Метод оптимизации формы аэродинамических профилей на основе решения сопряженных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат технических наук Печеник, Евгений Валерьевич

• Печеник, Евгений Валерьевич
• кандидат технических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат технических наук Печеник, Евгений Валерьевич

Введение.

1 Обзор методов аэродинамического проектирования.

1.1 Методы аэродинамического проектирования.

1.2 Численные методы аэродинамического проектирования.

1.3 Оптимизация на основе решения сопряженных уравнений в задачах аэродинамического проектирования.

1.4 Метод поправок давления и метод искусственной сжимаемости для стационарного несжимаемого вязкого течения.

1.5 Цель и задачи исследования.

2 Оптимизация на основе решения сопряженных уравнений для стационарного несжимаемого вязкого течения.

2.1 Сопряженные уравнения.

2.2 Процедура оптимизации.

2.3 Численное решение сопряженных уравнений методом поправок давления.

2.4 Алгоритм.

2.5 Выводы по главе 2.

3 Анализ достоверности результатов оптимизации.

3.1 Валидация решения прямой задачи.

3.2 Верификация алгоритма оптимизации.

3.2.1 Постановка тестовой задачи.

3.2.2 Анализ влияния размерности расчетной сетки на результат оптимизации.

3.2.3 Анализ влияния формы исходного профиля на результат оптимизации.

3.2.4 Сравнение результатов оптимизации, полученных при помощи разработанного метода и градиентного метода на основе конечных разностей.

3.3 Выводы по главе 3.

4 Оптимизация несущего аэродинамического профиля.

4.1 Постановка задачи.,.

4.2 Результаты оптимизации.

4.3 Выводы по главе 4.V.

Основные результаты работы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод оптимизации формы аэродинамических профилей на основе решения сопряженных уравнений»

Актуальность. При проектировании дозвуковых самолетов, судов с динамическим принципом поддержания и экранопланов важной задачей является рациональный выбор форм несущих поверхностей (крылья, подводные крылья, горизонтальное и вертикальное оперения). Удачный выбор формы несущей поверхности в значительной степени обуславливает получение высоких аэродинамических характеристик несущей поверхности и аппарата в целом.

В связи с тем, что обтекание центральных частей несущих поверхностей, имеющих большое удлинение (Я >8), близко к плоскому обтеканию аэродинамических профилей, обоснованным является исследование и проектирование профилей с высокими аэродинамическими характеристиками.

Современные методы аэродинамического проектирования можно разделить на экспериментальные и численные. Экспериментальные методы опираются на результаты многочисленных экспериментов и опыт исследователя. Этот подход является дорогостоящим, затратным по времени и не гарантирует получение оптимального решения задач аэродинамического проектирования. Численные методы основаны на использовании математического аппарата механики жидкости и газа и позволяют определить оптимальную форму для заданного режима течения. Эти методы являются более дешевыми, быстрыми и позволяют находить оптимальное решение.

Среди численных методов наиболее эффективным является метод оптимизации на основе решения непрерывных сопряженных уравнений. Этот метод обладает рядом преимуществ, которые позволяют применять его к широкому классу задач. К таким преимуществам относятся: 1. Возможность использовать большое количество проектных переменных (величин, определяющих форму оптимизируемого объекта). Например, в качестве проектных переменных могут выступать координаты узлов оптимизируемой поверхности.

2. Разнообразие в выборе целевого функционала. В качестве целевого функционала могут выступать различного рода аэродинамические характеристики оптимизируемых объектов, например лобовое сопротивление, аэродинамическое качество, аэродинамический момент и другие.

3. Низкие вычислительные затраты. Согласно методу на основе решения непрерывных сопряженных уравнений на каждой итерации оптимизации машинное время практически не зависит от числа проектных переменных и приблизительно равно машинному времени решения двух прямых задач.

4. Возможность использования надежного стороннего решателя с закрытым кодом для решения прямой задачи.

В работе рассматриваются задачи оптимизации аэродинамических профилей для стационарного несжимаемого вязкого течения жидкости, описываемого осредненными по Рейнольдсу уравнениями Навье-Стокса. В современных работах, посвященных методу оптимизации аэродинамических форм на основе решения непрерывных сопряженных уравнений для рассматриваемого режима течения, для решения прямой задачи и сопряженных уравнений используется метод искусственной сжимаемости. Выгодной альтернативой методу искусственной сжимаемости является метод поправок давления. Благодаря хорошей производительности, надежности и универсальности метод поправок давления широко применяется для решения прямых задач в популярных коммерческих вычислительных пакетах, таких как STAR-CD, STAR-CCM+, CFX, FLUENT, TMG-Flow и другие. Так как сопряженные уравнения имеют схожую структуру с уравнениями движения, справедливо предположить, что использование метода поправок давления для решения сопряженных уравнений также будет эффективно.

Целью данного исследования является разработка эффективного инструмента проектирования аэродинамических профилей различных 5 назначений для стационарного несжимаемого вязкого течения жидкости и газа. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

- Разработать метод оптимизации для стационарного несжимаемого вязкого течения на основе решения непрерывных сопряженных уравнений, использующего метод поправок давления для решения прямой задачи и сопряженных уравнений.

- Осуществить программную реализацию метода.

- Провести анализ достоверности результатов оптимизации аэродинамических профилей.

- Решить однорежимную задачу оптимизации несущего аэродинамического профиля.

Ниже представлено краткое содержание работы по главам.

В первой главе рассмотрены современные методы аэродинамического проектирования. Из аналитического обзора определен наиболее эффективный метод оптимизации аэродинамических форм на основе решения непрерывных сопряженных уравнений. Предложены меры по совершенствованию метода, сформулированы задачи исследования.

Вторая глава посвящена формулировке метода. На основе уравнений Навье-Стокса для двухмерного стационарного несжимаемого вязкого течения выводятся сопряженные уравнения. Рассмотрены различные формулировки задач оптимизации аэродинамических профилей, записаны целевые функционалы и соответствующие граничные условия для сопряженных уравнений. Представлен метод градиентного спуска с постоянным шагом и сглаживанием градиента. Разработана процедура контроля формы оптимизируемой поверхности, необходимая для получения корректных результатов оптимизации. Разработана численная схема решения сопряженных уравнений на основе модифицированного SIMPLE алгоритма. Представлено описание разработанного алгоритма оптимизации.

В третьей главе представлен анализ достоверности результатов оптимизации. Выполнена валидация решения прямой задачи. Показано, что вычислительный пакет STAR-CD 3.24, который используется для решения прямой задачи, позволяет получать адекватные результаты, хорошо согласующиеся с экспериментальными данными. Сформулирована тестовая задача. Записан целевой функционал, соответствующие граничные условия для сопряженных уравнений, представлена численная схема вычисления градиента. Показано, что результаты оптимизации для сеток 330x60 и 660x120 отличаются несущественно. Произведен анализ влияния исходного профиля на результат оптимизации. Показано, что геометрия исходного профиля слабо влияет на результат оптимизации. Выполнено сравнение результатов оптимизации, полученных при помощи разработанного метода и градиентного метода на основе конечных разностей. Показаны преимущества разработанного метода.

Четвертая глава посвящена решению задачи оптимизации несущего аэродинамического профиля. Записан оригинальный целевой функционал, учитывающий аэродинамические и массовые характеристики профиля. Сформулированы граничные условия для сопряженных уравнений и численная схема вычисления градиента. Получено существенное улучшение несущих характеристик аэродинамического профиля FX 61-163 в ходе оптимизации для рассматриваемого режима течения.

Завершается диссертация кратким обзором основных результатов работы и библиографией.

Научная новизна работы:

1. Разработана численная схема решения сопряженных уравнений для двухмерного стационарного несжимаемого вязкого течения жидкости, отличающаяся использованием модифицированного SIMPLE алгоритма.

2. Разработана процедура контроля формы оптимизируемой поверхности, позволяющая предотвращать появление изломов и самопересечений на профиле в ходе оптимизации.

3. Разработан алгоритм оптимизации аэродинамических профилей на основе решения непрерывных сопряженных уравнений, отличающийся использованием численной схемы на основе SIMPLE алгоритма для решения прямой и сопряженной задач и использованием сглаживания градиента совместно с процедурой контроля формы оптимизируемой поверхности.

4. Для оптимизации несущего аэродинамического профиля предложен оригинальный целевой функционал, учитывающий аэродинамические и массовые характеристики профиля.

Практическая значимость работы:

1. Разработанный метод может быть использован для однорежимной и многорежимной оптимизации аэродинамических профилей различного назначения, находящихся в потоке несжимаемой жидкости или газа при числе Маха М < 0,3.

2. Результаты оптимизации профиля NACA0012 могут быть использованы при проектировании пилонов, горизонтального и вертикального оперений дозвуковых самолетов и экранопланов.

3. Результаты оптимизации профиля FX 61-163 могут быть использованы при проектировании подводных крыльев и крыльев планеров.

Достоверность полученных результатов подтверждается:

- Использованием точных законов сохранения МЖГ и корректными математическими преобразованиями.

- Использованием апробированного вычислительного пакета STAR-CD 3.24 для решения прямых задач. На примере тестовой задачи проведена валидация решения прямой задачи.

- Верификацией разработанного метода. На примере тестовой задачи оптимизации выполнено сравнение результатов на расчетных сетках различной размерности. Проведен анализ влияния исходной формы профиля на результат оптимизации. Выполнено сравнение результатов оптимизации, полученных при помощи разработанного метода и градиентного метода на основе конечных разностей.

Реализация результатов работы. Разработанный метод, его программная реализация и результаты решения задач оптимизации аэродинамических профилей переданы в ОАО «Гос МКБ «Радуга» им. А.Я. Березняка» и используются в курсовом и дипломном проектировании в СГАУ. Соответствующие акты представлены в Приложении.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих научных конференциях: 9-я Международная конференция «Авиация и космонавтика — 2010», МАИ, г. Москва, 16-18 ноября 2010 г.; XXII научно-техническая конференция по аэродинамике, ЦАГИ НИО-2, пос. Володарского, 3-4 марта 2011 г.; III Всероссийская научно-практическая конференция «Актуальные проблемы машиностроения», СНЦ РАН, г. Самара, 22-24 марта 2011 г.; VI международная научно-практическая конференция STAR-2011: «компьютерные технологии решения прикладных задач тепломассопереноса и прочности», CD-adapco, Саровский инженерный центр, г. Нижний Новгород, 17-18 мая 2011 г.; Международная молодежная конференция «XIX Туполевские чтения», КГТУ, г. Казань, 24-26 мая 2011 г., XV Всероссийский семинар по управлению движением летательных аппаратов и их навигации, СГАУ, г. Самара, 13-15 июня 2011 г.; Семинар НИО-2 ЦАГИ, 21 июля 2011.

Публикации. По итогам выполненных исследований опубликовано 7 печатных работ, в том числе 3 статьи в периодических научно-технических изданиях, рекомендованных ВАК РФ. Перечень опубликованных работ представлен в конце списка используемой литературы.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Печеник, Евгений Валерьевич

Основные результаты работы

1. Разработан метод оптимизации форм аэродинамических профилей на основе решения сопряженных уравнений для стационарного несжимаемого вязкого течения жидкости и газа. Метод позволяет использовать практически неограниченное число проектных переменных, при этом машинное время вычисления градиента не зависит от их количества и приблизительно равно времени решения двух прямых задач.

2. Разработана численная схема решения сопряженных уравнений на основе SIMPLE алгоритма. В отличие от метода искусственной сжимаемости, использование SIMPLE алгоритма для решения прямой и сопряженной задач позволяет снизить затраты оперативной памяти до 9 раз.

3. Разработана процедура контроля формы оптимизируемой поверхности, позволяющая предотвращать появление изломов и самопересечений на профиле в ходе оптимизации.

4. Выполнена валидация решения прямой задачи. Получено хорошее согласование расчетных данных с экспериментальными. Коэффициент лобового сопротивления для профиля NACA0012 при нулевом угле атаки, полученный на сетке 1320x240 отличается от экспериментального значения на 2,1%.

5. Произведена верификация алгоритма оптимизации. Показано, что результаты оптимизации для сеток 330x60 и 660x120 отличаются несущественно. Также показано, что геометрия исходного профиля слабо влияет на результат оптимизации тестовой задачи. Выполнено сравнение результатов оптимизации, полученных при помощи разработанного метода и градиентного метода на основе конечных разностей, которое показало преимущества разработанного метода. Коэффициент лобового сопротивления профиля, оптимизированного при помощи разработанного метода, на 14,9% меньше, чем у профиля, оптимизированного при помощи метода на основе конечных разностей.

6. Решена задача оптимизации несущего аэродинамического профиля. Предложен целевой функционал, учитывающий аэродинамические и массовые характеристики профиля. В ходе оптимизации получено существенное улучшение несущих характеристик аэродинамического профиля БХ 61-163 для рассматриваемого режима течения (аэродинамическое качество увеличилось на 26,9% по сравнению с исходным значением). Результаты оптимизации могут быть использованы при проектировании подводных крыльев и крыльев планеров.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Печеник, Евгений Валерьевич, 2011 год

1. Аэродинамика и динамика полета магистральных самолетов Текст. / Под ред. Г. С. Бюшгенса. М.-Пекин: ЦАГИ, 1995. - 772 с.

2. Кюхеман, Д. Аэродинамическое проектирование самолетов Текст. / Д. Кюхеман; пер. с англ. Н.А. Благовещенский, Г.И. Майкапар; под ред. Г.И. Майкапара. М.: Машиностроение, 1983. - 656 с.

3. Елизаров, А.М. Обратные краевые задачи аэрогидродинамики Текст. / A.M. Елизаров, Н.Б. Ильинский, А.В, Поташев. М.: Наука, 1994. - 436 с.

4. Елизаров, A.M. Оптимизация формы крыловых профилей методом обратных краевых задач Текст. / A.M. Елизаров, Е.В. Фёдоров // Труды семинара по краевым задачам. Изд-во Казанского ун-та, 1990. - вып. 25. - С. 124-135.

5. Елизаров, A.M. Обратные краевые задачи аэрогидродинамики Текст. / A.M. Елизаров, Н.Б. Ильинский, А.В. Поташев. // Итоги науки и техники. Мех. жидк. и газа. М.: ВИНИТИ, 1989. - т.23. - С. 3-115.

6. Lighthill, MJ. A new method of two-dimensional aerodynamic design Text. / M.J. Lighthill // Aeronaut, res. Counc. Repts. and Mem. R&M 2112. -1945. 53 p.

7. Тумашев, Г.Г. Определение формы границ потока жидкости по заданному распределению скорости или давления Текст. / Г.Г. Тумашев // Уч. зап. казан, ун-та. 1952. - т. 112. - № 3. - С. 3-41.

8. Елизаров, A.M. О квазирешениях внешней обратной краевой задачи Текст. / A.M. Елизаров // Известия вузов. Математика. 1984. - № 10. - С. 4250.

9. Blazek, J. Computational Fluid Dynamics: Principles and Applications Text. / J. Blazek. Elsevier Science, Oxford, 2001. - 440 p.

10. Ferziger, J.H. Computational Methods for Fluid Dynamics Text. / J.H. Ferziger, M. Peric. Springer, Berlin, 2002. - 423 p.

11. Versteeg, H.K. An Itroduction to Computational Fluid Dynamics The Finite Volume Method Text. / H. K. Versteeg, W. Malalasekera. Longman Scientific & Technical, Harlow, 1995. - 257 p.

12. Anderson, J.D. Computational Fluid Dynamics: The Basics with Applications Text. / J.D. Anderson. McGraw-Hill, New York, 1995. - 547 p.

13. Erickson, L.L. Panel Methods-An Introduction Text. / L.L. Erickson // NASA Technical Paper. 1990. - № 2995. -61 p.

14. Edward, S.A. Parallel Navier-Stokes Solver for Natural Convection and Free Surface Flow Text.: PhD thesis / S.A. Edward. University of Sydney, 2006. -218 p.

15. Jameson, A. Computational algorithms for aerodynamic analysis and design Text. / A. Jameson // Applied Numerical Mathematics. 1993. - v. 13. - P. 383-422.

16. Leoviriyakit, K. Wing Planform Optimization via an Adjoint Method Text.: PhD thesis / K. Leoviriyakit. Stanford University, 2005. - 121 p.

17. Aidala, P.V. Smart aerodynamic optimizaiton Text. / P.V Aidala, W.H. Davis, W.H. Mason // AIAA Applied Aerodynamics Conference, 1983, Danvers. -AIAA 83-1863.- 12 p.

18. Mason, W.H. Getting the full benefits of CFD in conceptual design Text. / W.H. Mason, D. Knill, A.A. Giunta // 16th AIAA Applied Aerodynamics Conference, June 15-18, 1998, Albuquerque, NM. AIAA 98-2513. - 11 p.

19. Thevenin, D. Optimization and Computational Fluid Dynamics Text. / D. Thevenin, G. Janiga. Springer-Verlag, Berlin, 2008. - 293 p.

20. Sousa, B. Multiobjective laminar-flow airfoil shape optimization using a controlled random search algorithm Text. / B. Sousa, N. Manzanares-Filho, A.B.93

21. Jorge //. EngOpt 2008 International Conference on Engineering Optimization, June 1-5, 2008, Rio de Janeiro. - 8 p.

22. Dutt, H.N. Design of airfoils in incompressible viscous flows by numerical optimization Text. / H.N. Dutt, A.K. Sreekanth // Computer methods in applied mechanics and engineering. 1980. - v. 23. - P. 355-368.

23. Lee, D.S. Robust evolutionary algorithms for UAV UCAV aerodynamic and RCS design optimisation Text. / D.S. Lee, L.F. Gonzalez, K. Srinivas // Computers & Fluids. 2008. - v. 37. - P. 547-564.

24. Praveen, C. Low cost PSO using metamodels and inexact pre-evaluation: Application to aerodynamic shape design Text. / C. Praveen, R. Duvigneau // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 2009. - v. 198. - P. 1087-1096.

25. Болсуновский, A.JI. Гибридный алгоритм оптимизации для задач аэродинамического проектирования Текст. / А.Л. Болсуновский, Н.П. Бузоверя, И.Л. Чернышев // Труды ЦАГИ "Численные методы аэродинамического проектирования". 2002. - вып. 2655. - С. 126-132.

26. Hicks, R.M. Wing design by numerical optimization Text. / R.M. Hicks, P.A. Henne // Journal of Aircraft. 1978. - v. 15. - № 7. - P. 407-412.

27. Lee, K.D. Transonic airfoil design by constrained optimization Text. / K.D. Lee, S. Eyi // AIAA 9th Applied Aerodynamics Conference, Sept. 23-25, 1991, Baltimore, MD. AIAA 91-3287. - 9 p.

28. Secanell, M. Design of a morphing airfoil using aerodynamic shape optimization Text. / M. Secanell, A. Suleman, P. Gamboa // AIAA Journal. -2006. -v. 44.-№7.-P. 1550-1562.

29. Drela, M. Design and optimization method for multi-element airfoils Text. / M. Drela // AIAA Paper, 93-0969. 1993. - 17 p.

30. Аульченко, С.М. Оптимизация решеток профилей вариационно-градиентным методом Текст. / С.М. Аульченко // Теплофизика и аэромеханика. 2005. - т. 12. - № 3. С. 357-363.

31. Borggaard, J. A PDE sensitivity equation method for optimal aerodynamic Text. / J. Borggaard, J. Burns // J. Comput. Phys. 1997. - v. 136. -№2.-P. 366-389.

32. Colina, E. Application of a sensitivity equation method to turbulent flows with heat transfer Text. / E. Colina, S. Etiennea, D. Pelletiera // Int. J. of Thermal Sciences. 2005. - v. 44. - № 11. - P. 1024-1038.

33. Jameson, A. Aerodynamic shape optimization of complete aircraft configurations using unstructured grids Text. / A. Jameson, Sriram L. Martinelli // 42nd AIAA Aerospace Science Meeting, January 5-8, 2004, Reno, NV. AIAA 2004-0533. - 14 p.

34. Jameson, A. Aerodynamic shape optimization techniques based on control theory Text. / A. Jameson, J.J. Alonso, J.J. Reuther // 29th AIAA Fluid Dynamics Conference, June 15-18, 1998, Albuquerque, NM. AIAA 98-2538. - 30 p.

35. Jameson, A. Optimum aerodynamic design using the Navier-Stokes equations Text. / A. Jameson, L. Martinelli, N.A. Pierce // Theoret. Comput. Fluid Dynamics. 1998. - v. 10. - P. 213-237.

36. Papadimitriou, D.I. A continuous adjoint method with objective function derivatives based on boundary integrals, for inviscid and viscous flows Text. /

37. D.I. Papadimitriou, K.C. Giannakoglou // Computers & Fluids. 2007. - v. 36. - P. 325-341.

38. Jameson, A. CFD for Aerodynamic design and optimization: Its evolution over the last three decades Text. / A. Jameson // 16th AIAA CFD Conference, June 23-26,2003, Orlando, FL. AIAA 2003-3438. - 11 p.

39. Лионе, Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными Текст. / Ж.-Л. Лионе; пер. с франц. Н.Х. Розова; под ред. Р.В. Гамкрелидзе. М.: Мир, 1972. - 414 с.

40. Pironneau, О. Optimal Shape Design for Elliptic Systems Text. / O. Pironneau. Springer-Verlag, New York, 1984. - 168 p.

41. Pironneau, O. On optimum profiles in Stokes flow Text. / O. Pironneau // J. Fluid Mech. 1973. - v. 59. - № 1. - P. 117-128.

42. Брутян, M.A. Об оптимальном управлении потоком вязкой несжимаемой жидкости Текст. / М.А. Брутян, П.Л. Крапивский // Прикладная математика и механика. 1984. - т. 48. - № 6. - С. 929-934.

43. Брутян, М.А. К задаче оптимизации отсоса вдува в вязкой жидкости Текст. / М.А. Брутян, П.Л. Крапивский // Механика жидкости и гза. - 1989. -№ 3. - С. 27-32.

44. Jameson, A. Computational aerodynamics for aircraft design Text. / A. Jameson // Science. 1989. - v. 245. - P. 361-371.

45. Jameson, A. Automatic design of transonic airfoils to reduce the shock induced pressure drag Text. / A. Jameson // In Proceedings of the 31st Israel Annual Conference on Aviation and Aeronautics, February 21-22, 1990, Tel Aviv. 13 p.

46. Reuther, J. Aerodynamic shape optimization of complex aircraft configurations via an adjoint formulation Text. / J. Reuther, A. Jameson, J. Farmer // AIAA, Aerospace Sciences Meeting and Exhibit, 34th, Jan. 15-18, 1996, Reno, NV. AIAA 96-0094. - 19 p.

47. Brezillon, J. 2D and 3D aerodynamic shape optimisation using the adjoint approach Text. / J. Brezillon, N.R. Gauger // Aerospace Science and Technology. -2004.-v. 8.-P. 715-727.

48. Elliott, J. Practical 3D aerodynamic design and optimization using unstructured meshes Text. / J. Elliott, J. Peraire // 6th AIAA/NASA/USAF Multidisciplinary Analysis & Optimization Symposium, Sept., 1996, Seattle. -AIAA 96-41.70.-27 p.

49. Jameson, A. Aerodynamic Shape Optimization Using the Adjoint Method Text. / A. Jameson. Lectures at the Von Karman Institute, Brussels, 2003. - 30 p.

50. Nielsen, E.J. Aerodynamic design optimization on unstructured meshes using the Navier-Stokes equations Text. / E.J. Nielsen, W.K. Anderson // AIAA-98-4809. 13 p.

51. Elliott, J. Aerodynamic optimization on unstructured meshes with viscous effects Text. / J. Elliott J. Peraire // 13th AIAA CFD Conference, 1997, Snow-mass, Colorado. AIAA 97-1849. - 18 p.

52. Giles, M.B. Adjoint code developments using the exact discrete approach Text. / M.B. Giles, M.C. Duta, J.-D. Muller // 15th Computational Fluid Dynamics Conference, 2001, Anaheim, California. AIAA 2001-2596. - 11 p.

53. Moigne, A.L. Aerofoil profile and sweep optimisation for a blended wing-body aircraft using a discrete adjoint method Text. / A.L. Moigne, N. Qin // The Aeronautical Journal. 2006. - v. 110. - № 1111 - P. 589-604.

54. Papadimitriou, D.I. A Continuous adjoint method for the minimization of losses in cascade viscous flows Text. / D.I. Papadimitriou, K.C. Gianna // 44th AIAA Aerospace Sciences Meeting and Exhibit, January 9-12, 2006, Reno, Nevada. AIAA 2006-49. - 11 p.

55. Soto, O. An adjoint-based design methodology for CFD problems Text. / O. Soto, R. Lohner, C. Yang // International Journal of Numerical Methods for Heat & Fluid Flow. 2004. - v. 14. - № 6. - P. 734-759.

56. Shankaran, S. Analysis and shape optimization in incompressible flows with unstructured grids Text. / S. Shankaran, A. Jameson, L. Martinelli // Computers & Fluids. 2010. - v. 39. - P. 1774-1788.

57. Martinelli, L. An adjoint method for design optimization of ship hulls Text. / L. Martinelli, A. Jameson // 9th International Conference on Numerical Ship Hydrodynamics Ann Arbor, Michigan, 2007. 9 p.

58. Zymaris, A.S. Adjoint wall functions: A new concept for use in aerodynamic shape optimization Text. / A.S. Zymaris, D.I. Papadimitriou, K.C. Giannakoglou // Journal of Computational Physics. 2010. - № 229. - P. 52285245.

59. Yamaleev, N.K. Local-in-time adjoint-based method for design optimization of unsteady flows Text. / N.K. Yamaleev, B. Diskin, E.J. Nielsen // Journal of Computational Physics. 2010. - № 229. - P. 5394-5407.

60. Nadarajah, S.K. Optimum Shape Design for Unsteady Flows with Time-Accurate Continuous and Discrete Adjoint Methods Text. / S.K. Nadarajah, A. Jameson // AIAA Journal. 2007. - v. 45. - № 7. - P. 1478-1491.

61. Collis, S.S. Optimal control of unsteady compressible viscous flows Text. / S.S. Collis, K. Ghayour, M. Heinkenschloss // Int. J. Numer. Meth. Fluids. -2002.-v. 40. -№ 11.-P. 1401-1429.

62. Nielsen, E.J. Discrete adjoint-based design optimization of unsteady turbulent flows on dynamic unstructured grids Text. / E.J. Nielsen, B. Diskin, N.K. Yamaleev // AIAA Journal. 2010. - v. 46. - № 6. - P. 1195-1206.

63. Nielsen, E.J. Integrated design of an active flow control system using a time-dependent adjoint method Text. / E.J. Nielsen, W.T. Jones // Math. Model. Nat. Phenom. 2011. - v. 6. - № 3. P. 141-165.

64. Srinath, D.N. An adjoint method for shape optimization in unsteady viscous flows Text. / D.N. Srinath, S. Mittal // Journal of Computational Physics.- 2010. v. 229. - P. 1994-2008.

65. Srinath, D.N. Optimal aerodynamic design of airfoils in unsteady viscous flows Text. / D.N. Srinath, S. Mittal // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2010. - v. 199. - P. 1976-1991.

66. Nadarajah, S.K. A comparsion of the continuous and discrete adjoint approach to automatic aerodynamic optimization Text. / S.K. Nadarajah, A. Jameson // AIAA 2000-0667. 20 p.

67. Giles, M.B. An introduction to the adjoint approach to design Text. / M.B. Giles, N.A. Pierce // Flow, Turbulence and Combustion. 2000. - v. 65. - P. 393-415.

68. Peter, J. Numerical sensitivity analysis for aerodynamic optimization: A survey of approaches Text. / J. Peter, R.P. Dwight // Computers & Fluids. 2010.- v. 39. P. 373-391.

69. Chorin, A.J. A numerical methods for solving incompressible viscous flow problems Text. / A.J. Chorin // Journal of Computational Physics. 1997. -v. 135.-P. 118-125.

70. Veress, A. Incompressible flow solver by means of pseudo-compressible method Text. / A. Veress // HEJ, ANM-030110-A. 2003.

71. Патанкар, С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости Текст. / С. Патанкар; пер. с англ. под ред. В.Д. Виоленского. М.: Энергоатомиздат, 1980. - 152 с.

72. Wesseling, P. Principles of Computational Fluid Dynamics Text. / P. Wesseling. Springer, Berlin, 2001. - 644 p.

73. Patankar, S.V. A calculation procedure for heat, mass and momentum transfer in three-dimentional parabolic flows Text. / S.V. Patankar, D.B. Spalding // int. J. Heat Mass Transfer. 1972. - v. 15. - P. 1787-1806.

74. Rhie, C.M. Numerical study of the turbulent flow past an airfoil with trailing edge separation Text. / C.M. Rhie, W.L. Chow // AIAA Journal. 1983. -v. 21. - № 11.-P. 1525-1532.

75. Tamamidis, P. Comparison of pressure-based and artificial compressibility methods for solving 3D steady incompressible viscous flows Text. / P. Tamamidis, G. Zhang, D.N. Assanis // Journal of Computational Physics. 1996. - v. 124. - P. 1-13.

76. Gill, P.E. Practical Optimization Text. / P.E. Gill, W. Murray, M.H. Wright. ACADEMIC PRESS, San Diego, CA, 1981. - 401 p.

77. Gill, P.E. Numerical Methods for Constrained Optimization Text. / P.E. Gill, W. Murray. Academic Press, New York, 1974. - 283 p.

78. Luenberger, D.G. Linear and Nonlinear Programming, 2nd edn. Text. / D.G. Luenberger. Addison-Wesley publishing company, London, 2003. - 491 p.

79. Fletcher, R. Practical Methods of Optimization, 2nd edn. Text. / R. Fletcher. Wiley, New York, 1987. - 436 p.

80. Bertsekas, D.P. Constrained Optimization and Lagrange Multiplier Methods Text. / D.P. Bertsekas. Athena Scientific, Belmont, 1996. - 395 p.

81. Bertsekas, D.P. Nonlinear Programming, 2nd edn. Text. / D.P. Bertsekas. Athena Scientific, Belmont, 1999. - 773 p.

82. Jameson, A. Studies of alternative numerical optimization method applied to the brachistochrone problem Text. / A. Jameson, J.C. Vassberg // Computational Fluid Dynamics Journal. 2000. - v. 9. - № 3.

83. Джеммель, Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения. Текст. / Дж. Джеммель; пер. с англ. Х.Д. Икрамова. М.: Мир, 2001.-430 с.

84. Флетчер, К. Вычислительные методы в динамике жидкостей Текст. В 2 т. Т 2 Методы расчета различных течений / К. Флетчер; пер. с англ. В.Ф. Каменецкого; под ред. Л.И. Турчака. М.: Мир, 1991. - 504 с.

85. Zymaris, A.S. Continuous adjoint approach to the Spalart-Allmaras turbulence model for incompressible flows Text. / A.S. Zymaris, D.I. Papadimitriou, K.C. Giannakoglou // Computers & Fluids. 2009. - v. 38. - P. 1528-1538.

86. Abbott, I.H. Theory of Wing Sections Text. / I.H. Abbott, A.E. Van Doenhoff. Dover Publications, NY, 1959. - 693 p.

87. Secanell, M. Sequential optimization algorithms for aerodynamic shape optimization Text. / M. Secanell, A. Suleman // AIAA 2004-4631. 11 p.

88. Secanell, M. Numerical evaluation of optimization algorithms for low reynolds number aerodynamic shape optimization Text. / M. Secanell, A. Suleman // AIAA Journal. 2005. - v. 43. - № 10. - P. 2262-2267.

89. Magagnato, F. SPARC Manual (Structured Parallel Reseach Code) Text. / F. Magagnato. Dept. of Fluid Machinery, Univ. of Karlsruhe. - 2000. - 399 p.

90. Комаров, B.A. Весовой анализ авиационных конструкций: теоретические основы Текст. / В.А. Комаров // Полет. 2000. - № 1. - С. 3139.1. Работы автора:

91. Печеник, Е.В. Оптимизация симметричного профиля методом сопряженного градиента Текст. / Е.В. Печеник // Известия Самарского научного центра Российской академии наук. 2011. - т. 13, № 1(2). - С. 330333.

92. Печеник, Е.В. Оптимизация симметричного профиля для вязкого турбулентного несжимаемого течения методом сопряженного градиента Текст. / Е.В. Печеник // Вестник СГАУ. 2011. - № 2(26). - С. 93-97.

93. Печеник, Е.В. Оптимизация несущего аэродинамического профиля методом сопряженного градиента Текст. / Е.В. Печеник // Вестник СГАУ. -2011.-№2(26).-С. 98-102.

94. Печеник, Е.В. Оптимизация аэродинамического профиля методом сопряженного градиента Текст. / Е.В. Печеник // Международная молодежная конференция «XIX Туполевские чтения». 24-26 мая 2011 г., Казань. Тезисы докладов. 2011. - С. 34.

95. Печеник, Е.В. Оптимизация методом сопряженного градиента в задачах аэрогидродинамики Текст. / Е.В. Печеник // XXII научно-техническая конференция по аэродинамике. 3-4 марта 2011 г., пос. Володарского. Тезисы докладов. 2011. - С. 117.