Методы итерационного уточнения квазиравновесных приближений в задачах кинетики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, кандидат физико-математических наук Татаринова, Лариса Леонидовна

• Татаринова, Лариса Леонидовна
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Татаринова, Лариса Леонидовна

Введение

I Метод инвариантных многообразий для диссипативных систем

1 Математический формализм

1.1 Построение медленных многообразий.

1.2 Итерационные методы решения уравнения инвариантности

2 Геометрическая интерпретация

3 Физическая интерпретация

II Последовательная итерационная процедура построения системы медленных мод для кинетических уравнений

4 Построение последовательности многообразий и последовательной итерационной процедуры

5 Исследование кинетики лазероиндуцированных процессов посредством выделения ступеней релаксации

5.1 Постановка задами. Нахождение траекторий в нулевом приближении.

5.2 Итерационное уточнения кинетики системы "Краситель + полимерная матрица"

5.3 Еще одна модель фотообесцвечивания

III Коррекция квазиравновесного приближения в статистической механике

6 Ведение

7 Цепочка уравнений Боголюбова для кинетических функций распределения и варианты ее обрыва

7.1 Уравнение Власова.

7.2 Уравнение Ландау.

7.3 Вычисление поправки к уравнению Власова в первом приближении метода инвариантных многообразий.

8 Вычисление поправки к уравнению Власова в приближении короткой памяти

8.1 Аналитическое описание модели "встряхиваний".

8.2 "Термостатированное" уравнение Власова.

8.3 Свойства и решения полученного уравнения.

8.4 Диэдектрическая проницаемость и дисперсия.

8.5 Коэффициенты переноса

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы итерационного уточнения квазиравновесных приближений в задачах кинетики»

Постановка проблемы и ее актуальность.

Квазиравновесные приближения играют большую роль при исследовании кинетических систем. Так, например, в неравновесной статистической механике, вследствие чрезвычайной сложности уравнений единственно возможный подход зачастую заключается лишь в нахождении поправок к квазиравновесному приближению. Традиционные методы, основанные на выделении в системе малого параметра и поиске решения в виде ряда по его степеням, далеко не всегда эффективны.

В этой связи является чрезвычайно важным создание и развитие методов, дающих альтернативную возможность поиска поправок к квазиравновесным приближениям в задачах кинетики. В качестве базового в диссертации был использован метод инвариантных многообразий, предложенный в работах А.Н.Горбаня и И.В.Карлина 1994 года. Этот метод не требует выделения в системе малых параметров и вместо тейлоровского ряда использует итерационную последовательность ньютоновского типа, начальным приближением которой является квазиравновесное многообразие.

Одна из задач, решаемых в данной диссертационной работе, — развитие метода инвариантных многообразий на системы с несколькими стадиями релаксации. Предложенная процедура последовательного сокращения описания основана на предположении, что на каждой стадии релаксации существенно изменяется со временем набор только нескольких переменных. Более медленные переменные сохраняют свои значения, а более быстрые следуют за основными переменными стадии, сохраняя свою квазиравновесную зависимость от них. Это позволяет вычислять независимо поправки на каждой стадии релаксации.

Другая проблема, исследуемая в диссертации, — получение диссипативной поправки к уравнению Власова. Уравнение Власова следует из цепочки уравнений Боголюбова в квазиравновесном приближении и описывает Плазму без учета столкновений. Самым известным примером учета столкновений является уравнение Ландау. Интеграл столкновений Ландау выводится из интеграла столкновений Больцмана в предположении малости изменения импульса частиц при столкновении. Однако в теории Больцмана заложено предположение исключительно о парном взаимодействии частиц, справедливость которого весьма условна для частиц с большим радиусом взаимодействия, таких заряженные частицы в плазме.

Подход, являющийся формальным математическим аналогом идеи П. и Т. Эрен-фестов о периодическом перемешивании фазового ансамбля (встряхивании), позволил получить уравнение для "столкновительной" плазмы, которое имеет сходную с уравнением Ландау структуру, однако более простые спектральные характеристики.

Цель работы - разработать процедуру последовательного (поэтапного) сокращения описания кинетических систем, не требующую явного наличия малых параметров, на основе построения последовательности инвариантных многообразий итерационными методами. Получить диссипативную поправку к уравнению Власова, используя идею о периодическом перемешивании фазового ансамбля. Исследовать полученное уравнение.

Практическая значимость Предложенный в диссертации метод последовательного сокращения описания может использоваться для исследования кинетики сложных диссипативных систем. Он позволяет получать аналитические или полуаналитические решения систем нелинейных дифференциальных уравнений практически на всей временной оси, а не только на финальной стадии релаксации. Так на его основе было выполнено моделирование лазероиндуцированного обесцвечивания ксантенового красителя в полимерной пленке. Сопоставление полученных результатов с данными экспериментов позволило сделать выводы о механизмах, протекающих в этой системе в процессе оптической записи информации.

Полученное уравнение статистической механики дает альтернативную к существующим возможность исследовать такую сложную физическую систему как плазма. Значимость этого результата состоит, во-первых, в том, что это уравнение получено на основе идей принципиально отличающихся от используемых при выводе всех известных уравнений "для плазмы со столкновениями", во-вторых, оно существенно более простое, что значительно увеличивает объем информации о системе, который можно извлечь.

Апробация. Основные результаты работы были представлены на: Первом Всероссийском семинаре "Моделирование неравновесных систем" (МНС-98) (Красноярск,98). Втором Всероссийском семинаре "Моделирование неравновесных систем" (МНС-99) (Красноярск,99). На 4-ом Китайско-Российско-Корейском симпозиуме по лазерной физике и лазерным технологиям (Харбин, 98). На семинарах кафедры квантовой электроники КГУ, и лаборатории моделирования неравновесных систем ИВМ СО РАН.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в шести печатных работах.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 105 страницах машинописного текста, включая 7 рисунков, 1 таблицу и список литературы из 70 ссылок.

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Татаринова, Лариса Леонидовна

Заключение

Данная диссертационная работа основана на двух подходах к коррекции квазиравновесных приближений в задачах кинетики. Один из них — метод инвариантных многообразий. Он основан на представлении о релаксации системы к некоторому медленному многообразию и последующем движении вдоль этого многообразия. Второй — математическая формализация идеи Эренфестов о периодическом перемешивании фазовых ячеек. Система изначально находится на квазиравновесном многообразии, "убегает" с него по истинной траектории и возвращается (проецируется) на него в момент "встряхивания".

На основе первого метода коррекции квазиравновесных приближений в диссертации получены следующие основные результаты :

1. Построена процедура последовательного сокращения описания диссипативных систем и поэтапного вычисления поправок к квазиравновесному приближению для случая, когда в системе возникает несколько стадий релаксации. Показано, что различие поправок, вычисленных прямо и последовательно, составляет величину порядка погрешности линеаризации.

2. В качестве примера, демонстрирующего работу метода, рассмотрено две модели процесса светоиндуцированного обесцвечивания красителя.

А. Определены соотношения между константами скоростей реакций, разделяющие области существования в системе затухающих колебаний и монотонной релаксации. Б. Благодаря различию скоростей процессов, выделены этапы (ступени) релаксации. Получены аналитические решения, описывающие кинетику переменных на каждой из ступеней.

В .Приводится временная зависимость концентрации молекул в основном состоянии для различных скоростей дисмутации. Результаты исследования данной системы сопоставляются с моделью, не учитывающей процессы восстановления и с экспериментом.

Использование найденных из эксперимента численных значений скоростей процессов позволяет сделать вывод, что уже нулевое приближение явилось достаточно удачным, и его уточнения внесли лишь незначительную коррекцию в полученное решение.

3. На основе идеи Эренфестов о периодическом перемешивании ("встряхивании") фазового ансамбля найдена диссипативная поправка к уравнению Власова. Полученное уравнение имеет структуру уравнения Фоккера-Планка, описывающего диффузию в импульсном пространстве, характерную для ряда уравнений для "столкнови-тельной плазмы". В нашем случае коэффициент диффузии не эмпирический параметр, а определенная с точностью до постоянного множителя функция потенциала взаимодействия и одночастичной функции распределения.

4. В приближении слабой неравновесности плазмы найдены спектр и собственные функции линеаризованного "термостатированного" уравнения Власова. Исследована дисперсия полученного уравнения. Здесь наряду с затуханием Ландау возникает затухание, связанное со столкновениями, и его скорость пропорциональна интенсивности взаимодействия. Частоты собственных колебаний плазмы меняются только в следующем неисчезающем порядке разложения по интенсивности столкновений.

5. В приближении слабой неравновесности и пространственной однородности плазмы найдены значения коэффициентов переноса: электрическая проводимость, коэффициент теплопроводности, термоэлектрический коэффициент. В этом приближении вычисленные коэффициенты совпадают со значениями, получающимися для уравнения Власова с релаксационным членом вместо интеграла столкновений, где параметр, определяющий скорость релаксации, — минимальное отличное от нуля собственное значение линеаризованного "термостатированного" уравнения.

Автор выражает глубокую и искреннюю благодарность своему научному руководителю — профессору Александру Николаевичу Горбаню.

Автор глубоко признателен Ph.D. И.В.Карлину за внимание, подробные замечания и комментарии.

Автор также благодарен профессору А.Г.Сизых и к.ф.-м.н. Е.А.Таракановой за сотрудничество и доброжелательное отношение.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Татаринова, Лариса Леонидовна, 2000 год

1. Gorban А. N. and Karlin I. V. Method of invariant manifolds and regularization of acoustic spectra, Transport Theory and Stat. Phys. 23, 559-632 (1994).Gorban A.N. Karlin I.V. & Stat. phys.

2. Gorban A. N. and Karlin I. V. Thermodynamic parameterization, Physica A 190, 393-404 (1992).

3. Gorban A. N. and Karlin I. V. New Nethods for Solving the Bolnzmann Equation, AMSE Transaction, Scientific Siberian, Ser A (Physical Kinetics), 10, AMSE Press, Tassin, France, 1993

4. Gorban A. N. and Karlin I. V. Short-wave limit of hydrodynamics : A soluble example, Phys. Rev. Lett. 77, 282-285 (1996).

5. Gorban A. N. and Karlin I. V. Zmievskii V.B., Nonnenmacher T.F. Relaxational Trajectories: Global Approximations, Physica A, 231, 648-672 (1996).

6. Gorban A. N. and Karlin I. V. Zmievskii V.B. The Initial Layer Problem for Dissipative Systems. I., Modelling, Measurement and Control, A, 61(1), 29-43 (1995).

7. Gorban A. N. and Karlin I. V. Zmievskii V.B. The Initial Layer Problem for Dissipative Systems. II., Modelling, Measurement and Control, A, 60(4), 39-64 (1995).

8. Gorban A. N. and Karlin I. V. Zmievskii V.B. Two-step Approximation of Homogeneous Relaxation for the Boltzmann Equation, Adv. Model, and Analysis, A, 28(2), 17-42 (1995).

9. Zmievskii V. B. Karlin I. V. and Deville M. The universal limit in dynamics of dilute polymeric solutions, Physica A 275(1-2), 152-177 (1999).

10. Gorban A. N. and Karlin I. V. Zmievskii V.B. and Dymova S. V. Reduced description in reaction kinetics, Physica A 275(3-4), 349-367 (1999).

11. Bykov V. I. , Gorban A. N. Dymova S. V. Method of invariant manifolds for the reduction of kinetic description, ACH-Model in Chemistry 134 (1), pp 83-95 (1997)

12. Колмогоров A.H. ДАН СССР, 98, 527 (1954)

13. Арнольд В.И. Усп.мат.наук, 18,13 (1963) Moser J. Nachr.Acad.Wiss. Gottingen, N1 (1962)

14. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений / Пер. С англ. ; Под ред. А.А.Абрамова. М. : Наука. Гл. Ред. Физ.-мат. Лит., 1986. -288 с.

15. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М. : "Мир", 1975. -560.

16. Беклкмишев Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры. М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. -336 с.

17. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М. : Наука, 1984.-272с.

18. Горбань А.Н. Обход равновесия. Уравнения химической кинетики и их термди-намический анализ. Новосибирск: Наука, 1984.(Klit26)

19. Горбань А.Н. Быков В.И., Квазитермодинамичность реакций без взаимодействия различных веществ. Журнал физической химии. 1983,т.57, с 12.

20. Окунев Л.Я., Высшая алгебра, М:, Просвещение 1966г.

21. Sizykh A.G.,Tarakanova Е.А., Zholobova N.N. Investigation of formation kinetics of light-induced photochemical gratin in "dye-polimer" system. Repot of the third russian-chinese symposium on laser physics and laser technology. 1996.

22. Быков В.И. Моделирование критических явлений в химической кинетике. М. : Наука, 1988.-263с.

23. Математическая энциклопедия, т.1

24. Теренин А.Н. Фотоника молекул красителей. Л. :Наука, 1967

25. Степанов Б.И. Введение в химию и технологию органических красителей. М. : Химия, 1984.

26. Sizykh A.G., Tarakanova E.A., Tatarinova L.L. Laser-induced reduction of dye in polimeric matrix. Proceedings of the 4-th Chino-Russian-Korean Symposium on Laser Physics and Laser Technology, Harbin, China. Dec. 20-25. 1998. pp. 139-140.

27. Квасников И,А. Термодинамика и статистическая физика. Теория неравновесных систем. -М. : Изд-во МГУ, 1987. -559с.

28. Шелест A.B. метод боголюбова в динамической теории кинетических уравнений. -М. : Наука. Гл.ред.физ.-мат. лит., 1990.-160с.

29. Боголюбов H.H. избранные труды. -Киев: Наук.думка, 1970.- Т.2. -С.99.

30. Yvon J. Theorie Statistique des Fluides et l'Equation d'Etat // Actes sientigfique et industrie. -1935. No.203. -Paris :Hermann

31. Born M., Green H.S. A general kinetic theory of liquids. -Camb.Univ.Press. 1949

32. Пригожин И. Неравновесная статистическая механика: пер. с англ. М. : Мир. 1964.

33. Власов A.A. // УФН.-1967. -Т93, вып. 3. -С.444.

34. Ландау Л.Д. Собрание трудов. -М. : Наука, 1969. Т.1. -С.199.

35. Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика. Т.1. -М. : Мир. 1978. -405с.

36. Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика. Т.2. -М.: Мир. 1978. -399с.

37. Неравновесные явления: уравнение Больдмана. Под ред. Дж.Л.Либовица. М. : Мир. 1986

38. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. -М. : Наука, 1974.-432с.

39. Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Теория равновесных систем. -М.: Изд-во МГУ, 1991. -800с.

40. Боголюбов H.H. Проблемы динамической теории в статистическй физике // Избранные труды по статистической физике.-М. : МГУ, 1979.-С. 5-114.

41. Гуров К.П. Основания кинетической теории.-М. : Наука, 1966.-351 c.(Klit5)

42. Born M., Green H.S. Proc. Roy. Soc., A188, 10.

43. Kirkwood J.G. J. Chem. Phys., 3, 300.

44. Levesque D. Physica, 32, 1985.

45. Adler В. J., Wainwright T. J. Chem. Phys., 27, 1209.

46. Wood W.W., Jacobson J.D. J. Chem. Phys., 27, 1207.

47. Salpeter E.E. Ann. Phys., 5, 183.

48. Meeron E. J. Chem. Phys., 27, 1238.

49. Rice S.A., Lekner J. J. Chem. Phys., 42, 3559.

50. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. М. Мир. 1978

51. Чандрасекар С. Стохастические проблемы в физике и астрономии. 1947

52. Candrasekhar S. Noise and Stochastic Processes, ed. N.Wax. New York. 1954.

53. Кудрявцев B.C. ЖЭТФ 34. 1558. 1958.

54. Рудяк В.Я. Статистическая теория диссипативных процессов в газах и жидкостях. Новосибирск: Наука, 1987.

55. Rice S.A., Allnatt A. On the kinetic theory of dense fluids. VI. Singlet distribution function for rigid spheres with an attractive potential// J. Chem. Phys.-1961.-V.34,N6.-P.2144-2155.

56. Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. -М. : Изд-во иностр. лит., 1960. -510с.

57. Rice S.A., Gray P. The statistical mechanics of simple liquids.-N.Y. :Interscience, 1965.-585p.

58. Rpigogine I., Nicolis G., Misguich J. Local equilibrium approach to transport processes in dense media //J. Chem. Phys. -1965.-V.43,N 12. -P.4516-4521.

59. Misguich J.H., Nicolis G. Generalized Rice-Allnatt theory for transport in liquids// Mol.Phys. -1972. -V.24, N 2. -P.309-334.

60. Davis H.T. Kinetic theory of dense fluids and liquids revisited // Adv Chem. Phys. -1973. -V.24.-P.257-343.

61. Davis H.T. Kinetic theory of dense fluids //J. Stat.Phys. -1973. -V.7, N 3. -P.225-241.

62. Theodosopulu M., Kin-Wan Li, Dahler J.S. Kinetic equation for dense fluid // Mol. Phys. -1976. -V. 32, N 3. -P.599-612.

63. Дубровский Г.В., Богданов А.В. К выводу обобщенного кинетического уравнения больцмановского типа // Вестн. ЛГУ. -1976.-N13. С. 66-76.

64. Богданов А.В., Дубровский Г.В. К выводу кинетических уравнений в рамках приближния Т-матрицы // Теорет. и мат. физика. -1976. -Т.28. N1. -С. 80-91.

65. Дубровский Г.В., Богданов А.В. Кинетическое уравнение квазичастичного типа для плотного газа. I // ЖТФ-1979. -Т.49, N 7.-С. 1386-1396.

66. Резибуа П. Де Ленер М. Классическая кинетическая теория жидкостей и газов. М.: Мир, 1980. -425с.