Методы анализа и синтеза релейных систем управления, работающих в режиме вынужденных колебаний тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат технических наук Пестрякова, Ирина Сергеевна

• Пестрякова, Ирина Сергеевна
• кандидат технических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат технических наук Пестрякова, Ирина Сергеевна

Введение.

Глава 1. Вынужденные колебания в релейных системах с двухпозиционным релейным элементом.

1.1 .Условия возникновения вынужденных колебаний.

1.2. Алгебраический критерий устойчивости в релейных системах с линейным объектом управления.

1.3. Частотный критерий устойчивости. ф 1.4. Устойчивость периодических движений в релейных системах с нелинейным объектом управления.

1.5. Устойчивость периодических движений в релейных системах с ограничителями.

1.6. Пример.

Выводы по разделу.

Глава 2. Вынужденные колебания в релейных системах с трехпозиционным релейным элементом

2.1. Условия возникновения вынужденных колебаний.

2.2. Алгебраический критерий устойчивости в релейных системах с линейным объектом управления.

2.3. Устойчивость периодических движений в релейных системах с нелинейным объектом управления.

2.4. Пример.

Выводы по разделу.

Глава 3. Линеаризация системы по полезному сигналу. ф 3.1. Линеаризация системы с двухпозиционным релейным элементом.

3.2. Линеаризация системы с трехпозиционным релейным элементом.

3.3. Линеаризация системы со статическими нелинейностями.

3.4. Линеаризация системы с ограничителями.

3.5. Частотный анализ.

3.6. Примеры.

Выводы по разделу.

Глава 4. Синтез релейной системы, работающей в режиме вынужденных колебаний.

4.1. Синтез закона управления в системах с двухпозиционным релейным элементом.

4.2. Синтез закона управления в системах с трехпозиционным релейным элементом.

4.3. Математическая модель электропривода наведения прицельного устройства.

4.4. Синтез релейного интегрирующего электропривода, работающего в режиме вынужденных колебаний.

Выводы по разделу.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы анализа и синтеза релейных систем управления, работающих в режиме вынужденных колебаний»

Релейные системы автоматического управления находят широкое применение в самых разных отраслях техники. Это связано с простотой, технологичностью и хорошими динамическими характеристиками релейных систем. В связи с этим повышается потребность в эффективных методах анализа и синтеза релейных систем. Обычно вышеуказанные системы работают в автоколебательном режиме, что имеется значительное число работ рассматривающих такие режимы. Однако релейные системы могут работать в режиме внешней линеаризации, когда сглаживание достигается введением дополнительного высокочастотного входного сигнала., При этом входной сигнал подавляет автоколебания, происходит принудительная синхронизация, и в системе устанавливаются периодические колебания, частота которых равна частоте входного сигнала. Этот режим называется режимом захватывания или режимом вынужденных колебаний на основной частоте. Подавление автоколебаний входным сигналом может сопровождаться также установлением в релейной системе периодических колебаний, частота которых оказывается кратной частоте входного сигнала, то есть в системе возникают периодические колебания частотой col v, где со = ж IT - круговая частота входного сигнала; v - целое положительное число. Этот режим называется режимом захватыванием на частоте субгармоник или субгармоническим режимом.

Релейный элемент, если отвлечься от его физического содержания и рассматривать как динамическое звено, представляет собой разрывную статическую нелинейность. Выходная величина релейного элемента изменяется скачком всякий раз, когда входная величина проходит пороговые значения. В интервале между моментами времени, соответствующими прохождению входной величиной пороговых значений, выходная величина релейного элемента неизменна. Такие свойства релейного элемента позволяют сравнительно простыми средствами коммутировать большие мощности, но пропорциональность между выходной и входной величинами здесь отсутствует. Поэтому рассмотрение релейных систем непосредственно при помощи хорошо разработанных в теории автоматического управления линейных методов невозможно.

Задача о действии произвольного внешнего возмущения на нелинейную систему является одной из наиболее сложных задач теории нелинейных колебаний. Тем не менее, специфическая особенность релейных автоматических систем, состоящая в том, что форма выходной величины релейного элемента не зависит существенно от формы его входной величины, позволяет произвести исследование их сравнительно простыми средствами, не прибегая к сложному математическому аппарату. Наиболее существенные результаты получены в случае, когда внешнее воздействие представляет собой гармоническую функцию времени.

Начальный этап развития теории релейных автоматических систем относится ко времени становления теории автоматического управления. Однако первые труды [14], [18], [23], [35] посвящены анализу и синтезу релейных систем, работающих только в автоколебательном режиме. Большую роль в развитие теории релейных систем релейных систем внесли исследования группы учёных под руководством академика А. А. Андронова. Разработанный ими метод точечных преобразований дал возможность качественно и количественно произвести разбиение фазового пространства на области, содержащие траектории различного типа, и для некоторых релейных систем получить полную картину влияния регулятора на процесс управления. Исключительно важную роль для теории релейных систем сыграла идея, предложенная А. А. Андроновым и С. Э. Хайкиным [4], [5]. Используя независимость формы выходной величины релейного элемента от характера движений в системе, нелинейную функцию выходного сигнала с релейного элемента можно заменить некоторой функцией времени, представляющей собой "внешнюю" периодическую силу, действующую на систему. Частота этой периодической силы определяется свойствами/ системы. Благодаря этому нелинейная задача сводится к исследованию1 действия некоторой периодической силы на линейную систему, т. е. к линейной задаче.

Одной из первых работ, посвященных вынужденным колебаниям, является исследование Рокара [88] о воздействии внешней гармонической силы на ламповый генератор с z - образной характеристикой, который использовался в работе [5]. В работах Г.С. Поспелова [50] и Н.В. Бутенина [10], [11] рассмотрены с этой точки зрения простейшие релейные следящие системы с линейным объектом управления второго порядка. Бутениным Н.В. для исследования вынужденных колебаний применен метод малого параметра.

Приближенное решение задачи о вынужденных колебаниях в релейных системах на основе метода гармонического баланса было проведено Кохенбургером [86], Боголюбовым Н.Н. и Митропольским Ю.А. [8]. Независимо от него для нелинейных систем общего вида эта задача была решена М.А. Айзерманом [1], Е.П. Поповым [45] и Е.П. Поповым, Пальтовым И.П. [46].

Большой вклад в развитие теории нелинейных колебаний внесли труды Ю.И. Неймарка и научной школы, созданной под его руководством. Ю.И. Неймарк рассмотрел общий случай сложных вынужденных колебаний и получил характеристическое уравнение, при помощи которого решается вопрос об устойчивости вынужденных колебаний. Исследование колебаний и их устойчивости он свел к изучению точечного преобразования многомерного .„гильбертова пространства само в себя. Метод может применяться не только для релейных систем, но и для систем, содержащих нелинейности других видов.

Способы построения резонансных кривых релейных автоматических систем были изложены в работах Огаты [87], Цыпкина [75], Боголюбова Н.Н. и Митропольского Ю.А. [8].

Теория субгармонических колебаний начала свое развитие с трудов Мандельштама Л.И. и Папалекси Н.Д. Субгармонические колебания наряду с вынужденными колебаниями основной частоты изучались в работах Сакавы [73], Ямазуги, Насимуры, Марухаши, Фудзии [80]и Жиля, Паке [85].

В работах Фазола и Шварца [84] таким же образом исследованы симметричные и несимметричные вынужденные колебания основной частоты, а также субгармонические колебания в релейных системах. При рассмотрении методов анализа релейных систем невозможно обойти вниманием также и работы, посвященные линеаризации релейных систем по полезному или медленноменяющемуся сигналу. Эти методы используют эффект вибрационного сглаживания релейного элемента и других нелинейностей периодическими движениями системы. Линеаризация нелинейных (в том числе и релейных) систем, вызываемая внешним воздействием при достаточно высокой его частоте и соблюдении некоторых условий, рассматривалась в работах Л. Мак-Кола [27], А. А. Красовского [22]. Наиболее полные результаты в этом направлении получены Г. С. Поспеловым [49], [51]. Строго математическое обоснование этого факта было дано Н.Н. Боголюбовым [7].

Все приближённые методы отличаются сравнительной простотой, но их точность и область допустимого применения сильно зависят от выполнения различных условий, и поэтому результаты, даваемые ими, требуют в каждом отдельном случае обоснования. Так, например, теоретически обоснованное применение метода гармонической линеаризации допускается только при выполнении гипотезы фильтра. Она представляет собой предположение о том, что на вход релейного элемента поступает периодический сигнал, мало отличающийся от гармонического. Эта гипотеза сильно ограничивает возможности применения метода гармонической линеаризации для исследования релейных систем с объектами управления, содержащими существенные нелинейности, с малоинерционными объектами управления, а также в случае достаточно сложной коррекции релейной системы.

Большинство из перечисленных выше методов исследования процессов в нелинейных системах разрабатывались не только для релейных систем и могут применяться в системах, содержащих нелинейности других видов. Это, с одной стороны, является достоинством, так как свидетельствует об их универсальности. С другой стороны, эти методы не в полной мере используют особенности релейных систем автоматического управления, основной из которых является кусочное постоянство выходного сигнала релейного элемента. Желание создать для релейных систем точный метод исследования, лишённый недостатков, характерных для остальных методов, привело к созданию ряда специфических теорий, широко использующих отмеченное свойство выходного сигнала релейного элемента.

Наиболее полное исследование (точное решение этой задачи) вынужденных колебаний в релейных системах с линейным объектом управления, учитывающее особенности релейного элемента, приведено в известной монографии Я.З. Цыпкина [76]. Однако в указанной работе не рассматривается режим слежения релейной системы за входными сигналами, что существенно затрудняет ее применение для синтеза релейных систем управления. Но, тем не менее, метод Я. 3. Цыпкина, который играет исключительно важную роль в современной теории релейных систем автоматического управления. В своей работе [76], [77] Цыпкин предложил использовать специальные характеристики объекта управления - годографы релейной системы. Для двухпозиционного релейного элемента с гистерезисом годограф имеет вид 1

J(o)) =--z (K/a))-iz(7c/aj), 0<ю<°о, со г(тс/со) - значение выходной величины линейной части системы, которая в периодическом движении соответствует моментам переключения релейного элемента с плюса на минус, z ~ (гс/ю) - значение производной этого сигнала в моменты времени, предшествующие переключениям релейного элемента с плюса на минус (в пределе "слева"), j - мнимая единица.

Для трехпозиционного релейного элемента с гистерезисом введены два годографа

1 /1 / -Л / 1 ^-f п .г тс 1 ^ , ч X ^ ' ^ ' со ю) =--Z - - JZ — , J у (со) =--Z

ЧС0у vc0y тс у— V

JZ у —

V Юу со

0<со<со, 0 < у < 1. Здесь z(%/ со) - значение выходной величины линейной части системы, которая в периодическом движении соответствует моментам переключения релейного элемента с нуля на минус, z~(тс/со) - значение производной этого сигнала в моменты времени, предшествующие переключениям релейного элемента с нуля на минус (в пределе "слева"), г(уп/(й) и z~ (ук/(й) - аналогичные характеристи-ки для моментов переключения релейного элемента с плюса на нуль, j - мнимая единица.

Вынужденные колебания, возникающих в релейной системе, Цыпкин изучал при подаче на нее входного сигнала /(/) = Af^w^t-cp), где со0 -частота, (р - сдвиг фаз и А - максимальное значение внешнего воздействия. Условия существования вынужденных колебаний частоты со() в системах с двухпозиционным релейным элементом с гистерезисом представляются в форме [77]

Im(F(> -q>) + J Оо)) = -k0, Re(F(TT - ф)) + J(a>0) < 0.

Kq- величина гистерезиса. Условия существования вынужденных колебаний частоты 0jq в системах с трехпозиционным релейным элементом с гистерезисом имеют вид [77] bn(F(n-<р) + Jx(a>)) = -к0, Jim(F(pr-<p) + Jy(w)) = Хк{ Kq(F(K -<p) + J, (со)) <0, [ R e(F(pr - <p) + J y (со)) < 0, где kq и X - параметры релейной характеристики с зоной нечувствительности. В приведенных выше условиях используется введенная Цыпкиным комплекснозначная функция

Использование годографов релейной системы позволило развить простой точный метод исследования колебаний в релейных системах. Для построения J (со), J\ (со) и Jy(co) в работе [77] предлагаются методы, использующие частотные и переходные характеристики линейной части системы. Выражения для годографов в этом случае получаются в виде суммы бесконечного ряда. Там же рассмотрен подход, при котором J (со), ,1\ (со) и J У (со) определяются в явной форме через параметры (и полюсы) передаточной функции объекта управления.

Основным недостатком методов Цыпкина существенно сужающим область их применения, является то, что они разработаны для релейных систем с линейными объектами управления, тогда как в инженерной практике требуются методы, ориентированные на системы, объект управления которых содержит различные нелинейности.

Других методы, например метод Гамеля [82], использующие кусочное постоянство управляющего сигнала, распространены только на исследования автоколебаний в релейных системах. Для исследования автоколебательных релейных систем на кафедре "Системы автоматического управления" Тульского государственного университета под руководством д. т. н., профессора Н. В. Фалдина создан метод фазового годографа, который ориентирован, прежде всего, на релейные системы с нелинейными объектами и является, по сути, дальнейшим развитием методов Цыпкина и Гамеля, существенно дополняет общую теорию релейных систем автоматического управления.

Метод фазового годографа достаточно полно разработан для автоколебательных релейных систем с двухпозиционными и трехпозиционными релейными элементами, что отражено в работах [24], [36], [52], [59], [68] - [70]. Накоплен достаточно богатый опыт его применения к различным техническим объектам [55], [67], [71]. Центральным понятием метода является фазовый годограф релейной системы, аналогичный годографу Цыпкина. Он характеризует частотные свойства объекта управления и служит универсальным инструментом как на этапе анализа, так и на этапе синтеза релейной системы. Метод фазового годографа ориентирован на применение современной вычислительной техники и позволяет достаточно просто и с малыми затратами машинного времени синтезировать законы управления, обеспечивающие требуемые показатели качества системы.

Настоящая диссертационная работа направлена на дальнейшее развитие метода фазового годографа, на распространение данного метода на релейные системы, работающие в режиме вынужденных колебаний.

Поскольку из анализа литературы, посвященной теме исследования можно сделать вывод, что теоретические аспекты режимов вынужденных колебаний разработаны явно недостаточно, настоящая диссертационная работа, направленная на разработку эффективных методов расчета, исследования режима слежения и синтеза релейных систем, работающих в режиме вынужденных колебаний, с линейными и нелинейными объектами управления является весьма актуальной.

Целью работы является разработка точных методов анализа вынужденных колебаний и на их основе создание алгоритма синтеза релейных систем.

В качестве объекта исследования выступают релейные системы автоматического управления с двухпозиционными и трехпозиционными релейными элементами. Исследуемый в работе класс систем ограничен как по виду характеристики релейного элемента, так и по виду дифференциальных уравнений, описывающих движение объекта управления. Примем, что указанные релейные элементы являются симметричными с положительным гистерезисом, которые наиболее часто встречается на практике. Относительно объекта управления предположим, что он описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями со стационарными параметрами. Потребуем также, чтобы внутренние нелинейности объекта управления выражались нечётно-симметричными характеристиками. Остальные ограничения, накладываемые на объект управления, зависят от разделов работы.

Первые две главы диссертационной работы посвящена разработке методов анализа периодических движений в релейных системах с двухпозиционными и трехпозиционными релейными элементами с применением метода фазового годографа. Предложенные методы определения условий существования вынужденных движений на основной частоте и частоте субгармоник могут применяться как для релейных систем, объект управления которых содержит статические нелинейности, так и для релейных систем с некоторыми другими видами нелинейностей (например, объект управления которых содержит различного рода ограничители: механические упоры, схемы отсечки тока, насыщение, .). Для релейных систем с двухпозиционными и трехпозиционными релейными элементами с линейными объектами управления и объектами, содержащими статические нелинейности и жесткие механические упоры предложены методы оценки асимптотической устойчивости найденных вынужденных периодических движений. Использование математического аппарата теории дискретных систем для исследования релейных систем с двухпозиционными релейными элементами с линейным объектом управления позволили разработать частотный критерий устойчивости вынужденных периодических движений и метод слежения за гармоническими входными сигналами.

В третьей главе диссертационной работы предлагается линеаризация по полезному сигналу релейных систем с двухпозиционными и трехпозиционными релейными элементами с линейными объектами управления и с объектами управления, которые содержат статические нелинейности, жесткие механические упоры.

На основе разработанных методов анализа вынужденных колебаний в четвертой главе разработан алгоритм синтеза релейных систем с двухпозиционными и трехпозиционными элементами с применением методов конечномерной оптимизации.

Таким образом, в настоящей работе предпринята попытка внести вклад в развитие теории релейных систем, работающих в режиме вынужденных колебаний.

Автор диссертации считает своим долгом выразить глубокую признательность научному руководителю доктору технических наук, профессору Николаю Васильевичу Фалдину.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Пестрякова, Ирина Сергеевна

Выводы по разделу.

Четвёртая глава работы посвящён разработке метода синтеза релейных систем. Предложенные в предыдущих главах методы определения параметров вынужденного движения, условий захвата и исследования точности режима слежения, а также метод фазового годографа позволяют применить для синтеза релейных системы методы конечномерной оптимизации и, тем самым, определить оптимальные значения параметров регулятора. Рассмотрены два варианта синтеза: синтез в пространстве состояний и синтез с помощью корректирующих устройств. Кратко сформулируем полученные в этом разделе результаты:

1. Разработана процедура синтеза в пространстве состояний релейной системы, которая заключается в выборе вектора коэффициентов обратных связей, обеспечивающего минимум функционала качества системы. При использовании предложенного алгоритма операции, требующие наибольших затрат времени, выполняются до начала процедуры выбора этих коэффициентов, что делает реальным поиск оптимального закона управления.

2. Если объект управления является линейным, то рассмотренную процедуру синтеза удаётся сохранить без изменений и при использовании корректирующих устройств, так как имеются аналитические зависимости, задающие в явном виде фазовый годограф системы и остальные необходимые характеристики.

3. Использование последовательной коррекции в релейных системах с нелинейными объектами управления приводит к усложнению алгоритма синтеза. Для успешного решения поставленной задачи необходимо на каждом шаге поиска параметров регулятора избегать выполнения операций, связанных с численным интегрированием дифференциальных уравнений системы. Для этого предложено использовать разложение входного сигнала последовательного корректирующего фильтра в ряд Фурье, коэффициенты которого определяются на предварительном этапе. Это позволяет получить аналитические зависимости для R - характеристик последовательного звена. 4. В качестве примера приведён синтез релейного интегрирующего электропривода прицельного устройства перспективного комплекса вооружения. Полученные результаты поверялись путём моделирования скорректированного электропривода на цифровой вычислительной машине, которое показало, что при найденных значениях параметров корректирующих фильтров электропривод полностью удовлетворяет предъявляемым к нему требованиям.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Диссертация посвящена разработке методов анализа и синтеза релейных систем управления, работающих в режиме вынужденных колебаний с двухпозиционными и трехпозиционными релейными элементами. В основе разработанных методов лежит метод фазового годографа. На сегодняшний день метод фазового годографа является наиболее перспективным методом исследования автоколебательных релейных систем с нелинейными объектами управления. Исследования, выполненные в настоящей работе, позволили использовать его для релейных систем, работающих в режиме вынужденных колебаний систем. Рассмотрены релейные системы, как с линейными, так и с нелинейными объектами управления.

В диссертационной работе затронуты вопросы, связанные с определением условий захвата, параметров вынужденного периодического движения и оценкой их устойчивости. Большое внимание уделено исследованию режима слежения в релейных системах за входными сигналами. Предложена методика синтеза и оптимизации релейных систем с по точности.

Сформулируем основные результаты, полученные в работе:

1. Получены условия возникновения вынужденных колебаний, как на основной частоте, так и на частоте субгармоник, в релейных системах с двухпозиционными и трехпозиционными релейными элементами с линейными и нелинейными объектами управления.

2. На основе полученных условий возникновения вынужденных колебаний предложен способ определения параметров вынужденного периодического движения в релейных системах.

3. Получен алгебраический критерий асимптотической устойчивости по Ляпунову вынужденных движений в релейных системах. Критерий справедлив для релейных систем, как с линейными, так и нелинейными объектами управления.

4. Для релейных систем с линейным объектом управления разработан частотный критерий устойчивости вынужденных колебаний, аналогичный критерию Найквиста для линейных систем.

5. Предложен метод линеаризации релейных систем с двухпозиционными и трехпозиционными релейными элементами по полезному сигналу. Метод сводит релейную систему к некоторой линейной системе, что позволяет весьма просто исследовать режим слежения за входными сигналами, а это очень важно для синтеза и оптимизации системы по точности. Рассмотрены релейные системы с линейными объектами управления и системы, объекты управления которых содержат статические нелинейности или ограничители. Метод отличается повышенной точностью и существенно превосходит метод гармонической линеаризации по своим возможностям, так как он не имеет ограничений типа гипотезы фильтра.

6. Для применения рассмотренного метода линеаризации на практике необходимо найти производные фазового годографа по параметрам несимметричного периодического сигнала. В случае линейного объекта управления и для объекта, содержащего ограничители для этих производных существуют аналитические выражения. Когда объект управления содержит статические нелинейности, при определении указанных производных используется численно-аналитическая процедура.

7. Выполнен частотный анализ выходного сигнала релейных систем с двухпозиционными релейными элементами. Получены аналитические зависимости, задающие выходной сигнал релейной системы в явном виде, которые позволяют установить спектр выходного сигнала. С помощью указанных аналитических выражений можно также оценить, как влияет входной сигнал на колебания системы. Показано, что выходной сигнал релейной системы с линейным объектом управления в режиме слежения за гармоническим входным сигналом представляет собой почти периодическую функцию времени.

8. На основе разработанных точных методов анализа вынужденных колебаний разработан метод синтеза релейных систем с двухпозиционными и трехпозиционными релейными элементами по точности режима слежения. Синтез сводится к решению задачи конечномерной оптимизации. Разработанный алгоритм легко поддается программированию и позволяет добиться хороших результатов.

9. Выполнен синтез релейного интегрирующего электропривода прицельного устройства.

Выполненное в диссертации исследование позволило распространить хорошо зарекомендовавший себя метод фазового годографа на релейные системы, работающие в режиме вынужденных колебаний. Метод позволяет синтезировать высококачественные законы управления для релейных систем как с линейными, так и нелинейными объектами управления.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Пестрякова, Ирина Сергеевна, 2005 год

1. Айзерман М.А. Физические основы применения методов малогопараметра к решениям нелинейных задач теории автоматического регулирования. Автоматика и телемеханика, т. 14, № 5,1953, с. 597-603.

2. Алгоритм численного построения фазового годографа релейной системы / Н.В. Фалдин, С.А. Руднев, Н.Н. Макаров и др. // Газовые приводы и системы управления. Тула: ТПИ, 1983. С. 138-143.

3. Андронов А. А., Баутин Н. Н., Горелик Г. С. Автоколебания простейшей схемы, содержащей автоматический винт изменяемого шага //• Доклады АН СССР. 1945. Т. 47. № 4. С. 265 - 268.

4. Андронов А. А., Витт, А.А. Хайкин С. Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1981, 568 с.

5. Андронов А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. М.: ОНТИ, 1937.

6. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений: В 2-х т. 2-е изд., перераб. М.: Физматгиз, 1962. Т. 2. - 640 с.

7. Боголюбов Н.Н. О некоторых статистических методах в математической физике, АН УССР, Киев, 1945.

8. Боголюбовов Н.Н., Митропольский Ю.А Ассимптотические методы в теории нелинейных систем. М.: Наука, 1958

9. Ф 9. Бромберг П. В. Матричные методы в теории релейного и импульсногорегулирования. М.: Наука, 1967. - 323 с.

10. Бутенин Н.В. К теории принудительной синхронизации в нелинейных следящих системах. Труды ЛКВВИА, вып. 39, 1951. стр. 3-25.

11. Бутенин Н.В. Элементы теории нелинейных колебаний. Ленинград, 1962. - 195 с.

12. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. Учебное пособие для втузов: 2- е изд., испр. М.:• Наука, 1987.-384 с.

13. Воронов А. А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость,- М.: Наука, 1979.- 336 с.

14. Вышнеградский И. А. О регуляторах непрямого действия // Известия СПБ. Практического технологического института. 1878. С. 1 - 48.

15. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. 4-е изд., доп. М.: Наука, 1988. - 552 с.

16. Гультяев А. К. MATLAB 5.2. Имитационное моделирование в среде Windows: Практическое пособие. СПб.: КОРОНА принт, 1999. - 288 с.

17. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости,- М.: Наука, 1967. 472 с.

18. Дудников Е. Г. Введение в теорию непрерывного регулирования с постоянной скоростью закрытия // Автоматика и телемеханика. 1939. Т. 4. № 6. С. 67 - 84.

19. Жиль Ж., Пелегрен М., Декольн П. Теория и техника следящих систем. М.: Машгиз, 1961.- 804 с.

20. Иванов В.А., Ющенко А.С. Теория дискретных систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1983. - 395 с.

21. Калиткин Н. Н. Численные методы: Учебное пособие для вузов / Под ред. А. А. Самарского. М.: Наука, 1978.-512с.

22. Красовский А. А. О вибрационном способе линеаризации некоторых нелинейных систем // Автоматика и телемеханика. 1948. Т. 9. № 1. С. 20 -29.

23. Кулебакин В. С. К теории автоматических вибрационных регуляторов для электрических машин // Теоретическая и экспериментальная электротехника. 1932. № 4. С. 3 - 21.

24. Лебеденко Ю. И. Анализ и синтез релейных систем с нелинейными объектами управления методом фазового годографа: Дис. кандидата технических наук. Тула: ТулГУ, 1997. - 173 с.

25. Лурье А.И. Об устойчивости автоколебаний регулируемых систем. Автоматика и телемеханика, т. 9, № 1, 1948, с. 361-362.

26. Макаров Н. Н. Численные методы в задачах анализа, синтеза и проектирования систем автоматического управления. Тула: ТулПИ, 1983.-76 с.

27. Мак-Кол JI. Основы теории сервомеханизмов. М.: Изд-во иностр. литер., 1947. - 168 с.

28. Малкин И.Г. Теория устойчивости. М.: Наука, 1966. - 532 с.

29. Математические основы теории автоматического регулирования: Учебное пособие для втузов / Под ред. Б. К. Чемоданова. Т. 1, 2. М.: Высшая школа, 1977. Т. 1 - 366 с. Т. 2 - 455 с.

30. Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 3-х т. Т. 1: Анализ и статистическая динамика систем автоматического управления / Под ред. Н. Д. Егупова. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000. - 748 с.

31. Неймарк Ю. И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972. - 471 с.

32. Неймарк Ю. И. О периодических режимах и устойчивости релейных систем // Автоматика и телемеханика. 1953. Т. 14. № 5. -с. 556 569.

33. Неймарк Ю.И. О периодических движениях релейных систем. Сборник «Памяти Александра Александровича Андронова», М., 1954, с. 242-273

34. Неймарк Ю.И. Об автоколебаниях и вынужденных колебаниях релейных систем с запаздыванием. Автоматика и телемеханика, т. 16, № 3, 1955, с. 225-232.

35. Никольский Г. Н. К вопросу об автоматической устойчивости корабля на заданном курсе // Труды Центральной лаборатории проводной связи. Вып. 1. 1934.-С. 34 75.

36. Панферов Н.В. Анализ и синтез релейных систем с трёхпозиционными релейными элементами: Дис. кандидата технических наук. Тула: ТулГУ, 2001. - 175 с.

37. Пестрякова И.С. Синтез воздушно-динамического рулевого привода, работающего в режиме вынужденных колебаний // Техника XXI века глазами молодых ученых и специалистов. Выпуск 3. ТулГУ, 2003,- с. 227 -233

38. Пестрякова И.С. Частотный критерий устойчивости вынужденных колебаний в релейных системах // Изв. ТулГУ. Серия. Проблемы специального машиностроения. Вып. 6. Часть 1. -Тула: ТулГУ, 2003. с. 321-325

39. Пестрякова И. С. Синтез пневмопривода, работающего в режиме вынужденных колебаний // XXIX Гагаринские чтения. Тезисы докладов международной конференции. Том 6. Москва: МАТИ, 2003. - с. 79

40. Пестрякова И.С. Линеаризация по полезному сигналу релейных систем с ограничителями в объекте управления // XXX Гагаринские чтения.Тезисы докладов международной конференции. Том 6,-Москва.МАТИ, 2004. с. 91

41. Попов Е.П. Приближенное исследование автоколебаний и вынужденных колебаний нелинейных систем. Известия АН СССР, ОТН. - 1954,- №5. - с. 3-38.46. 14. Попов Е.П., Пальтов И.П. Приближенные методы исследования нелинейных систем. -М.: Наука, 1960. -792 с.

42. Потемкин В. Г. Система инженерных и научных расчётов MATLAB 5.x: В 2-х т. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1999. Т. 1 - 366 с. Т. 2 - 304 с.

43. Поспелов Г. С. Динамические характеристики релейных следящих систем // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1965. № 3. С. 43 - 52.

44. Поспелов Г. С. Некоторые вопросы теории релейных систем автоматического регулирования. Основы автоматического регулирования, Теория. -М.: Машгиз, 1954. 950-982 с.

45. Поспелов Г.С. Побудительная стабилизация релейно-контактных систем автоматического регулирования. Труды ВВИА им. Н.Е. Жуковского, вып. 335, 1949.

46. Поспелов Г. С. Релейные системы автоматического регулирования // Теория автоматического регулирования / Под ред. В. В. Солодовникова. Кн. 3. Ч. 2. М.: Машиностроение, 1969. - С. 9 - 65.

47. Пупков К.А., Фалдин Н.В., Егупов Н.Д. Методы синтеза оптимальных систем автоматического управления: Учебник под ред. Н.Д. Егупова,- М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000,- с.147-155

48. Пученков Н. В. Метод фазового годографа для систем с ограничителями в объекте управления и его применение для синтеза газовых рулевых приводов: Дис. кандидата технических наук. Тула: ТулГТУ, 1995.- 188 с.

49. Пупков К.А., Фалдин Н.В., Егупов Н.Д. Методы синтеза оптимальных систем автоматического управления: Учебник/ под ред. Н.Д. Егупова,- М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000,- с.147-155.

50. Растригин JI. А. Системы экстремального управления. М.: Наука, 1974. - 630 с.

51. Руднев С. А., Фалдин Н. В. Анализ релейного автоколебательного пневмопривода // Вопросы оптимизации и автоматизации конструкторских работ. Вып. 24. Тула: ТулПИ, 1974. - С. 142 - 154.

52. Руднев С. А., Фалдин Н. В. Линеаризация релейной следящей системы по полезному сигналу // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1998. № 2,- С. 36-43.

53. Следящие приводы: В 3-х т. 2-е изд., доп. и перераб. / Под ред. Б. К. Чемоданова. Т. 1: Теория и проектирование следящих приводов / Е. С. Блейз, А. В. Зимин, Е. С. Иванов и др. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 1999. - 904 с.

54. Солодовников В. В., Плотников В. Н., Яковлев А. В. Основы теории и элементы систем автоматического регулирования: Учебное пособие для вузов. М.: Машиностроение, 1985.-536с.

55. Фалдин Н. В. Точный метод исследования релейных систем // Машиностроение (энциклопедия). Т. 1 4: Автоматическое управление. Теория / Под ред. Е. А. Федосова. - М.: Машиностроение, 2000. - С. 231 -253.

56. Фалдин Н. В., Лебеденко Ю. И. Линеаризация автоколебательных релейных систем // Системы автоматического управления и их элементы. -Тула: ТулГУ, 1996. С. 41 - 52.

57. Фалдин Н. В., Панфёров Н. В. Динамика релейных автоколебательных систем управления // V международная конференция "Нелинейные колебания механических систем". Тез. докл. Нижний Новгород: ННГУ, 1999. - С. 220.

58. Фалдин Н. В., Панфёров Н. В., Федоровский П. Ю. Исследованиережима слежения в релейных системах с трёхпозиционными релейными элементами // Изв. ТулГУ. Серия Проблемы специального машиностроения. Вып. 2. Тула: ТулГУ, 1999. - С. 273 - 276.

59. Фалдин Н.В., Пестрякова И. С. Линеаризация по полезному сигналу релейной следящей системы, работающей в режиме вынужденных колебаний // Изв. ТулГУ. Серия. Проблемы специального машиностроения. Вып. 4. Часть 2. -Тула: ТулГУ, 2001. с. 43-46

60. Фалдин Н.В., Пестрякова И.С. Частотный анализ релейных систем, работающих в режиме вынужденных колебаний // Изв. ТулГУ. Серия. Проблемы специального машиностроения. Вып.4. Часть 2,-Тула:ТулГУ,2001. с. 64-67

61. Фалдин Н.В., Пестрякова И.С. Алгебраический критерий устойчивости вынужденных колебаний в релейных системах с трехпозиционным релейным элементом // Изв. ТулГУ. Серия. Проблемы специального машиностроения. Вып. 7. Часть 1. -Тула: ТулГУ, 2004 -с. 300-305

62. Фалдин Н. В., Пученков Н. В., Руднев С. А., Шустов А. В. Синтез автоколебательного пневмопривода // Системы автоматического управления и их элементы. Тула: ТулГТУ, 1994. - С. 106 -116.

63. Фалдин Н. В., Руднев С. А. О существовании фазового годографа релейной системы // Моделирование и оптимизация систем автоматического управления. Тула: ТулПИ, 1985. - С. 53 - 71.

64. Фалдин Н. В., Руднев С. А. Оптимизация в конечномерном пространстве. Тула: ТулПИ, 1986. - 72 с.

65. Фалдин Н. В., Руднев С. А. Синтез релейных систем методом фазового годографа // Изв. вузов. Приборостроение. 1982. № 7. С. 32 - 36.

66. Фалдин Н. В., Руднев С. А., Пученков Н. В. Фазовый годограф релейной системы при наличии ограничителя в объекте управления // Системы автоматического управления и их элементы. Тула: ТулГТУ, 1994.- С. 96 - 106.

67. Феофилов С.В. Методы анализа и синтеза релейных систем с цифровым управлением и их применение для синтеза воздушно-динамических рулевых приводов: Дис. кандидата технических наук. -Тула: ТулГУ, 2002. 138 с.

68. Сакава И. Субгармонические колебания в релейных системах регулирования. Труды I Международного конгресса МФАУ. Теория дискретных оптимальных и самонастраивающихся систем. Изд -во АН СССР. -М., 1961, 322-355 с.

69. Цыпкин Я.З. Об устойчивости периодических режимов в релейных системах автоматического регулирования. Автоматика и телемеханика, т. 14, № 1. -1953,- 11-33 с.

70. Цыпкин Я.З. Частотные характеристики релейных следящих систем. Автоматика и телемеханика, т. 20, № 12. -1959,- 1603-1610 с.

71. Цыпкин Я. 3. Теория релейных систем автоматического регулирования. М.: Гостехиздат, 1955. - 456 с.

72. Цыпкин Я. 3. Релейные автоматические системы. М.: Наука, 1974. -576 с.

73. Цыпкин Я. 3. Теория линейных импульсных систем. М.: Физматгиз, 1963.-968 с.

74. Цыпкин Я.З. Вынужденные колебания в релейных системах автоматического регулирования. Автоматика и телемеханика, т. 13, № 5, 1952, с. 510-524.

75. Ямазуги Дз, Насимура М., Марухаши Т., Фудзии К. Субгармонические колебания в релейных следящих системах. Труды I Международного конгресса МФАУ. Теория дискретных оптимальных и самонастраивающихся систем. Изд -во АН СССР. -М., 1961, 309-321 с.

76. Янг JI. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления. М.: Мир, 1974. - 488 с.

77. Hamel В. A mathematical study of on-off controlled higher-order systems // Proc. of the Symposium on nonlinear circuit analysis. New York, Polytechnic Institute of Brooklyn, 1956. V. VI. P. 225 - 232.

78. Faldin N. V., Panferov N. V., Boiko I. M. Input-output analysis of dead-zone relay control systems // Proceedings of the American Control Conference. Arlington, VA, USA, 2001. - P. 1507 - 1512.

79. Fasol K.H., Springer T. Ein Beitrag zur Vereifachung der analyse von Relais-Regelsystemen. Regelungstechnik, т. 16, No. 3. -1968, 97-104 c.

80. Gille J.C., Paquet J.G. Subharmonic oscillation in on-off Control systems/ Application and industry, No. 62. -1962, 210-216 c.

81. Kochenburger R. Analyzing contactor servomechanisms. Electrical Engineering, т. 69, No. 8,1950. - c. 687 - 692.

82. Ogata K. Fn analytic method for finding the closed-loop frequency response on nonlinear feedback control systems. Application and Industry, No. 33. -1957, 277-285 c.

83. Rocard Y. Relaxation, synchronization et demultiplication de frequence. L'Onde Electrique, т. 16, No. 187, 1937. стр. 396 - 412.