Методика изучения геометрического материала в 5-6 классах, основанная на использовании приемов мыслительной деятельности и закономерностей теории обучения математике тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 13.00.02, кандидат педагогических наук Шевченко, Виктория Михайловна

• Шевченко, Виктория Михайловна
• кандидат педагогических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат педагогических наук Шевченко, Виктория Михайловна

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ ТЕОРИИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ И ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МЫШЛЕНИЯ КАК ОСНОВА

ПОСТРОЕНИЯ МЕТОДИКИ ИЗУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО

МАТЕРИАЛА В 5-6 КЛАССАХ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ.

§ 1. Основы теории мышления с позиций теории обучения математике

1.1. Общая характеристика мышления и его роли в математической деятельности учащихся.

1.2. Виды мышления.

1.3. Математическое мышление.

1.4. Основные приемы мыслительной деятельности учащихся.

1.5. Прием мыслительной деятельности «синтез» и синтетическая деятельность в психологии и математике.

1.6. Прием мыслительной деятельности «анализ» и аналитическая деятельность в психологии и математике.

1.7. Прием мыслительной деятельности «сравнение».

1.8. Прием мыслительной деятельности «обобщение».

§ 2. Основные закономерности теории обучения математике и их взаимосвязи с элементами теории мышления и методикой изучения геометрического материала.

2.1 Свойства и признаки предметов в психологии и математическом образовании

2.2. Понятия и математические понятия.

2.3. Определение математических понятий.

2.4. Необходимые и достаточные условия в математике.

Глава II. РАЗРАБОТКА МЕТОДИКИ ИЗУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО

МАТЕРИАЛА В 5-6 КЛАССАХ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ.

§ 1. Основные требования к построению методики изучения геометрического материала в 5-6 классах основной школы, основанные на ' Ф использовании теории мышления и закономерностях теории обучения математике.

1.1. Требования к процессу выявления свойств и признаков различных геометрических объектов, процессов, явлений.

1.2. Использование анализа, синтеза, сравнения и обобщения для получе

Ф ния свойств и признаков геометрических объектов.

1.3. Анализ через синтез, синтез через анализ и некоторые виды аналитических методов.

1.4. Основные положения методики формирования математических понятий.

1.5. Основные требования к определению математических понятий.

1.6. Методика ознакомления учащихся с первыми представлениями о необходимых и достаточных условиях существования геометрических объектов.

§ 2. Методика выявления свойств и признаков неопределяемых геометрических понятий в 5-6 классах основной школы.

2.1. Методика изучения раздела «Плоскости в пространстве».

2.2. Методика изучения разделов «Точки, прямые, аксиома прямой» и

Взаимное расположение точек и прямых».

2.3. Методика изучения раздела «Взаимное расположение точек и плоскостей. Аксиома плоскости».

§ 3. Формирование геометрических понятий, формулировка их определений и необходимых и достаточных условий при изучении темы «Геометрические фигуры» в 5-6 классах основной школы.

3.1. Методика изучения раздела «Отрезки. Измерение отрезков. Расстояния».

3.2. Методика изучения раздела «Углы, их измерение и применение».

§ 4. Организация и проведение педагогического эксперимента и анализ его результатов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методика изучения геометрического материала в 5-6 классах, основанная на использовании приемов мыслительной деятельности и закономерностей теории обучения математике»

Современное российское общество находится на стадии интенсивных социально-экономических преобразований, при этом высокую научную и практическую значимость имеют педагогические инновации, направленные на развитие личности индивида и улучшение качества преподавания математики в средней общеобразовательной школе.

Развитие педагогической науки свидетельствует о том, что главным составляющим современного образования является человек, способный свободно ориентироваться в современном информационном пространстве, продолжать свое дальнейшее образование, добиваться успеха в будущей профессиональной деятельности. В условиях реорганизации образовательного процесса и межличностных отношений в обучении особую значимость приобретает проблема развития мышления личности.

Данные психологов свидетельствуют, что уровня развития мышления, необходимого для успешной учебной деятельности, достигают не более 50% семиклассников, у более 30% школьников этого возраста уровень сформированности интеллектуальных умений очень низкий. Исследования психологов и методистов показали, что весьма эффективно можно развивать мышление на более раннем этапе - в 5-6 классах, в частности, при изучении геометрического материала. На основе сформированных к этому моменту отдельных приемов мыслительной деятельности возникает возможность активного формирования мышления школьников.

Вместе с тем, вопрос об исследовании мышления, с точки зрения JI.C. Выготского, является «одним из труднейших, запутаннейших и сложнейших вопросов экспериментальной психологии» [32, 3].

Вопрос о роли математического образования в развитии мышления обсуждается достаточно давно. Хорошо известны слова М.В. Ломоносова: «Математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит». Формирование и использование умений рассуждать, проводить доказательства, аргументировать высказывания проводится во всех учебных предметах. Однако бесспорно, что развитию способностей школьников анализировать данные, принимать решения и обосновывать свой выбор в наибольшей мере способствует изучение математики.

Особая роль в развитии мышления учащихся отводится изучению геометрии в средней школе. В Российской школе в этом направлении накоплен огром-^ ный положительный опыт, вместе с тем, комплексное исследование формирования мыслительной деятельности учащихся и ее взаимосвязей с изучением геометрического материала в 5-6 классах практически отсутствует. Все сказанное позволяет считать тему нашего исследования актуальной и своевременной.

В психолого-педагогической литературе особенностям развития мышления учащихся посвящены работы Д.Н. Богоявленского, А.В. Брушлинского, JI.C. Выготского, П.Я. Гальперина, В.В. Давыдова, К.А. Дункера, В.П. Зинченко, Е.Н. Кабановой-Меллер, А.Н. Леонтьева, Н.А. Менчинской, Р. Орштейна, Ж. Пиаже, C.JI. Рубинштейна, Р. Солсо, Л.Д. Столяренко, Н.Ф. Талызиной, O.K. Тихомирова, И.С. Якиманской и др.

Особенно важны для нас многочисленные работы С.Л. Рубинштейна, в ко® торых на материале экспериментальных исследований раскрываются основные закономерности мышления (соотношение анализа и синтеза, зависимость обобщения от анализа и абстракции в процессе мышления и т.д.), освещается вопрос о соотношении мышления и знания, о роли речевой формулировки задачи в мыслительном процессе и дается психологический анализ процесса рассуждения.

В исследованиях Н.Ф. Талызиной сделан вывод о том, что уже в начальной школе при построении содержания обучения необходимо продумать всю систему логических приемов мышления, необходимых для работы с планируемыми предметными знаниями, для решения задач, предусмотренных целями обучения. Осо-® бую важность для нас представляют рассмотренные Н.Ф. Талызиной логические приемы мышления «нахождение свойств объектов» и «подведение под понятие».

Для нашего исследования очень важны работы И.С. Якиманской, в которых рассматривается понятие «пространственное мышление». Под пространственным мышлением понимается деятельность по созданию пространственных образов и оперированию ими.

Существует большое число работ, посвященных проблемам формирования ► # и развития математического мышления. Это, например, работы Ж. Адамара,

И.И. Баврина, Г. Вейля, А.Н. Колмогорова, Л.Д. Кудрявцева, B.JI. Матросова, Д. Пойя, А. Пуанкаре, Г. Фройденталя, А .Я. Хинчина и др.

A.Н. Колмогоров считает, что «геометрическое мышление» играет наибольшую роль в математике. Существенной стороной математического мышления, по его мнению, является искусство последовательного, правильно расчлененного логического рассуждения.

На необходимость «математически думать» указывает Л.Д. Кудрявцев. Он подчеркивает, что «математическое мышление не сводится, как это иногда кажется, лишь к логическим рассуждениям. необходимо обладать еще математической интуицией, фантазией и чувством гармонии, позволяющими предвидеть нужный результат прежде, чем он будет получен [104, 140].

Особое место в нашем исследовании занимают работы А.Я. Хинчина, в которых математическое мышление неразрывно связано и трактуется через такие понятия, как «правильность мышления» и «стиль мышления». Основным принципом правильности мышления, который в значительной степени обуславливает все остальное, является приучение учеников к полноценности аргументации.

В методике математики существует много работ, в которых исследовались проблемы взаимосвязей теории обучения математике и развития мыслительной деятельности учащихся. Это, например, исследования В.Г. Болтянского, Г.Х. Во-истиновой, М.Б. Воловича, В.А. Гусева, Г.Д. Глейзера, А.Б. Ильясовой, М. Клякля, Ю.М. Колягина, B.C. Копылова, И.А. Кочетковой, В.И. Крупича, В.Н. Ксеневой, А.К. Насыбулиной, В.В. Никитина, В.А. Оганесяна, И.Н. Поспелова, Н.Н. Поспелова, К.А. Рупасова, А.П. Савина, И.М. Смирновой, А.А. Столяра, Г.И. Сулкар-наевой, А.И. Фетисова, Л.М. Фридмана, В.П. Хмель, П.М. Эрдниева и др.

Научные результаты, полученные в этих работах, также способствовали проведению нашего исследования.

B.Г. Болтянский подчеркивает важность аналитической и синтетической деятельности при решении математических задач и доказательстве теорем: «Обучение математике преследует сейчас не столько цель запоминания каждой теоремы, каждого доказательства, вплоть до мельчайших, сколько овладение общими методами математики и логики. Анализ и синтез являются одними из важнейших в этом плане, и потому обучение этим приемам следует рассматривать как огромное приобретение в знаниях и культуре учащихся; затраченное время с лихвой окупится в будущем» [13, 38].

П.М. Эрдниев, Б.П. Эрдниев говорят об обобщении и умозаключениях по аналогии как о непременной составной части творческого мышления, так как «этим путем мысль человека выходит за пределы известного, пролагая путь к неизвестному. Умственное развитие учащихся, которые должны подготавливаться уже в период школьного обучения к роли творчески мыслящих активных деятелей, не может быть полноценным, если их не научат в школе специально применению приемов обобщения и аналогии» [210, 78].

Крупич В.И. пишет, что «поиск решения задач осуществляется в основном с помощью аналитико-синтетического метода, который носит целенаправленный характер, а именно: анализ задачи состоит в том, что мы предполагаем ее уже решенной и находим различные следствия (или предпосылки) этого предположения, а затем в зависимости от вида этих следствий пытаемся найти путь отыскания решения поставленной задачи». [73, 58]

Вопросы использования приемов мыслительной деятельности при решении геометрических задач рассматриваются в исследованиях А.К. Артемова, Е.С. Ветошкиной, Г.Х. Воистиновой, О.С. Гуртовой, В.А. Гусева, В.В. Кочагина, И.А. Кочетковой, В.И. Крупича, Е.В. Ларькиной, М.А.С. Ласвара, С. Мадраимова, Т.Б. Раджабова, Ю.А. Розка, Е.В. Силаева, А.В. Старшиновой, Л.Н. Фетисовой, И. Хана, О.В. Холодной, X. Эркинбаева и др.

В работах В.А. Гусева выделены основные приемы мыслительной деятельности, используемые при решении геометрических задач. На этой базе рассмотрена система исследовательских умений, составляющих процесс решения геометрических задач.

Г.Х. Воистинова выделела основные пути и методы обучения приемам мыслительной деятельности при решении геометрических задач на построение в массовой школе и классах с углубленным изучением математики.

Л.М. Фридман придавал большое значение приему мыслительной деятельности «сравнение»: «сравнивать математические объекты нужно, ибо только в сравнении мы познаем их наиболее важные свойства, изучаем их. Сравнение лежит в основе классификации объектов, в основе решения большинства задач, а измерение есть также способ сравнения [194, 85].

Н.Н. Поспелов и И.Н. Поспелов представляют развитие умений учащихся проводить обобщение в виде ступенчатого процесса: «на первой ступени обобщающей деятельности учащихся значению слов соответствует синкретический образ; вторую ступень в раскрытии значения слов образуют общие представления, определяемые совокупностью общих признаков; третьей ступенью в развитии понятийного мышления являются понятия, в которых определяющие признаки связаны системой отношений. Для перехода на высшую ступень обобщения необходимо подвергнуть глубокому анализу разные факты, выделить в них существенное, объединить их в однородные категории и группы» [141, 85].

Различные подходы к формированию и использованию основных приемов мыслительной деятельности учащихся и основных закономерностей теории обучения математике при изучении геометрического материала в 5-6 классах рассмотрены в работах Н.Ю Грачевой, В.А. Гусева, М.А. Екимовой, С.В. Кирилловой, Д.В. Клименченко, В.Н. Ксеневой, Е.О. Окуневой, Н.С. Подходовой, Т.В. Расташанской, С.И. Смирновой, Г.И. Сулкарнаевой, В.Н. Фрундина, И.С. Якиманской и др.

Н.С. Подходовой разработана теоретическая и методическая концепция обучения геометрии учащихся 1 -6 классов, в которой изучение геометрии отделено от арифметики и элементов алгебры и интегрировано с учебным материалом предметов, требующих приоритетной деятельности образных компонентов мышления. Выделение основных этапов знакомства с геометрическим пространством происходит на основе психологических закономерностей развития целостной структуры перцепт (восприятие) - предпонятие (обобщенное представление) - понятие.

В.Н. Фрундиным проанализирован накопленный опыт по проблеме разумного сочетания образных, логических и интуитивных путей познания в процессе обучения и таких методов изучения действительности, как сравнение, аналогия, индукция. Разработана система дидактических материалов и методика их применения в 5-6 классах, позволяющая осуществить идею взаимосвязанного изучения свойств плоских и пространственных фигур.

И.С. Якиманская подчеркивает, что «обычно лишь за геометрией признается «право» обеспечивать развитие пространственного мышления. Геометрический материал обладает огромным потенциалом для формирования у учащихся различных способов создания образов и оперирования ими» [212, 36].

Однако среди многочисленных исследований, посвященных разработке методики изучения геометрического материала в 5-6 классах основной школы практически отсутствуют комплексные исследования, в которых эта методика связывалась бы с элементами теории мышления и основными закономерностями теории обучения математике.

Все сказанное выше определяет актуальность нашего исследования.

Проблема исследования заключается в выявлении возможностей использования приемов мыслительной деятельности и основных закономерностей теории обучения математике при изучении геометрического материала в 5-6 классах основной школы, а также в разработке методики такого обучения.

Объектом исследования является процесс изучения геометрического материала в 5-6 классах основной школы в условиях дифференцированного обучения.

Предметом исследования является разработка методики изучения геометрического материала в 5-6 классах основной школы, основанная на формировании и использовании основных приемов мыслительной деятельности и фундаментальных закономерностях теории обучения математике.

Цель исследования состоит в разработке научно-обоснованной методики обучения элементам геометрии учащихся 5-6 классов основной школы на базе формирования и использования приемов мыслительной деятельности и основных закономерностей теории обучения математике.

В ходе исследования была выдвинута следующая гипотеза: целенаправленное использование приемов мыслительной деятельности и основных закономерностей теории обучения математике при изучении геометрического материала в 5-6 классах основной школы будет способствовать более успешному усвоению этого материала, а также более эффективно подготовит учащихся к изучению систематического курса геометрии 7-9 классов.

Предмет, проблема, цель и гипотеза исследования определили его задачи:

1. Проанализировать существующие психологические источники по теории мышления и определить нашу стратегию по таким вопросам, как общая характеристика мышления, виды мышления, математическое мышление, приемы мыслительной деятельности - синтез, анализ, сравнение и обобщение, синтетическая и аналитическая деятельность учащихся.

2. Вскрыть сущность и описать наш подход к изучению фундаментальных закономерностей теории обучения математике: свойства и признаки математических объектов, формирование и определение математических понятий, возможности знакомства с необходимыми и достаточными условиями существования математических объектов.

3. Изучить взаимосвязи фундаментальных понятий теории мышления с рассмотренными нами основными закономерностями теории обучения математике.

4. Сформировать стратегию построения методики изучения геометрического материала в 5-6 классах, связанную с формированием и использованием основных приемов мыслительной деятельности учащихся и закономерностей теории обучения математике

5. Разработать методику наглядного пропедевтического знакомства с процессом выявления свойств и признаков неопределяемых геометрических понятий в 5-6 классах основной школы.

6. Разработать методику выявления свойств и признаков основных геометрических фигур, формирование соответствующих понятий и их определений, а так же представлений о необходимых и достаточных условиях существования этих фигур при изучения геометрического материала в 5-6 классах основной школы.

7. Экспериментально проверить все составленные нами задачи исследования.

Теоретико-методологической базой диссертационного исследования послужили концепции мышления, принятые в отечественной и зарубежной психологии; учение о поэтапном формировании умственных действий; концепция дея-тельностного подхода в обучении; теория дифференциации и индивидуализации обучения математике; концептуальные основы обучения элементам геометрии в школе.

При решении поставленных задач нами использовались следующие методы исследования:

- изучение и анализ психолого-педагогической, методической и математической литературы, а также диссертационных исследований, связанных с формированием мыслительной деятельности учащихся при обучении математике, знакомства учащихся с фундаментальными основами обучения математике, а так же с проблемами изучения геометрического материала на разных стадиях обучения геометрии;

- анализ школьных учебников и учебных пособий по изучению геометрического материала в основной школе;

- посещение и анализ уроков в школе, наблюдение за учебным процессом и деятельностью учащихся;

- изучение и анализ письменных работ учащихся, беседы и анкетирование школьников и учителей;

- педагогический эксперимент по проверке основных теоретических положений исследования и обработка данных, полученных в ходе эксперимента.

Научная новизна и теоретическая значимость проведенного исследования состоит в том, что в результате глубокого исследования большого числа психолого-педагогических, методических и математических источников выявлены наиболее приемлемые с позиций теории обучения математике трактовки фундаментальных понятий теории мышления: мышление, виды мышления, математическое мышление, приемы мыслительной деятельности синтез, анализ, сравнение и обобщение, а также синтетическая и аналитическая деятельность учащихся.

На базе накопленного человечеством представления о теории обучения математике, выделены основные закономерности этой теории, связанные с такими понятиями, как свойства и признаки математических объектов, математические понятия, процесс формирования математических понятий, определения математических понятий, необходимые и достаточные условия существования математических объектов.

Основываясь на изложенных выше теоретических положениях, разработана методика обучения элементам геометрии учащихся 5-6 классов основной школы, включающая в себя следующие два направления:

1) наглядное пропедевтическое знакомство с процессом выявления свойств и признаков неопределяемых геометрических понятий;

2) выявление свойств и признаков основных геометрических фигур, формирование соответствующих понятий и их определений, а так же представлений о необходимых и достаточных условиях существования этих фигур.

Практическая значимость исследования заключается в следующем:

- разработана и внедрена методика изучения геометрического материала в 5-6 классах основной школы, связанная с формированием и использованием приемов мыслительной деятельности учащихся и основных закономерностей теории обучения математике;

- разработана и внедрена система задач наглядного пропедевтического знакомства учащихся с процессом выявления свойств и признаков неопределяемых геометрических понятий в 5-6 классах основной школы;

- разработать и внедрена система задач, направленная на выявление свойств и признаков основных геометрических фигур, формирование соответствующих понятий и их определений, а так же представлений о необходимых и достаточных условиях существования этих фигур при изучения геометрического материала в 56 классах основной школы.

Обоснованность и достоверность результатов и выводов проводимого исследования обеспечиваются:

- системным и целостным подходом к исследуемой проблеме;

- использованием научных достижений в области психологии, дидактики, теории и методики обучения математике;

- широким набором различных методов исследования, соответствующих поставленным задачам;

- результатами опытно-экспериментальной работы;

- обсуждением и использованием полученных результатов и выводов с методистами и учителями математики.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Утверждение о том, что формирование и использование основных приемов мыслительной деятельности учащихся: синтеза, анализа, сравнения и обобщения, а так же основанной на них синтетической и аналитической деятельности, способствует повышению качества усвоения геометрического материала, общему математическому развитию учащимися 5-6 классов и создает условия для их подготовки к усвоению систематического курса геометрии.

2. Необходимо обеспечить понимание основных положений теории обучения математике, таких, как выделение свойств и признаков математических объектов и работа с ними, формирование основных математических понятий, формулировка определений математических понятий, выявление и доказательство необходимых и достаточных условий, без которых нельзя говорить об обучении математике вообще и геометрии, в частности.

3. Стратегия разработки методики изучения геометрического материала в 5-6 классах основной школы, построенная на использовании теории мышления и закономерностях теории обучения математике, а так же составленная в работе система задач, обеспечивающая усвоение неопределяемых понятий геометрии, а также свойств и признаков основных геометрических фигур.

Апробация и внедрение результатов исследования проводились поэтапно в процессе проведения уроков математики в пятых классах ГОУ-СОШ № 25 ЮЗАО г. Москвы (2005-2006 уч. гг.) и в 5-6 классах МОУ школы-гимназии № 1 г. Армавира (2003-2004 уч. гг).

Основные положения диссертации, результаты педагогического эксперимента и сделанные по ним выводы получили отражение в докладах, выступлениях и отчетах по научно-исследовательской работе на заседаниях кафедры теории и методики обучения математике МПГУ и аспирантских семинарах (2005-2006 г.), а также в форме докладов и выступлений на Всероссийской научной конференции «Современные проблемы физико-математического и методического образования» (г. Уфа, 2004 г.); 2-й Российской научно-практической конференции «Математика в современном мире» (г. Калуга, 2004 г.); Международной научной конференции «57 Герценовские чтения» (г. Санкт-Петербург, 2004 г.); Международной научной конференции «58 Герценовские чтения» (г. Санкт-Петербург, 2005 г.); Третьих Колмогоровских чтениях (г. Ярославль, 2005 г.); Всероссийской научно-практической конференции «Современный урок математики: Теория и практика» (г. Н. Новгород, 2005 г.); П-й международной научной конференции «Математика.

Образование. Культура» (г. Тольятти, 2005 г.); Международной научной конференции «Эвристическое обучение математике» (г. Донецк, 2005 г.).

Структура диссертации обусловлена логикой и последовательностью поставленных задач и состоит из введения, двух глав, заключения, библиографии и приложения.

Заключение диссертации по теме «Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)», Шевченко, Виктория Михайловна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

По результатам проведенного теоретического и экспериментального исследований поставленной научной проблемы можно сделать следующие основные выводы:

I. Проведен анализ большого числа психологических источников по теории мышления и определена наша стратегия по таким вопросам, как общая характеристика мышления, виды мышления, математическое мышление, приемы мыслительной деятельности - синтез, анализ, сравнение, обобщение, аналитическая и синтетическая деятельность учащихся.

Можно отметить, что все рассмотренные трактовки понятия «мышление» не являются определениями этого понятия, вместе с тем, важно, что процесс мышления сводится к получению знаний о существенных свойствах, связях и отношениях объективной реальности. Кроме этого, важно, что на первое место в мыслительном процессе ставится проблемная ситуация.

В нашем исследовании мы рассматриваем следующие виды мышления: наглядно-действенное, наглядно-образное и словесно-логическое (теоретическое) мышление. Наглядно-действенное мышление должно быть сформировано и развито за период обучения ученика в начальной школе, вместе с тем, в достаточной степени это не происходит. На следующем этапе обучения при формировании и использовании наглядно-образного мышления, у учащихся должны сложиться верные наглядные представления о различных объектах окружающего мира и соответствующих геометрических фигурах, а так же умение выполнять простейшие чертежи, на которых эти объекты и фигуры будут изображаться. Мы отмечаем также, что провести четкую границу между наглядно-действенным и наглядно-образным видами мышления довольно трудно. Парадокс заключается в том, что если по наглядно-действенному и наглядно-образному видам мышления все же имеются довольно убедительные исследования, то по поводу словесно-логического мышления, которое пронизывает все обучение математике в школе и вузе, чрезвычайно мало исследований, которые бы могли дать практические рекомендации по его формированию и использованию при обучении математике. Этому следует посвятить дальнейшее исследование.

При описании математического мышления мы выделяем следующие его характеристики: искусство последовательного, правильно расчлененного логического рассуждения, геометрическую наглядность, правильность мышления, полноценность аргументации, стиль мышления (лаконизм, точность используемой символики). Рассматривая приемы мыслительной деятельности, мы, вслед за С.Л. Рубинштейном, считаем, что синтез и анализ лежат в основе любого мыслительного процесса. Вместе с тем, по ходу исследования мы отмечаем, что и сам C.JI. Рубинштейн отходил от этих позиций, вводя в качестве исходного приема мыслительной деятельности операцию «опосредование». Н.Ф. Талызина предлагает считать первоначальными приемами мыслительной деятельности приемы «выведение следствий» и «подведение под понятие». В работе подробно рассматриваются подходы к введению основных приемов мыслительной деятельности, но мы по-прежнему отводим анализу и синтезу главнейшую роль.

Приемы мыслительной деятельности «сравнение» и «обобщение» мы рассматриваем в ознакомительном порядке. В работе зафиксировано, что в процессе познания и обучения сравнение выступает в качестве его исходной формы, лежащей в основе всякого знания. Обучение сравнению происходит одновременно с обучением другим приемам мыслительной деятельности, так как они неразрывно связаны. Рассматривая прием мыслительной деятельности «обобщение», мы отмечаем, что он заключается в выявлении связей и отношений частных и общих свойств объектов, а так же в фиксировании каких-либо свойств, принадлежащих некоторому классу объектов. Формирование обобщений у учащихся является одной из главных целей обучения математике.

И. На основе анализа психолого-педагогической литературы и литературы по теории и методике обучения математике выработан наш подход к описанию основных закономерностей теории обучения математике при изучении геометрического материала, соответствующего возрастным особенностям учащихся 5-6 классов основной школы по следующим вопросам: свойства и признаки математических объектов, математические понятия и процесс их формирования, определения математических понятий, формулировка и доказательство необходимых и достаточных условий существования математических объектов.

Рассматривая термин «свойство», мы отмечаем что оно присуще объектам, и отличает одни объекты от других или делает их похожими на другие объекты. Для обучения математике важными являются такие виды свойств, как общие и специфические, существенные и несущественные.

При описании термина «признак» объекта, мы отмечаем, что любой признак математического объекта является свойством, но далеко не каждое свойство объекта является его признаком. Этот факт зачастую не учитывается при описании указанных вопросов, особенно в психологической литературе.

Традиционно работой по выявлению свойств и признаков всевозможных объектов на уроках математики практически не занимаются, так как в начальной школе эти вопросы рассматривать не принято, в 5-6 классах этот вопрос должен найти свое самое широкое применение, однако это не, а в 7 классе и позже для организации деятельности по выделению свойств и признаков объектов нет достаточного количества учебного времени, и цели курса не предусматривают этот вид деятельности. Так как математические понятия можно рассматривать с различных сторон во все новых отношениях, то это позволяет нам получать все новые и новые их свойства и признаки.

Особое значение в нашем исследовании придается процессу формирования математических понятий, так как эта работа в школьном курсе математики поставлена довольно неэффективно. К понятию, в том числе и при обучении математике, следует относиться не как к объекту или явлению, а как к сложному психологическому процессу. Формирование понятий протекает часто по следующей схеме: ощущения — восприятие — представление - понятие.

Следующим важным разделом теории обучения математике является определение понятий. Говоря об определении математических понятий, мы подчеркиваем, что этот процесс, во-первых, должен без остатка редуцировать новое понятие к математическим понятиям, изученным ранее, а во-вторых, в тех случаях, когда это возможно, ему должна предшествовать кропотливая работа по формированию изучаемого понятия. Следует отметить, что в определении математического понятия содержится признак определяемого объекта - это еще раз подчеркивает важность деятельности по выделению свойств и признаков математических объектов. Весьма полезным и эффективным является рассмотрение различных вариантов формулировок определений одного и того же понятия: давая некоторому понятию различные определения, надо устанавливать их эквивалентность, но если говорить о данном возрастном периоде, то это вызывает определенные трудности.

Большое внимание мы уделяем такому важному разделу теории обучения математике, как «необходимые и достаточные условия существования математических объектов», который в последние десятилетия отсутствует в школьных программах по математике. В нашем исследовании мы проанализировали многочисленные подходы к введению указанных понятий и выработали методику, позволяющую рассматривать необходимые и достаточные условия существования математических объектов на данном возрастном этапе.

III. Особое значение при построении методики изучения геометрического материала в 5-6 классах, основанной на использовании теории мышления и закономерностей теории обучения математике, являются требования к разработанной нами методике, которые опираются на материалы, указанные в I-II пунктах данного заключения. Как неоднократно указывалось в нашей работе, во главу угла мы ставим процесс выделения свойств и признаков математических объектов, поэтому в исследовании выделены три основных направления деятельности по выделению свойств и признаков геометрических объектов: а) непосредственное выделение свойств объектов на наглядном пропедевтическом уровне; б) выделение общих и отличительных свойств объектов; в) выделение существенных свойств объектов, то есть признаков этих объектов.

Казалось бы, выполнение указанных выше трех пунктов не очень сложное дело, но практика изучения геометрического материала в 5-6 классах, а так же анализ многочисленных учебников, задачников и пособий по геометрии для этого возраста, показывает, что система соответствующих задач, отрабатывающих указанные три направления, практически отсутствует. В нашей работе такая система задач по соответствующим темам предлагается.

Главными инструментами в построении нашей методики изучения геометрического материала в 5-6 классах являются разнообразные возможности использования основных приемов мышления. Нами разработана методика использования анализа, синтеза, сравнения и обобщения для получения свойств и признаков геометрических объектов, к которой мы предъявляем следующие требования:

- процесс выделения свойств математических объектов начинается с анализирования и дальнейшего синтезирования того, что выделяется анализом; прием мыслительной деятельности «анализ», (то есть разложение на составляющие элементы, разбор) является непростым процессом, его следует постигать постепенно: на начальных этапах изучения геометрического материала нас выручают наглядные представления и опыт;

-синтетическая деятельность обманчива: с ее использованием в математике оформляются доказательства, которые по сути синтетическими не являются. Вот почему каждый раз внутри синтетической деятельности мы используем анализ;

- аналитическая деятельность - основа всех математических открытий. Она представляет собой рассуждения, идущие от того, что нам надо получить, к тому, что дано, что уже доказано; приемы мыслительной деятельности «сравнение» и «обобщение» пронизывают всю математическую деятельность учащихся, без использования этих приемов невозможно получать свойства и признаки математических объектов.

Много внимания в нашей методике уделяется проблемам формирования математических понятий. Этот процесс в существующих учебниках часто (как показано в нашем исследовании) практически полностью отсутствует. К методике формирования основных геометрических понятий мы предъявляем следующие требования:

- появление любого нового понятия должно быть мотивировано и аргументировано;

- исходной базой для возникновения нового понятия являются наблюдение закономерностей окружающего мира, жизненный опыт, предлагаемая учащимся учебная деятельность и различного вида задачи;

- учебный материал, направленный на формирование у учащихся нового понятия, должен содержать также богатый материал по выявлению свойств и признаков формируемого понятия. На этапе усвоения понятия каждое свойство, используемое при описании данного понятия, которое в дальнейшем войдет в его определение, делается специальным объектом изучения;

- следует уделить внимание выяснению места данного понятия в системе других, уже известных учащимся понятий и тех, которые предстоит ввести.

К методике определения основных геометрических понятий предъявляются следующие основные требования:

- определение геометрического понятия включает в себя определенный признак этого понятия. При этом решается целый ряд вопросов: какие признаки следует включать в определение? Какие признаки не следует включать в определение? С каким определением лучше работать? Какое определение чаще используется?

- так как большинство определений в школьном курсе геометрии строится через указание на ближайший род и видовое отличие, то особенно важным является следующее требование: определение должно содержать указание на ближайшее родовое понятие.

Мы предлагаем следующие требования и последовательность знакомства учащихся с необходимыми и достаточными условиями:

-чисто логическая трактовка необходимых и достаточных условий представляется весьма сложной для учащихся, поэтому на первом этапе мы все свойства формулируем в виде теоремы вида «Если А, то В» (А=>В) и устанавливаем (где это возможно) истинность или ложность этой теоремы;

- если мы выяснили, что теорема А=>В верна, то утверждение В является необходимым ДЛЯ А;

-далее мы, проводим подготовительную работу к переходу от теорем вида А=>В к составлению теоремы вида В=>А, проводим первое знакомство учащихся с теорией прямых и обратных теорем,

- на следующем этапе мы предлагаем рассматривать обе теоремы совместно. Если обе теоремы верны, то утверждение В является необходимым и достаточным для А;

- иа базовом уровне в рамках обучения геометрическому материалу в 5-6 классах мы не рассматриваем отдельно такие сложные случаи, когда условие является необходимым, но не достаточным, достаточным, но не необходимым и т. д. При углубленном изучении предмета это возможно и полезно;

- выше мы писали об определении математических понятий, которые часто удобно вводить через необходимые и достаточные условия, то есть, любой признак объекта, входящий в определение понятия, является необходимым и достаточным условием существования данного объекта.

IV. Все вышеизложенные теоретические положения мы реализуем при описании в § 2-3 главы 2, в которых излагается методика изучения двух тем: «Плоскости, точки, прямые и их взаимное расположение» и «Геометрические фигуры». Методика изучения этих тем строится по следующим достаточно жестким предписаниям:

- излагается теоретический материал, имеющийся в данном учебнике по интересующему нас вопросу для того, чтобы учащиеся смогли увидеть необходимые свойства объектов;

- внутри каждого раздела выделяются основные направления, по которым далее предусмотрена тщательная работа;

- по каждому из этих направлений формулируются основные свойства изучаемых объектов, эти свойства классифицируются и, где это возможно, среди них выделяются признаки;

- во всех разделах осуществляется работа по формированию изучаемых понятий. Отметим, что в ряде случаев это сделать очень непросто;

- после того, как проведена работа по формированию геометрического понятия, мы там, где необходимо, вводим соответствующее определение и проводим работу с ним;

- в некоторых случаях (там, где это возможно и целесообразно) мы вводим необходимые и достаточные условия существования объектов;

- по всем указанным выше пунктам предложенная работа опирается на возможности использования основных приемов мыслительной деятельности и принципы синтетической и аналитической видов деятельности.

V. В ходе обучающего эксперимента показано положительное влияние предложенной методики на качество знаний учащихся и результативность решения геометрических задач.

Поскольку сформулированные в исследовании требования к методике изучения геометрического материала в 5-6 классах основной школы носят общий характер, то перспективы дальнейшего исследования следует видеть в разработке подобной системы деятельности по отношению к другим темам геометрии.

191

Список литературы диссертационного исследования кандидат педагогических наук Шевченко, Виктория Михайловна, 2006 год

1. Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики / Пер. с фр. М. А. Шаталова и О. П. Шаталовой; Под ред. И. Б. Погребысского. - М.: МЦНМО, 2001 - 127 с.

2. Адамар Ж. Различные типы математических умов // Математика: Хрестоматия по истории, методологии, дидактике / Сост. Г.Д. Глейзер. М.: Изд-во УРАО, 2001. - С. 367-374.

3. Александров А.Д., Верненр А.Л., Рыжик В.И. Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений. 3-е изд. - М.: Просвещение, 2002. - 271 с.

4. Александров А.Д., Верненр А.Л., Рыжик В.И. Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений 3-е изд., дораб. - М.: Просвещение, 2003. -272 с.

5. Александров А.Д., Верненр А.Л., Рыжик В.И. Стереометрия. Геометрия в пространстве: Учеб. пособие для уч. ст. кл. и абитуриентов. Висанинас: Альфа, 1998.-576 с.

6. Артемов А.К. Об эвристических приемах при обучении геометрии // Математика в школе. 1973.- № 6. С. 25-29.

7. Баврин И.И. Формирование исследовательской деятельности в процессе решения задач динамического характера: Учеб. пособие И.И. Баврин, В.Л. Матросов, Г.В. Токмазов. М.: Прометей, 2000 - 200 с.

8. Бальцюк Н.Б. Некоторые возможности использования электронно-вычислительной техники в учебном процессе: Учеб. пособие / Н.Б. Бальцюк, М.М. Буняев, В.Л. Матросов / Под ред. В.Л. Матросова. М.: Прометей, 1989- 135 с.

9. Бескин Л.Н. Стереометрия: Пособие для учителей средней школы. М.: Просвещение, 1971.-415 с.

10. Бескин Н.М. Методика геометрии. М.-Л., 1947. - 276 с.

11. Богоявленская Д.Б. Интеллектуальная активность как проблема творчества. -Р-н-Д.: Изд-во Ростовского ун-та, 1983. 173 с.

12. Богоявленский Д.Н., Менчинская Н.А. Психология усвоения знаний в школе.- М.: Изд-во АПН РСФСР, 1959. 347с.

13. Болтянский В.Г. Анализ поиск решения задачи // Математика в школе. -1973. №5.-С. 34-40.14.