Методика преподавания курса "высшая математика" на химических факультетах классических университетов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 13.00.02, кандидат педагогических наук Мацур, Франческа Казимировна

• Мацур, Франческа Казимировна
• кандидат педагогических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат педагогических наук Мацур, Франческа Казимировна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ НАПРАВЛЕННОСТИ ПРЕПОДАВАНИЯ КУРСА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ БУДУЩИХ СПЕЦИАЛИСТОВ

ХИМИКОВ.

§ 1. Краткий экскурс в историю зарождения и современное состояние математического образования в России.

§2. Психолого - педагогические аспекты математического образования.

§3. Профессиональная направленность в обучении высшей математике на химических факультетах.

Выводы по первой главе.

ГЛАВА 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ КУРСА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» НА ХИМИЧЕСКИХ ФАКУЛЬТЕТАХ

КЛАССИЧЕСКИХ УНИВЕРСИТЕТОВ.

§ 1. Основные методические принципы изучения курса «Высшая математика».

§2. Методика изучения темы «Производная и ее приложения».

§3. Компьютерная обучающая программа по курсу «Высшая математика».

§4. Постановка и результат педагогического эксперимента.

Выводы по второй главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методика преподавания курса "высшая математика" на химических факультетах классических университетов»

Актуальность исследования

Современный этап развития общества характеризуется качественным изменением деятельности химика, которое связано с широким внедрением в эту деятельность математического моделирования явлений, имеющих место в химическом производстве. Кроме того, общественные и экономические процессы, происходящие в государстве, динамичное развитие науки, техники и информационных технологий оказывают прямое влияние на систему образования в целом и высшее образование как ее компонент.

Существование конкурентных отношений в сфере производства обусловливает действие фактора конкуренции и на рынке труда, что предусматривает повышение требований к профессиональной подготовке специалистов. Резкое ускорение процесса обновления знаний, возникновение новых технологий, непрерывное техническое переоснащение производства требуют от специалиста не только качественных знаний, но и высокой профессиональной мобильности, умения самостоятельно ориентироваться в обширной научно-технической и экономической информации, постоянно пополнять и обновлять свои профессиональные знания.

Таким образом, высшее учебное заведение в процессе обучения должно обеспечивать условия для формирования личности, обладающей высокой общей культурой, фундаментальной профессиональной подготовкой, готовностью самостоятельно осваивать новые знания и овладевать новой техникой и технологиями.

Каждый вузовский курс призван внести свой вклад в реализацию общих требований высшего образования. При этом в технических вузах особая роль принадлежит фундаментальным общетеоретическим курсам и в первую очередь курсу высшей математики. Математика - универсальный язык для описания процессов и явлений различной природы, без овладения которым сегодня немыслима ни качественная подготовка, ни эффективная деятельность специалиста. Не менее важна роль математики в формировании мышления будущих химиков, экологов и других специалистов.

Проецируя общие требования вузовского образования в область математической подготовки, можно сформулировать следующие основные задачи курса высшей математики на химических факультетах университетов:

• обеспечение уровня общей образованности и общекультурное развитие студентов;

• обеспечение базовой подготовки для изучения специальных дисциплин и последующей профессиональной деятельности;

• развитие навыков самостоятельной работы с математическим материалом, необходимых для непрерывного самообразования.

Комплексное решение перечисленных задач позволит сформировать математический аспект готовности будущего специалиста к профессиональной деятельности.

Проблема прикладной направленности обучения достаточно широко представлена в педагогических исследованиях. Различные стороны этой проблемы отражены в работах Н.Н. Грачева, В.А. Гусева, Ю.М. Колягина, Л.Д. Кудрявцева, Б.Ф. Ломова, Г.Л. Луканкина, Н.И. Мерлиной, А.Г. Мордко-вича, З.А. Решетовой, В.Д. Шадрикова, Т.В. Якиманской и др.

Проблема профессиональной направленности подготовки специалистов в большей мере разработана в области технического образования. Так, вопросы совершенствования профессиональной направленности обучения математике на технических специальностях в вузах исследовались в трудах математиков и методистов Г.А. Бокаревой, А.Г. Головенко, А.В. Дюндина, Р.П. Исаевой, Б.А. Константинова, И.Г. Михайловой, С.В. Плотниковой, С.А. Розановой, С.И. Федоровой и др.

Проблеме профессиональной направленности обучения математике на химических факультетах посвящено существенно меньше работ, хотя всестороннее изучение как теоретических, так и практических аспектов этой проблемы имеет большое значение для повышения эффективности обучения химиков по различным специальностям и направлениям.

В структуре профессиональной направленности математической подготовки студентов химического факультета можно выделить содержательный, методический и мотивационно - психологический компоненты.

Содержательный компонент регулирует отбор и структурирование учебного материала с учетом его внутрипредметных и межпредметных связей, необходимых для изучения специальных дисциплин и последующей профессиональной деятельности.

Методический компонент определяет выбор форм, методов и средств, оптимальных для осуществления профессиональной направленности обучения, формирования профессионально значимых способов умственной деятельности и навыков самостоятельной работы.

Мотивационно-психологический компонент позволяет построить обучение с учетом психологических особенностей студентов и взаимовлияния моти-вационно-целевых установок профессиональной направленности обучения математике и интереса к профессии в целом.

Анализ психолого-педагогической и методической литературы позволил сделать вывод: для выявления условий, способствующих реализации профессиональной направленности обучения математике в технических вузах целесообразно провести системно - методологическое исследование ее содержательного, методического и мотивационно-психологического компонентов. Однако до настоящего времени этот вопрос в отношении курса высшей математики на химическом факультете не стал предметом всестороннего рассмотрения педагогов и методистов.

Таким образом, недостаточная разработанность проблемы системного изучения содержательных и методических особенностей математической подготовки студентов химического факультета с учетом профессиональной направленности и мотивационно - психологических особенностей студентов обусловила актуальность тематики нашего исследования.

Проблема исследования состоит в разработке научных основ отбора содержания и подходов, реализующих требования профессиональной направленности обучения высшей математике на химическом факультете.

Проблема определила выбор темы исследования: «МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ КУРСА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» НА ХИМИЧЕСКИХ ФАКУЛЬТЕТАХ КЛАССИЧЕСКИХ УНИВЕРСИТЕТОВ»

Решение этой проблемы составило цель исследования.

Объектом исследования является процесс обучения высшей математике студентов химического факультета.

Предмет исследования - содержательные и методические особенности реализации профессиональной направленности обучения математике на химическом факультете.

Гипотеза исследования состоит в том, что целенаправленное внедрение в методическую систему обучения высшей математике на химическом факультете его профессионально значимого компонента позволит существенно повысить качество базовых математических знаний, одновременно способствуя формированию и актуализации определенных профессионально значимых умений.

Для достижения поставленной цели и проверки сформулированной гипотезы необходимо было решить следующие задачи:

1. Провести анализ содержания и путей реализации профессиональной направленности обучения высшей математике на химическом факультете. Выявить психологические особенности и структуру мотивационной сферы студентов химического факультета.

2. Разработать модель методической системы математической подготовки студентов-химиков, исследовать ее компоненты и связи между ними.

3. Выявить принципы профессионально значимого содержания математического образования и реализовать эти принципы в ходе создания учебного пособия по математике и комплекса учебных материалов для использования на химических специальностях университетов.

4. Определить систему методических требований, обеспечивающих полноценную реализацию профессиональной направленности обучения математике студентов-химиков.

5. Обосновать целесообразность использования математических задач химической ориентации как средства реализации принципа профессиональной направленности и продемонстрировать возможность такого использования на примере одной из тем курса математики.

6. Экспериментально проверить эффективность разработанного методического метода.

Теоретико-методологическую основу исследования составляют основные положения дидактики, системный подход, концепция учебной деятельности, теория формирования мотивации, теория проблемного обучения.

Для решения поставленных задач использовались следующие методы исследования:

• изучение и анализ философской, психолого-педагогической, научно-методической и математической литературы по проблеме исследования;

• анализ вузовских учебных планов, учебно-программной документации по математике и специальным дисциплинам для различных специальностей;

• анализ учебной и учебно-методической литературы по высшей математике и дисциплинам спецциклов;

• обобщение опыта преподавания высшей математики на химическом факультете;

• наблюдение за студентами, беседы с преподавателями;

• анкетирование преподавателей и студентов;

• педагогический эксперимент и обработка его результатов.

Научная новизна исследования состоит в следующем:

- разработаны основные направления совершенствования формирования математических знаний студентов химических факультетов классических университетов на основе межпредметных задач; • - разработан учебно-методический комплекс изучения высшей математики на химическом факультете согласно построенной методической модели, позволяющей обеспечить качественное обучение высшей математике на химическом факультете и применение полученных знаний в других областях науки;

- подготовлены методические рекомендации изучения темы «Производная и ее приложения» с применением межпредметных задач;

- разработана компьютерная обучающая программа по основным темам курса «Высшая математика» для студентов химических факультетов.

Теоретическая значимость исследования заключается в уточнении содержания понятия профессиональной направленности обучения математике студентов - химиков, определении базовых предпосылок для ее реализации, выявлении возможностей целесообразной реализации межпредметных связей математики и спеццисциплин. Сформулированные положения системы обучения реализованы при рассмотрении планирования и разработки методики проведения занятий по высшей математике, и самостоятельной активной познавательной деятельности. В диссертационном исследовании положения, охватывающие раздел «Производная и ее применение» представлены в виде фрагментов лекционных и практических занятий, заданий для самоподготовки. Их реализация с помощью межпредметных задач позволяет существенно повысить теоретический уровень и практическую направленность обучения высшей математике на химических факультетах классических университетов.

Практическая ценность исследования выражается в том, что разработанные подходы к определению курса математики для химических специальностей по принципу профессиональной направленности, соответствующее им методическое обеспечение могут применяться при подготовке программного обеспечения, учебных пособий и материалов, тематики курсовых и дипломных работ в целях эффективной организации процесса обучения студентов-химиков. Разработанное учебное пособие «Высшая математика для химиков» и компьютерная обучающая программа могут непосредственно использоваться в учебной практике преподавания математики на химических специальностях вузов.

Сформулированные в исследовании теоретические положения и практические рекомендации могут учитываться преподавателями смежных дисциплин при организации учебного процесса.

Достоверность и обоснованность результатов исследования обеспечиваются внутренней согласованностью выдвигаемых теоретических положений, их соответствием принципам базисных наук, адекватностью используемого в исследовании методологического и методического инструментария его целям, предмету и задачам, результатам педагогического эксперимента.

Апробация результатов исследования осуществлялась через:

- выступления на XII международной конференции «Математика в высшем образовании» (Чебоксары, май 2004 г.); региональной научно-методической конференции «Проблемы повышения качества образования в условиях модернизации общества» (Чебоксары, ноябрь 2004 г.); XXIV Всероссийском семинаре преподавателей математики университетов и педагогических вузов «Современные проблемы школьного и вузовского математического образования» (Саратов, сентябрь 2005 г.); на II международной научной конференции «Математика. Образование. Культура» (Тольятти, ноябрь 2005 г.) и XIV международной конференции «Математика. Экономика. Образование» (Ростов-на-Дону, май 2006 г.).

- отражение результатов исследования в публикациях (опубликовано 8 работ по теме исследования).

Внедрение результатов исследования в практику обучения курса высшей математики осуществлялось на химическом факультете Чувашского государственного университета им. И. Н. Ульянова, г. Чебоксары.

На защиту выносятся:

1. Теоретическое и экспериментальное обоснование учебно - методического комплекса для изучения математики на химическом факультете на основе межпредметных связей математических и химических дисциплин и компьютерной обучающей программы.

2. Методическая модель использования межпредметных задач и компьютерной обучающей программы для студентов химического факультета.

3. Разработанный учебно-методический комплекс, обеспечивающий повышение математической подготовки студентов химического факультета, включающий базовую программу изучения дисциплины «Высшая математика», учебно-методическое обеспечение изучения отдельных ключевых разделов курса (курс лекций, практические занятия, контрольные работы для студентов на примере темы «Производная и ее приложения»), компьютерную обучающую программу.

Базой исследования послужил Чувашский государственный университет им. И.Н. Ульянова, г. Чебоксары.

Основные этапы исследования:

I. Выявление состояния рассматриваемой проблемы в практике работы химического факультета. Изучение теоретических основ проблемы. Определение цели и задач исследования. Разработка методики экспериментальной работы (2001 - 2002 гг.).

II. Научное обоснование проблемы. Выявление методических путей и средств реализации основных теоретических положений. Разработка материалов для обучающего эксперимента (2002 - 2004 гг.).

III. Проведение обучающего эксперимента и анализ его результатов. Внедрение результатов исследования в практику преподавания математики на химическом факультете (2004 - 2006 гг.).

Объем и структура диссертации определены целью и задачами исследования. Общий объем работы составляет 214 страниц. Диссертация включает в себя введение (8 е.), две главы (гл. 1-80 е., гл. II - 79 е.), заключение (1 е.), список литературы (201 наименований) и 4 приложения. Текст диссертации содержит 15 таблиц и 31 рисунок.

Заключение диссертации по теме «Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)», Мацур, Франческа Казимировна

Выводы по первой главе

1. К настоящему времени российское математическое образование обладает богатым опытом создания локальных образовательных и содержательными педагогическими и методическими идеями, воплощенными в учебники, методические пособия и т. д. Все это вместе составляет математическую культуру как часть интеллектуальной культуры общества.

Идеи мыслителей прошлого и современных педагогов о необходимости серьезного профессионального образования с акцентом на математическую составляющую как основу экономического, политического, интеллектуального развития общества, а также о профессионально-прикладной направленности математических курсов в учебных заведениях профессионального профиля приобретают особую актуальность.

2. Анализ психолого-педагогической литературы показал, что наличие профессиональной мотивации, активности студента и благоприятных условий в процессе обучения способствуют повышению качества приобретаемых им знаний, умений и навыков; а также позволил уточнить, какие психологические моменты, прежде всего, должен иметь в виду педагог высшей школы.

3. Для обеспечения ориентированности курса высшей математики на практику необходимо создать запас математических моделей, которые описывают явления и процессы, изучаемые в различных учебных дисциплинах; сформировать знания и умения, необходимые для исследования выделенных математических моделей. В связи с этим при обучении математике студентов химического факультета целесообразно использовать межпредметные задачи. Нами был уточнен список требований к межпредметным задачам: простой анализ химической ситуации; направленность на формирование математических знаний и умений; органичная связь с программным материалом; применение математических знаний и умений в химии; развитие интереса к изучению математики и химии.

ГЛАВА 2

МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ КУРСА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» НА ХИМИЧЕСКИХ ФАКУЛЬТЕТАХ КЛАССИЧЕСКИХ УНИВЕРСИТЕТОВ

§1. Основные методические принципы изучения курса «Высшая математика»

Формирование математических знаний в современном университете, должно включать:

• обеспечение связи математических курсов с соответствующей специальностью (принцип целенаправленности);

• изучение математических методов на протяжении всего периода обучения и использование их в курсах специальных дисциплин, а также в дипломных проектах (принцип непрерывности);

• совершенствование довузовской, вузовской и послевузовской математической подготовки (принцип преемственности);

• формирование математического мышления (абстрактного, логического и алгоритмического), с помощью которого обучаемый выявляет причинно-следственные связи не только в самой математике, но и в профессиональной и другой социокультурной деятельности — общественной, политической, экономической, семейной (принцип моделирования);

• развитие принципа математической интуиции;

• преподавание математики студентам химического факультета на уровне неформальной строгости, т.е. с выделением ядра математического курса, в котором сохраняется строгость и точность рассуждений, и части курса, в которой акцент делается на геометрические иллюстрации и прикладной смысл (принцип неформальной строгости);

• определение содержания курса математики, форм и методов учебного процесса, обеспечивающих повышение заинтересованности студентов в изучении математики: введение профессиональной и гуманитарной составляющих и наглядности с помощью технических средств обучения и персональных компьютеров (принцип мотивации);

• введение профессионально-прикладной составляющей, формирующей представление об универсальности математических формул и методов (принцип универсальности);

• обеспечение развития интеллекта обучаемого (принцип уровня развития интеллекта);

• развитие способности студента к самообучению (принцип самообучения и самовоспитания).

Такое видение учебного процесса по математике позволит обеспечить единство математического, профессионального, духовно-нравственного и интеллектуального развития личности, создать целостную методическую систему, направленную на улучшение качества образовательного процесса на химических факультетах в целом [49, 97, 134, 145, 151, 175, 184,186].

Научно-методическим советом по математике Министерства образования РФ разработана программа по высшей математике для специальностей 510500 -Химия и 511100 - Экология и природопользование.

В пояснительной записке к программе говорится [132], что программа рассчитана на 600 часов трудоемкости. Рабочие программы, составляемые вузами на ее основе, должны быть ориентированы на объем часов, указанный в Государственных образовательных стандартах по соответствующим направлениям.

Программа предназначена для подготовки бакалавров. Это накладывает на нее определенные особенности, заключающиеся в том, что выпускник должен получить базовое, общее, широкое высшее образование, способствующее дальнейшему развитию личности. В этой программе не следует особенно акцентироваться на будущую профессиональную деятельность, но следует создать общее видение мировоззренческого характера.

Высшее учебное заведение должно в процессе обучения обеспечивать условия для формирования личности, обладающей высокой общей культурой, фундаментальной профессиональной подготовкой, готовностью самостоятельно осваивать новые знания и овладевать новой техникой и технологиями [36].

Выпускник химического факультета должен иметь профессиональную компетентность, что должно стать основой организации всего процесса подготовки специалиста, для этого необходимы профессионально-ориентированные задачи и модельные задачи по специальности.

Каждый вузовский курс вносит свой вклад в реализацию общих требований высшего образования. При этом математика - универсальный язык для описания процессов и явлений различной природы, без овладения которым сегодня не возможна ни качественная подготовка, ни эффективная деятельность специалиста.

Математика является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры. Поэтому математическое образование следует рассматривать как важнейшую составляющую фундаментальной подготовки бакалавра.

Однако при составлении или корректировки программы математического курса на химическом факультете необходимо:

- взять за основу государственный эталон — упомянутую Программу по математике, разработанную Научно-методическим советом;

- во введении отразить мировоззренческое, общеобразовательное, профессиональное и прикладное значение курса математики;

- реализовать профессионально-прикладную и гуманитарную составляющие по возможности во всех формах обучения, но при ограниченном количестве аудиторных часов с переносом центра тяжести на самостоятельную работу студентов (типовые расчеты, рефераты, курсовые работы);

- привести укрупненную структурно-логическую схему взаимосвязи разделов математики с общеобразовательными, общепрофессиональными и ведущими специальными дисциплинами;

- сформулировать основные умения и навыки, которыми должен овладеть студент, выделив особенно умение составлять математические модели профессиональных и других прикладных задач.

Кроме того, было бы полезно включить в программу дидактические материалы для студентов.

Составленные таким образом программы способствуют реализации введенных десяти принципов: целенаправленности, преемственности, непрерывности, мотивации, неформальной строгости, математической интуиции, моделирования, универсальности, уровня развития интеллекта, самообучения и самовоспитания [11,33,63, 65,143,147].

Курс «Высшая математика» для студентов химического факультета Чувашского государственного университета им. И. Н. Ульянова по специальности -«химия» читается 4 семестра и содержит 193 лекционных часов, практических занятий 193 часа и 4 контрольные работы.

Выяснилось, что при подготовке и проведении занятий по курсу, у преподавателей возникают трудности, связанные с отсутствием соответствующей учебной литературы, а также с методикой проведения занятий. Поэтому была поставлена цель - разработать методику преподавания курса математики для студентов химических факультетов вузов, построенной на основе принципов профессиональной направленности обучения.

Были выявлены теоретические основы построения курса «Высшей математики» для химических факультетов классических университетов и на основе этого необходимо было разработать учебную программу курса высшей математики на химическом факультете.

Кроме этого выяснилось, что студентам необходим учебно-методический комплекс, содержащий тематику лекционных и практических занятий, задания по самостоятельной работе и образцы решений задач для основных разделов данного курса [127].

Для реализации программы по высшей математике на химическом факультете, соответствующей перечисленным принципам на кафедре «методики преподавания математики» Чувашского государственного университета им. И.Н. Ульянова, нами был разработан учебно-методический комплекс, который используется на занятиях [118,124].

В структуру комплекса входят следующие составляющие: государственные стандарты по специальностям 510500 - Химия и 511100 - Экология и природопользование; программа по математике для специальности; требования к базисным умениям и навыкам по математике, которыми должен обладать специалист (принцип целенаправленности); рекомендации для повторения основных разделов элементарной математики (принцип преемственности); курсы лекций по всем разделам математики, в которых использованию математических методов в сфере специальности и в других областях жизни должно быть отведено определенное место (принцип непрерывности); разработки упражнений; типовые расчеты с профессиональными задачами (принцип мотивации); темы докладов, рефератов, развивающих интеллект (принцип уровня развития интеллекта); основная и дополнительная литература, включающая интернет -сведения, обучающая компьютерная программа.

Такой комплекс — интеллектуальный самоучитель — поможет становлению и развитию личности специалиста.

Ниже дано описание основных структурных составляющих данного комплекса и приведены некоторые их фрагменты.

Комплекс состоит из трех частей: I. Первая часть содержит в себе:

• государственный стандарт и рекомендованную Министерством образования Примерную программу по математике для направлений 510500 - Химия и 511100 - Экология и природопользование. Стандарт целесообразно внести в учебно-методический комплекс для преподавателей и студентов (Приложение 1);

• учебную (рабочую) программу - представлена рабочая программа курса «Высшая математика» в соответствии с государственным образовательным стандартом;

• тематику лекционных и практических занятий - представлено почасовое планирование всего лекционного и практического материала по семестрам;

Список литературы диссертационного исследования кандидат педагогических наук Мацур, Франческа Казимировна, 2006 год

1. В контрольной работе 1 представлены разделы: элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, элементы линейной алгебры, теория пределов.

2. В контрольной работе 2 представлены задания по темам: производная и дифференциал; приложение дифференциального исчисления; неопределенные и определенные интегралы.

3. В контрольной работе 3 представлены разделы: функция нескольких переменных; кратные интегралы; дифференциальные уравнения; ряды.

4. Реализацию методического комплекса можно рассмотреть на примере темы «Производная и ее приложения».

5. Примерный план семинарских занятий

6. На последнем занятии (9-10 ч.) рассматриваются профессионально ориентированные задач.

7. Методика изучения темы «Производная и ее применение» рассмотренав§2.

8. Цели обучения и воспитания. Обеспечение уровня математических знаний, умений и навыков, гарантирующего овладение фундаментом специальных дисциплин, изучаемых на химическом факультете.

9. Формирование представлений о роли математики в построении материальной и духовной основы общества, о связи математики с другими науками и выбранной специальностью, об истории математики.

10. Формирование математического мышления (абстрактного, логического и алгоритмического).

11. Обучение построению математических моделей для профессиональных (химических) и других прикладных задач.

12. Воспитание интереса к математике как основному инструментарию и универсальному языку всех специальностей.

13. Воспитание стремления к выбору эффективных и рациональных методов исследования профессиональных процессов.

14. Развитие интереса к профессии средствами математики.

15. Методы обучения. Мотивационное обеспечение всего математического курса (учет межпредметных связей).

16. Введение профессиональных и других прикладных задач во все формы обучения (лекции, семинары, самостоятельная работа студентов: практические занятия, типовые расчеты, курсовые работы) как дополнение и расширение банка классических задач.

17. Использование элементов пропедевтики и связанная с ней идея незавершенности знания.

18. Воплощение принципа «неформальной строгости» с помощью геометрической иллюстрации, математической и химической интуиции там, где это возможно.

19. Формирование математического мышления. Обучение математическому моделированию профессиональных задач. Развитие математической интуиции. Обучение умению учиться в течение всей жизни.

20. Формы обучения. В традиционные формы обучения (лекции, практические занятия, типовые расчеты) включаются профессиональные задачи, которые активизируют процесс обучения математике и развивают интеллект студента.

21. Для самостоятельной работы студентов подбираются темы рефератов, устанавливающие взаимосвязь математики со специальностью и другими науками.

22. Преимущества программированного контроля перед традиционным методом опроса студентов для учета их успеваемости несомненны, но оно не исключает и других форм контроля (ответы у доски, устный опрос и др.), особенно при текущем контроле.

23. Использование программированных заданий является одним из путей установления обратной связи между преподавателем и студентом и позволяет улучшить организацию учебного процесса, способствует приобретению студентами более глубоких и прочных знаний.

24. Рассмотрим методику введения понятия производной.

25. Задача о скорости химической реакции:

26. Обозначим через М количество вещества, вступившего в химическую реакцию к моменту времени очевидно, М=М (/).За промежуток времени At это количество изменится на А М.

27. Средней скоростью химической реакции за указанный промежуток времени называется отношение1. AM M(t+At)-M(t)а скоростью реакции в момент времени t предел указанного отношения при Д/->0

28. AM . M(t + At)-M(t) v= lim-= lim —i---—.1. Л/->0 Д t Ы-уО Д /

29. Задача о теплоемкости тела:

30. Рассмотрим процесс нагревания некоторого тела. Предположим, что функция Q = Q{t) определяет количество тепла (выраженное, например, в калориях) Q, которое нужно сообщить телу для нагревания этого тела от 7| до Т2.

31. В результате рассмотрения задач такого рода студенты должны прийти к выводу о том, что понятие скорости изменения функции необходимо при решении большого числа задач, важных в практическом отношении.

32. Внимание студентов обращается на то, что решение каждой рассмотренной выше конкретной задачи по существу сводится к следующему:

33. Рассматривается приращение функции, соответствующее приращениюаргумента ду\ Ау = f(x + Ax)~ f(x), и затем отношение приращения функции

34. Ау к вызвавшему его приращению аргумента Ах:

35. Af = f(x + Ax)-f(x) = F(Ax) Ах Ах v

36. Данное отношение есть функция переменной д*, определенная для всехзначений Ах из интервала (а-х,Ь-х), кроме Дх = 0. Ищется предел функции F(Ax) при Дх-»0, и, если он существует, то его и называют производной функции f(x) в данной точке х.

37. Q(t), получаемого телом, по температуре Т, т. е. с(т) = = q' (7-),dT

38. Другим важным моментом, на который нужно обратить внимание студентов, является следующий.

39. Дать аргументу х приращение Ах и рассмотреть функцию для значения аргумента х+Ах, т. е. /(х+Дх).

40. Вычислить приращение А у функции, вызываемое приращением Ах аргумента: А/ = /(х+Дх)-/(х).

41. Найти отношение приращения функции к приращению аргумента:1. Ах

42. Вычислить предел этого отношения при Дх -» 0: f'(x) = lim —.1. Дг-^ОДх

43. Это правило нахождения производной необходимо детально разобрать на примерах. Рассмотрим один из таких примеров. Дано: /(х) = х3. Найти производную f'(x).

44. Даем аргументу л; приращение Дх и рассматриваем значение функции для аргумента х + Дх, т. е. /(х+Дх) = (х + Дх)\2. Вычисляем А/:

45. Д/ = /(х + Дх)-/(х)=(х + АхУ-х3 =х3 + Зх2-Дх + Зх-(Дх)2+(Дх)3-х3 = = Зх2 • А х + Зх • (Д х)2 + (Д х)3.3. Находим отношение —:1. Дх1. Дх Дх

46. Вычисляем предел отношения — при Дх -> 0:1. Дхfix) = lim У- = lira (ъх2 + Зх • Ax + (АхУ)= Ъх2 , т. е.

47. J V ' Дг-»0 Дх Л*-*0 v / /f<(x)=(x*)<= Ъх\

48. Пусть х<-1, тогда /(x) = x2-x-2. Выберем теперь Ах таким, чтобы -1 + Ах<-1, т. е. Ах<0. Поэтому, учитывая, что /(-1) = 0, получим:

49. Дг-Ю Дх Д*-»0 Дх Д1-»0 дх Дг-»0 дх1. ДкОlim1. Дх-»0 ДкО1. ДкО1. ДкО1. ДкОl-2.Ax+(A,y +1-Ах-2 . -3-Ах+(Ах)2 = (.3+Д;с)=.з.1. Ах Ах р-у1. ДкОд»-»о1. ДкО

50. Так как 3*-3, поэтому для функции /(х) = |х2-х-2| в точке х = -1 производной не существует.

51. Аналогично можно доказать, что у данной функции не существует производной и в точке х = 2.

52. Пример 2. Найти производную /(x) = |sinx| на интервале от (-я-;я-) (рис. 3).л x1. Рис. 3.

53. Решение. Используя понятие модуля, запишем данную функцию в следующем виде:ч , . , Гsinx, 0<х<л, Дх) = srnx \ = \ .1 ' -SU1X, -7г<х<0.

54. Так как для значений аргумента х, удовлетворяющих неравенству 0<х<л, данная функция совпадает с /(x)=sinx, то f'(x) = cosx для 0<х<я, а в точкех = 0 имеем:дв =м 0=щ =1.дх-»о д г Д1->о Д г дх->о А г1. Лх>0 Д1>0 Дх>0

55. Аналогично для значений х, удовлетворяющих неравенству -л- <х < 0, данная функция совпадает с функцией /(x) = -sinx, поэтому f'(x) = -cosx для-жх<0, а в точке х = 0 имеем:ы /(0+Ах)-/(0) м -sin(Ax)+sin 0 = ы -sin(Ax) = 1 Ах Ах А*

56. Итак, функция /(x) = |sinx|, для |х| ся-, имеет производные в любойточке х, где я- < х < О и 0<х< л-, а в точке х = 0 данная функция производной не имеет, так как 1 * -1.

57. Рассмотренные примеры показывают, что существуют функции, которые не имеют производных в некоторых точках из области определения.

58. Кроме этого полезно рассмотреть необходимое условие существования производной, т. е. изучить следующую теорему: если функция /(х) имеет производную в точке а, то она непрерывна в этой точке.

59. Доказательство. По условию в точке а существует производная функции /(х), т. е. существует конечный предел:а + Ах)-/(а) /(а)

60. Сделав замену переменной х = а + Ах, с учетом того, что из условия х -> а следует Ах 0, получим:

61. М/(*)-/(а).= Hm Аа + Ах)-/(д) /(а+Ах)-/(а), Дх = /,(а),0 = Qх-*а v ' J v /J Д1->0 Дх Д*-+0 Дх V '

62. Таким образом, Шп /(х)-/(а).=0, т. е. Иш /(*) = /(а).ч. т. д.

63. Рассмотрим геометрическое истолкование производной функции в данной точке. Оно связано с понятием касательной к графику функции в этой точке. Чтобы выяснить эту связь, прежде всего надо дать определение касательной к графику функции в точке.

64. Пусть дана непрерывная функция у = /(х). Ее график изображен на рис. 4.

65. На графике функции рассмотрим точку М, абсцисса которой х0 и точку N, абсцисса которой равна х0 + Дх. Через точки Mu N проведем прямую MN, которая называется секущей к графику функции. Угловой коэффициент секущей MN равен:1. Ах

66. Итак, если касательная существует, получим:tga = limА: = lim — = lim /fe + **)-/(*) = yfr.).1. Дг->0 Дг-+0Дх Д1-+0 Ax

67. Рассмотрим вывод основных теорем и формул дифференцирования элементарных функций.

68. Используя основные теоремы о производных, можно вывести формулу дифференцирования степенной функции с целым показателем, правило дифференцирования многочлена (целой рациональной функции), дробно рациональной функции.

69. При рассмотрении теоремы о дифференцировании сложной функции, необходимо научить студентов четко раскладывать сложную функцию на элемен-f тарные составляющие.

70. Решение вопроса о производных показательной и логарифмической функций возможно несколькими вариантами изложения. Этот вопрос мы излагаем следующим образом.

71. При изучении теории пределов нами было доказано существование предела вида lim (l + а Уа = е (второй замечательный предел), тогда легко устаноа->0вить, чтоlim(l + акУа = ека->0

72. Действительно, сделав замену а к = /?, т. е. а-—, получим с учетом непрерывкности показательной функции: