Методика обучения теории алгоритмов будущих учителей информатики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 13.00.02, кандидат педагогических наук Голанова, Анна Викторовна

• Голанова, Анна Викторовна
• кандидат педагогических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат педагогических наук Голанова, Анна Викторовна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ОБУЧЕНИЯ БУДУЩИХ УЧИТЕЛЕЙ ИНФОРМАТИКИ ТЕОРИИ АЛГОРИТМОВ

§1.1. Основные компоненты методической теории обучения теории алгоритмов в педагогическом вузе

§1.2. Логико-семиотический анализ содержания обучения

§1.3. Семиотический подход к описанию алгоритмических языков.

§1.4. Метод межпарадигмальной рефлексии как принцип отбора содержания обучения теории алгоритмов

§1.5. Использование базовых педагогических технологий при обучении теории алгоритмов

Выводы по главе

ГЛАВА 2. ПОСТРОЕНИЕ МЕТОДИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ОБУЧЕНИЯ ТЕОРИИ

АЛГОРИТМОВ

§2.1. Концептуальный базис методической теории обучения теории алгоритмов

2.1.1. Уточнение понятия "теория алгоритмов"

2.1.2. Взаимосвязь основных понятий теории алгоритмов с основными понятиями дисциплин "Программирование" и "Математическая логика"

§2.2. Концептуальный каркас методической теории обучения теории алгоритмов

§2.3. Логика методической теории обучения теории алгоритмов

§2.4. Содержательная надстройка методической теории обучения теории алгоритмов

2.4.1. Цели обучения теории алгоритмов будущих учителей информатики

2.4.2. Отбор содержания обучения теории алгоритмов

2.4.3. Логико-семиотический анализ содержания обучения теории алгоритмов

2.4.4. Методы обучения теории алгоритмов

2.4.5. Формы организации обучения теории алгоритмов.

2.4.6. Средства обучения теории алгоритмов

§2.5. Учебный предмет "Теория алгоритмов" как интерпретация методической теории обучения теорий алгоритмов

2.5.1. Концепции построения учебного предмета

2.5.2. Структура содержания обучения как результат оптимизации учебной программы методами теории графов

Выводы по главе 2.

ГЛАВА 3. ОРГАНИЗАЦИЯ И ПРОВЕДЕНИЕ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО

ЭКСПЕРИМЕНТА

§3.1. Общая характеристика опытно-экспериментального исследования

§3.2. Использование кластерного анализа для классифицирования представительных моделей

§3.3. Использование факторного анализа при отборе содержания обучения теории алгоритмов будущих учителей информатики

§3.4. Использование анализа контрольных работ для корректировки содержания системы упражнений по теории алгоритмов

§3.5. Проверка эффективности предложенной методической системы обучения теории алгоритмов

Выводы по главе 3.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методика обучения теории алгоритмов будущих учителей информатики»

Актуальность исследования. Благодаря бурному развитию науки информатики и проникновению ее в различные отрасли народного хозяйства слово "алгоритм" стало часто встречающимся и наиболее употребляемым в житейском плане понятием для широкого круга специалистов. Более того, с переходом к информационному обществу алгоритмы становятся одним из важнейших факторов цивилизации.

Известно, что математическая теория алгоритмов сложилась вовсе не в связи с бурным развитием информатики и вычислительной техники, а возникла в недрах математической логики для решения её собственных проблем. Она, прежде всего, оказала большое влияние на мировоззрение математиков и на их науку.

Тем не менее, взаимовлияние теоретических областей, связанных с вычислительной техникой, и теории алгоритмов также несомненно.

1. Теория алгоритмов оказала влияние на теоретическое программирование. В частности, большую роль в теоретическом программировании играют модели вычислительных автоматов, которые, по существу, являются ограничениями тех представительных вычислительных моделей, которые были созданы ранее в теории алгоритмов. Трактовка программ, как объектов вычисления, операторы, используемые для составления структурированных программ (последовательное выполнение, разветвление, повторение) пришли в программирование из теории алгоритмов. Обратное влияние выразилось, например, в том, что возникла потребность в создании и развитии теории вычислительной сложности алгоритмов. Следует также указать на алгоритмическое происхождение парадигм программирования. Благодаря чему, мы смогли осуществить перенос разновидностей семантик с алгоритмических языков на языки программирования.

2. Элементы теории алгоритмов составляют методологическую базу предметной области "Информатика", а именно, включаются в математические основания информатики. Без знакомства с ними представления выпускника педагогического вуза (учителя информатики) о математике, являющейся основой науки информатики, не будут современными и полными.

С другой стороны актуальность исследования подтверждают:

1) несоответствие уровня подготовки будущих учителей информатики в области теории алгоритмов современным требованиям, предъявляемым учителю информатики;

2) отсутствие методики обучения теории алгоритмов будущих учителей информатики;

3) сложившаяся ситуация нехватки учебных и методических пособий для преподавания данной учебной дисциплины будущим учителям информатики в педагогическом вузе. Существующие учебники, задачники и учебно-методические пособия предназначены в большинстве своём для университетов и технических вузов. Одни из них трудны для первоначального изучения предмета, другие не соответствуют программе и целям обучения теории алгоритмов в педагогических вузах, третьи устарели. В настоящее время не появилось новых учебных пособий по теории алгоритмов для педагогических вузов. Однако следует отметить ряд относительно новых изданий для университетов, затрагивающих некоторые вопросы теории алгоритмов: "Алгоритмы и рекурсивные функции" (С.А.Березин, А.М.Ивлева, 1999), "Теория алгоритмов и дедуктивный вывод" (В.Н.Вагин, Е.Ю.Головина, М.В.Фомина, 1999), "Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции" (Н.К.Верещагин, А.Шень, 1999), "Математическая логика и теория алгоритмов" (А. Н.Гамова, 1999), "Лекции по основам математической логики и теории алгоритмов" (Г.Н.Чижухин, 1999).

Сказанное выше определяет актуальность исследования и позволяет сформулировать научную проблему исследования: построение методики обучения будущих учителей информатики теории алгоритмов, соответствующей, с одной стороны, современному уровню развития науки, с другой стороны, новой государственной образовательной парадигме. Анализ возникшей проблемной ситуации и поиски её разрешения составляют содержание настоящего исследования.

Под построением методики обучения здесь понимается построение методической теории обучения теории алгоритмов. Методическая теория обучения трактуется нами (по Н.И.Рыжовой) как система научных знаний в области методики обучения, направленная на получение новых знаний, основными элементами которой являются: эмпирический базис, концептуальный базис, концептуальный каркас, логика теории, содержательная надстройка и интерпретация методической теории .

Объектом исследования выступает процесс обучения будущих учителей информатики теории алгоритмов в педагогическом университете. Возникшая проблемная ситуация определила цель исследования: разработка методической теории обучения будущих учителей информатики теории алгоритмов как составляющей методической системы их фундаментальной подготовки в предметной области.

Цель работы определила предмет исследования, которым является методическая теория обучения будущих учителей информатики теории алгоритмов. С учетом этого можно сформулировать тему исследования: "Методика обучения теории алгоритмов будущих учителей информатики".

Гипотеза исследования заключается в том, что методическая теория обучения будущих учителей информатики теории алгоритмов, в основу которой положен фундаментальный подход к обучению, может быть построена, если воспользоваться:

1. Семиотическим подходом к информатике, при котором информатика рассматривается как наука о семиотике формальных языков, предназначенных для описания информационных процессов с помощью "формализованного общения" с компьютером;

2. Методом межпарадигмальной рефлексии как принципом отбора содержания обучения (по И. А.Колесниковой);

3. Классификацией парадигм теории алгоритмов (рекурсивные функции, представительные вычислительные и представительные порождающие модели), основанием которой служат подходы к определению понятия "алгоритм";

4. Компьютерными средствами обучения теории алгоритмов, позволяющими имитировать работу представительных вычислительных моделей;

5. Принципами профессионально-педагогической направленности обучения будущих учителей информатики: 1) принцип фундаментальности; 2) принцип бинарности; 3) принцип ведущей идеи; 4) принцип непрерывности; 5) принцип использования в педагогической деятельности преподавателя педвуза новых информационных технологий; 6) принцип систематического использования новых информационных технологий в обучении.

Для решения обозначенной выше проблемы и проверки достоверности гипотезы исследования были поставлены следующие задачи.

Первая группа задач (методологического характера) - определение исходных методологических принципов построения методической теории обучения будущих учителей информатики теории алгоритмов:

1. Выбрать методологию исследования в области методики обучения теории алгоритмов;

2. Определить понятие "логико-семиотический анализ содержания обучения" применительно к обучению информатике, которое будет положено в основу отбора содержания обучения теории алгоритмов;

3. Разработать семиотический подход к описанию алгоритмических языков;

4. Разработать принцип отбора содержания обучения, опирающийся на метод межпарадигмальной рефлексии;

5. Выделить базовые педагогические технологии, которые могут быть использованы при обучении теории алгоритмов.

Вторая группа задач (теоретического характера) - построение методической теории обучения будущих учителей информатики теории алгоритмов:

1. На основе анализа научной и методической литературы уточнить определение понятия "теория алгоритмов" и вскрыть межпредметные связи содержания теории алгоритмов с содержанием дисциплин "Программирование" и "Математическая логика";

2. Наряду с общедидактическими принципами отбора содержания обучения сформулировать специфические принципы отбора содержания обучения будущих учителей информатики теории алгоритмов как элемента методической системы фундаментальной подготовки в предметной области;

3. Осуществить отбор содержания обучения разделам теории алгоритмов;

4. Описать технологию формирования целей обучения теории алгоритмов; выбрать целесообразные методы, формы и средства обучения теории алгоритмов.

Третья группа задач (практического характера):

1. Проиллюстрировать возможность вариативного построения учебной дисциплины "Теория алгоритмов";

2. Провести экспериментальную проверку разработанных теоретических положений.

Для решения задач исследования использовались следующие методы исследования:

- анализ философской, научно-методической, психолого-педагогической литературы по проблемам информатизации системы образования. в частности, по проблемам подготовки учителя информатики, по проблемам построения содержания обучения;

- анализ научной литературы по математике, информатике, вычислительной технике, методике преподавания математики и информатики;

- анализ вузовских стандартов, зарубежных и отечественных программ подготовки будущих учителей информатики, учебников и учебных пособий по теории алгоритмов, информатике и вычислительной технике;

- метод экспертных оценок, методы статистической обработки результатов эксперимента.

Научная новизна исследования заключается в разработке нового подхода к отбору содержания обучения теории алгоритмов, при котором:

1) на этапе отбора содержания используется логико-семиотический анализ, который способствует выделению структуры теоретических знаний и содержательно раскрывает методологию информатики с позиций семиотики;

2) в содержании обучения теории алгоритмов выделяются взаимосвязанные разделы, ориентированные на определённые парадигмы теории алгоритмов (рекурсивные функции, представительные вычислительные модели, представительные порождающие модели), варьирование содержания которых, позволяет получать различные варианты учебной дисциплины с общим названием "Теория алгоритмов".

Теоретическая значимость исследования состоит в том, что обоснованы теоретические положения отбора содержания методической теории обучения будущих учителей информатики теории алгоритмов:

- уточнено понятие "теория алгоритмов";

- на основе сформулированных определений теории алгоритмов как науки вскрыты взаимосвязи теории алгоритмов и программирования, и сформулирован ряд новых принципов отбора содержания обучения будущих учителей информатики теории алгоритмов;

- построена методическая теория обучения будущих учителей информатики теории алгоритмов как составляющая методической системы их фундаментальной подготовки.

Практическая значимость исследования заключается в том, что на основе построенной методической теории обучения будущих учителей информатики теории алгоритмов могут быть созданы варианты учебной дисциплины "Теория алгоритмов" для педагогических вузов с учётом их особенностей.

Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечена: методологией исследования, теоретическим обоснованием положений исследования и практической реализацией отдельных элементов построенной методической теории обучения; количественным и качественным анализом результатов исследования, полученным на основе использования методов исследования, адекватных предметным задачам и этапам исследования; использованием методов математической статистики для обработки результатов проведённого опытно-экспериментального исследования.

Последовательность решения основных задач исследования определили структуру построения диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, библиографии и приложений. Основной текст занимает 181 с., в тем числе 21 рисунок. 14 таблиц, библиография (231 наименование) - 20 с. приложения - 40 с.

Заключение диссертации по теме «Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)», Голанова, Анна Викторовна

Основные результаты работы можно сформулировать следующим образом.

В первой главе изложены основные методологические положения, играющие важную роль при построении методической системы обучения теории алгоритмов, а точнее:

1) определено понятие "методическая теория", наиболее полно характеризующее модель методического исследования (его структуру и характер);

2) определено понятие "логико-семиотический анализ содержания обучения" применительно к обучению информатике;

3) предложен семиотический подход к описанию алгоритмических языков;

4) проанализирован метод гуманитарного познания, который называется методом межпарадигмальной рефлексии; описан опирающийся на него новый принцип отбора содержания обучения; описано приме

- 180 нение этого принципа при отборе содержания обучения теории алгоритмов;

5) рассмотрены основные педагогические парадигмы и построенные на их базе основные образовательные стратегии; выделены базовые педагогические технологии в рамках каждой из стратегий и указана возможность их применения при обучении теории алгоритмов.

Во второй главе описаны основные компоненты методической теории обучения теории алгоритмов, а точнее:

1) описан концептуальный базис: сформулированы вербальное и остенсивное определения теории алгоритмов как науки, на основе которых вскрыты межпредметные связи содержания теории алгоритмов с содержанием учебных дисциплин "Программирование" и "Математическая логика";

2) описан коцептуальный каркас: выбрана обобщенная модель методических систем обучения, предложенных Т. А. Бороненко [1997] и И.Б.Готской [1999] в качестве модели методической системы обучения теории алгоритмов;

3) описана логика методической теории: сформулированы дидактические принципы, принципы отбора учебного материала, ведущие принципы (принцип межпарадигмальной рефлексии, принцип симбиоза содержательной и формальной составляющих теории алгоритмов);

4) описана содержательная надстройка методической теории обучения теории алгоритмов: сформулированы цели обучения теории алгоритмов в педагогическом вузе; произведен отбор содержания обучения теории алгоритмов на уровне методической системы; выбраны соответствующие содержанию обучения теории алгоритмов методы, формы и средства обучения.

5) описана интерпретация методической теории обучения теории алгоритмов: указаны концепции построения произвольного учебного предмета и обоснован выбор концепции, основанной на изоморфизме

- 181 или гомоморфизме) структуры учебного предмета структуре методической системы обучения для теории алгоритмов; построена и оптимизирована по времени и по содержанию модульная программа курса "Теория алгоритмов".

В третьей главе приведены материалы, полученные в ходе сбора и анализа эмпирической информации для уточнения гипотезы исследования, а также эмпирическая проверка некоторых результатов исследования с помощью аппарата математической статистики (методов и математических моделей), что свидетельствует об апробации построенной методической теории.

Таким образом, в рамках поставленных задач выполненное диссертационное исследование можно считать законченным. На основе предложенной теоретической модели методики обучения теории алгоритмов в соответствии с целями обучения, состоянием подготовки студентов и условиями обучения могут быть созданы варианты курса "Теория алгоритмов" для педагогических вузов.

Опишем перспективные направления развития предложенной методической системы обучения теории алгоритмов:

1. Дальнейшее развитие содержания обучения теории алгоритмов: отбор содержания обучения будущих учителей информатики следующим темам теории алгоритмов: "Универсальные нормальные алгорифмы", "Идеализированная вычислительная машина. Машина Минского", "Машины с рекурсивными вызовами".

2. Разработка системы упражнений по таким темам теории алгоритмов, как "Комбинаторная определимость рекурсивных функций", "Алгоритмическая сводимость", "Сложность алгоритмов", а также по темам, указанным в предыдущем пункте.

3. Совершенствование имеющихся и разработка новых обучающих, имитационных, контролирующих программных средств обучения теории алгоритмов будущих учителей информатики.

- 179 -ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенное теоретическое исследование показало, что успешная реализация методической системы фундаментальной подготовки будущих учителей информатики невозможна без их серьёзной подготовки в области теории алгоритмов.

Учитывая особенности теории алгоритмов как науки, семиотики как науки, принцип межпарадигмальной рефлексии, принцип симбиоза содержательной и формальной составляющих теории алгоритмов, а также выбрав и обосновав частнодидактические методы, формы и средства обучения теории алгоритмов будущих учителей информатики, нами была построена методическая система обучения теории алгоритмов будущих учителей информатики, применение которой в процессе обучения способствует совершенствованию подготовки будущих учителей информатики по теории алгоритмов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат педагогических наук Голанова, Анна Викторовна, 2003 год

1. Агафонов В.Н. Сложность алгоритмов и вычислений: Спецкурс для студентов НГУ. — Новосибирск: НГУ, 1975.— Ч. 1..— 146 с.

2. Алгоритмы в современной математике и её приложениях: Материалы международного симпозиума.— 4.1.— Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1982.— 364 с.

3. Алгоритмы в современной математике и её приложениях: Материалы международного симпозиума.— 4.2.— Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1982.— 316 с.

4. Алфёрова 3. В. Теория алгоритмов.— М.: Статистика, 1973.— 164 с.

5. Алфёрова З.В., Данелян Т. Я. Сборник заданий по теории алгоритмов.— М.: МЭСИ, 1971.— 46 с.

6. Анисимов А. В. Информатика. Творчество. Рекурсия.— Киев: Наук, думка, 1988.— 224 с.

7. Арсланов М.М. Локальная теория степеней неразрешимости и Д2°-множества.— Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1987.— 140 с.

8. Архангельский С. И. Лекции по теории обучения в высшей школе.— М.: Высшая школа, 1974.— 384 с.

9. Архангельский С. И. Учебный процесс в высшей школе, его закономерные основы и методы.— М.: Высшая школа, 1980.— 368 с.

10. Ахо А. Ульман Дж. Теория синтаксического анализа, перевода и компиляции. Т. 1. Синтаксический анализ.— М.: Мир, 1978.— 614 с.

11. И. Ахо А., Хопкрофт Дж., Ульман Дж. Построение и анализ вычислительных алгоритмов.— М.: Мир, 1979.— 536 с.

12. Бабанский Ю.К. Школа в условиях информационного взрыва // Перспективы: вопросы образования, 1983, №2, С.5-21.

13. Барашко А.С., Липская В.А., Ройзен С. И. Исследование по теории сложности вычислений и формальным языкам.— Киев: Наук, думка, 1978.— 176 с.

14. Барендрегт Х.П. Ламбда-исчисление. Его синтаксис и семантика.— М.: Мир, 1985.— 606 с.

15. Батурина Г. И., Байер У. Цели и критерии эффективности обучения // Советская педагогика, 1975, 4.— С. 41-49.

16. Березин С. А., Мвлева A.M. Алгоритмы и рекурсивные функции: Учеб. пособие.— Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1999.— 72 с.

17. Беспалько В. П. Основы теории педагогических систем.— Воронеж: Изд-во воронежского университета, 1977.— 304 с.

18. Беспалько В. П. Слагаемые педагогической технологии.— М.: Педагогика, 1989.— 192 с.

19. Беспалько В. П. Теория учебника.— М.: Педагогика, 1988.— 160 с.

20. Блох А.Ш. Граф-схемы и алгоритмы: Учеб. пособие для физ.-мат. фак. пед. ин-тов.— Минск: Вышэйшая школа, 1987.— 144 с.

21. Блох А.Ш. Граф-схемы и их применение.— Минск: Вышэйшая школа, 1975.— 302 с.

22. Бороненко Т. А. Методика обучения информатике (теоретические основы): Учебное пособие.— СПб.: Высшая административная школа мэрии Санкт-Петербурга, 1997.— 99 с.- 184

23. Бороненко Т. А. Теоретическая модель системы методической подготовки учителя информатики. Автореф. дисс. . док-pa. пед. наук. — СПб., 1998.— 34 с.

24. Бороненко Т.А., Рыжова Я.И. Методика обучения информатике. Специальная методика: Учебное пособие для студентов.— СПб.: РГПУ им. А.И.Герцена, 1999.— 134 с.

25. Бочкин А. И. Методика преподавания информатики: Учеб. пособие.— Мн.: Выш. шк., 1998,— 431 с.

26. Буга П. Г. Вузовский учебник: создание, выпуск, распространение.— М.: Книга, 1987.— 158 с.

27. Буга П. Г. Создание учебных книг для вузов.— М.: МГУ, 1993.— 223 с.

28. Булос Дж., Джеффри Р. Вычислимость и логика.— М.: Мир, 1994.— 396 с.

29. Вагин В.К., Головина Е.Ю., Фомина М.В. Теория алгоритмов и дедуктивный вывод: Учебное пособие.— М.: Изд-во МЭИ, 1999.— 47 с.

30. Варпахоеский Ф.Л. Элементы теории алгоритмов: Учебное пособие для заочных отделений физико-математических факультетов педа

31. Ф готических институтов.— М.: Просвещение, 1970.— 24 с.

32. Вербицкий А. А. Активное обучение в высшей школе: контекстный подход: Метод, пособие.— М.: Высш. шк., 1991.— 208 с.

33. Верещагин Н.К., Шень А. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции.— М.: МЦНМО, 1999.— 176 с.

34. Верньё Ж. Ребёнок, математика и реальность. Проблемы преподавания математики в начальной школе.— М.: Институт психологии РАН, 1998,— 288 с.

35. Выбор методов обучения в средней школе / Под ред. Ю.К.Бабанс• кого.— М.: Педагогика, 1981.— 176 с.- 185

36. Галиев Ш.И. Задачи по математической логике. Алгебра высказываний. Логика предикатов. Теория алгоритмов.— Казань: Казан, авиац. ин-т им. А.Н.Туполева, 1974.— 80 с.

37. Галиев Ш.И. Теория алгоритмов и дедуктивные теории: Учебное пособие.— Казань: КАИ им. А.Н.Туполева, 1977.— 92 с.

38. Гамова А.Н. Математическая логика и теория алгоритмов: Учеб. пособие.— Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1999.— 76 с.

39. Ганов В. А. Обобщенная вычислимость и джамп-операция: Учебное пособие.— Барнаул: АГУ, 1980.— 52 с.

40. Гершунский Б. С. Прогнозирование содержания обучения в техникумах.— М.: Высшая школа, 1980.— 144 с.

41. Гинецинский В. И. Основы теоретической педагогики: Учеб. пособие.— СПб.: Изд-во СПбУ, 1992.— 154 с.

42. Гладкий А. В. Математическая логика.— М.: Российск. гос. гу-манит. ун-т, 1998.— 479 с.

43. Голицын Г. А. Информация и творчество: на пути к интегральной культуре.— М.: Русский мир, 1997.— 304 с.

44. Гончаров С. С., Ершов Ю.Л., Самохвалов К.Ф. Введение в логику и методологию науки.— М.: Интерпракс; Новосибирск: Институт математики СО РАН, 1994.— 256 с.

45. Горский Д. В. Определение.— М.: Мысль. 1974.— 312 с.

46. Готская И. Б. Маркетинговое проектирование методической системы обучения информатике студентов педвузов: Монография.— СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И.Герцена, 1999.— 114 с.

47. Григорьев В.Я., Кожанов С.Л., Ляшков К.И. Оценка сложности вычислительных алгоритмов: Учебное пособие для студентов механико-математического факультета.— Саратов: Изд-во СГУ им. Н.Г.Чернышевского, 1990.— 16 с.

48. Громыко В.И., Кучевский Ю.В., Панчук О.А. Развивающее обучение в комплексе обучения основам информатики. Метод и практика подготовки учебного материала // Педагогическая информатика, 1995, 2, С. 37-57.

49. Гудстейн Р.Л. Рекурсивный математический анализ.— М.: Наука, 1970.— 472 с.— (Мат. логика и основания математики).

50. Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. — М.: Мир, 1982.— 416 с.

51. Давыдов В. В. Виды обобщения в обучении.— М.: Педагогика, 1972.— 423 с.

52. Данелян Т. Я. Пособие по курсу "Теория алгоритмов и алгоритмические языки". 4.1. Теория алгоритмов.—М.: МЭСИ, 1974.— 168 с.

53. Данелян Т. Я. Пособие по курсу "Теория алгоритмов и алгоритмические языки". Ч.II. Теория алгоритмов.— М.: МЭСИ, 1974.— 169-340 с.

54. Лёгшее А.Н. Перечислимые множества и сводимости: Учебное пособие.— Тюмень: Тюм. гос. ун-т, 1988.— 94 с.

55. Лёгшее А.Н., Захаров Д.А. Перечислимые множества.— Новосибирск: НГУ, 1979.— 92 с.

56. Дидактика средней школы. Некоторые проблемы современной дидактики / Под ред. М.А.Данилова и М.Н.Скаткина.— М.: Просвещение, 1975.— 304 с.

57. Долятовский В. А. Алгоритмы и формальные грамматики: Учебное пособие.— Ростов н/Д: Рост. н/Д ин-т нар. хоз-ва, 1972.— 207 с.

58. Елисеева И. И., Рукавишников В. 0. Группировка, корреляция, распознавание образов.— М.: Статистика, 1977.— 144 с.

59. Ершов А. П. Вычислимость в произвольных областях и базисах //Семиотика и информатика.— М.: ВИНИТИ, 1982, вып.19, с. 3-58.

60. Ершов Ю.Л. Теория нумераций.— М.: Наука, 1977.— 416 с.

61. Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика.— М.: Наука, 1987.— 336 с.

62. Ефимов В.Ф. Основные алгоритмические понятия: Методические разработки для студентов факультетов по подготовке учителей начальных классов педагогических институтов.— М.: МГПИ,66