Методы геометрического анализа сложного поведения с приложением к модели полупроводникового лазера тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Рассказов, Олег Александрович

• Рассказов, Олег Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Рассказов, Олег Александрович

Введение

1 Уравнения Ленга-Кобаяши и хаотическое поведение

1.1 Уравнения Ленга-Кобаяши.

1.2 Хаотическое поведение.

1.2.1 Хаос и уравнения Лоренца.

1.2.2 Двусторонние сдвиги на двоичных последовательностях.

1.2.3 Подкова Смейла.

1.2.4 Гиперболические динамические системы.

1.3 Доказательство хаотического поведения при помощи компьютера

1.3.1 Моделирование систем с хаотическим поведением.

1.3.2 Доказательство хаотичности при помощи компьютера.

2 Метод численного интегрирования

2.1 Введение.

2.1.1 Метод Рунге-Кутта четвертого порядка

2.2 Оценки константы Липшица оператора сдвига.

2.3 Оценки локальной ошибки.

2.4 Оценка глобальной ошибки.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы геометрического анализа сложного поведения с приложением к модели полупроводникового лазера»

3.2 Отображение Пуанкаре.37

3.3 Доказательство Теоремы 3.2.1.39

3.3.1 Критерий первого пересечения.40

3.3.2 Доказательство Утверждения 3.3.1.46

3.3.3 Доказательство Утверждения 3.3.2.50

3.4 Заключение.52

4 Периодические траектории 53

4.1 Введение.53

4.2 Метод разорванных орбит.55

4.2.1 Полиномиальные системы .56

4.2.2 Базовые множества периода.62

4.2.3 Доказательство леммы 4.2.3.63

4.3 Примеры.65

4.3.1 Вращение 2-х мерного векторного поля.65

4.3.2 Пример 1: Отображение Эно.66

4.3.3 Пример 2: Уравнения (1.4).68

4.4 Заключение.68

5 Хаотическое поведение 70

5.1 Введение.70

5.1.1 Вспомогательные определения.71

5.2 Хаос в упрощенной модели Ленга-Кобаяши.72

5.3 Доказательства.74

5.3.1 Доказательство Теоремы 5.2.1.74

5.3.2 Доказательство Утверждения 5.2.1.80

5.4 Заключение.82

6 Сплит-гиперболичность 83

6.1 Введение.83

6.1.1 Сплит-гиперболичность.84

6.2 Результаты.87

6.2.1 Существование множеств FS, BS.87

6.2.2 Пример: малые гистерезисные возмущения .88

6.3 Доказательства.93

6.3.1 Вспомогательные результаты.93

6.3.2 Доказательство Теоремы 6.2.1.96

6.3.3 Доказательство Утверждения 6.2.1.99

6.3.4 Доказательства Теоремы 6.2.2.101

6.4 Заключение.104

7 Заключение 106

А Программы, написанные на С++ 116

В Программы, написанные для "Mathematica"

144

Введение

Общая характеристика работы Актуальность работы

Исследование хаотической динамики, возникающей в физических системах, является одной из бурно развивающихся областей прикладной математики в течении последних 20 лет. В частности, проблема существования устойчивого странного аттрактора для классических значений параметров в уравнении Лоренца была отмечена Смейлом четырнадцатой в списке математических проблем 21 века и была решена Тукером в 1999 году.

Доказательства хаотического поведения для систем дифференциальных уравнений обычно используют комбинацию топологических методов с методами численного интегрирования в интервальной арифметике с гарантированной оценкой точности, см. работы Михайкова-Мрозека, Згличинского и Тукера.

Проблема использования подходов Михайкова-Мрозека и Згличинского для доказательства хаотического поведения заключается в особенностях численного интегрирования в интервальной арифметике. Предложенные процедуры требуют эффективной оценки локальной ошибки на каждом шаге численного интегрирования, что вполне возможно для ОДУ с квадратичной правой частью, но требует большого времени счета для сложных нелинейностей. Таким образом, существующие доказательства не подходят для систем с существенными нелинейностями, возникающих в различных прикладных областях.

Цель диссертационной работы

Основной целью данной работы является доказательство существования хаотического поведения при помощи компьютера для упрощенной модели Ленга-Кобаяши, описывающей динамику полупроводниковых лазеров с обратной связью.

Научная новизна

В представленной диссертационной работе впервые получены следующие результаты

1. Предложен алгоритм для гарантированной оценки локальной ошибки для метода Рунге-Кутта четвертого порядка, применяемого в заданной области к системе нелинейных ОДУ. Алгоритм использует символьные вычисления и реализован в пакете программ " Mathematical

2. Для упрощенной системы Ленга-Кобаяши при некоторых значениях параметров установлено существование инвариантного множества, найдены орбиты минимальных периодов 1 и 9, доказано хаотическое поведение системы на подмножестве инвариантного множества.

3. Разработан и применен метод разорванных орбит для локализации периодических решений при помощи топологической степени отображения.

4. Для обобщения гиперболичных отображений на класс непрерывных функций (сплит-гиперболичность) в условиях теоремы об отслеживании траекторий доказано существование множеств, аналогичных устойчивому и неустойчивому многообразиям в ситуации обычной гиперболичности.

Теоретическая и практическая ценность

Разработанная методология и алгоритмы позволяют гарантировано оценивать локальную ошибку метода Рунге-Кутта четвертого порядка для нелинейных уравнений, локализовать различные периодические орбиты как для дискретных, так и для непрерывных динамических систем, доказывать хаотическое поведение для систем дифференциальных уравнений со сложными нелинейностями. Алгоритмы и методы применены к упрощенной системе Ленга-Кобаяши, описывающей динамику полупроводниковых лазеров с обратной связью, для которой впервые было математически строго показано существование хаотического поведения при некоторых значениях параметров.

Апробация работы

Материалы диссертации докладывались на международной конференции "Geometrical Methods of Nonlinear Analysis and Semiconductor Laser Dynamics" (Апрель 2001, Корк, Ирландия), на первой SIAM-EMS международной конференции "Applied Mathematics in our Changing World" (Сентябрь 2001, Берлин, Германия), на международной конференции "Relaxation Oscillations and Hysteresis" (Апрель 2002, Корк, Ирландия), на IV международном симпозиуме "Hysteresis and Micromagnetics" (Май 2003, Саламан-ка, Испания), на международной конференции "Hysteresis and Multi-Scale Asymptotics" (Март 2004, Корк, Ирландия).

Результаты обсуждались на научных семинарах кафедры прикладной математики Национального Университета Ирландии, г. Корк, (Март 2002) и семинаре кафедры физики Самарского Государственного Университета (Октябрь 2002).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 8 работ, из них 4 статьи в международных научных журналах [57, 63, 60, 9], 2 препринта [18, 56], и 2 тезиса докладов на международных научных конференциях [61, 62].

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, двух приложений и списка литературы из 80 наименований. Объем диссертации - 115 страниц.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Рассказов, Олег Александрович

Заключение

В данной работе было исследовано сложное, хаотическое поведение упрощенной системы Ленга-Кобаяши, описывающей поведение полупроводниковых лазеров с обратной связью. Свойства нелинейностей в рассматриваемой модели потребовали использования новых качественных методов нелинейного анализа и компьютерных вычислений с гарантированными оценками.

Определение хаоса, использованное в диссертации, включает чувствительную зависимость от начальных условий, перемешивание и существование бесконечного количества периодических траекторий с различными периодами. Согласно традиционным подходам, хаотическое поведение было показано для отображения Пуанкаре исходной системы. Свойства отображения Пуанкаре изучались на основе численного интегрирования методом Рунге-Кутта четвертого порядка с гарантированной оценкой точности. Было показано, что рассматриваемое отображение Пуанкаре определено на полигональном инвариантном множестве.

Доказательство хаотического поведения для упрощенной системы Ленга-Кобаяши использует информацию о псевдо-орбитах отображения Пуанкаре и основано на свойствах (V, 1¥)-гиперболичности, которые аналогичны свойствам обычной гиперболичности. Искомые псевдо-орбиты найдены при помощи вращения векторного поля. Вопросы о возможном сосуществовании орбит с различными периодами внутри области с заданным вращением рассмотрены методам разорванных орбит.

Свойство (V, 1У)-гиперболичности отображения Пуанкаре в некоторых предположениях может быть доказано исходя из данных о численной аппроксимации отображения и гарантированных оценок точности интегрирования. Простота использования явилась причиной использования (V, И/)-гиперболичности в диссертации. Недостатком (У, W)- гиперболичности является то, что с ее помощью невозможно установить взаимно-однозначное соответствие между траекториями исходного отображения, ограниченными на Канторовом множестве и сдвигами на двоичных последовательностях. Результаты такого типа могут быть получены при помощи так называемой сплит-гиперболичности, свойства которой были рассмотрены в последней главе.

Таким образом, в диссертации представлен набор методов позволяющий доказать хаотические свойства упрощенной модели Ленга-Кобаяши. Поскольку методы не требуют никаких специальных свойств от исследуемой системы, то они могут быть применены к доказательству хаотического поведения и в других системах ОДУ. Предложенные методы можно разделить на две категории: первая непосредственно опирается на топологические методы, т.е. вращение векторного поля и (У, 1У)-гиперболичность, в то время как вторая группа связана с компьютерной проверкой условий для топологических теорем при помощи вычислений с гарантированной оценкой ошибок.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Рассказов, Олег Александрович, 2004 год

1. Д. В. Аносов. Геодезические потоки па замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны. "Наука", Москва, 1967.

2. В. С. Афрамович, В. В. Быков и JI. П. Шильников. Происхождение и структура аттрактора Лоренца. Докл. Акад. Наук СССР, 234(2):336-339, 1977.

3. Н. А. Бобылев, В. В. Болтянский, С. Ю. Всехсвятский, В. В. Калашников, В. Б. Колмановский, В. С. Козякин, А. А. Кравченко, А. М. Красносельский и А. В. Покровский. Математическая теория систем. "Наука", Москва, 1986.

4. Б. Л. Ван дер Варден. Алгебра. "Наука", Москва, 1976.

5. С. А. Калмыков, Ю. И. Шокин и 3. X. Юдашев. Методы интервального анализа. "Наука" Сиб. Отдел., Новосибирск, 1986.

6. М. А. Красносельский, П. П. Забрейко. Геометрические методы нелинейного анализа. "Наука", Москва, 1975.

7. М. А. Красносельский, А. В. Покровский. Системы, с гистерезисом. "Наука", Москва, 1983.

8. П. С. Панков. Доказательные вычисления на электронных вычислительных машинах. Илим, Ф., 1978.

9. О. Рассказов. Об эффективной оценке точности метода Рунге-Кутта 4го порядка. Известия РАЕН серия МММИУ, 5(4), 2001.

10. JI. П. Шильников, В. С. Афраймович и В. В. Быков. О притягивающих негрубых предельных множествах типа аттрактора Лоренца. Труды Московского математического общества, 44:150-212, 1982.

11. A. Berger. Rigorous error bounds for RK methods in the proof of chaotic behaviour. J. Comput. Appl. Math., lll(l-2):13-24, 1999. Numerical methods for differential equations (Coimbra, 1998).

12. N. Bobylev, A. Pokrovskii, and J. G. Mclnerney. On positive definiteness of interval homogeneous forms. Preprints of Institute for Nonlinear Science, UС С, Ireland, 4, 2000.

13. R. Bowen. Equilibrium states and the ergodic theory of Anosov diffeomorphisms. Springer-Verlag, Berlin, 1975. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 470.

14. M. Brokate and A. Pokrovskii. Asymptotically stable oscillations in systems with hysteresis nonlinearities. J. Differential Equations, 150(1):98-123, 1998.

15. S.-N. Chow, J. Mallet-Paret, and J. A. Yorke. A periodic orbit index which is a bifurcation invariant. In Geometric dynamics (Rio de Janeiro, 1981), pages 109-131. Springer, Berlin, 1983.

16. B. A. Coomes, H. Kogak, and K. J. Palmer. Computation of long periodic orbits in chaotic dynamical systems. Austral. Math. Soc. Gaz., 24(5):183-190, 1997.

17. E. Cox, M. Mortell, A. Pokrovskii, and O. Rasskazov. On chaotic and recurrent travelling wave patterns in a periodically forced and extended kdev. Preprints of School of Math., Appl. Math, and Stat., UCC, Ireland, 02, 2002.

18. К. Deimling. Nonlinear functional analysis. Springer-Verlag, Berlin, 1985.

19. R. L. Devaney. An introduction to chaotic dynamical systems. Addison-Wesley Studies in Nonlinearity. Addison-Wesley Publishing Company Advanced Book Program, Redwood City, CA, second edition, 1989.

20. P. Diamond, P. Kloeden, V. Kozyakin, and A. Pokrovskii. Expansivity of semi-hyperbolic Lipschitz mappings. Bull. Austral. Math. Soc., 51(2):301-308, 1995.

21. P. Diamond, P. E. Kloeden, M. A. Krasnosel'skii, and A. Pokrovskii. Chaotic dynamics in nonsmooth perturbations of bishadowing systems. Arab J. Math. Sci., 6(l):41-74, 2000.

22. D. J. Estep and A. M. Stuart. The rate of error growth in hamiltonian-conserving integrators. Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Physik, 1995.

23. Z. Galias. Rigorous numerical studies of the existence of periodic orbits for the Henon map. J.UCS, 4(2):114-124 (electronic), 1998. SCAN-97 (Lyon).

24. F. R. Gantmacher. The theory of matrices. Vol. 1. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 1998. Translated from the Russian by K. A. Hirsch, Reprint of the 1959 translation.

25. M. Gidea. Non-smooth dynamical systems that exhibit hyperbolic behavior. Rev. Roumaine Math. Pures Appl, 45(4):631-646 (2001), 2000.

26. J. Ye H. Li and J. G. Mclnerney. Detailed analysis of coherence collapse in semiconductor lasers. IEEE J. Quantum Electron., QE-29:2421-2432, 1993.

27. E. Hairer, S. P. N0rsett, and G. Wanner. Solving ordinary differential equations. I. Springer-Verlag, Berlin, second edition, 1993. Nonstiff problems.

28. P. Hartman. Ordinary Differential Equations. Wiley, New York, 1964.

29. R. E. Hartwig and M. B. Neumann. Bounds on the exponent of primitivity which depend on the spectrum and the minimal polynomial. Linear Algebra Appl., 184:103-122, 1993.

30. B. Hassard, J. Zhang, S. P. Hastings, and W. C. Troy. A computer proof that the Lorenz equations have "chaotic" solutions. Appl. Math. Lett., 7(l):79-83, 1994.

31. S. P. Hastings and W. C. Troy. A shooting approach to the Lorenz equations. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), 27(2):298-303, 1992.

32. M. Henon. A two-dimensional mapping with a strange attractor. Comm. Math. Phys., 50(l):69-77, 1976.

33. G. Huyet, P. A. Porta, S. P. Hegarty, J. G. Mclnerney, and F. Holland. A low-dimensional dynamical system to describe low-frequency fluctuations in semiconductor laser with optical feedback. Optic Communications, 180(1) :339-344, 2000.

34. G. A. Jones and J. M. Jones. Elementary number theory. Springer-Verlag London Ltd., London, 1998.

35. A. Katok and B. Hasselblatt. Introduction to the modern theory of dynamical systems. Cambridge University Press, Cambridge, 1995. With a supplementary chapter by Katok and Leonardo Mendoza.

36. J. Kennedy and J. A. Yorke. Topological horseshoes. Trans. Amer. Math. Soc., 353(6) :2513-2530, 2001.

37. A. Klemm and A. Pokrovskii. Random mappings with a single absorbing center and combinatorics of discretizations of the logistic mapping. J. Appl. Math. Stochastic Anal., 12(3) :205—221, 1999.

38. P. Krejci. Hysteresis, convexity and dissipation in hyperbolic equations. Gakkotosho, Tokyo, 1996.

39. R. Lang and K. Kobayashi. Abundance of strange attractors. IEEE, J. Quantum Electron., 16(1):347—355, 1980.

40. T. Y. Li and J. A. Yorke. Period three implies chaos. Amer. Math. Monthly, 82(10):985-992, 1975.

41. E. N. Lorenz. Deterministic nonperiodic flow. J. Atmospheric Sci., 20(2):130-148, 1963.

42. R. Mane. Ergodic theory and differentiable dynamics. Springer-Verlag, Berlin, 1987. Translated from the Portuguese by Silvio Levy.

43. К. Mischaikow and M. Mrozek. Chaos in the Lorenz equations: a computer-assisted proof. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), 32(l):66-72, 1995.

44. K. Mischaikow and M. Mrozek. Chaos in the Lorenz equations: a computer assisted proof. II. Details. Math. Сотр., 67(223): 1023-1046, 1998.

45. К. Mischaikow, M. Mrozek, and P. Zgliczynski, editors. Conley index theory. Polish Academy of Sciences Institute of Mathematics, Warsaw, 1999. Papers from the workshop held in Warsaw, June 1997.

46. J. Moerk and B. Tromborg. The mechanism of mode selection for an external cavity laser. IEEE Phot. Tech. Lett., 2:21-23, 1990.

47. L. Mora and M. Viana. Abundance of strange attractors. Acta Math., 171(1):1—71, 1993.

48. M. Mrozek. Rigorous error analysis of numerical algorithms via symbolic computations. J. Symbolic Comput., 22(4):435-458, 1996.

49. S. Neufeld and J. Shen. Some results on generalized exponents. J. Graph Theory, 4(184):215-225, 1998.

50. M. L. Overton. Numerical computing with IEEE floating point arithmetic. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 2001. Including one theorem, one rule of thumb, and one hundred and one exercises.

51. K. Palmer. Shadowing in dynamical systems, volume 501 of Mathematics and its Applications. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2000. Theory and applications.

52. A. Pokrovskii. Shuttle algorithm in investigation of systems with hysteresis nonlin-earities. In Models of hysteresis (Trento, 1991), pages 124-142. Longman Sci. Tech., Harlow, 1993.

53. A. Pokrovskii. Topological shadowing and split-hyperbolicity. Fund. Differ. Equ., 4(3-4):335-360 (1998), 1997.

54. A. Pokrovskii, A. J. Kent, and J. G. Mclnerney. Mixed moments of random mappings and chaotic dynamical systems. R. Soc. Lond. Proc. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci., 456(2002):2465-2487, 2000.

55. A. Pokrovskii and O. Rasskazov. Structure of index sequences for mappings with an asymptotic derivative. Preprints of INS, UCC, Ireland, 00-015, 2000.

56. A. Pokrovskii and 0. Rasskazov. Method of the topological degree theory in broken orbits analysis. Proc. Amer. Math. Soc., 132:567-577, 2004.

57. A. Pokrovskii, S. J. Szybka, and J. G. Mclnerney. Topological degree in locating ho-moclinic structures for discrete dynamical systems. Preprints of INS, UCC, Ireland, 01-001, 2001.

58. W. H. Press, S. A. Teukolvsky, W. T. Vetterling, and B. P. Flannery. Numerical recipies in C. Cambridge University Press, Cambridge, 1992.

59. O. Rasskazov and A. Pokrovskii. Hyperbolic behaviour in systems with normal hysteresis nonlinearities. Abstracts of the First SIAM-EMS conference 'Applied mathematics in our changing world', page 29, 2001.

60. O. Rasskazov and A. Pokrovskii. Signs of chaos in the equations with preisach model. Abstracts of international symposium 'Hysteresis and Micromagnetics', page 80, 2003.

61. O. Rasskazov. Forward and backward stable sets of split-hyperbolic mappings. Russian Academy of Natural Sciences. Transactions in Mathematics, Mathematical Modeling, Informatics & Control, 5(1-2):185 205, 2001.

62. L. L. Rauch. Oscillation of a third order nonlinear autonomous system. In Contributions to the Theory of Nonlinear Oscillations, pages 39-88. Princeton University Press, Princeton, N.J., 1950.

63. С. Robinson. Dynamical systems. Studies in Advanced Mathematics. CRC Press, Boca Raton, FL, second edition, 1999. Stability, symbolic dynamics, and chaos.

64. D. Ruelle. Elements of differentiable dynamics and bifurcation theory. Academic Press Inc., Boston, MA, 1989.

65. A. N. Sharkovsky, S. F. Kolyada, A. G. Sivak, and V. V. Fedorenko. Dynamics of one-dimensional maps, volume 407 of Mathematics and its Applications. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1997.

66. M. Shub. Endomorphisms of compact differentiable manifolds. Amer. J. Math., 91:175199, 1969.

67. S. Smale. Differentiable dynamical systems. Bull. Amer. Math. Soc., 73:747-817, 1967.

68. R. Srzednicki. On detection of chaotic dynamics in ordinary differential equations. Nonlinear Anal, 30(8):4927-4935, 1997.

69. D. Stoffer and K. J. Palmer. Rigorous verification of chaotic behaviour of maps using validated shadowing. Nonlinearity, 12(6):1683-1698, 1999.

70. R. Tirani. A parallel algorithm for the estimation of the global error in Runge-Kutta methods. Numer. Algorithms, 31(1-4):311-318, 2002. Numerical methods for ordinary differential equations (Auckland, 2001).

71. R. Tirani and C. Paracelli. Local error estimation in continuous Runge-Kutta methods. Istit. Lombardo Accad. Sci. Lett. Rend. A, 131(1-2):201-210 (1998), 1997.

72. W. Tucker. The Lorenz attractor exists. C. R. Acad. Sci. Paris Sir. I Math., 328(12): 1197-1202, 1999.

73. W. Tucker. Computing accurate Poincare maps. Phys. D, 171(3): 127-137, 2002.

74. W. Tucker. A rigorous ODE solver and Smale's 14th problem. Found. Comput. Math., 2(1):53-117, 2002.

75. D. Viswanath. Global errors of numerical ODE solvers and Lyapunov's theory of stability. IMA J. Numer. Anal., 21(l):387-406, 2001.

76. P. Zgliczynski. Fixed point index for iterations of maps, topological horseshoe and chaos. Topol. Methods Nonlinear Anal., 8(1):169-177, 1996.

77. P. Zgliczynski. Computer assisted proof of the horseshoe dynamics in the Henon map. Random Comput. Dynam., 5(1):1—17, 1997.