, К. А. Жеков, Ю. И. Иванов, Б. А. Коновалов, Ю. С Матюшев, Ф. Н. Шклярчук // Машиностроение. - 1986. - Москва. - 537С.

51. Образцов, И. Ф. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов / И. Ф. Образцов, Л. М. Савельев, Х. С. Хазанов // Высшая школа. - 1985. - Москва. - 393С.

52.Ростовцев, Г. Г. Строительная механика самолета / Г. Г. Ростовцев // ОНТИ НКТП СССР Главная редакция авиационной литературы. - Москва. -Ленинград. - 1936. - 372С.

53.Савельев, Л. М. Строительная механика летательных аппаратов / Л. М. Савельев Л. М., Ю. В. Скворцов, С. В. Глушков // Самарский государственный аэрокосмический университет им. академика С. П. Королева. - Самара. - 2011. - 235С.

54.Уманский, А. А. Строительная механика самолета / А. А. Уманский // М.: Оборонгиз. - Москва. - 1961. - 530С.

55.Погорелов, В. И. Строительная механика тонкостенных конструкций / В. И. Погорелов // БХВ-Петербург. - Санкт-Петербург. - 2007. - 528С.

56. Бычков, Д. В. Строительная механика стержневых тонкостенных конструкций / Д. В. Бычков // Государственное издательство литературы по строительству, архитектуре и строительным материалам. - Москва. - 1962. - 476С.

57.Мяченков, В. И. Расчеты машиностроительных конструкций методом конечных элементов / В. И. Мяченков, В. П. Мальцев, В. П. Майборода, В. Б. Петров, А. Н. Фролов, С. П. Заякин, Г. Н. Ольшанская, В. Б. Горлов, В. С.

Бондарь, С. П. Горшков, С. С. Корольков, Ю. В. Жуков, А. В. Цвелих // Машиностроение. - 1989. - Москва. - 520С.

58.Gallagher, R. H. Finite element analysis: Fundamentals / R. H. Gallagher // Prentice-Hall, Inc. - Englewood Cliffs, New Jersey. - 1975. - 416C.

59.Nikishkov, G. P. Programming Finite Elements in Java / G. P. Nikishkov // Springer. - London. - 2010. - 402C.

60.Сегерлинд, Л. Ж. Применение метода конечных элементов / Л. Ж. Сегерлинд // Мир. - Москва. - 1979. - 393С.

61.Strang, W. G. An analysis of the finite element method / W. G. Strang, J. F. George // Prentice-Hall, Inc. - Englewood Cliffs, New Jersey. - 1973. - 351C.

62.Струшин, С. И. Метод конечных элементов. Теория и задачи / С. И. Струшин // Издательство Ассоциации строительных вузов. - Москва. -2008. - 256С.

63.Жилкин, В. А. Численный расчет тонкостенных стержней открытого профиля в MSC PATRAN-NASTRAN / В. А. Жилкин // Челябинская государственная агроинженерная академия. - Челябинск. - 2013. - С. 84-95.

64.Шимкович, Д. Г. Расчет конструкций в MSC/NASTRAN for Windows / Д. Г. Шимкович // М.: ДМК Пресс. - Москва. - 2003. - 448С.