Метод решения задач о взаимодействии трещин тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Зайцева, Екатерина Вячеславовна

• Зайцева, Екатерина Вячеславовна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Зайцева, Екатерина Вячеславовна

Введение.

Актуальность темы.

Цель работы.

Научная новизна работы.

Практическая ценность.

Достоверность.

Апробация работы.

1. Обзор методов исследования взаимодействия трещин.

1.1 Постановка задачи.

1.2 Аналитические и численные методы.

1.3 Метод Чена.

1.4 Метод М. Качанова.

1.5 Предложенный метод.

2. Взаимодействие трещин конечной длины.

2.1 Постановка задачи.

2.2 Суперпозиция решений.

2.3 Коэффициенты интенсивности напряжений.

2.4 Связь между локальными системами координат.

2.5 Простой пример: растяжение плоскости с двумя одинаковыми трещинами, лежащими на одной прямой.

2.6 Алгоритм численного решения.

2.7 Тестовые задачи.

2.7.1 Растяжение плоскости с двумя неравными трещинами, расположенными на одной прямой.

2.7.2 Растяжение плоскости с тремя одинаковыми трещинами, лежащими на одной прямой.

2.7.3 Растяжение плоскости с двумя параллельными трещинами.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод решения задач о взаимодействии трещин»

Актуальность темы

Представление о разрушении как о распространении изолированной трещины часто оказывается недостаточным. Экспериментально установлено, что в области предразрушения - окрестности кончика магистральной трещины - образуется множество мелких трещин, заметно влияющих на напряженное состояние. Зону предразрушения часто рассматривают как сплошную среду с измененными механическими характеристиками. Адекватность такого подхода во многом определяется возможностью связать меру поврежденности с некоторым распределением микротрещин. Эту возможность может дать метод, позволяющий рассчитать напряженное состояние массива, ослабленного системой взаимодействующих трещин. Такой метод применим также к задачам прочности горных пород и керамик - материалов, содержащих большое количество разнообразно ориентированных трещин [40].

Практическая важность задач о взаимодействии трещин делают их предметом теоретических исследований более 50 лет. Разработанные методы решения различаются и по области применения и по сложности. И именно чрезмерная сложность оказывается в большинстве случаев их основным недостатком.

Это естественно, так как весьма сложны и решаемые задачи. Но искать более простые методы следует, и эта задача, безусловно, актуальна. Ее решению - разработке простого и надежного метода решения задач о взаимодействии трещин - посвящена настоящая диссертация.

Цель работы

Целью данной работы является разработка нового метода решения задач о взаимодействии трещин (в рамках плоской задачи линейной механики разрушения) и решение этим методом ряда конкретных задач.

Научная новизна работы

• Разработан численно-аналитический метод решения задач о взаимодействии прямолинейных трещин, позволяющий свести решение задачи к решению системы уравнений Фредгольма достаточно простого вида.

• Разработанным методом решены новые задачи о взаимодействии трещин.

Практическая ценность

• Разработанный метод позволяет вычислить коэффициенты интенсивности напряжений в кончиках взаимодействующих трещин без ограничений количества трещин и их ориентации относительно друг друга.

• Результаты таких расчетов могут быть использованы для нахождения характеристик трещиностойкости материалов, оценке прочности массивов горных пород и изделий из керамики

Достоверность

Достоверность полученных результатов подтверждается корректностью используемых методов исследования, согласованностью решений тестовых задач с эталонными решениями.

Апробация работы

Результаты исследования обсуждались на Всероссийской научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (г. Тула, 2003 г.), Всероссийской научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (г. Тула, 2004 г.), семинаре по МДТТ им. JLA. Толоконникова (руководитель - проф. Маркин А.А.), ежегодных научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава ТулГУ.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Зайцева, Екатерина Вячеславовна

3.6 Выводы

Взаимодействие магистральной трещины с массивом микротрещин рассматривается как взаимодействие полубесконечной трещины с некоторым числом трещин конечной длины. Учитывается как влияние полубесконечной трещины на конечные, так и влияние конечных трещин друг на друга и влияние конечных трещин на полубесконечную трещину

Показано, что так как напряжения в окрестности кончика полубесконечной трещины, то есть там, где расположены микротрещины, определяются в отсутствие последних известными асимптотическими формулами, решение задачи можно получить в результате непринципиальной модификации разработанного метода расчета взаимодействия системы конечных трещин

Получены расчетные формулы и указан алгоритм численного решения задачи

Найдено аналитическое решение задачи о взаимодействии полубесконечной трещины с лежащей на той же прямой трещиной конечной длины. Это решение используется как тест для компьютерной программы численного решения задачи

Численное решение задачи о взаимодействии полубесконечной трещины с массивом трещин конечной длины строится методом кол-локаций. Программа вычислений реализована в системе MathCad Решены новые задачи, иллюстрирующие возможности разработанного метода: задача о взаимодействии полубесконечной трещины с лежащей на ее продолжении произвольно ориентированной конечной трещиной и задача о взаимодействии полубесконечной трещины с массивом из 12 одинаковых микротрещин, расположенных по обе стороны от магистральной трещины. Результаты расчетов свидетельствуют об эффективности разработанного метода

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Зайцева, Екатерина Вячеславовна, 2006 год

1. Бережницкий Л.Т., Панасюк В. В., Стащук Н.Г. Взаимодействие жестких линейных включений и трещин в деформированном теле,Киев: Наукова думка, 1983, 288 с,

2. Бреббия К., Телес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. М.: Мир, 1987, 524 с.

3. Броек Д. Основы механики разрушения. М.: Высш. школа, 1980, 368 с.

4. Векуа Н. П. Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи. М.: Наука, 1970, 379 с.

5. Гахое Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977, 640 с.

6. Гольдштейн Р.В., Житников Ю.В. Равновесие полостей и трещин- разрезов с областями налегания и раскрытия в упругой среде // ПММ,1986,т.50.вып.5, с. 826-834

7. Гольдштейн Р.В., Житников Ю.В., Морозова Т.М. Равновесие системы разрезов при образовании на них областей налегания ираскрытия // НММ, 1991, т.55, вып.4, с. 672-678

8. Дацышин А.П., Саврук М.П. Интегральные уравнения плоской задачи теории трещин // Нрикладная математика и механика, т.38, 1974,с.728-731

9. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука, 1969, 228 с.

10. Демидович Б.Н., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1966, 664 с.И. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975,541с.

11. Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости. М.: Наука, 1973,304 с.96

12. Корн г.. Корн Т. Справочник по математике для паучных работников и инженеров. М.: Наука, 1968, 720 с.

13. Навит И.М: Граничное интегральное уравнение для криволинейной краевой трещины //ПММ, 1994, т.58, вып.1, с. 153-161

14. Лаврентьев М. А., Шабат Б.В. Методы функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973, 736 с.

15. Линьков A.M., Могилевская СТ. Гиперсингулярные интегралы в плоских задачах теории упругости // НММ, 1990, т.54, вып.1,с. 116-122

16. Лурье. А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970, 940 с.

17. Мирсалимов В.М., Алиева Г.М. Контактная задача для пластины с трещиной, усиленной с ребрами жесткости // Изв. АН АзСССР.ФТМН, 1985,№3,с.145-158

18. Мирсалимов В.М. Неодномерные упругопластические задачи. М.: Наука, 1987, 256 с.

19. Мирсалимов В.М.. Калантарлы Н:М. Моделирование зарождения трещины в круговом диске, на границе которого заданы смешанныеусловия // Современные проблемы математики, механики,информатики. Тез. докл. Тула: Изд-во ТулГУ, 2004, с. 116-119

20. Мир-Салим- Заде М.В. Моделирование зарождения дефекта типа трещин в закрепленной пластине // Современные проблемыматематики, механики, информатики. Тез. докл. Тула: Изд-во ТулГУ,2003, с. 198-201

21. Михлин Г., Смолицкий Х.Л. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. М.: Наука, 1965,384 с.

22. Михлин Г. Интегральные уравнения и их приложения к некоторым проблемам механики, математики, математической физике имеханике. М., Д.: Гостехиздат, 1949, 380 с.97

23. Морозов Е.М., Никишков Г.П. Метод конечных элементов в механике разрушения. М.: Наука, 1980, 256 с.

24. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966, 707 с.

25. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1962, 511с.

26. Назаров А. Взаимодействие трещин при хрупком разрушении. Силовой и энергетический подходы // Нрикладная механика иматематика, т.69, вып.З, 2000, с.484-495

27. Назаров А. Напряженно-деформированное состояние в точке сгущения коллинеарных микротрещин // Вестник ЛГУ. Сер. матем.,мех., астр., 1983, т. 83, ^23, с.63-68

28. Назаров А: Введение в асимптотические методы. Л.: Изд. ЛГУ, 1983,117 с.

29. Назаров А:, Полякова О.Р: Коэффициенты интенсивности напряжений для параллельных сближенных трещин в плоскойобласти//ПММП990,т.54, ВЫП.1, с.132-141

30. Назаров А., Полякова О.Р. Разрушение узкой перемычки между трещинами, лежащими в одной плоскости // НММ, 1991, т.55, вып. 1,с.165-173

31. Панасюк В. В:, Лозовой Б.Л. Определение предельных напряжений при растяжении пластины с двумя неравными трещинами // Теорияпластин и оболочек. Киев: Изд. АН УССР, 1962, с. 204-208

32. Панасюк ВВ., Саврук М.П., Дацышин А.П. Двоякопериодическая задача теории трещин. // Проблемы прочности, 1976, JNr2l2, с. 55-58

33. Панасюк Bl 5., Саврук М. П., Дацышин А.П. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках. Киев: НауковаДумка, 1976,445 с.

34. Пеньков В.Б., Толоконников Л.А. О контакте берегов трещины // ПММ, 1980,т.44, вьш.4, с.752-75998

35. Пеньков в.Б. О залечивающейся трещине//ПММ, 1994, т.58, вып.5, СЛ54-160

36. Райе Дж. Математические методы в механике разрушения // Разрушение. Т.2. М.: Мир, 1975, с. 204-235

37. Ромалис Н:Б., Тамуэю В. П. Распространение макротрещины в ноле микродефектов // Мех. композит, материалов, 1984, Ш\, 42-5Г

38. Ромалис НЕ., Тамуж В. Я. Разрушение структурно-неоднородных тел. Рига: Зинатне, 1989, 224 с.

39. Ромалис Н.Б., Тамуэю В. П. Влияние микродефектов на трещиностойкость материалов // Механика и научно-техническийпрогресс. Т.З. МДТТ. М.: Наука, 1988, с. 104-122

40. Саврук М.П. Коэффициенты интенсивности напряжений в телах с трещинами // Механика разрушения и прочность материалов, сп., т. 2,1988,618 с.

41. Саврук М.П. Двумерные задачи теории упругости для тел с трещинами. Киев: Hayкова думка, 1981, 324 с.

42. Саврук М.П., Дацышин А.П. О предельно-равновесном состоянии тела, ослабленного системой произвольно ориентированных трещин// Термомеханические методы разрушения горных пород. 4.2. Киев:Наукова думка, 1972, с. 97-102

43. Саврук М.П., Дацышин А.П. Интегральные уравнения плоской задачи теории трещин // ПММ, 1974, т. 38, с.728-731

44. Салганик Р.Л. Механика тел с большим числом трещин // Изв. АН СССР. МТТ, 1973, №4, с.149-158

45. Саврук М.П., Осив П.Н.. Прокопчук И.В. Численный анализ в плоских задачах теории трещин. Киев: Наукова думка, 1989, 248 с.

46. Си Г., Либовиц Г. Математическая теория хрупкого разрущения // Разрушение. Т.2. М.: Мир, 1975, с.83-203

47. Сиратори М., Миеси Т, Мацусита X. Вычислительная механика разрущения. М.: Мир, 1986, 334 с.99

48. Справочник по коэффициептам интепсивпости напряжений. Т. 1.М.: Мир, 1990, 448 с.

49. Тамуэю В. П., Петрова В.Е. Магистральная трещина в поле микродефектов в условиях поперечного сдвига // Физ.-хим. мех.материалов, 1993, №3, с. 147-157

50. Тамулс В. П., Петрова В.Е. Исследования взаимного влияния микродефектов при расчете коэффициентов интенсивностинапряжений в вершине магистральной трещины // Прикладные задачимеханики сплошных сред. Воронеж: Изд. Воронежского ун-та, 1988,с. 112-116

51. Хеллан К. Введение в механику разрушения. М.: Мир, 1988, 364 с.

52. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974, 640 с.

53. Basista М., Gross D. А note on crack interactions under compression // International Journal of Fracture , 2000, v.102, P.67-72

54. Biner SB. FEM analysis of crack growth in micro-cracking brittle solids // Eng. Fract. Mech, 1995, v.51., N. 4, P: 555-573

55. Brencich A., Carpinteri A. Microcrack tougheining, mutual interactions and energy dissipative mechanisms // ECF 11. Mechanisms and Mechanicsof damage and failure. V.I. Warley U.K.: BMAS, 1996, P. 467-472

56. Brencich A., Carpinteri A: Interaction of a main crack with ordered distribution of microcracks: a numerical technique by displacementdiscontinuty boundary elements // Intern. J. Fract, 1996, v. 76, P. 373-389

57. Brencich A., Carpinteri A. Stress field interaction of strain energy distribution between a stationary main crack and its process zone // Eng;Fract. Mech, 1998, v. 60., N. 2, P. 797-814

58. Chen Y.-Z. General case of multiple crack problems in an infinite plate // Eng. Fract. Mech, 1984, v. 20, N.4, P. 591-597

59. Chen Y.-Z. A Fredholm integral equation approach for multiple crack problems // Eng. Fract. Mech, 1984, v. 20, N.5/6, P. 767-775100

60. Chen Y.-Z., Hasebe N. An alternative Fredholm integral equation for multiple crack and multiple rigid line problem in plane elasticity // Eng.Fract. Mech, 1992, v.43, N.4, P. 257-268

61. Chen Y.-Z. New Fredholm integral equation for multiple crack problem in plane elasticity and antiplane elasticity // International Journal ofFracture, 1993 , v. 64, P.63-77

62. Chen Y.-Z., Hasebe N. Fredholm integralequation for multiple circular arc crack problem in plane elasticity // Arch. Appl. Mech. 1997, v. 67.,P. 433-446

63. Charalambides P.G., McMeeking R.M. Finite element method simulation of crack propagation in a brittle micro-cracking solid // Mech. Mater. 1987,V.6, N.I, P. 71-87

64. Chau K.T., Wang Y.B. A new boundary integral formulation for plane elastic bodies containing cracks and holes // Intern. J. Sol. Struct. 1999,V. 36, N. 8, P. 2041-2074

65. Chudnovsky A., Kachanov M. Interaction of a crack with a field of microcracks//Intem. J. Sci. 1983,v. 21,N. 8, P. 1009-1018

66. Chudnovsky A., Dolgopolsky A., Kachanov M. Elastic interaction of a crack with microcracks//Advances in Fracture Research. Proc. SixthConf. on Fracture, New Delhi, India. 1984, v. 2., P. 825-833

67. Chudnovsky A., Dolgopolsky A., Kachanov M. Elastic interaction of a crack with a microcrack array // Intern. J. Sol. Struct. 1987, v.23, N. 1,P. 1-21

68. Gross D. Stress intensity factors of system of cracks // Ing. Arch. 1982, V. 51, P. 301-310 (in German)

69. HelsingJ., Peters G. Integral equation methods and numerical solutions of crack and inclusion problems in planar elastostatics // SIAM J. Appl. Math,1999, v.59,N.3, P. 965-982101

70. Helsing J. Fast and accurate numerical solution to an elastostatic problem involving ten thousand randomly oriented cracks // Int. J. Fract, 1999,V. 100, P. 321-327

71. Hill R. A self-consistent mechanics of composite materials // J. Mech. Phys. Solids. 1965, v.l3, P. 213-22

72. HoaglandR.G., Embury J.D. A treatment of inelastic deformation around a crack tip due to microcracking // J. Amer. Ceram. Soc. 1980, v.63,P. 404-410

73. Kachanov M. ElastiQ, soWds with many cracks and related problems // Advances in Appl. Mech. N.Y: Academic Press, 1994, P. 256-426

74. Kachanov M. E\2iSt\c solids with many cracks: a simple method of analysis // Intern. J. Sol. Struct. 1987, v. 23, N. 1, P. 23-43

75. Kachanov M. On the problems of crack callescence // Intern. J.Fract. 2003, V. 120, P. 537-543

76. Lam K. Y., Phua S.P: Multiple crack interaction and its effect on stress intensity factor // Eng. Fract. Mech., 1991, v.4O, P. 585-595

77. Lam K. Y., Wen C, Гао Z Interaction between microcrack and a main crack in a semi-infinite medium // Eng. Fract. Mech. 1993, v.44, N.5,P. 753-761

78. Li Z., Zhao Y, Schmaunder S. A cohesion model of microcrack toughening //Eng. Fract. Mech. 1993, v.44, N.2, P. 257-265

79. Li Z, Zhao Y, Schmaunder S., Dong M. Quantitative characterization of micro-cracking in brittle materials by FE modeling// Eng. Fract. Mech.1995, v.51,N.3, P. 497-504102

80. Mark Kachanov On the problems interactions cracks and crack coalescence // International Journal of Fracture , 2003, P.537-543

81. Mogilevskaya S. G. Complex hypersingular integral equation for the piece- wise homogeneons holf-plane with cracks // Intern. J. Fract. 2000, v.lO2,P. 177-204

82. Panasyuk V. V., Savruk M.P., Datsyshin A.P. A general method of solution of two-dimensional problems in the theory of cracks // Eng. Fract. Mech.1977, v.9,P.481-497

83. Petrova V., Tamuzs V., Romalis N. A survey of macro-microcrack interaction problems // Appl. Mach. Reviews. 2000, v.53, N.5,P. 117-146

84. Petrova V., Tamuzs V. Asymptotic solution of the macro-microcrack interaction problem//Proc. of Aim'96. St. Petersburg, 13-16 oct. 1996, St.Petersburg: St.P.State Marine Tech. Univ., 1997, P. 183-190

85. Petrova V., Tamuzs V. Modified model of macro-microcrack interaction// Theor. Appl. Fract. Mech. 1999, v. 32., N. 2, P. 111-117

86. Petrova V., Tamuzs V., Tarasov S. Interaction of macro and microcracks. Analytical and numerical modeling // Abstrs of Euromech Colloquinm

87. Micromechanics of Fracture Processes. Seeheim, Germany, 1999, P. 78-80

88. Rose L.R.F. Microcrack interaction with a main crack // Intern. J. Fract. 1986, V.31, N.I, P.233-242

89. Rubinstein A.A. Semi-infinite macrocrack interaction with microcrack array // Intern. J. Fract. 1985, v.27, N.I, P.I 13-119

90. Rubinstein A.A. Macro-microdefect interaction // Trans. ASME. J. Appl. Mech, 1986, v.53, N.I, P.505 -510

91. Rudnicki J.W. Geomechanics // Intern. J. Sol. Struct. 2000, v.37, P. 349-358

92. Tamuzs V., Romalis N., Petrova V. Fracture of Solids with microdefects. N.Y.: NOVA Science Publ. Inc., 2000, 247 P.103

93. Tsamasphyros G., Eftaxiopontlos DA. An iterative integral equation formulation for the macrocrack-array of microcracks interaction problem //Arch. Appl. Mech. 1996, v. 66., P. 434-446

94. Wang Y.H. On calculation of SIFs for edge multiple cracks // International Journal of Fracture, 2000, P. 21-25

95. Willmore T.J. The distribution of stress in the neighbourhood of a crack // Quart.J. Mech. Appl. Math. 1949, v.2., N.I, P. 53-64104