Метод моделирования пространственного распределения светимости в галактиках с учетом поглощения света тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Марданова, Мария Асмедовна

• Марданова, Мария Асмедовна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Марданова, Мария Асмедовна

Введение

Глава 1. Общие вопросы моделирования звездных систем

§1. Понятие математической модели галактики

§2. Представление наблюдательных данных поверхностной яркостью

§3. Описание пространственного распределения светимости

§4. Связь распределения светимости с распределением масс (отношение масса/светимость как функция места и как гросс-параметр)

§5. Наблюдательные данные для построения динамических моделей

§6. Интегральное уравнение, связывающее распределение светимости с яркостью. Прямая и обратная задачи. Учет поглощения света

Глава 2. Проблемы построения параметрических моделей распределения светимости

§1. Обзор исследований по построению параметрических моделей распределение светимости-яркости"

§2. О точности конкретных моделей

§3. Математическая постановка задачи

§4. Обзор методов минимизации функционала

Глава 3. Разработка метода решения обратной задачи

§1. Выбор метода и его модификация

§2. Описание моделей

§3. Алгоритм решения задачи

§4. Проведение численных экспериментов. Результаты вычислений

§5. Анализ вычислительных погрешностей

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод моделирования пространственного распределения светимости в галактиках с учетом поглощения света»

Задача изучения структур галактик является одной из наболее сложных задач астрономии, для ее решения нередко применяют методы моделирования. Первая в науке схематическая модель для нашей Галактики была построена В. Гершелем в конце XVII века, с помощью которой можно было получить общее представление о ее строении на основе звездных подсчетов. Метод Гершеля был усовершенствован в XIX веке Зеелигером, а позднее - Шварцшильдом. Каптейн предложил в качестве модели для Галактики форму, напоминающую эллипсоид вращения. Он выдвинул гипотезу, согласно которой пространственная звездная плотность не может увеличиваться с расстоянием от наблюдателя и получил столь незначительную величину для максимального поглощения света, что ею можно было пренебречь.

Среди авторов фундаментальных работ, построивших модели для нашей Галактики, можно упомянуть и таких, как Пласкетт, Кертис, Шепли, Эймс. Составленные ими каталоги галактик по яркости и морфологическим типам, а также их списки можно найти, например, в [110].

В начале и середине XX века в связи с улучшением качества технических средств, был проведен ряд очередных попыток классификации наблюдаемых форм галактик. И самой удачной из них оказалась классификация Хаббла, которая явилась основой для более поздних морфологических классификаций (ван ден Берга [56], Ходжа [100], Моргана [99], Вокулера [116], и др.), хотя и не отразила в полной мере всего многообразия реальных галактик. Тем не менее, разделение Хабблом галактик на последовательность классов, показало, что каждую из них можно представить совокупностью компонент, различающихся друг от друга по физическим свойствам, химическому составу и т.д. В дальнейшем этот способ деления на части использовался исследователями с переменным успехом в решении задачи по изучению структуры галактик. Это был самый первый и главный ее этап - этап построения моделей.

В данной работе с целью исследования спиральных галактик рассматривается метод моделирования пространственного распределения светимости, и неизвестные параметры моделей ищутся по имеющимся наблюдательным данным, т.е. по поверхностной яркости. Иначе говоря, решается задача депроекции. Постановка ее не является новой; авторами многих научных работ предлагались различные методы решения этой задачи для различных моделей галактик и их модификаций. Основные вычислительные трудности здесь заключаются в следующем:

1). рассматриваемая задача не является корректной (в соответствии с определением Ж.Адамара корректно поставленных задач);

2). она решается для неограниченных распределений светимости и яркости;

3). существует проблема единственности полученного решения.

Под неограниченностью в п.2 понимается бесконечность соответствующего распределения.

Трудности, связанные с некорректностью, снимаются за счет разработки различных численных методов по нахождению параметров модели светимости галактики. Например, в [70], где к рассмотрению предлагаются динамические модели галактик, в качестве минимизируемого функционала берут квадратичную функцию. Пространственное распределение моделируют линейной комбинацией трех интегралов движения, в которой значения интегралов известны, неизвестными являются только коэффициенты линейной комбинации. Далее идет процесс поиска квадрата разности модельного выражения и наблюдательных данных. Минимум квадратичной и линейной функции, конечно, найти проще, чем неквадратичной и нелинейной, поэтому метод предлагаемый в работе [70], в общем случае неприменим.

В [75] на первом этапе поверхностную яркость "восстанавливают", применяя PSF и далее представляют суммой гауссиан. На втором этапе решается задача депроекции; для нахождения параметров пространственного распределения светимости составляется функционал, минимум которого ищется методом наименьших квадратов. Светимость при этом также моделируют разложением в ряд по функциям Гаусса. PSF, point spread function, или "функция рассеяния точки", как известно, является характеристикой искажений, возникающих в ходе наблюдений объектов и используется для корректировки результатов этих наблюдений.

Единственность решения задачи в [75] достигается за счет того, что уровенные поверхности светимости полагают трехосными подобными эллипсоидами. Однако, и здесь рассматривается частный случай пространственного распределения. Подобные модели достаточно часто применяются на практике, но использование их в известной степени упрощает задачу депроекции, поэтому они являются не самым лучшим приближением реальной картины светимости галактик.

Помимо метода депроекции, существуют и другие, позволяющие проводить исследования галактик на различного рода моделях. Например, используя в качестве модели суперпозицию конечного или бесконечного (в зависимости от целей исследователя) числа эллипсоидов, получают представление о распределении массы в сильно сплюснутых спиральных галактиках (см. [21]). В методе декомпозиции для нахождения параметров компонентов моделей основываются, в частности, на значительном различии между яркостью центральной и дисковой составляющих. В работе [89], например, предложена итерационная схема, в соответствии с которой можно выделить балдж и диск у спиральных галактик, при условии, что вклады этих компонентов сравнимы. Для нахождения параметров компонентов требуется около десяти таких итераций.

Отметим, что в представленной здесь работе параметрический подход к решению задачи депроекции позволяет выполнить и декомпозицию.

Задача депроекции для других моделей решается, например, в [69], [72], [94]; без учета поглощения - в [111], [ИЗ], проблема единственности ее решения рассматривается в [93], [103], [104]. Безусловно, у каждого из предлагаемых методов нахождения параметров моделей есть свои преимущества перед другими, но, исходя из всего сказанного, можно сделать вывод, что этапы выбора наиболее подходящей модели и разработка численного метода, позволяющего "обойти" перечисленные выше основные сложности, возникающие в процессе решения задачи депроекции, оказываются, тем не менее, весьма актуальными. Таким образом, целью данной диссертационной работы является:

1). выбор наиболее приближенной к реальности модели галактики, и исследование ее внутренней непротиворечивости;

2). проведение численных экспериментов с различными методами и, как следствие их - построение алгоритма нахождения параметров модельного распределения светимости для общего случая;

3). сопоставление полученных численных результатов с аналогичными результатами авторов других работ;

4). оценка эффективности предложенной модели и построенного алгоритма (в том смысле, насколько модель приближена к реальности, и насколько удачно численный алгоритм позволяет находить параметры этой модели).

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и заключения. Она также содержит 24 таблицы, 13 рисунков, приложение и список литературы, включающий 118 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Марданова, Мария Асмедовна

Заключение

Решение поставленной задачи депроекции рассматривалось как реализация следующих этапов:

1) выбор метода решения, общая разработка алгоритма;

2) построение модельного распределения светимости или модификация уже известной модели для разработанного алгоритма;

3) симуляция наблюдательных данных и проведение численных экспериментов для нескольких вариантов параметров модели;

4) построение изофот поверхностной яркости и уровенных линий оптической толщины и сравнительный анализ их форм;

5) анализ результатов найденных параметров пространственного распределения светимости и оценка вычислительных погрешностей;

6) оценка эффективности рассмотренных моделей.

Итак, для двух моделей пространственного распределения светимости в галактиках - сфероидальной модели С.А.Кутузова [23] и модифицированной модели М. Hamabe [80] - был разработан алгоритм нахождения параметров модельного распределения светимости и исследованы эффекты поглощения света по полученным в результате вычислений графикам уровенных линий оптической толщины. Вычислительные процедуры были написаны на языке Turbo Pascal 7.0, графики изфот поверхностной яркости и уровенных линий оптической толщины построены с использованием Advanced Grapher 2.11.

Решение интегрального уравнения для поставленной задачи депроекции в соответствии с построенным алгоритмом сводится к решению задачи условной минимизации. На первом этапе алгоритма генерируются наблюдательные данные поверхностной яркости: методом полярных координат [17] на интервале [0,1] получаем выборки случайных величин, распределенных по нормальному закону. Далее они используются как помехи, искажающие предполагаемые "истинные" данные наблюдений.

В процедуре поиска минимума расширенного функционала (3.3.3) также используется этот метод генерации случайных чисел: к компонентам искомого вектора параметров р, найденным на одной из предыдущих итераций (начиная с самой первой), добавляются сгенерированные помехи и находится минимум для преобразованного таким образом вектора р. По ходу этих промежуточных преобразований проверяем, выполнены ли условия (3.3.5) и (3.3.5), т.е. уменьшились ли вычислительные погрешности для вектора рг + аг (где аг - это помехи), или нет. И только после того, как проверка даст положительный результат, продолжаем вычисления, до тех пор, пока не будут удовлетворены критерии окончания счета (3.3.6) и (3.3.7). Далее для найденных параметров модели строим графики изофот и уровенных линий оптической толщины, анализируя влияние поглощающих эффектов на общую картину светимости для разных углов наклона.

Численные эксперименты, в ходе которых рассматривались различные варианты модификаций алгоритма поиска минимума функционала (3.3.3) показали, что представленный здесь метод является наиболее удачным по двум основным причинам:

1) он гарантированно и за конечное число шагов дает решение задачи, с выполнением всех ограничений на параметры модели и всех критериев на промежуточных этапах, где после каждого итерационного цикла и генерации помех аг отслеживается уменьшение среднеквадратичных отклонений и погрешностей интегрирования;

2) предлагаемый метод позволяет не только найти приближенное решение задачи, но и улучшить результат, т.е., получить меньшие значения погрешностей путем выбора иной последовательности случайных чисел для генерации помех.

Единственным, но, как кажется, несущественным недостатком здесь является этап, связанный с генерацией случайных чисел. Нельзя сказать заранее, насколько та или иная последовательность этих чисел будет способствовать нахождению наиболее удачного решения из нескольких возможных вариантов именно вследствие наличия элемента случайности в этом процессе поиска.

Из всех изученных материалов по оптимизационным методам нигде не нашлось упоминания об алгоритме, имеющим четко выраженное сходство с предложенным здесь способом поиска минимума функционала. В ряде монографий по теории оптимизации встречались краткие описания методов, имеющих нечто общее с построенным здесь алгоритмом - в частности, в [44], где была дана ссылка на работу Вейсмана (изложение основных его этапов в общих чертах приводится в §3 текущей главы). Однако, метод Вейсмана показался при ближайшем рассмотрении по своему описанию довольно громоздким и трудновыполнимым для тех случаев, когда решается задача минимизации нелинейных функций, представленных сложными аналитическими выражениями. Приближенная оценка времени, которое потребовалось бы для поиска минимума нашего функционала методом Вейсмана, показала, что временные затраты могли оказаться слишком большими. Так, например, основываясь на некоторых идеях этого метода, связанных с выбором элементов случайных последовательностей для генерации помех, был проведен ряд численных экспериментов по минимизации функционала (3.3.3). При этом выбирались не все элементы случайной последовательности, а только те из них, для которых выполнялось неравенство

F(p + a)<i-F(p), (*) где F(p) - значение целевой функции (в данном случае минимизируемого расширенного функционала) при р = р в каком-то итерационном цикле, a F(p + а) - значение целевой функции при р = р + а. Множитель ё в правой части неравенства означает, что в результате перебора всех сгенерированных помех мы должны найти такое значение <т для последующего приближения вектора р, при котором значение функционала F(p + а) получилось бы меньше значения F(p) для предыдущего приближения р на ё% (ё измеряется в процентах). У Вейсмана ё = 10%, а в данной работе взяли ё = 80%, т.е., явно больше, так как было замечено, что с уменьшением этого значения поиск решения задачи усложнялся. Казалось бы, этот подход должен был ускорить процесс нахождения минимума, потому как вместо перебора всех подряд генерируемых помех выбирались только те из них, для которых выполнялось неравенство (*). Однако, на деле этого ускорения не происходило, наоборот, имело место очень существенное увеличение количества вычислительных операций, и с каждым новым итерационным циклом добиться того, чтобы удовлетворялось неравенство (3.4.1), становилось все труднее. В конечном итоге, вычислительный процесс зацикливался, и критерии его окончания не выполнялись. В тех случаях, когда вместо значения 80% для ё мы брали 90% или 95%, поиск минимума немного ускорялся на промежуточных этапах, но далеко не всегда доходил до своего конца, так что и в этом случае имело место зацикливание вычислительной программы.

Причина возникающих сложностей состояла в следующем: чем меньшие выбирались значения для множителя ё в правой части (*) (от большего значения 0.95 до меньшего 0.8), тем меньшие значения помех требовались для выполнения этого неравенства. Но все дг генерировались на одном и том же интервале [1/2,1/2], и нужные среди них по мере уменьшения значения F(p+cг) попадались все реже, процесс поиска помех а для выполнения (*) с каждым итерационным циклом все более затягивался. Именно это на последних итерациях приводило к зацикливанию, точнее, к бесконечному поиску значений а%, для которых неравенство (*) было бы удовлетворено. Сужение интервала, на котором генерировались помехи, также не дало бы позитивного результата, хотя бы потому, что не имеет смысла брать их слишком маленькими - в этом случае использование генерации аг оказалось бы вообще излишним.

Итак, этот способ минимизации функционала с применением некоторых идей метода Вейсмана пришлось отвергнуть, и в итоге остановили свой выбор на уже изложенном в §3 этой главы другом варианте алгоритма. Оценки для найденного вектора параметров модельного распределения светимости двух моделей были приведены в предыдущем параграфе. Анализ вычислительных погрешностей позволил получить представление о возможных причинах их возникновения. Так, была выявлена необходимость более точного определения границ оцениваемых параметров на начальных этапах вычислений.

В исследуемых моделях рассматривались только эффекты внутреннего поглощения, рассеяние света в расчет не принималось. Следует отметить, что для получения картины распределения светимости наиболее близкой к действительности, при построении моделей галактик нередко учитывают как чистое поглощение, так и рассеяние света. В качестве примера можно привести работы [60], [82]. С другой стороны, известно, что при исследованиях спиральных галактик, наблюдаемых "с ребра" или почти с ребра, т.е., когда угол наклона г < 90° рассеяние света можно не учитывать. Например, в [87] и [88] проводились исследования пылевых слоев спиральных галактик ранних типов с большим углом наклона к оси симметрии без учета экстинкции. Таким образом, если уровенные линии оптической толщины в рассмотренном здесь случае при углах наклона меньше 60° могли получиться с определенной долей искажений из-за того, что не учитывалось рассеяние, то при значениях i > 60° эти искажения должны были с теоретической точки зрения существенно уменьшиться. Во избежание ситуаций подобного рода предложенные здесь модели целесообразно использовать для нахождения параметров пространственного распределения светимости спиральных галактик, сильно наклоненных к оси симметрии. Построенные профили центральной оптической толщины показывают асимметрию - большую при больших углах наклона и мёныиую - при меньших. Это соответствует выводам о том, что с ростом угла наклона галактики увеличивается поглощение света, и становится все более заметной асимметрия профилей оптической толщины (или профилей поглощения - в зависимости от того, какие графики строятся). В целом, полученные графики изофот поверхностной яркости, уровенных линий и профилей оптической толщины хорошо согласуются с результатами аналогичных исследований, таких, например, как [86], [71].

Здесь необходимо отметить еще тот факт, что исследования распределения светимости внегалактических объектов на базе результатов фотометрии проводятся довольно часто. И нередко в них, используя методы моделирования пространственного распределения, т.е., приближая видимое распределение к истинному различными численными методами, находят неизвестные параметры. В частности, в [72] изложен один из методов решения подобной задачи. Для разработки модели там прибегают к симуляции наблюдательных данных, а поиск модельных параметров осуществляется минимизацией соответствующего функционала с помощью критерия х2 •

В данной работе был также представлен один из подходов к задаче нахождения пространственного распределения светимости по поверхностной яркости. Что касается оценки эффективности исследованных в этой работе моделей, то сфероидальную модель С.А.Кутузова [23] было бы целесообразно использовать для изучения свойств эллиптических галактик, в которых выявлено наличие пыли и спиральных галактик ранних типов, например, Sa, где размеры балджа довольно значительны. Можно с уверенностью сказать, что эта модель более приближена к реальности, чем рассмотренная модификация модели M.Hamabe [80] (кроме того, расчеты, проведенные с ней, были менее трудоемкими, чем в случае с дисковой). Это следует, в частности, из сравнительного анализа рисунков изофот и уровенных линий оптической толщины обеих моделей. Очевидно, что модель [80] - больше теоретическая, однако, она вполне может быть использована для изучения некоторых линзообразных галактик, в особенности, их поздних подтипов, которые более близки по морфологии к спиральным галактикам, чем к эллиптическим.

Основными результатами, выносимыми на защиту, являются:

1. Исследована проблема построения параметрических моделей спиральных галактик. Для ее решения здесь используется метод депроекции пространственного распределения светимости. Единственность решения достигается путем задания вида изоповерхнос-тей светимости на предварительном этапе.

2. На примере двух моделей спиральных галактик, в которых учитывается поглощение света, дисковой и сфероидальной, для реализации депроекции и решения некорректной задачи нахождения модельных параметров разработан и теоретически обоснован численный метод. В нем на основе идеи метода регуляризации, некорректность задачи снимается за счет того, что ее решение ищется в пространстве параметров модельного распределения светимости.

3. Создан пакет вычислительных программ для определения параметров пространственного распределения светимости исследуемых моделей галактик, построения изофот поверхностной яркости и уровенных линий оптической толщины.

4. Для разных углов наклона моделей галактик проведен сравнительный анализ влияния поглощения света на общую картину поверхностной яркости на основе полученных численных результатов. Произведена оценка эффективности рассмотренных моделей.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Марданова, Мария Асмедовна, 2006 год

1. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н. В. Вычислительные методы для инженеров. - М.: Высш. шк., 1994, 544с.

2. Аоки М. Введение в методы оптимизации. М.: Наука, 1977, 343с.

3. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы. М.: Мир, 1982, 583с.

4. Бертсекас Д. Условная минимизация и методы множителей Лагранжа.- М.: Радио и связь, 1987, 399с.

5. Вавилова Т.И. Минимизация функционала с учетом неточности его параметров. Дипл.р., 1984.

6. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. -М.: Наука, 1988, 2-ое изд., 549с.

7. Воронцов-Вельяминов Б.А. Внегалактическая астрономия. М: Наука, 1972, 464с.

8. Гаген-Торн В.А., Решетников В.П., Яковлев В.А. Детальная поверхностная фотометрия пекулярной галактики NGC 3718// Астрофизика, 1990, т.32, вып.2, с.255-266.

9. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация.- М.: Мир, 1985, 509с.

10. Гончарский А.В., Черепащук A.M., Ягола А.Г. Некорректные задачи астрофизики. М.: Наука, 1985, 350с.

11. И. Горбацкий В.Г. Введение в физику галактик и скоплений галактик.- М.: Наука, 1986, 254с.

12. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, изд. 4-ое, 1962, 1100с.

13. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики.- М.: Наука, 1970, 664с.

14. Засов. Физика галактик. 1993.

15. Засов А.В., Кязумов Г.А. Кривые вращения нормальных галактик. //АЖ, 1983, т.60, с.656.

16. Идлис Г.М. О рациональных основах и актуальных проблемах теоретических моделей галактик //Труды Астрофиз.инст.АН КазССР, 1965, т.5, с.105-178.

17. Кнут Д. Искусство программирования на ЭВМ. М: Мир, 1977.

18. Кононович Э.В., Мороз В.И. Общий курс астрономии: уч. пособие, -М.: Едиториал УРСС, 2001, 542с.

19. Куликовский П.Г. Звездная астрономия. М: Наука, 1985, 272с.

20. Курс астрофизики и звездной астрономии, т.2, ред. Дейч А.Н., Крат В.А., Мельников О.А., Соболев В.В. М.: - Физматгиз, 1962, 688с.

21. Кузмин Г.Г. Уравнение распределения массы и модели галактик// Публ.Тарт.астрофиз.обсерв., 1966, т.35, N5-6, с.285-315.

22. Кутузов С. А. О построении моделей звездных систем.III. К описанию распределения масс в моделях//Публ.Тарт.астрофиз.обсерв., 1967, т.36, N5-6, с.379-395.

23. Кутузов С.А. К методике определения распределения светимостей в галактиках//Доклад на совещ. рабоч. группы по внегалактич. астрофиз., Тарту астрофиз.обс., 1970.

24. Кутузов С.А. Интервальный метод оценивания параметров// Кинем, и физ. неб. т., 1988, т.4. N5, с.39-47.

25. Кутузов С.А., Марданова М.А. Вычисление эквиденсит спроектированной плотности по моделям галактик // Вестник СПбУ, 1999, сер.1, вып.2, с. 109-119.

26. Кутузов С.А. К оцениванию массы галактики по круговой скорости и сферичности // Вестник СПбУ, 1993, сер.1, вып.З, с. 115-119.

27. Кутузов С.А., Осипков Л.П. Роль эквипотенциалей и эквиденсит при моделировании галактик//Астрофиз., 1986, т.25, N3, с.545-558.

28. Кутузов С.А., Эйнасто Я. О построении моделей звездных систем. I. К классификации моделей//Публ.Тарт.астрофиз.обсерв., 1967, т.36, N5-6, с. 341-356.

29. Кязумов Г.А., Барабанов А.В. Вращение и масса спиральных галактик NGC1055 и сходных с ней NGC681 и NGC4594// Письма в Астрон. журн., 1980, т.6, с.329.

30. Лаврентьев М.М., Савельев Л.Я. Теория операторов и некорректные задачи. Новосибирск: изд-во ин-та математики, 1999, 701с.

31. Марданова М.А. Сфероидальная модель распределения яркости галактик // "Процессы управления и устойчивость", Труды 31 научн. конф. аспирантов и студентов, редакт. Старков В.Н. СПб: изд-во СПбУ, 1-7апреля, 2000г. с.202-205.

32. Марданова М.А. Модели пространственного распределения светимости в галактиках.1. Вестник СПбУ, 2003, сер.1, вып.1, с.131-142.

33. Мартынов Д.Я., Черепащук A.M., Липунов В.М. Звезды и звездные системы. М.: Наука, 1981, 416с.

34. Морозов В.А., Гребенников А.И. Методы решения некорректно поставленных задач: алгоритмический аспект. М: изд. МГУ, 1992, 319с.

35. Поляк В.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983, 384с.

36. Пшеничный Б.Н. Метод линеаризации. М.: Наука, 1983, 136с.

37. Пшеничный Б. Н., Данилин Ю. М. Численные методы в экстремальных задачах. М.: Наука, 1975, 319с.

38. Решетников В.П. Поверхностная фотометрия галактик: уч. пособие, СПбГУ, 2003, 151с.

39. Решетников В.П. Интерпретация стандартных фотометрических параметров на основе их двухкомпонентной модели //Кинемат. физ. неб. тел, 1990, т.6, N3, с.30-35.

40. Строение звездных систем, ред. Холопов П.Н., т.53. М: Иностр. лит., 1962, 664с.

41. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач-М.: Наука, 1986, 3-е изд., 288с.

42. Фиакко А.В., Мак-Кормик Г.П. Нелинейное программирование. Методы последовательной безусловной минимизации. М.: Мир, 1972, 240с.

43. Форсайт Дж., Мальколм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980, 279с.

44. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование.- М: Мир, 1975, 534с.

45. Шеннон Р.Ю. Имитационное моделирование систем искусство и наука.- М.: Мир, 1978, 418с.

46. Эйнасто Я. О построении моделей звездных систем.II.Функции и параметры описания//Публ. Тарт. астрофиз. обсерв., 1967, т.36, N5-6, с.357-378.

47. Эйнасто Я. О построении моделей звездных систем.IV. Степенно-полиномиальная модель//Публ.Тарт.астрофиз.обсерв., 1967, т.36, N5-6, с.396-413.

48. Эйнасто Я. О построении моделей звездных систем.V. Биномиальная модель //Публ.Тарт.астрофиз.обсерв., 1967, т.36, N5-6, с.414-441.

49. Aoki Т.Е., Hiromoto N., Takami Н., Okamura S. JHK imaging of the edge-on spiral galaxy NGC 891 11 PASJ, 1991, Vol.43, p.755-780.

50. Bergh S.van den. A reclassification of the northern Shapley-Ames galax-ies//Publ. Obs. Dunlap, 1960, Vol.2, N6, p.159-199.

51. Binney J., Merrifield M. Galactic Astronomy. Princeton. 1998.

52. Binney J., Gerhard 0. On the deprojection of the Galactic bulge // MNRAS, 1996, Vol.279, p.1005-1010.

53. Binney J., Gerhard 0. On the deprojection of axisymmeric bodies// MNRAS, 1996, Vol.279, p.993-1004.

54. Byun Y.K., Freeman K.C. and Kylafis N.D. Diagnostics of dust content in spiral galaxies: numerical simulations of radiative transfer// ApJ, 1994, Vol.432, p.114-127.

55. Capaccioli M. and Vaucouleurs G.de. Luminosity distribution in galax-ies.II. A study of accidental and systematic errors with application to NGC3379// ApJS, 1983, Vol.52, p.465-486.

56. Choloniewski J. Inclination dependence of galaxy brightness, diametrs and average surface brightness//MNRAS, 1991, Vol.250, p.486-504.

57. Contopoulos G. On the isophotes of ellipsoidal nebulae //Zeitschrift fur Astrophys., 1956, Bd.39, s.126-132.

58. Cubarsi R. Some kinematics and dynamics from a superposition of two axisymmetric stellar systems//AJ, 1990, Vol.99, p.1558-1568.

59. Cubarsi R. Central moments of the velocity distribution from a superposition of two stellar systems//AJ, 1992, Vol.103, p.1608-1620.

60. Cubarsi R., Ninkovic S., Sanz-Subirana J., Alcobe S. Discussion of hypotheses and dynamic models for stellar systems//in Structure & evolution of stellar systems, proceed, of the int. conf., Petrozavodsk, 1995.

61. Cunow B. Internal absorption in spiral galaxies//MNRAS, 1992, Vol.258, p.251-257.

62. Davies J.I. Missing mass or missing light? //MNRAS, 1990, Vol.245, p.350-357.

63. Dejonghe H., Bruyne V.de, Vauterin P., and Zeelinger W.W. The internal dynamics of very flattened normal galaxies. Stellar distribution functions for NGC 4697//A&A, 1996, Vol.306, p.363-380.

64. Disney M., Davies J., Phillipps S. Are galaxy discs optically thick? //MNRAS, 1989, Vol.239, p.939-976.

65. D'Onofrio M. 2D-modelling of the light distribution of early-type galaxies in a volume-limited sample. I. Simulations with artificial data // MNRAS, 2001, Vol.326, p.1508-1516.

66. Emsellem E., Dejonghe H., Bacon R. Dynamical models of NGC3115 // MNRAS, 1999, Vol.303, p.495-514.

67. Emsellem E., Monnet G., Bacon R. Modelling the stellar intensity and radial velocity fields in triaxial galaxies by sums of Gaussian functions //A&A, 1992, Vol.253, p.366-373.

68. Emsellem E., Monnet G., Bacon R. The multi-gaussian expansion method: a tool for building realistic photometric and kinematical models of stellar systems//A&A, 1994, Vol.285, p.723-738.

69. Faber S.M., Tremain S., Ajhar E.A. et al. The centers of early-type galaxies with HST. IV. Central parameter relations// AJ, 1997, Vol.114, p.1771-1796.

70. Fillmore J.A. Observable properties of oblate spheroids //AJ, 1986, Vol.91, p.1096-1107.

71. Freeman K.C. On the disks of spiral and SO galaxies// ApJ, 1970, Vol.160, p.811-830.

72. Galactic models. Proceedings of the 4th Florida workshop on nonlinear dynamics // Galactic models, University of Florida, Gainesville (USA), 1989, l-2March, eds. by J.R.Buchler, S.T.Gottesman, J.H.Hunter, in Ann.N.Y.Acad.Sci., 1990, Vol.596.

73. Hamabe M. Surface photometry of edge-on galaxies.IV.Global structure of disk galaxies//PASJ, 1982, Vol.34, p.423-447.

74. Hiotelis N. A two component model for spherical galaxies// A&A, 1994, Vol.291, p.725-730.

75. Houten C.van. Surface photometry of extragalactic nebulae// BAN, 1961, Vol.16, 72p.

76. Jansen R.A., Knapen J.H., Beckman J.E., Peletier R.F., Hes R. Measurements of dust extinction in highly inclined spiral galaxies//MNRAS, 1994, Vol.270, p.373-383.

77. Kerr F.J., Vaucouleurs G.de. The masses of the Magellanic clouds from radio observations// Austral.J.Phys., 1956, Vol.9, p.90-111.

78. Kochanek G.S., Rybicki G.B. Deprojection of axially symmetric objects //MNRAS, 1996, Vol.280, p.1257-1264.

79. Kodaira K., Doi M., Shimasaku K. A study of inclination effects on galaxy surface brightness/break //AJ, 1992, Vol.104, p.569-577.

80. Kodaira K., Ohta K. Absorption-layer model for edge-on galaxies // PASJ, 1994, Vol.46, p.155-164.

81. Kodaira K., Ohta K. Absorption-layer analyses of early-type edge-on galaxies: NGC4217, NGC4565, NGC4594//PASJ, 1995, Vol.47, N1, p.17-26.

82. Kormendy J. Brightness distributions in compact and normal galaxies. Ill Decomposition of observed profiles into spheroid and disk components // ApJ, 1977, Vol.217, p.406-419.

83. Kruit P.C. van der and Searle L. Surface photometry of edge-on spiral galaxies// A&A, 1981, Vol.95, p.105-115.

84. Kruit P.C. van der, Searle L.Surface photometry of edge-on spiral galaxies.IL- The distribution of light and colour in the disk and spheroid of NGC891 // A&A, 1981, Vol.95, p.116-126.

85. Kylafis N.D. Opacity diagnostics in spiral galaxies //Nato advanced research workshop on the opacity of spiral disks, 1995, Vol.469, p.55-66.

86. Lucy L.B. An iterative technique for the rectification of observed distributions//AJ, 1974, Vol.79, p.745-754.

87. Magorrian J. Kinematical signatures of hidden stellar discs// MNRAS, 1999, Vol.302, p.530-536.

88. Mardanova M.A. Luminosity profiles in galactic models // Proceedings of the Saint-Petersburg intern, conf. 'Stellar dynamics: from classic to modern', aug. 21-27, 2000, ed. by Ossipkov L.P., Nikiforov I.I., 2001, p.121-124.

89. Maron N., Maron 0. Model of interstellar dust and extinction //Zesz. nauk.Bud./WSI Zielonej Gorze, 1994, N106, p.93-121.

90. Mihalas D., Binney J. Galactic Astronomy. San Francisco, 1981, 608p.

91. Morgan W. A preliminary classification of the forms of galaxies according to their stellar population // PASP, 1958, Vol.70, N415, p.364-386.

92. Hodge P. The nature of SO galaxies //Leaflet A.S.P., 1965, N435, p.281-288.

93. Larson R.B. Dynamical models for the formation and evolution of spherical galaxies//MNRAS, 1974, Vol.166, p.585-616.

94. Pahre M.A. Near-infrared imaging of early-type galaxies.II. Global photometric parameters //ApJS, 1999, Vol.124, p.127-169.

95. Palmer P.L. The deprojection of axsymmetric galaxies//MNRAS, 1994, Vol.266, p.697-702.

96. Richardson W.H. Bayesian based iterative method of image restoration //J.Opt.Soc.Am., 1972, Vol.62, p.55-59.

97. Ryden B.S. Projections of box-shaped galaxies // ApJ, 1992, Vol.386, p.42-51.

98. Sala F. Time-dependent axisymmetric galactic models//A&A, 1990, Vol.235, p.85-93.

99. Sargent W.L., Young P.J., Boksenberg A., Shortridge K., Lynds C.R., Hartwick F.D.A. Dynamical evidences for a central mass condensation in the galaxy M87// ApJ, 1978, Vol.221, p.731-744.

100. Scorza C. and Bender R. The internal structure of disky elliptical galaxies //A&A, 1995, Vol.293, p.20-43.

101. Sersic J.L. Extragalactic astronomy: lecture notes from Cordoba. D.Reidel Publish.Comp., Dodrecht, Holland, 1982, 259p.

102. Shapley H., Ames A. A survey of the external galaxies brighter than the thirtheenth magnitude // Harv. Obs. Ann., 1932, Vol.88, N2, p.41-76.

103. Stark A.A. Triaxial models of the bulge of M31//ApJ, 1977, Vol.213, p.368-373.

104. Stromberg G. The asymmetry in stellar motions and the existence of a velocity-restriction in space // ApJ, 1924, Vol.59, p.228-251.

105. Varela A.M., Munoz-Tunon C., and Simmoneau E. Spatial source distribution of bulges from surface photometry: application to NGC 2841//A&A, 1996, Vol.306, p.381-390.

106. Vaucouleurs G.de. Recherchers les nebuleuses extragalactiques// Ann. d'Astrophys., 1948, Vol.11, p.247-287.

107. Vaucouleurs G.de. On the distribution of mass and luminosity in elliptical galaxies //MNRAS, 1953, Vol.113, p.134-161.

108. Vaucouleurs G.de. Revised classification of 1500 bright galaxies //ApJS, 1963, Vol.8, p.31-80.

109. Vaucouleurs G.de, Page J. Southern galaxies.II. Isophotometry of the large spiral NGC 300// ApJ, 1962, Vol.136, p.107-118.

110. Zeipel H.von. Catalogue de 1571 etoiles contenues dan l'amas globulaire Messier 3 (NGC5272)//Ann.Obs.Paris, 1908, t.25, p.F.l-F.101.