Метод структурного моделирования в механике обобщенных континуумов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Павлов, Игорь Сергеевич

• Павлов, Игорь Сергеевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Павлов, Игорь Сергеевич

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Глава 1. Идеологическая основа

метода структурного моделирования

1.1. Обзор литературы

1.1.1. Дискретные модели сред без учета микровращений

1.1.2. Континуальные модели сред с вращательными степенями свободы частиц

1.1.3. Экспериментальные исследования динамических свойств сред

с микроструктурой

1.2. Способы описания различных масштабных уровней

1.3. Границы применимости законов классической механики

к моделированию обобщенных континуумов

1.3.1. Квантовое и классическое описание микрочастиц

1.3.2. Соотношение неопределенности

1.3.3. Микрочастица как локализованный волновой пакет

1.3.4. Принцип соответствия

1.4. Принципы структурного моделирования

1.5. Выводы по главе

Глава 2. Двумерная решетка с плотной упаковкой частиц

2.1. Дискретная модель среды с гексагональной симметрией

2.2. Континуальное приближение

2.3. Влияние микроструктуры на акустические свойства среды

2.4. Дисперсионные свойства нормальных волн

2.4.1. Дисперсионные свойства дискретной модели

2.4.2. Дисперсионные свойства континуальной модели

2.5. Выводы по главе

Глава 3. Двумерная решетка с неплотной упаковкой частиц

3.1. Дискретная модель анизотропной среды из эллипсовидных частиц

3.2. Континуальное приближение

3.2.1. Зависимость анизотропии среды от микроструктуры

3.2.2. Квадратная решетка из круглых частиц

3.2.3. Цепочка из частиц эллипсовидной формы

3.3. Влияние микроструктуры на акустические свойства среды

3.3.1. Зависимость скоростей упругих и ротационных волн от формы частиц в случае одномерной решетки

3.3.2. Зависимость акустических характеристик двумерной анизотропной среды от параметров микроструктуры

3.4. Дисперсионные свойства нормальных волн

3.4.1. Дисперсионные свойства дискретной модели

3.4.2. Дисперсионные свойства континуальной модели

3.5. Выводы по главе

Глава 4. Применение двумерных моделей сред с плотной и неплотной упаковками частиц для решения задач параметрической идентификации

4.1. Редуцированные (градиентные) модели теории упругости

4.2. Задачи идентификации материалов

4.2.1. Идентификация среды с гексагональной симметрией

4.2.2. Идентификация среды с кубической симметрией

4.3. Сопоставление с континуальной теорией Коссера

4.4. Влияние микроструктуры материала на коэффициент Пуассона

4.5. Выводы по главе

Глава 5. Нелинейные модели сред с микроструктурой

5.1. Прямоугольная решетка из эллипсовидных частиц

5.2. Оценка коэффициентов нелинейностей математической модели квадратной решетки из круглых частиц

5.3. Квадратная решетка из нанотрубок

5.3.1. Дискретная модель

5.3.2. Континуальное приближение

5.3.3. Взаимосвязь между макромодулями материала и параметрами

его внутренней структуры

5.4. Однослойная среда из сферических частиц

5.4.1. Дискретная модель

5.4.2. Континуальное приближение

5.4.3. Зависимость макропараметров среды от параметров

ее микроструктуры

5.5. Выводы по главе

Глава 6. Распространение и взаимодействие нелинейных волн

в обобщенных континуумах

6.1. Локализованные волны деформации в двумерной кристаллической среде с неплотной упаковкой частиц

6.2. Сдвиговая волна в условиях продольной статической деформации

6.3. Самомодуляция сдвиговых волн деформации, распространяющихся в одномерной зернистой среде

6.3.1. Области модуляционной неустойчивости

6.3.2. Вид волновых пакетов в случае

модуляционной неустойчивости

6.4. Неупругое взаимодействие и расщепление солитонов деформации, распространяющихся в зернистой среде

6.4.1. Солитонные решения

6.4.2. Дозвуковые солитоны

6.4.3. Сверхзвуковые солитоны

6.5. Выводы по главе

Заключение. Основные результаты работы

Литература

Приложения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод структурного моделирования в механике обобщенных континуумов»

Введение

В настоящее время интенсивно развиваются технологии по созданию перспективных конструкционных материалов с микро- и наноструктурой. Структура среды и, в частности, размер зерна - один из важнейших показателей качества материалов, непосредственно влияющих на их прочностные и вязкоупругие характеристики [101, 103].

Для прогноза физико-механических свойств таких материалов и адекватного описания динамических (волновых) процессов в них необходимы математические модели, учитывающие наличие у среды нескольких масштабов (структурных уровней), их самосогласованное взаимодействие и возможность передачи энергии с одного уровня на другой. Обычно выделяют следующие масштабы [22, 231]: атомарный или

микроскопический уровень (характерные размеры - ангстремы и

^ 8 6 нанометры), мезоскопический уровень (от 10" до 10" метров),

субмакроскопический уровень (от 10"6 до 10"4 метров) и макроскопический

уровень (свыше 10~4 метров). Мысленное разбиение материала на части

ограничено некоторым пределом, выражающимся в том, что на данном

масштабном уровне происходит качественное изменение физических

свойств, т.е. проявляется размерный эффект [235]. При изучении волновых

процессов в материалах размерные эффекты начинают проявляться, когда

характерный пространственный масштаб эффекта (например, длина упругой

или электромагнитной волны) становится соизмерим с характерным

пространственным масштабом материала - размером зерна, периодом

решетки и т.п. По мере накопления знаний о микроструктуре материала

происходит переход на новый уровень знаний - создается теория,

позволяющая с новых позиций объяснить механическое поведение

материала. Следует подчеркнуть, что реальные значения «микроструктуры»

среды в конкретной задаче могут лежать как в области микрон, так и

нанометров или ангстрем. Однако с точки зрения методологии

теоретического исследования важны не столько их абсолютные значения,

сколько малость одних масштабов по отношению к другим.

При математическом моделировании сред с микроструктурой различают два подхода: "от микро к мезо" и от "макро к мезо". Первый заключается в переходе от моделей атомарного уровня к моделям

мезомасштаба и опирается на законы квантовой теории. В этом случае среда рассматривается как дискретная система частиц, связанных силами взаимодействия, найденными из "первых принципов" (квантовых постулатов). До середины ХХ-го века господствовало мнение о том, что квантовая механика, по сути, является механикой микромира. Будучи построенной на основе квантовых постулатов, она никак не проявляется на макромасштабах, где "работает" механика сплошных сред, строящаяся на основе законов сохранения массы, импульса, кинетического момента, и на законах термодинамики (макроскопические первые принципы). Первым фундаментальным шагом квантовой механики в область макроскопических явлений было создание Л.Д. Ландау в 1941 году гидродинамической теории сверхтекучести гелия-Н и идея Л. Онсагера (1948 г.) о квантовании в нем вихревых движений [82]. Следующий шаг в этом направлении был сделан А.Ф. Андреевым и И.М. Лифщицем, разработавшими в 1969 г. феноменологическую теорию дефектов в квантовых кристаллах [3]. В ней дефекты рассматривались как делокализованные возбуждения (дефектоны), практически свободно движущиеся сквозь кристалл. Кристалл с дефектонами не является ни жидкостью, ни твердым телом. В нем возможны два разных типа движений. Первый связан с малыми колебаниями узлов решетки около положений равновесия и описывается классическими уравнениями механики упругого тела. Второй тип движения характерен для жидкости и связан с квантовой диффузией, приводящей к переносу массы дефектонами при неподвижных узлах решетки. В настоящее время подобные исследования составляют предмет квантовой макрофизики [176].

Второй подход к моделированию сред с микроструктурой предполагает переход от описания среды на макроуровне к моделям мезомасштаба. В его рамках построение математических моделей таких сред идет в трех направлениях. Первое из них - континуально-феноменологическое - связано с построением обобщенных континуальных моделей {обобщенных континуумов) механики деформируемого твердого тела и опирается на законы классической физики. Оно базируется на расширении понятия представительного объема среды, учета ротационных степеней свободы микрочастиц (полярности материала), аффинных деформаций мезообъема и нелокальности материала [86, 203]. Полярность

указывает на то, что допускается жесткое вращение, в общем случае не связанное с полем перемещений, а нелокальность свидетельствует о зависимости физических свойств материала от влияния частиц окружения. Континуальные теории строятся как дедуктивные, то есть таким образом, чтобы все ее результаты выступали как следствия единой системы фундаментальных предположений - аксиом (или постулатов). Преимуществом такого построения являются логическая непротиворечивость, строгость вывода различных частных вариантов моделей и возможность последовательной классификации теорий по выбранным признакам. В развитие этого направления решающий вклад внесли работы Э. и Ф. Коссера [199], К. Трусдела и Р. Тупина [259, 260], Э.Л. Аэро и Е.В. Кувшинского [9, 78], Р.Миндлина [236], К. Эрингена [203206], В.Новацкого [108], В.А.Пальмова [129, 130], В.И. Ерофеева [43, 44, 206], А.И. Потапова [86, 136], В.П. Матвеенко и И.Н. Шардакова [79-80], С.А. Лурье [11] и др. В настоящее время для моделирования структурно-неоднородных материалов широкое распространение получили обобщенные микрополярные теории типа континуума Коссера [180, 234, 237]. Однако в эти теории входит большое число материальных констант, требующих экспериментального определения и связь которых со структурой материала не ясна.

Такого недостатка лишено второе направление - структурное моделирование, которое и является предметом исследований данной диссертационной работы. Построение структурной модели начинается с выделения в массиве материала, представленного регулярной или квазирегулярной решеткой из частиц конечных размеров, некоторого минимального объема - структурной ячейки (аналог ячейки периодичности в кристаллическом материале), - способной отображать основные черты макроскопического поведения этого материала [126, 189, 191, 218]. Как правило, структурная ячейка представляет собой частицу, поведение которой характеризуется взаимодействием с окружением и описывается кинематическими переменными [30, 54-57, 197, 249]. Роль таких тел-частиц могут играть домены, зерна, фуллерены, нанотрубки, кластеры из наночастиц и т.п. Иногда частицы представляются как материальные точки - т.е. центры сил, наделенные свойствами массы, заряда и т.п. Предполагается, что силы взаимодействия быстро убывают с расстоянием и

ими можно пренебречь, если расстояние между точками превышает «радиус молекулярного действия». Это направление ведет свое начало с работ М. Борна по теории кристаллических решеток и до последнего времени развивалось, в основном, в рамках физики твердого тела [15, 16]. В России основоположником структурного моделирования следует признать ученика А.Г. Столетова профессора МГУ Николая Павловича Кастерина (1869-1947 гг.) [64, 65], исследовавшего этим методом дисперсию звуковых волн. Особое внимание в методе структурного моделирования уделяется изучению распространения и взаимодействия элементарных возбуждений -квазичастиц (фононов, магнонов, экситонов и др.) и различного рода дефектам, присущим реальным телам [14, 61]. В рамках этого направления органично «уживаются» как квантовые, так и классические подходы к анализу динамических процессов [72]. В отличие от континуума, в структурные модели явным образом входят геометрические параметры структуры - размеры и форма частиц, от которых в конечном итоге зависят и эффективные модули упругости различного порядка [126]. Меняя эти параметры, мы можем управлять физико-механическими свойствами среды, что принципиально нельзя сделать в рамках континуального описания. Прозрачность связи структуры с макропараметрами среды открывает возможность целенаправленного проектирования материалов с заданными свойствами. Недостатками структурного моделирования являются отсутствие универсальности процесса моделирования и сложность учета нелинейных и нелокальных эффектов взаимодействия. Существенный вклад в развитие метода структурного моделирования внесли работы И.А. Кунина [81], Е. Кренера [225], А. Аскара [181-183], Ж. Пуже и Ж. Можена [99, 249251, 255], Э.Л. Аэро и А.Н. Булыгина [8, 9], Н.Ф. Морозова и A.M. Кривцова [54-57, 73-75, 100], Д.А. Индейцева [60], Л.И. Маневича и В.В. Смирнова [95, 136, 217, 255], А. Суйкера, A.B. Метрикина и Р. Де Борста [257-258], А.И. Потапова [87, 124, 126, 136-138, 243-247], B.C. Шоркина [178], A.A. Васильева, C.B. Дмитриева и А.Е. Мирошниченко [136, 261-263] и др.

Третье направление связано с методом статистического усреднения и применяется, главным образом, для построения моделей среды с произвольной упаковкой частиц [195]. В рамках этого направления сначала составляются уравнения микродвижений - уравнения движения микрочастиц с учетом их взаимодействия с окружением, а затем с помощью

осреднения вводят «макропеременные», описывающие различные типы коллективных форм движения среды и осредненные динамические уравнения [83, 194, 195]. Осредненные уравнения движения имеют много общего с обобщенными континуальными моделями. Это направление включает в себя элементы первых двух, а его достоинством является возможность моделирования динамики неупорядоченных систем. К недостаткам же относится значительная сложность вывода осредненных уравнений движения и вычисления входящих в них констант. В развитие этого направления заметный вклад внесли работы В. А. Ломакина, A.A. Ильюшина [58, 59, 89], В.Н. Николаевского [83, 107], Т.Д. Шермергора [177] и др.

Целью данной диссертационной работы является развитие теоретических основ метода структурного моделирования и построение с его помощью иерархии математических моделей сред с микроструктурой для различных периодических структур, частот и длин волн. Разрабатываемые модели должны давать возможность устанавливать взаимосвязь между макропараметрами среды и параметрами ее внутренней структуры.

Научная новизна диссертационной работы определяется полученными оригинальными результатами:

1. Развиты теоретические основы метода структурного моделирования, который учитывает параметры кристаллической решетки, размеры частиц среды, их форму и константы силовых взаимодействий между ними, и поэтому является наиболее подходящим методом для изучения влияния размерных эффектов на физико-механические свойства материала.

2. В дискретном и континуальном приближениях построены математические модели кристаллических (зернистых) сред с плотной и неплотной упаковками частиц. Установлена взаимосвязь в аналитическом виде между макропараметрами этих сред и параметрами их микроструктуры. Изучено влияние размеров и формы частиц на скорости распространения в среде упругих и ротационных волн. Продемонстрирована возможность вычисления параметров микроструктуры среды и

эффективных модулей макроупругости по измерениям скоростей упругих волн, распространяющихся в различных направлениях.

3. Проведены оценки, показывающие, что скорость волны микровращений в кристаллических структурах, как правило, меньше скоростей трансляционных волн, а ее критическая частота лежит в гиперзвуковом диапазоне. Показано, что в приближении моментной теории упругости (при частотах ниже критической), когда можно пренебречь ротационными степенями свободы, "память" о зернистой структуре среды остается в виде зависимостей между макроскопическими характеристиками среды и параметрами микромодели.

4. Получены нелинейные уравнения динамики для квадратных решеток из круглых частиц с тремя степенями свободы, стержней (пять степеней свободы) и сферических частиц (шесть степеней свободы). Найдены зависимости коэффициентов нелинейностей этих моделей от параметров микроструктуры. Продемонстрирована возможность теоретической оценки этих коэффициентов по известным экспериментальным данным.

5. С помощью аналитических исследований и численного моделирования продемонстрирована возможность формирования в обобщенных континуумах интенсивных пространственно-локализованных волн деформации: одномерных солитоноподобных волн и плоских двумерных солитонов. Исследована устойчивость таких волн как по отношению к малым возмущениям, так и по отношению к взаимодействию с себе подобными волнами. Установлены зависимости волновых параметров (амплитуда, скорость, ширина, полярность солитонов) от параметров микроструктуры материала. Показано, что сценарий взаимодействия одномерных сверхзвуковых солитоноподобных волн зависит от относительной скорости столкновения. При малой скорости столкновения происходит обменное взаимодействие. При попутном столкновении со сверхзвуковой скоростью могут образоваться один или два пакета квазигармонических волн, распространяющихся в противоположные стороны. Если скорость столкновения превосходит в несколько раз скорость звука, то и при встречном, и при попутном взаимодействиях наблюдается расщепление солитона на ряд вторичных солитонов с образованием пакетов квазигармонических волн.

Положения, выносимые на защиту

1. Подход к построению математических моделей сред с микроструктурой, учитывающий параметры кристаллической решетки, размеры частиц среды, их форму и константы силовых взаимодействий между ними.

2. Иерархия математических моделей обобщенных континуумов для различных периодических структур, частот и длин волн.

3. Установленная взаимосвязь между макропараметрами рассмотренных в работе обобщенных континуумов и параметрами их внутренней структуры.

4. Проведенные оценки скорости и критической частоты ротационных волн в зернистых средах с гексагональной и кубической симметрией.

5. Проведенные оценки коэффициентов нелинейностей в зернистой среде с неплотной упаковкой частиц.

6. Результаты аналитических и численных исследований распространения и взаимодействия сильно нелинейных локализованных волн в зернистой среде из круглых частиц.

Практическая значимость работы состоит в следующем.

Построенные в работе математические модели сред с микроструктурой позволяют не только получить представление о качественном влиянии локальной структуры на эффективные модули упругости соответствующей среды, но и проводить количественные оценки этих величин. Найдены аналитические выражения, позволяющие по измерению скоростей акустических волн, распространяющихся вдоль разных кристаллографических направлений, определить упругие модули зернистого материала. Для некоторых материалов получена оценка скорости ротационной волны и коэффициентов нелинейностей. Проведенные исследования могут найти применение при проектировании перспективных конструкционных материалов с заранее заданными физико-механическими свойствами.

Также благодаря использованному в работе методу структурного моделирования показано, что в двумерной кристаллической среде возможно распространение плоского солитона деформации, полярность и

устойчивость которого относительно поперечных возмущений зависят от параметров микроструктуры среды.

Работы, результаты которых вошли в диссертацию, проводились по темам из основных заданий НИР: "Волны деформации в структурно-неоднородных материалах и элементах конструкций" (2001-2005 гг., № госрегистрации 0104.0 002456, науч. рук. Ерофеев В.И., Потапов А.И.), "Разработка новых принципов акустической диагностики структурно-неоднородных, композитных, микро- и нанокристаллических материалов и элементов конструкций" (2006-2008 гг., № госрегистрации 01.2007 02281, науч. рук. Ерофеев В.И., Мишакин В.В.), "Разработка методов повышения ресурса и надежности сложных технических систем путем применения наноструктурных материалов и градиентных защитных покрытий, диагностики на ранних стадиях повреждения и мониторинга состояния материалов и конструкций в процессе эксплуатации" (2009-2012 гг., № госрегистрации 01200957043, науч. рук. - акад. Митенков Ф.М.). Кроме того, исследования по теме диссертации были поддержаны международным грантом INTAS "Nonlinear wave dynamics of structurally-sensitive media: synergetic approach to analysis of advanced materials" (№ проекта 96-2370), грантами РФФИ (№№ проектов 95-02-05360, 00-02-16582-а, 01-01-00386-а, 01-02-06237-мас, 04-02-17156-а, 07-02-00172-а, 09-02-97053-р_поволжье_а, 09-08-00827-а, 09-08-97032-р_поволжье_а, 10-08-01108-а, 12-08-90032-Бел_а, 13-08-97103-р_поволжье_а), грантом Президента РФ для поддержки ведущих научных школ Российской Федерации (проект № НШ-1638.2003.8, научный руководитель - Потапов А.И.), грантом Федерального агентства по науке и инновациям для молодых кандидатов наук (шифр РИ-19.0/002/129, тема "Исследование зависимости физико-механических свойств перспективных материалов от их структуры в микро- и нанометровом масштабах", государственный контракт № 02.442.11.7123, научный руководитель - Павлов И.С.).

Методы исследований. Для построения и анализа математических моделей сред с микроструктурой использовались вариационные принципы механики сплошных сред, математический аппарат теории упругости и динамики кристаллической решетки. Для исследования процессов распространения и взаимодействия нелинейных локализованных волн

применялись асимптотические методы математической физики и теории волн, в частности, метод многих масштабов.

Достоверность полученных в работе результатов обеспечивается корректным применением теоретических методов исследования, согласованием полученных результатов с известными экспериментальными данными и их сопоставлением с аналогичными результатами, полученными другими авторами.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на международном конгрессе по прикладной математике ICIAM'99 (г. Эдинбург, Великобритания, 1999 г.), 4-й европейской конференции EUROMECH по механике твердого тела (г. Мец, Франция, 2000 г.), 16-м международном симпозиуме по нелинейной акустике ISNA (г. Москва, Россия, 2002 г.), международном семинаре по геометрии и механике гранулированных материалов (г. Дрезден, Германия,

2002 г.), всемирном конгрессе по ультразвуку WCU'03 (г. Париж, Франция,

2003 г.), VI международном конгрессе по математическому моделированию (г. Нижний Новгород, Россия, 2004 г.), международных летних школах-конференциях "Advanced problems in mechanics" (г. С-Петербург, Репино, Россия, 2003, 2008, 2010, 2012, 2013 гг.), коллоквиуме EUROMECH 468 "Многомасштабное моделирование в механике твердого тела" (г. С-Петербург, Репино, Россия, 2005 г.), IX и X Всероссийских съездах по теоретической и прикладной механике (г. Нижний Новгород, 2006, 2011 гг.), 10-ой Зимней школе по механике сплошных сред (г. Пермь, 1995 г.), Всероссийских конференциях "Нелинейные колебания механических систем" (г. Нижний Новгород, 1999, 2002, 2005, 2008, 2012 гг.), XIV Симпозиуме "Динамика виброударных (сильно нелинейных) систем" (г. Москва-Звенигород, 2003 г.), 2-ой научно-технической конференции "Проблемы машиноведения" (г. Нижний Новгород, 2001 г.), Всероссийских научно-технических конференциях по волновой динамике машин и конструкций (г. Нижний Новгород, 2004, 2007 гг.), Всероссийской научно-технической конференции "Фундаментальные проблемы машиноведения: новые технологии и материалы" (г. Нижний Новгород, 2006 г.), Всероссийской конференции "Многомасштабное моделирование процессов и структур в нанотехнологиях" (г. Москва, 2008 г.), Всероссийской

конференции "Проблемы механики и акустики сред с микро- и наноструктурой: НАНОМЕХ-2009" (г. Нижний Новгород, 2009 г.), XVIII Международном симпозиуме "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред" им. А.Г. Горшкова (г. Москва-Ярополец, 2012 г.), конференции "Проблемы машиноведения", посвященной 70-летию ИМАШ РАН (г. Москва, 2008 г.), Всероссийском совещании-семинаре "Инженерно-физические проблемы новой техники" (г. Москва, 2012 г.), сессиях Российского акустического общества (г. Нижний Новгород, 1998, 2000, 2004, 2011 гг.), школах-конференциях "Нелинейные волны" (г. Нижний Новгород, Бор, 1995, 2004, 2006 гг.), научных конференциях по радиофизике (г. Нижний Новгород, 2012, 2013 гг.), научном семинаре "Математическое моделирование динамики систем и процессов управления " (г. Нижний Новгород, 2013 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 63 работы, в том числе 26 научных статей в изданиях, рекомендуемых ВАК Минобрнауки РФ для опубликования результатов докторских диссертаций, а также по 1 главе в 2 коллективных монографиях. Некоторые результаты диссертационной работы вошли в цикл работ на тему "Исследование процессов распространения и взаимодействия упругих волн в твердых телах со сложной структурой", за который автор в 2001 году был награжден медалью Российской академии наук с премией для молодых ученых (конкурс 2000 г.)".

Личный вклад автора. Представленные в работе научные результаты получены лично автором, либо при его непосредственном участии. В работах с соавторами автор участвовал в постановке задач, в аналитических и численных расчетах по теме диссертационной работы и обсуждении результатов. Во всех случаях использования результатов других исследований в работе приведены ссылки на источники информации.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы и приложения. Объем диссертации составляет 221 страницу, включая 51 рисунок, 7 таблиц и список литературы из 268 наименований.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, сформулированы цель и основные положения, выносимые на защиту,

научная новизна, практическая значимость полученных результатов и их достоверность, а также приведена апробация работы.

В главе 1 приводится обзор литературы по исследуемой тематике, анализируются методы описания сплошной среды на различных масштабных уровнях, формулируются принципы структурного моделирования, цели и задачи исследования. Обосновывается возможность применения законов классической механики для теоретического описания сред с микро- и наноструктурой. В соответствии с изложенными в этой главе принципами структурного моделирования в следующих главах диссертации будет построена иерархия математических моделей сред с микроструктурой (обобщенных континуумов) для различных периодических структур, частот и длин волн. Оговариваются границы применимости таких моделей. В частности, подчеркивается, что частицы среды считаются недеформируемыми и однородными, не обладающими собственной внутренней структурой, присутствующей в реальных материалах. Кроме того, в данной работе не рассматриваются диссипация волн и эффекты отражения волн от границы среды, т.к. все моделируемые среды здесь считаются безграничными.

В главе 2 разработаны дискретная и континуальная модели кристаллической среды, состоящей из круглых частиц, с гексагональной симметрией. В такой среде каждая частица диаметром обладает двумя трансляционными и одной ротационной степенями свободы. Учитывается взаимодействие частицы с шестью ближайшими соседями по решетке, центры масс которых лежат в вершинах правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса а {первая координационная сфера). Для моделирования центральных и нецентральных сил взаимодействия между частицами используется так называемая "пружинная" модель. Взаимодействия частиц моделируются упругими пружинами трех типов: центральными, нецентральными и "диагональными". Установлена в аналитическом виде взаимосвязь между макропараметрами среды и параметрами ее микроструктуры (к последним относятся жесткости пружин, диаметр частицы и период решетки). Проанализированы дисперсионные свойства дискретной и континуальной моделей. Показано, что если в длинноволновом (континуальном) приближении (когда характерная длина акустической волны много больше периода решетки) гексагональная

решетка с круглыми частицами изотропна по акустическим свойствам, то в коротковолновом (дискретном) приближении она анизотропна, причем поперечные волны быстрее становятся анизотропными, чем продольные. Продольная мода в континуальном приближении не обладает дисперсией, а ротационная имеет критическую частоту, ниже которой она является нераспространяющейся. Анализ коэффициента распределения поперечных и ротационных колебаний в нормальных модах показал, что поперечная и ротационная волны сохраняют свою индивидуальность лишь вдали от точки синхронизма. В ее окрестности их нельзя разделить и необходимо рассматривать как связанное состояние.

В главе 3 построены дискретная и континуальная модели анизотропной кристаллической среды с неплотной упаковкой эллипсовидных частиц. Установлена в аналитическом виде взаимосвязь между макропараметрами среды и параметрами ее микроструктуры. В предельном случае прямоугольная решетка из эллипсовидных частиц вырождается в квадратную решетку из круглых частиц. Но даже она, в отличие от континуальной модели, построенной в предыдущей главе, является анизотропной по акустическим свойствам. Полученные уравнения динамики для прямоугольной, квадратной и гексагональной решеток идентичны между собой и аналогичны хорошо известным уравнениям динамики двумерного континуума Коссера, состоящего из центрально-симметричных частиц. Отличия между всеми этими уравнениями наблюдаются только в коэффициентах, зависящих от формы и размеров частиц, параметров их взаимодействия и структуры решетки. Проанализировано влияние формы и размеров частиц на акустические характеристики среды. Изучены дисперсионные свойства дискретной и континуальной моделей. В частности, показано, что дисперсионные кривые континуальной модели квадратной решетки качественно совпадают с экспериментально полученными [104] зависимостями энергии магнонов и фононов в ферромагнетике от величины волнового вектора при

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Павлов, Игорь Сергеевич, 2013 год

Литература

1. Аболиньш Я.Я., Гросс Е.Ф., Шултин A.A. Оптико-акустический эффект в кристаллах // ЖТФ. 1958. Т. 28. С. 2255.

2. Адамов A.A. О вычислительных эффектах при решении краевых задач для изотропного однородного континуума Коссера // Труды VI Российской научно-технической конференции "Механика микронеоднородных материалов и разрушение". Екатеринбург, 2010. http://book.uraic.ru/proiect/conf/txt/008/2010/mmp2.htm

3. Андреев А.Ф., Лифшиц И.М. Квантовая теория дефектов в кристаллах // ЖЭТФ. 1969. Т. 56. С. 2057-2071.

4. Ансельм А.И., Порфирьева H.H. Ориентационно-трансляционные волны в молекулярных кристаллах // ЖЭТФ. 1949. Т. 19. № 5. С.438-446.

5. Ахиезер А.И., Барьяхтар В.Г., Иласов К.Б., Пелетминский C.B. Вращательная инвариантность, связанные магнитоупругие волны и магнитоакустический резонанс // Успехи физических наук. 1984. Т. 143. Вып. 4. С. 673-674.

6. Ахиезер А.И., Барьяхтар В.Г., Пелетминский C.B. Спиновые волны. М.: Наука. 1967. 368 с.

7. Аэро Э.Л. Существенно нелинейная микромеханика среды с изменяемой периодической структурой // Успехи механики. 2002. Т.1. №3. С. 130-176.

8. Аэро Э.Л., Булыгин А.Н. Сильно нелинейная теория формирования наноструктуры вследствие упругих и неупругих деформаций кристаллических тел // Известия РАН. Механика твердого тела. 2007. №5. С. 170-187.

9. Аэро Э.Л., Кувшинский Е.В. Основные уравнения теории упругости сред с вращательным взаимодействием частиц // Физика твердого тела. 1960. Т. 2. № 7. С. 1399-1409.

Ю.Багдоев А.Г., Ерофеев В.И., Шекоян A.B. Линейные и нелинейные волны в диспергирующих сплошных средах. - М.: Физматлит, 2009. -320 с.

11.Бадамшина Э.Р., Эстрин Я.И., Кулагина Г.С., Лурье С.А., Соляев Ю.О. Моделирование аномальных механических свойств полиуретана, модифицированного углеродными однослойными нанотрубками //

Механика композиционных материалов и конструкций. 2010. Т. 16. №4. С. 551-562.

12.Бланк В.Д., Левин В.М., Прохоров В.М., Буга С.Г., Дубицкий Г.А., Серебряная Н.Р. Упругие свойства ультратвердых фуллеритов // ЖЭТФ. 1998. Т. 114. С. 1364-1374.

1 З.Богданов А.Н., Скворцов А.Т. Нелинейные сдвиговые волны в зернистой среде // Акустический журнал. 1992. Т.38. Вып. 3. С.408-412.

14.Богомолов В.Н., Парфеньева J1.C., Смирнов И.А., Мисиорек X., Ежовский А. Прохождение фононов через фотонные кристаллы -среды с пространственной модуляцией акустических свойств // Физика твердого тела. 2002. Т. 44. Вып.1. С. 175-179.

15.Борн М., Кунь X. Динамическая теория кристаллических решеток. Изд-во иностр. лит., М.: 1958. 488 с.

16.Бриллюэн Л., Пароди М. Распространение волн в периодических структурах. Перев. с француз, под ред. П.А. Рязина, М., ИЛ, 1959.

17.Буга С.Г. Физические свойства углеродных наноматериалов и легированных синтетических монокристаллов алмаза // Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.04.07 - физика конденсированного состояния. Москва, февраль 2012 г.

18.Быков В.Г. Уединенные сдвиговые волны в зернистой среде // Акустический журнал. 1999. Т.45. №2. С. 169-172.

19.Ванин Г.А. Градиентная теория упругости // Известия РАН. Механика твердого тела. 1999. № 1. С.46-53.

20.Васильев A.A., Дмитриев C.B., Павлов И.С. Структурное и континуальное моделирование материалов с учетом конечности размера частиц // Перспективные материалы. 2011. Спец. вып. № 12. С. 87-91.

21.Вахненко В. А. Диагностика свойств структурированной среды длинными нелинейными волнами // ПМТФ. 1996. Т.37. №5. С. 35-42.

22.Введение в микромеханику: [пер. с япон.] / под ред. М. Онами. - М.: Металлургия, 1987. - 280с.

23.Весницкий А.И. Избранные труды по механике / отв.ред. В.И. Ерофеев, Е.Е. Лисенкова; Нижегородский филиал Института

машиноведения им. A.A. Благонравова РАН. - Нижний Новгород: ИД «Наш дом», 2010. -248 с.

24.Ветров С .Я., Тимофеев И.В., Рудакова Н.В. Зонная структура резонансного двумерного фотонного кристалла // Физика твердого тела. 2010. Т. 52. Вып. 3. С. 489-494.

25.Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. М., Наука, 1979.

26.Витязь П.А., Шелехина В.М., Прохоров O.A.. Гапоненко Н.В. Получение псевдокристаллических материалов на основе кремнезема // Вестник НАНБ, сер. физ.-тех. Наук. 2002. №1. С. 16-20.

27.Вонсовский C.B. Магнетизм. М.: Наука, 1971. - 758 с.

28.Герасимов С.И., Ерофеев В.И., Солдатов И.Н. Волновые процессы в сплошных средах. Саров: Изд-во РФЯЦ-ВНИИЭФ. 2012. - 260 с.

29.Головнева Е.И., Головнев И.Ф., Фомин В.М. Особенности применения методов механики сплошных сред для описания наноструктур // Физическая мезомеханика. 2005. Т. 8. №5. С. 47-54.

30.Гольдштейн Р.В., Ченцов A.B. Дискретно-континуальная модель нанотрубки // Известия РАН. Механика твердого тела. 2005. № 4. С. 57-74.

31.Грин А.Е. Микроструктура материалов и мультиполярная механика сплошных сред // Сб. перев. «Механика», 1966. №5 (99). С. 118-122.

32.Гросс Е.Ф. Исследования по оптике и спектроскопии кристаллов и жидкостей // Избранные труды. Изд. Наука, Ленинград, 1976. - 448с.

33.Гросс Е.Ф. Рассеяние света и релаксационные явления в жидкостях // Доклады АН СССР. 1940. Т. 28. № 9. С. 788-793.

34.Гросс Е.Ф., Коршунов A.B. Вращательные колебания молекул в кристаллической решетке органических веществ и спектры рассеяния // ЖЭТФ. 1946. Т. 16. № 1. С. 53-59. В книге [32], с. 100-105.

35.Гросс Е.Ф., Коршунов A.B., Селькин В.А. Спектры комбинационного рассеяния малых частот кристаллов пара-, мета- и ортодииодбензолов // ЖЭТФ. 1950 Т. 20. С. 293-296.

36.Гуляев Ю.В., Лагарьков А.Н., Никитов С.А. Метам атериалы: фундаментальные исследования и перспективы применения // Вестник РАН. 2008. Т.78. № 5. С. 438-457.

37.Гусев А.И., Ремпель A.A. Нанокристаллические материалы. - М.: Физматлит. 2001.-224 с.

38.Давыдов A.C. Квантовая механика. - М.: Наука, Физматлит, 1973. -704 с.

39.Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.: Мир, 1988. - 694 с.

40.Драгунов Т.Н., Павлов И.С., Потапов А.И. Ангармонические взаимодействия упругих и ориентационных волн в одномерных кристаллах // Физика твердого тела. 1997. Т. 39. № 1. С. 137-144.

41. Дьячков П.Н. Углеродные нанотрубки: строение, свойства, применения. М.: БИНОМ Лаб. знаний, 2006.

42.Елецкий A.B. Механические свойства углеродных наноструктур и материалов на их основе // Успехи физических наук. 2007. Т. 177. № 3. С. 233-274.

43.Ерофеев В.И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой. - М.: Изд-во МГУ. 1999. - 328 с.

44.Ерофеев В.И. Братья Коссера и механика обобщенных континуумов // Вычислительная механика сплошных сред. 2009. Т.2. № 4. С.5-10.

45.Ерофеев В.И., Кажаев В.В., Павлов И.С. Самомодуляция сдвиговых волн деформации, распространяющихся в одномерной зернистой среде // Нелинейный мир. 2012. Т. 10. № 9. С. 603-613.

46.Ерофеев В.И., Кажаев В.В., Павлов И.С. Неупругое взаимодействие и расщепление солитонов деформации, распространяющихся в зернистой среде // Вычислительная механика сплошных сред. 2013. Т. 6. №2. С. 140-150.

47.Ерофеев В.И., Землянухин А.И., Катсон В.М., Шешенин С.Ф. Формирование солитонов деформации в континууме Коссера со стесненным вращением // Вычислительная механика сплошных сред. 2009. Т. 2. № 4. С. 67-75.

48.Ерофеев В.И., Землянухин А.И., Катсон В.М., Мальханов А.О. Нелинейные продольные локализованные волны в пластине, взаимодействующей с магнитным полем // Вычислительная механика сплошных сред. 2010. Т.З. № 4. С. 5-15.

49.Ерофеев В.И., Павлов И.С. Локализованные волны деформации в двумерной кристаллической среде с неплотной упаковкой частиц //

Проблемы прочности и пластичности: Межвуз. сборник. Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета, 2012. Вып. 74. С. 110-123.

50.Ерофеев В.И., Павлов И.С., Леонтьев Н.В. Математическая модель для исследования нелинейных волновых процессов в двумерной зернистой среде из сферических частиц // Механика композиционных материалов и конструкций. 2013. Т. 19. № 3. С. 299-313.

51.Ерофеев В.И., Родюшкин В.М. Наблюдение дисперсии упругих волн в зернистом композите и математическая модель для ее описания // Акустический журнал. 1992. Т. 38. № 6. С. 1116-1117.

52.3орский В.Г., Рогуля Д., Рымаж Ч. Нелокальные континуальные модели дискретных систем. // Успехи механики. 1979. Т. 2. Вып. 1. С. 83-108.

53.Зубов В.Г., Фирсова М.М. Об особенностях упругого поведения кварца в области a-ß перехода // Кристаллография. 1962. Т. 7. № 3. С. 469-471.

54.Иванова Е.А., Кривцов A.M., Морозов Н.Ф. Получение макроскопических соотношений упругости сложных кристаллических решеток с учетом моментных взаимодействий на микроуровне // Прикладная математика и механика. 2007. Т. 71. №4. С. 595-615.

55.Иванова Е.А., Кривцов A.M., Морозов Н.Ф., Фирсова А.Д. Описание кристаллической упаковки частиц с учетом моментных взаимодействий // Известия РАН. Механика твердого тела. 2003. № 4. С. 110-127.

56.Иванова Е.А., Кривцов A.M., Морозов Н.Ф., Фирсова А.Д. Учет моментного взаимодействия при расчете изгибной жесткости наноструктур // Доклады Академии наук. 2003. Т. 391. N 6. С. 764-768.

57.Иванова Е.А., Морозов Н.Ф., Семенов Б.Н., Фирсова А.Д. Об определении упругих модулей наноструктур: теоретические расчеты и методика экспериментов // Известия РАН: Механика твердого тела. 2005. № 4. С. 75-85.

58.Ильюшин A.A. Механика сплошной среды. 3-е изд., М.: Изд-во МГУ, 1990.-310 с.

59.Ильюшин A.A., Ломакин В.А. Моментные теории в механике твердых деформируемых тел. В сб. Прочность и пластичность. М.: Наука, 1971. С. 54-61.

60.Индейцев Д.А., Наумов В.Н., Семенов Б.Н. Динамические эффекты в материалах со сложной структурой // Известия РАН. Механика твердого тела. 2007. № 5. С. 17-39.

61.Каганов М.И. Электроны, фононы, магноны. - М.: Наука, Физматлит, 1977.- 192 с.

62.Кадомцев Б.Б. Коллективные явления в плазме. М.: Наука. 1976. 238 с.

63.Капустин А.П., Капустина O.A. Акустика жидких кристаллов. - М.: Наука, 1986.

64.Кастерин Н.П. О дисперсии звуковых волн в неоднородной среде // Журнал русского физико-химического общества. 1898. Т. 30. № ЗА. С. 61-78.

65.Кастерин Н.П. О распространении волн в неоднородных средах. Часть 1. Звуковые волны. М.: Университетская типография. 1903.

66.Китайгородский А.И. Молекулярные кристаллы. М.: Наука, 1971. -424с.

67.Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. М.: Наука, 1978. 789 с.

68.Кобелев Н.П., Моравский А.П., Сойфер Я.М., Башкин И.О., Рыбченко О.Г. Упругие и диссипативные свойства фуллерита // Физика твердого тела. 1994. Т. 36. № 9. С. 2732-2737.

69.Кобелев Н.П., Николаев Р.К., Сойфер Я.М., Хасанов С.С. Упругие модули монокристаллического Сбо Н Физика твердого тела. 1998. Т. 40. Вып. 1. С. 173-175.

70.Конек Д.А., Войцеховски К.В., Плескачевский Ю.М., Шилько C.B. Материалы с отрицательным коэффициентом Пуассона (обзор) // Механика композиционных материалов и конструкций. 2004. Т. 10. № 1. С. 35-69.

71.Короткина М.Р., Замечание о моментных напряжениях в дискретных средах // Вестник МГУ. Математика, механика. 1969. № 5. С. 103-109.

72.Косевич A.M. Теория кристаллической решетки (физическая механика кристаллов). Харьков, Вища школа, 1988.

73.Кривцов A.M. Деформирование и разрушение твердых тел с микроструктурой. М.: Физматлит, 2007. - 304 с.

74.Кривцов A.M., Подольская Е.А. Моделирование упругих свойств кристаллов с гексагональной плотноупакованной решеткой // Известия РАН. Механика твердого тела. 2010. № 3. С. 77-86.

75.Кривцов A.M., Морозов Н.Ф. О механических характеристиках наноразмерных объектов // Физика твердого тела. 2002. Т.44. № 12. С. 2158-2163.

76.Крылов A.JL, Николаевский В.Н., Эль Г.А. Математическая модель нелинейной генерации ультразвука сейсмическими волнами // ДАН СССР. 1991. Т. 318. № 6. С. 1340-1345.

77.Крылов A.JL, Мазур Н.Г., Николаевский В.Н., Эль Г.А. Градиентно-согласованная нелинейная модель генерации ультразвука при распространении сейсмических волн // Прикладная математика и механика. 1993. Т. 57. Вып. 6. С. 100-109.

78.Кувшинский Е.В, Аэро Э.Л. Континуальная теория асимметрической упругости. Учет "внутреннего" вращения // Физика твердого тела. 1963. Т. 5. №9. С. 2591-2598.

79.Кулеш М.А., Грекова Е.Ф., Шардаков И.Н. Задача о распространении поверхностной волны в редуцированной среде Коссера // Акустический журнал. 2009. Т. 55. № 2. С. 216-225.

80.Кулеш М.А., Матвеенко В.П., Шардаков И.Н. О распространении упругих поверхностных волн в среде Коссера // Акустический журнал. 2006. Т. 52. №2. С. 227-235.

81.Кунин И.А. Теория упругих сред с микроструктурой. М.: Наука, 1975. 416 с.

82.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. - 735 с.

83. Левин В.М., Николаевский В.Н. Осреднение по объему и континуальная теория упругих тел с микроструктурой // Современные проблемы механики и авиации, под ред. И.Ф. Образцова. М., Машиностроение, 1982. С. 182-193.

84.Леонов М.Я. Механика деформаций и разрушения. Фрунзе, 1981. -236с.

85.Леонтьев Н.В., Павлов И.С. Нелинейная модель распространения упругих волн в однослойной среде из объемных частиц // Материалы XVIII Международного симпозиума "Динамические и

технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред" им. А.Г. Горшкова. Т.2. -М.: ООО "ТР-принт", 2012, с. 43-45.

86.Лисина С.А., Потапов А.И. Обобщенные модели сплошной среды в наномеханике // Доклады академии наук. 2008. Т.420. №.3. С. 328-330.

87.Лисина С.А., Потапов А.И., Нестеренко В.Ф. Нелинейная гранулированная среда с вращением частиц. Одномерная модель // Акустический журнал. 2001. Т.47. №5. С. 666-674.

88.Лифшиц И.М. О тепловых свойствах цепных и слоистых структур при низких температурах // ЖЭТФ. 1952. Т. 22. № 4. С. 475-486.

89.Ломакин В.А. Статистические задачи механики деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1970. - 137 с.

90.Лонгрен К. Экспериментальные исследования солитонов в нелинейных линиях передачи с дисперсией // Солитоны в действии / под ред. К. Лонгренаи Э. Скотта. М.: Мир. 1981. С. 138-162.

91.Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, Физматлит, 1980.-512 с.

92.Лямов В.Е. Поляризационные эффекты и анизотропия взаимодействия акустических волн в кристаллах. М.: изд-во МГУ, 1983. 224 с.

93.Ляв А.Е. Математическая теория упругости. М., ОНТИ, 1935. - 674 с.

94.Максимов Г.А. Обобщенный вариационный принцип для диссипативной гидродинамики и механики сплошной среды // Вычислительная механика сплошных сред. 2009. Т. 2. № 4. С. 92-104.

95.Маневич Л.И., Смирнов В.В. Локализованные нелинейные колебания плоского зигзага // Доклады академии наук. 2007. Т. 413. С. 354-359.

96.Милосердова И.В., Павлов И.С., Потапов А.И. Двумерная динамическая модель нанокристаллической среды с гексагональной симметрией // Механика композиционных материалов и конструкций. 2006. Т. 12. №4. С. 555-565.

97.Милосердова И.В., Павлов И.С. Математическая модель нелинейных колебаний слоя из нанотрубок // Первая Всероссийская конференция "Проблемы механики и акустики сред с микро- и наноструктурой: НАНОМЕХ-2009". Полные тексты докладов. Нижний Новгород, 2009. С. 175-183.

98.Михальченко В.П., Моцкин В.В. Об упругих свойствах ГЦК фазы фуллерита Сбо Н Термоэлектричество. 2004. № 3. С. 32-46.

99.Можен Ж. Механика электромагнитных сплошных сред. Пер. с англ. под ред. Дунаева И.М. и Патрона В.З. - М.: Мир, 1991. - 560с.

100. Морозов Н.Ф., Паукшто М.В. Дискретные и гибридные модели механики разрушения. С.-Петербург, СПбГУ, 1995.

101. Назаров В.Е. Влияние структуры меди на ее акустическую нелинейность // Физика металлов и металловедение. 1991. № 3. С. 172178.

102. Назаров С.А., Паукшто М.В. Дискретные модели и осреднение в задачах теории упругости. Л., 1984. 92 с.

ЮЗ.Мошев В.В., Гаришин O.K. Структурная механика дисперсно-наполненных эластомерных композитов // Успехи механики. 2005. № 2. С. 3-36.

104. Неупругое рассеяние нейтронов // Физический энциклопедический словарь. М., Сов. энциклопедия. 1983.

105. Никитина Н.Е., Павлов И.С. О специфике явления акустоупругости в двумерной среде с внутренней структурой // Акустический журнал. 2013. Т. 59. №4. С. 452-458.

106. Никитенкова С.П., Потапов А.И. Акустические свойства двумерных фононных кристаллов // Ежегодный сборник РАО, 2008, Вып. 9: Акустика неоднородных сред.

107. Николаевский В.Н. Геомеханика и флюидодинамика. М.: Недра. 1996.-447с.

108. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. - 872 с.

109.Нормальные (собственные) волны // Физический энциклопедический словарь. М., Сов. энциклопедия. 1983.

1 Ю.Островский Л.А., Папко В.В., Пелиновский E.H. Уединенные электромагнитные волны в нелинейных линиях передачи // Известия вузов. Радиофизика. 1972. Т. 15. №4. С. 580-591.

1 П.Островский Л.А., Потапов А.И. Введение в теорию модулированных волн. М.: Физматлит, 2003. - 400 с.

112.Павлов И.С. Гранулированная среда с вращением частиц. Двумерная модель // Проблемы прочности и пластичности: Межвуз. сборник. Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета, 2003. Вып. 65. С.50-61.

11 З.Павлов И.С. Двумерная модель гранулированной среды // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. Нелинейные проблемы механики сплошных сред. Ростов-на-Дону, 2003. С. 274278.

1 И.Павлов И.С. Исследование процессов распространения и взаимодействия акустических волн в твердых телах с микроструктурой // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальностям 01.04.06 -акустика и 01.04.07 - физика твердого тела. Нижний Новгород, декабрь 1999 г.

115.Павлов И.С. Математическая модель пористого материала с отрицательным коэффициентом Пуассона // Прикладная механика и технологии машиностроения: сборник научных трудов / под ред. В.И. Ерофеева, С.И. Смирнова и Г.К. Сорокина - Нижний Новгород: Издательство общества "Интелсервис", 2008. № 2 (13). С. 37-52.

Пб.Павлов И.С. Нелинейная волновая динамика зернистой среды // XV Симпозиум "Динамика виброударных (сильно нелинейных) систем". Сборник трудов. Москва-Звенигород, 2006. С. 210-215.

117.Павлов И.С. Нелинейная математическая модель анизотропной кристаллической среды // Прикладная механика и технологии машиностроения: сборник научных трудов / под ред. В.И. Ерофеева, С.И. Смирнова и Г.К. Сорокина - Нижний Новгород: Издательство общества "Интелсервис", 2009. № 2(15). С. 16-26.

118.Павлов И.С. Об оценке коэффициентов нелинейностей зернистой среды методом структурного моделирования // Вестник ННГУ. 2012. №6. С. 143-152.

119. Павлов И.С. О возможности измерения материальных констант микрополярной среды по характеристикам упругих волн // Проблемы прочности и пластичности: Межвуз. сборник. Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета, 2000. С. 171-182.

120. Павлов И.С. Упругие волны в двумерной зернистой среде // Проблемы прочности и пластичности: Межвуз. сборник. Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета, 2005. Вып. 67. С. 119-131.

121. Павлов И.С., Лазарев В.А. Нелинейные упругие волны в двумерной нанокристаллической среде // Электронный журнал "Вестник научно-технического развития", www.vntr.rn, Национальная Технологическая группа, 2008. № 4 (8). С. 45-53.

122. Павлов И.С., Лисина С.А. Одномерные модели нелинейной динамики микрополярных и гранулированных сред // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Спецвыпуск "Математическое моделирование". Ростов-на-Дону, 2001. С. 132-134.

123. Павлов И.С., Милосердова И.В. Дискретная и континуальная модели анизотропной нанокристаллической среды с неплотной упаковкой частиц // Механика деформируемого твердого тела / Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011. № 4 (4). С. 1681-1683.

124. Павлов И.С., Потапов А.И. Двумерная модель зернистой среды // Известия РАН. Механика твердого тела. 2007. № 2. С. 110-121.

125. Павлов И.С., Потапов А.И. Нелинейная динамика двумерной решетки. // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Численное моделирование физико-механических процессов: Межвуз. сборник. М.: КМК, 1999. С. 66-74.

126. Павлов И.С., Потапов А.И. Структурные модели в механике нанокристаллических сред // Доклады академии наук. 2008. Т. 421. № 3. С. 348-352.

127. Павлов И.С., Шудяев A.A. Акустические и оптические фононы в квадратной решетке из круглых частиц // Прикладная механика и технологии машиностроения: сборник научных трудов / под ред. В.И. Ерофеева, С.И. Смирнова и Г.К. Сорокина - Нижний Новгород: Издательство общества "Интелсервис". 2010. № 2 (17). С. 295-306.

128. Павлов П.В., Хохлов А.Ф. Физика твердого тела // Изд-во Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского. Нижний Новгород, 1993. 491 с.

129.Пальмов В.А. Основные уравнения теории несимметричной упругости // Прикладная математика и механика. 1964. Т.28. № 3. С. 401 -408.

130.Пальмов В.А. Об одной модели среды сложной структуры // Прикладная математика и механика. 1969. Т. 33. № 4. С. 768-773.

131. Панин В.Е. Основы физической мезомеханики // Физическая мезомеханика. 1998. Т. 1. № 1. С. 5-22.

132. Пелиновский Д.Е., Степанянц Ю.А. Самофокусированная неустойчивость плоских солитонов и цепочек двумерных солитонов в среде с положительной дисперсией // ЖЭТФ. 1993. Т. 104. С. 33873400.

133. Пирс Дж. Почти все о волнах / пер. с англ., М., Мир, 1976.

134.Порубов A.B. Локализация нелинейных волн деформации. М.: Физматлит. 2009. - 208 с.

135. Порфирьева H.H. Ориентационно-трансляционные волны в молекулярных кристаллах. 4.2. Динамика двумерной и трехмерной решеток // ЖЭТФ. 1949. Т. 19. N 8. С.692-702.

136. Потапов А.И., Лисина С.А., Павлов И.С., Васильев A.A., Маневич Л.И., Смирнов В.В., Абрашкин A.A. Введение в микро- и наномеханику: математические модели и методы / Под ред. А.И. Потапова. НГТУ им. P.E. Алексеева - Нижний Новгород, 2010. - 303с.

137. Потапов А.И., Павлов И.С., Лисина С.А. Идентификация нанокристаллических сред методами акустической спектроскопии // Акустический журнал. 2010. Т. 56. № 4. С. 558-567.

138. Потапов А.И., Павлов И.С., Никитенкова С.П., Шудяев A.A. Структурные модели в наноакустике: управление дисперсионными свойствами фононных кристаллов // Акустика неоднородных сред. Ежегодник РАО. Сборник трудов научной школы проф. С.А. Рыбака. Вып. 10. - М:. ГЕОС, 2009. С. 9-16.

139. Потапов А.И., Родюшкин В.М. Экспериментальное исследование волн деформации в материалах с микроструктурой // Акустический журнал. 2001. Т47. №1. С. 407-412.

140. Псахье С.Г., Дмитриев А.И., Шилько Е.В., Смолин А.Ю., Коростелев С.Ю. Метод подвижных клеточных автоматов как новое направление дискретной вычислительной механики. I. Теоретическое описание // Физическая мезомеханика. 2000. Т. 3. № 2. С. 5-15.

141. Псахье С.Г., Смолин А.Ю., Стефанов Ю.П., Макаров П.В., Шилько Е.В., Чертов М.А., Евтушенко Е.П. Моделирование поведения сложных сред на основе комбинированного дискретно-

континуального подхода // Физическая мезомеханика. 2003. Т. 6. № 6. С. 11-21.

142.Псахье С.Г., Хори Я., Коростелев С.Ю., Смолин И.Ю., Дмитриев А.И., Шилько Е.В., Алексеев C.B. Метод подвижных клеточных автоматов как инструмент для моделирования в рамках физической мезомеханики // Изв. Вузов. Физика. 1995. Т. 38. № 11. С. 58-69.

143. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». 2000. 560 с.

144. Рейсленд Дж. Физика фононов. М.: Изд-во Мир, 1975.

145. Рит М. Наноконструирование в науке и технике. Введение в мир нанорасчета: Пер. с англ. - М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2005. - 160 с.

146. Савин Г.Н. Основы плоской моментной теории упругости. Киев: КГУ, 1965.- 162 с.

147. Савин Г.Н., Лукашев A.A., Лыско Е.М. Распространение упругих волн в твердом теле с микроструктурой // Прикладная механика. 1970. Т. 6. № 7. С. 48-52.

148. Савин Г.Н. Лукашев A.A., Лыско Е.М., Веремеенко C.B., Агасьев Г.Г. Распространение упругих волн в континууме Коссера со стесненным вращением частиц // Прикладная механика. 1970. Т. 6. № 6. С. 37-40.

149. Самусев К.Б., Юшин Г.Н., Рыбин М.В., Лимонов М.Ф. Структурные параметры синтетических опалов: статистический анализ данных электронной микроскопии // Физика твердого тела. 2008. Т.50. Вып. 7. С. 1230-1236.

150. Саркисян С.О. Общая теория упругих тонких оболочек на основе несимметричной теории упругости // Доклады HAH Армении. 2008. Т. 108. №4. С. 309-319.

151. Саркисян С.О., Саркисян A.A. Общая динамическая теория микрополярных упругих тонких пластин со свободным вращением и особенности их свободных колебаний // Акустический журнал. 2011. Т. 57. №4. С. 461-469.

152. Седов Л.И. Математические методы построения новых моделей сплошных сред // Успехи математических наук. 1965. Т. 20. №5. С. 121-180.

153. Седов Л.И. Модели сплошных сред с внутренними степенями свободы // Прикладная математика и механика. 1968. Т.32. №5. С. 771785.

154. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1970. Т.1. 536 с.

155. Скотт Э., Чу Ф., Маклафлин Д. Солитон - новое понятие в прикладных науках // Скотт Э. Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике. М.: Советское радио. 1977. С. 215-284.

156. Слепян Л.И. Механика трещин. М., 1981. - 295 с.

157. Смирнов-Аляев Г.А. Сопротивление материалов пластическому деформированию // Л. - Машиностроение. - 1978. - 368 с.

158. Смолин А.Ю. Развитие метода подвижных клеточных автоматов для моделирования деформации и разрушения сред с учетом их структуры // Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела. Томск, октябрь 2009 г.

159. Смолин А.Ю., Роман Н.В., Добрынин С. А., Псахье С.Г. О вращательном движении в методе подвижных клеточных автоматов // Физическая мезомеханика. 2009. Т. 12. № 2. С. 17-22.

160.Строшио М., Дутта М. Фононы в наноструктурах / Пер с англ. под ред. Т.Н. Жижина. - М.: Физматлит. 2006. - 320с.

161.Суздалев И.П. Нанотехнологии: физико-химия нанокластеров, наноструктур и наноматериалов. М.: КомКнига, 2006. 592 с.

162.Такер Дж., Рэмптон В. Гиперзвук в физике твердого тела. М.: Мир, 1975.

163. Теория солитонов. Метод обратной задачи. / Под ред. С.П. Новикова. М., Наука, 1980.

164.Труэлл Р., Эльбаум Ч., Чик Б. Ультразвуковые методы в физике твердого тела. М., Мир, 1972.

165.Туан Л.Т., Тарлаковский Д.В. Дифракция нестационарных волн на сферической полости в псевдоконтинууме Коссера //

Радиоэлектроника. Наносистемы. Информационные технологии. 2013. Т.5. № 1.С.119-125.

166.Туан Л.Т., Тарлаковский Д.В. Распространение нестационарных кинематических возмущений от сферической полости в псевдоконтинууме Коссера // Механика композиционных материалов и конструкций. 2011. Т. 17. № 2. С. 184-195.

167. Угодчиков А.Г. Уравнения динамики упругого тела с учетом "внутреннего вращения". Вариационный подход // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Анализ и оптимизация конструкций. 1991. С. 78-83.

168. Угодчиков А.Г. Моментная динамика линейно-упругого тела // ДАН. 1995. Т. 340. № 1.

169. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир. 1977. 624 с.

170. Федоров В.И. Теория упругих волн в кристаллах. М., Наука, 1965.

171.Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Т.7, Физика сплошных сред, М.: Мир, 1977.

172. Францевич И.Н., Воронов Ф.Ф., Бакута С.А. Упругие постоянные и модули упругости металлов и неметаллов / Справочник под ред. Францевича И.Н. / Киев, Наукова думка, 1982. -286 с.

173. Френкель Я.И. Кинетическая теория жидкостей. Изд-во АН СССР, 1945.

174. Фуллерены: Учебное пособие / Л.Н. Сидоров, М.А. Юровская и др. М.: Издательство "Экзамен", 2005. - 688 с.

175.Хирт Дж., Лоте И. Теория дислокаций. Перев. с англ. под ред. Э.М. Надгорного и Ю.А. Осипьяна, М., Атомиздат, 1972.

176.Ципенюк Ю.М. Квантовая микро- и макрофизика. М.: Физматкнига, 2006. - 640 с.

177. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. - М.: Наука, 1977.-399 с.

178.Шоркин B.C. Нелинейные дисперсионные свойства высокочастотных волн в градиентной теории упругости // Известия РАН. Механика твердого тела. 2011. № 6. С. 104-121.

179.Abdullow Kh.O., Bogoloubsku I.L. and Makhankov V.G. One more example of inelastic soliton interaction // Phys. Lett. A. 1976. V. 56. P.427-428.

180. Altenbach H., Maugin G.A., Erofeev V.I. (eds.) Mechanics of Generalized Continua, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 2011. - 350 p.

181.Askar A. A model for coupled rotation-displacement mode of certain molecular crystals. Illustration for KN03 // J.Phys.Chem.Solids. 1973. V. 34. P. 1901-1907.

182.Askar A. Molecular crystals and the polar theories of continua: experimential values of material coefficients for KN03 // Int.J.Eng.Sc. 1972. N 10. P. 293-300.

183.Askar A. Lattice Dynamics Foundation of Continuum Theory. World-Scientific, Singapore, 1985.

184. Bardenhagen S. and Triantafyllidis N. Derivation of higher order gradient continuum theories in 2,3-D non-linear elasticity from periodic lattice models // J. Mech. Phys. Solids. 1994. V. 42. N 1. P. 111-139.

185. Barnett S.J. Gyromagnetic and Electron-Inertia Effects // Rev. Mod. Phys. 7. 1935. P. 129-166.

186. Berglund K. Structural Models of Micropolar Media. In: Mechanics of Micropolar Media. Eds. O. Brulin and R.K.T. Hsieh. World Scientific, Singapore, 1982. P. 35-86.

187. Bernal J.D. and Tamm G.R. // Nature. 1935. V. 135. P. 229.

188.Berryman J.G. Long-wavelength propagation in composite elastic media I, II. //J. Acoust. Soc. Am. 1980. V.68. N 6. P. 1809-1831.

189. Blank X., Bris C.Le, Lions P.-L. From molecular models to continuum mechanics // Arch. Rational Mech. Anal. 164 (2002) 341-381.

190. Borst de R., Giessen van der E. (eds.) Material Instabilities in Solids. J. Wiley and Sons (Chichester - New York - Wienheim - Brisbane -Singapore - Toronto). 1998. - 556 p.

191.Broberg K.B. The cell model of materials // Computational Mechanics. 1997. V. 19. P. 447-452.

192.Cauchy A.L. Memoire sur la dispersion de la lumiere. Paris, 1830.

193.Chang C.S., Gao J. Wave propagation in granular rod using high-gradient theory // J. of Engn. Mech.-ASCE. 1997. N 1. P. 52-59.

194.Chang C.S., Ma L. A micromechanical-based micropolar theory for deformation of granular solids // Int. Journal of Solids and Structures. 1994. V. 28. N 1. P.67-87.

195. Christoffersen J., Mehrabadi M.M., Nemat-Nasser S.A. A micromechanical description of granular material behavior // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1981. V. 48. № 2. P. 339-344.

196.Chunyu Li, Tsu-Wei Chou. A structural mechanics approach for the analysis of carbon nanotubes // Int. Journal of Solids and Structures. 2003. V.40. P. 2487-2499.

197.Cleland A.N. Foundations of nanomechanics: from solid-state theory to device applications, Springer-Verlag, Berlin, 2003.

198.Clebsch A. Theorie der Elastizität tester Korper, Leipzig. 1862. 424p.

199.Cosserat E. et F. Theorie des Corps Deformables. - Paris: Librairie Scientifique A. Hermann et Fils, 1909. - 226p. (Reprint, 2009).

200.Duhem P. Hidrodynamique, Elasticité, Acoustique. Paris. 1891.

201.Edelen D.G.B., Green A.E., and Laws N. Nonlocal continuum mechanics //Arch. Rat. Mech. Anal. 1971. V. 43. № 1, P. 36-44.

202.Engelbrecht J.K., Fridman V.E., Pelinovsky E.N. Nonlinear Evolution Equations. Pitman, London. 1988.

203.Eringen A.C. Microcontinuum Field Theories. 1: Foundation and solids. Springer. New York. 1999.

204.Eringen A.C. Nonlinear theory of continuous media. New York, McGraw-Hill, 1962, 477p.

205.Eringen A.C. and Edelen D.G.B. On non-local elasticity // Int. J. Engin. Sei. 1972. V. 10. N 3. P. 233-248.

206.Eringen A.C. and Suhubi E.S. Nonlinear theory of simple micro-elastic solids // Int. J. Engng. Sei. 1964. V. 2. P. 189-203, 389-404.

207.Erofeyev V.l. Wave processes in solids with microstructure. World Scientific Publishing (New Jersey-London-Singapore-Hong Kong-Bangalore-Taipei). 2003. - 256 p.

208.Erofeev V.l., Kazhaev V.V., Pavlov I.S. Nonlinear localized strain waves in a 2D medium with microstructure In: H. Altenbach et al. (eds.), Generalized Continua as Models for Materials, 91 Advanced Structured Materials 22, DOI: 10.1007/978-3-642-36394-8_6, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2013, pp. 91 -110.

209.Erofeyev V.l., Potapov A.I. Nonlinear wave processes in elastic media with inner structure // Nonlinear World 2, World-Scientific, Singapore, 1990. P. 1197-1215.

210.Erofeyev V.I., Potapov A.I. Longitudinal strain waves in nonlinearly elastic media with couple stresses // Int. J. Non-Linear Mech. 1993. V. 28. № 4. P. 483-489.

21 l.Fisher-Hjalmars I. Micropolar Phenomena in Ordered Structures. In: Mechanics of Micropolar Media. Eds. O. Brulin and R.K.T. Hsieh. World Scientific, Singapore, 1982. P. 1-33.

212.Evans K.E. Auxetic polymers: a new range of materials. Endeavour, New Series, 1991. № 4. P. 170-174.

213. Fujii K., Fuka T., Kondo H. and Ishii K. Orientational phase transition in molecular crystal N2 // Journal of the Physical Society of Japan. 1997. V. 66. P. 125-129.

214.Fujii M., Kanzaea Y., Hayashi S., and Yamamoto K. Raman scattering from acoustic phonons confined in Si nanocrystals // Phys. Rev. B 54, R8373 (1996).

215.Gauthier R.D. Experimental investigations on micropolar media // Mechanics of Micropolar Media. - Singapore: World Scientific, 1982. P. 395-463.

216.Gauthier R.D., Jashman W.E. A quest for micropolar constants // Arch. Mech. 1981. V.33. N 5. P.717-737.

217.Gendelman O.V., Manevitch L.I. The description of polyethylene crystal as a continuum with internal degrees of freedom // Int. Journal of Solids and Structures. 1996. V. 33. N 12. P. 1781-1798.

218.Ghoniem N.M. et al. Multiscale modelling of nanomechanics and micromechanics: an over-view // Phil. Magazine. 2003. V. 83. N 31-34. P. 3475-3528.

219.Green A.E., Rivlin R.S. Multipolar continuum mechanics // Arch. Rat. Mech. Anal. 1964. V. 17. P. 113-147.

220.Hertz K. Die Prinzipien der Mechanik. Leipzig. 1894.

221.Kelvin, Popular lectures, livre I, 1881. P. 185.

222.Kirchhoff G. Vorlesungen uber mathematische Physik. Mechanik, Leipzig. 1874. 466p.

223 .Koch E. Enhancing Tc in field-doped fullerenes by applying uniaxial stress // Phys. Rev. B66. 2002. P. 081401.

224.Koiter W.T. Couple-stresses in the theory of elasticity. Proc. Konikl Acad. Wet., Ser. B67, 17 (1964), (перевод в сб. "Механика", 1965, № 3 (91), с. 89-112).

225.Kroner Е. and Datta В.К. Non-local theory of elasticity for a finite inhomogeneous medium - a derivation from lattice theory. In: "Fundamental aspects, of dislocation theory (Conference Proc.)", eds. J. Simmons, R. de Wit, National Bureau of Standards, Washington, 1970, v. II, pp. 737-746.

226.Krumhansl J.A. Some considerations of the relation between solid state physics and generalized continuum mechanics // Eur. J. Mech. A/Solids. 1996. V. 15. P. 1049-1075.

227.Kushwaha M.S., Halevi P., Martinez G., Dobrzynski L., Djafari-Rouhani B. Theory of band structure of periodic elastic composites // Phys. Rev. B, 1994. V. 49. P. 2313.

228.Lee J. Hall, Vitor R. Coluci, Douglas S. Galvao, Mikhail E. Kozlov, Mei Zhang, Socrates O. Dantas, Ray H. Baughman, Sign Change of Poisson's Ratio for Carbon Nanotube Sheets // Science. 2008. V. 320. N 5875. P. 504-507.

229.Lee J.D. and Eringen A.C. Wave propagation in nematic liquid crystals // J. Chem. Phys. 1971. V. 54. N 12. P. 5027-5034.

230.Lee J.D. and Eringen A.C. Continuum theory of smectic liquid crystal // J.Chem. Phys. 1973. V. 58 (10). P. 4203-4211.

231.Li S., Wang G. Introduction to micromechanics and nanomechanics. World Scientific Co., 2008.

232.Lippman H. Cosserat Plasticity and Plastic Spin // Applied Mechanical Review. 1995. V. 48. N 11. Part 1. P. 753-762.

233.Mac Cullagh J. An essay towards a dynamical theory of Crystalline Reflection and Refraction // Trans. Roy. Irish. Acad. Sci. 1839. V. 21. P. 17-50.

234.Maugin G.A., Metrikine A.V. (eds.) Mechanics of Generalized Continua. One Hundred Years After the Cosserats, Springer, 2010. - 337 p.

235. Miller R.E. and Shenoy V.B. Size-dependent elastic properties of nanosized structural elements //Nanotechnology, 2000. V. 11. P. 139-147.

236.Mindlin R.D. Microstructure in linear elasticity // Arch. Rat. Mech. Anal., 1964. V. 16. N7. P. 51-78.

237.Mechanics of generalized continua. Proceedings of the IUTAM-symposium on the generalized Cosserat continuum and the continuum theory of dislocations with applications. Freudenstadt and Stuttgart, 1967, ed. E. Kroner, Springer-Verlag, Berlin - Heidelberg - New York, 1968.

238.Mossoti E. Lezioni di Meccanica Razionale, Firenze. 1851.

239.Muhlhaus H.-B., Oka F. Dispersion and wave propagation in discrete and continuous models for granular materials // Int. J. of Solids and Structures. 1996. V. 33. № 19. P. 2841-2858.

240.Newton I., Philosophical Naturalis Principia Mathematica. London, 1686. 419p.

241,Ostoja-Starzewski M., Sheng P.Y., Alzebdeh K. Spring network models in elasticity and fracture of composites and polycrystals // Computational Materials Science. 1996. V. 7. P. 82-93.

242.Pavlov I.S. Acoustic Identification of the Anisotropic Nanocrystalline Medium with Non-Dense Packing of Particles // Acoustical Physics. 2010. V. 56. N 6. P. 924-934.

243.Pavlov I.S., Potapov A.I., and Maugin G.A. A 2D Granular Medium With Rotating Particles // Int. J. of Solids and Structures. 2006. V. 43. N 20. P. 6194-6207.

244. Potapov A.I., Pavlov I.S. Nonlinear waves in ID oriented media // Acoustics Letters. 1996. V. 19. № 6. P. 110-115.

245. Potapov A.I., Pavlov I.S., Gorshkov K.A., Maugin G.A. Nonlinear interactions of solitary waves in a 2D lattice // Wave Motion. 2001. V.34. N l.P. 83-95.

246.Potapov A.I., Pavlov I.S., Lisina S.A. Acoustic Identification of Nanocrystalline Media // Journal of Sound and Vibration. 2009. V. 322. N 3. P. 564-580.

247.Potapov A.I., Pavlov I.S., Maugin G.A. Nonlinear wave interactions in ID crystals with complex lattice // Wave Motion. 1999. V.29. P. 297-312.

248.Potapov A.I., Vesnitsky A.I. Interaction of Solitary Waves under Head-on Collision. Experimental Investigation // Wave Motion. 1994. V. 19. P.29-35.

249.Pouget J. Lattice dynamics and stability of modulated-strain structures for elastic phase transitions in alloys // Phys. Rev. B. 1993. V. 48. N 2. P.864-875.

250.Pouget J., Askar A., Maugin G.A. Lattice model for elastic ferroelectric crystals: Microscopic approach // Phys. Rev. B. 1986. V. 33. N 9. P. 63046325.

251 .Pouget J. and Maugin G.A. Nonlinear dynamics of oriented elastic solid. Part 1,2 // J. of Elasticity, 1989. V. 22. P. 135-155, 157-183.

252.Powell B. An abstract of the essential principles of A.Cauchy's view of the undulatory theory, leading to an explanation of the dispersion of light; with remarks // Phil. Mag., (3), 1835. V. 6. P. 31.

253.Press W.H., Teukolsky S.L., Vetterling W.T., Flannery B.P. Numerical recipes in C. The art of scientific computing. - Cambridge: Cambrige University Press, 1992. - 680 p.

254.Qiu C., Zhang X., Liu Z., Far-field imaging of acoustic waves by a two-dimensional sonic crystal // Phys. Rev. B 71. 2005. P. 054302-1.

255.Sayadi M.K. and Pouget J., Soliton dynamics in a microstructured lattice model//J.Phys. A: Math. Gen., 1991. V. 24. P. 2151-2172.

256.Smirnov V.V., Shepelev D.S., Manevitch L.I. Localization of bending vibrations in the single-wall carbon nanotubes // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. 2011. 2 (2). P. 102-106.

257.Suiker A.S.J., Metrikine A.V., de Borst R. Comparison of wave propagation characteristics of the Cosserat continuum model and corresponding discrete lattice models // Int. Journal of Solids and Structures. 2001. V. 38. P. 1563-1583.

258.Suiker A.S.J., Metrikine A.V., de Borst R. Dynamic behaviour of a layer of discrete particles. Part 1: Analysis of body waves and eigenmodes // Journal of Sound and Vibration. 2001. V. 240. N 1. P. 1-18.

259.Truesdell C., Toupin R.A. The classical field theories. Handbuch der Physik. III/I. Berlin : Springer, 1960.

260.Toupin R.A. Theories of elasticity with couple-stresses // Arch. Rat. Mech. Anal. 1964. V. 17. P. 85-112.

261.Vardoulakis I., Sulem J. Bifurcation Analysis in Geomechanics. Blackie Academic and Professional. London. 1995. 459 p.

262.Vasiliev A.A, Dmitriev S.V., Miroshnichenko A.E. Multi-field approach in mechanics of structural solids // Int. J. of Solids and Structures. 2010. V. 47. P. 510-525.

263.Vasiliev A.A, Dmitriev S.V., Miroshnichenko A.E. Multi-field continuum theory for medium with microscopic rotations // Int. Journal of Solids and Structures. 2005. V. 42. P. 6245-6260.

264.Vasiliev A.A, Miroshnichenko A.E., and Massimo Ruzzene, Multifield model for Cosserat media // Journal of Mechanics of Materials and Structures. 2008. V. 3. N 7. P. 1365-1382.

265.Voigt W. Theoretische Studien über die Elastizitatsverhaltnisse der Krystalle //Abn.Ges.Wiss. Gottingen, 1887. V.34.

266.Yablonovitch E., Gmitter T.J., Leung K.M. Photonic band structure: The face-centered cubic case employing nonspherical atoms // Phys. Rev. Lett. 1991. V. 67. P. 2295.

267.Yang W. Review on auxetic materials // J. of Materials Science. 2004. V.39. P. 3269-3279.

268.Yildirim T. and Harris A.B. Lattice dynamics of solids Cöo H Phys.Rev., B46, 1992. P. 7878-7896.