Метод установления и его применение для численного моделирования некоторых обратных задач теплообмена тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Худышкина, Елена Вячеславовна

• Худышкина, Елена Вячеславовна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Худышкина, Елена Вячеславовна

Введение

1 Исследование метода установления

1.1 Понятия и определения.

1.2 Исследование оптимальности метода установления на различных классах корректности.

2 Обратные задачи теплообмена

2.1 Введение в проблему.

2.2 Решение обратных задач теплообмена. t 2.2.1 Обратная задача тепловой диагностики двигателя.

2.2.2 Обратная задача непрерывной разливки ^ стали.

3 Численное решение обратных задач

3.1 Применение метода установления для решения ретроспективной обратной задачи теплообмена.

3.2 Применение метода установления для решения граничных обратных задач.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод установления и его применение для численного моделирования некоторых обратных задач теплообмена»

При математическом моделировании многих процессов и явлений, происходящих в природе и обществе, приходится сталкиваться с задачами, не удовлетворяющими требованиям корректности Адамара [75]. Следствием этого является непригодность для их решения традиционных методов. Для создания новых методов, использующих особенности исходной математической модели, необходимо привлечение теории условно-корректных задач.

Эта теория была заложена в основополагающих трудах академиков А.Н. Тихонова, М.М. Лаврентьева и член-корреспондента РАН В.К. Иванова. Развитие этой теории происходило в математических центрах, созданных и возглавляемых этими выдающимися математиками.

При создании этой теории следует отметить серьезный научный вклад, который внесли своими работами следующие математики: В.Я. Арсении, A.J1. Агеев, А.Б. Бакушинский, A.JI. Бухгейм, Г.М. Вайникко, Ф.П. Васильев, В.В. Васин, В.А. Винокуров, А.В. Гончарский, В.Б. Гласко, A.M. Денисов, В.И. Дмитриев, И.Н. Домбров-ская, И.В. Емелин, П.Н. Заикин, В. В. Иванов, А.С. Ильинский, М.А. Красносельский, А.С. Леонов, А.С. Лисковец, Л.Д. Менихес, И.В. Мельникова, В.А. Морозов, А.И. Прилепко, В.Г. Романов, В.Н. Страхов, В.П. Тапапа, A.M. Федотов, Г.В. Хромова, А.В. Чечкин,

А.Г. Ягола и другие математики.

К настоящему моменту накоплен значительный теоретический и прикладной материал, который частично отражен в известных монографиях: А.Н. Тихонова, В.Я. Арсенина [65], М.М. Лаврентьева [25], В.К. Иванова, В.В. Васина, В.П. Тананы [22], А.Н. Тихонова, А.В. Гончарского, В.В. Степанова, А.Г. Яголы [68], М.М. Лаврентьева, В.Г. Романова, С.П. Шишатского [27], В.П. Тананы [50], В.П. Тананы, М.А. Реканта, С.И. Янченко [53], Морозова В.А. [37], А.Б. Бакушинского, А.В. Гончарского [8], A.M. Федотова [70], А.Н. Тихонова, А.С. Леонова, А.Г. Яголы [69], В.В. Васина, А.Л. Агеева [13], О.А. Лисковца [30] и многих других, что является несомненным признаком зрелости соответствующего раздела прикладной математики. За рубежом наибольший вклад в данной области сделан следующими математиками: Franklin J.N. [73]; Gullum J. [74]; Miller К. [77], [78]; Phillips D.L. [79].

При решении обратных и некорректно поставленных задач к численным методам предъявляется повышенное требование точности. В связи с этим, одним из актуальнейших вопросов является построение оптимальных методов, как наиболее точных. Построением и исследованием оптимальных и оптимальных по порядку методов занимаются давно и в этом направлении получено большое число результатов. Особо следует отметить построение оптимальных по точности методов и получение точных оценок их погрешностей в работах А.Л. Агеева [1], Г.М. Вайникко [9]-[10], В.В. Васина [11]-[12], В.Н. Страхова [47], В.П. Тананы [48]—[50], [52], [54], Melkman А. Micchelli С. [76].

В теории условно-корректных задач можно выделить три основпых направления.

1. Теория регуляризуемости, связанная с решением проблемы существования регуляризующих алгоритмов в банаховых простран-страх. Это направление связано с исследованиями В.А. Винокурова, Л.Д. Менихеса и других математиков.

2. Сравнение методов по точности и исследование их на оптимальность. Это направление, возникшее в работах В.К. Иванова, В.Н. Страхова, нашло своё продолжение в работах таких математиков как В.В. Васин, В.П. Танана.

3. Построение численных методов решения некорректных задач. Отправной точкой этого направления являются работы А.Н. Тихонова, В.К. Иванова и М.М. Лаврентьева. В его основу было положено численное решение конкретных задач математической физики.

Натоящая работа относится ко второму и к третьему направлениям. Это связано с тем, что при математическом моделировании обратных и условно-корректных задач существенную роль играют погрешности исходных данных, с которыми нельзя не считаться. Одной из актуальных проблем при решении обратных задач является оценка влияния погрешности исходных данных на получаемое приближенное решение, поэтому в настоящей работе получению оценок уделяется большое внимание. В более ранних работах ([6], [14]) доказывалась устойчивость приближенного решения, полученного тем или иным методом, но конкретная зависимость решения от погрешности входных данных впервые была получена в трудах В.П. Та-наны [49]-[51]. Эти исследования продолжены в настоящей работе.

Математическая сложность решения подобных задач заключается в необходимости применения спектральной теории для несамосопря-жепных операторов. Обратные задачи теплообмена с подвижными границами находят широкое применение в различных областях тех-пики [2], [3], [5], [14], [24], [34], [45].

Работа состоит из введения, трёх глав и списка литературы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Худышкина, Елена Вячеславовна, 2006 год

1. Агеев A.J1. К вопросу о построении оптимального метода решения линейного уравнения I рода./A.JI. Агеев //Известия вузов. Математика. 1983. Т. 250, № 3. С. 67-68.

2. Алифанов О.М. Идентификация процессов теплообмена летательных аппаратов./ О.М. Алифанов //М., Машиностроение. 1979. 216 с.

3. Алифанов О.М. Алгоритмы диагностики тепловых нагрузок летательных аппаратов./О.М. Алифанов, В.К. Зайцев, Б.М. Панкратов//Под ред. акад. В.П. Мишина. М., Машиностроение. 1983. — 168 с.

4. Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена./О.М. Алифанов //М., Машиностроение. 1988. — 279 с.

5. Алифанов О.М. Определение граничных условий в процессе тепловых газодинамических испытаний./О.М. Алифанов, Е.А. Артюхин//ТВТ. 1978. Т. 16, № 4. С. 819-825.

6. Алифанов О.М. Экстремальные методы решения некорректных задач и их приложения к обратным задачам теплообмена. / О.М. Алифанов, Е.А. Артюхин, С.В. Румянцев//М., Наука. 1988. 285 с.

7. Бакушинский А.Б. К вопросу о стабилизации решений линейных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве./А.Б. Бакушинский//Матем. заметки. 1971. Т.9, № 4. С. 415-420.

8. Бакушинский А.Б. Некорректные задачи. Численные методы и приложения./А.Б. Бакушинский, А.В. Гончарский//М., Изд-во МГУ. 1989. 199 с.

9. Вайникко Г.М. Оценки погрешности метода последовательных приближений для некорректных задач./Г.М. Вайникко//АиТ. 1980. № 3. С. 84-92.

10. Вайникко Г.М. Оценки погрешности методов регуляризации для нормально разрешимых задач./Г.М. Вайникко//Жури, выч. мат. и мат. физ. 1985. Т.25, № 10. С. 1443-1456.

11. Васин В.В. Методы решения операторных уравнений с априорной информацией./В.В. Васин//Числе1шые методы и оптимизация. Таллинн. 1988. С. 70-80.

12. Васин В.В. Оптимальные методы вычисления значений неограниченных операторов./В.В. Васин//Киев. 1977. — 17 с.

13. Васин В.В. Некорректные задачи с априорной информацией./В.В. Васин, A.JI. Агеев//Екатеринбург, Наука. 1993. — 261 с.

14. Гольдман H.JI. Обратные задачи Стефана. Теория и методы решения./H.J1. Гольдман//М.: Изд-во МГУ, 1999. — 294 с.

15. Дистель Д. Геометрия банаховых пространств./Д. Ди-стель//Киев, Вища школа. 1980. — 215 с.

16. Диткин В.А. Интегральные преобразования и операционное исчисление. /В.А. Диткин, А.П. Прудников//М.: Наука, 1961. 524 с.

17. Емелин И.В. К теории некорректных задач/И.В. Емелин, М.А. Красносельский//ДАН СССР. 1979. Т.244, № 4. С. 805808.

18. Иванов В.К. О приближенном решении операторных уравнений первого рода./В.К. Иванов//Ж. выч. мат. и мат.физ. 1966. Т.6, № 6. С.1089-1094.

19. Иванов В.К. О линейных некорректных задачах./В.К. Ива-нов//ДАН СССР. 1962. Т. 145, № 2. С. 270-272.

20. Иванов В.К. О равномерной регуляризации неустойчивых за-дач./В.К. Иванов//Сиб. мат. журн. 1966. Т.7, № 3. С. 546-558.

21. Иванов В.К. Об одном типе некорректных линейных уравнений в векторных топологических пространствах./В.К. Ива-нов//Сиб. мат. журн. 1965. Т.6, № 4. С. 832-839.

22. Иванов В.К. Теория линейных некорректных задач и её приложения./В.К. Иванов, В.В. Васин, В.П. Танана//М.: Наука, 1978. 208 с.

23. Иванов В.К. Об оценке погрешностей при решении линейных некорректно поставленных задач./В.К. Иванов, Т.И. Королюк//Жури. выч. матем. и матем. физ. 19G9. Т.9, N2 1. С. 30-41.

24. Исаков Г.Н. Определение характеристик тонкослойных теплозащитных покрытий из решения обратных задач тепло- и мас-сопереноса./Г.Н. Исаков, А.Я. Кузин, В.Н. Савельев, Ф.В. Ер-молаев//Физика горения и взрыва. 2003. Т.39, № 5. С. 86-96.

25. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики./М.М. Лаврентьев//Новосибирск: Изд-во СО АН СССР. 1962. 92 с.

26. Лаврентьев М.М. Условно-корректные задачи для дифференциальных уравнений./М.М. Лаврентьев//Новосибирск: Изд-во НГУ. 1973. 71 с.

27. Лаврентьев М.М. Некорректные задачи математической физики и анализа./М.М. Лаврентьев, В.Г. Романов, С.П. Шишат-ский//М., Наука. 1980. — 288 с.

28. Лаврентьев М.М. Теория операторов и некорректные задачи./М.М. Лаврентьев, Л.Я. Савельев//Новосибирск, Ин-т матем. СО РАН. 1999. 702 с.

29. Леонов А.С. О специальном тихоновском регуляризующем алгоритме для некорректных задач с истокообразно представи-мыми решениями./Леонов А.С.//Тезисы докладов Всероссийской научной конференции. Екатеринбург: изд-во Уральского ун-та. 2001. 327 с.

30. Лисковец О.А. Вариационные методы решения неустойчивых задач./О.А. Лисковец//Минск, Наука и техника. 1981. — 343 с.

31. Лыков А.В. Теория теплопроводности./А.В. Лыков//М., Высшая школа. 1967. — 599 с.

32. Менихес Л.Д. Конечномерная аппроксимация в методе М.М. Лаврептьева/Л.Д. Менихес, В.П. Танана//Сиб. ж. выч. мат. 1998. Т. 1, № 1. С. 59-66.

33. Мишин В.П. Обратные и сопряжённые задачи теплообме-на./В.П. Мишин//ИФЖ. 1977. Т.ЗЗ, № 6. С. 965-966.

34. Моделирование тепловых режимов космического аппарата и окружающей его среды. //Под ред. акад. Г.И. Петрова. М., машиностроение. 1981. — 382 с.

35. Морозов В.А. О регуляризующих семействах операторов./В.А. Морозов//Вычисл. методы и программирование. М.: Изд-во МГУ, 1967. С. 63-93.

36. Морозов В.А. О регуляризации некорректно поставленных задач и выборе пераметра регуляризации./В.А. Моро-зов//Журн. выч. матем. и матем. физ. 1966. Т.6, N2 1. С. 170175.

37. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач./В.А. Морозов//М., Изд-во МГУ. 1974. — 360 с.

38. Основы теплопередачи в авиационной и ракетно-космической технике.// Под ред. проф. В.К. Кошкина. М., Машиностроение. 1975. 623 с.

39. Платунов Е.С. Теплофизические измерения в монотонном режиме./Е.С. Платунов//Л., Энергия. 1973. — 143 с.

40. Полежаев Ю.В. Проблемы нестационарного прогрева теплозащитных материалов./Ю.В. Полежаев, В.Е. Киллих, Ю.Г. На-рожный//ИФЖ. 1975. Т.29, № 1. С. 39-44.

41. Полежаев Ю.В. О методе определения теплопроводности высокотемпературных материалов при нестационарном нагре-ве./Ю.В. Полежаев, Ю.Г. Нарожпый, В.Е. Сафонов//ТВТ. 1973. Т.11, № 3. С. 609-615.

42. Полежаев Ю.В. Тепловая защита./Ю.В. Полежаев, Ф.Б. Юре-вич//М., Энергия. 1976. 392 с.

43. Рудин У. Функциональный анализ./ У. Рудин//М., Мир. 1975. 448 с.

44. Симбирский Д.Ф. Температурная диагностика двигателей./Д.Ф. Симбирский//Киев, Техника. 1976. — 208 с.

45. Смирнов А.Н. Процессы непрерывной разливки./А.Н. Смирнов, B.JT. Тимошенко, А.А. Минаев, С.В. Момот, Ю.Н. Бело-бродов //Донецк. Дон. НТУ, 2002. 536 с.

46. Страхов В.Н. О решении линейных некорректных задач в гильбертовом пространстве./В.Н. Страхов//Дифференц. уравнения. 1970. Т.6, № 8. С. 1490-1495.

47. Страхов В.Н. О построении оптимальных по порядку приближенных решений условно-корректных задач./В.Н. Стра-хов//Дифференц. уравнения. 1973. Т.9, № 10. С. 1862-1874.

48. Тан an а В.П. О классификации некорректно поставленных задач и оптимальных методах их решения./В.П. Танана//Изв. вузов. Математика. 1977. № 11. С. 106-112.

49. Танана В.П. О новом подходе к оценке погрешности методов решения некорректно поставленных задач./В.П. Тана-па//СибЖИМ. 2002. Т.5, № 4. С. 150-163.

50. Танана В.П. Методы решения операторных уравне-ний./В.П. Танана//М., Наука. 1981. 160 с.

51. Танана В.П. Об оптимальности по порядку метода проекционной регуляризации при решении обратных задач./В.П. Тана-на//Сиб. журн. инд. матем. 2004. Т.7, № 2. С. 117-132.

52. Танана В.П. Об оптимальности регуляризующих алгоритмов при решении некорректных задач./В.П. Танана, А.Р. Данилин// Дифференц. уравнения. 1976. Т.12, № 7. С. 1323-1326.

53. Танана В.П. Оптимизация методов решения оператор-пых уравнений./В.П. Танана, М.А. Рекант, С.И. Янчен-ко//Свердловск: изд-во Уральского ун-та. 1987. — 200 с.

54. Танана В.П. Исследование на оптимальность метода регуляризации для задач с неинъективным оператором./В.П. Танана, Т.Н. Рудакова//МВ и ССО. ЧелГУ. Челябинск. 1991. 14 с. Деп. в ВИНИТИ 25.02.91, № 887-В91.

55. Танана В.П. Об оптимальных методах решения линейных уравнений первого рода с приближённо заданным оператором./В.П. Танана, Я.М. Севастьянов//Сиб. жури. выч. мат. 2003. Т.6, № 2. С. 205-208.

56. Танана В.П. Об оптимальности метода установления./В.П. Та-нана, Е.В. Худышкина//Вестник ЧелГУ. Челябинск, изд-во ЧелГУ, 2003. С.

57. Танана В.П. Решение обратной задачи для уравнения теплопроводности методом установления./В.П. Танана, Е.В. Ху-дышкина//Известия Челябинского научного центра. 2005. Вып. 2(28). С. 1-3.

58. Танана В.П. Об оптимальном методе решения одной обратной задачи тепловой диагностики./В.П. Танана, Е.В. Худышкина/ /Вестник ЮУрГУ. Серия математика, физика, химия. 2005. Вып. 6, №6(46). С. 50-53.

59. Танана В.П. Об оптимальном методе решения одной обратной задачи Стефана./В.П. Танана, Е.В. Худышкина//Сиб. журн. инд. матем. 2005. Т. 8, № 4. С. 124-130.

60. Танана В.П. Об оптимизации методов регуляризации вырожденных операторных уравнений первого рода./В.П. Танана, С.И. Янченко//ДАН. 1988. Т.298, № 1. С. 49-52.

61. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач./А.Н. Тихо-нов//ДАН СССР 1943. Т.39, № 5. С. 195-198.

62. Тихонов А.Н. Обратные задачи теплопроводности./А.Н. Тихо-пов//ИФЖ. 1975. Т.29, № 1. С. 7-12.

63. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации. //ДАН СССР. 1963. Т. 151 № 3. С. 501504.

64. Тихоиов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных за-дач./А.Н. Тихонов//ДАН СССР. 1963. Т. 153 № 1. С. 49-52.

65. Тихонов А.Н. Методы решения некорректных задач./А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин//М., Наука. 1979. — 288 с.

66. Тихонов А.Н. О приближённом решении интегральных уравнений первого рода./А.Н. Тихонов, В.Б. Гласко//Журн. выч. матем. и матем. физ. 1964. Т.4, № 3. С. 564-571.

67. Тихонов А.Н. Применение метода регуляризации к нелинейным задачам./А.Н. Тихонов, В.Б. Гласко//Журн. выч. матем. и матем. физ. 1965. Т.5, № 3. С. 463-473.

68. Тихонов А.Н. Численные методы решения некорректных задач./А.Н. Тихонов, А.В. Гончарский, В.В. Степанов, А.Г. Яго-ла//М., Наука. 1990. 232 с.

69. Тихонов А.Н. Нелинейные некорректные задачи./А.Н. Тихонов, А.С. Леонов, А.Г. Ягола//М., Наука. 1995. — 311 с.

70. Федотов A.M. Линейные некорректные задачи со случайными ошибками в данных./A.M. Федотов//Новосибирск, Наука. 1982. 190 с.

71. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа./А. Фридман//М.: Мир, 1968. — 427 с.

72. Худышкина Е.В. Об оптимальности метода установления./Е.В. Худышкина//Тезисы докладов Всероссийской конференции Алгоритмический анализ неустойчивых задач. Екатеринбург, Изд-во Уральского университета, 2004. С.87.

73. Franklin J.N. On Tikhonov's method for ill-posed problems./J.N. Franklin//Math. Comput. 1974. T.28, № 128. P. 889-907.

74. Gullum J. Numerical differentiation and regularisation./J. Gullurn//SIAM J. Numer. Anal. 1967. T.8, № 2.

75. Hadamard J. Le probleme de Cauchy et les equations aux dirivees partielles lineaires hyperboliques./J. Hadamard //Paris, Hermann. 1932.

76. Melkman A. Optimal estimation of linear operators in Hilbert spaces from inaccurate data./A. Melkman, C. Micchelli//SIAM J. Numer. Anal. 1979. T.16, № 1.

77. Miller K. Three circle theorems in parcial differential equations and applicaions to improperly posed problems./К. Miller//Arch. Ration. Mech. Anal. 1964. T.16, № 2. P. 126-154.

78. Miller K. Least squares methods for ill-posed problems with a prescribed bound./K. Miller//SIAM J. Math. Anal. 1970. T.l, № 1. P. 52-74.

79. Phillips D.L. A technique for the numerical solution of certain integral equations of the first kind./D.L. Phillips//J. Assoc. Comput. Mach. 1962. T.9, № 1. P. 84-97.