Методы математического моделирования динамики систем со структурными изменениями в задачах экологии и рационального природопользования тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Кириллов, Александр Николаевич

• Кириллов, Александр Николаевич
• доктор физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Кириллов, Александр Николаевич

Введение.

Гл.1. Моделирование динамики систем со структурными изменениями (ССИ).

§1.1. Структурные траектории.

§1.2. Устойчивость и эквивалентность структур.

§1.3. Параллельные и последовательные системы.

§1.4. Линейная последовательная система.

§1.5. Управление структурой в линейной последовательной системе.

§1.6. Линейная параллельная система. Стабилизация структуры.

§1.7. Оптимизация структуры.

Гл.2. Методы моделирования режимов стабилизации нелинейных систем с ограничениями, свойственными ССИ.

§2.1. Кусочно-постоянная стабилизация.

§2.2. Э -стабилизация. Конус стабилизации.

§2.3. Примеры поведения траекторий в режиме стабилизации.

§2.4. Т - стабилизация в 5-конусе.

§2.5. Положительный базис и его свойства.

§2.6. Г - стабилизация в Я". Теорема о Т - стабилизации.

§2.7. Модель точечной стабилизации автоколебаний.

§2.8. ОТ- стабилизации неавтономных систем.

Гл.3. Саморазвивающаяся система Вольтерра с миграцией.

§3.1. Построение модели системы Вольтерра с миграцией.

§3.2. Дискриминантная плоскость.

§3.3. Цилиндры траекторий:.

§3.4. Предельные множества.

§3.5. Вторичная миграция.

§3.6. Виды режимов функционирования системы.

§3.7. Модель с самолимитированием жертвы.

Гл.4. Модель экономического развития производственного объединения с учетом природоохранных затрат.

§4.1. Моделирование динамики экономической системы с переменным составом.

§4.2. Построение модели управления в задаче инвестирования.

§4.3. Синтез линейных и кусочно-линейных кредитных функций.

§4.4. Модель развития производственного объединения с переменным, количеством предприятий.

§4.5. Распределение ограниченного1 объема инвестиций.

§4.6. Переменная структура взаимосвязей экономических подсистем.

Гл.5. Моделирование режимов стабилизации некоторых динамических систем рационального природопользования.

§5.1. Стабилизация изотермического реактора при ограничениях на тепловые выбросы.

§5.2. Исследование динамики управляемого неизотермического реактора.

§5.3. Стабилизация неизотермического реактора. Т - стабилизация.

§5.4. Моделирование экологически безопасного процесса управления группой варочных котлов.

§5.5. Модель стабилизации процесса отбора в системе Вольтерра с переменной стратегией питания хищника.

Гл.6. Моделирование процессов стабилизации систем биологической очистки.

§6.1. Инвариантные множества динамической системы биоочистки.

§6.2. Модель режима стабилизации.

§6.3. Моделирование процесса биоочистки с переменным составом биомассы.

§6.4. Синтез инвариантной системы управления процессом обработки осадка сточных вод.

§6.5. Об адекватности моделей динамических систем.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы математического моделирования динамики систем со структурными изменениями в задачах экологии и рационального природопользования»

Математическое моделирование сложных динамических систем, таких как биоценозы, эколого-экономические и производственные комплексы, многостадийные технологические процессы, системы рационального природопользования связано с труднопреодолимым противоречием. С одной стороны, для использования модели с целью прогнозирования поведения реальной системы и управления ею следует получать более полное ее описание, что приводит к невозможности аналитического или качественного исследования. С другой стороны, упрощение модели лишает ее практической ценности. Необходим компромисс между точностью описания и сложностью исследования. Наиболее удачные математические модели сочетают в себе эти качества.

Проблема рационального природопользования приобретает все большее значение в связи с усилением антропогенных воздействий на окружающую среду. Математическое моделирование является одним из основных инструментов при прогнозировании состояния природных систем и управлении ими, исходя из экологических, экономических и социальных критериев. При этом выдвигаются задачи, для решения которых приходится пересматривать традиционные подходы и развивать новые методы. Так, например, экологические и эколого-экономические системы характеризуются многочисленными взаимосвязями между составляющими их подсистемами и изменением структуры этих взаимосвязей в процессе функционирования, что приводит к построению математических моделей, аналитическое исследование которых весьма затруднительно.

Исследование систем со сложной изменяющейся структурой является важной проблемой активно развиваемой в настоящее время теории метапопуляций (вопросы миграции, колонизации, вымирания популяций), в построении систем управления! процессами биологической очистки сточных вод, в моделировании динамики развития экономических систем с учетом природоохранных затрат, в моделировании режимов стабилизации экологически безопасных технологических процессов в целлюлозно-бумажной промышленности (ЦБП) и во многих других прикладных задачах.

В диссертационной работе предлагаются подходы к моделированию динамики систем экологии и рационального природопользования со структурными изменениями. Вводится процедура разбиения жизненного цикла системы на временные промежутки так, чтобы исходная сложная система на каждом промежутке представлялась относительно простой моделью. Этот подход может быть реализован, например, при моделировании сложных динамических систем, изучаемых в теории метапопуляций. При этом процесс функционирования сообщества представляется последовательностью сменяющих друг друга стадий. Сменяемость стадий характерна также для процессов экологически безопасного функционирования химических реакторов, моделей динамики развития экономических систем с учетом природоохранных затрат. При моделировании этих процессов используются динамические системы, состав, структура и размерность которых, в зависимости от состояния, может изменяться с течением времени, т.е. происходит динамическая декомпозиция сложной системы.

Возможность использования систем с переменной размерностью и структурой при моделировании динамики биологических сообществ указывалась еще в работе Ю.М.Свирежева [146], который высказал предположение о возможности включения размерности в число переменных состояния. При построении теории реализации Р.Калман предложил [65] обобщить понятие динамической системы таким образом, чтобы размерность ее пространства состояний могла меняться во времени. Систему со сменой фазового пространства рассматривал В.Г.Болтянский [24], используя метод шатров [23] для решения соответствующей задачи оптимального управления. При этом отмечалась возможность использования такой системы в моделировании некоторой задачи, связанной с агрегированием экономических показателей. В работах И.А.Полетаева указывалось на необходимость использования систем с переменной структурой при моделировании динамики популяций. Им предложен [130] подход, основанный на так называемых Л-системах, в которых правые части дифференциальных уравнений изменяются в процессе функционирования системы. Отметим, что теория систем с переменной структурой активно развивалась в исследованиях ученых школы С.В.Емельяпова. Следует отметить работу А.Д.Мышкиса по бушующим системам, для которых переключение траекторий происходит на границе области их функционирования и новая динамика зависти от предыстории системы. В работах D.Liberzon рассмотрен класс систем с изменяющейся в процессе функционирования правой части. Изменение правой части определяется некоторой функцией времени. При этом фазовое пространство сохраняется. Исследуются задачи устойчивости и стабилизации общего для всех систем состояния равновесия.

В дальнейшем стали появляться работы по так называемым гибридным системам, к которым можно отнести логико-динамические, непрерывно-дискретные и некоторые другие типы систем. В этих системах присутствует помимо непрерывной еще и дискретная составляющая, которая регулирует изменение непрерывной части, в зависимости от некоторых условий. Устойчивости состояний равновесия систем со структурными изменениями посвящены работы В.М.Матросова, АЛМаликова. Ими применялся аппарат функций Ляпунова. В этом же направлении поводили исследования

A.А.Мартынюк, И.В.Гайшун, D.Siljak. Различным вопросам моделирования систем со структурными изменениями посвящены также исследования таких ученых, как С.Н.Васильев, А.Б. Куржанский, В.М.Глушков, Р.М.Юсупов, А.М.Самойленко, Н.А.Перестюк, В.И.Уткин, Б.В.Соколов, Н.П.Бусленко, К.Д.Жук, А.С.Матвеев,

B.М.Артемьев, М. Branicky, A.Van der Schaft, H.Schumacher и других. Несмотря на достигнутый в последнее время успех в исследовании систем с изменяющейся структурой, гибридных систем, многие проблемы требуют своего решения. Так, например, задачи рационального природопользования и экологии приводят к необходимости введения новых понятий устойчивости, в частности, устойчивости структур. Актуальной является разработка единого подхода к моделированию систем со структурными изменениями. Проблема сочетания непрерывной и дискретной составляющих также ждет своего решения. Видимо, сейчас теория систем со структурными изменениями находится в стадии накопления приводящих к ней математических моделей.

В применении к задачам экологии и рационального природопользования методы построения динамических систем со сложными взаимосвязями отражены в работах Г.И.Марчука, Ю.М.Свирежева, Д.О.Логофета, В.И. Гурмана, В.А.Батурина, Ю.А.Домбровского, В.А.Вавилина, А.И.Москаленко, В.В.Пененко, Е.Я.Елизарова, А.И.Абакумова, Р.А.Полуэктова, Д.А.Саранча, Ю.А.Пыха, Б.Г.Заславского, I.Hanski, M.Gyllenberg, A.Hastings и других. Но изменение структуры, в этих работах, как правило, не учитывается. Поэтому актуальным является создание методов моделирования динамики экологических систем с переменной структурой и размерностью. В частности, активно развивающаяся в последнее время теория метапопуляций выдвигает задачи моделирования систем с переменным составом и разработки математического аппарата для их исследования. Системы с изменяющейся в процессе функционирования структурой характерны для многих задач экологии и рационального природопользования. В настоящей работе на основе предлагаемых в ней методов рассмотрены следующие задачи: моделирование процессов взаимодействия популяций с. учетом миграций, моделирование процессов биологической очистки сточных вод с переменной структурой биомассы активного ила, моделирование экологически безопасной динамики функционирования некоторых процессов в целлюлозно-бумажной промышленности (ЦБП), моделирование динамики развития производственных систем с учетом природоохранных затрат и некоторые другие. Большое значение также имеет решение задач математического моделирования режимов стабилизации в нелинейных экологических системах. Возникают новые постановки задач, связанные с появлением в системах с изменяющейся структурой дополнительных ограничений, в результате чего традиционные модели оказываются неудовлетворительными.

В диссертации предлагается единый, структурный, подход к моделированию и анализу динамических систем со структурными изменениями, переменной размерностью и переменным составом входящих в них подсистем. Вводятся понятия структуры, структурной траектории, устойчивости и эквивалентности структур, рассмотрены задачи стабилизации и оптимизации структур. При этом в отличие от обычно решаемых задач исследования устойчивости равновесных состояний (А.И.Маликов, А.С.Бычков и др.) ставится задача исследования устойчивости и стабилизации структуры системы, важная для экологических приложений.

Разработан метод динамической декомпозиции, основанный на введении в динамическую систему дополнительных переменных, регулирующих структурные изменения и исполняющих функцию эволюционного времени. В результате система на отдельных промежутках функционирования заменяется на более простые подсистемы, доступные аналитическому исследованию.

На основе предложенного подхода исследуются некоторые задачи экологической динамики. Получено развитие модели В.Вольтерра, в которой учитываются миграционные процессы. Найдены и подробно исследованы режимы ее функционирования. Показано, что в отличие от классической модели В.Вольтерра, построенная система обладает большим разнообразием режимов поведения, что делает ее более адекватной реальным процессам.

С помощью метода динамической декомпозиции решается задача моделирования динамики развития производственного комплекса с учетом природоохранных затрат. Исследуется влияние реструктуризации системы на повышение ее эффективности. Строятся модели управления, решающие задачу развития системы при ограничениях на объемы инвестиций. Рассмотрена задача синтеза управляющих воздействий.

Предложен подход к моделированию режимов стабилизации нелинейных систем с ограничениями, характерными для систем со структурными изменениями. Введены понятия В- а Т- стабилизации (в ограниченной области и за любое конечное время, соответственно), учитывающие эти ограничения. Предложен и обоснован алгоритм Т -стабилизации нелинейных динамических систем. Получены результаты, связанные со стабилизацией в конусе, на основе которых решается задача точечной стабилизации автоколебаний.

Разработаны качественные и аналитические методы в задачах моделирования режимов стабилизации некоторых химических ректоров при ограничениях на выбросы в атмосферу. На основе метода динамической декомпозиции построена модель экологически безопасного функционирования группы периодических реакторов. Исследована задача моделирования процесса стабилизации биологической очистки. Предложен подход, учитывающий изменяющуюся структуру активного ила. Рассмотрены некоторые вопросы адекватности математических моделей.

Следует отметить, что предлагаемые в диссертационной работе подходы и методы являются результатами исследований конкретных задач математического моделирования процессов ЦБП, рационального природопользования и экологии, постановки которых показали неудовлетворительность традиционных методов решения. Так, задача стабилизации процесса биологической очистки сточных вод приводит к моделированию режима стабилизации нелинейных динамических систем с ограничениями на состояния и время. Для решения подобных задач нет общих методов. В результате были предложены новые понятия И - и Т - стабилизации и соответствующие алгоритмы для моделирования этих процессов. Изменчивость структуры биомассы в зависимости от времени ее пребывания в аэротенке приводит к необходимости построения моделей со структурными изменениями, в частности с переменной размерностью. Чем дольше пребывает биомасса в аэротенке, тем более разнообразен состав популяций микроорганизмов в ней. Тем самым увеличивается размерность соответствующей системы дифференциальных уравнений, описывающих динамику процесса. Нестационарность неизмеряемых возмущений, действующих на систему, приводит к необходимости разработки новых алгоритмов стабилизации. Часть результатов, относящихся к этому циклу исследований, использовалась в виде комплекса программ при создании автоматизированной системы управления очистными сооружениями на острове Белом в Санкт-Петербурге управлением "Водоканал". Разработанные качественные и аналитические методы моделирования режимов стабилизации для некоторых типов химических реакторов при ограничениях, учитывающих экологическую безопасность процессов, могут применяться при создании систем управления в ЦБП.

Гл.1. Моделирование динамики систем со структурными изменениями.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Кириллов, Александр Николаевич

Заключение.

В диссертации разрабатываются методы математического моделирования и анализа динамических процессов со структурными изменениями. На их основе решается ряд важных задач моделирования динамики систем с переменным составом и структурой в экологии и рациональном природопользовании.

Предлагается единый, структурный, подход к моделированию и анализу динамических систем с переменным составом входящих в них подсистем. Вводятся понятия структуры, различных типов структурных траекторий и их устойчивости, эквивалентности систем со структурными изменениями, рассмотрены новые постановки задач стабилизации и оптимизации структур, получены их решения в некоторых случаях.

Предложен метод, упрощающий аналитическое исследование динамики систем с переменным составом, метод динамической декомпозиции, основанный на введении в динамическую систему дополнительных переменных, регулирующих структурные изменения и исполняющих функцию эволюционного времени. В результате система на отдельных промежутках функционирования заменяется на более простые подсистемы, доступные аналитическому исследованию.

На основе предложенного подхода получены новые закономерности, характеризующие поведении некоторых систем экологической динамики. Предложено развитие модели В.Вольтерра «хищник-жертва» с целью учета миграционных процессов. Найдены и подробно исследованы режимы ее функционирования. Показано, что в отличие от классической модели В.Вольтерра, построенная система обладает большим разнообразием режимов поведения, что делает ее более адекватной реальным процессам.

С помощью метода динамической декомпозиции решается задача моделирования динамики развития производственного комплекса с переменной структурой с учетом природоохранных затрат. Исследуется влияние реструктуризации системы на повышение ее эффективности. Построена модель инвестирования, с помощью которой решается задача развития производственной системы на заданном отрезке времени при ограничениях на объемы инвестиций.

Предлагаются новые подходы к математическому моделированию режимов стабилизации нелинейных систем с учетом ограничений, характерных для динамических процессов со структурными изменениями в задачах рационального природопользования. Введено понятие стабилизируемости за любое конечное время состояния, не являющегося равновесным (Г- стабилизации), что позволяет, в частности, учитывать структурные ограничения в модели процесса биоочистки. Предложен и обоснован алгоритм Т- стабилизации нелинейных динамических систем. Построена модель процесса стабилизации в конусе. На ее основе решается задача моделирования режима точечной стабилизации автоколебаний.

Разрабатываемые в настоящем исследовании качественные и аналитические методы применяются при моделировании режимов стабилизации некоторых типов химических реакторов с учетом ограничений на выбросы в окружающую среду. На основе метода динамической декомпозиции впервые строится многостадийная модель динамики экологически безопасного функционирования группы периодических реакторов в процессе варки целлюлозы.

С помощью метода динамической декомпозиции построена математическая модель стабилизации процесса биологической очистки сточных вод, учитывающая изменяющуюся структуру активного ила, что позволяет увеличить эффективность процесса очистки. Рассмотрены некоторые вопросы адекватности математических моделей динамических процессов.

Предлагаемые подходы и методы можно использовать для прогнозирования развития экологических систем, в частности, при исследовании динамики популяций, учитывающей миграционные процессы, для моделирования взаимосвязей между ареалами обитания популяций. Введенные понятия устойчивости структур, позволяющие с единых позиций характеризовать свойства систем со структурными изменениями, могут быть использованы при моделировании условий экологически безопасного функционирования оборудования ЦБП, энергетических систем.

Построенная математическая модель производственного комплекса с переменным составом, позволяет решать задачу выбора стратегии инвестирования с учетом природоохранных затрат. Предложенный метод моделирования может также применяться для анализа экономических систем в кризисные и переходные периоды, когда изменяются внутренние и внешние структурные взаимосвязи.

Развиваемые в диссертации методы моделирования дают подход к решению практически важной задачи стабилизации процесса биологической очистки сточных вод. Часть результатов, относящихся к этому циклу исследований, использовалась в виде комплекса программ при создании автоматизированной системы управления очистными сооружениями на острове Белом в Санкт-Петербурге управлением "Водоканал".

Разработанные качественные и аналитические методы моделирования режимов стабилизации для некоторых типов химических реакторов при ограничениях, учитывающих экологическую безопасность процессов, могут применяться при создании систем управления в ЦБП. Некоторые результаты этих исследований использовались в дипломных работах студентов и в спецкурсах, читаемых автором в СПбГТУРП я* г

CL К

РиС. к

Рис. к §2.6.

Рис. к §2.6.

Рис. к лемме 3.2.3.

Рис. клеммам 3.3.3, 3.3.5, 3.3.6.

Рис. к теореме 3.7.3.

Рис. к §§5.1,5.2.

Рис. к §§5.3, 5.5.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Кириллов, Александр Николаевич, 2009 год

1.Абросов Н.С., Ковров Б.Г., Черепанов O.A. Экологические механизмы сосуществования и видовой регуляции. Новосибирск: Наука, 1982, 301 с.

2. Аграчев A.A., Сачков Ю.Л. Геометрическая теория управления. М., Физматлит, 2005.

3. Алексеев В.В. Динамические модели биогеоценозов // Человек и биосфера. М., 1976. Вып. 1. С.3-137.

4. Алексеева Е.И., Киржнер В.М. Зависимость устойчивости набора динамических систем от структуры связи между ними. Доклады АН СССР. 1990, т.313, №3, с.521-524.

5. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М., Физматгиз, 1959, 915с.

6. Апонина Е.А., Апонин Ю,М., Базыкин А.Д. Анализ сложного динамического поведения в модели хищник две жертвы // Проблемы экологического мониторинга и моделирования экосистем. Л., 1982, Т.5. С.163-180.

7. Арис Р. Анализ процессов в химических реакторах. М., Химия, 1967, 328с.

8. Арнольд В.И. Экспериментальное наблюдение математических фактов.- М.: МЦНМО, 2006, 120 с.

9. Асарин Е.А., Козякин B.C., Красносельский М.А., Кузнецов H.A. Анализ устойчивости рассинхронизованных дискретных систем. М., Наука, 1992, 408 с.

10. Ю.Ашманов С.А. Введение в математическую экономику. М., Наука, 1984, 296 с.

11. П.Багриновский К.А. Модели и методы экономической кибернетики. М., Экономика, 1973.

12. Багриновский К.А., Егорова Н.Е. Имитационные системы в планировании экономических объектов. Наука, 1980.

13. Базыкин А.Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций. М., Мир, 1985.

14. Базыкин А.Д. Система Вольтерра и уравнения Михаэлиса-Ментен // Вопросы математической генетики. Новосибирск: Наука, 1974, С.103-143.

15. Балацкий О.Ф., Гурман В.И., Кульбака Н.Э. Моделирование социо-эколого-экономических систем региона. М., Наука, 2001.

16. Барабанов А.Т., Катковник В.Я., Нелепин P.A., Хлыпало Е.И., Якубович В.А. Методы исследования нелинейных систем автоматического управления. М., Наука, 447 с.

17. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. Наука, 1967.

18. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М., Наука, 1969, 367 с.

19. Бенсон С. Основы химической кинетики. М., Мир, 1964с.

20. Березовская Ф.С., Карев Г.П. Дифференциальные уравнения в математических моделях. М., Изд-во МИРЭА, 2000.

21. Бигон М., Харпер Дж., Таунсенд К.Экология. Особи, популяции и сообщества. Т.1. М.: Мир1989, 667 с.

22. Болтянский В.Г. Метод шатров и проблемы системного анализа. Сб.научн.трудов "Математическая теория систем" , М., Наука, 1986, с.5-24.

23. Болтянский В.Г. Задачи оптимизации со сменой фазового пространства // Дифференциальные уравнения. 1983. Т. 19. № 3. С. 518-521.

24. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М., Наука, 1969, 408 с.

25. Боуэн Р. Методы символической динамики. М., Мир, 1979, 248 с.

26. Брайнес Я.М. Введение в теорию и расчеты химических и нефтехимических реакторов. М., Химия, 1968.

27. Бусленко Н.П. Моделирование сложных систем. М.: Наука, 1978, 399 с.

28. Бычков A.C., Меркурьев М.Г. Устойчивость непрерывных гибридных систем. -Кибернетика и системный анализ. 2007, № 2, с. 123 - 128.

29. Вавилин В.А. Время оборота биомассы и деструкция органического вещества в системах биологической очистки. М., Наука, 1986, 144с.

30. Вавилин В.А. Нелинейные модели биологической очистки и процессов самоочищения в реках. М., Наука, 1983, 185с.

31. Вавилин В.А., Васильев В.Б. Математическое моделирование процессов биологической очистки сточных вод активным илом. М., Наука, 1979, 119с.

32. Вайдлих В. Социодинамика. М„ УРСС, 2004, 480 с.

33. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М., Наука, 1973.

34. Воронов A.A. Введение в динамику сложных систем. Наука, 1985.

35. Вейлас Химическая кинетика и расчеты промышленных реакторов. М., Химия, 1967.

36. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М., Наука, 1976, 288с.

37. Вольтер Б.В., Сальников И.Е. Устойчивость режимов работы химических реакторов. М., Химия, 1981, 200с.

38. Вольтер Б.В. Периферийная неустойчивость открытых систем // Теоретические основы химической технологии. 1989, т.23, № 5, с.708-710.

39. Вьюков И.Е. Автоматизация технологических процессов целлюлозно-бумажной промышленности. М., Лесная промышленность, 1983, 384с.

40. Вьюков И.Е., Зорин И.Ф., Петров В.П. Математические модели и управление технологическими процессами целлюлозно-бумажной промышленности. М., Лесная промышленность, 1975, 374 с.

41. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимального управления. М., Наук, 1971.

42. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. Наука, 1966

43. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М., Наука, 1978, 400 с.

44. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф. М., Мир, 1984, Т.1, 350 с.

45. Гильдерман Ю.И., Кудрина К.Н., Полетаев И.А. Модели Л-систем (системы с лимитирующими факторами) // Исследования по кибернетике. М., 1970.

46. Глушков В.М., Гусев В.В., Т.П.Марьянович и др. Программные средства моделирования непрерывно-дискретных систем. Киев: Наукова думка, 1970, 152 с.

47. Горстко A.B., Домбровский Ю.А., Сурков Ф.А. Методы управления эколого-экономическими системами. М., Наука, 1984, 120с.

48. Груйич Л.Т., Мартынюк A.A., Риббенс-Павела М. Устойчивость крупномасштабных систем при структурных и сингулярных возмущениях. Киев, Наукова думка, 1984, 473с.

49. Гурман В.И. Модели и условия оптимальности для гибридных управляемых систем // Известия РАН. Теория и системы управления. 2004. № 4. С. 70-75.

50. Гурман В.И. Моделирование устойчивого развития с учетом инновационных процессов // Автоматика и телемеханика №11, 2002.

51. Гурман В.И. Принцип расширения в задачах управления. М.: Наука. Физматлит, 1997.

52. Денбиг К.Г. Теория химических реакторов. М., Наука, 1968.

53. Джефферс Дж. Введение в системный анализ в экологии. М., Мир, 1981.

54. Домбровский Ю.А., Онищенко Н.И., Тютюнов Ю.В.Рыбные популяции в стохастической среде: Модели управления и выживаемости. Ростов-на-Дону: Изд-во Ростовского университета, 1991,160 с.

55. Евилевич М.А., Брагинский Л.Н. Оптимизация биохимической очистки сточных вод. Л., Стройиздат, 1979, 159с.

56. Егорова Н.Е., Хачатрян С.Р. Применение дифференциальных уравнений для анализа динамики развития малых предприятий, использующих кредитно-инвестиционные ресурсы // Экономика и математические методы. 2006, т.42, №1, с.50-67.

57. Зубов В.И. Динамика управляемых систем. М., Наука, 1982, 286 с.

58. Зубов В.И. Устойчивость движения. М., Высшая школа, 1973, 272 с.

59. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М., Наука, 1975,495 с.

60. Ильяшенко Ю.С., Вейгу Ли. Нелокальные бифуркации. М., МЦНМО, 1999, 416 с.

61. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971. 400 с.

62. Касти Дж. Большие системы. Связность, сложность, катастрофы. М., Мир, 1982.

63. Кафаров В.В. Методы кибернетики в химии и химической технологии. М., Химия, 1968, 379 с.

64. Кафаров В.В., Перов В.Л., Мешалкин В.П. Принципы математического моделирования химико-технологических прцессов. М., Химия, 1974, 344 с.

65. Колмогоров А.Н. Качественное изучение математических моделей динамики популяции //Вопросы кибернетики, вып.25, 1972. С.100-106.

66. Крамере X., Вестертерп К. Химические реакторы. Расчет и управление ими. М., Химия, 1967.

67. Клейнер Г.Б., Тамбовцев В.Л., Качалов P.M. Предприятие в нестабильной экономической среде: рынки, стратегии, безопасность. М., Экономика. 1997.

68. Колесов Ю.Б., Семиченков. Моделирование систем. Динамические и гибридные системы. 2006, БХВ-Петербург.

69. Корсаков-Богатков С.М. Химические реакторы как объекты математического моделирования. М., Химия, 1967.

70. Красовский H.H. Теория управления движением. М., Наука, 1968,475 с.

71. Красовский A.A., Поспелов Г.С. Основы автоматики и технической кибернетики. М.-Л.: Госэнергоиздат, 1962, 600 с.

72. Куржанский А.Б., Варайя П. Задачи динамики и управления в гибридных системах// Труды международного семинара "Теория управления и теории обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби"/ Екатеринбург: Изд-во Уральского университета, 2005, с. 26-33.

73. Куржанский А.Б., Осипов Ю.С. Задачи управления с ограниченными фазовыми координатами.// Прикл.матем. и мех. 1968, т.32. вып2.

74. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М., Наука, 1977, 390 с.

75. Куржанский А.Б., Точилин П.А. Слабо инвариантные множества гибридных систем // Дифференциальные уравнения. 2008, т.44, №11, с. 1523-1533.

76. Кучин Б. Л., Якушева Е.В. Управление развитием экономических систем. Технический прогресс, устойчивость. М., Экономика, 1990.

77. Ланкастер К. Математическая экономика. М., Наука, 1972.

78. Левеншпиль О. Инженерное оформление химических реакторов. М., Химия, 1969.

79. Левич А.П. Структура экологических сообществ. М., 1980, 182 с.

80. Левич А.П. Возможные пути отыскания уравнений динамики в экологии сообществ // Журнал общей биологии. 1988. Т.89. №2. С.245.

81. Леонов Г.А. Стабилизационная проблема Брокетта// Автоматика и телемеханика. 2001. №5, 190-193 с.

82. Леонов Г.А., Шумафов М.М. Методы стабилизации линейных управляемых систем. СПб, Изд-во СП6ГУ,2005, 424 с.

83. Лопатин В.Н., Абатуров Б.Д. Математическая модель растительноядных млекопитающих со смешанной регуляцией. Журнал общей биологии. 1991, т.52, №2, с.773-783.

84. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М., Наука. 1972, 574 с.

85. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды М., 1982. 320 с.

86. Математическая экономика. Равновесные модели, оптимальное планирование и управление / Сб.переводов под ред. Б.С.Митягина. М., Мир, 1974.

87. Математическое моделирование / Под. Ред.Дж.Эндрюса, Р.Мак-Лоуна. М., Мир, 1979, 280 с.

88. Математическое моделирование: процессы в сложных и экологических системах / Под. Ред. А.А.Самарского, Н.Н.Моисеева, А.А.Петрова. М., Наука, 1986.

89. Математическое моделирование: методы описания и исследования сложных систем / Под. Ред. А.А.Самарского, Н.Н.Моисеева, А.А.Петрова. М., Наука, 1989.

90. Матрос Ю.Ш. Каталитические процессы в нестационарных условиях. Новосибирск: Наука, 1987, 232 с.

91. Матросов В.М., Маликов А.И. Вектор-функции Ляпунова в анализе динамических свойств систем со структурными изменениями. Изв. РАН. Теория и системы управления. 1998. В.2, с.47-54.

92. Матросов В.М., Анапольский Л.Ю., Васильев С.Н. Метод сравнения в математической теории систем. Новосибирск: Наука, 1978, 481 с.

93. Матросов В.М., Васильев С.Н., Москаленко А.И. Нелинейная теория управления и ее приложения. Физматлит, 2003.

94. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М., Наука, 1975.

95. ЮО.Меерков С.М. Вибрационное регулирование. Автоматика и телемеханика. 1973. №2, С.34-43.

96. Мееров Н.В., Системы многосвязного регулирования. М., Наука, 1965, 384 с.

97. Менджел М., Кларк К. Динамические модели в экологии поведения. М., Мир, 1992, 304 с.

98. ЮЗ.Месарович М., Мако Д., Такахара И. Теория иерархических многоуровневых систем. М., Мир, 1973, 344 с.

99. Моделирование процессов в природно-экологических системах/ Под ред.

100. B.И.Гурмана, А.И.Москаленко. Новосибирск, Наука, 1982, 178 с.

101. Моделирование и управление процессами регионального развития / Под ред.

102. C.Н.Васильева. М., Физматлит, 2001. 432 с.

103. Моделирование социо-эколого-экономической модели региона / Под ред. В.И. Гурмана, Е.В. Рюминой. М.: Наука, 2001. - 175 с.

104. Ю.Модели управления природными ресурсами / Под ред. В.И.Гурмана. М., 1981. 264 с.

105. Ш.Москвин Б.В., Михайлов Е.П., Павлов А.Н., Соколов Б.В. Комбинированные модели управления структурной динамикой информационных систем // Изв. вузов. Приборостроение. 2006. Т. 49, № 11. С. 7-12.

106. Москаленко А.И. Оптимальное управление моделями экономической динамики. Новосибирск, Наука, 1999, 185 с.

107. ПЗ.Мышкис А.Д., Хохряков А.Я. Бушующие динамические системы. Матем. сборник, 1958, 45, №3. С. 401-414.

108. Неймарк Ю.И. Метод точечных преобразований в теории нелинейных колебаний. Наука, 1972.

109. Неймарк Ю.И. О скользящем режиме релейных систем автоматического управления. Автоматика и телемеханика, 1957, т. 18, №1.

110. Пб.Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М., Л., ГИТТЛ, 1949, 550 с.117.0дум Ю. Основы экологии. М., Мир, 1975, 740с.

111. Островский Г.М., Волин Ю.М. Методы оптимизации химических реакторов. М., Химия 1976.

112. Охтилев М.Ю., Соколов. Б.В., Юсупов P.M. Интеллектуальные технологии мониторинга и управления структурной динамикой технических объектов. М., Наука, 2006, 410 с.

113. Паников Н.С. Кинетика роста микроорганизмов. М., Наука, 1992, 310 с.

114. Пененко В.В., Алоян А.Е. Модели и методы для задач охраны окружающей среды. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1985.

115. Печуркин Н.С. Популяционная микробиология. Новосибирск, Наука, 1978, 277с.

116. Пианка Э. Эволюционная экология. М., Мир, 1981, 399с.

117. Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний. М.-Л.: Наука, 1964.

118. Петров A.A. Экономика. Модели. Вычислительный эксперимент. М., Наука, 1996, 254 с.

119. Петров H.H. Об управляемости автономных систем. Дифференциальные уравнения. 1968. №4.

120. Петров H.H. Локальная управляемость автономных систем. Дифференциальные уравнения. 1968. №7.

121. Петров H.H. Решение одной задачи теории управляемости. Дифференциальные уравнения. 1969. №5.

122. Петросян Л.А., Захаров В.В. Математические модели в экологии. СПб, СПбГУ1997,254 с.

123. Полетаев И.А. Модели Вольтерра хищник-жертва и некоторые их обобщения с использованием принципа Либиха//Журнал общей биологии. 1973. Т.34, №1. С.43-57.

124. Полуэктов P.A., Пых Ю.А., Швытов И.А. Динамические модели экологических систем. Л., Гидрометеоиздат, 1980, 286с.

125. Попков Ю.С. Теория макросистем. Равновесные модели.

126. Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения. М., Мир, 1980, 607 с.

127. Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса. М., Прогресс, 1986.

128. Пых Ю.А. Равновесие и устойчивость в моделях популяционной динамики. М., 1983,184 с.

129. Пятницкий Е.С. Принцип декомпозиции в управлении механическими системами // ДАН СССР, 1988, т.ЗОО, №2.

130. Ризниченко Г.Ю., Рубин А.Б. Биофизическая динамика продукционных процессов. М., Ижевск, Институт комплексных компьютерных исследований. 2004, 464 с.

131. Роговская Ц.И. Биохимический метод очистки производственных сточных вод. М., Стройиздат, 1967,140с.

132. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М., 1973.

133. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическая биофизика. М., Наука, 1984, 304с.

134. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическое моделирование в биофизике. М., Наука, 1975.

135. Рувинский A.A., Зак Ю.А., Рейдман P.M. Математические модели и алгоритмы в системах управления картонажно-бумажным производством. М.,Лесная промышленность, 1971,232 с.

136. Румянцев В.В. Озиранер A.C. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М., Наука, 1987.

137. Розенвассер E.H., Юсупов P.M. Чувствительность систем управления. М., Наука, 1981.

138. Самойленко A.M. Перестюк H.A. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. Киев: Вища школа, 1987, 288 с.

139. Свирежев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ. М., Наука, 1978, 352с.

140. Свирежев Ю.М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии. М., Наука, 1983, 368 с.

141. Свирежев Ю.М., Елизаров Е.Я. Математическое моделирование биологических систем. М., Наука, 1972? 159 с.

142. Свирежев Ю.М., Суходольский Я.С. Динамика популяции в сложной трофической среде / Сб.: Математические модели в экологии и генетике. М., Наука, 1981, с.31-36.

143. Сибирский К.С., Шубэ A.C. Полудинамические системы. Кишинев: Штиинца, 1987, 272 с.

144. Смирнов Е.Я. Стабилизация программных движений. СПб., Изд-во СПбГУ, 1997, 306 с.

145. Смирнов Е.Я. О стабилизации программных движений систем переменной структуры// Вестник Ленингр. Унив-та. Сер. Мат., мех., астр. 1990. Вып.1, №2. С.40-43.

146. Смит Дж. М. Модели в экологии. М., Мир, 1976, 311 с.

147. Соминин М.А., Сергеев Г.А. О синтезе адаптивных инвариантных систем управления технологическими процессами. Вопросы кибернетики. Адаптивные системы управления. М., Наука, 1977.

148. Теория систем с переменной структурой. Под.ред. С.В.Емельянова. М., Наука, 1970.

149. Технология системного моделирования / Аврамчук Е.Ф., Вавилов A.A., Емельянов C.B. и др. Под общей ред. Емельянова C.B. и др. М.: Машиностроение, Берлин: Техника, 1988, 520 с.

150. Технология целлюлозы. В 3-х т. Т.1. Непенин H.H. Производство сульфитной целлюлозы. М., Лесная промышленность, 1976, 624с.

151. Тимофеев H.H., Свирежев Ю.М. Теория трофичбеских цепей и связанные с ней задачи оптимизации// Вопросы кибернетики. 1979, вып. 52. С. 5-18.

152. Уатт К. Экология и управление природными ресурсами. Количественный подход. М., Мир, 1971,464с.

153. Уильямсон М. Анализ биологических популяций. М., Мир, 1975.

154. Уткин В.И.Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. М., Наука, 1981.

155. Федоров М.П., Романов М.Ф. Математические основы экологии. СПб. Изд-во СПбГТУ,1999,156 с.

156. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М., Наука, 1985,224 с.

157. Франк-Каменецкий Д.А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. М., Наука, 1987,494с.

158. Фрэнке Р. Математическое моделирование в химической технологии. М., 1971, 272 с.

159. Хакен Г. Синергетика. М., Мир, 1980,404 с.

160. Цвиркун А.А. Основы синтеза структуры сложных систем. Наука, 1982.

161. Цвиркун А.А. и др. Структура многоуровневых и крупномасштабных систем. Наука, 1993.169.1Пильяк Д. Децентрализованное управление сложными системами. М., Мир, 1994, 576с.

162. Шустер Г. Детерминированный хаос. М., Мир, 1988.

163. Эйген М., Винклер Р. Игра жизни. М., Наука, 1979.

164. Экологические системы. Адаптивная оценка и управление // Под ред. К.С.Холинга. М., 1981,396 с.

165. Экономическая и финансовая политика в сфере охраны окружающей среды. / Под общей ред. В.И.Данилова-Данильяна. М., Изд-во НУМЦ Госкомэкологии России, 1999, 512 с.

166. Эммануэль Н.М., Кнорре Д.Г. Курс химической кинетики. М., Высшая школа, 1974, 400с.

167. А.С. 1110843 (СССР). Способ управления технологическим процессом и устройство для его осуществления / Соминин М.А., Суриков В.Н., Фесенко Е.П., Белокопытов Ю.А. БИ, 1984, №32.

168. Agrachev А.А., Liberzon D. Lie-algebraic stability criteria for switched systems. SIAM Journal on Control and Optimization. 2001. V.40, №1, pp.253-269.

169. Ayala F.J., Gilpin M.E., Etherenfeld J.G. Competition between species: theoretical models and experimental tests. Theoretical Population Biology. 1973. №4. P.331-356.

170. Bak P., Tang C., Creutz M. Self-organized criticality in the "Game of Life" // Nature. Vol.342, p.780-782.

171. Bak P., Tang C„ Wiesenfeld K. Self-organized criticality // Physical ReviewA. 1988. Vol. 38. №1, p.364-374.

172. Branicky M. Multiple luapunov functions and other analysis tools for switched and hybrid systems. IEEE Transaction on Automatic Control. V.43. P.475-482.

173. Brune D. Optimal control of the complete-mix activated sludge process // Environtmental Technology Letters. 1985. V.6, p.467-476.

174. Busby I.B., Andrews I.F. Dynamic modeling and control strategies for the activated sludge process. I.W.P.C.F., 1975, 47, №5, p. 1055-1080.

175. Canale R.P. Predator-prey relationships in the model for the activated process. -Biotechnol and Bioeng., 1969, 11, №5, p.887-907.

176. Cramer N.F., May R.M. Interspecific competition, predation and species diversity.: a comment. Journal of Theoretical Biology. 1972. №34. P.289-293.

177. Englund G. Importance of spatial scale and prey movements in predator caging experiments. Ecology, 1997, v.78, p.2316-2325.

178. Foraboschi F.P. Termotechnica, v. 14, №12, 1960.

179. Fujii K. Complexity-stability relationship of two-prey-one-predator species system model: local and global stability. Journal of Theoretical Biology. 1977. №69. P.613-623.

180. Gotelli N.J. Metapopulation models: the rescue effect, the propagule rain and the core-satelite hypothesis.-Amer.Nat., 1991, v. 100, p.768-776.

181. Graham A.F., Tien Chi. New approach to bacterial kinetics in wastewater. -J.Environ.Eng.Div.Proc. ASCE, 1977, 103, N EE 6, p. 1057-1074.

182. Gyllenberg M., Hanski I. Single-species metapopulation dynamics: a structural model.-Theor.Population Biology, 1992, v.42, p.35-61.

183. Hanski I., Gilpin M. Metapopulation dynamics: brief history anad conceptual domain. -Biological Journal of the Linnean Society. 1991. №42. P.3-16.

184. Harrison S., Taylor A.D. Empirical evidence for metapopulation dynamics. In "Metapopulation biology" ed. by Hansxi I.A., Gilpin M.E. Academic Press, San Diego. 1997. P. 27-42.

185. Hastings A., Harrison S. Metapopulation dynamics and genetics. Ann.Rev.Ecology and Systematics, 1994, v.25, p.167-186.

186. Hastings A. A metapopulation model with population jumps of varying sizes.-Math.Biosci., 1995, v. 128, p.285-298.

187. Hastings A. Global stability of two species systems. Journal of Mathematical Biology. 1978. №5. P.399-403.

188. Holling C.S. Resilience and stability of ecological systems. Ann. Review of Ecology and Systematics. 1973. №4. P.l-23.

189. Hsu S.B. Predator-mediated coexistence and extinction. — Mathematical Biosciences. 1981. №54. P.231-248.

190. Hespanha J.P., Liberzon D., Morse A.S. Logic-based switching control of a holonomic system with parametric modeling uncertainty. Systems and Control Letters.,1999, vol. 38, №3, p. 167-177.

191. HuItman B. Modelling microbial growth in wastewater treatment. — I.W.P.C.F., 1975, 47, №4, p. 843-850.

192. Kesten Y., Pnueli A. Timed and hybrid statecharts and their textual representation. -Lect. Notes in Comp. Sci. Springer-Verlag, 1992, pp.591-620.

193. KirIinger G. Permanence in Lotka-Volterra equations: linked predator-prey systems. — Mathematical Biosciences. 1986. № 82. P.165-191.

194. Levins R. Extinction. In: Some Mathematical Problems in Biology / Ed. By M.Gesternhaber. Providence, R.I.: AMS, 1970, p. 77-107.

195. Levins R. Some demographic and genetic consequences of environmental heterogeneity for biological control. Bulletin of the Entomological Society of America. 1969. № 15. P.237-240.

196. Liberzon D., Hespanha J.P., Morse A.S. Hierarchical hysteresis switching. Proc. 39th CDC, 2000 p.484-489.

197. Liberzon D., Morse A.S. Basic problems in stability and design of switched systems. IEEE Control Systems Magazine, 1999, vol. 19, №5, p.59-70.

198. Liberzon D., Hespanha J.P., Morse A.S. Stability of switched systems: a Lie-algebraic condition. Systems and Control Letters. 1999. V.37, №3, pp.117-122.

199. Maler O., Manna Z., Pnueli A. From Timed to Hybrid Systems. Real-Time: Thory in Practice. Lecture Notes in Comp.Sci. 600, p.447-484, Springer-Verlag, 1992.

200. Matveev A., Savkin A. Qualitative theory of hybrid dynamical systems. Birkhauzer, 2000.

201. Mitra S., Liberzon D., Lynch N. Verifying Average Dwell Time of Hybrid Systems. ACM Journal Name. Vol. 5. P. 1-77.

202. Murphy L.E. A nonlinear growth mechanism in size structured dynamics // J.Theor.Biol. 1983. V.104. №8. P.493-506.

203. Moilanen A., Hanski I. Metapopulation dynamics: effects of habitat quality and landscape structure. Ecology, 1998, v, 79, p. 2503-2515.

204. Mosekilde E., Mouritsen O.G. Modelling the dynamics of biological systems. SpringerVerlag. 1991.

205. Metapopulation Dynamics: Empirical and Theoretical Investigations / Ed. By M.E.Gilpin, I.Hanski. New York-London: Academic Press, 1991, 336 p.

206. Nee S., May R.M.Dynamics of metapopulations: habitat destruction and competitive coexistence. J.Animal Ecology, 1992, v.61, p. 37-40.

207. Pielou E.C. An introduction to mathematical ecology. Wiley-Interscience. 1969. 286 p.

208. Paine R.T. Food web complexity and species diversity. American Naturalist. 1966. №100. P65-75.

209. Puu Toni. Nonlinear economic dynamics. Springer-Verlag. 1992.

210. Schoener T.W. Alternatives to Lotka-Volterra competition: models of intermediate complexity. Theoretical Population Biology. 1976. №10. P.309-333.

211. Schoener T.W. Effect of density restricted food encounter on some single-level competition models. Theoretical Population Biology. 1978. №13. P.365-381.

212. Van der Schaft A., Schumacher H. An introduction to hybrid dynamical systems: Lecture Notes in Control and Information Sciences, №251. Berlin, 2000.

213. Wiens J. Populatio responsesto patchy enviroments. Ann. Rev. Ecology and Systematics. 1976, v.7, pp.81-120.

214. Wolkowicz G.S. Succesful invasion of a food web in a chemostat. Mathematical Biosciences. 1989. № 93. P.249-268.

215. Ye H., Michel A.N., Hou L. Stability theory for hybrid systems. IEEE Trans. Automatic Control. 1998, v.43, №4, p.461-474.

216. Zhang J., Johansson K.H., Lygeros J., Sastry S. Zeno hybrid systems// Int.J. of robust and nonlinear control, 11,5, p.435-451.

217. Статьи в других научных изданиях12а. Кириллов А.Н. Об оценке адекватности моделей объектов в задачах управления /

218. A.Н.Кириллов // Труды международной конференции "Устойчивость и процессы управления". СПбГУ. 2005. - С.1400 -1406.

219. Научно-методическое издание31а. Кириллов А.Н. Системы управления с переменной структурой технологическими объектами в ЦБП / А.Н.Кириллов, В.Н.Суриков. JL: ЛТИЦБП, 1989. - 52 с.

220. Тезисы докладов на научных конференциях32а. Кириллов А.Н. Об оптимизации скользящих режимов в системе управления с переменной структурой процессом обработки осадка сточных вод /А.Н.Кириллов,