Методы построения оценок и решений пространственных задач о трещинах в деформируемых телах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Шифрин, Ефим Ильич

• Шифрин, Ефим Ильич
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шифрин, Ефим Ильич

Введение.

Глава I. Плоская трещина нормального разрыва в безграничной линейно упругой среде

1.1. Постановка задачи.

1.2. Оценки энергии и объема при произвольной нагрузке

1.3. Изопериметрические оценки минимального собственного числа оператора, соответствующего задаче о трещине отрыва, снизу и объема трещины при однородной нагрузке сверху

1.4. Оценки минимального и максимального вдоль контура трещины коэффициентов интенсивности напряжений.

1.5. Изопериметрическая оценка объема трещины снизу в случае однородной нагрузки

1.6. Построение приближенных формул для определения исследуемых характеристик задачи о трещине отрыва в случае однородной нагрузки

Глава 2. Метод приближенного решения операторных уравнений и его применение к решению пространственных задач о трещинах.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Метод приближенного решения операторных уравнений

2.3. Применимость метода к решению некоторых смешанных задач и примеры расчета.

Глава 3. Плоская трещина нормального разрыва при наличии линейных связей мевду ее поверхностями

3.1. Постановка задачи.

3.2. Локальные и интегральные оценки решений

3.3. Методика приближенного решения и результаты расчетов.

Глава 4. Свойства одного класса псевдодифференциальных уравнений и их применение к оценкам решений задач о трещинах в неоднородных и нелинейных пространствах

4.1. Постановка задачи.

4.2. Теоремы сравнения. Локальные оценки решений

4.3. Изопериметрические неравенства. Интегральные оценки решений.

4.4. Связь между коэффициентами в асимптотике решения уравнения и правой части у границы области. Выражение приращения энергетической характеристики решения при вариации области через коэффициенты в асимптотике решения

4.5. Применение свойств исследуемых псевдодифференциальных операторов к анализу решений задач о трещинах в неоднородных и нелинейных пространствах

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы построения оценок и решений пространственных задач о трещинах в деформируемых телах»

При приложении усилий к телу, содержащему трещиноподобные дефекты, вблизи дефектов возникают области высокого уровня напряжений. Поэтов способность таких тел сопротивляться действующим на них силам заметно снижается. В то же время современные сложные конструкции и сооружения практически всегда содержат те или иные дефекты типа трещин, возникающие либо в процессе эксплуатации, либо изначально присущие используемым материалам.

В связи с этим возникает вопрос о возможности использования конструкции в случае обнаружения в ней трещины. Поиски путей расчета на прочность таких конструкций привели к созданию различных теорий разрушения тел с трещинами, йшснилось, что следует различать случаи, когда возникающие в окрестности края трещины зоны пластичности и нелинейного деформирования материала малы по сравнению с размерами трещины и расстояниями от края трещины до границы тела и когда указанные размеры сравнимы. Если размеры пластической области остаются малыми практически вплоть до разрушения, то такое разрушение называется квазихрупким.

Основы механики хрупкого разрушения были заложены Гриффит-сом [iOO, IOl]. По Гриффитсу, страгивание трещины происходит тогда, когда приращение энергии деформации при прорастании трещины достигает энергии, идущей на образование новой свободной поверхности. Впоследствии этот критерий был обобщен на квазихрупкий случай [lI2, 13ij, когда энергия расходуется не только на образование новой свободной поверхности, но и на образование новой малой пластической зоны у края трещины. Были предложены также другие критерии, например силовые (Г.И. Баренблатт [8-Ю] , Дж. Ирвин [П4], В.В. Новожилов [55, 5б]), основанные на анализе характеристик локального поля напряжений, и деформационные, связанные с величиной раскрытия трещины у ее кончика (М.Я. Леонов, В. В, Панаскж [48 , 59], Дагдейл [9б], Уэлс [l57]).

Эти подходы, отличающиеся описанием физических явлений, влияющих на трещиностойкость и имеющие различные области применимости, с математической точки зрения становятся эквивалентными при больших размерах трещин и малых зонах пластичности. Напомним теперь, как выглядит критерий прорастания трещины в таком случае.

Как известно, решения задач линейной теории упругости для тел с трещинами не являются вполне корректными и дают бесконечно большие значения деформаций и напряжений у края трещины. Однако в квазихрупком случае упругое решение близко к точному вне малой пластической зоны. Вследствие этого условие страгивания трещины может быть определено с помощью упругого решения. Главные члены компонент тензора напряжений упругого решения у кончика трещины имеют особенность порядка -0,5. Коэффициенты при этих особенностях и определяют, будет ли развиваться трещина. Связь мевд различными критериями прорастания трещины проиллюстрируем на примере трещины нормального разрыва. Пусть трещина расположена в плоскости X =0, тогда напряжение (Г,, в плос

3 -1/2 65 кости трещины у ее края имеет вид 6"33= INS +0(S J где S - расстояние по нормали до контура, ограничивающего трещину. Обозначим нормальное перемещение поверхности трещины через uS. Из решения плоской задачи, отвечающей сечению трещины плоскостью, нормальной к контуру в точке его гладкости, получается, что вблизи ограничивающего трещину контура

Здесь Е,^ - модуль упругости и коэффициент Пуассона материала.

Приращение энергии при продвижении трещины определяется формулой Ирвина (в пространственном случае получена Г.И. Баренблаттом [II, 52] ) А/ где i'S - приращение площади, занимаемой трещиной.

Таким образом, локальное поле напряжений, раскрытие у края трещины и приращение энергии при вариации области в окрестности некоторой точки контура определяются одним и тем же коэффициентом Л/ . Согласно критериям линейной механики разрушения рост трещины в окрестности рассматриваемой точки контура начинается, когда коэффициент интенсивности напряжений /\/ в этой точке достигает критического значения |J - Л/т. Обычно используются другие величины, отличающиеся от указанной лишь множителем: модуль сцепления К = Т\ m по Г.И. Баренблатту и критический коэффициент интенсивности напряжений К, -AL по Дж. Ирвину.

Хс '1

Кроме указанных локальных характеристик решения упругой задачи, важными являются и некоторые интегральные характеристики (энергия, компоненты "объема"). Компоненты "объема" (проинтегрированные по области трещины скачки смещений) определяют главные члены возмущения, вносимого трещиной в дальнее поле напряжений и потому существенны при подсчете эффективных характеристик деформирования среды с множеством трещин [бб], а также важны при анализе кинетики роста трещин в условиях, когда имеется приток газа или жидкости в трещину [22J.

Таким образом, при анализе деформирования и разрушения ква-зихрушшх тел с трещинами необходимо определять перечисленные с выше характеристики упругого решения. Их исследованию посвящено большое количество работ. Однако поскольку задачи, особенно пространственные, для тел с трещинами очень сложны, вопрос об определении этих характеристик и в настоящее время остается недостаточно изученным. Еще более сложными и менее изученными являются пространственные задачи о трещинах в телах, имеющих упругие включения, либо обладающих более сложными механическими свойствами, такими как неоднородность и нелинейность. Поэтому актуальным является исследование и решение пространственных задач о трещинах как в однородных линейно упругих телах, так и в телах с иными механическими свойствами. Этим вопросам и посвящена настоящая диссертация.

Все работы, относящиеся к задачам механики разрушения для тел с трещинами, можно разбить на три основных направления: построение аналитических решений в случае канонических областей, занимаемых трещиной и телом; получение гарантированных оценок решений или некоторых его характеристик; разработка и реализация на ЭВМ численных методов решения.

Получить аналитические решения удается лишь для небольшого количества пространственных задач, соответствующих частным конфигурациям трещин и, кап правило, простым условиям нагружения. Среди них, например, задачи о плоских трещинах в упругом пространстве, имеющих в плане формы полуплоскости [73, 67, 105], внутренности и внешности круга [45, 136, 147, 137, 50, 88, 148, 72, 124], близкую к кругу [59, 5l], внутренности и внешности эллипса [46, 99, 117, 118, 138, 155, 139, 119, 115], концентрического кольца [36], пары кругов [7l] и некоторые другие. Подробный обзор имеющихся в этой области результатов представлен в[148,

120, бо]. Поскольку запас аналитических решений невелик и некоторые из них являются достаточно громоздкими и не очень удобными для исследования, в последнее время все большее внимание уделяется второму и третьему из перечисленных направлений.

Качественные методы исследования для получения оценок широко применяются в различных областях механики (в задачах теории упругости о кручении стержней [62], контактных задачах [1б], в теории пластичности [г?] и др.). В механике разрушения такой подход начал развиваться сравнительно недавно, с 1975 г., когда появилась работа Р.В. Гольдштейна и В.М. Ентова [2о]. В этой работе были установлены теоремы сравнения в задаче о плоской трещине нормального разрыва в линейно упругом пространстве, форцу жруемые следующим образом: I) при увеличении раскрывающих трещину усилий раскрытие трещины не убывает в каждой точке; 2) при действии раскрывающих усилий в случае расширения области, занимаемой трещиной, раскрытие не убывает в каждой точке, а вследствие этого не убывают также значения коэффициентов интенсивности напряжений на общей части контуров, ограничивающих эти области.

Результаты получены применением принципа максимума к смешанной краевой задаче для гармонической в полупространстве функции, к которой сводится с помощью представления Папковича-Нейбе-ра рассматриваемая задача. Благодаря указанным утверждениям оказывается возможным получение достаточных условий разрушения или неразрушения тела с трещиной сложной формы, путем анализа напряженно-деформированного состояния тела с трещинами более простой формы. В работах [21, 97, 24] эти исследования были продолтеоремы сравнения распространены на случай, когда допускаются знакопеременные нормальные нагрузки, в результате чего могут произойти налегания поверхностей трещины. В этой работе доказательство опиралось на сравнение решений вариационных неравенств, полученных в [Юб]. В [2l] при помощи метода последовательных приближений теоремы сравнения доказаны для трещины отрыва, расположенной в срединной плоскости достаточно толстого слоя.

Доказанные в цитированных выше работах утверждения позволяют сравнивать не только раскрытия объемлемой и объемлющей трещин и коэффициенты интенсивности напряжений в точках касания ограничивающих их контуров, но также "объемы" этих трещин. Однако получаемые отсюда оценки "объемов" не являются достаточно точными. В связи с этим были предприняты попытки построения других оценок "объемов", но существенных успехов в этом направлении достигнуто не было. В [2l] было высказано предположение о справедливости изопериметрического неравенства: в случае однородной нагрузки "объем" трещины, занимающей произвольную область, не превосходит" объема" круговой трещины той же площади. Однако авторам работы не удалось доказать это предположение. Перечисленными утверждениями по существу ограничиваются имевшиеся результаты в области построения оценок решений пространственных задач о трещинах. Наличие оценок решений значительно упрощает исследование задачи, а иногда и совсем исключает необходимость ее полного решения. Поэтому интерес представляет как получение новых оценок в уже рассматривавшихся задачах, так и распространение методов построения оценок на более широкий класс задач.

Развитие качественных методов, конечно, не исключает потребности в разработке численных методов, поскольку необходимо иметь достаточно широкий набор эталонных решений. Вместе с тем, априорные оценки позволяют контролировать правильность и точность приближенных решений.

При численном решении пространственных задач для тел с трещинами различаются методы, при которых решаются уравнения теории упругости во всем трехмерном теле (методы конечных разностей, прямых, конечных элементов) и методы, при которых решаются уравнения на границе тела.

Методы конечных разностей, прямых и наиболее распространенный в настоящее время метод конечных элементов являются достаточно универсальными и применимыми к широкому классу задач. Однако поскольку решение ведется во всем трехмерном теле, для реализации соответствующих программ требуются большие объемы памяти и счет занимает много машинного времени. В процессе решения приходится иметь дело с системами линейных алгебраических уравнений высокого порядка, что также вызывает серьезные трудности. Кроме того, когда в решаемой задаче имеются области резкого изменения и высокого уровня напряжений, как например бывает в случаях наличия трещин или других концентраторов напряжений, в таких областях оказывается достаточно трудно обеспечить удовлетворительную точность.

Имеется небольшое количество работ, в которых пространственные задачи о трещинах решались конечно-разностным методом (отметим [83]) и методом прямых, заключающимся в том, что делается конечно-разностное разбиение по двум переменным и решается система обыкновенных дифференциальных уравнений по третьей переменной [Ю2]. Наибольшее распространение получил метод конечных элементов. Здесь разработаны способы уточнения поля напряжений у края трещины, например, сгущение сетки, использование сингулярных элементов, использование связи между коэффициентами интенсивности напряжений и скоростью приращения энергии и др. Этим методом были решены различные задачи о трещинах, среди них осесимметричные, задачи о трещинах, расположенных в призматических образцах, в полых цилиндрах и некоторые другие [149, 123, 125, 109, 152, 153, 86, 87, 134, 82, 129, 108, III].

Столь же широко, как метод конечных элементов, для решения пространственных задач о трещинах в упругих телах применяются методы, в которых сперва строятся интегральные либо интегродифн ференциальные уравнения на границе тела, а затем они решаются тем или иным способом. Существует несколько способов сведения уравнений теории упругости к уравнениям на поверхности тела. Наиболее распространенным является метод, использующий тождество Сомильяна, в котором смещения внутри тела выражаются через смещения и напряжения на границе и затем осуществляется переход к пределу, когда последовательность внутренних точек сходится к границе. Получаемые при этом уравнения обладают тем достоинством, что на единицу понижается размерность задачи. Однако при решении задач о трещинах возникают двусторонние поверхности, в результате чего уравнения на границе тела вырождаются. Такие трудности обходятся при помощи разных приемов, например замена трещины тонким вырезом, использование особенностей конкретных задач, в частности использование симметрии относительно плоскости трещины и другие. Определенные неудобства связаны и с тем, что в общем случае уравнения приходится решать на неплоских поверхностях тела, которые нужно аппроксимировать кусками простых поверхностей. Вместе с тем, многие пространственные задачи механики разрушения были решены путем численной реализации указанных уравнений, см. например [90-95, 42, 150, 151, 107], причем отмечаются преимущества метода граничных интегральных уравнений по сравнению с методом конечных элементов не только в связи с уменьшением размерности задачи и вследствие этого уменьшением времени счета и необходимого объема памяти, но и с увеличением точности [42 , 92 , 93].

Несколько иной подход к получению интегральных уравнений на границе тела, основанный на использовании компенсирующих (фиктивных) нагрузок, был предложен в работах [l-З, 12б]. Соответствующие уравнения также применялись при решении некоторых пространственных задач о трещинах [38, 4, 130].

Удобными для исследования и решения оказываются интегродиф-ференциальные уравнения, записанные относительно скачков смещений на поверхности трещины. В случае плоской трещины такие уравнения приведены, например, в [18].

Поскольку описанные выше методы численного решения довольно трудны, занимают много машинного времени и не всегда обеспечивают достаточную точность, предпринимаются попытки создания менее универсальных, но более быстродействующих, простых и надежных способов расчета. Иногда эти способы относятся к более узкому классу задач, а иногда предназначаются для решения конкретных задач. Перечислим некоторые из них.

Альтернирующий метод применялся в основном для решения задач о трещинах, перпендикулярных границе полупространства и выходящих на нее [143-146, 154, 140, 141, 104, 122]. Метод разложения по собственным функциям использовался для задач о трещинах в пластинах конечной толщины [l03, 142]. В [б] предложены уравнения для задач о трещинах нормального разрыва в безграничном пространстве, контур которых состоит из отрезков прямых и дуг окружностей, при этом были использованы известные точные решения задач о трещинах, занимающих круговую область и полуплоскость. С помощью этих уравнений решены задачи о трещине, занимающей прямоугольную [бв] и треугольную области [бэ]. В [l27] построены уравнения для трещины нормального разрыва произвольного очертания в плане и решены некоторые примеры. В [Пб] получены и решены уравнения для прямоугольной трещины. В [15б] при решении задачи о прямоугольной трещине использовано сингулярное интегральное уравнение относительно скачка смещений. В [23] предложен вариационно-разностный метод для решения интегро-диффер енциального уравнения задачи о трещине нормального разрыва и проведено несколько методических расчетов. В дальнейшем, с помощью этого метода был решен ряд задач, в частности задачи о взаимодействии двух эллиптических трещин, расположенных в одной плоскости [l9]. В [98] применением прямого вариационного метода решена задача о прямоугольной трещине.

В связи с отсутствием универсальных программ, обеспечивающих высокую точность решения разнообразных пространственных задач о трещинах, количество различных приемов решения тех или иных задач постоянно увеличивается. Разработка новых и модификации уже применявшихся методов решения нужны для получения достоверных результатов в конкретных пространственных задачах, что представляет самостоятельный интерес и, кроме того, позволяет лучше оценивать достоверность при решении новых, более сложных задач.

Целью настоящей работы является разработка методов построения оценок, получение с их помощью новых эффективных оценок локальных и интегральных характеристик решения пространственной задачи о плоской трещине в однородном линейно упругом теле и распространение такого рода оценок на материалы с более сложными механическими свойствами (учет влияния армирующих элементов, неоднородности и нелинейности), построение удобных в использовании, простых и в то же время обоснованных инженерных форцул для приближенного определения исследуемых величин, а также разработка эффективного численного метода решения пространственных задач о трещинах, реализация его в виде алгоритма и программы и решение новых задач.

Научную новизну работы составляют следующие результаты. В задаче о плоской трещине отрыва, расположенной в безграничном, однородном,линейно упругом пространстве получены оценки потенциальной энергии и объема трещины сверху и указаны способы получения оценок снизу. В случае однородной нагрузки построены другие, более точные оценки. А именно, доказана изопериметриче-ская оценка объема трещины сверху через объем круговой трещины той же площади и получена изопериметрическая оценка объема снизу через интегральную характеристику решения уравнения Пуассона.

Предложены две приближенные формулы, выражающие объем трещины, занимающей выпуклую плоскую область, через более просто вычисляемые величины: геометрические характеристики области, интеграл от решения уравнения Пуассона. Предложена также приближенная формула для определения коэффициентов интенсивности напряжений через локальные характеристики решения уравнения Пуассона. Получены оценки минимального и максимального вдоль контура трещины коэффициентов интенсивности напряжений через интегральные характеристики решения.

Методы построения оценок распространены на достаточно широкий класс интегродифференциальных уравнений, в результате чего теоремы сравнения, изопериметрические неравенства и некоторые другие оценки доказаны для решений пространственных задач о трещинах отрыва в случаях, когда между поверхностями трещины имеются линейные связи, материал является неоднородным со степенной зависимостью модуля упругости от расстояния до плоскости расположения трещины, а также (при определенных предположениях) и когда материал является физически нелинейным со степенным упрочением. В задаче о трещине отрыва, меаду поверхностями которой имеются линейные связи, доказана также теорема сравнения решений в зависимости от жескости связей.

Предложен эффективный метод приближенного решения операторных уравнений, с помощью которого решены задачи о трещинах отрыва в условиях отсутствия и наличия связей между поверхностями трещины.

Исследована разрешимость задач о трещине нормального разрыва, расположенной в срединной плоскости упругого слоя, и трещине произвольного разрыва, расположенной в безграничном упругом пространстве, ограниченном упругом теле и на границе раздела двух полупространств с различными упругими свойствами. В задаче о трещине, находящейся в ограниченном упругом теле, доказана сходимость метода последовательных приближений в случае, когда трещина удалена от поверхности тела. Удаленность определяется геометрией тела, расстоянием от трещины до поверхности тела и площадью области, занимаемой трещиной.

Далее рассмотрим структуру работы и более подробно остановимся на полученных результатах.

Содержание диссертации изложено в четырех главах и приложении

Первая глава посвящена построению оценок и приближенных формул для определения объема и коэффициентов интенсивности напряжений в задаче о плоской трещине нормального разрыва в линейно упругом пространстве. В п. I.I дается постановка задачи, приводятся различные виды уравнений, к которым она сводится (граничная задача для гармонической функции, псевдодифференциальное уравнение относительно скачка нормального смещения в плоскости расположения трещины), вводятся исследуемые характеристики решения. В п. 1.2 строятся оценки энергии и объема трещины сверху и снизу при произвольной нагрузке. При этом использованы методы получения априорных оценок решений краевых задач для сильно эллиптических псевдодифференциальных уравнений, к числу которых относится и изучаемое уравнение.

В п. 1.3 доказываются изопериметрические неравенства для минимального собственного числа соответствующей краевой задачи для граничного псевдодифференциального уравнения (с его помощью уточняются оценки энергии и объема сверху при произвольной нагрузке) и объема трещины в случае однородной нагрузки. Предположение о справедливости второго из этих неравенств было высказано в [2l]. Рассмотрим связь мевду доказательствами указанных изопериметрических неравенств и доказательствами изопериметри-ческих неравенств для величин, связанных с оператором Лапласа, которые приводятся в [б2]. Приводимые в [б2] доказательства проводятся по одной схеме. Сперва строится функционал, экстремальным значением которого является исследуемая величина, а затем делается та или иная операция симметризации, в результате которой значение функционала изменяется в одну сторону (убывает либо возрастает). Монотонность изменения функционала при симмет-ризациях доказывается благодаря тому, что в функционал входят выражения, определяемые оператором Лапласа и связанные с геометрическими характеристиками областей, описываемых используемыми функциями. А изменение геометрических характеристик области при симметризациях известно. В рассматриваемой задаче,благодаря сильной эллиптичности оператора,также удается построить функционалы, экстремальными значениями которых являются минимальное собственное число оператора и объем трещины. В связи с тем, что исследуемое псевдодифференциальное уравнение связывает граничные значения гармонической в полупространстве функции и ее нормальной производной, введенные функционалы можно переписать так, чтобы они включали интегралы от функций (либо их квадратов) и от формы, определяемой оператором Лапласа в полупространстве. После этого можно провести некоторую, введенную в работе, операцию симметризации, которая для функций, имеющих вложенные друг в друга невырожденные поверхности уровня, совпадает с симметризацией Штейнера поверхностей уровня. Поскольку симметризация Штей-нера вложенных друг в друга поверхностей уровня была использована Г. Полна и Г. Сегё [б2] для доказательства изопериметриче-ского неравенства в задаче об электростатической емкости, то удается воспользоваться развитой там техникой. В результате последовательности таких операции приходим к изопериметрическим неравенствам, доказываемым в этом пункте. Результаты пп. 1.2 и 1.3 опубликованы в работах [.25, 26J.

В п. 1.4 устанавливаются оценки минимального вдоль контура трещины коэффициента интенсивности напряжений сверху и максимального снизу через интегральные характеристики решений. Оценка максимального коэффициента интенсивности напряжений снизу может дать достаточное условие распространения трещины. Отметим, что эту оценку можно применять и в тех случаях, когда в исходную трещину нельзя вписать трещину достаточно большой площади и простой формы, в связи с чем применение принципа сравнения становится затруднительным. Доказательство оценок использует возможность представления приращения энергии деформации при определенном изменении области трещины в двух видах: с помощью формулы Ирвина и непосредственно из определения и формулы Клапейрона. Показано, как такого рода оценки могут быть перенесены на случай трещины произвольного разрыва. Когда к поверхностям трещины приложены однородные нормальные усилия, из теорем сравнения и анализа возможности вписывания в исходную трещину и описывания вокруг нее круговых трещин, выводятся также оценки минимального и максимального коэффициентов интенсивности напряжений через минимальное и максимальное значения кривизны ограничивающего трещину контура. Результаты п. 1.4 опубликованы в [25, 27-29, 7б].

В п. 1.5 устанавливается изопериметрическая оценка объема снизу в случае однородной нагрузки. Объем трещины оценивается через интегральную характеристику решения уравнения Пуассона (в задаче кручения эта характеристика соответствует жесткости при кручении стержня, форма сечения которого совпадает с формой трещины) и площадь области, занимаемой трещиной. Для получения этой оценки введен функционал, зависящий от области. Доказано, что значения функционала на областях фиксированной площади ограничены сверху и, в предположении существования области, на которой реализуется максимальное значение функционала, получено необходимое условие экстремальности. Показано, что оно выполняется на круговой области. Результаты п. 1.5 приведены в работах [27, 29, 34].

Пункт 1.6 посвящен построению приближенных формул в соответствии с принципами построения такого типа формул, изложенными в [62]. Напомним коротко эти принципы. Пусть мы хотим выразить величину Х(б-) чеРез более просто вычисляемые величины У г (£),.•, ЗДесь все величины являются функционалами, определенными на некотором классе областей. Можно считать приближенно выполненной формулу X ~f (>J 1 (G-) ,. -, ^ ^ (G-^ если I • ^ (?) /f (.У i »• • •»1 п.СЙ) на эллиптических или прямоугольных областях. 2.3къ что на рассматриваемом классе областей G- справедливы неравенства k^Xf^)/ Ч и ~ кг ■ Зв при определенных преобразованиях области, например симметризациях, величины изменяются в одну сторону (растут или убывают). Именно с помощью этих критериев в [62] анализировалась возможность применения приближенных формул, предложенных Сен-Венаном для определения жесткости при кручении стержня, Расселом для определения электростатической емкости и Полна и Сегё для вычисления основной частоты колебаний мембраны. В п. 1.6 построены две приближенные формулы для объема трещины, удовлетворяющие перечисленным выше условиям. Одна выражает объем трещины, занимающей выпуклую область, через площадь области и интеграл от решения уравнения Пуассона (соответствующий жесткости при кручении стержня), вторая - через площадь области и длину ограничивающего ее контура. Обнаружено также хорошее соответствие для выпуклых областей, ограниченных гладкими контурами, между коэффициентами интенсивности напряжений и коэффициентами в асимптотике у границы области решения уравнения Пуассона. Это дало возможность построить приближенную формулу для коэффициентов интенсивности напряжений. Результаты п. 1.6 опубликованы в [27, 29, 34] .

Эффективность предлагаемых оценок и приближенных формул гл. I иллюстрируется на примерах. Рассматриваются как задачи, решения которых хорошо известны, с целью выяснения близости между оценочными или приближенными и точными значения!® изучаемых величин, так и нерешенные задачи, для которых получены новые результаты.

В главе 2 предлагается способ приближенного решения операторных уравнений и показывается, как он может быть применен к решению пространственных задач о трещинах. В п. 2.1 дается краткое описание методов решения интегродифференциальных уравнений, возникающих в задачах о трещинах. В частности, рассматриваются вариационные методы и обсуждаются трудности их реализации, заключающиеся в следующем: I) если брать в качестве базисных функций такие, которые имеют правильную асимптотику у границы области и обладают тем свойством, что уже небольшое их количество может достаточно хорошо аппроксимировать решение, то сложно находить результат применения к ним оператора, а вследствие этого и соответствующие скалярные произведения, необходимые для получения системы линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения решения по рассматриваемому базису; 2) если удается выбрать базис, для которого скалярные произведения можно вычислить, то, как правило, для хорошей аппроксимации решения приходится брать много элементов базиса и решать системы уравнений высокого порядка. Кроме того, возникают серьезные проблемы с определением коэффициентов интенсивности напряжений.

В п. 2.2. предлагается метод приближенного решения, позволяющий обойти указанные трудности. Рассматриваются две его разновидности. Сущность метода заклинается в использовании двух систем базисных функций. Одна из них состоит из функций, имеющих правильную асимптотику у границы области, а другая подбирается так, чтобы легко вычислялись результаты применения оператора к ее элементам. Вследствие этого оказывается возможным приближение решения с помощью небольшого числа элементов первого базиса, причем без труда вычисляется матрица системы уравнений для определения неизвестных коэффициентов. Доказана сходимость предложенного метода. Изложение ведется в общем виде, пригодном для применения к широкому классу задач.

В п. 2.3 показано, как предложенный метод может быть применен к решению задач о трещинах и контактных задач. Приведены примеры численного расчета задач о трещинах отрыва в упругом пространстве при различных формах трещины. Результаты гл. 2 опубликованы в [77 , 78].

Последующие две главы посвящены построению оценок решений и решению пространственных задач о трещинах отрыва в материалах, обладающих различными механическими свойствами.

В главе 3 рассматривается задача о трещине отрыва в линейно упругом пространстве в предположении, что между поверхностями трещины имеются линейные связи. Таким образом, можно приближенно описывать развитие трещины в армированном материале. Возможность учета арматуры наличием связей между поверхностями трещины отмечалось в работе [во]. Однако там не были исследованы ни разрешимость получающихся уравнений, ни свойства их решений. В п. 3.1 дается постановка задачи. В п. 3.2 свойства задачи о трещине в линейно упругом пространстве без связей между поверхностями трещины, рассмотренные в гл. I, переносятся на случай наличия линейных связей. А именно, доказываются теоремы сравнения и изопериметрические неравенства. Причем доказанные теоремы сравнения являются более сильными, чем полученные в [20] даже при условии отсутствия связей, поскольку допускают знакопеременные нагрузки, налегания поверхностей трещины и утверждают строгие неравенства между раскрытиями трещины при изменении нагрузки и расширении области. В отличие от [24] , теоремы сравнения для случая налегания поверхностей трещины доказаны без обращения к вариационным неравенствам. Кроме того, изучено изменение раскрытий трещины и коэффициентов интенсивности напряжений в зависимости от жесткости связей. Здесь доказательства опираются на возможность представления изучаемого интегродифференциального уравнения в виде уравнения, связывающего граничные значения гармонической в полупространстве функции и ее нормальной производной.

В п. 3.3 представлены расчеты задачи о трещине, имеющей форцу круга и прямоугольника при различных характеристиках связей. Задача о круговой трещине сводилась к интегральному уравнению с помощью известного решения задачи о круговой трещине в линейно упругой среде при осесимметричной нагрузке, и затем решалась численно. Задача о прямоугольной трещине решалась при помощи метода, предложенного в гл. 2. Основные результаты гл. 3 опубликованы в [7б].

Глава 4 посвящена распространению теорем сравнения изопери-метрических неравенств и некоторых других свойств на псевдодифференциальные уравнения достаточно общего вида и их применению к задачам о трещинах отрыва в неоднородном материале со степенной зависимостью модуля Юнга от расстояния до плоскости расположения трещины и при использовании принципа суперпозиции обобщенных перемещений Н.Х. Арутюняна, в физически нелинейном материале со степенной зависимостью между интенсивностями напряжений и деформаций сдвига. Критерии развития трещины в неоднородном и нелинейном материалах пока окончательно не установлены и продолжают выясняться, поэтому еще больший интерес вызывает исследование свойств решений задач о трещинах в таких материалах. В п. 4.1 дается постановка задачи. Указываются примеры механических задач, сводящихся к исследуемым уравнениям. В п. 4.2 теоремы сравнения распространяются на изучаемый класс уравнений. Доказательства здесь основаны на положительной определенности операторов и установленном в этом пункте свойстве, механический смысл которого для задач, сводящихся к указанным уравнениям, состоит в следующем: в плоскости трещины, вне нее действуют только растягивающие нормальные усилия. Результаты п. 4.2 опубликованы в [30, 32, 33] .

В п. 4.3 на рассматриваемый класс уравнений переносятся изопериметрические неравенства. При этом существенно используется теория интерполяционных пространств в сочетании с известными изопериметрическими неравенствами для оператора Лапласа. Результаты п. 4.3 опубликованы в [зз]. В п. 4.4 устанавливаются связи между коэффициентами в асимптотиках решения уравнения у границы области и правой части у границы вне области, что является аналогом связи между нормальными смещениями и напряжениями у края трещины в линейно упругом случае. С помощью полученного соотношения выводится формула, связывающая приращение соответствующей квадратичной формы уравнения и коэффициенты в асимптотике решения у границы области при вариации области (аналог формулы Ирвина). Результаты п. 4.4 опубликованы в [зз] .

В п. 4.5 дается механическая интерпретация результатов гл. 4 для задач о трещинах в неоднородном и нелинейном пространствах.

Приложение посвящено доказательствам разрешимости уравнений, отвечающих некоторым пространственным задачам о трещинах. В п. П1 дается постановка задачи и напоминаются некоторые результаты из функционального анализа, на которые опираются приводимые в дальнейшем доказательства. В п. П2 доказывается однозначная разрешимость в пространствах Соболева-Слободецкого уравнений задачи о трещине отрыва, находящейся в срединной плоскости упругого слоя, и задачи о трещине произвольного разрыва, расположенной в упругом пространстве и на границе раздела двух полупространств с различными упругими свойствами. Во всех случаях доказывается сильная эллиптичность соответствующих операторов, из которой и следует однозначная разрешимость. Эти результаты опубликованы в [26, 28].

В ПЗ доказывается нормальная разрешимость задачи о трещине произвольного разрыва в ограниченном упругом теле, а в случае, когда трещина "удалена" от поверхности тела и однозначная разрешимость этой задачи. Доказательство основано на представлении оператора, отвечающего изучаемой задаче, в виде суммы двух операторов. Один из них соответствует задаче о трещине в безграничной среде и является обратимым, другой учитывает влияние границы тела. Доказывается, что второй оператор вполне непрерывен, а когда граница тела "удалена" от поверхности трещины, он становится малым по норме. Отсюда в случае трещины, "удаленной" от поверхности тела, следует однозначная разрешимость и сходимость метода последовательных приближений. Отметим, что согласно полученным условиям, трещина может считаться "удаленной" от поверхности тела даже в случае, когда она расположена сколь угодно близко от поверхности тела, имеет большой диаметр, но достаточно малую площадь. Результаты п. ПЗ опубликованы в [29, 3l].

Приведенные в приложении доказательства обосновывают также возможность применения предложенного в главе 2 метода для численного решения соответствующих задач о трещинах.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Шифрин, Ефим Ильич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации разработаны методы построения оценок решений и самих решений класса уравнений, отвечающих задачам о плоских трещинах в телах с различными механическими свойствами. С помощью этих методов получены следующие основные результаты.

В задаче о плоской трещине в безграничном, однородном, линейно упругом пространстве, к поверхностям которой приложены симметричные относительно плоскости трещины, произвольные нормальные усилия, получены оценки потенциальной энергии деформации и объема трещины сверху и указаны способы получения оценок снизу. Эти оценки уточняются в случае, когда приложенные усилия являются однородными. Доказано, что при симметризации Штейнера области, занимаемой трещиной, относительно прямой объем трещины не убывает. Исходя из этого получена изопериметрическая оценка объема трещины сверху через объем круговой трещины той же площади. Установлена также изопериметрическая оценка объема трещины снизу через интегральную характеристику решения задачи Дирихле для уравнения Цуассона. Эта характеристика решения уравнения Цуассо-на в задаче о кручении стержня, описываемой указанным уравнением, соответствует жесткости при кручении отержня.

Предложены две приближенные формулы, выражающие объем трещины, занимающей выпуклую, плоскую область, через более просто вычисляемые величины: геометрические характеристики области, жесткость при кручении стержня соответствующего сечения. Обнаруженная связь между решением интегродифференциального уравнения задачи о трещине и решением уравнения Цуассона позволила также предложить приближенную формулу для определения коэффициентов интенсивности напряжений через локальные характеристики решения уравнения Пуассона.

Получены оценки минимального, вдоль контура трещины, коэффициента интенсивности напряжений сверху и максимального - снизу через интегральные характеристики решения.

Предложен метод приближенного решения операторных уравнений. Он основан на использовании двух систем базисных функций. Первый базис учитывает все особенности решения. Второй базис является ортонормированным в смысле того или иного скалярного произведения и подбирается так, чтобы легко вычислялись результаты применения соответствующего оператора к его элементам. Такой выбор второго базиса позволяет достаточно просто вычислять матрицу системы линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения решения по первоьде базису. Система линейных уравнений получается из условия минимизации отклонения между проекциями приближенного и точного решений (или правых частей, определяемых приближенным и точным решениями) на подпространства, задаваемые конечным набором элементов второго базиса. Доказана сходимость предложенного метода, которая достигается за счет увеличения количества элементов второго базиса, используемых для построения системы уравнений, при фиксированном количестве элементов первого базиса. Эффективность метода проиллюстрирована на примерах задачи о трещинах нормального разрыва, имеющих различную форму (прямоугольники, треугольник, невыпуклая фагура).

Развитые в работе методы позволили также исследовать задачи о трещинах отрыва в материалах с более сложными механическими свойствами.

Рассмотрена задача о трещине нормального разрыва в условиях, когда мевду ее поверхностями имеются линейные связи. Наличием связей между поверхностями трещины можно учесть влияние, которое оказывают на развитие трещины пересекающие ее армирующие элементы либо клеевой слой. Доказано, что решения этой задачи обладают такими же свойствами, как и в случае отсутствия связей, т.е. сохраняют справедливость теоремы сравнения (I. при увеличении раскрывающих трещину усилий раскрытия возрастают в каждой точке. 2. при расширении области, занимаемой трещиной, раскрытия на общей части областей и коэффициенты интенсивности напряжений на общей части контуров возрастают) и изопериметрические неравенства. Кроме того доказана теорема сравнения по функции, характеризующей жесткость связей. С увеличением жесткости связей раскрытия убывают в каждой точке. Приведены численные расчеты для круговой и прямоугольных форм трещин при различных значениях параметра, характеризующего жесткость связей. Расчет в случае круговой трещины произведен с помощью численной реализации интегрального уравнения, к которому в силу осевой симметрии сводится эта задача, а в случае прямоугольных трещин с помощью предложенного в работе метода приближенного решения, описанного выше. На основании результатов численного счета сделаны выводы о влиянии жесткости связей на распределение коэффициентов интенсивности напряжений вдоль контура трещины.

Рассмотрены уравнения, отвечающие задаче о трещине отрыва в неоднородном пространстве, модуль упругости которого степенным образом зависит от расстояния до плоскости трещины, а также являющиеся приближенными для задачи о трещине в физически нелинейном пространстве со степенным упрочнением. Доказано, что решения этих уравнений обладают свойствами, аналогичными свойствам решений задачи о трещине отрыва в однородном, линейно упругом пространстве, а именно: имеют место теоремы сравнения, изопериметри-ческие неравенства и существует связь мезду приращением квадратичной формы задачи при вариации области и асимптотикой решения у границы области. Для задачи о трещине в неоднородном пространстве эти результаты дают оценки потенциальной энергии, объема трещины, ее раскрытия, а также коэффициентов интенсивности напряжений. Выражение приращения квадратичной формы задачи через коэффициенты в асимптотике решения и приращение площади при вариации области является аналогом формулы Ирвина и связывает скорость изменения энергии с коэффициентом интенсивности напряжений. В случае задачи о трещине в материале со степенным упрочнением, полученные результаты позволяют оценивать раскрытия трещины, коэффициенты интенсивности напряжений и некоторые интегральные характеристики решения, являющиеся обобщениями величин потенциальной энергии и объема трещины.

Исследованы вопросы разрешимости ряда задач о трещинах, в которых имеются разрывы всех компонент смещений на поверхности трещины и учитывается влияние границ тела. Доказана однозначная разрешимость задач о трещине нормального разрыва в слое и трещине произвольного разрыва в упругом пространстве и на границе раздела двух полупространств с различными упругими свойствами. В случае расположения трещины произвольного разрыва в ограниченном упругом теле доказана нормальная разрешимость, а когда граница тела удалена от поверхностей трещины - однозначная разрешимость задачи, причем доказана сходимость метода последовательных приближений. Согласно полученным условиям сходимости, трещина может считаться "удаленной" от поверхности тела и в том случае, когда она расположена сколь угодно близко от поверхности тела, имеет большой диаметр, но достаточно малую площадь.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шифрин, Ефим Ильич, 1984 год

1. Александров А.Я. Об одном приближенном методе решения плоских контактных задач теории упругости. - Тр. НШЖТ, 1955, вып. X1. с. 5-28.

2. Александров А.Я. Решение основных трехмерных задач теории ^упругости для тел произвольной формы путем численной реализации метода интегральных уравнений. Тр. НИШЕТ, 1972, вып. 137, с. 5-10.

3. Александров А.Я. Решение основных задач теории упругости путем численной реализации метода интегральных уравнений. -В сб.: Успехи механики деформируемых сред. М.: Наука, 1975,с. 3-24.

4. Александров А.Я., Зиновьев Б.М. Приближенный метод решения плоских и пространственных задач теории упругости для тел с армирующими элементами и разрезами. В сб.: Механика деформируемых тел и конструкций. М.: Машиностроение, 1975,с. 15-25.

5. Андрейкив А.Е., Стадник М.М. Распространение плоской трещины с кусочно-гладким контуром. Прикладная механика, 1974, Т. 10, гё 10, с. 50-56.

6. Арутюнян Н.Х. Плоская контактная задача теории пластичности со степенным упрочнением материала. Изв. АН Арм. ССР. Сер. физико-математических наук, 1959, Т. 12, .£ 2, с. 77-105.

7. Арутюнян Н.Х. Плоская контактная задача теории ползучести. Прикладная математика и механика, 1959, Т. 23, вып. 5, с. 901-924.

8. Баренблатт Г.И. О равновесных трещинах, образующихся при хрупком разрушении. Общие представления и гипотезы. Осесимметричные трещины. Прикладная математика и механика, 1959, Т. 23, вып. 3, с. 434-444.

9. Баренблатт Г.И. О равновесных трещинах, образующихся при хрупком разрушении. Прямолинейные трещины в плоских пластинках. Прикладная математика и механика, 1959, Т. 23, вып. 4,с. 706-721.

10. Баренблатт Г.И. О равновесных трещинах, образующихся при хрупком разрушении. Устойчивость изолированных трещин. Связь с энергетическими теориями. Прикладная математика и механика, 1959, Т. 23, вып. 5, с. 893-900.

11. Баренблатт Г.И. Математическая теория разновесных трещин, образующихся при хрупком разрушении. ПМТФ, 1961, J6 4,с. 3-56.

12. Берг Й., Лёфстрём Й. Интерполяционные пространства. Введение. М.: Map, 1980. 264 с.

13. Бляшке В. Круг и шар. М.: Наука, 1967. 232 с.

14. Брудный С.Р. Контактная задача теории установившейся ползучести при антиплоской деформации. В кн.: Школа-семинар. Теория упругости и вязкоупругости (Цахкадзор, 22-25 ноября 1982 г.): Тезисы докладов. - Ереван, 1982, с. 10.

15. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов. М.: Наука, 1972. 415 с.

16. Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости. М.: Гос-техиздат, 1953. 264 с.

17. Гвоздев А.А. Расчет несущей способности конструкций по методу предельного равновесия. М.: Стройиздат, 1949. 280 с.

18. Гольдштейн Р.В. Плоская трещина произвольного разрыва в упругой среде. Изв. АН СССР. Мех. твердого тела, 1979, № 3, с. III-I26.

19. Гольдштейн Р.В. К пространственной задаче теории упругости для тел с плоскими трещинами произвольного разрыва. М.: Ин-т проблем механики АН СССР, препринт № 122, 1979. 65 с.

20. Гольдштейн Р.В., Ентов В.М. Вариационные оценки для коэффициента интенсивности напряжений на контуре плоской трещины нормального разрыва. Изв. АН СССР. Мех. твердого тела, 1975, № 3, с. 59-64.

21. Гольдштейн Р.В., Ентов В.М. Некоторые качественные методы в механике разрушения. М.: Ин-т проблем механики

22. АН СССР, препринт № 76, 1976. 53 с.

23. Гольдштейн Р.В., Ентов В.М., Павловский Б.Р. Модель развития водородных трещин в металле. Докл. АН СССР, 1977, Т. 237, & 4, с. 828-831.

24. Гольдштейн Р.В., Клейн И.С., Эскин Г»И. Вариационно-разностный метод решения некоторых интегральных и интегродиффе-ренциальных уравнений трехмерных задач теории упругости. М.: Ин-т проблем механики АН СССР, препринт № 33, 1973. 55 с.

25. Гольдштейн Р.В., Спектор А.А. Вариационные оценки решений некоторых смешанных пространственных задач теории упругости с неизвестной границей. Изв. АН СССР. Мех. твердого тела, 1978, № 2, с. 82-94.

26. Гольдштейн Р.В., Шифрин Е.И. Некоторые энергетические методы построения оценок в пространственных задачах теории упругости о плоских трещинах произвольного разрыва. Изв. АН СССР, Мех. твердого тела, 1981, № 4, с. 61-76.

27. Гольдштейн Р.В., Шифрин Е.И. Пространственная задача теории упругости для тел с трещинами. М.: Ин-т проблем механики АН СССР, препринт № 187, 1981. 66 с.

28. Гольдштейн Р.В., Шифрин Е.И. Теоремы сравнения для некоторого класса псевдодифференциальных уравнений и их приложения. Докл. АН СССР, 1982, Т. 262, № 5, с. III3-III6.

29. Гольдштейн Р.В., Шифрин Е.И. Плоская трещина произвольного разрыва в ограниченном упругом теле. Прикладная математика и механика, 1982, Т. 46, вып. 3, с. 472-481.

30. Гольдштейн Р.В., Шифрин Е.И. Оценки и приближенные формулы в задаче теории упругости о плоской трещине нормального разрыва. Изв. АН СССР. Мех. твердого тела, 1983, J6 I,с. 120-127.

31. Градштейн И.С., Рыжик И.И. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1962. 1100 с.

32. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф. Растяжение упругого пространства, ослабленного кольцевой трещиной. Прикладная механика, 1965, Т. I, В 10, с. 61-64.

33. Журавлев В.И. Контактная задача теории упругости для неоднородной среды и ее приложение к разрушению твердых тел. -Теоретическая и прикладная механика. Респ. межвед. тем. научн.-техн. сб., 1975, J& 6, с. 40-50.

34. Зиновьев Б.М. Один приближенный метод расчета тел с разрезами. Тр. НИИЖТ, 1972, вып. 137, с. 105-125.

35. Клейн Г.К. Учет неоднородности, разрывности деформаций и других механических свойств грунта при расчете сооружений на сплошном основании. Сб. тр. Моск. инж.-строит, ин-та, 1956, №14, с. 168-180.

36. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Физматгиз, 1962. 394 с.

37. Крейн С.Г. О вариации области для эллиптических задач.-Studia Mathematica, 1968, vol. 31, N 4, p. 411-424.

38. Круз Т. Метод граничных интегральных уравнений в механике разрушения. В кн.: Метод граничных интегральных уравнений. - М.: Мир, 1978, с. 46-67.

39. Кузнецов А.И. Дцавливание жестких штампов в полупространство при степенном упрочнении и при нелинейной ползучести материала. Прикладная математика и механика, 1962, Т. 26, вып. 3, с. 481-491.

40. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. 830 с.

41. Леонов М.Я. К теории расчета упругих оснований. Прикладная математика и механика, 1939, Т. 3, вып. 2, с. 53-78.

42. Леонов М.Я. Некоторые задачи и приложения теории потенциала. Прикладная математика и механика, 1940, Т. 4, вып. 5-6, с* 73-86.

43. Леонов М.Я. Основы механики упругого тела. Вып. I. -Фрунзе: Изд-во АН Киргиз. ССР, 1963. 328 с.

44. Леонов М.Я., Панасюк В.В. Розвиток найщибнипих трлщин в твердому Т1л1. Прикладна MexaHiKa, 1959, Т. 5, № 4, с. 391401.

45. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970 . 939 с.

46. Моссаковский В.И. Первая основная задача теории упругости для пространства с плоской круглой щелью. Прикладная математика и механика, 1955, Т. 19, вып. 4, с. 443-452.

47. Моссаковский В.И., Моссаковская Р.Л. Прочность упругого пространства, ослабленного плоской трещиной, близкой к круговой. Гидроаэромеханика и теория упругости, 1977, № 22,с. 56-74.

48. ЭДусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.

49. Мхитарян С.М. К напряженно^ состоянию деформирующегося по степенному закону бесконечного пространства с разрезом в виде полосы или полуплоскости. Докл. АН Арм. ССР, 1982,1. Т. ШЕГ, J6 I, с. 30-36.

50. Новожилов В.В. 0 необходимом и достаточном критерии хрупкой прочности. Прикладная математика и механика, 1969, Т. 33, вып. 2, с. 212-222.

51. Новожилов В.В. К основам теории равновесных трещин в упругих телах. Прикладная математика и механика, 1969, Т. 33, вып. 5, с. 797-812.

52. Обэн Ж.-П. Приближенное решение эллиптических краевых задач. М.: Мир, 1977. 383 с.

53. Пальнун Н.В., Приварников А.К. 0 напряженном состоянии возле щели в пространстве с переменным модулем упругости. -Прикладная механика,-1967, Т. 3, I 9, с. I38-I4I.

54. Панасюк В.В. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами. Киев: Наукова думка, 1968. 246 с.

55. Панасюк В.В., Андрейкив А.Е., Стадник М.М. Пространственные задачи теории трещин (Обзор). Ч. 2. Упругое и предельное равновесие твердых тел с трещинами при силовом нагружении. -Физико-химическая механика материалов, 1979, Т. 15, № 4, с.39-55,

56. Парис П., Си Дж. Анализ напряженного состояния около трещин. В кн.: Прикладные вопросы вязкости разрушения. - М.: Map, 1968, с. 64-142.

57. Полиа Г., Сегё Г. Изопериметрические неравенства в математической физике. М.: Физматгиз, 1962. 336 с.

58. Раков А.Ф., Рвачев B.JI. Контактная задача теории упругости для полупространства, модуль упругости которого есть степенная функция глубины. Докл. АН УССР, 1961, № 3, с. 286-290.

59. Рвачев В.Л., Проценко B.C. Контактные задачи теории упругости для неклассических областей. Киев: Наукова думка, 1977. 235 с.

60. Ростовцев Н.А. Об одном интегральном уравнении, встречающемся в задаче о давлении жесткого фундамента на неоднородный грунт. Прикладная математика и механика, 1961, Т. 25, вып. I, с. 164-168.

61. Салганик Р.Л. Механика тел с большим числом трещин. -Изв. АН СССР. Мех. твердого тела, 1973, Л 4, с. 149-158.

62. Си Г., Либовиц Г. Математическая теория хрупкого разрушения. В кн.: Разрушение, Т. 2. - М.: Мир, 1975, с. 83-203.

63. Стадник М.М., Горбачевский И.Я. Предельное равновесие хрупкого тела с прямоугольной трещиной. Физико-химическая механика материалов, 1981, Т. 17, № 2, с. 66-70.

64. Стадник М.М., Горбачевский И.Я. Предельное равновесие тела с плоской треугольной трещиной. Прикладная механика, 1981, Т. 17, J& 7, с. I0I-I05.

65. Тимошенко С.П., 1!удьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1979. 560 с.

66. Улитко А.Ф. Растяжение упругого пространства, ослабленного двумя круговыми трещинами, расположенными в одной плоскости. В кн.: Концентрация напряжений. - Киев: Наукова думка, 1968, вып. 2, с. 201-208.

67. Уфлянд Я.С. Упругое равновесие неограниченного тела, ослабленного внешней круговой щелью. Прикладная математика и механика, 1959, Т. 23, вып. I, с. I0I-I08.

68. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. Л.: Наука, 1967. 402 с.

69. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. -М.: Мир, 1974. 159 с.

70. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974. 640 с.

71. Шифрин Е.И. Плоская трещина нормального отрыва при наличии линейных связей мезду ее поверхностями. Изв. АН СССР.

72. Мех. твердого тела, 1982, № 3, с. 80-86.

73. Шифрин Е.И. Некоторые методы приближенного решения уравнений и их применение к решению пространственных задач для тел с трещинами. Ин-т проблем механики АН СССР. М., 1982.21 с. (Деп. в ВИНИТИ I марта 1983 г., }Ь 1082-83 Деп.).

74. Эскин Г.И. Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений. М.: Наука, 1973. 232 с.

75. Atkinson С. An Iterative scheme for solving problems relating to cracks opening under a displacement-dipendent internal stress. Int. journal of fracture, 1970, vol. 6, N 2, p. 193-197.

76. Atkinson C. A note on crack problems in power-lav: elastic materials and contact problems in non-linear creep. -Int. journal of engineering science, 1971, vol. 9, К 8,p. 729-739.

77. Atluri S.IT., Kathiresan K. 3-D analysis of surface flaws in thick-walled reactor pressure-vessels using displacement -hybrid finite element method. Nuclear engineering and design, 1979, vol. 51, N 2, p. 163-176.

78. Ayres D.J. A numerical procedure for calculating stress and deformation near a slit in a three dimensional elastic-plastic solid. Eng. fracture mech., 1970, vol. 2, IT 2, p. 87-106.

79. Bandle C. On isoperimetric gradient bounds for Poisson problems and problems of torsional creep. Zeitschrift fiir an-gewandte Mathematik und Physik, 1979, vol. 30, IT 4, p.713-715»

80. Bazant Zdenek P. Three-dimensional harmonic functions near termination or intersection of gradient singularity liness a general numerical method. Int. Journal of engineering science, 1974, vol. 12, IT 3, p. 221-243.

81. Bergan P.G., Aamodt B. Finite element analysis of crack propagation in three-dimensional solids under cyclic loading. Huclear engineering and design, 1974, vol. 29, N 2,p. 180-188.

82. Blackburn W.S., Hellen Т.К. Calculation of stress intensity factors in three dimensions by finite element methods. -Int. Journal for numerical methods in engineering, 1977,vol. 11, N 2, p. 211-229.

83. Collins W.D. Some axially symmetric stress distributions in elastic solids containing penny-shaped cracks. I. Cracks in an infinite solid and a thick plate. Proc. Roy. Soc., Series A, 1962, vol. 266, p. 359-386.

84. Cruse T.A. Numerical solutions in three-dimensionalelastostatics. Int. journal of solids and structures, 1969, vol. 5, N 12, p. 1259-1274.

85. Cruse T.A. Lateral constraint in a cracked three dimensional elastic body. Int. journal of fracture, 1970, vol. 6, IT 3, p. 326-328.

86. Cruse T.A. numerical evaluation of elastic stress intensity factors by the boundary-integral equation method. ~ In: The surface cracks physical problems and computational solutions, Ed. Swedlow J.L., ASME, Hew York, 1972, p. 153-170.

87. Cruse T.A. Application of the boundary-integral equation method to three dimensional stress analysis. Computers and structures, 1973, vol. 3, N 3, p. 509-527.

88. Cruse T.A., Besuner P.M. Residual life prediction for surface cracks in complex structural details. Journal of aircraft, 1975, vol. 12, H 4, p. 369-375.

89. Cruse T.A., Meyers G.J. Three-dimensional fracture mechanics analysis. Proceedings of the ASCE. Journal of the structural division, 1977, vol. 103, N ST2, p. 309-320.

90. Cruse T.A., Van Buren W. Three-dimensional elastic stress analysis of fracture specimen with an edge crack. Int. journal of fracture, 1971, vol. 7, IT 1, p. 1-1596. Dugdale D.S. Yielding of steel sheets containing slits.

91. Journal of the mechanics and physics of solids, 1960, vol. 8, N 2, p. 100-104.

92. Goldstein R.V., Entov V.M. Variational bounds and qualitative methods in fracture mechanics. In: Advances in research on the strength and fracture of materials, vol. 4. Hew York, Pergamon Press, 1978, p. 93-121.

93. Goldstein R.V., Entov V.M., Zazovski A.F. Application of direct variational method to the solution of mixed boundary value problems. Int. journal for numerical methods in engineering, 1978, vol. 12, IT 8, p. 1213-1239.

94. Green A.E., Sneddon I.N. The distribution of stress in the neighbourhood of a flat elliptical crack in an elastic solid. Proc. of the Cambridge Phylosophical society, 1950» vol. 4-6, p. 159-164.

95. Griffits A.A. The phenomena of rupture and flow in solids. Phylosophical Transaction Royal Sosiety of London, Series A, 1921, vol. 221, p. 163-198.

96. Griffits A.A. The theory of rupture. In: Proceedings of the First International Congress for Applied Mechanics, Delft, 1924, p. 55-63.

97. Gyekenyesi J.P., Mendelson A. Three-dimensional elastic stress and displacement analysis of finite geometry solids containing cracks. Int. journal of fracture, 1975, vol. 11, N 3, p. 409-429.

98. Hartranft R.J., Sih G.C. The use of eigenfunction expansions in the general solution of three-dimensional crack problems. Journal of mathematics and mechanics, 1969» vol. 19, H 2 , p. 123-138.

99. Hartranft R.J., Sih G.C. Alternating method applied to edge and surface crack problems. In: Mechanics of fracture, vol. 1. Methods of analysis and solutions of crack problems. Ed. Sih G.C., Leyden, 1973, p. 179-238.

100. Hartranft R.J., Sih G.C. Three-dimensional growth characteristics of a plane crack subjected to concentrated forces. Journal of applied mechanics, 1974, vol. 41, N 3, p. 808-809.

101. Haugazeu M. Sur des inequations variationelles.- Comp-tes Rendus Acad. Sc. Paris, Series A., 1967, vol. 265, H 3,p. 95-98.

102. Hayashi К., АЪе H. Stress intensity factors for a semi-elliptical crack in the surface of a semi-infinite solid.-Int. journal of fracture, 1980, vol. 16, H 3, p. 275-285.

103. Hilton P.D., Kiefer R.V. The enriched element for finite element analysis of three-dimensional elastic crack problems. Trans, of the ASME. Journal of pressure vessel technology, 1980, vol. 102, N 4, p. 347-352.

104. Hilton P.D., Sih G.C. Applications of the finite element method to the calculation of stress intensity factors. -In: Mechanics of fracture, vol. 1. Methods of analysis and solutions of crack problems. Ed. Sih G.C., Leyden, 1973, p. 426-483.

105. Hutchinson J.W. Singular behaviour at the end of a tensile crack in a hardening material. Journal of the mechanics and physics of solids, 1968, vol. 16, IT 1, p. 13-31.

106. Imai Y., Matake T. Effect of side grooves on the elastic-plastic stress state of fracture toughness specimens-three -dimensional finite element analysis. Eng. fracture mech., 1982, vol. 16, К 5, p. 659-668.

107. Irwin G.R. Fracture dynamics. Ins Fracturing of metals, ASM, Cleveland, 1948, p. 147-166.

108. Irwin G.R. Analysis of stresses and strains near the end of a crack traversing a plate. Journal of applied mechanics, 1957, vol. 24, К 3, p. 361-364.

109. Irwin G.R., Kies J.A., Smith H.L. Fracture strength relative to onset and arrest of crack propagation. Proc. Am. Soc. Test. Mater., 1959, 58, p. 640-657.

110. Kassir M.K. On the problem of an external elliptic crack in an infinite solid. Journal of applied mechanics, 1968, vol. 35, N 2, p. 422-424.

111. Kassir M.K. Stress-intensity factor for a three-dimensional rectangular crack. Journal of applied mechanics, 1981, vol. 48, IT 2, p. 309-312.

112. Kassir M.K., Sih G.C. Three-dimensional stress distribution around an elliptical crack under arbitrary loadings. -Journal of applied mechanics, 1966, vol. 33, К 3, p. 601-611.

113. Kassir M.K., Sih G.C. Geometric discontinuities in elastostatics. Journal of mathematics and mechanics, 1967, vol. 16, IT 9, p. 927-948.

114. Kassir M.K., Sih G.C. External elliptic crack in elastic solid. Int. journal of fracture, 1968, vol. 4, N 4, p. 347-356.

115. Kassir M.K., Sih G.C. Three dimensional crack problems, vol. 2. A new selection of crack problems in three dimensional elasticity. Leyden, IToordhoff, 1975. 452 p.

116. Keer L.M., Parihar K.S. A note on the singularity at the corner of a wedge-shaped punch о crack. SIAM journal on applied mathematics, 1978, vol. 34, N 2, p. 297-302.

117. Kobayashi A.S., Enetanya A.IT. , Shah R.C. Stress intensity factors for elliptical cracks. Ins Prospects of facture mechanics, Ed. Sih G.C., Van Elst H.C., Broek D. , Koordhoff, 1974, p. 525-544.

118. Marcal P.V. Three-dimensional finite-element analysis for fracture mechanics. Ins The surface cracks physical problems and computational solutions, Ed. Swedlovv J.1»., ASME, New York, 1972, p. 187-202.

119. Morrison J.A., Lewis J.A. Charge singularity at the corner of a flat plate. SIAM journal on applied mathematics, 1976, vol. 31, N 2, p. 233r249.

120. Newman J.C., Raju I.S. Stress-intensity factors for internal surface cracks in cylindrical pressure vessels. Trans, of the ASME. Journal of pressure vessel technology, 1980,vol. 102, N 4, p. 342-346.

121. Nishitani H., Murakami Y. Stress intensity factors of an elliptical crack or a semi-elliptical crack subject to tension. Int. journal of facture, 1974, vol. 10, N 3, p. 353-368.

122. Orowan E. Energy criteria of fracture. The welding Journal, 1955, vol. 34, N 3, p. 157-s - 160-s.

123. Payne L.E., Weinberger H.F. On Korn's inequality. -Arch. Rat. Mech. Anal., 1961, vol. 8, N 2, p. 89-98.

124. Rice J.R., Rosengren G.F. Plane strain deformation near a crack tip in a power law hardening material. - Journal of the mechanics and physics of solids, 1968, vol. 16, N 1, p. 1-12.

125. Sack R.A. Extension of Griffith theory of rupture to three dimensions. Proc. Phys. Soc.,1946,vol.58, p. 729-736.

126. Segedin C.M. Note on a penny shaped crack under shear. - Proc. of the Cambridge Phylosophical Society, 1950, vol. 47, p. 396-400.

127. Segedin C.M. A note on geometric discontinuities in elastostostatics. Int. journal of engineering science, 1968, vol. 6, N 5, p. 309-312.

128. Shah R»C., KobayashiA.S. Stress intensity factor for an elliptical crack under arbitrary normal loading. Eng.fracture mech., 1971, vol. 3, N 1, p. 71-96.

129. Shah R.C., KobayashiA.S. On the surface flaw problem.-In: The surface crack: physical problems and computational solutions, Ed. Swedlow J.L., ASME, New York, 1972, p. 79-124.

130. Shah R.C., Kobayashi A.S. Stress intensity factors foran elliptical crack approaching the surface of semiinfinite solid. Int. journal of fracture, 1973, vol. 9, И 2, p. 133-146.

131. Sih G.C. A review of the three-dimensional stress problem for a cracked plate. Int. Journal of fracture, 1971, vol. 7, N 1, p. 39-61.

132. Smith F.W., Kobayashi A.S., Emery A.F. Stress intensity factors for penny-shaped crackss part I infinite solid, part II-semi-infinite solid. - Journal of applied mechanics, 1967,vol. 34, N 4, p. 947-952, 952-959.

133. Smith F.W. , Sorensen D.R. The semi-elliptical surface crack. A solution by the alternating method. - Int. journal, of facture, 1976, vol. 12, I 1, p. 47-57.

134. Sneddon I.N. The distribution of stress in the neighbourhood of a crack in an elastic solid. Proc. Roy. Soc., London, Series A, 1946, vol. 187, p. 229-260.

135. Sneddon I.N., Lowengrub M. Crack problems in the classical theory elasticity. John Wiley and Sons, Inc., New York, 1969. 221 p.

136. Swanson S.R. Finite-element solutions for a cracked two-layered elastic cylinder. Eng. fracture mech., 1971, vol. 3, N 3, p. 283-289.181.

137. Tan C.L., Fenner R.T. Elastic fracture mechanics analysis Ъу the boundary integral equation method. Proc. Roy. Soc., London, Series A, 1979, vol. 369, p. 243-260.

138. Tan C.L., Fenner R.T. Stress intensity factors for semi-elliptical surface cracks in pressured cylinders using the boundary integral equation method. Int. journal of fracture, 1980, vol. 16, IT 3, p. 233-246.

139. Tracey D.M. 3-D elastic singularity element for evaluation of К along an arbitrary crack front. Int. journal of fracture, 1973, vol. 9, N 3, p. 340-343.

140. Tracey D.M. Finite elements for three-dimensional elastic crack analysis. Nuclear engineering and design, 1974,vol. 26, IT 2, p. 282-290.

141. Tresher R.W., Smith F.W. Stress-intensity factors for a surface crack in a finite solid. Journal of applied mechanics, 1972, vol. 39, N 1, p. 195-200.

142. Walpole L.J. Some elastostatic and potential problems for an elliptical disc. Proc. of the Cambridge philosopical society, 1970, vol. 67, p. 225-235.

143. Weaver J. Three-dimensional crack analysis. Int. journal of solids and structures, 1977, vol. 13, IT 4, p. 321-330.

144. Wells A.A. Unstable crack propagation in metals-cleavage and fast fracture. In: Proc. Crack propagation Symposium, Granfield, 1961, p. 210-230.