Метод избыточных координат и его приложения в динамике тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, Болдинский В.И.

• Болдинский В.И.
• 1950

Оглавление диссертации Болдинский В.И.

стр.

Введение.I.

ГЛАВА Г. Некоторые виды уравнений движения голономных механических систем с избыточными координатами.7.

§ I.: Избыточные координаты и: некоторые соотношения

•между ними.7.

§ 2. Уравнения движения системы в избыточных координатах. .Каноническая форма уравнений. 10.

§ 3. Уравнения." с избыточными координатами в форме Рауса. Циклические системы. 13.

§ 4, Приведение уравнений движения системы в избыточных координатах, к меньшему числу. Метод. Уиттекера.;. 21.

§5. Замена переменных в дифференциальных, уравнениях динамики с избыточными координатами. 22.

§ 6. Системы в избыточных координатах: с интегралами, линейными относительно скоростей. 26.

§ 7. Приведение дифференциальных, уравнений в избыточных координатах к форме (1.11). 31.

§ 8. П р и м е р. 32.

ГЛАВА П. Последний, множитель в избыточных координатах.37.

§ 9. Множитель системы уравнений в= избыточных координатах. 37,

67. стр.

§ 10. Дифференциальное уравнение для множителя в избыточных координатах.41.

§ II. Свойство инвариантности множителя. 45.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод избыточных координат и его приложения в динамике»

В "Аналитической механике" Лагранж дал два рода дифференциальных уравнений, которыми характеризуются общие свойства движения какой угодно голономной механической системы. I

Уравнения Лагранжа с неопределенными множителями являются уравнениями с избыточными. координатами, так как в них число неизвестных, определяющих положение механической системы, превышает необходимое равное числу степеней свободы системы.

Для интегрирования таких систем Г.К.Суслов СЕ7Д8] создал метод аналогичный методу Гамильтона-Явоби. Однако, в теории интегрирования: уравнений Лагранжа первого рода мы пока не имеем теорем, которые являлись бы аналогами известных теорем: Пуассона, канонических преобразований и др.

Развитие теорий, относящихся к интегрированию уравнений Лагранжа первого рода, сопряжено с большими трудностями, которые возникают вследствие наличия в уравнениях движения неопределенных множителей; между тем вполне очевидна та польза, которую можно извлечь из этих теорий для интегрирования дифференциальных уравнений механики.

Уравнения движения в избыточных координатах имеют широкое приложение в механике. Техническая практика часто ставит такие динамические задачи, в которых, оказывается целесообразным сохранение большего числа переменных, чем это необходимо для определения положения системы в любое мгновение. В некоторых случаях введение в рассмотрение избыточных координат вызывается удобствами, связанными с употреблением в механических проблемах таких переменных, которые имеют простое геометрическое значение, В такого рода случаях эти переменные не являются независимыми,, а связаны между собой некоторыми уравнениями.

Так как наличие в уравнениях движения неопределенных множителей влечет затруднения в развитии общих теорий интегрирования этих уравнений, то, естественно, возникает мысль о возможности получения для связанных задач динамики уравнений движения в избыточных координатах, не содержащих множителей связей и обладающих всеми свойствами канонических уравнений динамики в независимых координатах.

Уравнения, такого вида были получены .Шульгиным [2^}. Метод, которому он следовал,состоит в том, что из основного уравнения- динамики исключаются зависимые вариации и зависимые скорости, а соответствующие им координаты сохраняются.

Как известно, для исследования неголономных систем аналогичным методом успешно пользовались наши ученые: С.А.Чаплыгин, Л.В.Воронец, В.В.Добронравов и др. Ими, получены фундаментальные результаты в аналитической механике, обогатившие науку.

В 1895 году С.А.Чаплыгин [22] при известных ограничениях, налагаемых на коэффициенты неголономных связей, силовую функцию а кинетическую энергию, пользуясь методом исключения Зависимых <$!ариаций и скоростей, получил обобщенные уравнения движения, носящие- теперь его имя.

В 1939 году В.В.Добронравов [II] обобщил уравнения С.А; Чаплыгина на случай связей с коэффициентами любого; вида, сняв ограничения, налагавшиеся на силовую функцию и кинетическую энергию'.

В 1906 году П.ВлВоронец [8] решает вопрос о преобразовании уравнений динамики в том случае,, когда уравнения движения системы допускают, интегралы, линейные относительно скоростей. П.В.Воронец рассматривает линейные интегралы как дифференциальные связи, наложенные на систему и на основании преобразованного им принципа далаыбера получает, уравнения движения системы, не содержащие множителей связей, которые он затем непосредственно прилагает к задаче о п телах .

В 1947 году М.Ф.Шульгин [24] в работе "О методе избыточных координат в; аналитической механике",: получил дифференциальные уравнения движения несвободной голономной системы не производя: операцию исключения "лишних" координат и не вводя в рассмотрение множителей связей. Характерная особенность этих уравнений состоит в том, что хотя они составлены в зависимых координатах, но не содержат множителей связей, в этой же статье М.§.Шульгин приводит канонический вид уравнений движения в избыточных координатах и доказывает некоторые теоремы аналитической динамики, (теорема Пуассона, теорема Гамильтона-Якоби, канонические преобразования и др.)

Поскольку уравнения в избыточных координатах имеют приложение в механике, возникает, необходимость-в изучении свойств этих уравнений: их. интеграции, преобразований и т.д.

Настоящая работа посвящена решению и обобщению некоторых вопросов аналитической механики'на случай, когда го-лономная механическая система рассматривается в избыточных координатах и: в качестве первоначальных уравнений движения принимаются уравнения в избыточных координатах без множителей связей в форме (1.11).

В первой главе даны некоторые виды уравнений движения в избыточных координатах и рассмотрен вопрос об их преобразовании к новым переменным;

С помощью функции Рауса мы преобразовываем уравнения движения в избыточных координатах к двум системам дифференциальных уравнений: одна из них первого порядка относительно выделенной группы независимых переменных и соответствующих импульсов р имеет канонический вид, другая' -второго порядка относительно с[. . Эти уравнения применяются к динамическим системам с циклическими координатами. В связи с этим вводится определение, согласно которому координата^ с[ называется циклической, если, оператор Ев(Ы, соответствующий этой координате, обращается в нуль.

Здесь рассмотрен пример системы в избыточных координатах, которая обладает циклической переменной.

Показано применение к системам в избыточных координатах метода Уиттекера приведение уравнений движения к меньшему числу.

Во многих вопросах механики весьма часто приходится производить преобразования дифференциальных уравнений движения при переходе от одних координатных параметров к другим. Мы рассмотрели преобразование дифференциальных уравнений при переходе от зависимых, координат с[ к новым зависимым координатам 0> при котором сохраняется общий вид уравнений движения.: Из этих преобразований видно, что теоремы динамики., имеющие отношение к уравнениям Яагранна вто- . рого рода или к союзным им уравнениям Гамильтона справедливы и для уравнений движения в избыточных координатах.^

Получены условия:, при которых общая система дифференциальных уравнений второго порядка в избыточных координатах эквивалентна системе уравнений в форме С1-1Г). Эта задача при частном предположении, о числе уравнений решается с помощью последнего множителя, в избыточных координатах.

Разобранный пример со сложным маятником показывает, что метод избыточных координат может быть использован в механике наравне с двумя, известными методами Лагранжа, а в некоторых случаях имеет перед ними преимущество.

Вторая глава посвящена рассмотрению теории последнего множителя и её приложению к системам дифференциальных, уравнений, когда последние заданы в избыточных координатах.

Получено дифференциальное уравнение для множителя в избыточных координатах (2.15) и выяснены свойства множителя. Доказано свойство инвариантности множителя при точечном преобразовании. Теория последнего множителя прилагается к каноническим: уравнениям движения (1.:М)'.

В третьей главе излагается главная функция Остроград-ского-Гамилыона в- избыточных координатах. Известно, что задача об интегрировании канонической системы дифференциальных уравнений, когда последние составлены в независимых координатах, находится в замечательной связи с одним уравнением в частных производных первого порядка.

Г.К.Суслов установил, что и, для: уравнений движения со множителями,., существует подобная связь с уравнениями; в частных производных. Г.К.Суслов получил упомянутое выше уравнение вводя при этом импульсовые. миокителж связей.

Мы рассматриваем главную? функцию для несвободного движения с избыточными переменными и получаем уравнение в частных производных бефмпульеивных множителей связей. Мы даем некоторые интерпретации, главной функции, с избыточными, координатами,и в заключение показываем, что для. интегрирования уравнения в частных производных можно воспользоваться методом вариации произвольных постоянных.

Список литературы диссертационного исследования Болдинский В.И., 1950 год

1. Аппель Ц.; Руководство.теоретической (рациональной) ме-ханики. т.П, I9II.

2. Аржаных и.Су.Характеристики метода Суслова. ДАН УзССР,12, 1949.

3. Билимович А'.Д. 'Уравнения движения для консервативныхсистем и их приложения.

4. Бобылев Д.К.' О начале Гамильтона или Остроградского ио начале наименьшего действия: Лагранжа. 1889.

5. Бобылев Д.К. О перемене координат -в.дифференциальныхуравнениях динамики. -1888.

6. Болдинский в.И. О последнем: множителе системы дифференциальных уравнений с избыточными, координатами. Юбил. сб.САТУ, в.ЗО, 1949.

7. Булгаков Б.В. -О преобразовании уравнений движения неконсервативных систем. ДАН СССР, t.xljv, № 3, 1944.

8. Воронец П.В. Преобразование уравнений динамики с помощью линейных, интегралов движения. Киев,1906

9. Воронец П.В. Уравнения, движения, твердого тела, катящегося без скольжения по неподвижной плоскости.

10. Добронравов В.В. Аналитическая, динамика в неголономныхкоординатах. Уч.зап. МГУ, в.122, т.П,1948.

11. Добронравов В.В. Об уравнениях движений неголономных механических систем с линейными и нелинейными связями. 1939.

12. Дубошин Г. Канонические уравнения небесной механики.Добавление I к книге: ф. Мультон. Введение в небесную механику. 1935).

13. Лагранж. Аналитическая механика*, т.1, 1938.

14. Лойцанский Л.Г.: и Лурье А.И. Теоретическая механика,ч.Ш,.1934.

15. Николаи Е.Л. Теоретическая механика. ч.Ш, 19.39. '

16. Сомоэ 0.11. • Об ускорениях различных порядков.(Прилож.- к5.му тому Зап.ймп.акад.наук № 5).Ув первоначальных координатах.

17. Суслов Г.К. Об уравнениях, с частными производными длянесвободного движения. С.П.F.,1888.

18. Суслов Г.К. Теоретическая механика. 1944. "

19. Уиттекер Е.Т.-•.'Аналитическая динамика'. 1937.

20. Франк ф. и Мизес Р. .-Дифференциальные и интегральные урав-" нения математической.физики. ч.П,. гл-yll, 1937.

21. Чаплыгин С.А. Поли .:,собр .соч. т.Г, изд.АН СССР, 1933';.

22. Четаев H.F. Одно видоизменение Принципа Гаусса.Журналприкладн.матем.и мех;, т.,5, в-'Л,194Г.г

23. Шульгин М.Ф. Распространение метода Рауса на замкнутыенеголоноыные системы. Труды; ИММ АН УзССР, Т.УПД949. ■ ■■

24. Шахайдарова П. LI. Обходном новом способе решения некоторых, связанных, вариационных задач. Труды-ИШ АН УзССР, 3.7, 1949. • 29* Якоби К.Н. Лекции по.-динамике-'. 1936.

25. Механика-в СССР за ХУ лет (сб. 1932);.

26. PrzeboTSki А. Die -¿iigene ins tön G-leichüngen' der 'klassichenDynamik, "( Mathematische- .Zeitschrift/' 36 bd., 1. НГ1932 ).