Методы обобщенной задачи Римана в вычислительной гидродинамике тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Меньшов, Игорь Станиславович

• Меньшов, Игорь Станиславович
• доктор физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Меньшов, Игорь Станиславович

Введение

1. Метод обобщенной задачи Римана для скалярного уравнения сохранения

1.1. Автомодельная задача Римана.

1.2. Обобщенная задача Римана и ее решение

1.3. Модифицированная схема Годунова.

1.4. Результаты тестовых расчетов

1.4.1. Линейное уравнение.

1.4.2. Нелинейный случай - уравнение Бюргерса.

2. Обобщенная задача Римана для одномерных уравнений сжимаемой жидкости

2.1. Формулировка задачи и построение общего решения.

2.2. Сращивание асимптотических разложений.

2.3. Формулы решения для случая двучленного уравнения состояния среды

2.4. Численный метод на основе решения ОЗР.

2.5. Примеры численной реализации метода ОЗР

3. Обобщенная задача Римана для трехмерного случая

3.1. Математическая постановка задачи.

3.2. Общее решение уравнений первого приближения.

3.3. Определение констант.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы обобщенной задачи Римана в вычислительной гидродинамике»

Вычислительная гидродинамика - относительно молодая наука. Ее стаж насчитывает чуть больше пятидесяти лет. Но за это время она прошла большой путь в своем развитии. Были разработаны теоретические положения разностных схем, принципы построения математических моделей, фундаментальные основы вычислительной математики. Основы вычислительных методов закладывались в работах О.М. Белоцерковского О.М.Белоцерковский (1980, 1985, 1994); О. М.Белоцерковский (1994, 1997, 1998). Это - консервативный метод потоков, который лежит в основе практически любого метода конечного объема, метод крупных частиц, сеточно-характеристический метод, статистический метод частиц.

К семейству консервативных методов потока принадлежит метод, который был предложен С.К. Годуновым, получивший особенно широкое распространение и ставшим за последние несколько десятилетий одним из наиболее распространенных в мире методов вычислительной гидродинамики. На его основе были созданы мощные вычислительные технологии для решения прикладных и фундаментальных задач, связанных с расчетами сложных течений сжимаемой жидкости, в том числе: задач прикладной аэродинамики, взрывных процессов, термоядерного синтеза и многих других.

В основе метода Годунова лежит точное решение задачи Римана, более известной в газодинамике как задача о распде произвольного разрыва. С математической точки зрения эта задача представляет собой начальную задачу Коши для законов сохранения, определяющих движение сжимаемой жидкости, где начальные распределения параметров жидкости представляются кусочно-постоянными функциями с одной точкой разрыва. С точки зрения механики движения жидкости задача Римана описывает взаимодействие двух сжимаемых однородных потоков. Замечательной особенностью задачи является тот факт, что она, в силу автомоде л ьности, допускает точное аналитическое решение, которое представляется в компактной явной форме.

С. К. Годунов был первый, кто предложил использовать это решение в расчетных схемах для течений сжимаемой жидкости. Согласно его оригинальной идее, мгновенное состояние движущейся среды сперва аппроксимируется кусочно-постоянным распределением определяющих параметров (постоянным в пределах каждой расчетной ячейки). Другими словами, искомое течение заменяется на приближенное, состоящее из множества элементарных однородных потоков. Тогда последующее развитие во времени такового приближенного течения должно в точности определяться решениями множества задач Римана, возникающих на гранях счетных ячеек. Иными словами, последующая эволюция аппроксимирующего течения в течение некоторого конечного времени полностью определяется взаимодействием элементарных потоков на гранях, которое через решение задачи Римана представляется конечными аналитическими формулами.

Численный метод, построенный на основе такого рассмотрения, суть стандартный метод конечного объема, где поток на гране ячейки рассчитывается на точном решении соответствующей задачи Римана. Первоначально метод был разработан для модели одномерных течений газа (С. К. Годунов, 1959; Г. Б. Алалыкин, С. К. Годунов, И. Л. Киреева, Л. А. Плинер, 1970), затем обобщен на многомерный случай (С. К. Годунов, А. В. Забродин, Г. П. Прокопов, 1961; С. К. Годунов, А. В. Забродин, М. Я. Иванов, А. Н. Крайко, Г. П. Прокопов, 1976). Идеи С. К. Годунова нашли свое отражение также в построении аналогичных методов для стационарной сверхзвуковой газодинамики. Здесь аналогом задачи Римана о распаде произвольного разрыва является задача о взаимодействии двух стационарных сверхзвуковых потоков, которая, благодаря свойству автомодельности, также допускает точное аналитическое решение. Поэтому численный метод Годунова непосредственно может быть перенесен на стационарные уравнения сверхзвуковых течений (М. Я. Иванов, А. Н. Крайко, 1972). Основным достоинством этих подходов является то, что, эффективно используя теоретические основы динамики сжимаемых жидкостей, они базируются в большей мере на физических принципах аппроксимациях, а не на математических, как большинство других численных методов.

Таким образом, задача Римана, имея несомненно большой теоретический интерес, как одна из фундаментальных задач газовой динамики, оказалась также весьма эффективным инструментом в теории численных методов. Идея С. К. Годунова получили широкое продолжение во всем мире, и в настоящее время мы имеем уже устоявшийся термин в области вычислительной гидродинамики - методы годунов-ского типа.

Что касается возможных обобщений задачи Римана и метода Годунова, то здесь можно говорить о двух направлениях. Первое - это расширение класса начальных распределений, когда начальное состояние среды не предполагается кусочно-постоянным, а является, вообще говоря, произвольным кусочно-аналитическим распределением. Другими словами мы можем поставить задачу о распаде произвольного разрыва в неоднородном по пространству течении. При этом задача теряет свое важное свойство - свойство автомодельности - и построение точного решения становится проблематично. Однако, можно рассмотреть задачу в малой окрестности начального разрыва и попытаться построить аналитическое решение для главных членов, описывающих отклонение от автомодельного решения. Таким образом мы приходим к задаче, которая будет именоваться в дальнейшем как "Обобщенная задача Римана".

Второе обобщение, которое предлагается в настоящей работе, это - "Вариационная задача Римана". Математически она определяется как задача о нахождении первой вариации решения автомодельной задачи по отношению к малым вариациям начальных данных. С точки зрения динамики движущейся среды эта задача описывает в акустическом приближении взаимодействие двух однородных полей малых возмущений на фоне течения, возникающего при распаде автомодельного разрыва. Решение вариационной задачи Римана дает фактически результатное поле возмущений, образующееся при взаимодействии однородных полей. Поэтому эта задача играет в теории распространения звука роль, аналогичную той, что стандартная задача Римана играет в динамике сжимаемой жидкости.

В главной части представляемая на защиту работа посвящена исследованию этих двух задач. Безусловно они представляют большой теоретический интерес в газодинамике. Но кроме этого актуальность этих задач обуславливается тем, что при наличие их точного решения (а именно этому посвящена основная часть работы), они находят широкое применение в численных методах механики сжимаемых жидкостей и аэроакустики, в первую очередь для построения эффективных схем высокого порядка точности.

Метод Годунова в классической постановке обладает первым порядком точности, что при всей его привлекательности снижает точность получаемых результатов, особенно в сложных задачах с контактными разрывами, ударными волнами и сдвиговыми слоями. Поэтому с момента его открытия предпринимались многочисленные попытки обобщить метод Годунова на более высокий порядок точности.

В принципе, идея обобщения выглядит достаточно прозрачно. Она состоит в замене кусочно-постоянных аппроксимаций на аппроксимации более высокого порядка точности (например, кусочно-линейные или кусочно-квадратичные). Это было предложено сначала в работах В. П. Колгана (1972) и впоследствие активно развивалось в работах В. van Leer(1976), CollelafeWoodward (1984), А. В. Родионова (1987), Harten&Osher (1987) и многих других авторов.

Однако, когда кусочно-постоянная аппроксимация меняется на какую-либо другую, теряется основная "изюминка"метода - наличие точного аналитического решения задачи Римана. Поэтому во всех многочисленных публикациях, имеющих отношение к повышению порядка аппроксимации годуновских методов, решение неавтомодельной задачи таким или иным образом обходится и заменяется, в конечном счете, решением некой подходящей автомодельной задачи. При этом выхолащивается основополагающая идея Годунова об использовании именно точных аналитических решений. И, хотя многие работы несут в своем названии слова "схема Годунова повышенного порядка точности", по сути таковыми не являются.

Поэтому, строго говоря, для реализации метода Годунова второго порядка точности и выше необходимо иметь решение обобщенной задачи Римана в явном аналитическом виде. Новосибирской группой ученых под руководством В. М. Тешукова (1980) была проведена большая серия исследований, касающаяся точных решений многомерных уравнений Эйлера. Среди прочих была исследована и задача о многомерном распаде разрыва в неоднородном газе (обобщенная задача Римана) и были доказаны ее разрешимость и единственность в малой окрестности начального разрыва. Поэтому нами была предпринята попытка найти это решение в явном виде и построить на его основе истинный метод Годунова повышенного порядка аппроксимации.

Именно этому посвящены основные результаты, представляемые к защите. Мы начинаем с простейшего случая скалярного одномерного нелинейного уравнения сохранения, на примере которого показываем основные подходы к решению задачи и достаточно строго и последовательно проводим все построения, начиная с решения обобщенной задачи Римана и заканчивая самой численной схемой. Затем эта методика переносится на систему одномерных уравнений газодинамики и обобщается на случай многомерных уравнений. Следующим шагом метод обобщенной задачи Римана разрабатывается для стационарных сверхзвуковых потоков газа.

Вторая часть работы посвящена вариационной задаче Римана. Актуальность этой задачи в вычислительной гидродинамике обуславливается двумя обстоятельствами. Первое, наличие ее точного решения в явном виде дает выход на неявный метод Годунова. Метод Годунова традиционно использовался с явными временными схемами. Решение неявных уравнений сопряжено с решением нелинейных систем, которое реализуется, как правило, итерационным методом Ньютона. При этом возникает необходимость линеаризации невязки разностных уравнений, что сводится практически к линеаризации функции численного потока. Последняя в методе Годунова представляется весьма сложным нелинейным выражением, линеаризация которого до настоящего времени считалось в мире весьма проблематичным делом (Ьио ш фЕ. (1998)). Решение же вариационной задачи Римана фактически предоставляет линеаризацию годуновского численного потока.

Второе обстоятельство, обуславливающее актуальность вариационной задачи Римана, состоит в том, что она описывает основной элемент эволюции полей малых возмущений на фоне неоднородных течений, что, в свою очередь, имеет непосредственное отношение к задачам аэроакустики. Этот элемент - взаимодействие двух однородных полей возмущений. Поскольку эволюция поля малых возмущений может быть представлена как последовательное взаимодействие многочисленных однородных элементарных полей, вариационная задача Римана по сути является основополагающей в области аэроакустики.

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы. Первая глава посвящена постановке обобщенной задачи Римана на примере простого модельного скалярного уравнения, имеющего форму закона сохранения. Вводятся основные понятия и определения, обсуждаются основные элементы метода решения. Приводится точное аналитическое решение задачи и предлагается каким образом это решение можно задействовать при разработки численных методов. В результате получается численный метод, который фактически является прямым обобщением схемы Годунова на класс кусочно-линейных аппроксимаций. Тестовые расчеты, которые завершают главу, показывают, что предлагаемый подход, обладая формально вторым порядком аппроксимации, заметно превосходит по точности стандартные и хорошо известные в литературе методы.