Методы и алгоритмы построения оптимальных по быстродействию процессов для линейных дискретных систем с ограничениями на управление тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, доктор наук Ибрагимов Данис Наилевич

• Ибрагимов Данис Наилевич
• доктор наук
• 2025

Оглавление диссертации доктор наук Ибрагимов Данис Наилевич

1.1 Постановка задачи

1.2 Дополнительные построения

1.3 Критерий оптимальности в задаче быстродействия

1.4 Примеры

1.5 Выводы по главе

2 Построение оптимального и субоптимального по быстродействию позиционного управления для линейных дискретных нестационарных систем с геометрическими ограничениями на управление

2.1 Постановка задачи об аппроксимации

2.2 Дополнительные построения

2.3 Достаточные условия оптимальности гарантирующего решения

2.3.1 Численные расчеты величины Мт-1п

2.4 Методы приближенного вычисления Мт-1п на основе алгоритмов полиэдральной аппроксимации

2.4.1 Расстояние Хаусдорфа между многогранниками

2.4.2 Алгоритмы полиэдральной аппроксимации многогранника

2.4.3 Оценки погрешности при последовательной аппроксимации множеств 0-управляемости

2.5 Методы априорного оценивания величины на основе аппарата собственных множеств

2.5.1 Численные расчеты оценок величины

2.6 Выводы по главе

3 Методы построения множеств достижимости и 0-управляемости для линейных стационарных дискретных систем с суммарными ограничениями на управление

3.1 Постановка задачи

3.2 Дополнительные построения

3.3 Свойства множеств достижимости и 0-управляемости для суммарных

1Г-ограничений на управление

3.3.1 Случай г =

3.3.2 Случай г е (1; +оо)

3.3.3 Функционал Минковского множеств достижимости и

управляемости для случая г е (1; +<х>)

3.4 Частный случай евклидовых пространств

3.5 Внешние оценки предельных множеств достижимости и 0-управляемости на основе принципа сжимающих отображений

3.6 Примеры

3.7 Выводы по главе

4 Построения оптимального по быстродействию управления для линейных дискретных стационарных систем с суммарными ограничениями на векторное управление

4.1 Постановка задачи

4.2 Множества 0-управляемости

4.3 Дополнительные построения

4.4 Необходимые и достаточные условия оптимальности

4.5 Выводы по главе

5 Программное обеспечение для решения задачи быстродействия для линейных систем с дискретным временем

5.1 Описание программы для ЭВМ

5.2 Стабилизация уровня глюкозы в плазме крови

5.3 Демпфирование высотного сооружения

5.4 Наискорейшая коррекция орбиты спутника при наличии ограничений

на мощность двигателя

5.5 Наискорейшая коррекция орбиты спутника при наличии ресурсных ограничений

5.6 Выводы по главе

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы и алгоритмы построения оптимальных по быстродействию процессов для линейных дискретных систем с ограничениями на управление»

Введение

В математической теории оптимального управления традиционно принято выделять два основных раздела, отличающихся объектами изучения: теория систем с непрерывным временем и теория систем с дискретным временем. Хотя в настоящие дни ведутся многочисленные исследования на стыке этих двух областей науки и активно развивается теория смешанных или гибридных систем управления [13,61,92,135,137,167,179,185,197,200], значительное число прикладных задач и математических моделей по-прежнему описывается либо в дискретной, либо в непрерывной постановке. Примечательно, что в отличие от подавляющего большинства разделов математики развитие теории оптимального управления началось именно с изучения непрерывных систем. Это связано с тем, что многие актуальные на тот момент прикладные задачи формулировались в рамках механики, где динамика описывается в основном дифференциальными уравнениями. Например, в работах Охоцимского Д.Е., Энеева Т.М., Брайсона А., Денхема В. рассматриваются вопросы численного решения задачи оптимального управления космическим аппаратом [14,73,114].

Наиболее значимым теоретическим результатом, окончательно выделившим теорию оптимального управления в самостоятельную математическую дисциплину, оказался хорошо известный в настоящие дни принцип максимума Понтрягина Л.С. [79], предложивший новый качественный подход к построению оптимальных процессов. Существенный вклад в формализацию постановки задачи оптимального управления внес Красовский Н.Н. [48], предложивший оригинальный подход к построению программного оптимального управления на основе методов функционального анализа. Их идеи были продолжены в огромном числе работ различных авторов (например, Розоноэра Л.И., Васильева О.В., Ермольева Ю.М., Гуленко В.П., Шатровского Л.И., Тихонова А.Н. [17,27,88,89,98,113]) и в монографиях Табака Д., Куо Б., [97], Евтушенко Ю.Г. [26], Габасова Р., Кирилловой Ф.М. [21], Болтянского В.Г. [10].

Отдельно можно выделить направление исследований Моисеева Н.Н. [66], в которых сформировался подход, основанный на методах нелинейного программиро-

4

вания и вариациях в пространстве состояний. Эти работы были продолжены его учениками Черноусько Ф.Л. и Крыловым И.А. [56,57,111,112], а также другими авторами (например, Гноевским Л.С. [22], Мельцем И.О. [62,63], Пшеничным Б.Н. [84,85]). Такой подход оказался эффективным по ряду причин: с его помощью удалось обосновать некоторые, предложенные ранее, эвристические алгоритмы, возникла возможность их обобщения; методы нелинейного программирования позволили решать сложные задачи оптимального управления со смешанными ограничениями. Также заслуживают упоминания современные монографии Аграчева А.А., Сачкова Ю.Л. [1] и Баландина Д.В., Когана М.М. [6], развивающие идеи синтеза на основе геометрических принципов и решения матричных неравенств.

Прогресс в сфере цифровых технологий и машинных вычислительных устройств диктовал потребность в «дискретизации» задач с изначально непрерывным временем, что нашло отражение в работах Федоренко Р.П. и Евтушенко Ю.Г. [26,103] и наиболее полно было описано в монографии Мордуховича Б.Ш. [67]. Это, в свою очередь, влекло необходимость качественного изучения систем с дискретным временем и разработки соответствующего математического аппарата построения оптимальных дискретных процессов. Разработка данной темы была начата в трудах Красовского Н.Н. [49]. Наиболее значимые результаты по данной тематике представлены в работах и монографиях Пропоя А.И. [80-83], Болтянского В.Г. [11], НаШп Н. и НоНяшап Л.М. [151,154-156], Габасова Р. и Кирилловой Ф.М. [19,20], а также ряда других авторов [107,115,127-129,158,161,164,165,189,190]. Однако попытки формального построения дискретного принципа максимума по аналогии с непрерывными случаем, как правило, не давали корректных результатов, что обуславливалось принципиальными различиями динамических систем с дискретным и непрерывным временем. В то время, как задача оптимального управления для непрерывного времени представляет собой задачу вариационного исчисления, в дискретном случае она является задачей нелинейного программирования большой размерности, что определяет принципиально иной набор средств ее решения, необходимых и достаточных условий оптимальности (в частности, теорема Куна-Таккера). Также траектория системы в дискретном случае представляет собой последовательность векторов состояния в отличие от непрерывного времени, где траектория является непрерывной

функцией. Для линейных систем не всегда удается перейти к обратному времени в дискретном случае, что обусловлено возможной вырожденностью оператора системы управления, в непрерывном случае такой проблемы не возникает, так как фундаментальная матрица системы дифференциальных уравнений, описывающих динамику, является невырожденной в любой момент времени. Среди современных разработок, посвященных дискретному принципу максимума, можно упомянуть попытки построения стохастического принципа максимума [181,202,204], а также исследования Ра-синой И.В., Трушковой Е.А., Кротова В.Ф. [54,86,87,101], нацеленные на адаптацию для случая дискретного времени хорошо зарекомендовавшего себя метода Крото-ва [44,55].

Отдельного упоминания в случае дискретных систем заслуживает класс вырожденных задач оптимального управления, т.е. тех, функционал качества которых обладает нерегулярным экстремумом. Подавляющее большинство стандартных задач удается решить, сведя их к соответствующей оптимизационной задаче большой размерности и применив классический метод множителей Лагранжа или его модификации. В случае изначально выпуклых ограничений достаточно хорошо работают алгоритмы выпуклой оптимизации [5,37,96,126]. В том числе это позволяет рассматривать и бесконечномерные системы [3]. В то же время для задач с нерегулярным экстремумом аналогичного универсального подхода выработано не было, из-за чего каждая проблема рассматривается и решается индивидуально.

Наиболее ярким примером вырожденной задачи является задача быстродействия. Она представляет собой классическую проблему теории оптимального управления, обладающую естественным функционалом качества - числом шагов, необходимым для достижения системой начала координат. При построении оптимальных по быстродействию процессов возникает ряд сложностей, для разрешения которых классические методы оптимального управления и выпуклого программирования оказываются неприменимыми. Одной из таких особенностей является дискретный функционал качества, значение которого в свою очередь определяет число управляющих воздействий. Этот факт вынуждает вычислять время быстродействия перебором, решая при каждом фиксированном временном горизонте двухточечную задачу. С другой стороны, даже если наименьшее число шагов, для которого систему можно

перевести в нуль, вычислено, почти для всех начальных состояний множество оптимальных процессов является бесконечным, что делает проблематичным применение классических методов решения одноэкстремальных задач [9,83].

Известные результаты, посвященные задаче быстродействия для систем с дискретным временем, представлены крайне небольшим набором статей и в основном исследуют различные частные постановки. В работах Мороза А.И. [68-70] обсуждаются только трехмерные системы со скалярным управлением, Desoer C.A., Wing J., Lin W.-S. [134,180] рассматривают уже системы произвольной размерности, но все еще со скалярным управлением. Bashein G., Vlieger J.H., Verbruggen H.B., Bruijn P.M. [121,201] сосредоточены на численных методах построения оптимального управления на основе линейного программирования. В статьях Lasserre J.B., Stamnes O.N., Callafon R.A. [176,199] управление предполагается векторным, но исключительно с ограничениями в форме зонотопов. В свою очередь Kolev L.V. [168] и Scott M. [195] предлагают регуляризацию задачи быстродействия при помощи введения дополнительного критерия качества. Работы Blanchini F. и Ukovich W. [123,124] допускают уже геометрические полиэдральные ограничения на управление. В [166] Keerthi S., Gilbert E. предполагают смешанные полиэдральные ограничения, накладываемые одновременно на управление и состояние. Из наиболее актуальных работ можно выделить статьи Abdelhak A., Rachik M., Amato F., Cosentino C., Tommasi G. D., Pironti A., Romano M., Chen D., Bako L., Lecoeuche S., Lee J., Haddad W.M., Yang H., Xia Y., Geng Q. [116,117,130,177,205], продолжающие ранее приведенные результаты. Также в настоящее время вновь возник интерес к задаче быстродействия в том числе и для систем с непрерывным временем в связи возросшими мощностями ЭВМ, что позволило эффективно проводить дискретизацию исходной системы, сводя ее к эквивалентным конечно-разностным соотношениям. Такой подход нашел отражение в статьях Leomanni M., Costante G., Ferrante F., Lini G., Consolini L., Piazzi A., Бортаковского А.С., Краснощеченко В.И., Сазановой Л.А. [12,47,91,178,182].

При этом сама по себе постановка задачи быстродействия предполагает возможность использования для ее анализа и решения аппарат множеств достижимости и 0-управляемости, где под множеством достижимости понимается совокупность тех терминальных состояний, в которые можно перевести систему из заданного началь-

ного за фиксированное время, а под множеством 0-управляемости - совокупность тех начальных состояний, из которых можно перевести систему в начало координат за фиксированное время. С одной стороны, построение предельного множества достижимости позволяет определить, для какой области фазового пространства системой достижимо начало координат в принципе. Также наименьший номер множества достижимости, поглотившего начало координат, определяет время быстродействия. С другой стороны, каждая область 0-управляемости представляет собой множество уровня функции будущих потерь Беллмана в задаче быстродействия. Это позволяет сформулировать критерий оптимальности процесса в терминах метода динамического программирования. Таким образом, анализ задачи быстродействия оказывается неразрывно связан с исследованием свойств множеств достижимости и 0-управляемости, а также с развитием соответствующего математического аппарата.

Раздел теории управления, посвященный исследованию областей достижимости и управляемости, развивался параллельно c теорией оптимальных процессов. Первоначальные исследования относились в основном к системам, наделенным геометрическими ограничениями, которые в каждый момент времени определяли то множество управляющих воздействий, которое могло быть использовано для достижения поставленной цели. Например, такими ограничениями хорошо описывается мощность двигательной установки в задачах коррекции орбиты космического аппарата [49,65,73,114], предельно допустимое давление реагента в трубках смесителя в задачах управления химическими реакциями [37], размер максимально допустимой дозы лекарственного препарата в различных медицинских приложениях [139]. Впервые свойства множеств достижимости и управляемости для случая геометрических ограничений были получены в трудах Красовского Н.Н. и развиты в работах Субботина А.И. [51,52], Куржанского А.Б. [58], Черноусько Ф.Л. [110], Пропоя А.И. [83], Schweppe F.C. [194], Boyd S. [125]. В настоящее время исследование данных множеств ведется различными авторами в самых разнообразных направлениях: использование принципа максимума и алгоритмов решения экстремальных задач [18,23,76,119], стохастические алгоритмы [24], сеточные и покоординатные методы [71,102]. В случае линейных систем процедура построения множеств достижимости и управляемости, как правило, может быть осуществлена средствами выпуклого анализа в терминах

опорных функций и опорных точек или функционала Минковского [51,58,83].

Другой класс систем, также представляющий интерес с точки зрения практики, предполагает наложение интегральных (для непрерывного времени) или суммарных (для дискретного времени) ограничений на управление. Наиболее полно такой тип систем описывает наличие ограничения на общий ресурс управления в течение всего времени функционирования системы. Например, это могут быть запасы топлива в задачах коррекции орбиты космического аппарата [40,41], суммарно доступный капитал в финансовых приложениях [38], энергетическая емкость аккумуляторный батареи при рассмотрении управления автономными робототехническими устройствами [2]. При этом на то, как этот ресурс расходуется в каждый отдельный момент времени, ограничения не накладываются. Множества достижимости и управляемости для такого класса систем исследованы в значительно аменьшей степени. Так продемонстрировано, что для линейных уравнений динамики в непрерывном времени и квадратичных ограничений построение опорной функции множества достижимости может быть сведено к решению дифференциального уравнения Рик-кати [58], использование интервального анализа исследуется в [45], в [145,191,192] представлены способы построения множеств достижимости для нелинейных систем. Качественные исследования свойств выпуклости, компактности, устойчивости проводились в [108,109,160,191]. В дискретной постановке множества достижимости и управляемости обсуждались в [146,147].

Отдельного рассмотрения заслуживает вопрос построения и оценивания предельных множеств достижимости и 0-управляемости. Они являются важной характеристикой всей системы в целом, демонстрирующей те начальные состояния, для которых изучаемая задача быстродействия разрешима в принципе, что крайне важно при работе с неустойчивыми системами. При этом их точное описание, как правило, не представляется возможным, так как предполагает либо решение эволюционных уравнений (аналога дифференциальных уравнений для множеств) [43,59,75,99], либо вычисления неподвижной точки отображения в пространстве компактов [4,7,28-30].

На текущий момент по данной тематике можно выделить два основных направления: исследование отдельных состояний на управляемость [131,143,153,163] и геометрические методы оценивания множеств управляемости и достижимости [100,

-10122,133,170]. Так, при рассмотрении нелинейных систем удается получить только общие свойства множеств управляемости [131] либо их оценки [31,100,132,152,159,170]. Для случая линейных уравнений динамики по состоянию и управлению оказывается возможно построение более конструктивных результатов для различных классов систем: периодических [142], переключаемых [143], с положительным управлением [122], Сиротиным А.Н. и Формальским А.М. доказана цилиндрическая структура предельных множеств достижимости и управляемости при скалярном управлении [93-95]. Наиболее строгие результаты сформулированы для компактных и выпуклых ограничений на значения управления [133], допускающие даже описание предельных множеств достижимости и управляемости [153,163]. Только в ряде частных случаев предложены конструктивные методы построения внешних оценок на основе аппарата опорных полупространств [46] или принципа максимума [140,141].

Если задача точного построения множеств достижимости или 0-управляемости за конечное или бесконечное число шагов не представляется возможной, то обычно прибегают к методу построения различных оценок. В этом случае принято выделять два основных направления: полиэдральные и эллипсоидальные оценки.

Методы построения полиэдральных оценок во многом опираются на применение алгоритмов полиэдральной аппроксимации выпуклых компактных тел, начавших развитие в работах Schneider R., Gruber Р.М., Muller J.S., McClure D.E., Vitale R.A., Dudley R., Sonnevend G., Ludwig M., Бронштейна Е.М. [15,136,144,148-150, 183,184,186,193,198]. В настоящее время в данной научной области активно развиваются адаптивные алгоритмы, подробно исследованные Каменевым Г.К. [35,36], и стохастические методы [16,60,118,188]. Наиболее значимые современные результаты по теме полиэдральной аппроксимации множеств достижимости и управляемости динамических систем представлены в работах Куржанского А.Б., Костоусовой Е.К., Varaiya P. и других авторов [24,33,46,169,170,173,196].

В свою очередь техника построения эллипсоидальных аппроксимаций была разработана в работах Черноусько Ф.Л. [110], Куржанского А.Б. [171,172,174], Schweppe F.C. [194]. В частности, в [171,174] доказана возможность вычисления внутренних и внешних эллипсоидальных оценок множеств достижимости произвольного

порядка точности путем варьирования некоторых управляющих параметров. Впоследствии данные методы были развиты различными авторами [72,77,104,105,138].

При изучении линейных систем также является перспективным применение аппарата собственных множеств - аналога собственного вектора при продолжении линейного преобразования на пространство компактов. Однако на сегодняшний день этот раздел выпуклого анализа развит слабо и представлен крайне скудным числом публикаций [162,187].

В рамках данной диссертационной работы, с одной стороны, развивается аппарат множеств достижимости и 0-управляемости для линейных систем с дискретным временем и ограниченным управлением. В том числе рассматриваются системы с выпуклыми ограничениями на управление (геометрическими или суммарными). С другой стороны, обобщаются методы решения задачи быстродействия, заложенные в [121,123,124,134,180,201]. Однако, в отличие от данных работ, ограничения на управление предполагаются выпуклыми, а не только полиэдральными, и допускается произвольная размерность вектора управления. Принципиальной новизной обладает постановка задачи быстродействия для случая систем с суммарными ограничениями на управление.

Объектом исследования являются линейные системы с дискретным временем и ограниченным управлением. Предметом исследования являются методы построения оптимального и субоптимального по быстродействию управления, алгоритмы построения и оценивания множеств достижимости и 0-управляемости для линейных систем с дискретным временем и ограниченным управлением.

В работе поставлены следующие цели. Для линейных систем с дискретным временем и ограниченным управлением

1) исследовать свойства и разработать методы построения множеств достижимости и 0-управляемости;

2) получить необходимые и достаточные условия оптимальности по быстродействию процессов на основе аппарата множеств достижимости и 0-управляемости;

3) разработать методы и алгоритмы построения оптимального и субоптимального

по быстродействию управления;

4) реализовать программно разработанные алгоритмы.

Для достижения поставленных целей необходимо решить следующие задачи.

I. Для линейных систем с дискретным временем и геометрическими ограничениями на управление

1) в случае строго выпуклых ограничений на управление построить аналитическое описание множеств достижимости и на его основе сформулировать необходимые и достаточные условия оптимальности процесса по быстродействию;

2) в случае выпуклых ограничений на управление разработать процедуру построения субоптимального управления на основе средств линейного программирования и полиэдральных аппроксимаций и определить достаточные условия сходимости субоптимального процесса к оптимальному;

3) разработать метод априорного оценивания времени быстродействия в случае выпуклых ограничений на управление;

4) предложить алгоритмы полиэдральной аппроксимации множеств 0-управляемости.

II. Для линейных систем с дискретным временем и суммарными ограничениями на управление

5) построить аналитическое описание множеств достижимости и 0-управляемости за конечное число шагов;

6) определить необходимые и достаточные условия ограниченности предельных множеств достижимости и 0-управляемости;

7) разработать численные методы внешнего оценивания предельных множеств достижимости и 0-управляемости;

8) сформулировать необходимые и достаточные условия оптимальности процесса по быстродействию;

III. Для различных классов линейных систем с дискретным временем

9) реализовать разработанные методы и алгоритмы в виде программного обеспечения и на его основе провести вычисления для ряда математических моделей.

Методы исследования. Для решения поставленных задач используются методы математического моделирования, теории оптимального управления, выпуклого

анализа, функционального анализа. В частности, принцип максимума, метод динамического программирования, методы полиэдральных аппроксимаций. Различные численные методы решения задач выпуклого и линейного программирования применяются для реализации программного обеспечения и для проведения вычислительных экспериментов.

Достоверность результатов обеспечивается строгостью математических формулировок и доказательств утверждений, подтверждением полученных теоретических результатов численными экспериментами.

Научная новизна полученных в диссертационной работе результатов состоит в разработке геометрического подхода к решению задачи быстродействия для линейных систем с дискретным временем и ограниченным управлением. Принципиальной особенностью данной задачи является дискретный функционал качества и нефиксированный временной горизонт. В частности, описание функции Беллмана через функционалы Минковского множеств 0-управляемости позволяет вычислить время быстродействия или получить его априорные оценки средствами выпуклого программирования, сведя исходную задачу оптимального управления к задаче с фиксированным числом шагов и ограничением на терминальное состояние. Также предложен новый способ регуляризации оптимального по быстродействию процесса с точки зрения дискретного принципа максимума, позволяющий использовать классический результат для построения оптимальных траекторий в вырожденном случае, в том числе для бесконечномерных систем. Для анализа предельных множеств достижимости и 0-управляемости линейных дискретных систем разработан принципиально новый метод вычисления внешних оценок произвольного порядка точности, который основан на аппарате сжимающих отображений.

Практическая ценность исследования связана с возможностью применения разработанных методов при проектировании различных систем управления, построения управляющих устройств для стабилизации различных объектов. В частности, в рамках работы решена задача наискорейшей коррекции околокруговой орбиты спутника с ограничениями на запас топлива или на мощность двигателей, произведено численное моделирование множеств достижимости и 0-управляемости для соответствующей динамической системы. Алгоритмически построено управление, стабили-

зирующее высотное сооружение, расположенное в зоне сейсмической активности, за минимальное время. Решена задача нормализации уровня глюкозы и инсулина в плазме крови за наименьшее время.

Структура и объем диссертации. Диссертация содержит введение, 5 глав, заключение и список используемой литературы. Объем работы в страницах - 253, число рисунков - 30, число таблиц - 12, число использованных источников - 236.

Содержание диссертации Во введении дан подробный обзор имеющихся работ по выбранной теме диссертационного исследования и смежным темам, сформулирована цель работы, аргументирована ее научная новизна и практическая ценность, а также в сжатом виде изложено содержание глав диссертации.

В первой главе сформулирована задача быстродействия для линейной бесконечномерной нестационарной системы с дискретным временем, вырожденным оператором и геометрическими строго выпуклыми ограничениями на управление. Решение поставленной задачи осуществлено при помощи аппарата множеств достижимости, где каждое множество достижимости состоит из тех терминальных состояний, в которые система может быть переведена из заданного текущего за N шагов, начиная с шага к. Преимущество использования данного класса множеств в сравнении с более естественным аппаратом множеств 0-управляемости заключается в том, что множества достижимости могут быть явно построены для систем, обладающих в том числе необратимым оператором. Доказано, что каждое множество достижимости может быть представлено как сумма Минковского линейных преобразования строго выпуклых множеств допустимых значений управлений. С другой стороны, из определения следует, что время быстродействия может быть вычислено как наименьший номер множества достижимости, поглотившего начало координат.

Для построения критерия оптимальности процесса управления по быстродействию исследованы свойства класса выпуклых и слабо компактных множеств. В частности, доказано, что каждое множество достижимости будет являться также элементом данного класса. Также представлены соотношения, согласно которым происходит преобразование нормальных конусов таких множеств при линейных преобразованиях и сложении по Минковскому. Наиболее важным является следствие,

согласно которому при сложении выпуклого и строго выпуклого слабо компатных множеств каждая граничная точка суммы допускает единственное разложение на слагаемые. При этом все точки однозначно определяются общим элементом их нормальных конусов.

На основе данных утверждений, когда начало координат принадлежит границе некоторого множества достижимости, предложено рассмотреть сопряженную систему, траекторией которой являются элементы нормальных конусов множеств достижимости в точках траектории исходной системы. Доказано, что в этом случае, с одной стороны, траектория сопряженной системы не может выродиться, т.е. ее элементы на каждом шаге отличны от 0. С другой стороны, она однозначно определяется элементом нормального конуса начала координат по отношению к множеству достижимости. На основе данных фактов получены необходимые и достаточные условия оптимальности процесса по быстродействию в форме принципа максимума с явно заданными конечными условиями для сопряженной системы.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Ибрагимов Данис Наилевич, 2025 год

Список литературы

1. Аграчев А.А., Сачков Ю.Л. Геометрическая теория управления. М.: Наука, 2005.

2. Акатьев В.А. Исследование взаимного влияния параметров аккумулятора и технических систем мобильного робота // Мехатроника, автоматизация, управление. 2005. № 7. С. 18-23.

3. Алексеев В.М., Тихомиров В.М„ Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.

4. Арутюнов А.В., Жуковский С.Е. Точки совпадения отображений в пространствах с векторной метрикой и их приложения к дифференциальным уравнениям и управляемым системам // Дифференц. уравнения. 2017. Т. 53. № 11. С. 1473-1481.

5. Ашманов С.А., Тимохов А.В. Теория оптимизации в задачах и упражнениях. М.: Наука, 1991.

6. Баландин Д.В., Коган М.М. Синтез законов управления на основе линейных матричных неравенств. М.:Физматлит, 2007.

7. Бахтин И.А. Принцип сжатых отображений в почти метрических пространствах // Функциональный анализ. Ульяновск: Ульянов. гос. пед. ин-т. им. И. Н. Ульянова. 1989. Т. 30. С. 26-37.

8. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.:Наука, 1987.

9. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: ИИЛ, 1960.

10. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969.

-23011. Болтянский В.Г. Оптимальное управление дискретными системами. М.: Наука, 1973.

12. Бортаковский А.С. Быстродействие группы управляемых объектов // Известия РАН. Теория и системы управления. 2023. № 5. С. 16-42. DOI: 10.31857/S0002338823050049

13. Бортаковский А.С. Достаточные условия оптимальности гибридных систем переменной размерности с промежуточными ограничениями // Тр. ИММ УрО РАН. 2024. Т. 30. № 2. С. 50-67. DOI: 10.21538/0134-4889-2024-30-2-50-67

14. Брайсон А., Денхем В. Применение наискорейшего спуска к задачам оптимального управления // Ракетная техника и космонавтика. 1964. №2.

15. Бронштейн Е.М., Иванов Л.Д. О приближении выпуклых множеств многогранниками // Сибирский матем. ж. 1975. Т. 26. № 5. С. 1110-1112. DOI: 10.1007/BF00967115

16. Бронштейн Е.М. Аппроксимация выпуклых множеств многогранниками // Современная математика. Фундаментальные направления. 2007. Т. 22. С. 5-37. DOI: 10.1007/s10958-008-9144-x

17. Васильев О.В., Терлецкий В.А. Оптимальное управление краевой задачей // Труды Математического института им. В.А. Стеклова РАН. 1995. Т. 211. С. 121-130.

18. Вдовин С.А., Тарасьев А.М., Ушаков В.Н. Построение множества достижимости интегратора Брокетта // Прикладная математика и механика. 2004. Т. 68. № 5. С. 707-724.

19. Габасов Р., Кириллова Ф.М. К вопросу о распространении принципа максимума Л.С. Понтрягина на дискретные системы // АиТ. 1966. № 11. С. 1232-1245.

20. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Принцип максимума в теории оптимального управления. Минск: Наука и техника, 1974.

21. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1981.

22. Гноевский Л.С., Мовшович С.М. О применении методов математического программирования к задаче оптимального регулирования // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1964. №5. С.73-81.

23. Горнов А.Ю. Вычислительные технологии решения задач оптимального управления. Новосибирск: Наука, 2009.

24. Горнов А.Ю., Финкельштейн Е.А. Алгоритм кусочно-линейной аппроксимации границы множества достижимости // АиТ. 2015. № 3. С. 22-31. Б01: 10.1134/80005117915030030

25. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Т. 2. Спектральная теория. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1966.

26. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их приложения в системах оптимизации. М.: Наука, 1982.

27. Ермольев Ю.М., Гуленко В.П. О численных методах решения задач оптимального управления // Кибернетика. 1966. № 1. С. 72-78.

28. Жуковский Е.С. О точках совпадения векторных отображений // Изв. вузов. Математика. 2016. № 10. С. 14-28.

29. Жуковский Е.С. О точках совпадения многозначных векторных отображений метрических пространств // Мат. заметки. 2016. Т. 100. № 3. С. 344-362. Б01: 10.4213/шгш10675

30. Жуковский Е.С., Панасенко Е.А. О неподвижных точках многозначных отображений в пространствах с векторнозначной метрикой // Тр. ИММ УрО РАН. 2018. Т. 24. № 1. С. 93--105. Б01: 10.21538/0134-4889-2018-24-1-93-105

31. .Зайцева М.В., Точилин П.А. Методы построения оценок множеств достижимости в задаче моделирования потоков людей // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2023. Т. 63. № 8. С. 1381-1394. БОТ: 10.31857/80044466923070190

32. Зорич В.А. Математический анализ. Ч. I. М.: Наука, 1981.

33. Зыков И.В. Приближенное вычисление множеств достижимости линейных управляемых систем при разнотипных ограничениях на управление // Известия института математики и информатики Удмуртского государственного университета. 2022. Т. 60 С. 16-33. Б01: 10.35634/2226-3594-2022-60-02

34. Ибрагимов Д.Н. Математическое моделирование и оптимизация по быстродействию линейных дискретных систем с ограничениями: диссертационная работа к.ф.-м.н.: МАИ, Москва, 2017.

35. Каменев Г.К. Алгоритм сближающихся многогранников // Журн. вычисл. ма-тем. и матем. физ. 1996. Т. 36. № 4. С. 134-147.

36. Каменев Г.К. Численное исследование эффективности методов полиэдральной аппроксимации выпуклых тел. М.: Вычислительный центр РАН, 2010.

37. Квакернаак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977.

38. Кибзун А.И., Игнатов А.Н. Двухшаговая задача формирования портфеля ценных бумаг из двух рисковых активов по вероятностному критерию // АиТ. 2015. № 7. С. 78-100. Б01: 10.1134/80005117915070061

39. Козлов М.К., Тарасов С.П., Хачиян Л.Г. Полиномиальная разрешимость выпуклого квадратичного программирования // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1980. Т. 20. № 5. С. 1319-1323. Б01: 10.1016/0041-5553(80)90098-1

40. Козорез Д.А., Красильщиков М.Н., Кружков Д.М., Сыпало К.И. Интегрированная навигационная система космического аппарата на геостационарной и высокоэллиптической орбитах, функционирующая в условиях активных помех // Известия РАН. Теория и системы управления. 2013. № 3. С. 143-154.

41. Козорез Д.А., Красильщиков М.Н., Кружков Д.М., Сыпало К.И. Решение навигационной задачи при автономном выведении полезной нагрузки на геостационарную орбиту с помощью двигателя малой тяги // Известия РАН. Теория и системы управления. 2015. № 5. С. 106-118.

-23342. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Физматлит, 2012.

43. Комаров В.А. Уравнение множеств достижимости дифференциальных включений в задаче с фазовыми ограничениями // Тр. мат. инта АН СССР им. В.А.Стеклова. 1988. Т. 185. С. 116-125.

44. Коннов А.И., Кротов В.Ф. О глобальных методах последовательного улучшения управляемых процессов // АиТ. 1999. № 10. С. 77-88.

45. Костоусова Е.К. О полиэдральных оценках множеств достижимости линейных многошаговых систем с интегральными ограничениями на управление // Вы-числ. технологии. 2003. Т. 8. № 4. С. 55-74.

46. Костоусова Е.К. О внешнем полиэдральном оценивании множеств достижимости в "расширенном" пространстве для линейных многошаговых систем с интегральными ограничениями на управление // Вычислит. технологии. 2004. Т. 9. № 4. С. 54-72. DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-1-141-155

47. Краснощеченко В.И. Симплекс-метод для решения задачи быстродействия при наличии ограничения на скалярное управление и фазовых ограничений // Инженерный журнал: наука и инновании. 2014. № 6. Доступ в журн. http://engjournal.ru/catalog/it/asu/1252.html

48. Красовский Н.Н. Теория управления движением. Линейные системы. М.: Наука, 1968.

49. Красовский Н.Н. Об одной задаче оптимального регулирования // Прикл. математика и механика. 1957. T. 21. № 5. С. 670-677.

50. Красовский Н.Н. К теории оптимального регулирования // АиТ. 1957. T. 18. № 1. С. 960-970.

51. Красовский Н.Н. Игровые задачи о встрече движений. М.: Наука, 1970.

52. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.

53. Кроновер Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах. М.:Постмаркет, 2000.

54. Кротов В.Ф., Булатов А.В., Батурина О.В. Оптимизация линейных систем с управляемыми коэффициентами // АиТ. 2011. № 6. С. 64-78. Б01: 10.1134/80005117911060063

55. Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. М.: Наука, 1973.

56. Крылов И.А., Черноусько Ф.Л. О методе последовательных приближений для решения задач оптимального управления // Журнал выч. мат. и мат. физ. 1962. Т. 2. № 6. С. 1132-1139. Б01: 10.1016/0041-5553(63)90353-7

57. Крылов И.А., Черноусько Ф.Л. Алгоритм метода последовательных приближений для задач оптимального управления // Журнал выч. мат. и мат. физ. 1972. Т. 12. № 1. С. 14-34. Б01: 10.1016/0041-5553(72)90063-8

58. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.

59. Куржанский Л.Б., Никонов О.И. Эволюционные уравнения для пучков траекторий синтезированных систем управления // Докл. РАН. 1993. Т. 333. № 5. С. 578-581.

60. Лебедев П.Д., Успенский А.А., Ушаков В.Н. Итерационные алгоритмы минимизации хаусдорфова расстояния между выпуклыми многогранниками // Изв. ИМИ УдГУ. 2021. Т. 57. С. 142--155. Б01: 10.35634/2226-3594-2021-57-06

61. Марченко В.М., Борковская И.М. Устойчивость и стабилизация линейных гибридных дискретно-непрерывных стационарных систем // Труды БГТУ. Физико-математические науки и информатика. 2012. № 6. С. 7-10.

62. Мельц И.О. Применение методов нелинейного программирования для оптимизации нелинейных систем в функциональном пространстве // АиТ. 1968. № 1. С. 79-85.

-23563. Мельц И.О. Учет ограничений в задаче оптимизации динамических систем в функциональном пространстве на основе методов нелинейного программирования // АиТ. 1968. № 3. С. 30-36.

64. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966.

65. Малышев В.В., Красильщиков М.Н., Бобронников В.Т. Спутниковые системы мониторинга. М.: МАИ, 2000.

66. Моисеев Н.Н. Элементы теории оптимальных систем. М.: Наука, 1975.

67. Мордухович Б.Ш. Методы аппроксимаций в задачах оптимизации и управления. М.: Наука, 1988.

68. Мороз А.И. Синтез оптимального по быстродействию управления для линейного дискретного объекта третьего порядка. I // АиТ. 1965. Т. 26. № 2. С. 193-207.

69. Мороз А.И. Синтез оптимального по быстродействию управления для линейного дискретного объекта третьего порядка. II // АиТ. 1965. Т. 26. № 3. С. 410-426.

70. Мороз А.И. Синтез оптимального по быстродействию управления для линейного дискретного объекта третьего порядка. III // АиТ. 1965. Т. 26. № 8. С. 1324-1335.

71. Никольский М.С. О покоординатном оценивании множества достижимости управляемой системы // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и ки-бернет. 2018. № 2. С. 31-35. DOI: 10.3103/S0278641918020048

72. Овсеевич А.И., Черноусько Ф.Л. Свойства оптимальных эллипсоидов, приближающих области достижимости системы с неопределённостями // Известия РАН. Теория и системы управления. 2004. No. 4. С.8-18.

73. Охоцимский Д.Е., Энеев Т.М. Некоторые вариационные задачи, связанные с запуском искусственного спутника Земли // Усп. физ. наук. 1957. Т. 63. № 1а. С. 36-51. DOI: 10.3367/UFNr.0063.195709b.0005

74. Ошман Е.В. О непрерывности метрической проекции на выпуклые замкнутые множества // Докл. АН СССР. 1983. Т. 269. № 2. С. 289-291.

-23675. Панасюк А.И., Панасюк В.И. Об одном уравнении, порождаемом дифференциальным включением // Мат. заметки. 1980. Т. 27. № 3. С. 429-437.

76. Пацко В.С., Пятко В.С., Федотов А.А. Трехмерное множество достижимости нелинейной управляемой системы // Известия РАН. Теория и системы управления. 2003. № 3. С. 320-328.

77. Подчукаев В.А. К задаче определения возможных состояний нестационарной линейной системы // АиТ. 1976. № 7. С. 187-189.

78. Половинкин Е.С., Балашов М.В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. М.:ФИЗМАТЛИТ, 2004.

79. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Б.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969.

80. Пропой А.И. Об одной задаче оптимального дискретного управления // ДАН СССР 1964. Т. 159. № 6. С. 1022-1024.

81. Пропой А.И. О принципе максимума для дискретных систем управления // АиТ. 1965. № 7. С. 915-936.

82. Пропой А.И. Методы возможных направлений в задачах дискретного управления // АиТ. 1967. № 2. С. 3-18.

83. Пропой А.И. Элементы теории оптимальных дискретных процессов. М.: Наука, 1973.

84. Пшеничный Б.Н. Об одном алгоритме решения нелинейной задачи оптимального управления // Журнал выч. мат. и мат. физ. 1965. Т. 5. № 2. С. 236-241. DOI: 10.1016/0041-5553(65)90034-0

85. Пшеничный Б.Н. Синтез линейных импульсных систем // АиТ. 1966. № 5. С. 24-39.

86. Расина И.В. Итерационные алгоритмы оптимизации дискретно-непрерывных процессов // АиТ. 2012. № 10. С. 3-17. DOI: 10.1134/S0005117912100013

87. Расина И.В., Гусева И.С. Дискретно-непрерывные системы с параметрами: метод улучшения управления и параметров // Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика. 2022. Т. 39. С. 34-50. Б01: 10.1134/80005117912100013

88. Розоноэр Л.И. Принцип максимума Л.С. Понтрягина в теории оптимальных систем // АиТ. 1959. № 10. С.1320-1334; № 11. С. 1441-1458; № 12. С. 1561-1578.

89. Розоноэр Л.И. О достаточности условий оптимальности // ДАН СССР. 1959. Т. 127. № 3. С. 21-23.

90. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973.

91. Сазанова Л.А. Устойчивость оптимального синтеза в задаче быстродействия // Известия вузов. Математика. 2002. № 2. С. 46-57.

92. Сейфуллаев Р.Э., Фрадков А.Л. Анализ дискретно-непрерывных нелинейных многосвязных систем на основе линейных матричных неравенств // АиТ. 2015. № 6. С. 57-74. Б01: 10.1134/80005117915060041

93. Сиротин А.Н. Управляемость линейных дискретных систем с ограниченным управлением и (почти) периодическими возмущениями // АиТ. 2001. № 5. С. 53-64. Б01: 10.1023/А:1010266622197

94. Сиротин А.Н. Точное аналитическое описание множеств достижимости асимптотически устойчивых линейных дискретных систем с ограниченным по /1-норме скалярным управлением // Вестн. МАИ. 2008. Т. 15. № 2. С. 142 - 146.

95. Сиротин А.Н., Формальский А.М. Достижимость и управляемость дискретных систем при ограниченных по величине и импульсу управляющих воздействиях

// АиТ. 2003. № 12. С.17-32. Б01: 10.1023/Б:АШС.0000008423.93495.Ье

96. Схрейвер А. Теория линейного и целочисленного программирования. М.: Мир, 1991.

97. Табак Д., Куо Б. Оптимальное управление и математическое программирование. М.:Наука, 1975.

-23898. Тихонов А.Н., Галкин В.Я., Заикин П.Н. О прямых методах решения задач оптимального управления // Журнал выч. мат. и мат. физ. 1967. Т. 7. № 2. С. 416-423. DOI: 10.1016/0041-5553(67)90017-1

99. Толстоногов A.A. Об уравнении интегральной воронки дифференциального включения // Мат. заметки. 1982. Т. 32. № 6. С. 841-852. DOI: 10.1007/BF01145876

100. Точилин П.А. О построении невыпуклых аппроксимаций множеств достижимости кусочно-линейных систем // Дифференциальные уравнения. 2015. Т. 51. № 11. С. 1503-1515. DOI: 10.1134/S0374064115110114

101. Трушкова Е.А. Алгоритмы глобального поиска оптимального управления // АиТ. 2011. № 6. С. 151-159. DOI: 10.1134/S0005117911060166

102. Ушаков В.Н., Матвийчук А.Р., Лебедев П.Д. Дефект стабильности в игровой задаче о сближении в момент // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки. 2010. № 3. С. 87-103.

103. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978.

104. Филиппова Т.Ф. Оценки множеств достижимости управляемых систем с нелинейностью и параметрическими возмущениями // Тр. ИММ УрО РАН. 2014. Т. 20. № 4. С. 287-296. DOI: 10.1134/S0081543816020061

105. Филиппова Т.Ф. Внешние оценки множеств достижимости управляемой системы с неопределенностью и комбинированной нелинейностью // Тр. ИММ УрО РАН. 2017. Т. 23. № 1. С. 262-274. DOI: 10.21538/0134-4889-2017-23-1-262-274

106. Хорн Р., Джонсон И. Матричный анализ. М.: Мир, 1989. 667 с.

107. Цыпкин Я.З. Об оптимальных процессах в импульсных автоматических системах // ДАН СССР. 1966. Т. 134. № 2. С. 308-310.

108. Ченцов А.Г. Асимптотическая достижимость при возмущении интегральных ограничений в абстрактной задаче управления. I // Изв. вузов. Матем. 1995. № 2. С. 60-71.

-239109. Ченцов А.Г. Асимптотическая достижимость при возмущении интегральных ограничений в абстрактной задаче управления. II // Изв. вузов. Матем. 1995. № 3. С. 62-73.

110. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. Метод эллипсоидов. М.: Наука, 1988.

111. Черноусько Ф.Л., Баничук Н.В. Вариационные задачи механики и управления. Численные методы. М.: Наука, 1973.

112. Черноусько Ф.Л., Колмановский В.Б. Вычислительные и приближенные методы оптимального управления // Итоги науки и техники. Математический анализ. 1977. Т. 14. С. 101-166. DOI: 10.1007/BF01098370

113. Шатровский Л.И. Об одном численном методе решения задачи оптимального управления // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. Т. 2. № 3. 1962. С. 488-491. DOI: 10.1016/0041-5553(63)90464-6

114. Энеев Т.М. О применении градиентного метода в задачах теории оптимального управления // Космические исследование. Т. 4. № 5. 1966. С. 651-669.

115. Яковлев В.М. О дискретном принципе максимума // Проблемы кибернетики. 1978. № 34. С. 247-258. '

116. Abdelhak A., Rachik M. The Linear Quadratic Minimum-Time Problem for a Class of Discrete Systems //J. Math. Programming and Operations Research. 2010. V. 59. No. 4. P. 575-587. DOI: 10.1080/02331930801954672

117. Amato F., Cosentino C., Tommasi G. D., Pironti A., Romano M. Input-Output Finite-Time Stabilization of Linear Time-Varying Discrete-Time Systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 2022. V. 67. No. 9. P. 4438-4450. DOI: 10.1109/TAC.2022.3161374

118. Athreya S., Gupta P., Yogeshwaran D. Volume Approximation of Strongly C-Convex Domains by Random Polyhedra // Advances in Mathematics. 2023. V. 432. P. 109243. DOI: 10.1016/j.aim.2023.109243

119. Baier R., Gerdts M., Xausa I. Approximation of Reachable Sets Using Optimal Control Algorithms // Numerical Algebra, Control and Optimization. 2013. V. 3. No. 3. P. 519-548. DOI: 10.3934/naco.2013.3.519

120. Barber C.B., Dobkin D.P., Huhdanpaa H. The Quickhull Algorithm for Convex Hulls // ACM Transactions on Mathematical Software. 1996. V. 4. No. 22. P. 469-483. DOI: 10.1145/235815.235821

121. Bashein G. A Simplex Algorithm for On-Line Computation of Time Optimal Controls //IEEE Transactions on Automatic Control. 1971. V. 16. No. 5. P. 479-482. DOI: 10.1109/TAC.1971.1099776

122. Benvenuti L., Farina L. The Geometry of the Reachability Set for Linear Discrete-Time Systems with Positive Controls // SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications. 2006. V. 28. No. 2. P. 306-325. DOI: 10.1137/040612531

123. Blanchini F. Polyhedral Set Constrained Control for Discrete-Time Systems with Unknown Additive Disturbances // IFAC Proceedings Volumes. 1991. V. 24. No. 8. P. 95-100. DOI: 10.1016/s1474-6670(17)54151-8

124. Blanchini F., Ukovich W. Linear Programming Approach to the Control of Discrete-Time Periodic Systems with Uncertain Inputs // Journal of Optimization Theory and Applications. 1993. V. 78. No. 3. P. 523-539. DOI: 10.1007/bf00939880

125. Boyd S. Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory. Philadelphia: SIAM, 1994.

126. Boyd S., Vandenberghe L. Convex Optimization. Cambridge: Cambridge university press, 2004.

127. Chang S.S.L. Digitized Maximum Principle // Proc. IRE 48. December. 1960. P.2030-2031.

128. Chang S.S.L. Optimization of Nonlinear Control Systems by Means of Digitized Maximum Principle // IRE Int. Convention Record. Part 4. 1961. P. 48-55.

129. Charnes A., Kortanek K.A. A Note on the Discrete Maximum Principle and Distribution Problem // J. Math. and Phys. 1966. V. 45. No. 1. P. 121-126.

130. Chen D., Bako L., Lecoeuche S. The Minimum-Time Problem for Discrete-Time Linear Systems: A Non-Smooth Optimization Approach // Proceedings of the IEEE International Conference on Control Applications. 2012. P. 196-201. DOI: 10.1109/CCA.2012.6402693

131. Colonius F., Cossich J.A.N., Santana A.J. Controllability Properties and Invariance Pressure for Linear Discrete-Time Systems // Journal of Dynamics and Differential Equations. 2022. V. 34. P. 5-22. DOI: 10.1007/s10884-021-09966-4

132. Corradini M.L., Cristofaro A., Giannoni F., Orlando G. Estimation of the Null Controllable Region: Discrete-Time Plants / Control Systems with Saturating Inputs. Lecture Notes in Control and Information Sciences. Springer. 2012. V. 424. P. 33-52. DOI: 10.1007/978-1-4471-2506-8_3

133. Darup M.S., Monnigmann M. On General Relations Between Null-Controllable and Controlled Invariant Sets for Linear Constrained Systems // 53rd IEEE Conference on Decision and Control. Los Angeles. 2014. P. 6323-6328. DOI: 10.1109/CDC.2014.7040380

134. Desoer C.A., Wing J. The Minimal Time Regulator Problem for Linear SampledData Systems: General Theory // J. Franklin Inst. 1961. V. 272. No. 3. P. 208-228. DOI: 10.1016/0016-0032(61)90784-0

135. Dmitruk A.V., Kaganovich A.M. The Hybrid Maximum Principle is a Consequence of Pontryagin Maximum Principle // Syst. Control Lett. 2008. V. 57. No. 11. P. 964-970. DOI: 10.1016/j.sysconle.2008.05.006

136. Dudley R. Metric Entropy of Some Classes of Sets with Differentiable Boundaries // J. Approximat. Theory. 1974. V. 10. P. 227-236. DOI: 10.1016/0021-9045(74)90120-8

137. Fanina I.G., Ibragimova L.S., Yumagulov M.G. The Asymptotic Formulae in the Problem on Constructing Hyperbolicity and Stability Regions of Dynamical Systems // Ufa Mathematical Journal. 2016. V. 8. No. 3. P. 58-78. DOI: 10.13108/2016-8-3-58

138. Filippova T.F., Matviychuk O.G. Estimates of Reachable Sets of Control Systems with Bilinear-Quadratic Nonlinearities // Ural Math. J. 2015. V. 1. No. 1. P. 45-54. DOI: 10.15826/umj.2015.1.004

139. Fisher M.E. A Semiclosed-Loop Algorithm for the Control of Blood Glucose Levels in Diabetics // IEEE Transactions on Biomedical Engineering. 1991. V. 38, No. 1. P. 57-61. DOI: 10.1109/10.68209

140. Fisher M.E., Gayek J.E. Approximating Reachable Sets for n-Dimensional Linear Discrete Systems // IMA J. Mathematical Control and Information. 1987. V. 4. No. 2. P. 149-160. DOI: 10.1093/imamci/4.2.149

141. Fisher M.E., Gayek J.E. Estimating Reachable Sets for Two-Dimensional Linear Discrete Systems // J. Optim. Theory Appl. 1988. V. 56. No. 1. P. 67-88. DOI: 10.1007/BF00938527

142. Fucheng L., Mengyuan S., Usman Optimal Preview Control for Linear Discrete-Time Periodic Systems // Mathematical Problems in Engineering. 2019. P. 1-11. DOI: 10.1155/2019/8434293

143. Ge S.S., Zhendong S., Lee T.H. Reachability and Controllability of Switched Linear Discrete-Time Systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 2001. V. 46. No. 9. P. 1437-1441. DOI: 10.1109/9.948473

144. Gordon Y., Meyer M., Reisner Sh. Volume Approximation of Convex Bodies by Polytopes - a constructive method // Studia Mathematica. 1994. V. 3. No. 1. P. 81-95.

145. Guseinov K.G. Approximation of the Attainable Sets of the Nonlinear Control Systems with Integral Constraint on Controls // Nonlinear Analysis. 2009. V. 71. No. 1-2. P. 622-645. DOI: 10.1016/j.na.2008.10.097

146. Guseinov K.G., Nazlipinar A.S. Attainable Sets of the Control System with Limited Resources // Trudy Inst. Mat. i Mekh. UrO RAN. 2010. V. 16. No. 5. P. 261-268.

147. Guseinov K.G., Ozer O., Akyar E., Ushakov V.N. The Approximation of Reachable Sets of Control Systems with Integral Constraint on Controls //

Nonlinear Differential Equations and Applications. 2007. V. 14. No. 1-2. P. 57-73. DOI: 10.1007/s00030-006-4036-6

148. Gruber P.M. Volume Approximation of Convex Bodies by Inscribed Polytopes // Math. Ann. 1988. V. 281. No. 2. P. 229-245. DOI: 10.1007/BF01458430

149. Gruber P.M. Asymptotic Estimates for Best and Stepwise Approximation of Convex Bodies I // Forum Math. 1993. No. 5. P. 281-297. DOI: 10.1515/form.1993.5.281

150. Gruber P.M. Asymptotic Estimates for Best and Stepwise Approximation of Convex Bodies II // Forum Math. 1993. No. 5. P. 521-538. DOI: 10.1515/form.1993.5.521

151. Halkin H. A Maximum Principle of the Pontryagin Type for Systems Described by Nonlinear Difference Equations // SIAM J. Control. 1966. V. 4. No. 1. P. 90-111. DOI: 10.1137/0304009

152. Hamza M.H., Rasmy M.E. A Simple Method for Determining the Reahable Set for Linear Discrete Systems // IEEE Trans. on Automat. Control. 1971. V. 16. P. 281-282. DOI: 10.1109/TAC.1971.1099723

153. Heemels W.P.M.H., Camlibel M.K. Null Controllability of Discrete-Time Linear Systems with Input and State Constraints // 47th IEEE Conference on Decision and Control. Cancun. 2008. P. 3487-3492. DOI: 10.1109/CDC.2008.4739333

154. Holtzman J.M. Convexity and the Maximum Principle for Discrete Systems // IEEE Automatic Control AC-11. 1966. V. 2. No. 1. P. 30-35. DOI: 10.1109/TAC.1966.1098235

155. Holtzman J.M. On the Maximum Principle For Nonlinear Discrete Systems // IEEE Automatic Control AC-11. 1966. V. 2. No. 2. P. 273-274. DOI: 10.1109/TAC.1966.1098311

156. Holtzman J.M., Halkin H. Directional Convexity and the Maximum Principle for Discrete Systems //J. SIAM Control. 1966. V. 4. No. 2. P. 263-275. DOI: 10.1137/0304023

157. Householder A.S. The Theory of Matrices in Numerical Analysis. Waltham: Blaisdell, 1964.

-244158. Horn F., Jackson R. On Discrete Analogues of Pontryagin's Maximum Principle // Int. J. Control. 1965. V. 1. No. 4. P. 389-395. DOI: 10.1080/00207176508905489

159. Hu T., Miller D.E., Qiu L. Null Controllable Region of LTI Discrete-Time Systems with Input Saturation // Automatica. 2002. V. 38. No. 11. P. 2009-2013. DOI: 10.1016/S0005-1098(02)00091-2

160. Huseyin N., Huseyin A., Guseinov K.G. On the Properties of the Set of Trajectories of the Nonlinear Control System with Quadratic Integral Constraint on the Control Functions // Ural Math. J. 2023. V. 9. No. 1. P. 93-103. DOI: 10.15826/umj.2023.1.007

161. Hwang C.L., Fan L.T. A Biscrete Version of Potryagin's Maximum Principle // Operation Research. 1967. V. 15. No. 1. P. 139-146. DOI: 10.1287/opre.15.1.139

162. Johnson C.R. Eigenset Generalizations of the Eigenvalue Concept // Journal of research of the National Bureau of Standards. V. 82. No. 2. P. 1977. 133-136. DOI: 10.6028/jres.082.013

163. Kaba M.D., Camlibel M.K. A Spectral Characterization of Controllability for Linear Discrete-Time Systems with Conic Constraints // SIAM Journal on Control and Optimization. 2015. V. 53. No. 4. P. 2350-2372. DOI: 10.1137/140960967

164. Katz S. A Discrete Version of Pontryagin's Maximum Principle //J. Electr. and Control. 1962. V. 13. No. 2. P. 179-184. DOI: 10.1080/00207216208937431

165. Katz S. A General Minimum Principle for End-Point Control Problems //J. Electr. and Control. 1964. V. 16. No. 2. P. 189-222.

166. Keerthi S., Gilbert E. Computation of Minimum-Time Feedback Control Laws for Discrete-Time Systems with State-Control Constraints // IEEE Transactions on Automatic Control. 1987. V. 32. No. 5. P. 432-435. DOI: 10.1109/tac.1987.1104625

167. Kolathaya Sh., Ames A.D. Parameter to State Stability of Control Lyapunov Functions for Hybrid System Models of Robots // Nonlinear Analysis Hybrid Systems. 2016. V. 25. No. 3. P. 174-191. DOI: 10.1016/j.nahs.2016.09.003

168. Kolev L. V. Minimum-Fuel Minimum-Time Control of Linear Discrete Systems // International Journal of Control. 1978. V. 27. No. 1. P. 21-29. DOI: 10.1080/00207177808922344

169. Kostousova E.K. External Polyhedral Estimates of Reachable Sets of Discrete-Time Systems with Integral Bounds on Additive Terms // Mathematical Control and Related Fields. 2021. V. 11. No. 3. P. 625-641. DOI: 10.3934/mcrf.2021015.

170. Kuntsevich V.M., Kurzhanski A.B. Attainability Domains for Linear and Some Classes of Nonlinear Discrete Systems and Their Control // J. Autom. Inform. Sci.

2010. V. 42. No. 1. P. 1-18. DOI: 10.1615/JAutomatInfScien.v42.i1.10.

171. Kurzhanskiy A.B., Valyi I. Ellipsoidal Calculus for Estimation and Control. Boston: Birkhauser, 1997.

172. Kurzhanskiy A., Varaiya P. Ellipsoidal Techniques for Reachability Analysis of Discrete-Time Linear Systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 2007. V. 52. No. 1. P. 26-38. DOI: 10.1109/TAC.2006.887900

173. Kurzhanskiy A.B., Varaiya P. Theory and Computational Techniques for Analysis of Discrete-Time Control Systems with Disturbancens // Optim. Method Software.

2011. V. 26. No. 4-5. P. 719-746. DOI: 10.1080/10556788.2010.548867

174. Kurzhanskiy A.B., Varaiya P. Dynamics and Control of Trajectory Tubes. Boston: Birkhauser, 2014.

175. Lancaster P., Rodman L. The Algebraic Riccati Equation. Oxford: Clarendon Press, 1995.

176. Lasserre J.B. Reachable, Controllable Sets and Stabilizing Control of Constrained Linear Systems // Automatica. 1993. V. 29. No. 2. P. 531-536. DOI: 10.1016/0005-1098(93)90152-J

177. Lee J., Haddad W.M. Fixed Time Stability and Optimal Stabilisation of Discrete Autonomous Systems // International Journal of Control. 2022. V. 96. No. 9. P. 2341-2355. DOI: 10.1080/00207179.2022.2092557

-246178. Leomanni M., Costante G., Ferrante F. Time-Optimal Control of a Multidimensional Integrator Chain With Applications // IEEE Control Systems Letters. 2022. V. 6. P. 2371-2376. DOI: 10.1109/LCSYS.2022.3154351

179. Lin H., Antsaklis P.J. Stability and Stabilizability of Switched Linear Systems: A Survey of Recent Results // IEEE Transactions on Automatic Control. 2009. V. 54. No. 2. P. 308-322. DOI: 10.1109/TAC.2008.2012009

180. Lin W.-S. Time-Optimal Control Strategy for Saturating Linear Discrete Systems // Int. J. Control. 1986. V. 43. No. 5. P. 1343-1351. DOI: 10.1080/00207178608933543

181. Lin X. Zhang W. A Maximum Principle for Optimal Control of Discrete-Time Stochastic Systems with Multiplicative Noise // IEEE Trans. Automatic Control. 2015. V. 60. No. 4. P. 1121-1126. DOI: 10.1109/TAC.2014.2345243

182. Lini G., Consolini L., Piazzi A. Minimum-Time Constrained Velocity Planning // IEEE 2009 17th Mediterranean Conference on Control and Automation. P. 748-753. DOI: 10.1109/med.2009.5164633

183. Ludwig M. Asymptotic Approximation of Smooth Convex Bodies by General Polytopes // Mathematika. 1999. V. 46. P. 103-125. DOI: 10.1112/S0025579300007609

184. McClure D.E., Vitale R.A. Polygonal Approximation of Plane Convex Bodies // J. Math. Analys. and Appl. 1975. V. 51. No. 2. P. 326-358. DOI: 10.1016/0022-247X(75)90125-0

185. Michel A.N. Recent Trends in the Stability Analysis of Hybrid Dynamical Systems // IEEE Transactions on Circuits and Systems. Fundamental Theory and Applications. 1999. V. 46. No. 1. P. 120-134. DOI: 10.1109/81.739260

186. Muller J.S. Step by Step Approximation of Plane Convex Bodies // Arch. Math. 1992. V. 58. P. 606-610. DOI: 10.1007/BF01193531

187. Murota K. Eigensets and Power Products of a Bimatroid // Advances in Mathematics. V. 80. No. 1. 1990. P. 78-91. DOI: 10.1016/0001-8708(90)90015-F

188. Nagy K., Vigh V. Best and Random Approximations with Generalized Disc-Polygons // Discrete Comput. Geom. 2023. V. 72. P. 357-378. DOI: 10.1007/s00454-023-00554-5

189. Pearson J.D. The Discrete Maximum Principle // Int. J. Control. 1965. V. 2. No. 2. 1965. P. 117-124. DOI: 10.1080/00207176508905530

190. Pearson J.D., Sridhar R. A Discrete Optimal Control Problem // IEEE Trans. AC-11. 1966. V. 2. P. 171-174. DOI: 10.1109/TAC.1966.1098287

191. Polyak B.T. Convexity of the Reachable Set of Nonlinear Systems Under L-2 Bounded Controls // Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems. Series A: Mathematical Analysis. 2004. V. 11. No. 2. P. 255-267.

192. Rousse P., Sandretto J.A., Chapoutot A., Garoche P.-L. Guaranteed Simulation of Dynamical Systems with Integral Constraints and Application on Delayed Dynamical Systems // LNCS. 2020. V. 11971. P. 89-107. DOI: 10.1007/978-3-030-41131-2_5

193. Schneider R. Polyhedral Approximation of Smooth Convex Bodies // J.Math. Analys. and Appl. 1987. V. 128. No. 2. P. 470-474. DOI: 10.1016/0022-247X(87)90197-1

194. Schweppe F.C. Uncertain Dynamic Systems. NJ: Prentice-Hall, 1973.

195. Scott M. Time/Fuel Optimal Control of Constrained Linear Discrete Systems // Automatica. 1986. V. 22. No. 6. P. 711-715. DOI: 10.1016/0005-1098(86)90008-7

196. Serry M. Convergent Under-Approximations of Reachable Sets and Tubes: A Piecewise Constant Approach // Journal of the Franklin Institute. 2021 V. 358. No. 6. P. 3215-3231. DOI: 10.1016/j.jfranklin.2021.02.015

197. Shorten R., Wirth F, Mason O, Wulff K, King C. Stability Criteria for Switched and Hybrid Systems // SIAM Review. 2007. V. 49. No. 4. P. 545-592. DOI: 10.1137/05063516X

198. Sonnevend G. Asymptotically Optimal, Sequential Methods for the Approximation of Convex, Compact Sets in R-n in the Hausdorff Metrics // Colloquia Math. Soc. Janos Bolyai. 1980. V. 35. No. 2. P. 1075-1089.

199. Stamnes O.N., Callafon R.A. Time-Optimal Input Shaping for Discrete-Time LTI Systems with Application to Seek Profiles of a HDD System // Proc. ASME ISPS Conf. 2007. P. 146-148.

200. Sussmann H.J. A Maximum Principle for Hybrid Optimal Control Problems. Proc. 38th IEEE Conf. on Decision and Control (Phoenix). 1999. V. 1. P. 425-430. DOI: 10.1109/CDC.1999.832814

201. Vlieger J.H., Verbruggen H.B., Bruijn P.M. A Time-Optimal Control Algorithm for Digital Computer Control // Automatica. 1982. V. 18. No. 2. P. 239-244. DOI: 10.1016/0005-1098(82)90111-x

202. Wang G., Yu Z. A Pontryagin's Maximum Principle for Non-Zero Sum Differential Games of BSDEs with Applications // IEEE Trans. Autom. Control. 2010. V. 55. No. 7. P. 1742-1754. DOI: 10.1109/TAC.2010.2048052

203. Weibel C. Minkowski Sums of Polytopes: Combinatorics and Computation. Suisse: EPFL, 2007. DOI: 10.5075/epfl-thesis-3883

204. Wu Z. A General Maximum Principle for Optimal Control of Forward-Backward Stochastic Systems // Automatica. 2013. V. 49. No. 5. P. 1473-1480. DOI: 10.1016/j.automatica.2013.02.005

205. Yang H., Xia Y., Geng Q. Stabilization on Null Controllable Region / In: Analysis and Synthesis of Delta Operator Systems with Actuator Saturation. Studies in Systems, Decision and Control. 2019. V. 193. P. 39-65. DOI: 10.1007/978-981-13-3660-7_3

Публикации автора по теме диссертационной работы

206. Ибрагимов Д.Н. О задаче быстродействия для класса линейных автономных бесконечномерных систем с дискретным временем, ограниченным

управлением и вырожденным оператором // АиТ. 2019. № 3. C. 3-25. DOI: 10.1134/S0005231019030012

207. Ибрагимов Д.Н., Новожилкин Н.М., Порцева Е.Ю. О достаточных условиях оптимальности гарантирующего управления в задаче быстродействия для линейной нестационарной дискретной системы с ограниченным управлением // АиТ. 2021. № 12. С. 48-72. DOI: 10.31857/S0005231021120047

208. Ибрагимов Д.Н., Осокин А.В., Сиротин А.Н., Сыпало К.И. О свойствах предельных множеств управляемости для класса неустойчивых линейных систем с дискретным временем и ^-ограничениями // Известия РАН. Теория и системы управления. 2022. № 4. С. 3-21. DOI: 10.31857/S0002338822040102

209. Берендакова А.В., Ибрагимов Д.Н. О методе построения внешних оценок предельного множества управляемости для линейной дискретной системы с ограниченным управлением // АиТ. 2023. № 2. С. 3-34. DOI: 10.31857/S00052310230200100

210. Ибрагимов Д.Н., Сиротин А.Н. О некоторых свойствах множеств ограниченной управляемости для стационарных линейных дискретных систем с суммарным ограничением на управление // Известия РАН. Теория и системы управления. 2023. № 6. С. 3-32. DOI: 10.31857/S0002338823050086

211. Ибрагимов Д.Н., Подгорная В.М. Формирование оптимального по быстродействию ограниченного управления для линейных дискретных систем на основе метода суперэллипсоидальной аппроксимации // АиТ. 2023. № 9. С. 37-67. DOI: 10.31857/S0005231023090027

212. Ибрагимов Д.Н. О внешнем оценивании предельных множеств достижимости и 0-управляемости для линейных дискретных систем с суммарным ограничением на скалярное управление // АиТ. 2024. № 4. С. 3-30. DOI: 10.31857/S0005231024040018

213. Simkina A.V., Ibragimov D.N., Kibzun A.I. On the Method of Numerical Simulation of Limit Reachable Sets for Linear Discrete-Time Systems with Bounded Control // Вестник ЮурГУ ММП. 2024. Т. 17. № 3. C. 46-56. DOI: 10.14529/mmp240304

-250214. Ибрагимов Д.Н. О методе построения множеств 0-управляемости для линейных систем с дискретным временем и суммарными ограничениями на управление // Мехатроника, автоматизация, управление. 2024. Т. 25. № 10. С. 503-512. DOI: 10.17587/mau.25.503-512

215. Ибрагимов Д.Н., Царьков К.А. Об одном подходе к решению задачи быстродействия для линейных систем с дискретным временем на основе метода Кротова // АиТ. 2024. № 11. С. 3-35. DOI: 10.31857/S0005231024110013

216. Ибрагимов Д.Н. Коррекция орбиты спутника при ограничении на суммарный запас топлива // Тр. МАИ. 2025. № 140. Доступ в журн. http://trudymai.ru/published.php

217. Ibragimov D.N., Novozhilkin N.M. On the Speed-in-Action Problem for the Class of Linear Non-stationary Infinite-Dimensional Discrete-Time Systems with Bounded Control and Degenerate Operator // MOTOR 2021. CCIS. V. 1476. P. 327-341. DOI: 10.1007/978-3-030-86433-0_23

218. Ibragimov D.N., Guseva S.R. A Priori Estimates of the Objective Function in the Speed-in-Action Problem for a Linear Two-Dimensional Discrete-Time System // MOTOR 2023. LNCS. V. 13930. P. 378-393. DOI: 10.1007/978-3-031-35305-5_26

219. Ibragimov D.N. On the Method for Refining A Priori Estimates of the Objective Function in the Speed-in-Action Problem for a Linear Discrete-Time System // MOTOR 2024. CCIS. V. 2239. P. 199-213. DOI: 10.1007/978-3-031-73365-9_14

220. Ибрагимов Д.Н., Новожилкин Н.М. О методе построения линейной нестационарной дискретной системы с управлением полной размерности посредством изменения шага квантования // Моделирование и анализ данных. 2021. № 1. С. 20-32. DOI: 10.17759/mda.2021110102

221. Берендакова А.В., Ибрагимов Д.Н. Метод построения и оценивания асимптотических множеств управляемости двумерных линейных дискретных систем с ограниченным управлением // Тр. МАИ. 2022. № 126. Доступ в журн. http://trudymai.ru/published.php DOI: 10.34759/trd-2022-126-17

222. Ибрагимов Д.Н., Подгорная В.М. Суперэллипсоидальные аппроксимации в задаче быстродействия для двумерной линейной дискретной системы с ограниченным управлением // Моделирование и анализ данных. 2023. Т. 13. № 2. С. 151-179. DOI: 10.17759/mda.2023130209

223. Ибрагимов Д.Н., Герасимова К.В., Мохначева А.А. Методы численного моделирования множеств 0-управляемости линейной дискретной динамической системы с ограниченным управлением на основе алгоритмов полиэдральной аппроксимации // Моделирование и анализ данных. 2023. Т. 16. № 4. С. 84-110. DOI: 10.17759/mda.2023130405

224. Ибрагимов Д.Н., Кибзун А.И. Программная реализация алгоритмов решения задачи быстродействия для линейных систем с дискретным временем // Вестник компьютерных и информационных технологий. 2025. Т. 22. № 3. С. 12-20. DOI: 10.14489/vkit.2025.03.pp.012-020

225. Ибрагимов Д.Н., Самонов С.С. Об условиях ограниченности множеств достижимости и управляемости для линейный систем с дискретным временем и суммарными ограничениями первого порядка на скалярное управление // Моделирование и анализ данных. 2025. Т. 15. № 1. С. 41-64.

226. Ибрагимов Д.Н., Гусева С.Р. Оценка оптимального времени быстродействия для линейных дискретных систем с ограниченным управлением на основе аппарата собственных множеств // Моделирование и анализ данных. 2025. Моделирование и анализ данных. 2025. Т. 15. № 1. С. 96-115.

227. Ибрагимов Д.Н., Порцева Е.Ю. Алгоритм внешней аппроксимации выпуклого множества допустимых управлений для дискретной системы с ограниченным управлением // Моделирование и анализ данных. 2019. № 2. С. 83-98.

228. Порцева Е.Ю., Ибрагимов Д.Н. Достаточные условия оптимальности гарантирующего решения в задаче быстродействия для линейной дискретной системы на основе полиэдральной аппроксимации // Сборник тезисов докладов 17-й международной конференции «Авиация и космонавтика», 19-23 ноября 2018 г., Москва. - М.: Люксор, 2018. C. 457-458.

229. Мохначева А.А., Герасимова К.В., Ибрагимов Д.Н. Эвристические методы построения оптимальной полиэдральной аппроксимации множеств достижимости и управляемости линейной дискретной системы // Сборник тезисов докладов 21-й международной конференции «Авиация и космонавтика», 21-25 ноября 2022 г., Москва. - М.: Перо, 2022. C. 407-408.

230. Ибрагимов Д.Н., Осокин А.В., Сиротин А.Н., Сыпало К.И. О свойствах предельных множеств 0-управляемости для класса неустойчивых линейных систем с дискретным временем и ограничениями // Материалы XVI Международной научной конференции «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления (конференция Пятницкого)», 1-3 июня 2022г., Москва. - М.: ИПУ РАН 2022. С. 212-216.

231. Ибрагимов Д.Н., Новожилкин Н.М. О методе декомпозиции в задаче быстродействия для линейной дискретной системы с ограниченным управлением // Сборник тезисов докладов XXVI международной научной конференции «Системный анализ, управление и навигация», 3-10 июля 2022 г., Евпатория. - М.: МАИ, 2022. C. 123-124.

232. Ибрагимов Д.Н., Герасимова К.В., Мохначева А.А. Метод формирования субоптимального по быстродействию управления для линейной дискретной системы на основе алгоритмов полиэдральной аппроксимации // XIV Всероссийское совещание по проблемам управления, 17-20 июня 2024г., Москва. - М.: ИПУ РАН, 2024. С. 246-250.

233. Ибрагимов Д.Н., Самонов С.С. Исследование предельных множеств 0-управляемости для линейных дискретных систем с суммарным ограничением на управление // Материалы XV международной конференции по прикладной математике и механике в аэрокосмической отрасли, 1-8 сентбря 2024г., Алушта. - М.: МАИ, 2024. С. 323-325.

234. Ибрагимов Д.Н. О решении задачи быстродействия для линейной системы с дискретным временем и суммарным ограничением на векторное управление // Материалы международной конференции «Динамические системы: устойчивость,

управление и дифференциальные игры», 9-13 сентября 2024г., Екатеринбург. -Екатеринбург: Издательство УМЦ УПИ, 2024. С. 137-141.

235. Ибрагимов Д.Н. Условия ограниченности множеств достижимости и управляемости для линейных систем с дискретным временем и суммарными ограничениями первого порядка на скалярное управление // Сборник тезисов докладов 23-й международной конференции «Авиация и космонавтика», 18-22 ноября 2024 г., Москва. - М.: Перо, 2024. С. 238.

236. Ибрагимов Д.Н. Программа для решения задачи быстродействия для линейных систем с дискретным временем и суммарными или геометрическими ограничениями первого порядка // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2024687521 от 19 ноября 2024 г.