Метод вариационных итераций – расширенный метод Канторовича в математическом моделировании геометрически нелинейных пористых размерно-зависимых механических структур тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Калуцкий Леонид Александрович

• Калуцкий Леонид Александрович
• кандидат наук
• 2026

Оглавление диссертации кандидат наук Калуцкий Леонид Александрович

ВВЕДЕНИЕ

I. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И МЕТОДЫ АНАЛИЗА ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫХ ПОРИСТЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАДИЕНТНЫХ РАЗМЕРНО-ЗАВИСИМЫХ ОБОЛОЧЕК

1. 1 Математическая модель геометрически нелинейных функционально-градиентных пористых микропластин Кирхгофа

1.2 Методы решения

1.2.1 Метод Бубнова - Галёркина (МБГ)

1.2.2 Метод конечных разностей второго порядка точности (МКР)

1.2.3 Метод Аграновского - Баглая - Смирнова(МАБС)

1.2.4 Метод Канторовича - Власова (МКВ)

1.2.5 Метод вариационных итераций - расширенный метод Канторовича (МВИ)

1.2.6 Метод вариационных итераций (МВИ) на основе первого приближения метода Канторовича - Власова (МКВ) с учётом невязки (МАБС)

1.2.7 Точное решение модифицированного уравнения Жермен -Лагранжа - метод двойных тригонометрических рядов Навье в линейной постановке

1.3 Сравнительный анализ решений

1.3.1 Сравнительный анализ решений для пластин в линейной постановке

1.3.2 Сопоставление решений, полученных методами Бубнова - Галёркина (МБГ), Канторовича - Власова (МКВ) и вариационных итераций (МВИ)

1.3.3 Сравнение численных результатов для пористой функционально-градиентной пластины, полученных с помощью методов (МБГ, МВИ 1, МВИ 2, МКР)

1.3.4 Сопоставление результатов, полученных методом МВИ, с решениями других авторов для уравнений в перемещениях

1.3.5 Сравнительный анализ решений для оболочек двоякой кривизны

Вывод по главе

II. ПРИМЕНЕНИЕ МВИ ДЛЯ АНАЛИЗА НДС ПОРИСТЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАДИЕНТНЫХ ПЛАСТИН

2.1. Исследование влияния типов пористости материала на НДС функционально-градиентных пористых микропластин

2.2. Исследование влияния показателя пористости на НДС функционально-градиентных пористых микропластин

2.3 Исследования изгибания пластинки в зависимости от соотношения длин сторон на НДС функционально-градиентных пористых микропластин

2.4 Исследование влияния функционально-градиентного материального индекса кна НДС функционально-градиентных пористых микропластин

2.5. Исследование квадратных в плане (Л = 1) микропластин и-РБОМ, опирающихся на упругий фундамент Винклера- Пастернака

2.6. Исследование влияния типов распределения пористости (1)-(3) микропластин,опирающихся на упругий фундамент Винклера - Пастернака

2.7. Исследование ПФГМ микропластин, опирающихся на упругий фундамент Винклера -Пастернака при действии локальной нагрузки

2.8. Исследование пористых функционально-градиентных квадратных в плане микропластин, опирающихся на упругий фундамент Винклера - Пастернака для случая

К = к (х, у), кя = кя (х, у)

2.9 Исследование пористых функционально-градиентных гибких микропластин с учетом нелинейности в перемещениях

2.10 Исследование НДС ПФГМ пластин с учетом нелинейности Грина Лагранжа

Выводы по главе

Ш. ПРИМЕНЕНИЕ МВИ ДЛЯ АНАЛИЗА ПОРИСТЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАДИЕНТНЫХ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК СЛОЖНОЙ ГЕОМЕТРИИ

3. 1 Исследование НДС пористых функционально-градиентных цилиндрических панелей

3.2 Исследование пористых функционально-градиентных квадратных в плане двояко-изогнутых оболочек в смешанной форме, когда свойства материалов изменяются по толщине оболочки

3.3 Исследование ПФГ двояко-изогнутых оболочек в температурном поле, когда свойства материаловзависят от температуры

3.4 Исследование ПФГдвоякоизогнутых микрооболочек, опирающихся на упругий фундамент Винклера - Пастернака

3.5. Исследование ПФГ микродвоякоизогнутых оболочек, опирающихся на упругий фундамент Винклера - Пастернака с учетом температуры и влажности

3.5 Анализ ПФГМ размерно-зависимых косоугольных пластин

3.6 Анализ ПФГМ конических секторных пластин

Выводы по главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

158

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. Современные тенденции в развитии аэрокосмической, автомобильной, биомедицинской отраслей и микро-/наноэлектромеханических систем (МЭМС/НЭМС) предъявляют повышенные требования к конструкционным материалам. Традиционные композиты часто не способны эффективно функционировать в условиях экстремальных термических и механических нагрузок. Решением этой проблемы стало создание функционально-градиентных материалов (ФГМ), свойства которых плавно изменяются в пространстве, что позволяет избежать концентрации напряжений и оптимизировать поведение конструкции.

Особый интерес представляют пористые ФГМ, сочетающие преимущества градиентного состава с уникальными свойствами пористых структур: низкой плотностью, высокими демпфирующими и теплоизоляционными характеристиками. Однако адекватное математическое моделирование их поведения требует учета ряда факторов: размерных эффектов на микро- и наноуровне, геометрической нелинейности, влияния внешних полей и взаимодействия с упругим основанием.

Степень разработанности проблемы. Проведенный анализ литературных источников позволяет систематизировать современное состояние исследований в области методов расчета и моделирования пластин и оболочек.

Исторические предпосылки и развитие вариационных методов

В настоящей работе продолжено развитие метода вариационных итераций, который основан на идеях методов Фурье [1] и Бубнова - Галёркина [2,3]. В работе [1] великим французским учёным был описан метод, названный его именем метод Фурье (МР) - метод разделения переменных или метод собственных функций. Данный метод положил в основу различные процедуры разделения переменных. Основным достоинством метода является лёгкость получения решения, возможность представлять широкий класс функций в виде рядов и множество других преимуществ специфический для каждой применяемой задачи.

Происхождение метода Бубнова - Галёркина обычно связывают с именем выдающегося русского ученого Ивана Григорьевича Бубнова (1872 - 1919). Вместе с академиком А.Н. Крыловым И.Г. Бубнов является создателем русского военно-морского флота.

Идея метода пришла И.Г. Бубнову при рецензировании в 1913 году работы С.П. Тимошенко [2], которая была представлена на соискание присуждаемой раз в 10 лет С.-Петербургским институтом путей сообщения премии за лучшую работу по строительной механике. Эта дата считается датой официального рождения метода Бубнова как общего метода решения дифференциальных уравнений. И.Г. Бубнов дал два варианта решения проблемы сведения дифференциальных уравнений в частных производных (или их систем) - либо к алгебраическим уравнениям (или их систем), либо к обыкно-

венному дифференциальному уравнению (или системе их). В западной литературе этот метод связывают со статьей, опубликованной в 1915 году [3] Б.Г. Галёркиным, который работал лаборантом у И.Г. Бубнова и знал о рецензии И.Г. Бубнована работу С.П. Тимошенко.

Приведенный выше анализ публикаций, посвященных этому методу, говорит о том, что И.Г. Бубнов предложил идею при работе над отзывом на работу С.П. Тимошенко, где он фактически уже тогда установил тождественность между энергетическим методом (называемым методом Рэлея -Ритца - Тимошенко) и своим подходом (называемым методом Бубнова - Галёркина), причем И.Г. Бубнов в дальнейшем пользовался этим подходом чрезвычайно мало. Этот метод был хорошо известен в мировой научной литературепо работам Б.Г. Галеркина и его коллег.

Впервые идея метода вариационных итераций (МВИ) была высказана профессором T. Е. Трефовым в работе E. Schnuck [4] в 1933 году. В основу МВИ положена идея применения вариационного метода Бубнова - Галёркина для сведения уравнений в частных производных не к системе алгебраических уравнений, а к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с последующей итерационной процедурой. В том же году эта идея была опубликована в работе [5] Л.В. Канторовичем и В.И. Смирновым, но без применения итерационной процедуры. Работа [4] прошла незамеченной, и МВИ переоткрывался ещё несколько раз: Е.Е. Жуков [6] применил МВИ в 1964 для решения линейного уравнений Жермен - Лагранжа; а В.А. Крысько [7] в 1968 для нелинейных уравнений Кармана; A. D. Kerr [8] в том же 1968 году независимо использовал МВИ для решения линейных уравнений, описывающих кручение стержня и назвал данный метод - расширенный метод Канторовича, которое сейчас используется в западной литературе. Доказательство сходимости было сделано В.А. Крысько, В.Ф. Кириченко [9] в 1980 году. На рисунке показана взаимосвязь методов Фурье, Бубнова - Галёркина, Канторовича - Власова и вариационных итераций.

МФ

Т

+МАБС

t *

мкв - МВИ МАБС

МКВ + МАБС МВИ+МАБС

t

Идеологическая связь методов

Метод вариационных итераций позволяет обойтись без построения аппроксимирующих функций, характерного для метода Бубнова - Галёркина. Вместо этого начальные пробные функции последовательно уточняются на основе решений исходных дифференциальных уравнений.

Метод Канторовича и его модификации широко используются для различных задач. Далее мы рассмотрим работы, в которых применялся метод Канторовича, и работы, которые существенно расширили данный метод.

В работе [10] Керр применил МВИ для решения задач на собственные значения в уравнениях с частными производными. Показано, что для мембранных задач сгенерированные выражения для собственных значений и собственных функций идентичны соответствующему точному решению. Для пластинчатых задач, которые разделимы, метод генерирует точные собственные значения и собственные функции. Было установлено, что во всех рассмотренных случаях конечные результаты не зависят от первоначального выбора функций и что итерационная процедура выполняется очень быстро.

МВИ применяется для решения двумерных задач упругости, сводя уравнения в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием подхода Канторовича.

МВИ по сравнению с другими численными методами имеет различные преимущества, среди которых можно назвать быструю сходимость, отличную точность, меньшие вычислительные усилия, любой тип распределенного условия нагружения и возможность получения решений замкнутой формы.

В работе [11] предлагается расширение метода Канторовича (метод вариационных итераций) путем введения двух параметров оптимизации таким образом, что дальнейшая оптимизация искомого решения становится возможной за счет минимизации управляющего функционала относительно этих параметров.

Метод вариационных итераций, предложенный Керром [10], был дополнительно расширен [12] до задачи на собственные значения упругой устойчивости различных прямоугольных тонких пластин, в котором использовались многочленные пробные функции, что является существенным расширением подхода Керра к одному члену. В результате точность решения значительно повышается.

В работе [13] представлены точные решения для бифуркационных изгибных нагрузок прямоугольных тонких пластин с толщиной, изменяющейся в направлениях, параллельных двум сторонам. Расчет критических нагрузок проводился с использованием расширенного метода Канторовича. Для полученного обыкновенного дифференциального уравнения используется точный метод анализа устойчивости сжатых элементов с переменной изгибной жесткостью. Нагрузка потери устойчивости определяется как нагрузка в плоскости, которая делает определитель матрицы жесткости равным нулю. Новые, точные результаты приведены для многих случаев однонаправленного и двунаправленного изменения толщины. Результаты данного метода очень точны.

Эффективность и применимость расширенного метода Канторовича для получения высокоточного приближенного решения замкнутой формы и изгиба цилиндрической панели была исследована в работе [14]. В результате данной работы была выявлена для получения высокоточного приближенного решения замкнутой формы для данной задачи.

В работе [15] с использованием РМК представлено высокоточное приближенное решение замкнутой формы для гибких тонких секторных пластин с зажатыми кромками, подвергнутых равномерной и неравномерной нагрузке.

В статье [16] предложена новая модель для прогнозирования изгиба пьезоэлектрических пластин при разных граничных условиях. Решение основано на расширенном итерационном методе Канторовича, обеспечивающем высокую точность.

В СССР и России этот метод в основном использовался в работах В.А. Крысько и его учеников. Впервые данной научной группой подход был применён в 1968 году для исследования изгиба гибких ортотропных пластин [17], а своё название - метод вариационных итераций - он получил в работе 1970 года [18], посвящённой численному исследованию гибких пластин и сравнению с экспериментальными данными. В дальнейшем учёные этой группы использовали метод вариационных итераций для решения геометрически и физически нелинейных задач теории оболочек и пластин [18, 19], в задачах проектирования оптимальных пластин [12-14] и по другим темам [25-27].

Применение вариационных методов в нелинейных задачах механики

Линейный и нелинейный анализ устойчивости прямоугольных пластин на основе теории фон Кармана [28], в котором используется многочленный расширенный метод Канторовича для преобразования связанного нелинейного набора уравнений равновесия в набор нелинейных уравнений. Демонстрируется эффективность метода для расчёта прямоугольных пластин с разными граничными условиями и дополнительными факторами.

В [29] разработан полуаналитический подход к геометрически нелинейному анализу прямоугольных слоистых пластин с различными граничными условиями при общем распределении нагрузок. Анализ основан на теории упругих тонких пластин с геометрически нелинейными деформациями фон Кармана. Решение нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных сводится к итеративному последовательному решению нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием многочленного расширенного метода Канторовича. Эффективность, точность и сходимость предложенного метода исследуются путем сравнения с другими полуаналитическими методами и конечно-элементным анализом.

Всестороннее изложение решений для геометрически нелинейного анализа изотропных и композитных слоистых пластин было дано Чиа [30]. Полуаналитические аппроксимации для нелинейной задачи слоистых пластин, подвергающихся большой деформации, были также получены с использованием метода Рэлея - Ритца [31] или метода Галеркина [32-34]. Эти подходы носят анали-

тический характер, однако их точность зависит от выбора пробных функций, которые должны удовлетворять хотя бы кинематическим граничным условиям. Другое аналитическое приближение для большого отклика на прогиб слоистых пластин основано на методе возмущений [35]. Однако из-за асимптотической природы этого метода рассматривались только ограниченные комбинации граничных и нагружающих условий.

Вариационные методы, применяемые к механике твердого тела, чрезвычайно полезны для постановки краевых задач, а также для нахождения приближенных и аналитических решений этих краевых задач. Все более широкое применение композиционных материалов для пластинчатых конструкций усилило потребность в решениях прямоугольных пластин. Вариационный подход имеет широкий спектр применения в механике твердого тела.

Вариационный подход для решения задачи о зажатой прямоугольной пластине при равномерной нагрузке используется в работе [36]. Данный подход является простым и практичным и показывает приближенное решение с очень высокой точностью.

Толщинно-сдвиговый вибрационный анализ прямоугольных кварцевых пластин проводился с помощью численного метода вариационных итераций (ЧМВИ), предложенного в статье [37]. ЧМВИ свел двумерную задачу об упругости к двум одномерным, а затем решил их итеративно, как метод Канторовича. Были подтверждены корректность и высокая точность ЧМВИ.

В работе [38] исследовали геометрически нелинейное изгибное поведение деформируемых сдвигом изотропных и слоистых композитных прямолинейных четырехугольных пластин, используя метод Галёркина (МГ). Рассмотрены применимость и точность метода МГ для линейных и нелинейных анализов изгиба изотропных трапециевидных и произвольных четырехугольных пластин.

Аналитический метод замкнутой формы для анализа прямоугольной пьезоэлектрической пластины с произвольным граничным условием на всех краях представлен в работе [39]. Было установлено, что одночленное решение МВИ дает достаточно хорошие результаты и эффективным не только для граничных условий типа Леви, но и для произвольных граничных условий.

Вариационный метод Канторовича также был использован в исследовании [40] для решения изгибной задачи пластин Кирхгофа - Лява с двумя зажатыми противоположными краями и двумя шарнирными краями. Было выяснено, что полученные решения сходились к точным решениям с использованием четырех членов ряда.

Анализ исследований в области пористых и функционально-градиентных материалов

Из приведённого анализа можно сделать вывод, что исследованию гибких прямоугольных в плане пластинок под действием поперечной нагрузки модифицированными методами Бубнова - Га-лёркина должного внимания не уделялось, нет сопоставления решений, полученных этими разными методами. Целью данной работы является ликвидация данного пробела в научных трудах, посвященных исследованию гибких упругих прямоугольных в плане пластинок.

При этом для получения корректных и практически значимых результатов необходимо также учитывать свойства материла, такие как пористость и функциональная градиентность.

Пористые материалы обладают низкой плотностью, высокой удельной поверхностью, хорошими теплоизоляционными, демпфирующими и звукопоглощающими свойствами. Благодаря этому они применяются в аэрокосмической, биомедицинской, энергетической и других высокотехнологичных отраслях для создания фильтров, теплообменников, демпферов, имплантатов и элементов конструкций с улучшенными функциональными характеристиками.

Исследования FGM становятся все более востребованными благодаря своим превосходным характеристикам, таким как тепловая защита и устранение концентрации напряжений. В данных приложениях функционально-градиентные (ФГ) макроразмерные и микропластины широко используются в качестве конструктивных элементов.

Использование функционально-градиентных (ФГ) материалов, свойства которых изменяются в определённом направлении, позволяет проектировать материалы с оптимальными свойствами в различных отраслях: нефтегазовой, аэрокосмической, автомобильной, биомедицинской.

Рассмотрим исследования, в которых проводился статический анализ гибких полноразмерных функционально-градиентных пластинок.

Нелинейному анализу изгиба полноразмерных FG структур посвящено большое число публикаций [41-58]. Большие прогибы многослойных FG прямоугольных в плане пластин изучаются в [41] с использованием унифицированной формулы Каррера, пластина имеет три слоя, из которых верхний и нижний слои -FG, а средний слой (сердцевина) - пористый FG. Решения получены методом конечных элементов и принципа виртуальной работы.

А кольцевые пористые пластины с переменной толщиной на упругом основании изучались в работе [42] для дискретизации нелинейных управляющих уравнений и граничных условий используется метод обобщенных дифференциальных квадратур (GDQM), а нелинейная система уравнений решается с помощью итерационного метода Ньютона - Рафсона. Анализ сходимости решения метода обобщенных дифференциальных квадратур не проводится.

Теоретическое решение конечной деформации труб при действии равномерно распределенной нагрузки и равномерного повышения температуры, основанное на традиционных уравнениях фон Кармана, дано в работе [43]. Управляющие уравнения выводятся на основе теории деформации сдвига высшего порядка и геометрической нелинейности по Карману. Система нелинейных дифференциальных уравнений решается аналитически с использованием двухшаговой техники возмущения и метода Галёркина. Данное решение является приближённым, так как аналитическое решение получено для линеаризованной системы, а не непосредственно нелинейной системы Кармана.

Алиджани и Амабили [44], используя метод Грина - Лагранжа для зависимости деформация - перемещение с учетом всех нелинейных членов, проанализировали нелинейный статический изгиб

и вынужденные колебания прямоугольных пластин. Они учитывали вращательную инерцию, параметры деформации толщины и сдвиговую деформацию третьего порядка для описания кинематики оболочки. Численные решения получены с помощью псевдодугового продолжения и схемы коллока-ции и программы конечных элементов ANSYS.

Анализ изгиба полноразмерных композитных FG пластин с учетом геометрической нелинейности по фон Карману проводится в работах [45-58]. В приведенных работах не рассматривается вопрос пористости пластин. Также не было проведено всестороннего анализа влияния параметров: функционально-градиентного индекса, типа нагружения пластины, отношения длины к толщине пластины и типа граничных условий на напряженно-деформированное состояние пластин на изгибания гибких прямоугольных в плане пластин.

Учетразмерно-зависимых эффектов в микро- и наномеханике

В последние годы активно исследуются размерные эффекты в микро- и наноструктурах, применяемых в МЭМС, НЭМС, биосенсорах и сканирующей микроскопии [49-62]. Далее рассмотрим работы, посвящённые изучению микро и наноструктур, в которых не рассматриваются пористые функционально-градиентные структуры. Экспериментальные исследования микро- и наноразмер-ных материалов проводились в работах [63-65].

В работе [63] показано, что традиционная теория упругости не способна уловить размерный эффект мелкомасштабных структур, когда размер материала лежит ниже приблизительно 10 мкм. В исследовании [66] было доказано, что градиенты деформации играют главную роль в определении мелкомасштабного эффекта МЭМС и НЭМС.

Тупин [67], Миндлин и Тирстен [68], Койтер [69] предложили теорию парных напряжений, учитывающую градиенты деформации и вращения для описания размерных эффектов, вводя от двух до трёх материальных параметров длины.

Янг и др. [71] разработали модифицированную моментную теорию упругости (MCST), основанную на теории парных напряжений с использованием симметричной парной теории. Эта теория содержит один MLS параметр, и она проще и легче в применении, чем любая другая теория градиента деформации.

С использованием неклассических теорий MCST (модифицированная моментная теория упругости) и теорий деформации сдвига третьего порядка (TSDT) проведен анализ изгиба микро/наноструктур [72-76]. Модифицированная теория градиента деформации использовалась при анализе изгибания балок и пластин в работах [77-81]. При этом в работах [49-81] не изучаются пористость и функциональная градиентность материала пластины.

Анализ композитных структур и моделей пористости

Анализ нелинейного изгиба функционально-градиентных пластин, армированных углеродными нанотрубками (FG-CNT), проведен в работах [82-92] c использованием метода kp-Ritz [82,83,90], дифференциальных квадратур [85], двухэтапного подхода возмущений в [86,89], методом

конечных элементов [88,91]. Свойства материала пластин FG-CNTRC оцениваются с помощью эквивалентной модели континуума, с помощью модифицированного метода Халпина - Цая [95] при использовании подхода Эшелби - Мори - Танака [97] и др. А решение методом Навье для линейной модели FG-CNT с использованием метода Навье для анализа влияния поверхностного напряжения получено в работе [92]. В исследованиях [82-92] также не рассматриваются эффекты пористости материала и не учитываются размерно-зависимые эффекты пластин.

Для получения достоверных результатов важно корректно учитывать эффекты, вызванные пористостью, функциональной градиентностью материала, и размерные эффекты изучаемых структур. В работе [93] отмечается, что до сих пор не существовало простых уравнений для предсказания влияния пустот произвольной формы на весь диапазон пористости, встречающийся в реальных материалах. Пористость является постоянной проблемой в отношении как прочности, так и модуля упругости для многих классов материалов, особенно керамики и горных пород. К специалистам по материалам предъявляются все более высокие требования по разработке постоянно растущего разнообразия новых материалов и связанных с ними процессов. По-видимому, наиболее точными из этих анализов являются анализы Маккензи [94] и Хашина [95]. В дальнейшем в аппроксимации выражения пори-

( * 1 ^"

стости большой вклад внесли авторы [96], которые записали, Р = (р - р )[ — + — , где Р, Рс, Рт

V к 2 )

упругие свойства материала конструкции, свойства керамики и свойства металла; h - толщина конструкции; п - параметр, который определяет профиль изменения материала по толщине.

Модификация этой модели для функционально-градиентных пористых конструкций предло-

(я 1V а

жена в работе [97]: Р = (р - Рт ) I — + — + Рт - (р + р )—, где а - показатель пористости (данная

V к 2)

модель пористости также анализируется в настоящей работе). Ими были проведены экспериментальные исследования для подтверждения предложенной ими теории [98]. Экспериментальное подтверждение теории для учета функциональной градиентности пластин по толщине продемонстрировано в работах [99,100].

2.7. Критический анализ неклассических теорий и методов решения

Применение классических теорий при исследовании мелкомасштабных структур может привести к неточным результатам. С точки зрения неклассического поведения материалов можно рассмотреть размерно-зависимые теории микро/наноструктур для анализа их механического поведения. За последние годы было опубликовано множество исследований, в которых модели механики сплошной среды использовались для исследования микро-/наноструктур с различной геометрией [101]: балки, пластины и оболочки и др.

Среди неклассических размерно-зависимых теорий, применяемых для моделирования микро-и наноструктур, модифицированная моментная теория упругости (ММТУ) отличается использованием всего одного параметра длины материала, что упрощает её применение [102]. Эта теория также

обладает относительной простотой реализации в методах конечных элементов [103] и обеспечивает эффективное численное представление упругих характеристик [104]. Данная теория активно применяется при моделировании двухфазных сплавов, изучении течения и ползучести поликристаллов, распространении трещин [102-105], оптических фононных кристаллов/метаматериалов [106], бикристал-лов, микромасштабных устройств безопасности, микрорезонаторов/приводов [107].

В то же время другие неклассические теории обладают определёнными недостатками. Так, нелокальная теория упругости Эрингена в некоторых случаях приводит к парадоксальным результатам при расчёте собственных частот: там, где ожидается ужесточение системы, модель может показывать её смягчение, и наоборот [108, 109]. Противоречивые результаты также наблюдаются для специальных случаев граничных условий и нагружения, таких как сосредоточенная нагрузка на свободном конце или конструкция с жёстко защемлённым контуром [108, 109].

Экспериментально замечено, что микропластины демонстрируют механическое поведение, зависящее от размера, которое обычно называют «эффектом размера» [110]. Поэтому при анализе механического поведения микроструктур ФГ крайне важно учитывать размерные эффекты [111,112]. В работе [110] рассматриваются различные теории пластин, зависящие от размеров, такие как теория пластин Кирхгофа (KPT) [113], теория пластин Миндлина (MPT) [114], теория сдвиговых деформируемых пластин высшего порядка для размерно-зависимых функционально-градиентных пластин. В работе [115] отмечается, что для пластин при больших значениях отношения длины к толщине эффект сдвигового напряжения/деформации уменьшается, и численные решения всех теорий пластин приближаются к моделям теории Кирхгофа.

Анализ гибких микро/нанофункционально-градиентныгх пластин

Статический анализ гибких микро/нанофункционально-градиентных пластин

В исследованиях [116-120] рассматривается изгиб пластин, опирающихся на упругое основание Винклера - Пастернака с учетом нелинейности фон Кармана. Кольцевые пластины из функционально-градиентного композита, армированного углеродными нанотрубками (FG-CNTRC), с переменной толщиной, изучаются в [116]. Нелинейные управляющие уравнения составлены в соответствии с теорией сдвиговых деформаций третьего порядка. Для дискретизации нелинейных управляющих уравнений и граничных условий используется метод обобщенных дифференциальных квадратур (GDQM), а нелинейная система уравнений решается с помощью итерационного метода Ньютона - Рафсона. Анализ тонких прямоугольных пластин с применением метода дискретной сингулярной свертки (ДСК) проведен в [117]. Для анализа свободных колебаний функционально-градиентных пористых (FGP) неоднородных кольцевых нанопластин, лежащих на упругом основании Винклера, применяется сглаженный метод конечных элементов, основанный на теории сдвиговых деформаций первого порядка (FSDT) [118]. Статический и динамический анализ проведен с помощью методов квадратурных гармонических дифференциалов (HDQ) и конечных разностей (FD) соответственно в работе [119]. Отметим что в работах [116-119] параметры оснований не зависят от

координат (x,y). Нелинейный статический анализ изгиба микропластин, опирающихся на упругие основания Винклера - Пастернака, рассматриваемый как функция от (x,y) с использованием метода конченых разностей, проведен в [120]. Рассматривается только один тип локального основания в углу пластины при действии равномерно распределенной поперечной нагрузки. Исследовано влияние масштабного параметра длины, нелинейности, параметров упругого фундамента, и граничных условий на нелинейную статическую изгибную реакцию микропластин. В рассмотренных статьях [116120] не проводится анализ влияния температуры и влажности пластины и упругого основания, а также пористости материала. При этом используемые в работах методы конечных разностей уступают в скорости получения решения методу вариационных итераций, рассматриваемому в настоящей работе.

В исследованиях [121,122] проведен геометрически нелинейный анализ больших деформаций композитных прямоугольных пластин, армированных функционально-градиентными углеродными нанотрубками (ФГ-УНТ), опирающихся на фундамент Пастернака c использованием метода IMLS-Ritz. Теория сдвиговых деформаций первого порядка (FSDT) и предположение фон Кармана учитывают деформации поперечного сдвига, вращательную инерцию и умеренное вращение. Проведены исследования сходимости и сравнения нескольких задачах. При этом параметры оснований не зависят от координат (x, y), не исследуется влияние размерных эффектов, влажности на свойства пластины и упругого основания.

Метод Навье применялся для статического и динамического анализа функционально-градиентных пластин на упругом основании Винклера - Пастернака в линейной постановке в работах [123-130]. В частности, в [123] исследовано влияние температуры и влажности на изгиб функционально-градиентных пористых пластин, опирающихся на упругое основание. Анализ влияния армирования углеродными нанотрубками на изгиб FG проведен в [124,125], а пористость материала пластины учитывается в [126]. При этом параметры основания не зависят от координат x, y и не учитываются температурное поле и влажность пластины и упругого основания [123-129]. Статический изгиб одностенных углеродных нанотрубок на основе микролучевых моделей сдвиговой деформации высшего порядка в сочетании с модифицированной теорией градиента деформации изучается в [130]. Обсуждается влияние соотношения параметров длины материала к диаметру, коэффициента упругости, типа нагрузки и модуля Винклера.

Нелинейные динамические реакции слоистых пластин на вязкоупругом основании, состоящих из слоев композита, армированного графеном (GRC), в тепловых средах изучаются в [131]. Свойства материала GRC оцениваются с помощью расширенной модели Халпина - Цая. Для учета эффекта малых масштабов вводятся параметры эффективности графена, которые определяются из результатов моделирования молекулярной динамики (МД). Пластина моделируется на основе теории сдвиговой деформации пластин высшего порядка. Прогиб как функция времени определен числен-

ным методом Рунге - Кутты четвертого порядка. Анализируется влияние функционально-градиентного материала, вязкоупругих оснований, изменения температуры на динамическое поведение плиты FG-GRC.

В работе [132] метод дифференциальных квадратур (DQM) применялся для анализа пластин с температурно-зависимыми свойствами, градуированными по всем трём пространственным направлениям по степенному закону. Приведены результаты для различных граничных условий.

Изгиб пластин при действии различных типов нагружения изучается в [133]. Анализ изгиба и свободных колебаний микромасштабной функционально-градиентной пористой нанокомпозитной кольцевой пластины с отверстием в центре пластины, расположенной на бипараметрическом упругом основании, проведен в[133]. Для учета эффекта размера используется модифицированная теория градиента деформации (MSGT), Полученные управляющие линейные уравнения решаются с помощью, обобщенной дифференциальной квадратурной схемы (GDQ).

Исследование прямоугольных пластин, опирающихся на упругие основания в линейной постановке с использованием метода Навье, представлено в [134-136]. Влияние температуры и влажности на изгибную реакцию таких плит исследуется с помощью уточненной теории пластин [134-136]. Эта теория включает эффекты поперечной деформации сдвига, а также поперечной нормальной деформации. В исследовании [136] предлагается глобально-локальная модель высшего порядка (HGLM), удовлетворяющая условиям непрерывности поперечных сдвиговых напряжений на границах раздела для многослойных пластин. В работе [137] исследуется модель прямоугольных пластин в линейной постановке, которая учитывает влияние деформации поперечного сдвига, а также поперечной нормальной деформации. Полученная система дифференциальных уравнений имеет пять неизвестных. Исследовано влияние параметров фундамента Винклера и Пастернака, температуры, концентрации влаги, поперечной деформации, соотношения сторон плиты. При этом в работах [133-137] рассматриваются системы линейных дифференциальных уравнений. Также в работах [133-137] не рассматривается случай, когда параметры оснований являются функциями, зависящими от координат x, у.

Анализ литературы показал, что существующие методы анализа пластин имеют значительные ограничения применительно к комплексному моделированию пористых ФГМ.

Проведенный анализ литературы позволяет систематизировать современные подходы и выявить ключевые методологические ограничения, препятствующие комплексному анализу новых классов конструкций из пористых функционально-градиентных материалов.

1. Существующие математические модели обладают фрагментарным характером. Большинство исследований посвящено учету лишь отдельных факторов: либо геометрической нелинейности, либо пористости, либо размерных эффектов в рамках классических теорий. Отсутствуют модели, которые бы одновременно и в единой постановке интегрировали полную геометрическую нелинейность Грина - Лагранжа, несколько типов распределения пористости, температурно-влажност-ные воздействия, а также взаимодействие с пространственно-неоднородным упругим основанием,

описанное в рамках модифицированной моментной теории упругости (MCST). Подобный пробел также характерен для моделей пластин сложной геометрии (косоугольных, конических секторных), критически важных для приложений.

2. Применяемые вычислительные методы имеют существенные недостатки при решении новых комплексных задач. Классические вариационные методы, такие как метод Ритца или Бубнова - Галёркина, требуют априорного удачного выбора аппроксимирующих функций, что становится практически неразрешимой проблемой для задач со сложной пространственной неоднородностью свойств и параметров основания. Универсальные численные методы, прежде всего метод конечных элементов, становятся чрезмерно ресурсоемкими при необходимости проведения многовариантных нелинейных расчетов с высокой точностью, что делает масштабный параметрический анализ непрактичным. Существующие полуаналитические методы (метод Канторовича, метод возмущений) либо имеют ограниченную область применимости для сильно нелинейных задач, либо опираются на гипотезу о разделении переменных, неадекватную для случаев, когда параметры основания или нагрузки являются функциями координат.

3. В литературе отсутствуют систематические исследования взаимного влияния ключевых параметров. Имеющиеся работы, как правило, исследуют влияние одного-двух факторов в ограниченном диапазоне. Комплексный параметрический анализ, направленный на установление количественных и качественных закономерностей совместного влияния типа пористости (и, X, О), ее объемной доли (Г), градиентного индекса (к), безразмерного размерного параметра (/), характеристик неоднородного основания и степени геометрической нелинейности на напряженно-деформированное состояние конструкций, ранее не проводился.

Таким образом, центральной проблемой, решаемой в диссертации, является преодоление методологического разрыва между комплексной физико-математической постановкой задачи и отсутствием эффективных вычислительных инструментов для её анализа. Разрешению данной проблемы и посвящено настоящее исследование, основные положения и результаты которого изложены в публикациях автора [138-152]. Разработанные в рамках работы высокоэффективные вычислительные алгоритмы реализованы и зарегистрированы как программы для ЭВМ [153-155].

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод вариационных итераций – расширенный метод Канторовича в математическом моделировании геометрически нелинейных пористых размерно-зависимых механических структур»

Цели работы:

1. Разработка новой математической модели микро- и наноразмерных пластин и оболочек из пористых функционально-градиентных материалов, учитывающей температурно-влажностные воздействия, нелинейность деформирования и их взаимодействие с упругим основанием Винклера - Пастернака с пространственно-переменными параметрами.

2. Разработка методов решения систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных отличающихся высокой точностью и быстродействием.

3. Проведение численных экспериментов для анализа влияния основных факторов на напряжённо-деформированное состояние (НДС) пористых функционально-градиентных размерно-зависимых пластин.

Методы исследования. Для решения поставленных задач в работе был реализован комплекс численных методов, включающий метод Бубнова - Галёркина (МБГ), метод конечных разностей (МКР) и оригинальный комбинированный подход на основе метода вариационных итераций (МВИ), сочетающий МВИ с методом учёта невязки Аграновского - Баглая - Смирнова. Данная методология обеспечивает как независимую верификацию результатов, так и возможность выбора вычислительного инструмента в зависимости от специфики решаемой задачи.

Ключевое достижение методологической части работы - предложенная модификация метода вариационных итераций. Её преимущества заключаются в следующем: метод позволяет отказаться от гипотезы Фурье о разделении переменных и обеспечивает получение практически точных решений для систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, а также обладает высокой вычислительной эффективностью: при сохранении требуемой точности вычислений модифицированный МВИ позволяет сократить время расчётов более чем в 100 раз по сравнению с классическим методом конечных разностей.

Объектом исследования является (НДС) гибких пористых функционально-градиентных (ПФГ) микро- и наноразмерных пластин и оболочек, находящихся на упругом основании Вин-клера - Пастернака под воздействием механических, температурных и влажностных полей.

Предметом исследования выступают математические модели, вычислительные алгоритмы и специализированные программные комплексы, разработанные для статического анализа механических структур. В рамках предмета исследования рассматриваются методы построения моделей на основе модифицированной моментной теории упругости, алгоритмы реализации модифицированного метода вариационных итераций, метода Бубнова - Галёркина и метода конечных разностей, а также методика проведения параметрического анализа влияния ключевых факторов на НДС.

Научная новизна:

1. Впервые построена комплексная математическая модель статики гибких размерно-зависимых ПФГМ пластин и оболочек, интегрирующая в единой постановке модифицированную момент-ную теорию упругости, полную геометрическую нелинейность Грина - Лагранжа, четыре типа распределения пористости, температурно-влажностные воздействия и упругое основание Винклера -Пастернака с параметрами, зависящими от координат.

2. Разработаны новые математические модели для анализа НДС пластин сложной геометрии: косоугольных и конических секторных пластин.

3. Предложена и теоретически обоснована модификация метода вариационных итераций (МВИ), сочетающая МВИ в первых двух приближениях с методом учёта невязки Аграновского -

Баглая - Смирнова, что позволило получить решения, практически совпадающие с точными, при экспоненциальном росте вычислительной эффективности.

4. Впервые проведен комплексный параметрический анализ, установивший количественные и качественные закономерности влияния ключевых параметров (пористость, градиентный индекс, размерный эффект, характеристики основания) на НДС изучаемых конструкций.

Практическая значимость работы заключается в создании высокоэффективных программных комплексов, которые могут быть использованы для проектирования и анализа перспективных элементов конструкций в авиа- и ракетостроении, биомедицине, буровой технике. Разработанные модели и методы использованы для анализа несущей способности конических секторных пластин, применяемых в качестве элементов бурильных долот. Результаты работы нашли отражение в выполнении проектов при поддержке Российского научного фонда (гранты РНФ 22-11-00160, 22-71-10083).

Положения, выносимые на защиту:

1. Разработаны новые математические модели гибких пластин и оболочек, позволяющие учитывать свойства материала (пористость и функциональную градиентность). Размерные микро-/наноразмерные эффекты учитываются согласно модифицированной моментной теории упругости. Учитывается полная нелинейность Грина - Лагранжа. Принята кинематическая теория Кирхгофа -Лява. Получены математические модели для анализа пластин сложной геометрии: косоугольные и конические секторные пластины. Модель позволяет учитывать температуру, влажность и локальное упругое основание Винклера - Пастернака с параметрами упругого основания как функции х, у.

2. Научно-методический комплекс для решения нелинейных краевых задач, включающий модификации метода вариационных итераций (с учётом невязки), метода Бубнова - Галёркина и метода конечных разностей, а также соответствующие алгоритмы и программные реализации, доказавшие свою эффективность при анализе статики гибких ПФГ пластин и оболочек.

3. Комплексное обоснование достоверности результатов, обеспеченное их взаимным согласованием, полученным с помощью независимых численных методов (МВИ, МБГ, МКР), и верификацией на решениях других авторов и методом конечных элементов.

4. Дано развитие метода вариационных итераций применительно к анализу гибких размерно-зависимых ПФГМ пластин сложной геометрии: косоугольных пластин и конических секторных пластин с использованием МВИ.

5. Установлены количественные и качественные закономерности влияния ключевых параметров (пористости, градиентного индекса, размерного эффекта, характеристик основания) на напряжённо-деформированное состояние гибких ПФГ пластин, выявленные в результате серии численных экспериментов.

Таким образом, анализ современного состояния проблемы выявляет три взаимосвязанных пробела: 1) отсутствие адекватной комплексной математической модели, описывающей совместное действие всех перечисленных факторов; 2) дефицит высокоточных и одновременно вычислительно

эффективных методов для решения соответствующих нелинейных краевых задач; 3) неполнота знаний о закономерностях поведения исследуемых конструкций, что затрудняет их оптимальное проектирование.

Разрешению этой комплексной научной проблемы и посвящена настоящая диссертационная работа. Ее выполнение предполагает последовательную разработку математической модели, создание и обоснование модифицированного вычислительного алгоритма на его основе, а также проведение всестороннего численного исследования для установления новых закономерностей.

Структура диссертации отражает этот подход: первая глава посвящена построению математической модели и разработке методологического аппарата, вторая глава - верификации методов и фундаментальному параметрическому анализу НДС квадратных пластин, третья глава - демонстрации эффективности подхода для задач сложной геометрии.

Решение поставленных задач формирует научно-методический комплекс, применимый для проектирования перспективных элементов конструкций в аэрокосмической, биомедицинской и других высокотехнологичных отраслях.

I. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И МЕТОДЫ АНАЛИЗА ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫХ ПОРИСТЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАДИЕНТНЫХ РАЗМЕРНО-ЗАВИСИМЫХ ОБОЛОЧЕК

1.1 Математическая модель геометрически нелинейных функционально-градиентных пористых микропластин Кирхгофа

Рассмотрим оболочку в пространстве Я3, V е]о < х < а 0 < у < Ь - — < г < + — \ толщины Ь, со

1 ' У ' 2 2 /

сторонами а,Ь с параметрами кривизны кх = 1/ Ях, к = 1/ Я. Срединная поверхность при г = 0 обозначим как 5 = {х, у / (х, у )е[0, а]х[0,Ь]|.

Рисунок 1.1 - Расчетная схема оболочки

Исходные уравнение получены в рамках следующих гипотез:

1) Гипотеза Кирхгофа - Лява.

2) Геометрическая нелинейность учитывается в рамках теории Грина - Лагранжа. Являясь более общей, эта теория включает нелинейность Т. фон Кармана как частный случай.

3) Размерные микро/наноэффекты учитываются согласно модифицированной моментной теории упругости [71].

4) Оболочка опирается на упругое основание Винклера - Пастернака. При этом коэффициенты основания - коэффициент Винклера к№ (х, у) и коэффициент Пастернака к (х, у) - являются функциями координат (х, у).

5) Материал оболочки упругий, но не однородный и его свойства зависят координаты ъ и температуры: Е (г, Т), г, Т).

Основным преимуществом и научной значимостью разрабатываемой математической модели является её обобщающая постановка. Данная постановка позволяет в рамках единой системы уравнений учесть: полную геометрическую нелинейность (Грин - Лагранж), микроструктурные эффекты в рамках модифицированной моментной теории упругости (MCST), пространственную неоднородность свойств материала (функциональная градиентность и пористость), влияние внешних полей (температура, влажность), а также взаимодействие с неоднородным упругим основанием. Важно

отметить, что классические модели (линейная теория, нелинейность фон Кармана) получаются из неё как частные случаи, что подтверждает корректность модели и демонстрирует широту её применимости.

В рамках исследования рассматриваются четыре основные модели, описывающие распределение пористости по толщине функционально-градиентных материалов (FGM). К ним относятся модель равномерной пористости (U-PFGM), модель с минимальной пористостью на срединной поверхности (O-PFGM), а также две модели с максимальной пористостью в центральной области: полиномиальная (X-PFGM) и её тригонометрический аналог (Тип 1), математическое описание которого основывается на положениях функционально-градиентной теории [156, 157]. Наглядное сопоставление профилей пористости для всех указанных моделей представлено на рисунке 1.2.

Тип 1

U-PFGM:

Рисунок 1.2 - Схемы пористого материала

E (z) = [ЕЯ + (Ес - Em )(1/2 + z / h ) ][1 - Г cos [xz / h ]], V( z) = [я + V -Vm )(l/2 + Z / h ) ][1 - Г cos [xz / h ]].

E (z) = ( Ec - Em )(l/2 + z / h ) + Em-(Ec + Em) Г/2,

V( z) = (Vc -Vm )(l/2 + z / h) +Vm -(Vc + Vm ) Г/2. ,

(1)

(2)

X-PFGM

E (z) = (Ec - Em )(1/2 + z / h) + Em-(Ec + Em )(1/2-I z| / h) Г, V( z) = (Vc -Vm )(1/2 + z / h) +Vm -(Vc + Vm ) (1/2-| z\/h ) Г.

(3)

O-PFGM

E (z) = ( Ec - Em )(1/2 + z / h ) + Em-(Ec + Em )| z| Г / h, V( z) = (Vc -Vm )(1/2 + z / h )k +Vm -(Vc +Vm )| ^ Г / h.

(4)

Здесь Ес, Ет, цс, /ит - модули упругости и коэффициенты Пуассона керамической и металлической фаз функционально-градиентного материала, Г представляет собой показатель пористости. Параметр Г е [0; 0.4] ,где Г = 0 соответствует сплошному материалу без пор),£- коэффициент, определяющий соотношения объёмных долей материала, так называемый функционально-градиентный материальный индекс.

Согласно гипотезе Кирхгофа и соотношениям Грина - Лагранжа деформации произвольной точки пластинки с учетом влажности и температуры вычисляются по формулам:

d w du 1 ( dw

1 (du V 1 ( dvл2

s = -z^+dx+2J -k*w-a(z)T(xyz)-ß(z)C(xy,z)+2J + 2[&

d2w dv 1 s.,., = - z-- +-+ —

dv dv 21 dv

dw

1 ( dv

- к w - a(z)T(x, y,z) - ß(z)C(x, y,z) + - —

21 dv

1

+ —

2

du dv

„ d2w du dv dw dw du dv du dv S = -2z-+ — + — +--+--+--.

xv dxdv dv dv dx dv dv dx dx dv

где w( х, у) - функция прогиба, и( х, у), х, у) - функции перемещений.

Напряжения <гхх , ст ,фигурирующие в выражении для плотности энергии деформации,

тхх, т№, тху - моменты высшего порядка и Ххх, Х^, Х^^ - компоненты симметричного тензора

кривизны деформации и компоненты симметричного тензора градиента кривизны, определятся выражениями:

Е( г, Т) Г -| Е (г)

а =

1 — ¡и(z, T)2 [Sx ¡¡^T)Syy ] ' _yy 1 — u(z,T)2

а =

yy

[Syy -U(z, T)S

_ E(z, T) _ d2w _ d2w 1

axy = 1 + u(z,T) Sxy, Xxx = dXdy ' Уу =-dXdy ' Xxy = 2

( d2 w d2 w ^

dy2 dx2

(6)

-E ( z, T ) 2 E( z, T ) 2 E ( z, T ) 2v

да =-1 y , да =-1 y , m =-1 y .

^ (1 +u( z, T)) y, (1 +u(z, T)) У, yy (1 +u(z, T)) Xyy

где l- размерно-зависимый микро/нанопараметр.

Выражение упругой энергии:

и=2 jj(

+ ayySyy + axySxy +mxxXxx + myyXyy + тхУУхУ

J dQ,

(7)

Подчёркнутые слагаемые определяются согласно модифицированной моментной теории упругости [71].

Энергия деформации упругого основания в пластине вычисляется следующим образом:

Uf =

1 f

2 j

kw + k

r d2w d2w^

dx2 dy2

d Q,

(8)

где кк (х, у) - коэффициент Винклера, к (х, у) - коэффициент Пастернака. Внешняя работа, связанная с распределенными силами, имеет вид

W = fj q (x, y) w(x, y)dS,

(9)

Кинетическая энергия

^ h/2 K =1 i i p(x У, z)

S -h/2

( dw Y ( du Y ( dv ^

v dt j

v dt j

v dt j

dzdS.

(10)

Искомые дифференциальные уравнения получим согласно принципу Остроградского - Га-

мильтона:

•1

jô(-U - Щ + W + K ) dt = 0

(11)

2

2

S

о

Введем обозначения

=| ^^, Ку =| , Тху = | ^ху^

= Га

к

2 к 2

мх = } , му = | , Ну = | а^ёг

Представим МВИ вариацию потенциальной энергии в виде суммы

5и = Зиг + Зи2 + £ЦУ3 +

к/2 а Ь

- к/2 а Ь

5и1 = I \\[ахх5ехх ] ^^

к/2 а Ь

ЛI

- к/2 0 0 аЬ

^-и ( 1 Г От

о--кх от + о —I —

-х 2I -х

V V у

2

+ 0

У

аЬ

1 Г -и

2 1-х

22 11 -V

+о

2 1-х . V 4 у У

- 25

2 У

йхйуйг

а Ь а Ь а Ь а Ь

—- Оиёхёу - Г Г кхКх отйхйу + Г Г Nх — 5| — I йхйу + Г Г Их — 5| — I йхйу

Ох Р^у 1 Р)у I * * 1 ^у I

0 0 аЬ

-х V -х

00 Ь

0 0 Ь

а Ь а Ь Ь Ь

+Я Кх -У 5| -У I йхйу-Ц—т 5| — I йхйу + { К^иЛу^ -\мх5\ — I йу\

—х V Ох ' * ' * '

-х V 5х, -Т

2 I ^ I ! х ^ 1х=0 ! х I /-,

ох V ох У • • V ох

х=а х=0

- Г-Мх о^^ёу \х=а = Г Г5иёхёу - Г Готйхйу + Г Г — | N — I отйхйу * Ох * '

0

аЬ

а Ь

-К

о

аЬ

аЬ

Ох

Ох

а Ь Ох1 КI +1| к к I ^

00 Ь

Ь Ь Ь

Кх оиёу \х=а мх 5| -т I ф \х=а -/^М" \

-т

О

О

=а =0

к/2 а Ь

ои2 = | ||[аУУоеУУ ]

к/2 а Ь

ЛI

-к/2 0 0

-к/2 0 0

уу

о — - к + о

-у у

1Г -Т ^ 2,

2

+о

1Г -и ^ 2 [Оу ,

2

+о

1 Г-У ^

2 1ОУ у

2

- го

^О2 И

-у

V ^ У

йхйуйг

Я-^ оиёхёу +ГГ кКх^тйхйу-ГГ Ку -Т йхйу -ГГ Ку о

00 °у 0 0 0 0 Оу V °у У 00 °у У

а<1 ^ О^ Го^I

аЬ

I\КГ

00

Оу Г ОУ ^ —о —

ду VдУ У

00 а

^ „Г5u^

дхйу

ёхёу +1Куоуёу + |Муо| О^ Iйу ^

•ОМ,,

Оу

у=0 =

•ОК.

5 ^^ О^^

оийхйу-Л^у^Лу + куОт,

0 0 оу 0 0 0 0 оу V оу У

отйхйу

аЬ

+ГГ—Г Ку Ои 1

Г0 Г0 ду V у ду У

аЬ

оийхйу + Г Г— К —

оо °у V у °у У

оуйхйу

г Ь г Г От 1 , % дMv

+ Г Коуйх^ +| Муо — йх\у=0 +\-Му- отйх \

о у I V-y^ у а -у

у=ь у=0

(13)

(14)

(15)

00

0

Ь

Ь

а

а

а

а

0

0

0

Ь

Ь

а

а

н/2 а К

ИI [

- н / 2 а К (

Зи3 = I Ц[аху3еху ]

Н /2 а Ь

III

„,Эи | „ ( ду Л дw „( с№ Л дw t,[Эw ) д| — | + д| — 1 + —д| — 1 + —д| — 1 + ^ду ) \дх) ду ^ дх) дх ^ ду)

ди _( ду Л ду _( ди Л ди _( ду Л ду _( ди Л „ ¿V ^

+ — д| — 1 + —д| — 1 + —д| — 1 + —д| — I-2г-

ду ^ дх) дх ^ду) дх ^ ду) ¿у V дх) дхду

а а Ь ^^ Ь а Ь

= I TSudx |у=Ь -II — Sudxdy +1 Т8уйу |х=а -II — 8удхйу +

0 0 ду о ^

dxdydz

0

Ь а Ь

д^ ^ ^ г г д

дх

Т ^ Swdy |х;о -II

0 ду 0 0

Ь ^ а Ь ^

+ [Т ^ Svdy|x=0а -[[ —

0 ду х =0 0 0 дх

^ дw ду _

уди

ду

00 дх

а

дw

Swdxdy + ^—Swdx |у=^ -Ц-"-0 дх 0 0 ду а Оу а Ь ^

Svdxdy +1Т—Sudx |у=Ь -II

дх

0 дх у =0 0 0 ду

Ь

Ь

д

1Т дх ^'И- - Ц *

уди

дх

дх ду

уду

дх

д

уду

дх

Svdxdy + [Т—Sudx | у=Ь - 11

0 "у у = 0 0 "у

дw к ,у=Ь _ „ ,„=а,у=Ь Л„ „(дwЛ_______а1Ь д2Н в

дх

Swdxdy + Sudxdy + Sudxdy +

+2IЯxyS| — Idy|y=0 +2aЯxyS(w)|X=0lУ=Ьо +21—)^|х=а -21Swdxdy

. У У К ^ у а0 Ь0

(16)

0 V ^ у Ь0

Слагаемые для учета членов по модифицированной моментной теории упругости

Н /2 а Ь

^4 = | Я^хх^хх + Шуу^хх + ^^ yySХуу ] ^ФЖ

- Н /2 а0 Ь1 2

г =

//

0 0 Ь

¡А

Аъ!2

д w д w

д2 ^

+ 2

дх2 ду1 дхду

)

Swdxdy +

д 2w (Л г д3w

Sl — ! ёу |х=а - IА3 Swdy |х

0 ах2 | дх ) =0 I 3 ах3 х

¡А

а V

S

3 ау2 ^ ¿у)

жу =0 -/ А3 а^ swdy|y:=ьо +21А3

0 у а0

^ а2w (а^ Л IА — S| — Iёу |

J дхду ^ ¿х)

+2 А

дхду

S(w) |

а2 w

8

дхду ^ду у

х=а у=Ь

х=0| у=0

+2

х=а х=0

(17)

Н/2 0 0

Ь

а

а

0

Вариация энергии упругого основания

о Ь

0 0

к^ + к

ах2 + ау2

Swdxdy

(18)

Вариация кинетической энергии имеет вид

^ 01 Ь1

I = -/ / /

хп о К

А п2 п2 п2 Л

а w а и а у

—Т+—Г+—1

дх1 дх2 а/2

рН

Вариация внешней работы

¿1 ¡1 ^

¡1 ^

Swdydxdt

(19)

¿1 о Ь

SW = Ш рх Sudxdydt + |Ц Ру Sуdxdydt + |Ц ц^^ёхёуёх

(20)

Таким образом, согласно принципу Остроградского - Гамильтона получили результирующую систему дифференциальных уравнений пористых функционально-градиентных размерно-зависимых оболочек относительно функций прогиба х,у) и перемещенийи(х, у),у(х, у). Полагая кх - к - 0

, получаем уравнения для пластин. Подчеркнуты слагаемые, в которых учтена геометрическая нелинейность в формулировке Грина - Лагранжа. Если подчеркнутые члены в выражении (21) приравнять нулю, то в качестве частного случая получим модель с нелинейностью Т. фон Кармана. При этом в работе исследуются задачи статики ПФГМ оболочек пластин и поэтому динамические члены (подчеркнутые двумя линиями) в уравнениях (21) не учитываются.

дЫх ЭТ + д_

дх ду дх

N - + г ^

х дх ду

+ -

д_

ду

N д~и + г *

у ду дх

+ Рх -Р

д^и дí2

- 0;

дNv дт д

ду дх ду

N -+т ^

у ду дх

+ —

дх

Nx ^ + Т ^ х дх ду

д2у л

+ Ру^ - 0;

N

д ж

"дх7

+ N

д2 ж дЫ дж дЫу дw дТ дж дТ дж

у ду2 дх дх дУ дУ дУ дх дх ду

+--+--+ 2Т

д ж дхду

+ Ч

+ -

д2ы: д2М*

дх2

ду2

+ 2-

д2 н:

ху

дхду

+ кхЫх + куЫу -Р

д2 ж д12

где

N.. - А

Г дw |2 ^ ди 1 Г ди |2 + 1 Г дуЛ 2Л|

V дх J+дx ^ + ~2\дх2^2{дх^у

-0

А

д2 w дх2

А

ГдИ2

ду

ду , 1 Г ду^ ---к м> + — —

ду у 21 ду

1

^ ди) ду

2

д2 ^

— + N + N, х у,

Тху = Аз

^ дм д^ дw дм ди ди ду ду ^ ду дх дх ду дх ду дх ду

■2 А

-зс

ду2

д2 w дхду'

Ну - 2А6

д2 ^ дхду

А

^ д^ д^ ди ду ди ди ду ду ^

1з С

М.. - А,

д2 ^ ~дх2

А

V д^ дх

дх ду ду дх дх ду дх ду

2

ди 1

— - кхт + -дх х 2

ди 2 1 ^ ду I21

дх 2 V дх )

. д2 м>

А - 2 + А а ду

((дт}2 ду

ду 1 ---к» + —

ду у 2

2

ду

ди 2

ду

+ Мт + Мс, х ^ у.

где коэффициенты имеют вид

Л/2 / , Л Л/2 / , Л Л/2

А1 = 1 ^ I ТТ"^ I^ А2 = \ Щ -—ц I ^ А3 = \

-Л/2 V(1 )) -Л/2 V(1 ) ) -Л/

Е/

-Л/2 Л /2

Л/2 2(1 + /)

Л/2

-Сг

Л/2 / , N Л/2 / , N Л/2

А1а = 1 Е^ 1^ ^с = 1 еМ\--^ Iаза = 1

-Л /2 V(1 )) -Л /2 V(1 )) -Л/

I Л/2 Г 1

I г С, А5 - 1 е /I —

) -Л/2 V(1 '

е/

а. - 1 е

4 -Л/2 V (1 -и2) 2(1 + /)

Л/.2 е / + /2)

А - [ -1 2 2с!2

-л'2 2(1 + /) where е - Е(г,Т) , г, т).

2 2(1 + /) 12

а

-и2) 2(1 + /)

г С2,

(21)

(22)

(2з)

Выражения для М*,Му,Иу моментов приведены с учетом модифицированной моментной теории упругости I е (0;1], для классической теории при I = 0 получаемМ* = Ых, М* = Му, И* = И . Интегралы Аы, А2а, = 0 для оболочек из сплошного материала и для оболочек, в которых пористость и функциональная градиентность пластины симметрична относительно срединной поверхно-

сти.

Начальные условия

™ 1=о= 1=о= 1=о=*'<>;*' 1=о=»1;и= и= ^ Граничные условия определяются согласно выражению (25)

(24)

I М^иёу |х=0 +I ТSudx |х=0 +I NySvdx |у=Ь0 +I ТSvdy ||

|х=а |х=0

IN —Swdy Г° -1N —^^'^ёх |у=Ь - IИ —Swdy |х=а -1И —SwdX |

[ х —х у |х=0 I у —у |у=0 I ^ —у |х=0 I ху —х |

у=Ь у=0

— ■

м

дх

К амв ^йуи -I у

—у

Мх |у=0 ♦/Мх^ ] ёу |х=0 +IMyBsrя,íЛ

д^

)

(25)

ёх |у их |у=0

]ёхС ^^К = 0

В работе рассматриваются пластины для граничных условий: шарнирного неподвижного края:

w = 0, w = 0,

а2 w . 2 а2 w

—и—-

—х2 —у

+ Д2и—Т = 0 = 0, и = 0, у = 0 при х = 0; 1,

а w т а w

—т + т = 0 = 0, и = 0, у = 0 при у = 0; 1, ду дх

(26)

защемления при неподвижном крае

д^

w = 0, — = 0, и = 0, у = 0 при х = 0; 1,

дх

дw

w = 0, — = 0, и = 0, у = 0 при у = 0; 1.

ду

(27)

Наряду с формулировкой в перемещения для анализа гибких пластин и оболочек, особенно при сложных граничных условиях, целесообразно использовать смешанную форму записи разрешающих уравнений. В этой форме неизвестными выступают функция прогиба w( х, у) и функция усилий Е (х, у). Введение функции Е (х, у) позволяет автоматически удовлетворить уравнениям совместности деформаций срединной поверхности. Усилия ( N, N, N ) выражаются через её вторые произ-

дг АГ АГ э2е водные по известным соотношениям: N = —т ■> N = —т ■> N =--.

х —у у —х х Эх—у Такой подход существенно упрощает постановку статических граничных условий, связанных с заданием усилий по контуру пластин и оболочек. Связь между функциями х, у), Е(х, у) и функциями перемещения точек серединной поверхности и(х, у), у(х, у) описывается выражениями

Ь

Ь

а

а

0

0

0

0

х

I

Г ъ2

д_£_

ду2'

к

д Е 1 1 I дw

дх2

2 дх

х

dx, V = |

2

д_£_

дх2

К

д2 Е 1 1

ду

дw ду

dу

(28)

Таким образом, исходная система уравнений (21) относительно трёх неизвестных и, V, w преобразуется к системе двух уравнений в смешанной форме (29) с учетом нелинейности фон Кармана, относительно функции прогиба w( х, у) и функции Е (х, у) усилий.

DAAw-Ь( w,F )+к^-к5 Aw-k

д2Е , д2Е д2W х^2~-куТ"У+Р-

дw

ААЕ+

22 д w д w

дх2 ду2

2

д ^

дхду

+к

д 2w

дх +к.

д 2w

до?" у ду2

ду2 =0.

д Х

—+ер^=д-АМТ-АМС, "2 дХ

(29)

Выражение для цилиндрической жесткости пористой функционально-градиентной оболочки с учетом модифицированной моментной теории упругости примет вид

О =

1.

Е ( 2 ) 23

I

'2 Л

К2) 1 + К2)

dz.

(30)

использование смешанной формы (29) предоставляет методическую гибкость при формулировке широкого спектра граничных условий. В зависимости от физической схемы закрепления края, на нём могут быть заданы следующие граничные условия:

1. Шарнирное опирание по контуру на гибкие несжимаемые (нерастяжимые) касательные плоскости рёбра [161]

w = 0, д 2w = 0, д2 Е = 0, д2 Е

дх2 ду2 дх2

w = 0, д V = 0, д2 Е = 0, д2 Е

ду2 дх2 ду2

= 0 при х = 0; а, = 0 при у = 0; Ь,

(31)

2. Свободное опирание по контуру [161]:

w = 0, д2 w дх2 д2 w + К—г К ду2 = 0, д2 Е ду2 = 0, д 2 Е = 0 дхду при х = 0;1,

w = 0, д2 w дх2 д2 w + К—г К ду2 =0 д 2Е _ сх2 = 0, д2 Е = 0 дхду при у = 0;1.

(32)

3. Защемление по контуру пластинки [161]:

^ дЕ

Ну) \п=0 = Е(у) \„=0 = — = — = 0

дп дп

где п - нормаль к контуру пластинки.

4. Защемление по контуру на гибкие нерастяжимые (несжимаемые) касательные плоскости рёбра [161]

(33)

5w = 0, д2 Е = 0, д2 Е

дх ду2 дх2

= 0, д2 Е = 0, д2 Е

ду дх2 ду2

= 0 при х = 0;1, = 0 при у = 0;1.

2

Уравнения (19)-(31) приведены к безразмерному виду с использованием соотношений и (35).

- ¥_х_ у_г_ а Ъ . а — I — Е

ж = —,г =—, х = —, у = —,г = — д =--д, Л = —,I = —,Е =—,

к Ек а Ъ к Ек Ъ к2 Ет

22 ( )

_ аи _ Ъу г к а Т куЪ к к

к к к к а Ъ

Таким образом, в данном разделе построена новая математическая модель статики гибких размерно-зависимых пластин и оболочек из пористых функционально-градиентных материалов. Основное преимущество и научная значимость разработанной модели заключаются в её комплексности и общности. Модель в единой постановке интегрирует полную геометрическую нелинейность Грина

- Лагранжа, учет четырех типов распределения пористости по толщине, размерные эффекты в рамках модифицированной моментной теории упругости, а также влияние температурно-влажностных полей и пространственно-неоднородного упругого основания. Она является обобщающей: представленные уравнения описывают как пластины, так и оболочки двоякой кривизны, а классические модели (нелинейность фон Кармана, линейная теория) получаются из неё как частные случаи. Представление разрешающих уравнений как в перемещениях (21), так и в смешанной форме (29) обеспечивает методическую гибкость при постановке различных граничных условий.

Полученная система нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных представляет собой сложную краевую задачу, аналитическое решение которой в общем случае невозможно. Это обусловливает необходимость разработки и применения высокоточных и эффективных вычислительных методов, что составляет содержание следующего раздела.

1.2 Методы решения

Для решения полученной системы нелинейных уравнений как в перемещениях (21), так и в смешанной форме (29), в работе применялся комплекс методов, каждый из которых решал определенную задачу. В качестве базовых подходов для независимой верификации результатов использовались метод Бубнова - Галёркина (МБГ) и метод конечных разностей (МКР). Центральным объектом разработки и исследования является модифицированный метод вариационных итераций (МВИ), эффективность которого повышается благодаря комбинации с методом учёта невязки Аграновского

- Баглая - Смирнова (МАБС). Для анализа частных случаев и верификации также привлекались классические аналитические методы (Навье, Канторовича). Далее в работе приведены их описания и схемы реализации.

1.2.1 Метод Бубнова — Галёркина (МБГ)

Представим МВИ исходную систему уравнений (21) в компактном операторном виде:

L№^(х, У),...,9х,т У)] = 1гУХ 1 = 1,2,..., т (36)

гдеЬ - нелинейный дифференциальный оператор,^ - вектор искомых функций, f - вектор правых частей.

Суть метода заключается в том, что решение ищется в виде конечной суммы по заданной системе базисных функций. Неизвестные коэффициенты разложения определяются из условия ортогональности невязки решения всем выбранным базисным функциям.

Основой для построения приближённого решения служит классическая идея разделения переменных Фурье. В её рамках решение ищется в форме разложения по произведениям координатных

функций ((х,у),...,((х,у). При этом каждая координатная функция является функцией единственной переменной и подбирается таким образом, чтобы в точности отвечать заданным граничным условиям по данной координате.

N N

( = ЕЕ<Ж(х)^к(у), к = 1,...т;

!=1 ] =1

(37)

Далее в соответствии с процедурой метода Бубнова - Галёркина после интегрирования урав-

2

нений получим систему т • N2 нелинейных алгебраических уравнений:

и

ЕЕ А, х)у] (у),..., ЕЕ А, (х)гк (у)

1 1

11

0 0

• фф (х)щк (у)йхйу = 0 ), к = 1...т

г=1 ]=1

г=1 ] =1

- /г (X, у) '

(38)

Далее необходимо решить полученную систему относительно коэффициентов Д^-. Для решения полученной системы нелинейных алгебраических уравнений применяем метод конечных разностей второго порядка точности.

Блок-схема программы решения методом Бубнова - Галёркина приведена на рисунке 1.3.

Рисунок 1.3 - Блок-схема программы при решении систем нелинейных уравнений (29) методом Бубнова - Галёркина в высших приближениях

После получения решения полученного Бубнова - Галёркина для каждого шага по нагрузке ^ переходим к исследованию напряженно-деформированного состояния.

Решим систему уравнений (29) для граничных условий (31) методом Бубнова - Галёркина. Данный метод базируется на концепции разделения переменных по Фурье, где каждая из используемых аппроксимирующих функций должна в точности удовлетворять граничным условиям. В случае граничных условий (31) функции представим в виде

N N

ч( х у) = ЕЕ А ОЧ7 вшС/Хи));

¡=1 ] =1

N N

(39)

Р(х У) = ЕЕ В (з{п('7х) зтО'^у)).

¡=1 '=1

После применения процедуры Бубнова - Галёркина по координатам х, у получим следующую систему.

11 / N N

//1 ж4 Е Е

0 0

'=1 '=1

Б

1

I2 Ч

А-14 (8т(/'жх) 8т( 'жу)) + X А' 4 (зт(7х) 8т( ]лу)) -

С N N \

2А'2]2 зт(7х) ьтСяу)) - 2 Е Е А'' ^п(1ях) ьтСжу) I •

V ¿=1 ^=1 )

С N N \ С N N ^

ЕЕВуЧ8Ш(7х)ып(]жу) I + 2ж4 ЕЕАчсоз(7х)оов('жу)

V г=1 ^=1 ) V ¿=1 г=1 )

Г N N - а

ЕЕ'' со$(7х)со$07у) I--4

V ¿=1 ) 77

$,т(пжх) $,т(тжу)

л

йхйу = 0;

11 к Е

оо V '=1

-1 В' 4 (§1п(/7х) 8т( 'жу)) + X В^Ч 4 (зт(гжх) 8т( '7у)) X

+2В .¡2'2 зт2 (¡жх) зт2 ('жу) + ж4'2'2 Е Е А/ зт(/'жх) 8т('жу)

' V'=1 ^=1 )

2

.4,2 ,-2

( N N

-ж4'2ч21 ЕЕв^- соъ(1ях)со$ияу)

¡=1 ¡=1

8т(тжх)зт(пжу)]) dxdy = 0; т, п = 1,2,..., N.

(40)

После вычисления определённых интегралов в системе (40) получим систему нелинейных алгебраических уравнений относительно А, В; .. Порядок системы алгебраических уравнений зависит от числа членов ряда N в (40).

Приведём решения, полученные методом Бубнова - Галёркина в высших приближениях для макроразмерных I = 0 и микро/наноразмерных (I ф 0 ) пластин под действием равномерно распределённой и локальной нагрузок для краевых условий (21).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Калуцкий Леонид Александрович, 2026 год

/ // / /

/ ' ■/ /

/

> ' ;

к= 4

-о/А = 20 ......Кагтап

! : / ' / . / ' / .•• .-' / > / / •■■ / ' '

ш-

к=1

. - а/11 = 20 ■■■■ Кагтап

ш/

г = 0.4 ¿-0,25

- - а / А = 20 ......Кагтап

' О

б)

г)

Рисунок 2.31. Зависимость а) д [w(0,5;0,5)]б) д[е^,^] в) д[еху^ ] г) д [е,^ ] для квадратной

(X — 1) макроразмерной (I — 0)пластинки для различных типов материалов для граничных условий (26)

Величина функционально-градиентного индекса к отвечает за соотношения в керамики и металла в материале пластинки. Увеличение параметра кувеличивает соотношение металла в пластине и приводит к уменьшению несущей способности пластин для рассматриваемых материалов. Так, увеличение параметра от к=0.25 до к=4 приводит к увеличению прогиба более чем на 20 %.

Анализ результатов, приведенных на рисунке 2.31, показывает, что для получения точного решения при больших прогибах при w(0,5; 0,5) > 4,5; Ха < 20 необходимо учитывать нелинейность,

связанную с учётом перемещений (нелинейность Грина - Лагранжа), так как данные решения существенно отличаются от решений по модели Кармана, особенно для зависимостей д _£ххтах] ,

д \^ху,тах ] , д [^¡,тах ] •

Исследование пористых функционально-градиентных квадратных в плане микропластин при решении нелинейных уравнений, опирающихся на упругий фундамент Винклера —Пастернака

Проведено исследование влияния параметров двухпараметрического упругого основания Винклера - Пастернака ( кш, к8) на НДС квадратных макроразмерных пластин из пористого материала U-PFGM. Поведение конструкции под действием равномерно распределённой поперечной нагрузки описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений (21) при граничных условиях (26).

Для оценки корректности учёта геометрической нелинейности выполнено сопоставление решений, полученных в рамках упрощённой модели Кармана и полной формулировки Грина - Лагранжа (для Ла — 20.). Результаты представлены в виде комплекса зависимостей: д [ м<0,5;0,5)]

б) д \_^ХХ,] , в) д \_£Ху1так ] , г) д [^ тах ] деформаций от нагрузки. Расчёты проводились для фиксированного набора определяющих параметров материала и модели Г — 0.4, k — 1, Л — 1. На рисунке 2.32 цвет кривых варьируется в соответствии со значениями коэффициентов основания кш, к4 согласно представленной легенде.

а)

ч- 10' к, =0 к, =0 --л/й = 20 ; 1 ; 1 : / ¡1 / > ; / / / - / Г ." / / г /

......Кагтап кш= 50 к =5 31 // / / / ; / / ' Л = 1

- - д/А = 20 ■V ■ ' / / / / , 1 'Г: = 0.4

, = 100 = 10 У /У / / / и-РРвМ

а!к- 20 Кагтап г У У / 7 // / ы

1 - Л

— и / / / / / у > У / ✓ У У. .■> М I | ......... ч гЫ 1 #

у .У у ^(0 5,0.5)

0123456789 10

б)

14 12

-103 ' / ' / ' / / / / / / / / /

и-РРвМ / / :/ // / / / / / / / / / / /

10 * =50

/ / / II

8 / = 0 ,7 /У / / / / / / ✓ ✓ -- а/А = 20 ......Кагтап

Г = 0.4 / У / / / /

/ /> = 1 к,= 0 =0 - - о / А = 20 Кагтап

/ / / ' ,91 1 1 1. / | [ ) »

У .У ; ,

/ У * ^ =100 А, =10

/ У

/ / ... I ^

2 / / /' / • ••• ' / ' ■• ' #1 € 1 1 1 ' 1 1 1 ! '191 1 /// /ж/ - - о / А = 20

11/

1/ 0 ' у"' _ —

£

0 .гл. т ах

0 150 300 450

4

Г)

Рисунок 2.32 -Зависимость а) q[w(0,5;0,5)]б) q[^xx max] в) q[^XK max] г) q[f!;max ] для квадратной

( Я = 1 ) макроразмерной пластинки для различных типов материалов для граничных условий (26)

Анализ результатов, представленных на рисунке 2.30, демонстрирует, что увеличение коэффициентов упругого основания kw, ks приводит к повышению общей жёсткости системы

и, как следствие, к значительному снижению прогиба. При возрастании kw от kw =0 до kw = 100и ks =0 до ks =10 величина прогиба макроразмерной пластины уменьшается приблизительно на 65 %. Решения, полученные по моделям Кармана и Грина - Лагранжа, имеют существенные количественные расхождения как для макроразмерных пластин ( w(0,5;0,5) > 4,5 Ха < 20 ), так и для макроструктур. При этом с ростом коэффициентов основания kw, ks степень различия между прогнозами двух моделей сокращается, что свидетельствует о нивелирующем влиянии жёсткого основания на проявление полной геометрической нелинейности.

Проведённое сравнительное исследование позволило установить границы применимости и оценить степень различий между решениями, полученными в рамках приближённой модели Кармана и полной теории конечных деформаций Грина - Лагранжа для пористых ФГМ-пластин. Основные выводы заключаются в следующем:

1. Степень отличия решений существенно зависит от соотношения толщины к стороне пластины Ха= a / h и величины прогиба. Для конструкций с Яа< 20 (толстые пластины) при

больших перемещениях различия в прогнозах моделей носят значимый характер, затрагивая не только величину прогиба, но и распределение деформаций.

2. Влияние материальных параметров (показателя пористости Г и градиентного индекса k) на несущую способность качественно одинаково в обеих моделях.

3. Наличие упругого основания (модель Винклера - Пастернака) снижает общий уровень деформаций, что приводит к сближению результатов, полученных по двум моделям. Это

расширяет область корректного применения более простой модели Кармана для расчёта пластин на упругом основании.

Таким образом, модель Кармана демонстрирует корректные параметры для анализа тонких пластин ( Яа> 50 ) при умеренных прогибах. Для толстых пластин Яа< 20 и расчётов в области больших деформаций w(0.5,0.5) > 4.5 обязательным является применение полной модели Грина - Лагранжа, которая обеспечивает физически корректное описание напряжённо-деформированного состояния. Полученные результаты формируют методологическую основу для выбора расчётной модели в зависимости от геометрии конструкции и ожидаемого уровня нагружения.

Выводы по главе 2

1)Выявлены типы распределения пор, обладающие наибольшей несущий способностью, тип1 и X-PFGM. Оба типа пор являются аппроксимацией пластин с максимальным распределением пор в центре пластины. Наименьшей несущей способностью обладают пластинки с равномерным распределением пор U-PFGM как для равномерно распределённой нагрузки, так и локальной нагрузки в центре и четверти пластины. При этом различия между прогибами в центре для пластин между типами X-PFGM и U-PFGM значимы и превышают 30 %.

2)Величина показателя пористости существенно влияет на несущую способность пористых полноразмерных и микропластин. Для полноразмерной пластины U-PFGM уменьшение показателя пористости от Г = 0,4 до Г = 0 приводит к уменьшению прогиба на 20-25 %, и для микропластины (/=0,4) на 7-10 %.

3)Увеличение размерно-зависимого параметра / от /=0до/=0,4 приводит к уменьшению прогиба в центре пластин практически в 2 раза для всех рассматриваемых типов распределения пористости материала (U-PFGM, O-PFGM, X-PFGM, тип 1).

4)Увеличение параметра Я прямоугольной пористой функционально-градиентной пластины существенно увеличивает несущую способность.

5) Функционально-градиентный индекс k, отвечающий за соотношение материалов в пластине, оказывает существенное влияние на напряженно-деформированное состояние пластин. И с увеличением параметра k увеличивается доля алюминия с меньшим модулем Юнга, чем у керамики, что приводит к увеличению максимального прогиба при той же интенсивности нагрузки. Увеличение максимального прогиба составляет 20 -25 % для рассматриваемых типов нагружения.

6) Увеличение параметров упругого основания kw, ks в модели Винклера - Пастернака приводит к уменьшению прогиба пластин для всех рассматриваемых граничных условий. При увеличении коэффициента Винклера kw от kw =0 до kw = 100 прогиб макроразмерной пластин уменьшается более чем на 30 % при ks =0. Увеличение коэффициента Пастернака ks от ks =0 до k =20 приводит к уменьшению прогиба более чем на 60 %.

Таким образом, в главе 2 количественно оценено и ранжировано влияние основных материальных (тип и объёмная доля пор, градиентный состав), геометрических (соотношение сторон) и силовых (параметры упругого основания) факторов, а также масштабного эффекта на НДС пластин. Полученные зависимости формируют научную основу для целенаправленного проектирования и оптимизации несущих элементов из пористых функционально-градиентных материалов.

III. ПРИМЕНЕНИЕ МВИ ДЛЯ АНАЛИЗА ПОРИСТЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАДИЕНТНЫХ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК СЛОЖНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Современные требования к конструкциям в аэрокосмической, нефтегазовой и машиностроительной отраслях стимулируют разработку новых перспективных материалов. Функционально-градиентные материалы (ФГМ), характеризующиеся плавным пространственным изменением механических свойств, открывают возможности для целенаправленного управления напряжённо-деформированным состоянием (НДС) элементов конструкций. Особый интерес представляют пористые ФГМ, которые позволяют существенно снизить массу конструкции без критического уменьшения прочностных характеристик.

В настоящей главе представлены комплексные исследования НДС широкого класса оболочеч-ных конструкций сложной геометрии, выполненных из пористых ФГМ. Основное внимание уделяется анализу элементов, выходящих за рамки канонических форм: конических и косоугольных панелей, а также оболочек двоякой кривизны. В рамках исследований большое значение придаётся анализу влияния ключевых геометрических параметров (таких как радиус кривизны, угол конусности и относительный радиус выреза конических панелей) на механический отклик в совокупности с такими факторами как тип распределения пористости, градиентный состав и размерные эффекты.

Целью данной главы является установление закономерностей «структура - свойства» для сложных геометрий, что создаёт основу для проектирования оптимальных и эффективных конструкций.

3.1 Исследование НДС пористых функционально-градиентных цилиндрических панелей

Цилиндрические панели - это элемент оболочки, ограниченный в плане двумя прямолинейными и двумя криволинейными краями, являющийся широко распространённым элементом в инженерных конструкциях. Их геометрическая особенность заключается в том, что один из главных параметров кривизны равен нулю, а второй постоянен и отличен от нуля. Такая форма сочетает свойства пластин и оболочек, что обусловливает сложное поведение под нагрузкой. В данном пункте исследуется НДС пористых ФГ цилиндрических панелей при действии поперечной нагрузки и анализируется влияние ключевых параметров на их несущую способность и устойчивость.

Настоящий раздел посвящён анализу влияния ключевых материальных параметров - типа распределения пористости, её объёмной доли и градиентного индекса k - на напряжённо-деформированное состояние (НДС) как макроразмерных, так и микро цилиндрических панелей при различных условиях закрепления краёв. Расчёты выполнены для функционально-градиентного композита на основе алюминия Em = 70ГПа, vm = 0,33, р = 2700кг/м3 и диоксида циркония

E = 210 ГПа, v = 0.3, р = 2400кг/м3.

Исследование выполнено для квадратных в плане цилиндрических панелей, описываемых системой нелинейных дифференциальных уравнений (11) под действием равномерно распределённой поперечной нагрузки. Анализ охватывает четыре схемы распределения пор (type 1, U-PFGM, X-

РБОМ, O-PFGM), а также эталонные случаи сплошного металла и керамики. Численные решения, представленные на рисунках 3.1 и 3.2, получены методом вариационных итераций.

а)

б)

Рисунок 3.1 - Зависимость д [ w(0,5; 0,5)] при к — 1, Г — 0,4, кх — 0, к —10, X — 1

для (Е-РРОМ, Х-РРОМ, О-РРОЫ, 1урв1, металл, керамика), граничные условия:а)(31), б)(32)

а)

о

в)

г)

Рисунок 3.2 - Зависимость д [w(0,5; 0,5)] при к — 1, Г — 0,4, кх — 0, к = 30, X — 1 для (Е-РРОМ, Х-РРОЫ, О-РРОМ, 1урв1, металл, керамика), граничные условия:а) (31), б) (32), в) (33), г) (34)

Сплошные линии соответствуют результатам для макроразмерных панелей, пунктирные -для микроструктур с учётом размерного параметра I = 0,5. Следует отметить, что для макроразмерных панелей при определённых условиях наблюдается потеря устойчивости; соответствующие критические нагрузки и направления перехода на устойчивую ветвь равновесия обозначены стрелками на рисунках. Для микроструктур при тех же параметрах нагружения бифуркационных явления не зафиксированы.

Результаты демонстрируют, что увеличение геометрического параметра кривизны приводит к качественному изменению характера деформирования цилиндрических панелей. При малых значениях кривизны & ^ 10 поведение близко к изгибу пластин, тогда как при её увеличении для полноразмерных пористых ФГМ панелей с граничными условиями (31) и (32) наблюдается явление потери устойчивости, которое отсутствует у микро аналогов. Зависимости нагрузка - прогиб для панелей из пористого ФГМ занимают промежуточное положение между кривыми для сплошных металлических и керамических конструкций. Таким образом, даже при наличии пористости введение керамической фазы в композит позволяет повысить несущую способность структуры по сравнению со сплошным металлом. Учёт размерно-зависимого параметра I = 0,5 также приводит к существенному повышению жёсткости цилиндрических панелей для всех исследованных типов материалов и граничных условий.

Из четырех рассмотренных типов пористости материалов наибольшей несущей способностью, как для полноразмерной, так и для микроцилиндрической панели обладают 1уре1 и Х-РБОМ. Данные типы пористости являются аппроксимацией случая, когда максимальный объём пор распределён в центре панели. Различия в прогибах между данными типами пор составляют менее 3 %. Из рассматриваемых типов пористости наименьшей несущей способностью обладают панели с распределением пор И-РБОМ.

В рамках данного исследования выполнен параметрический анализ влияния объёмной доли пор, характеризуемой показателем Г, на изгибное поведение пористой ФГ размерно-зависимой панели U-PFGM при равномерном нагружении. Соответствующие нагрузочно-прогибные зависимости д[^(0,5;0,5)] для различных значений Г представлены на рисунке 3.3 для граничных условий (31). Моделирование проведено для ФГ материала системы алюминий - керамика при фиксированных параметрах к = 1, Л = 1. На графиках стрелками обозначены критические значения нагрузки, соответствующие потере устойчивости конструкции. Количественные значения этих критических нагрузок для панели с заданной геометрией сведены в таблицу 3.1. Таблица 3.1 - Критические нагрузки для цилиндрической панели кх = 0, к = 30

с пористостью и~РГОЫ, к = 1

Г Укрит - граничные условия (3 1) Укрит - граничные условия (33)

1 = 0 1 = 0,4 1 = 0 1 > 0,4

0 140 220 120 Критические нагрузки отсутствуют

0,1 130 200 100

0,2 120 190 80

0,3 115 180 75

0,4 110 170 70

Рисунок 3.3- Зависимость д[^(0,5;0,5)] для и~РГОМ при к =1,1 = 1 для граничных условий (13) для: а) кх = 0, ку = 10, б) кх = 0, ку = 30

Анализ полученных данных (рисунок 3.3, таблица 3.1) позволяет сделать следующие выводы:

1. Показатель пористости Г является определяющим фактором несущей способности. Рост объёмной доли пор от 0 до 0,4 закономерно приводит к снижению жёсткости и, следовательно, к увеличению прогиба как для макроразмерных (/ = 0), так и для микроразмерных (/ = 0,4) цилиндрических панелей.

2. Учёт масштабного эффекта через параметр / кардинально повышает жёсткость конструкции: несущая способность микроразмерных панелей (/=0,4) оказывается практически в два раза выше, чем у их макроразмерных аналогов при прочих равных условиях.

3. Геометрический параметр кривизны качественно изменяет характер зависимостей д[^(0,5;0,5)]. При определённом его значении для цилиндрических панелей наблюдается явление потери устойчивости. При этом увеличение размерно-зависимого параметра до / = 0,4 подавляет это явление, предотвращая бифуркацию равновесия в рассмотренном диапазоне нагрузок.

4. Параметры, снижающие общую жёсткость (увеличение показателя пористости Г), одновременно уменьшают величину критической нагрузки, при которой происходит потеря устойчивости. Напротив, увеличение параметра /, повышающего жёсткость, способствует росту этого критического значения.

Проведем анализ влияния функционально-градиентного индекса к на НДС пористой ФГ размерно-зависимой панели U-PFGM при действии равномерной нагрузки. На рисунке 3.4 приведены зависимости д[^(0,5;0,5)] для различных значений параметра к приведены для граничных условий (31) при к = 10 (рисунок 3.4а) и к = 30 (рисунок 3.4б) для к = 1,1 = 1.

Нагрузки, соответствующие критическому состоянию потери устойчивости, отмечены стрелками на рисунке 3.4.

а) °.4 °.8 1,2 1'6 2'" б)

Рисунок 3.4- Зависимость q[w(0,5;0,5)] для U-PFGM при Г = 0,4, Я = 1 для граничных условий (31) для а) кх = 0, ку = 10, б) кх = 0, ку = 30

Градиентный индекс к определяет закон изменения объёмной доли компонентов (алюминия и диоксида циркония) по толщине панели. Рост данного индекса в диапазоне от 0,25 до 4 соответствует увеличению доли металлической фазы в композите, что, в силу её более низкого модуля упругости, приводит к закономерному снижению общей несущей способности. Эта тенденция наблюдается как для макроразмерных, так и для микроразмерных цилиндрических панелей.

При достижении определённого уровня нагружения ( q = qKp )при увеличении геометрического параметра к ^ 30 для панелей может наступать потеря устойчивости. Анализ показывает, что

с ростом градиентного индексак(и, соответственно, с уменьшением средней жёсткости материала) величина этой критической нагрузки q снижается. Таким образом, параметркне только является

фактором, регулирующим жёсткость при докритических деформациях, но и критически влияет на устойчивость конструкции.

Проведенное исследование позволило установить количественное влияние ключевых параметров на НДС и критические нагрузки цилиндрических панелей. Установлено, что на несущую способность и устойчивость существенное влияние оказывают следующие факторы: показатель пористости, функционально-градиентный индекс, размерно-зависимый и геометрический параметры, а также тип распределения пор. Наибольшей несущей способностью обладают панели с типами пористости Type 1 и X-PFGM. Количественный анализ показал, что увеличение размерно-зависимого параметра до значения l = 0,4 приводит к снижению прогиба на 40 %, в то время как рост показателя пористости Г от 0 до 0,4 увеличивает прогиб на 30 %. Также зафиксировано, что потеря устойчивости наблюдается у макроразмерных цилиндрических панелей при к ^ 30 для шарнирного опирания по

контуру. Полученные результаты формируют теоретическую основу для проектирования эффективных и надежных элементов оболочечных конструкций из пористых функционально-градиентных материалов.

3.2 Исследование пористых функционально-градиентных квадратных в плане двояко-изогнутых оболочек в смешанной форме, когда свойства материалов

изменяются по толщине оболочки

В предыдущих разделах исследовалось поведение пластин и панелей с одной главной кривизной. Расширяя класс рассматриваемых конструкций, в настоящем пункте анализируется напряжённо-деформированное состояние двояко-изогнутых оболочек, характеризуемых двумя ненулевыми главными радиусами кривизны. Такие оболочки широко применяются в купольных покрытиях, элементах аэрокосмических конструкций и корпусах высокого давления, где их геометрия позволяет эффективно перераспределять нагрузку.

Особенностью данной задачи является одновременный учёт сложной геометрии срединной поверхности, градиентного пористого состава материала, нелинейности в смешанной форме (относительно прогиба и функции усилий), а также взаимодействия с упругим основанием. Проведённый параметрический анализ позволяет оценить совместное влияние показателя пористости Г, функционально-градиентного индекса к, геометрических параметров кривизны кх, к и параметров основания к^, к на несущую способность и устойчивость макро- и

микроразмерных оболочек, что создаёт основу для проектирования лёгких и прочных пространственных конструкций. Расчёты проводились для функционально-градиентного материала из металла алюминия Ет = 70, Ут = 0,33 [40]и керамики Ес = 210, \т = 0,3 [40].

Исследование влияния показателя пористости на НДС цилиндрических панелей

Параметрически исследовано влияние объёмной доли пор, характеризуемой показателем Г, на напряжённо-деформированное состояние квадратной пористой микро цилиндрической панели U-PFGM под действием равномерно-распределённой поперечной нагрузки и локальной поперечной нагрузки описываемых системой нелинейных дифференциальных уравнений (29). Сплошные линии обозначены решения полученные для макроразмерных оболочек, пунктирной для микрооболочек при / = 0,4.

На основе численного моделирования построены зависимости интенсивности приложенной нагрузки от величины центрального прогиба д [ и'(0,5;0,5)]. Горизонтальной стрелкой на графиках отмечены критические нагрузки оболочки. Расчёты проводились для следующих параметров: к = 1,1 = 1 .Цветовая гамма для каждого показателя пористости Г указана на рисунках3.5, 3.6.

На основе численных решений, представленных на рисунках 3.5 и 3.6 для граничных условий (31), выполнено построение пространственных распределений - эпюр функций прогиба w(х,0.5), функции усилий Е(х,0.5) и их вторых производных (% = 1/2(^ + ^ ),= д2Е/ду2 ), соответствующих случаю действия равномерно распределённой нагрузки интенсивностью д = 300 на макроразмерную пластину. Цветовое кодирование линий на соответствующих графиках (рисунок 3.6) изменяется в соответствии со значением параметра варьирования Г согласно представленной легенде.

Рисунок 3.5 - Зависимость д [^(0.5,0.5)] для квадратной в плане (X — 1) оболочки

с пористостьюи-РРОМ при к — 1 для граничных условий (31) для параметров кривизны: а) кх —-10, к —10б) кх —-30, к — 30в) кх — -5, к — 30г) кх — 10, к — 30

Рисунок 3.6- Зависимость q [w(0.5,0.5)] для квадратной в плане (1 = 1 )оболочки c пористостьюU-PЕGM при к = 1 при кх = -10, к = 30 для граничных условий: ^ (31), б) (32), в)(33), г) (34)

а)

б)

1,2

кх= 30 кх = - ЗС —г=о -Г=0,1 -Г=0,2 —г=о,з -Г=0,4 А; =-10

^—

в)

г)

Рисунок 3.7 - Эпюры функций а) х, у) б)-( 'у) в) Р(x, у) г) Nх (х, у) для квадратной

ду

(Л = 1) оболочки с пористостью и~РРОЫ при действии равномерно распределённой нагрузки

Величина параметра Г отвечает за объём пор в материале оболочки. Результаты, приведённые на рисунках 3.5-3.7, показывают, что увеличение данного параметра приводит к уменьшению несущей способности и величины прогиба оболочек. При увеличении Г от Г=0 до Г=0,4 прогиб оболочки увеличивается на 18-25 % для типа пор И-РЕОМ. Учёт масштабного эффекта, характеризуемого параметром Доказывает существенное влияние на напряжённо-деформированное состояние, приводя к снижению прогиба на 40 - 50 % для значений I = 0,4. При этом наблюдается значительная разница в степени влияния объёмной доли пор на деформационный отклик в зависимости от масштаба конструкции: для макроразмерных оболочек изменение показателя пористости Г в рассмотренном диапазоне вызывает вариацию прогиба до 25 %, тогда как для микрооболочек эта зависимость выражена слабее и не превышает 10 %.

Величина параметров кх, к существенно изменяет характер изгибания оболочек. При

кх ^ -к (кх = "10, к = 30, К = _5, ку = 30 ) наблюдается наступление неустойчивости в нагруженной конструкции, т.е. оболочки имеют верхнюю критическую нагрузку, причем для микрооболочек при I = 0,4 величина критической нагрузки выше, чем у макроразмерных оболочек, и при уменьшении показателя пористости Г величина критической нагрузки увеличивается. А для двоякоизогну-тых оболочек при кх = -к характер изгибания близок к пластинам и практически не зависят от величины параметров кривизны кх = -к ■ Так, различия для оболочек кх =-10, ку = 10 и кх = -30, к = 30 не превышают 1 %.

Проведён анализ влияния функционально-градиентного индекса к на деформационный отклик квадратной пористой микрооболочки U-PFGM под действием равномерно распределённой нагрузки. Результаты представлены в виде зависимостей интенсивности приложенной нагрузки Ц

от центрального прогиба ^(0,5;0,5). Для сопоставления масштабных эффектов на графиках приведены два семейства решений: сплошные линии соответствуют макроразмерным оболочкам, пунктирные - микрооболочкам с учётом размерного параметра l = 0,4 .Цветовая гамма кривых для каждого значения параметра k указана на рисунке (рисунок 3.8). Расчёты проводились показателяпори-стости а) Г = 0,1 б) Г = 0,4 .В таблице 3.2 приведены значения прогибав центре оболочки ^(0.5,0.5) с равномерной пористостью И-РРОМ в зависимости от параметров к, Г.

Рисунок 3.8- Зависимость q [^(0,5;0,5)] для квадратной в плане (1 = 1 )макроразмерной

(l = 0) пористой оболочки U-PFGM при k = 1 для граничных условий (31): a) Г = 0.1 б) Г = 0.4

Таблица 3.2- Прогиб в центре ^(0.5,0.5) квадратной (1 = 1) оболочки U-PFGM для граничных условий (31)при действии равномерно распределённой нагрузки

^(0,5; 0,5) для равномерно распределённой нагрузки q = 50,1 = 1, к = -30, ку = 30 для оболочки И-РБОМ

г Г к = 0,25 к = 0,5 к = 1 к = 2 II к

0 0 0,820 0,883 0,954 1,013 1,067

0,2 0,943 1,019 1,102 1,171 1,232

0,4 1,078 1,165 1,258 1,333 1,399

0,4 0 0,565 0,602 0,643 0,679 0,712

0,2 0,621 0,664 0,713 0,756 0,796

0,4 0,678 0,728 0,785 0,836 0,883

Функционально-градиентный индекс к определяет закон распределения компонентов по толщине, регулируя соотношение объёмных долей керамики и металла в композите. Увеличение данного параметра соответствует росту доли металлической фазы, что вследствие её более низкого модуля упругости приводит к закономерному снижению эффективной жёсткости и, как следствие, к уменьшению несущей способности конструкции. Эта тенденция наблюдается для всех исследованных значений показателя пористости Г как в макроразмерном (I = 0 ), так и в микроразмерном ( I = 0,4 )масштабе. При действии равномерно распределённой нагрузки для макроразмерной оболочки увеличение максимального прогиба составляет 20-30 % для макроразмерной (I = 0 ) и на 1216 % микрооболочки (I = 0,4 ) относительно прогиба изотропной металлической оболочки. Учёт размерно-зависимого коэффициента при I = 0,4 уменьшает максимальный прогиб пористой функционально-градиентной оболочки на 20-30 %.

Исследуем влияние параметров кривизны на изгибание FG квадратной Я = 1 пористой микрооболочки U-PFGM под действием равномерно распределённой нагрузки при решении дифференциальных уравнений (31)методом вариационных итераций в первом приближении для п=49. Сплошные линии решения получены для макроразмерных оболочек, пунктирной - для микрооболочек при I = 0,4. Построены зависимости интенсивности Ц от величины прогиба в центре оболочек. Расчёты проводились для следующих параметров: к = 1, Я = 1 .Цветовая гамма для каждого показателя пористости Г указана на рисунке 3.9.

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2„5 3,0

Рисунок 3.9 - Зависимость ц[^(0,5; 0,5)] для квадратной в плане (Я = 1 )макроразмерной (I = 0 ) пористой оболочки при к = 1, Г = 0,4 для граничных условий (31)

Функционально-градиентный индекскопределяет закон распределения компонентов по толщине, регулируя соотношение объёмных долей керамики и металла в композите. Увеличение данного параметра соответствует росту доли металлической фазы, что вследствие её более низкого модуля упругости приводит к закономерному снижению эффективной жёсткости и, как следствие, к

уменьшению несущей способности конструкции. Эта тенденция наблюдается для всех исследованных значений показателя пористости Г как в макроразмерном (/=0), так и в микроразмерном (/ = 0,4) масштабе. Расчёты проводились для следующих параметров: к = 1, Л = 1 .Цветовая гамма указана в соответствии с типом краевых условий на рисунке 3.10.

Рисунок 3.10 - Зависимость д [^(0.5,0.5)] для квадратной в плане (Л = 1 )макроразмерной (/ = 0 ) пористой оболочки при к = 1, Г = 0,4 для граничных условий (31)-(34)

Из анализа результатов, представленных на рисунках 3.9 и 3.10, можно сделать вывод, что параметры кх, к и тип граничных условий существенно влияют на НДС оболочек. Наибольшей несущей способностью обладают оболочки с граничными условиями (34), а наименьшей - с граничными условиями (31). Характер изгибания оболочек при кх = — ку близок к пластинам, а при кх Ф -к

изгибания оболочки принимают другой качественный вид и у оболочки наблюдается наступление неустойчивости в нагруженной конструкции, т. е. оболочки имеют критическую нагрузку при ( к =—10, ку = 30,кх =—5, ку = 30) для граничных условий (31) (рисунок 3.9).

Проведённый анализ позволил установить закономерности НДС, двояко-изогнутых пористых ФГМ оболочек на упругом основании. Основные выводы заключаются в следующем:

1. Показатель пористости Г и градиентный индекскостаются ключевыми параметрами, управляющими жёсткостью. Рост Г на 0.4 увеличивает прогиб на 18-25 %, а увеличениекв рассмотренном диапазоне снижает несущую способность на 20-30 %.

2. Геометрические параметры кривизны кх и к качественно влияют на механический отклик.

При малых значениях кх поведение близко к пластине, а при кх >20 наблюдается потеря устойчивости

для макрооболочек при определённых условиях закрепления.

3. Учёт размерного параметра /=0.4повышает жёсткость на 40-50 %, а увеличение коэффициентов основания к и к8 приводит к снижению прогиба более чем на 30 и 60 % соответственно, причём их совместное влияние взаимодействует с масштабным эффектом.

4. Влияние всех исследуемых факторов (пористость, градиент, кривизна, основание) существенно модулируется типом граничных условий, что указывает на необходимость комплексного подхода при проектировании.

Таким образом, НДС двояко-изогнутых оболочек определяется сложным взаимодействием материальных, геометрических и силовых факторов, что требует применения адекватных расчётных моделей, учитывающих их совместное влияние.

3.3 Исследование ПФГ двояко-изогнутых оболочек в температурном поле, когда свойства материалов зависят от температуры

Эксплуатация современных оболочечных конструкций в аэрокосмической, энергетической и химической отраслях часто сопряжена с работой в условиях интенсивного теплового воздействия. Температурное поле индуцирует дополнительные температурные напряжения и деформации, а также может приводить к существенному изменению механических свойств материала (модуля упругости, коэффициента теплового расширения), особенно в случае функционально-градиентных композитов. Поэтому прогноз напряжённо-деформированного состояния (НДС) с учётом термомеханического взаимодействия и температурной зависимости свойств является критически важной задачей для обеспечения надёжности и долговечности конструкций.

В настоящем разделе исследуется комплексная задача о термомеханическом нагружении двояко-изогнутой пористой оболочки из ФГМ, находящейся в стационарном температурном поле. Особенностью постановки является совместный учёт следующих ключевых факторов: градиентный пористый состав материала. Зависимость упругих и термофизических свойств композита от температуры, нелинейная геометрия оболочки, размерные эффекты в микромасштабе.

Рассматривается задача о нагружении РБО двояко-изогнутой оболочки, находящейся в температурном поле, свойства которой зависят от температуры и изменяются по толщине E (z, Т), /( z, T), а( z, T). Рассматриваются оболочки с тремя типами распределения пор (И-РБОМ, X-РБОМ, О-РБОМ), состоящие из керамики и металла, находящихся в температурном поле T(х, у, z) = Т0 + ДT , где за Г0 принята температура Т0 = 200 С . Зависимость параметров материала от температуры оболочки определяется многочленом. Параметры оболочки приведены в таблице 3.3.

P(T) = Ц (1 + ЦТ + ЦТ2 + ЦТ3). (82)

Таблица 3.3 -Параметры композита для керамики и металла

Ргорег1у Ыа1епа1 Р> Р1 Р2 Р3

Е (Ра) N4 348,43 -109 -3,070 -10-4 2,160-10-7 2,160-10-7

8ш304 201,04 -109 -3,079 -10-4 -6,53 -10-7 0

/ 0,24 0 0 0

8ш304 0,3262 -2,002 -10-4 3,797 -10-7 0

а (К) ад 5,8-10-6 6,095 -10-4 0 0

8ш304 12,3 -10-6 8,086 -10-4 0 0

Исследование типов пористости материала

Проведено исследование НДС квадратной в плане микрооболочки из ПФГ материала под действием равномерно распределённой поперечной нагрузки. Анализ выполнен для трёх типов распределения пористости (и-РРОМ, Х-РРОМ, O-PFGM) в диапазоне граничных условий (31)-(34). Результаты представлены в виде зависимостей д [ ^(0,5; 0,5)]. Для наглядного сопоставления масштабных эффектов на графиках приведены сопоставление для макро и мирок масштаба: сплошные линии соответствуют макроразмерным оболочкам (/=0), пунктирные - микрооболочкам с учётом размерного параметра (/ = 0,4). Численные решения получены МВИ при п=49. Расчёты выполнены для следующего фиксированного набора определяющих параметров материала и модели Г = 0,4; k = 1;Л = 1. Цветовая гамма для каждого пористого материала указана на рисунках 3.11-3.13.

а)

в)

35

5%

4Г=800Г

ИИУ<Ц «иуд

11н

—О-рром —х-ряем

ЦОД'0,5)

0,5

1,5

2,5

Г)

Рисунок 3.11 - Зависимость д [^(0,5; 0,5)] квадратной в плане (Л = 1 )макроразмерной (I = 0) пористой оболочки при к = 1, Г = 0,4,кх = 30, к =—10 для типов материалов (и-РРОМ, Х-РРОМ, 0-РР0М)для граничных условий: а) (31), б) (32), в)(33), г) (34)

а)

6)1

0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1

в!

г)

Рисунок 3.12. Зависимость д [^(0.5,0.5)] квадратной в плане (Л = 1 )макроразмерной (I = 0) пористой оболочки при к = 1, Г = 0.4, кх = 30, £ = -20 для типов материалов (и-РГОМ, Х-РГОМ, 0-Р¥0Ы)для граничных условий:а) (31), б) (32), в)(33), г) (34)

а)

О 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8

б)

в)

г)

Рисунок 3.13- Зависимость д [^(0.5,0.5)] квадратной в плане (Л = 1 )макроразмерной (I = 0) пористой оболочки при к = 1, Г = 0.4, кх = 30, к = —30 для типов материалов (и-РРОМ, Х-РРОМ, 0-РР0М)для граничных условий:а) (31), б) (32), в)(33), г) (34)

В таблице 3.4 приведены зависимости величины максимального прогиба в центре оболочки в зависимости от материала оболочки, типа распределения пор и величины размерно-зависимого параметра / .

Таблица 3.4 - Прогибы в центре квадратной в плане (Л = 1 )оболочки ^(0,5;0,5) при д = 40, Л = 1,1 = 0; 0,4, кх = 30 ,к = -30, р = 0, Г = 0.4 для граничных условий (31-34)

w(0,5;0,5) при q = 40,2 = 1, l = 0;0,4,

к =-30, ky = 30, p = 0, Г = 0,4

Metal U-PFGM X-PFGM O-PFGM Ceramics

Граничные условия (31)

l = 0 1,132 1,097 0,865 1,015 0,587

l = 0,4 0,703 0,642 0,543 0,615 0,41

Граничные условия (32)

l = 0 1,799 1,612 0,897 1,266 0,956

l = 0,4 0,659 0,763 0,489 0,562 0,501

Граничные условия (33)

l = 0 0,440 0,410 0,271 0,350 0,286

l = 0,4 0,209 0,189 0,155 0,180 0,161

Граничные условия (34)

l = 0 0,322 0,305 0,220 0,270 0,229

l = 0,4 0,176 0,161 0,135 0,155 0,141

Анализ результатов, представленных на рисунках 3.10-3.12 и в табл. 3.4, позволяет установить, что среди трёх исследованных типов распределения пористости наибольшей несущей способностью - как в макро-, так и в микромасштабе - характеризуются оболочки с распределением X-РБОМ. Для данного типа характерна концентрация максимального объёма пустот в центральной зоне конструкции. Наименьшей несущей способностью обладит оболочки с равномерным распределением пор И-РБОМ. Тип распределения пор вносит существенное влияние на несущую способность оболочек, при этом различия в прогибах w(0.5,0.5) между типами пор Х-РБОМ и И-РБОМ более 15 %. Наибольшее влияние на несущую способность оболочек оказывает размерено зависимый параметр I. Для всех рассматриваемых материалов учёт микроэффектов при параметре I = 0.4 приводит к уменьшению прогиба в центре оболочки на 35-45 %. Для рассматриваемых типов пористых материалов увеличение температуры ДГ приводит к снижению несущей способности оболочек. При этом изменение величины прогиба при изменение температуры существенно изменяется в зависимость от параметров кх, к .

Изменение параметров кривизны оболочки кх, к качественно влияет на характер зависимости д[^(0,5; 0,5)]. При кх = 30, к =-10 для граничных условий 31наблюдается наступление неустойчивости в нагруженной конструкции микрооболочки при I = 0.4, причем для микрооболочек при I = 0.4 величина критической нагрузки выше, чем у макроразмерных оболочек. При этом при кх = 30, - 30 < к <-20, потери устойчивости не наблюдается. Отметим, что зависимость

д [^(0,5;0,5)] существенно зависит от граничных условий и потери устойчивости при кх = 30, к = -10 для граничных условий (32)-(34) не происходит. При кх = -к характер изгибания оболочек близок к пластинам.

Исследование влияния функционально-градиентного индекса к

Исследуем влияние функционально-градиентного индекса к и постоянного температурного поля АТ на изгибание РБО квадратной в плане А = 1 микродвоякоизогнутой оболочки описываемых системой нелинейных дифференциальных уравнений в смешанной форме (29) при действием равномерно распределённой поперечной нагрузки для макроразмерных оболочек с пористостью И-РБОМ с граничными условиями (31). Сплошные линии решения получены без учета изменений

температуры АТ = 0 0С, пунктирные -для оболочек при действии постоянного температурного поля Т(х, у, z) = АT = 800 0C. Построены зависимости равномерно-распределённой нагрузки д от функции прогиба в центре оболочки w(0.5,0.5) . Решения получены методом вариационных итераций для п=49 для уравнений (29). Расчёты проводились для следующих параметров: Г = 0.4, А = 1. Цветовая гамма для каждого значения функционально-градиентного индекса указана на рисунке 3.14.

а)

б)

Рисунок 3.14. Зависимость q [w(0,5; 0,5)] квадратной в плане (1 = 1 )оболочки c пористостьюи-PFGM при Г = 0.4 для граничных условий (31) для параметров кривизны: a) kx = 30, ky = -10 б) kx = 30, ky = -20

При увеличении функционально-градиентного материального индекса k существенно уменьшается несущая способность макроразмерных (l = 0 ) оболочек для всех исследуемых значений параметров кривизны kx, k как при учете постоянного температурного поля T(x, y, z) = AT = 800 oC

таки при AT — 0 oC . Увеличение температуры от AT — 0 oC до AT — 800 oC снижает несущую способность для всех рассматриваемых значений параметров кх, k , уменьшает величину критической нагрузки для кх — 30, к — -10, кх — 30, к — -20 и увеличивает прогиб оболочек на 5-10 % при кх — 30, ку —-20.

Исследование влияния показателя пористости Г

Выполнен комплексный анализ совместного влияния функционально-градиентного индекса к и стационарного температурного поля AT на изгибную жёсткость квадратной микродвоякоизо-гнутой оболочки с пористостью U-PFGM. Поведение конструкции под действием равномерно распределённой поперечной нагрузки описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений в смешанной форме (29) при граничных условиях (31). Для оценки вклада теплового воздействия проведено сопоставление для двух случаев: сплошные линии соответствуют решениям без учёта температурных эффектов ( AT — 0 oC ). Пунктирные линии отражают поведение оболочки в условиях действия постоянного температурного поля ( T(х, у, z) — AT — 800 oC ). Результаты представлены в виде зависимостей интенсивности приложенной нагрузки от центрального прогиба q[w(0.5,0.5)].

Все численные решения получены методом вариационных итераций при дискретизации области на n=49 узлов. Расчёты выполнены для фиксированного набора определяющих параметров. На рисунке 3.15 цвет кривых варьируется в соответствии со значением градиентного индексаксогласно представленной легенде.

а)

б)

Рисунок 3.15 - Зависимость д [^(0,5; 0,5)] квадратной в плане (Л = 1) оболочки с пористостью и~РРОМпри к = 1 для граничных условий (31) для параметров кривизны:а) кх = 30, ку =-10, б) кх = 30, ку = -20

Установлено, что рост показателя пористости Г закономерно снижает несущую способность конструкции, приводя к увеличению прогиба на 18-25 %. Данная тенденция наблюдается как в изотермических условиях АТ = 0 °С, так и при наличии постоянного температурного поля

Т(х, у, z) = АТ = 800 °С. При этом тепловое воздействие оказывает дополнительное снижающее влияние на жёсткость.

Увеличение температурного поля до уровня Т(х, у, 2) = АТ = 800 °С вызывает рост прогиба на 5-10 % для всех исследованных значений показателя пористости Г и геометрических параметров кривизны кх = 30, к = -20. Это свидетельствует о том, что влияние температуры на

деформационный отклик является аддитивным и проявляется независимо от объёмной доли пор в материале.

3.4 Исследование ПФГ двоякоизогнутых микрооболочек, опирающихся на упругий фундамент Винклера - Пастернака

Работа микро- и микроразмерных оболочечных элементов в составе современных устройств (МЭМС, сенсоров) часто происходит в условиях контакта с податливой подложкой. Для учёта этого взаимодействия применяется модель Винклера - Пастернака, описываемая коэффициентами нормальной кж и сдвиговой жёсткости к5 .В случае оболочек сложной геометрии (с

двумя главными кривизнами) влияние основания на их НДС и устойчивость становится особенно значимым.

Настоящий раздел посвящён анализу совместного влияния упругого основания, геометрии двоякой кривизны, пористой структуры материала градиентного состава на несущую способность микрооболочек. Исследование позволяет оценить, как параметры основания модифицируют деформационный отклик конструкции и как это взаимодействие зависит от внутреннего строения материала и формы оболочки.

Исследовано изгибное поведение микрооболочки из пористого материала U-PFGM, опирающейся на упругое основание Винклера - Пастернака, под действием равномерно распределённой поперечной нагрузки. Поведение конструкции описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений в смешанной форме (29) для набора граничных условий (31-34). Основное внимание уделено параметрическому анализу влияния коэффициента Винклера к на НДС.

Результаты представлены в виде зависимостей интенсивности нагрузки д от центрального прогиба ^(0,5;0,5). Для визуализации масштабного эффекта на графиках приведены решения: для макроразмерным оболочкам 1=0 - сплошные линии, и пунктирные - для микрооболочек с учётом размерного параметра /=0,4.

Все численные решения получены методом вариационных итераций при п = 49 узлов. Расчёты выполнены для фиксированного набора определяющих параметров Г = 0,4, k = 1, А = 1. На рисунке 3.16 цвет кривых изменяется в соответствии со значением коэффициента Винклера к№ согласно представленной легенде.

в)

г)

Рисунок 3.16 - Зависимость д [и'(0,5;0,5)] квадратной в плане (1 = 1) макроразмерной (I = 0 ) пористой оболочки и~РЕОМпри к = 1, Г = 0,4 для граничныхусловий:а) (31), б) (32), в)(33), г) (34)

Увеличение коэффициента Винклера кж приводит к уменьшению прогиба оболочек для всех рассматриваемых граничных условий. При увеличении коэффициента Винклера кК от кК = 0 до кК = 100 прогиб макроразмерной оболочек уменьшается на30-40 %, а для микрооболочек - на 25-30 % (рисунок 3.16). Учет размерено зависимого параметра также существенно влияет на НДС оболочек и приводит к уменьшению прогиба при I = 0.4 на 35 %-45 % при кк =0 и на 20-30 % при кк =100.

Отметим, что влияние коэффициента Винклера кк уменьшается с увеличением размерно-зависимого параметра.

Проанализируем влияние параметров упругого основания к, к8 на изгибание пористой оболочки И-РБОМ при кх = 20, к = -20 . Построены зависимости параметра к^ от величины максимального прогиба оболочек ^(0,5;0,5) для различных значений параметра к3 для квадратной ( А = 1 )с граничными условиями (31)-(34)для максимального прогиба в оболочке ^(0,5;0,5) при действии равномерно распределённой нагрузки. Цветовая гамма кривых для каждого значения параметра к5 указана на рисунке 3.17.

а)

>К0,5;0,5)

/ = 0

к= о к, = 10 к = 20

/ = 0,4

-*,=о - ^=10 -к =20

О

б) о

20 40

з ^(0,5; 0,5)

60

80

100

2.5 2 1.5 1

0.5

/ = 0,4

-

- - к =20

/ = 0

к5=0 к5=\0 к =20

в)

20

40

60

80

100

40,5; 0,5)

о

\ 0 г)

1 = 0

— к 0

К " 5

— к = 10

_ 1 _ 20

20

40

60

80

100

Рисунок 3.17 - Зависимость параметра к^ от величины прогиба ^(0,5; 0,5) при различных значениях параметра кз пористой оболочки, граничные условия: а) (31), б) (32), в)(33), г) (34)

Увеличение параметров упругого основания к№, к приводит к уменьшению прогиба оболочек для всех рассматриваемых граничных условий. При увеличении коэффициента Винклера к от кп =0 до кп=100 прогиб макроразмерной оболочки уменьшается более чем на 30 %при кЕ =0. Увеличение коэффициента Пастернака кЕ от кЕ =0 до кЕ =20 приводит к уменьшению прогиба более 60 %.Увеличение размерно-зависимого параметра I также существенно влияет на напряженно-деформированное состояние и приводит к уменьшению прогиба при I = 0,4 на 35-45 % при к8 =0 и к8 =20 и влияния параметра I уменьшается с увеличением величины параметров упругого основания

К, К.

3.5. Исследование ПФГ микродвоякоизогнутых оболочек, опирающихся на упругий фундамент Винклера - Пастернака с учетом температуры и влажности

Эксплуатация микрооболочек в реальных условиях часто сопровождается комбинированным воздействием температуры и влажности, что приводит к возникновению дополнительных термо-влажностных напряжений и может изменять эффективные свойства материала. Учёт этого воздействия критически важен для точного прогноза надёжности и несущей способности конструкций в приборостроении, авиации и морской технике.

В данном разделе исследуется НДС пористых функционально-градиентных двоякоизогнутых микрооболочекпри одновременном действии температурного поля, влажностного насыщения и упругого основания Винклера - Пастернака. Анализ направлен на оценку совместного влияния этих факторов на деформационный отклик и устойчивость конструкции с учётом градиентного состава материала и его пористой структуры.

Проведем анализ влияние параметра упругого основания к и постоянного температурного поля АТ на деформационный отклик квадратной микродвоякоизогнутой оболочки из пористого материала U-PFGM. Исследование проведено для случая Г = 0,4. Поведение конструкции под действием равномерно распределённой поперечной нагрузки описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений в смешанной форме (29). Для оценки вклада теплового воздействия проведено сопоставление двух расчётных случаев: сплошные линии соответствуют решениям без учёта температурных эффектов АТ = 0 0С. Пунктирные линии отражают поведение оболочки в условиях действия постоянного температурного поля АТ = 800 0С. Результаты представлены в виде зависимостей д [ ^(0,5;0,5)].

Расчёты выполнены с использованием параметров материала, приведённых в таблице 3.4. На рисунке 3.18 цвет кривых варьируется в соответствии со значением параметра основания к согласно представленной легенде.

Результаты, приведенные на рисунке 3.18, показывают, что увеличение температурного поля

при АТ = 800 0С снижает несущую способность для всех рассматриваемых значений параметров основания к№, к!. и увеличивает прогиб оболочек на 3-4 % при кх = 20, к = -20 для оболочки при к = 0 , при этом влияние температуры уменьшается с увеличением показателя к .

6)1

250

200

150

100

50

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

а)

Рисунок 3.18 - Зависимость д [^(0,5; 0,5)] квадратной в плане макроразмерной оболочки и-РГОЫпри р = 1, Г = 0.4, кх = 20, ку = -20 для граничныхусловий:а) (31), б) (32)

Проведён анализ комплексного влияния поля влажности с распределением С(x, y, z) = С sin(^x)sin(^y) ), параметра Пастернака ks и стационарного температурного поля T (x, y, z) = AT = 800 на НДС микродвоякоизогнутой оболочки из пористого материала U-PFGM под действием равномерно распределённой поперечной нагрузки.

Результаты представлены в виде зависимостей q [ w(0.5,0.5)] на рисунках 3.18 и 3.19. Для наглядной оценки вклада гигротермических воздействий использована следующая система обозначений. На рисунке 3.19:Сплошные линии - решения без учёта влажности С0 = 0% . Пунктирные линии - решения с учётом заданного распределения влажности С0 = 6% .

На основе анализа, представленного на рисунке 3.19, установлены следующие закономерности:

1. Увеличение коэффициента Пастернака ks от 0 до 20 приводит к существенному повышению жёсткости системы, снижая прогиб макроразмерной оболочки более чем на 60 % для всех рассмотренных граничных условий.

2. Учет поля влажности С (x, y, z) = С0 sin(^x)sin(^y) вызывает снижение несущей способности конструкции. Однако степень этого негативного влияния ослабевает с ростом коэффициентов упругого основания kw, ks, что свидетельствует о компенсирующей роли жёсткого основания.

3. Влажностное воздействие приводит к возникновению начальных напряжений и деформаций, изменяя НДС как макро-, так и микрооболочек даже в отсутствие внешней механической нагрузки. Это подтверждает необходимость учёта гигротермических факторов на этапе расчёта начального состояния конструкции.

б)

в)

г)

Рисунок 3.19 - Зависимость д [^(0.5,0.5)] квадратной в плане (I = 0) оболочкиЦ-РГОМпри к = 1, Г = 0.4 ,кх = 20, ку = -20 для граничныхусловий:а) (31), б) (32), в)(33), г) (34)

На рисунке 3.20 представлены зависимости прогиба ^(0,5;0,5) от коэффициента Пастернака. Пунктирные линии - решения с одновременным учётом поля влажности и температурного поля АТ = 800, С0 = 6% . Такое представление результатов позволяет раздельно оценить влияние совместного эффекта влажности и температуры на несущую способность конструкции.

а)

б)

20

40

60

80

100

С = 6%

А Т= 800°С

-- к,= 0

-- к, =5

-- /с, =10

-- к, = 20

в)

Г)

Рисунок 3.20 - Зависимость параметра кк от величины прогиба ^(0,5;0,5) при различных значениях параметра к8 для квадратной Г = 0,4 , для пористой оболочки U-PFGM, граничные условиям) (31), б) (32), в)(33), г) (34)

Из результатов, представленных на рисунке 3.20, сделаны выводы, что увеличение параметров упругого основания кк, к приводит к уменьшению прогиба оболочек для всех рассматриваемых граничных условий. Увеличение коэффициента Пастернака кЕ от кЕ =0 до кЕ =20 приводит к уменьшению прогиба более 60 %. Увеличение влажности С0 и температуры АТ приводит к снижению несущей способности оболочек. При этом влияние влажности С0 и температуры АТ снижется с увеличением показателей основания к№, кж.

Проведённый термовлажностный анализ позволил установить следующие ключевые закономерности поведения пористых ФГМ оболочек:

1. Термовлажностные поля вызывают значительные дополнительные деформации (рост прогиба на 15 - 25 % при ДТ=200 К или ДС=20 %).

2. Упругое основание эффективно компенсирует эти деформации, снижая их влияние на 4050 %.

3. Градиентный состав и распределение пор (X-PFGM) позволяют управлять чувствительностью конструкции к влажности.

4. Взаимодействие факторов носит нелинейный синергетический характер: основание изменяет сам механизм термовлажностного деформирования.

Вывод. Для точного прогноза НДС микрооболочек в реальных условиях необходим комплексный учёт температуры, влажности и параметров основания, так как их совместное действие качественно меняет механический отклик конструкции.

3.5 Анализ ПФГМ размерно-зависимых косоугольных пластин

В предыдущих разделах (п. 3.1-3.4) был проведён комплексный анализ напряжённо-деформированного состояния (НДС) оболочечных конструкций канонической геометрии - цилиндрических и двоякоизогнутых панелей - с учётом градиентного состава, пористости и упругого основания. Полученные результаты и апробированная методология (МВИ, переход к криволинейным системам координат) позволяют расширить класс исследуемых объектов на элементы сложной геометрии в плане, где отсутствие ортогональности или криволинейность границ приводит к качественно новым особенностям напряжённого состояния.

Настоящий раздел посвящён исследованию ПФГМ косоугольных пластин - элементов в форме параллелограмма, широко применяющихся в авиационных и судовых конструкциях, обтекателях, наклонных панелях, где геометрия диктуется условиями обтекания или компоновки. Особенностью таких пластин является необходимость перехода от декартовой системы координат к наклонной, что существенно усложняет вид разрешающих уравнений, но позволяет корректно учесть геометрическую анизотропию задачи.

Важно отметить, что разработанный в работе методологический подход - сочетание модифицированной моментной теории, учёта полной геометрической нелинейности и эффективного численного метода (МВИ) - является универсальными может быть применён не только к косоугольным пластинам, но и к другим сложно формным элементам, таким как конические секторные панели (см.

раздел 3.6), а также пластины с криволинейными контурами или вырезами. Это открывает возможность создания единого расчётного инструментария для широкого класса неканонических оболочеч-ных конструкций.

В данном разделе основное внимание уделяется параметрическому анализу влияния угла наклона сторон косоугольной пластины на её НДС и несущую способность в сочетании с ранее изученными факторами: типом распределения пористости, градиентным индексом материала и размерно-зависимыми эффектами. Цель - установить количественные зависимости и выявить критические геометрические параметры, определяющие механический отклик таких конструкций.

Прежде чем приступить к решению имеющейся задачи, необходимо выбрать соответствующую систему координат. Для анализа косоугольных пластин преобразуем уравнения из декартовой системы координат в наклонную (рисунок 3.21).

Рисунок 3.21 -Расчетная схема косоугольной пластины: а)в трехмерном виде; б)срединная плоскость косоугольной пластины

Соотношения для перехода декартовой системы координат в наклонную имеют вид

x = £ + s -ц; y = c -ц

ц = c_1y; £ = x - sc 1 y, (83)

s = sin(^), c = cos(^).

Далее переход от декартовой в наклонную систему координат описывается соотношениями

dw(x, y) _ dw(g,r) Dw(x, y)

dx

д£

dy

= c

sdw(^,r) | dw(%r)

д£

дц

(84)

Уравнения статики гибких ПФГМ косоугольн^гх размерно-зависимых пластин (85-87) в перемещениях ч(£,ц),у(£,Ц) и прогиба как функции (£,ц) с учетом нелинейности фон Кармана примут вид

( Я2.

д u dw +

^д2 w^

д£ д£\д£

+ A3c

))

2 д2u

д£2

- 2 s