Методы расчета теплопередачи и трения при пространственном гиперзвуковом ламинарном обтекании тел во всем диапазоне чисел Рейнольдса тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Брыкина, Ирина Григорьевна

• Брыкина, Ирина Григорьевна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Брыкина, Ирина Григорьевна

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ЧАСТЬ I. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ ОБТЕКАНИЯ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА В РАМКАХ ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ

1. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ ОКОЛО ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТЕЛ И СТРЕЛОВИДНЫХ КРЫЛЬЕВ БЕСКОНЕЧНОГО РАЗМАХА, ОБТЕКАЕМЫХ ПОД УГЛОМ АТАКИ

1.1. Постановка задачи

1.2. Метод последовательных приближений для решения уравнений пограничного слоя в сжимаемом газе

1.3. Аналитическое решение задачи в первом приближении

1.4. Вывод формул для теплового потока и напряжения трения, отнесенных к их значениям в точке торможения

1.5. Результаты расчетов теплового потока и напряжения трения на поверхности длинных крыльев, обтекаемых под углами атаки и скольжения. Сравнение аналитических решений с численными

2. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В ОКРЕСТНОСТИ ПЛОСКОСТИ СИММЕТРИИ

ТРЕХМЕРНЫХ ТЕЧЕНИЙ

2.1. Итерационный алгоритм в окрестности плоскости симметрии. Аналитическое решение

2.2. Решение для относительного теплового потока и напряжения трения

2.3. Сравнение аналитических решений с численными на линии растекания (стекания) трехмерных тел, обтекаемых под углом атаки

3. ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В СЖИМАЕМОМ ГАЗЕ

3.1. Метод последовательных приближений для решения трехмерных уравнений пограничного слоя

3.2. Решение в первом приближении. Формулы для относительных значений теплового потока и компонент напряжения трения

3.3. Сопоставление аналитических решений с численными

4. ТЕПЛОВОЙ ПОТОК К ИДЕАЛЬНО КАТАЛИТИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗАТУПЛЕННЫХ ТЕЛ ПРИ ПРОСТРАНСТВЕННОМ ОБТЕКАНИИ

ДИССОЦИИРОВАННЫМ И ИОНИЗОВАННЫМ ГАЗОМ

5. ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

5.1. Определение метрических коэффициентов для уравнений трехмерного пограничного слоя в системе координат, связанной с линиями тока внешнего невязкого течения

5.2. Метод последовательных приближений в случае малости вторичного течения

5.3. Аналитическое решение

5.4. Обтекание пластины под углом скольжения при наличии на ее поверхности эллиптического цилиндра

5.5. Обтекание произвольных эллипсоидов под углом атаки

6. О СХОДИМОСТИ МЕТОДА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ ДЛЯ

УРАВНЕНИЙ ПОГРАНСЛОЙНОГО ТИПА

ЧАСТЬ II. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ ГИПЕРЗВУКОВОГО ОБТЕКАНИЯ ПРИ УМЕРЕННЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА

1. ТОНКИЙ ВЯЗКИЙ УДАРНЫЙ СЛОЙ ОКОЛО ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТЕЛ И КРЫЛЬЕВ БЕСКОНЕЧНОГО РАЗМАХА, ОБТЕКАЕМЫХ ПОД УГЛАМИ АТАКИ И СКОЛЬЖЕНИЯ

1.1. Постановка задачи

1.2. Метод последовательных приближений для решения уравнений тонкого вязкого ударного слоя. Исследование сходимости

1.3. Аналитическое решение задачи

1.4. Решение для теплового потока, отнесенного к его значению в точке торможения

1.5. Сравнение аналитических решений с численными решениями уравнений полного и тонкого вязкого ударного слоя и уравнений Навье-Стокса

2. ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ ТОНКИЙ ВЯЗКИЙ УДАРНЫЙ слой

2.1. Постановка задачи трехмерного обтекания затупленных тел однородным газом в рамках модели тонкого вязкого ударного слоя

2.2. Метод последовательных приближений для решения трехмерных уравнений

3. ТЕЧЕНИЕ В ОКРЕСТНОСТИ ЛИНИИ ТОРМОЖЕНИЯ ТРЕХМЕРНОГО ТЕЛА

3.1. Решение уравнений тонкого вязкого ударного слоя в окрестности линии торможения трехмерного тела

3.2. Сопоставление аналитических решений с численными

4. ТЕЧЕНИЕ В ОКРЕСТНОСТИ ПЛОСКОСТИ СИММЕТРИИ ПРИ ТРЕХМЕРНОМ ОБТЕКАНИИ

4.1. Уравнения тонкого вязкого ударного слоя в окрестности плоскости симметрии трехмерного течения

4.2. Аналитическое решение. Сравнение с численным решением

4.3. Распределение относительного теплового потока вдоль плоскости симметрии тел, обтекаемых под углом атаки

5. ТЕЧЕНИЕ ОКОЛО БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ ТРЕХМЕРНОГО ТЕЛА

5.1. Аналитическое решение трехмерных уравнений тонкого вязкого ударного слоя. Сравнение аналитических решений с численными

5.2. Относительный тепловой поток на боковой поверхности тела

6. ТЕПЛОВОЙ ПОТОК К ПОВЕРХНОСТИ ЗАТУПЛЕННЫХ ТЕЛ, ОБТЕКАЕМЫХ ХИМИЧЕСКИ НЕРАВНОВЕСНЫМ ПОТОКОМ ГАЗА

6.1. Постановка задачи трехмерного обтекания затупленных тел химически реагирующим газом в рамках тонкого вязкого ударного слоя

6.2. Распределение относительного теплового потока вдоль идеально каталитической поверхности

ЧАСТЬ III. МЕТОД ПОДОБИЯ ТРЕХМЕРНЫХ И ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ГИПЕРЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ

1. МЕТОД ПОДОБИЯ ДЛЯ РАСЧЕТА ТЕПЛОВЫХ ПОТОКОВ И НАПРЯЖЕНИЯ ТРЕНИЯ

В ОКРЕСТНОСТИ ПЛОСКОСТИ СИММЕТРИИ ТРЕХМЕРНЫХ ТЕЧЕНИЙ

1.1. Соотношения подобия в окрестности плоскости симметрии

1.2. Тестирование метода подобия для однородного газа в рамках модели тонкого вязкого ударного слоя

1.3. Применение метода подобия в рамках уравнений Навье-Стокса

2. МЕТОД ПОДОБИЯ ДЛЯ РАСЧЕТА ТЕПЛОВЫХ ПОТОКОВ И НАПРЯЖЕНИЯ ТРЕНИЯ

НА ПОВЕРХНОСТИ ТРЕХМЕРНЫХ ТЕЛ, ОБТЕКАЕМЫХ ПОД УГЛОМ АТАКИ

2.1. Соотношения подобия в общем случае трехмерного течения

2.2. Эквивалентное осесимметричное тело

2.3. Конвертирующая программа

2.4. Тестирование метода подобия для однородного газа

3. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ПОДОБИЯ ДЛЯ РАСЧЕТА ТЕПЛОВЫХ ПОТОКОВ И НАПРЯЖЕНИЯ ТРЕНИЯ ПРИ ХИМИЧЕСКИ НЕРАВНОВЕСНОМ ОБТЕКАНИИ

3.1. Тестирование метода подобия для химически реагирующего газа в рамках модели тонкого вязкого ударного слоя

3.2. Тестирование метода подобия для химически реагирующего газа в рамках модели полного вязкого ударного слоя

ЧАСТЬ IV. КОНТИНУАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

ГИПЕРЗВУКОВОГО ОБТЕКАНИЯ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА

1. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЗАДАЧИ ГИПЕРЗВУКОВОГО ОБТЕКАНИЯ ЗАТУПЛЕННЫХ ТЕЛ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА

1.1. Асимптотическая оценка членов уравнений Навье-Стокса при малых числах Рейнольдса

1.2. Вывод уравнений полного и тонкого вязкого ударного слоя из уравнений Навье-Стокса при малых числах Рейнольдса

1.3. Вывод асимптотически корректных граничных условий для моделей полного и тонкого вязкого ударного слоя

1.4. Асимптотически согласованные модели ВУС и ТВУС

2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ТОНКОГО ВЯЗКОГО УДАРНОГО СЛОЯ

ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА

2.1. Режимы и параметры гиперзвукового течения разреженного газа

2.2. Асимптотический метод решения уравнений ТВУС

2.3. Аналитические решения для коэффициентов теплопередачи, трения и давления в переходном режиме пространственного обтекания тел

2.4. Оценка точности и области применимости асимптотического решения

3. ГРАНИЦЫ ПРИМЕНИМОСТИ КОНТИНУАЛЬНЫХ МЕТОДОВ

3.1. Континуальные подходы к моделированию гиперзвукового обтекания тел разреженным газом. Сопоставление с результатами расчетов методом Монте-Карло

3.2. Сравнение континуальных решений с решениями кинетических уравнений

3.3. Область применимости континуальных моделей

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы расчета теплопередачи и трения при пространственном гиперзвуковом ламинарном обтекании тел во всем диапазоне чисел Рейнольдса»

ВВЕДЕНИЕ

При спуске космических аппаратов и метеороидов в атмосфере Земли они последовательно проходят различные режимы сверх- и гиперзвукового обтекания, которые можно условно разбить на: свободномолекулярный режим; переходной от свободномолекулярного к континуальному режиму (режиму сплошной среды); «навье-стоксовский»; «погранслойный». Эти режимы характеризуются разными диапазонами изменения чисел Рейнольдса набегающего потока, в каждом из этих режимов течение газа традиционно описывается адекватными своему режиму математическими моделями. При исследовании теплообмена и аэродинамики гиперзвуковых летательных аппаратов возникает необходимость решения пространственных задач обтекания затупленных тел вязким теплопроводным газом во всех режимах. Экспериментальное моделирование гиперзвуковых высотных течений около таких аппаратов в лабораторных условиях сильно ограничено в настоящее время. Применение к решению сложных трехмерных задач обтекания с учетом реальных физико-химических процессов численных методов требует больших вычислительных затрат, особенно задач обтекания разреженным газом в переходном режиме. Поэтому, наряду с развитием численных методов, важна разработка эффективных приближенных и аналитических методов, обладающих достаточной точностью, которые полезны для корректной постановки экспериментов, интерпретации результатов численного моделирования и могут применяться в практике проведения многочисленных расчетов при варьировании параметров обтекания и формы тела, необходимых при проектировании перспективных гиперзвуковых летательных аппаратов.

При больших числах Рейнольдса основной математической моделью, применяемой в практике расчетов аэродинамики и теплообмена летательных аппаратов, является модель пограничного слоя, предложенная Прандглем Л. [1], в которой возмущенная область течения между бесконечно-тонкой ударной волной и телом разбивается на прилегающий к поверхности тонкий пограничный слой и внешнее невязкое течение. Такой режим течения можно назвать «погранслойным». Классическая теория пограничного слоя изложена в монографиях Лойцянского Л.Г. [2] и Шлихтинга Г. [3]. Уравнения трехмерного ламинарного пограничного слоя в для произвольной поверхности были получены Т. Леви-Чивита [4], затем, иным путем, Хоуэрзом Л. [5]. Строгий вывод уравнений трехмерного пограничного слоя для произвольной поверхности в несжимаемой жидкости и в сжимаемом газе дан В.В.Струминским в работах [б, 7], где показано, что эти уравнения являются предельной формой уравнений Навье-Сгокса при неограниченном возрастании числа Рейнольдса.

Задачи обтекания в рамках уравнений пограничного слоя решались до широкого внедрения ЭВМ в практику газодинамических расчетов, и для их решения разработаны не только "точные" численные, но и приближенные методы - различные интегральные методы, методы, основанные на упрощении системы уравнений, и другие.

Развивался интегральный метод Польгаузена К. [8], разные варианты и обобщения которого приведены в книге Л.Г. Лойцянского [2], применительно не только к двумерным, но и к трехмерным задачам. Например, в работе Тиммана Р., Цаата 10. [9] - к исследованию пограничного слоя в несжимаемой жидкости на трехосных эллипсоидах, профили продольной и поперечной скорости характеризовались двумя параметрами, определяемыми из интегральных соотношений импульсов. В работе СмигаР., ЧенгаП.

[10] трехпараметрический интегральный метод применен к исследованию пограничного слоя в сжимаемом газе на острых конусах под углом атаки. В работе Смита Р., Юнга А.

[11] рассмотрено несколько методов приближенного решения интегральных уравнений импульсов пространственного несжимаемого пограничного слоя, в основе которых лежит метод Польгаузена, при наличии положительных и отрицательных градиентов давления.

В работах A.M. Гришина [12, 13 и др.] вариант метода интегральных соотношений применен для решения уравнений температурных и диффузионных пограничных слоев и предложена его модификация, в результате которой метод из интерполяционного становится итерационно-интерполяционным. В дальнейшем этот метод был обобщен на трехмерные уравнения параболического типа, современное состояние метода изложено в монографии Гришина A.M., Зинченко В.И. и др. [14].

Большое распространение получил «обобщенный» метод интегральных соотношений, предложенный A.A. Дородницыным [15], используемый для решения пространственных задач пограничного слоя в работах Башкина В.А. [16-18], БариноваВ.А. [19] и других. Этим методом исследовались течения на бесконечных цилиндрических телах со скольжением [16,19], на острых эллиптических конусах под углом атаки [17] и на линиях растекания [18].

В ряде работ применялся интегральный параметрический метод Л.Г. Лойцянского [20]. Метод основан на том, что параметры, выражающие влияние внешних условий, переводятся в число независимых переменных, что позволяет получить уравнения пограничного слоя в "универсальном" виде, одинаковом для всех частных заданий распределения скорости на внешней границе. Метод был распространен на расчет течения в трехмерном пограничном слое в работах Богдановой В.В. [21, 22] - в осесимметричном канале в случае закрученного внешнего потока и на равномерно вращающемся крыле, Зубцова A.B. [23] - на плоской пластине с цилиндрическим препятствием, и других.

Широкое применение нашел метод так называемой «осесимметричной аналогии», когда трехмерный пограничный слой исследуется с помощью упрощенной системы уравнений, получающейся в результате использования предположения о малости скорости, поперечной линиям тока внешнего течения, например, в работах [24-31]. Хейз В. [24] первым заметил, что допущение о малой интенсивности вторичного течения в системе координат, связанной с линиями тока внешнего невязкого течения, приводит к линеаризации уравнения движения для вторичного течения и позволяет свести систему уравнений пространственного пограничного слоя к двумерным уравнениям. Позже в работе Эйшелбреннера Е., Ударта А. [25] отмечалось, что при малой интенсивности вторичного течения уравнения, описывающие пограничный слой в несжимаемой жидкости, приводятся к форме, аналогичной уравнениям пограничного слоя на осесимметричных телах. Кук Дж. [26] показал, что подобная связь существует и для уравнений пограничного слоя в сжимаемом газе. В работах Чэна [27], Рэйнберда В., Краббе Р., Джурвикса JI. [28], Фэннелопа К. [29], и др. на основании экспериментальных и теоретических исследований авторы пришли к выводу, что гипотеза о малом вторичном течении может дать удовлетворительные результаты, когда угол между направлениями невязких линий тока и предельных линий тока на теле не превышает 25°-30°. В работе Фэннелопа К. [29] уравнения трехмерного пограничного слоя в сжимаемом газе сводятся к системе двумерных уравнений в результате систематического применения метода малых возмущений, где малый параметр связан с кривизной линий тока в невязком течении.

Эффективным оказался интегральный метод последовательных приближений, предложенный Г.А. Тирским [32, 33] для решения двумерных задач пограничного слоя. Надо отметить, что в описанных выше приближенных методах решение задач пространственного пограничного слоя в сжимаемом газе не доводится до конечных аналитических выражений и приходится так или иначе прибегать к численным расчетам дифференциальных уравнений, хотя и более простых, чем исходные. Применение же метода последовательных приближений позволяет получать по единому алгоритму как "точные" численные решения путем вычисления достаточно большого числа приближений, гак и аналитические решения в первом приближении. Сходимость метода исследовалась численно в работе Ковач Э.А., Тирского Г.А. [33] и была доказана аналитически на модельной задаче в работе автора [34].

Этот метод в разных вариациях успешно применялся к решению различных пространственных задач в работах [35-43] и др. В работах Тирского Г.А., Шевелева Ю.Д. [35] и Шахова H.H., Шевелева Ю.Д. [36] предложена вариация метода последовательных приближений для решения уравнений несжимаемого и сжимаемого трехмерного

пограничного слоя в локально-автомодельном приближении. В работе автора [37], совместной с Шевелевым Ю.Д., методом последовательных приближений в предположении малости вторичного течения получено аналитическое решение для скорости и трения на телах, обтекаемых несжимаемой жидкостью, метод применен к задаче обтекания пластины с цилиндрическим препятствием под углом скольжения. В работе автора [39] метод применен к исследованию течения в пограничном слое на произвольных эллипсоидах, обтекаемых несжимаемой жидкостью под углом атаки. В работах автора [40-43], совместных с Гершбейном Э.А., Пейгиным C.B., методом последовательных приближений получены аналитические решения уравнении сжимаемого пространственного пограничного слоя на проницаемой поверхности в задачах обтекания стреловидных крыльев бесконечного размаха под углом атаки, в окрестности плоскости симметрии и на боковой поверхности затупленных тел.

Аналитические выражения для распределения теплового потока, отнесенного к его значению в точке торможения, были получены ранее для осесимметричного обтекания в работе Лиза Л. [44] в ряде предположений и в работе Кемпа II., Роуза П., Детры Р. [45], уточняющей формулу Лиза путем аппроксимации численных расчетов системы локально-автомодельных уравнений пограничного слоя. В ряде работ были получены аппроксимационные приближенные формулы для расчета теплового потока в точке торможения, например, для осесимметричного течения в работах Фэя Д., Ридделла Ф. [46], Суслова О.Н. [47], для трехмерного - Решотко И. [48], Тирского Г.А. [49] и других, из которых самой известной и широко применяемой является формула Фэя и Ридделла. Краткий обзор некоторых приближенных методов расчета теплопередачи при больших числах Рейнольдса дан в работе Джарнетта Ф., Гамильтона и др. [50].

При исследовании гиперзвукового обтекания затупленных тел при умеренно-больших и умеренно-малых числах Рейнольдса (навье-стоксовский режим обтекания) вязкость и теплопроводность газа оказывают влияние в значительной части ударного слоя и модель в виде бесконечно-тонкой ударной волны, вязкого пограничного слоя около поверхности тела и разделяющей их области невязкого течения перестает быть справедливой. С уменьшением числа Рейнольдса головная ударная волна и пограничный слой постепенно утолщаются, а размеры невязкой области уменьшаются, становится существенным влияние процессов переноса на параметры течения непосредственно за утолщенной ударной волной, и также влияние скольжения и скачка температуры на поверхности. Впервые вопрос о влиянии вязкости и теплопроводности на течение газа за сильно искривленной ударной волной рассматривался в работе Седова Л.И., Михайловой М.П., Черного Г.Г. [51]. Различные типы разреженных течений и их

асимптотический анализ около лобовой поверхности затупленного тела обсуждаются в работах Пробстейна Р., Кемпа II. [52], Хейза У., Пробстина Р. [53], Маркова A.A., Чудова JI.A. [54], Авдуевского B.C., Иванова A.B. [55] и других.

В этом режиме, соответствующем участку траектории спуска гиперзвуковых аппаратов в атмосфере Земли 60-100 км (при радиусе носового затупления ~ 1 м, эти границы условны и зависят от конкретной задачи, в частности, от каталитических свойств поверхности) задачи обтекания решаются в рамках системы уравнений Навье-Стокса (НС) или ее различных упрощенных моделей. Уравнения НС является наиболее общей моделью течений в режиме сплошной среды. Моделирование течений около обтекаемых сверхзвуковым потоком тел на основе полных уравнений НС (Головачев Ю.П. [56], Таннехилл Дж. и др. [57] и другие), позволяют исследовать структуру сложных течений с зонами сильного вязко-невязкого взаимодействия, скачками уплотнения, отрывами, рециркуляцией и пр. Однако расчёты течений на основе полных уравнений НС являются достаточно трудоемкими, особенно при решении сложных трехмерных задач с учетом неравновесных физико-химических процессов. При больших числах Re и большой протяженности области интегрирования потребности в вычислительных ресурсах при численном решении уравнений НС значительно возрастают. При малых числах Re они тоже велики, так как внешняя граница области интегрирования, где задаются условия в невозмущенном набегающем потоке при сквозном счете, отодвигается все дальше от поверхности тела. Иногда при решении уравнений НС в качестве внешней границы области интегрирования выделяется головная ударная волна, при этом значения функций за ее фронтом находятся из обобщенных соотношений Ренкина-Гюгонио, вывод которых дан, например, в работе Толстых А.И. [58] и Тирского Г.А. [59].

В то же время в случае стационарных вязких течений во многих практически важных случаях описание течений с достаточной точностью возможно в рамках более простых математических моделей, численная реализация которых требует существенно меньших вычислительных затрат. Поэтому в настоящее время наряду с использованием полных уравнений НС для расчёта вязких течений около движущихся со сверхзвуковой скоростью тел широко распространены упрощённые подходы.

Начиная с 1960-х годов было предложено много упрощенных асимптотическими и другими оценочными методами с использованием свойств конкретной задачи уравнений НС для решения различных внешних и внутренних задач аэродинамики вязкого теплопроводного газа при умеренно больших и умеренно малых числах Re. Наиболее известными упрощенными моделями являются модели тонкого, или гиперзвукового,

вязкого ударного слоя (ТВУС), полного вязкого ударного слоя, или вязкого ударного слоя (ВУС), и параболизованные уравнения НС (ПУНС).

Первой из этих систем упрощенных уравнений НС исторически является модель тонкого вязкого ударного слоя ТВУС, полученная Ченгом К. [60, 61] путем асимптотического анализа уравнений НС для умеренно больших чисел Re » 1 при:

eMj» 1, e« 1, eRe>0(l), Re = P°° ^ , e =

^o 2y

Здесь у - отношение удельных теплоемкостей, М^, рм и - число Маха, плотность и скорость набегающего потока, Цо - коэффициент вязкости при температуре торможения То, Ro - радиус кривизны тела в его вершине.

В этой модели вся область возмущенного течения перед телом разбивается на два слоя: вязкий ударный слой между поверхностью тела и внутренней границей размытой головной ударной волны (УВ) и область перехода через УВ, в которой система уравнений НС сводится к обыкновенным дифференциальным уравнениям, дополнительные упрощения которых на внешней границе ударного слоя приводят к обобщенным условиям Ренкина - Гюгонио. Течение газа в ударном слое исследуется независимо от области перехода через УВ, при этом соотношения Ренкина - Гюгонио используются в качестве граничных условий на УВ, которая считается эквидистантной поверхности тела. При больших числах Re обобщенные соотношения Ренкина - Гюгонио переходят в обычные условия Ренкина - Гюгонио на тонкой ударной волне.

Система уравнений ТВУС содержит все члены уравнений пограничного слоя и уравнений невязкого ударного слоя в гиперзвуковом приближении (Черный Г.Г. [62]). Трехмерные уравнения ТВУС получены в работе Гершбейна Э.А. [63]. Модель ТВУС широко использовалась для решения задач гиперзвукового обтекания как однородным газом, так и с учетом физико-химических процессов в ударном слое, в работах Канга С. [64], Адамса Дж., [65], Магомедова K.M. [66], Анкудинова A.JI. [67], Залогина Г.Н., Лунева В.В. [68] и др. (см. например обзор Гершбейна Э.А., Пейгина C.B., ТирскогоГ.А. [69]). Достоинством этой модели является ее относительная (по отношению к другим упрощенным моделям уравнений НС) математическая простота, что позволило получить приближенные аналитические решения не только для одномерных и двумерных, но и для трехмерных задач, например, в работах автора [70] (совместной с Гершбейном Э.А.), [71, 72] (совместных с Русаковым В.В.), [73] (совместной с Русаковым В.В., Щербаком В.Г.).

Применимость модели ТВУС ограничена гиперзвуковыми скоростями, ее точность уменьшается с уменьшением числа Маха. Предположение о малой толщине ударного слоя становится менее оправданным по мере удаления от передней точки торможения тела.

Основной недостаток этой модели связан с ограничениями на форму обтекаемой поверхности в связи с появлением погрешности при удалении от линии торможения в силу даваемого ею неправильного распределения давления, поскольку в ней используется упрощенное уравнение импульсов в проекции на нормаль к поверхности. Так, например, при обтекании сферы при eRe > 1 получаются физически некорректные результаты — давление обращается в ноль на теле ~ при 60°. В случае обтекания тел с убывающей кривизной поверхности, таких как параболоиды и гиперболоиды, модель ТВУС дает удовлетворительные результаты достаточно далеко от точки торможения.

Модель вязкого ударного слоя (ВУС) была предложена в работе Дэвиса Р. [74]. Эта модель является композитной - уравнения ВУС включают в себя все члены уравнений пограничного слоя и все члены уравнений Эйлера (в отличие от модели ТВУС), т.е. в ней содержится механизм передачи возмущений вверх по потоку. В качестве граничных условий на ударной волне, форма которой находится в процессе решения задачи, ставятся обобщенные соотношения Ренкина-Гюгонио. В этих соотношениях в модели Дэвиса [74], как и в ряде последующих работ, использующих эту модель, допущена ошибка: в условиях для касательной скорости и температуры стоят производные по нормали в системе координат, связанной с поверхностью обтекаемого тела, а должны быть в системе координат, связанной с поверхностью ударной волны. Эта ошибка отмечалась в работе Ли К., Гупты Р, Mocea Дж. и др. [75] и в совместной с Роговым Б.В., Тирским Г.А. работе автора [76], однако, как показывают численные расчеты, при гиперзвуковых скоростях она не оказывает существенного влияния на распределения теплового потока, напряжения трения и давления по лобовой поверхности тела.

Система уравнений ВУС широко и успешно используется для расчёта параметров сверх- и гиперзвукового обтекания наветренной части затупленных тел (см., например, обзоры Тирского Г.А. [77] и Алексина В.А., Маркова A.A., Рогова Б.В., Тирского Г.А. [78]). Эта система является эволюционной по продольной координате, соответствующей преимущественному направлению течения, и для ее численного решения были развиты эффективные итерационно-маршевые методы, например, в работах Васильевского С.А., Тирского Г.А., Утюжникова С.В. [79], Ковалева В.Л., Крупнова A.A., Тирского Г.А. [80], Рогова Б.В., Соколовой И.А. [81], которые позволяют существенно сократить затраты вычислительных ресурсов на решение задачи обтекания по сравнению с затратами, необходимыми для нахождения решения в рамках полных уравнений НС.

Параболизованные уравнения НС (ПУНС) были предложены Толстых А.И. [82] и в несколько ином виде Головачевым Ю.П., Поповым Ф.Д. [83] для задач сверхзвукового обтекания тел в предположении наличия преимущественного направления течения. В

отличие от «классических» моделей ТВУС и ВУС, существуют разные вариации уравнений ПУНС (например, Афонина Н.Е., Громов В.Г. [84], Гершбейн Э.А., Колесников А.Ф. [85], Гершбейн Э.А., Щербак В.Г. [86]). Все они содержат полностью члены уравнений Эйлера и в них, как и в модели ВУС, существует механизм передачи возмущений вверх по потоку. Модели ПУНС содержат вторую производную по нормальной координате от нормальной компоненты вектора скорости, что дает возможность ставить граничные условия в невозмущенном набегающем потоке и проходить сквозным счетом через структуру ударной волны. Этим свойством не обладают модели ТВУС и ВУС. Модели ПУНС, как и модели ТВУС и ВУС, не содержат вторые производные вдоль продольной переменной, соответствующей маршевому направлению. Это свойство является характерным для упрощенных моделей уравнений НС и дает возможность находить решения стационарных задач маршевыми методами.

Исследования пределов применимости упрощенных моделей и их точности проводились на основе сравнения их решений друг с другом и с решениями уравнений НС во многих работах: Головачева Ю.П., Кузьмина Ф.Д., Попова Ф.Д. [87], Сриваставы Б., Верле М., Дэвиса Р. [88], автора [89, 90], Ли К., Гупты Р, Мосса Дж. и др. [75], Головачева Ю.П. [56], Тирского Г.А., Утюжникова C.B. [91], Власова В.И., Горшкова А.Б. [92] и других. Выбор модели определяется постановкой конкретной задачи и происходит на основе асимптотических и других оценок для данного класса течений, на основе сравнений с решениями, полученными в рамках более точных моделей, с результатами экспериментов, на основе оптимального сочетания простоты математической модели и ее численной или иной реализации с точностью даваемых на ее основе результатов.

Отметим, что для исследования задач обтекания при умеренных числах Re мало развивались приближенные методы, позволяющие находить аналитические решения или упростить задачу, в отличие от решения таких задач в рамках теории пограничного слоя, что отмечалось, например, в работе Джарнетта Ф., Гамильтона и др. [50], где дан обзор приближенных методов расчета теплопередачи при больших числах Re. Аналитические решения уравнений ТВУС были получены для точки торможения осесимметричного тела в работах Ченга К. [60, 61], Шидловского В.П. [93], МагомедоваК.М. [66]. Приближенные аппроксимационпые зависимости для оценки теплопередачи в точке торможения, являющиеся своего рода обобщением формулы Фэя и Риддела, предложены в работах Провоторова В.П., Степанова Э.А. [94], Ботина A.B., Провоторова В.П., Степанова Э.А. [95], Егорова И.В., Кузнецова М.М., Соколова Л.А. [96].

В работах Зоби И. [97], Гупты Р., Мосса Дж., Симмондса А. и др. [98], Зоби И., Симмондса А. [99] и других делается попытка свести решение трехмерной задачи к

двумерной и для оценки тепловых потоков в окрестности плоскости симметрии космического корабля Space Shuttle используется обычное осесимметричное решение для тела, образованного вращением линии растекания, при этом наветренная поверхность в окрестности плоскости симметрии заменяется подходящим гиперболоидом. Однако, как показано в работах автора [100, 101] (совместных с Русаковым В.В., Щербаком В.Г.) использование такого решения для произвольной поверхности может приводить к значительным ошибкам, гак как в таком подходе не учитывается влияние реальной поперечной кривизны поверхности, а оно может быть велико. Аналогичный подход для расчета теплопередачи в плоскости симметрии летательного аппарата использовался в работе Гусева В.Н., Егорова И.В., Провоторова В.П. [102]. В работе Егорова И.В., Провоторова В.П., Степанова Э.А. [103] предложены аппроксимационные формулы для распределения теплового потока, отнесенного к его значению в точке торможения, вдоль гиперболоидов вращения с учетом каталитической активности поверхности.

Приближенные методы решения пространственных задач гиперзвукового обтекания при умеренных числах Re начали разрабатываться в работах автора с конца 70-х годов. Сравнительная простота математической модели ТВУС, параболический характер ее уравнений, позволили разработать на ее основе приближенные методы расчета тепловых потоков и напряжения трения на наветренной стороне обтекаемых гиперзвуковым потоком газа затупленных тел. В работах автора [89, 90] был разработан метод последовательных приближений для решения уравнений ТВУС в случае условий прилипания [89] и условий скольжения на стенке [90] и получены аналитические решения для осесимметричных течений. В дальнейшем в ином виде метод применялся в работах Гершбейна Э.А., Юницкого С.А. [104] и Гершбейна Э.А., ЩелинаВ.С., Юиицкого С.А. [105] для решения некоторых пространственных задач, при этом не учитывались эффекты скольжения и в [105] — продольные составляющие градиента давления, что приводит к большой ошибке при определении напряжения трения; при организации итерационного процесса приближения не удовлетворяли условиям на ударной волне, что ведет, как показано в работах автора [89] и [106] (совместной с Русаковым В.В.) к значительному снижению точности решения в первом приближении.

Приближенные аналитические решения пространственных задач обтекания: стреловидных крыльев под углом атаки, окрестности точки торможения двоякой кривизны, плоскости симметрии и боковой поверхности затупленных тел получены разработанным методом последовательных приближений в работах автора [70] (совместной с Гершбейном Э.А.), [71, 72] (совместных с Русаковым В.В.), [73] (совместной с Русаковым В.В. Щербаком). В работах автора [107] и [108, 109]

(совместных с Русаковым В.В. Щербаком) предложены простые формулы для распределения относительных тепловых потоков на идеально-каталитической поверхности затупленных тел, обтекаемых химически неравновесным потоком газа.

В работах автора [110] (совместной с Русаковым В.В.), [111-113] (совместных с Русаковым В.В. Щербаком), [114] (совместной с К. Скоттом), [115-116] развит метод подобия для расчета теплопередачи и напряжения трения на наветренной стороне пространственных затупленных тел, обтекаемых под углом атаки, который сводит решение трехмерной задачи к решению осесимметричной. Метод обладает хорошей точностью и применим для различных моделей течения - ТВУС, ВУС, уравнений IIC как для однородного газа, так и с учетом реальных физико-химических процессов и позволяет решать трехмерные задачи обтекания, используя программы расчета осесимметричных течений, что существенно расширяет возможности и экономит вычислительные ресурсы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Брыкина, Ирина Григорьевна, 2013 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Prandtl L. Über Flüssigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung // Verhandlungen des dritten internationalen Mathematiker-Kongresses in Heidelberg vorn 8 bis 13 August 1904, A. Krazer (ed.). Leipzig, Teubner. 1905. P. 484-491.

2. Лойцянский Л.Г. Ламинарный пограничный слой. М.: Физматгиз. 1962. 480 с.

3. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука. 1974. 712 с.

4. Levi-Civita Т. Allgemeine Folgerungen aus der Prandtlischen Grenzschichttheorie. Vortrage aus dem Gebiete der Aerodynamik und Verwandten Gebiete. Aachen. 1929.

5. Howarth L. The boundary layer in three-dimensional flow. I. Derivation of the equations for flow along a general curved surface // Phil. Mag. 1951. Series 7. V. 42. P. 239-243.

6. Струминский B.B. Трехмерный пограничный слой на произвольной поверхности // Докл. АН СССР. 1956. Т. 108. № 4. С. 595-598.

7. Струминский В.В. Уравнения трехмерного пограничного слоя в сжимаемом газе для произвольной поверхности // Докл. АН СССР. 1957. Т. 114. № 2. С. 271-274.

8. Pohlhausen К. Zur näherungsweisen Integration der Differentialgleichung der laminaren Grenzschicht//ZAMM. 1921. V. 1. Iss. 4. P. 252-268.

9. Тимман Р., Цаат IO. Метод расчета трехмерного ламинарного пограничного слоя // Проблема пограничного слоя и вопросы теплопередачи. 1960. М.: Госэнергоиздат. С. 360-371.

10. Смит Р., Ченг П. Сжимаемый пограничный слой на конусе при большом угле атаки // РТК. 1970. Т. 8. № 11. С. 3-11.

11. Smith P.D., Young A.D. Approximate solutions of the Three-Dimensional Laminar Boundary Layer// Aeronautical Research Council. CurrentPaperNo 1064. 1969.

12. Гришин A.M. Применение метода интегральных соотношений для решения задач теории воспламенения // ИФЖ. 1966. Т. X. № 5. С. 345-352.

13. Гришин А.М. Об одном видоизменении метода М.Е. Шведа // ИФЖ. 1970. Т. XIX. № 1.С. 84-93.

14. Гришин А.М., Зинченко В.И., Ефимов К.Н., Субботин А.Н., Якимов A.C. Итерационно-интерполяционный метод и его приложения. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. 320 с.

15. Дородницын A.A. Об одном методе решения уравнений ламинарного пограничного слоя // ПМТФ. 1960. №3. С. 111-118.

16. Башкин В.А. Ламинарный пограничный слой на бесконечно длинных эллиптических цилиндрах при произвольном угле скольжения // Изв. АН СССР. МЖГ. 1967. № 5. С. 76-82.

17. Башкин В.А. Расчет уравнений пространственного ламинарного пограничного слоя методом интегральных соотношений //ЖВММФ. 1968. Т. 8. № 6. С. 1280-1290.

18. Башкин В.А. Численное интегрирование уравнений пространственного ламинарного пограничного слоя на линиях растекания//ЖВММФ. 1970. Т. 10. № 6. С. 1491-1502.

19. Баринов В.А. Расчет ламинарного пограничного слоя на скользящем крыле методом интегральных соотношений // Уч. Зап. ЦАГИ. 1972. Т. 3. № 5.

20. Лойцянский Л.Г. Универсальные уравнения в параметрическом приближении в теории ламинарного пограничного слоя // ПММ. 1965. Т. 29. Вып. 1. С. 70-87.

21. Богданова В.В. Универсальные уравнения теории ламинарного пограничного слоя // Изв. АН СССР. МЖГ. 1968. № 6. С. 34-42.

22. Богданова В.В. Универсальные уравнения теории ламинарного пограничного слоя на вращающемся крыле // Изв. АН СССР. МЖГ. 1971. № 2. С. 84-93.

23. Зубцов А.В. Расчет трехмерного пограничного слоя при двумерном потенциальном потоке на его внешней границе // Тр. ЦАГИ. 1969. Вып. 1125.

24. Hayes W. The three-dimensional boundary layer // Math. Revs. 1951. V. 12. No 10.

25. Eichelbrenner E.A., Oudart A. Methode de caleul de la couche limite tridimensionnelle // Chatillon-sous-Bagneux (Sci.) ONERA publication. 1955. No. 76.

26. Сооке J.C. An axially symmetric analogue for general three-dimensional boundary layer // Aeronaut. Res. Counsil. Repts and Mem. 1959. No 3200. 12 p.

27. Chan Y.Y. The approximate method for three-dimensional compressible boundary layers with small cross flow //Nat. Res. Coun. of Canada Aero. Report LR-455. 1966.

28. Rainbird W.J., Crabbe R.S., Jurewicz L.S. A water tunnel investigation of the flow separation about circular cones at incidence // Nat. Res. Coun. of Canada Aero. Report LR-385. 1963. 64 p.

29. Фэннелоп Т.К. Метод решения уравнений трёхмерного ламинарного пограничного слоя применительно к проблеме входа в атмосферу тел с подъёмной силой // РТК. 1968. Т. 6. №6. С. 102-113.

30. Авдуевский B.C. Приближенный метод расчета трехмерного ламинарного пограничного слоя // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1962. № 2. С. 11-16.

31. Cebeci Т. Calculation of three-dimensional boundary layers. I. Swept infinite cylinders and small cross flow // AIAA J. 1974. V. 12. No 6. P. 779-786.

32. Тирский Г.А. Метод последовательных приближений для интегрирования уравнений ламинарного многокомпонентного пограничного слоя с химическими реакциями, включая реакции ионизации // Отчет Ин-та механики МГУ № 1016. 1970. 52 с.

33. Ковач Э.А., Тирский Г.А. Применение метода последовательных приближений к интегрированию уравнений пограничного слоя. Докл. АН СССР. 1971. Т. 190. № 1. С. 61-64.

34. Брыкина И.Г. О сходимости метода последовательных приближений для решения уравнений погранслойного типа // Вестник Моск. Ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1994. № 6. С. 49-54.

35. Тирский Г.А., Шевелев Ю.Д. О методе последовательных приближений для задач трехмерного пограничного слоя (локально-автомодельный случай) // ПММ. 1973. Т. 37. Вып. 6. С. 974-983.

36. Шахов H.H., Шевелев Ю.Д. Метод последовательных приближений для задач сжимаемого трехмерного ламинарного пограничного слоя // ПММ. 1974. Т. 38. Вып. 5. С. 837-846.

37. Брыкина И.Г., Шевелев Ю.Д. Приближенное решение задачи о трехмерном ламинарном пограничном слое в несжимаемой жидкости // ПМТФ. 1974. № 2. С. 5060.

38. Шевелев Ю.Д. Трехмерные задачи теории ламинарного пограничного слоя. М.: Наука, 1977. 224 с.

39. Брыкина И.Г. О пространственном пограничном слое на эллипсоидах под углом атаки // В сб.: Исследования по гиперзвуковой аэродинамике и теплообмену с учетом неравновесных химических реакций. М.: Изд-во МГУ. 1987. С. 82-91.

40. Брыкина И.Г., Гершбейн Э.А., Пейгин C.B. Ламинарный пограничный слой на стреловидных крыльях бесконечного размаха, обтекаемых под углом атаки // Изв. АН СССР. МЖГ. 1980. № 3. С. 27-39.

41. Брыкина И.Г., Гершбейн Э.А., Пейгин C.B. Ламинарный пространственный пограничный слой на проницаемой поверхности в окрестности плоскости симметрии // Изв. АН СССР. МЖГ. 1980. № 5. С. 37-48.

42. Брыкина И.Г., Гершбейн Э.А., Пейгин C.B. Исследование пространственного пограничного слоя на затупленных телах с проницаемой поверхностью // Изв. АН СССР. МЖГ. 1982. № 3. С. 49-58.

43. Брыкина И.Г., Гершбейн Э. А., Пейгин C.B. Приближенные аналитические формулы в некоторых задачах ламинарного пространственного пограничного слоя // Численные методы механики сплошной среды. Сб. Новосибирск, 1982. Т. 13. № 5. С. 13-19.

44. Lees L. Laminar heat transfer over blunt-nosed bodies at hypersonic flight speeds // Jet Propulsion. 1956. V. 26. No. 4. P. 259-269.

45. Kemp N.H., Rose P.H., Detra R.W. Laminar heat transfer around blunt bodies in dissociated air//J. Aerospace Sci. 1959. V. 26. No. 7. P. 421-430.

46. Д. Фэй, Ф. Ридцелл. Теоретический анализ теплообмена в передней критической точке, омываемой диссоциированным воздухом // В сб.: Газодинамика и теплообмен при наличии химических реакций. М.: Изд-во иностр. лит., 1962. С. 217-256.

47. Суслов О.Н. Многокомпонентная диффузия и теплообмен при обтекании тела химически равновесным ионизованным газом // ПМТФ. 1972. № 3. С. 53-59.

48. Reshotko Е. Heat transfer to a general three-dimensional stagnation point // Jet Propulsion. 1958. V. 28. No. 1. P. 58-60.

49. Тирский Г.А. Определение тепловых потоков в окрестности критической точки двоякой кривизны при обтекании тела диссоциирующим газом произвольного химического состава // ПМТФ. 1965. № 1. С. 45-56.

50. De Jarnette F.R., Hamilton Н.Н., Weilmunster K.J., Cheatvvood F.M. A review of some approximate methods used in aerodynamic heating analysis // AIAA Paper. 1985. No 85906. 10 p.

51. Седов Jl.И., Михайлова М.П., Черный Г.Г. О влиянии вязкости и теплопроводности на течение газа за сильно искривленной ударной волной // Вестник МГУ. Сер. физ.-мат. и естеств. наук. 1953. № 3. С. 95-100.

52. Пробстейн Р., Кемп II. Вязкие аэродинамические характеристики в гиперзвуковом потоке разреженного газа // Механика. Период, сб. перевод, иностр. статей. 1961. № 2. С.59-95.

53. Хейз У.Д., Пробстин Р.Ф. Теория гиперзвуковых течений. М.: Изд-во иностр. лит., 1962. 407 с.

54. Марков А.А., Чудов Л.А. Асимптотическое исследование течения вязкого сжимаемого газа около затупленного тела // Изв. АН СССР. МЖГ. 1967. JVb 4.

55. Авдуевский B.C., Иванов А.В. Течение разреженного газа вблизи передней критической точки затупленного тела при гиперзвуковых скоростях // Изв. АН СССР. МЖГ. 1968. №3. С. 26-34.

56. Головачев Ю.П. Численное моделирование течений вязкого газа в ударном слое. М.: Наука. Физматлит, 1996. 375 с.

57. Tannehill J.С Anderson D.A., Pletcher R.H. Computational Fluid Mechanics and Heat Transfer. 2nd ed. Taylor&Francis. 1997. 816 p.

58. Толстых А.И. О структуре криволинейной ударной волны // ПММ. 1964. Т. 28. Вып. 3. С.553-556.

59. Тирский Г.А. Континуальные модели в задачах гиперзвукового обтекания затупленных тел разреженным газом // ПММ. 1997. Т. 61. Вып. 6. С. 903-930.

60. Cheng II.К. Hypersonic shock-layer theory of the stagnation region at low Reynolds Number // Proc. 1961 Heat Transfer and Fluid Mech. Inst. Stanford, Calif.: Stanford Univ. Press, 1961. P. 161-175.

61. Cheng ILK. The Blunt Body Problem in Hypersonic Flow at Low Reynolds Number // IAS Paper. 1963. No 63-92. 100 p.

62. Черный Г.Г. Течение газа с большой сверхзвуковой скоростью. М.: Физматгиз. 1959. 220 с.

63. Гершбейн Э.А. К теории пространственного обтекания затупленных тел гиперзвуковым потоком вязкого газа при наличии вдува // В сб.: Некоторые вопросы механики сплошной среды. М.: Изд-во МГУ. 1978. С. 144-156.

64. Kang S.W. Nonequilibrium, Ionized, Hypersonic Flow Over a Blunt Body at Low Reynolds Number// AIAA J. 1970. V. 8. No. 7. P. 1263-1270.

65. Adams J.C. Shock slip analysis of merged layer stagnation point air ionization // AIAA J. 1970. V. 8. No. 5.

66. Магомедов K.M. Гиперзвуковое обтекание тупых тел вязким газом // Изв. АН СССР. МЖГ. 1970. №2. С. 45-56.

67. Анкудинов A.JI. Расчет вязкого гиперзвукового ударного слоя с подводом массы при умеренно малых числах Рейнольдса // Изв. АН СССР. МЖГ. 1970. № 3. С. 40-45.

68. Залогин Г.Н., Лунев В.В. О модели вязкого неравновесного ударного слоя с тонкой ударной волной//Изв. АН СССР. МЖГ. 1973. №5. С. 175-178.

69. Гершбейн Э.А., Пейгин С.В., Тирский Г.А. Сверхзвуковое обтекание тел при малых и умеренных числах Рейнольдса // Итоги науки и техники. Сер. Механика жидкости и газа. М.: ВИНИТИ. 1985. Т. 19. С. 3-85.

70. Брыкина И.Г., Гершбейн Э.А. Гиперзвуковой вязкий ударный слой па стреловидных крыльях бесконечного размаха, обтекаемых под углом атаки. Изв. АН СССР. МЖГ. 1979. №2. С. 91-102.

71. Брыкина И.Г., Русаков В.В. Аналитическое исследование трения и теплообмена в окрестности трехмерной критической точки при малых и умеренных числах Рейнольдса // Изв. АН СССР. МЖГ. 1988. № 2. С. 143-150.

72. Брыкина И.Г., Русаков В.В. Аналитическое исследование пространственного вязкого ударного слоя в окрестности плоскости симметрии // ПМТФ. 1989. № 4. С. 16-22.

73. Брыкина И.Г., Русаков В.В., Щербак В.Г. Аналитическое и численное исследование пространственного вязкого ударного слоя на затупленных телах // ПМТФ. 1991. № 4. С.81-88.

74. Davis R.T. Numerical solution of the hypersonic viscous shock layer equations // AIAA J. 1970. V. 8. No 5. P. 843-851.

75. Lee K.P., Gupta R.N., Moss J.N., Zoby E.V., Tiwari, S.N. Viscous shock-layer solutions for the low-density hypersonic flow past long slender bodies // AIAA Paper. 1988. No 88-0460. 15 p.

76. Брыкина И.Г., Рогов Б.В., Тирский Г.А. О применимости континуальных моделей в переходном режиме гиперзвукового обтекания затупленных тел // ПММ. 2009. Т. 73. Вып. 5. С. 700-716.

77. Тирский Г.А. Современные газодинамические модели гиперзвуковой аэродинамики и теплообмена с учётом вязкости и реальных свойств газа // В сб.: Современные газодинамические и физико-химические модели гиперзвуковой аэродинамики и теплообмена, под ред. Л.И. Седова. М.: Изд-во МГУ, 1994. Ч. 1. С. 9-43.

78. Алексин В.А., Марков A.A., Рогов Б.В., Тирский Г.А. Упрощенные газодинамические модели вязких внутренних и внешних задач аэродинамики // Энциклопедия низкотемпературной плазмы. Т. VII-1. 4.2. М.: Янус-К, 2008. С. 333-370.

79. Васильевский С.А., Тирский Г.А., Утюжников С.В. Численный метод решения уравнений вязкого ударного слоя //ЖВММФ. 1987. Т. 27. № 5. С. 741-750.

80. Ковалев В.Л., Крупнов A.A., Тирский Г.А. Решение уравнений вязкого ударного слоя методом простых глобальных итераций по градиенту давления и форме ударной волны//Докл. РАН. 1994. Т. 338. № 3. С. 333-336.

81. Рогов Б.В., Соколова И.А. Гиперболическое приближение уравнений Навье-Стокса для вязких смешанных течений // Изв. РАН. МЖГ. 2002. № 3. С. 30-49.

82. Толстых А.И. О численном расчете сверхзвукового обтекания затупленных тел потоком вязкого газа//ЖВММФ. 1966. Т. 6. № 1. С. 113-120.

83. Головачев Ю.П., Попов Ф.Д. Расчет сверхзвукового обтекания затупленных тел вязким газом при больших числах Рейнольдса // ЖВММФ. 1972. Т. 12. № 5. С. 12921303.

84. Афонина U.E., Громов В.Г. Численное исследование теплообмена в критической точке сферы, обтекаемой гиперзвуковым потоком углекислого газа // Изв. АН СССР. МЖГ. 1975. № 1. С. 117-120.

85. Гершбейн Э.А., Колесников А.Ф. Численное решение уравнений Навье-Стокса в окрестности притупления тел, обтекаемых гиперзвуковым потоком разреженного газа

при наличии вдува // В сб.: Аэродинамика гиперзвуковых течений при наличии вдува. M.: Изд-во МГУ. 1979. С. 69-77.

86. Гершбейн Э.А., Щербак В.Г. Исследование гиперзвукового пространственного обтекания затупленных тел в рамках параболизованных уравнений Навье-Стокса // Изв. АН СССР. МЖГ. № 4. 1987. С. 134-142.

87. Головачев Ю.П., Кузьмин Ф.Д., Попов Ф.Д. О расчете сверхзвукового обтекания затупленных тел с использованием полных и упрощенных уравнений Навье-Стокса // ЖВММФ. 1973. Т. 13. № 4. С. 1021-1028.

88. Srivastava B.N., Werle M. J., Davis R.T. Stagnation region solution of the full viscous shock-layer equations // AIAA J. 1976. V. 14. No 2. P. 274-276.

89. Брыкина И.Г. Интегрирование уравнений гиперзвукового вязкого ударного слоя методом последовательных приближений//ЖВММФ. 1978. Т. 18. № 1. С. 154-166.

90. Брыкина И.Г. Применение метода последовательных приближений к решению уравнений гиперзвукового вязкого ударного слоя с учетом скольжения на поверхности // В сб.: Аэродинамика гиперзвуковых течений при наличии вдува. М.: Изд-во МГУ, 1979. С. 99-110.

91. Тирский Г.А., Утюжников C.B. Сравнение моделей тонкого и полного вязкого ударного слоя в задаче сверхзвукового обтекания притуплённых конусов вязким газом // ПММ. 1989. Т. 53. Вып. 6. С. 963-969.

92. Власов В.И., Горшков А.Б. Сравнение результатов расчетов гиперзвукового обтекания затупленных тел с летным экспериментом OREX // Изв. РАН. МЖГ. 2001. № 5. С. 160168.

93. Шидловский В.П. К задаче обтекания сферы сверхзвуковым потоком // Изв. АН СССР. ОТН. Мех. и машиностроение. 1962. № 2. С. 17-24.

94. Провоторов В.П., Степанов Э.А. Приближенные зависимости для расчета теплообмена на теле, обтекаемым гиперзвуковым потоком газа // Уч. Зап. ЦАГИ. 1992. T. XXIII. № 2. С. 25-29.

95. Ботин A.B., Провоторов В.П., Степанов Э.А. Приближенный расчет теплообмена в окрестности пространственной критической точки на идеально каталитической поверхности в разреженном гиперзвуковом потоке // Тепломассообмен при химических превращениях. Труды Первой Российской конф. по теплообмену. Т. 3. М.: Изд-во МЭИ. 1994.

96. Егоров И.В., Кузнецов М.М., Соколов JI.A. Аппроксимация коэффициента неравновесной теплопередачи в окрестности критической точки затупленного тела //

Тепломассообмен при химических превращениях. Труды Первой Российской конф. по теплообмену. Т. 3. М.: Изд-во МЭИ. 1994.

97. Zoby E.V. Approximate heating analysis for windward symmetry plane of shuttle-like bodies at large angle of attack // Progress in Astronautics and Aeronautics: Thermophysics of Atmospheric Entry. 1982. V. 82. No 2. P. 229-247.

98. Gupta R.N., Moss J.N., Simmonds A.L., Shinn J.L., Zoby E.V. Space shuttle heating analysis with variation of angle of attack and catalycity // J. Spacecraft and Rockets. 1984. V. 21. No 2. P. 217-220.

99. Zoby E.V., Simmonds A.L. Engineering flowfield method with angle of attack applications // J. Spacecraft and Rockets. 1985. V. 22. № 4. P. 398-404.

100. Брыкина И.Г., Русаков В.В., Щербак В.Г. Соотношения подобия для расчета трехмерных химически неравновесных вязких течений // ТВТ. 1992. Т. 30. № 3. С. 521528.

101. Брыкина И.Г., Русаков В.В., Щербак В.Г. Метод определения тепловых потоков и трения в трехмерных задачах гиперзвукового обтекания с помощью двумерных решений//Докл. АН СССР. 1991. Т. 316. № 1. С. 62-66.

102. Гусев В.Н., Егоров И.В., Провоторов В.П. Моделирование неравновесной теплопередачи в окрестности плоскости симметрии трехмерного тела // Уч. Зап. ЦАГИ. Т. XXVII. 1996. № 3-4. С. 67-74.

103. Егоров И.В., Провоторов В.П., Степанов Э.А. О распределении теплообмена на затупленном осесимметричном теле, обтекаемом гиперзвуковым потоком разреженного газа//Уч. Зап. ЦАГИ. Т. XXVIII. 1997. № 2. С. 14-22.

104. Гершбейн Э.А., Юницкий С.А. Исследование гиперзвукового пространственного вязкого ударного слоя в окрестности критической точки при наличии вдува или отсоса //ПММ. 1979. Т. 43. Вып. 5. С. 817-828.

105. Гершбейн Э.А., Щелин B.C., Юницкий С.А. Численные и приближенные аналитические решения уравнений гиперзвукового пространственного вязкого ударного слоя при умеренно малых числах Рейнольдса // В сб.: Гиперзвуковые пространственные течения при наличии физико-химических превращений. М.: Изд-во МГУ. 1981. С. 72-92.

106. Брыкина И.Г., Русаков В.В. Численное и аналитическое исследование пространственного вязкого ударного слоя в окрестности критической точки с учетом эффектов скольжения и скачка температуры на поверхности // Отчет Ин-та механики МГУ №3418. 1986. 52 с.

107. Брыкина И.Г. О теплообмене на стреловидных крыльях с затупленной передней кромкой, обтекаемых гиперзвуковым потоком под углом атаки // Изв. АН СССР. МЖГ. 1994. №4. С. 170-179.

108. Брыкина И.Г., Русаков В.В., Щербак В.Г. Приближенные формулы для тепловых потоков к идеально каталитической поверхности в окрестности плоскости симметрии // ПММ. 1989. Т. 53. Вып. 6. С. 956-962.

109. Брыкина И.Г., Русаков В.В., Щербак В.Г. Приближенные формулы для тепловых потоков к поверхности пространственных тел // ПММ. 1992. Т. 56. Вып. 4. С. 658-662.

110. Брыкина И.Г., Русаков В.В. Одномерные и двумерные аналогии для пространственных вязких течений в окрестности плоскости симметрии затупленных тел//Изв. АН СССР. МЖГ. 1990. № 1. С. 117-122.

111. Брыкина И.Г., Русаков В.В., Щербак В.Г. Приближенный метод расчета тепловых потоков в окрестности плоскости симметрии затупленных тел // ИФЖ. 1990. Т. 58. № 6. С. 920-923.

112. Брыкина И.Г., Русаков В.В., Щербак В.Г. Подобие пространственных и осесимметричных химически неравновесных течений в окрестности плоскости симметрии // Изв. АН СССР. МЖГ. 1990. № 2. С. 115-120.

113. Брыкина И.Г., Русаков В.В., Щербак В.Г. Осесимметричная аналогия для трехмерных задач вязкого обтекания//Изв. АН СССР. МЖГ. 1991. №6. С. 111-118.

114. Брыкина И.Г., Скотт К.Д. Построение эквивалентных осесимметричных тел для расчета теплообмена и напряжения трения на пространственных телах, обтекаемых под углом атаки // Изв. РАН. МЖГ. 2001. № 2. С. 147-156.

115. Brykina I.G. Some effective methods for solving 3D hypersonic viscous perfect gas and chemically nonequilibrium flows // Molecular Physics and Hypersonic Flows. NATO ASI Series, Series C: Mathematical and Physical Sciences. 1996. V. 482. P. 571-580.

116. Brykina I.G. The effective method for heat transfer and shear stress predictions on three-dimensional bodies at the angle of attack // Numerical Modelling in Continuum Mechanics. Proceedings of the 4-th Summer Conference, held in Prague. 2001. P. 44-51.

117. Yen S.M. Numerical solution of the nonlinear Boltzmann equation for non-equilibrium gas flow problems // Annu Rev. Fluid Mech. 1984. V. 16. P. 67-97.

118. Aristov V.V. Direct Methods for Solving the Boltzmann Equation and Study of Non Equilibrium Flows. Dordrecht etc.: Kluwer, 2001. 298p.

119. Tcheremissin F.G. Direct numerical solution of the Boltzmann equation // Rarefied Gas Dynamics. 24th International Symposium. AIP conference proceedings. V. 762, ed. By M. Capitelli. NY. 2005. P. 677-685.

120. Bhatnagar P.L., Gross E.P., Krook M. A model for collision processes in gases // Phys. Rev. 1954. V. 94. No 3. P. 511-525.

121. Krook M. Continuum equations in the dynamics of rarefied gases // J. Fluid Mech. 1959. V. 6. P. 523-541.

122. Шахов E.M. Об обобщении релаксационного кинетического уравнения Крука // Изв. АН СССР. МЖГ. 1968. № 5. С. 142-145.

123. Шахов Е.М. Метод исследования движений разреженного газа. М.: Паука. 1974. 207 с.

124. Брыкина И.Г., Б.В. Рогов, Г.А. Тирский, В.А. Титарев, С.В. Утюжников. Сравнительный анализ подходов к исследованию гиперзвукового обтекания затупленных тел в переходном режиме // ПММ. 2013. Т. 77. Вып. 1. С. 15-26.

125. Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. М.: Изд-во иностр. лит., 1960. 511 с.

126. Алексеев Б.В., Гришин A.M. Физическая газодинамика реагирующих сред. М.: Высшая школа, 1985. 464 с.

127. Галкин B.C., Шавалиев М.Ш. Газодинамические уравнения высших приближений метода Чепмена-Энскога // Изв. РАН. МЖГ. 1998. № 4. С. 3-28.

128. Yun K.Y., Agarwal R.K. Numerical Simulation of Three-Dimensional Augmented Burnett Equations for Hypersonic Flow // J. Spacecrafts and Rockets. 2001. V. 38. No 4. P. 520-533.

129. Tannehill J.C., Eisler G.R. Numerical computation of the hypersonic leading edge problem using the Burnett equations // Phys. Fluids. 1976. V. 19. No 1. P. 9-15.

130. Коган M.H. Динамика разреженного газа. M.: Паука, 1967. 440 с.

131. Imlay S.T. Solution of the Burnett equations for hypersonic flows near the continuum limit//AIAA Paper. 1992. No 92-2922. 10 p.

132. Bird G. Molecular Gas Dynamics and the Direct Simulation of Gas Flows. Oxford: Clarendon Press. 1994. 458 p.

133. Moss J.N., Bird G.A. Direct simulation of transitional flow for hypersonic reentry conditions // AIAA Paper. 1984. No 84-0223. 14 p.

134. Ivanov M.S., Gimelshein S.F. Computational hypersonic rarefied flows // Annu Rev. Fluid Mech. 1998. V. 30. P. 469-505.

135. Muntz E.P. Rarefied gas dynamics // Annu. Rev. Fluid Mech. 1989. V. 21. P. 387-417.

136. Белоцерковский O.M., Яницкий B.E. Статистический метод частиц в ячейках для решения задач динамики разреженного газа. II. Вычислительные аспекты метода // ЖВММФ. 1975. Т. 15. № 6. С. 1553-1567.

137. Kolobov V.I., Arslanbekov R.R., Aristov V.V., Frolova A.A., and Zabelok S.A.. Unified solver for rarefied and continuum flows with adaptive mesh and algorithm refinement // J. Сотр. Phys. V. 223. 2007. P. 589-608.

138. Deschenes T.R., Boyd I.O. Application of Modular Particle-Continuum Method to

ih

Partially Rarefied Hypersonic Flow // Rarefied Gas Dynamics, 27 International Symposium. AIP conference proceedings. V. 1333, ed. by D. Levin, I. Wysong, A. Garcia. Melville, NY. 2011. P. 539-544.

139. Kotov V.M., Lychkin E.N., Reshetin A.G., Schelkonogov A.N. An approximate method of aerodynamics calculation of complex shape bodies in a transitional region // Proceedings of 13,h International Symposium on Rarefied Gas Dynamics. NY. 1982. P. 487-494.

140. Lin T.C., McGregor R.D., Wong J.L., Grabowsky W.R. Numerical Simulation of 3D Rarefied Hypersonic Flow // AIAA Paper. 1989. No 89-1715. 11 p.

141. Jain A.C., Hayes J.R. Hypersonic Pressure, Skin-Friction, and Heat Transfer Distributions on Space Vechicles: Planar Bodies // AIAA J. 2004. V. 42. No. 10. P. 20602069.

142. Jain A.C., Hayes J.R. Hypersonic Pressure, Skin-Friction, and Heat Transfer Distributions on Space Vechicles: Three-Dimensional Bodies // AIAA J. 2004. V. 42. No. 10. P. 2070-2081.

143. Vashchenkov P., Kashkovsky A., Ivanov M. Numerical Analysis of Aerodynamics of Reentry Vechicles in Wide Range of Knudsen Numbers // Papers from the East West High Speed Flow Field Conference. Beijing. 2005. P. 1-8.

144. Vashchenkov P.V., Ivanov M.S., Krylov A.N., Khokhlov A.V. // High-Altitutude Aerodynamics of The Clipper Spacecraft // Proceedings of 25th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics, ed. by M.S. Ivanov, A.K. Rebrov. Novosibirsk. 2007. P. 796-801.

145. ReVelle D.O. A quasi-simple ablation model for large meteorite entry: theory vs observations //J. Atmospheric and Terrestrial Physics. 1979. V. 41 P. 453^173.

146. Брыкина И.Г., Стулов В.П. О взаимной роли конвективного и лучистого теплообмена в метеорном диапазоне параметров // Докл. РАН. 2012. Т. 443. № 5. С. 576-577.

147. Brykina I.G. The similarity method for solving three-dimensional super and hypersonic viscous flows over blunted bodies // Proceedings of Second European Symposium on Aerothermodynamics for Space Vehicles. ESA. ESTEC. Nordwijk. 1995. P. 109-114.

148. Но H.T., Probstein R.F. The compressible viscous layer in rarefied hypersonic flow // Proceedings of 2nd International Symposium on Rarefied Gas Dynamics, ed. by L. Talbot. N.Y.: Acad. Press. 1961. P. 525-552.

149. Толстых А.И. Аэродинамические характеристики охлажденного сферического затупления в гиперзвуковом потоке слаборазреженного газа // Изв. АН СССР. МЖГ. 1969. № б. С. 163-166.

150. Гусев В.II., Ерофеев А.И., Климова Т.В., Перепухов В.А., Рябов В.В., Толстых А.И. Теоретические и экспериментальные исследования обтекания тел простой формы гиперзвуковым потоком разреженного газа // Тр. ЦАГИ. 1977. Вып. 1855.

151. Gupta R.N., Simmonds A.L. Hypersonic low density solutions of the Navier-Stockes equations with chemical nonequilibrium and multicomponent surface slip // AIAA Paper. 1986. No 86-1349. 18 p.

152. Cheng U.K., Wong E.Y. Hypersonic Slip Flows and Issues on Extending Continuum Model Beyond the Navier-Stokes Level // AIAA Paper. 1988. 88-2731. 15 p.

153. Ботин A.B., Гусев B.H., Провоторов В.П. Гиперзвуковое обтекание затупленных кромок при малых числах Рейнольдса//ПМТФ. 1989.№4. С. 161-168.

154. Gokcen Т., MacCormack R. Nonequilibrium Effects for Hypersonic Transitional Flows Using Continuum Approach // AIAA Paper. 1989. 89-0461. 11 p.

155. Cheng II.K., Lee C.J., Wong E.Y., Yang H.T. Hypersonic Slip Flows and Issues on Extending Continuum Model Beyond the Navier-Stokes Level // AIAA Paper. 1989. 891663. 18 p.

156. Cheng H.K., Emanuel G. Perspective on Hypersonic Nonequilibrium Flow // AIAA J. 1995.V. 33.No3. P. 385-400.

157. Егоров И.В., Ерофеев А.И. Исследование гиперзвукового обтекания плоской пластины на основе сплошносредного и кинетического подходов // Уч. Зап. ЦАГИ. 1997. Т. XXVIII. № 2. С. 23-40.

158. Кузнецов М.М., Никольский B.C. Кинетический анализ гиперзвуковых вязких течений многоатомного газа в тонком трехмерном ударном слое // Уч. Зап. ЦАГИ. 1985. Т. XVI. № 3. С. 38-49.

159. Кузнецов М.М., Никольский B.C. Кинетическая теория предельных гиперзвуковых течений вязкого газа // Тр. 8-й Всесоюз. конф. по динамике разреженных газов. Численные и аналитические методы в динамике разреженного газа. М. 1986. С. 23-27.

160. Кузнецов М.М., Липатов И.И., Никольский B.C. Реология течения разреженного газа в гиперзвуковом ударном и пограничном слоях // Изв. РАН. МЖГ. 2007. № 5. С. 189-196.

161. Брыкина И.Г. Асимптотическое решение уравнений тонкого вязкого ударного слоя при малых числах Рейнольдса для холодной поверхности // Изв. РАН. МЖГ. 2004. № 5. С. 161-172.

162. Брыкина И.Г. Асимптотическое исследование уравнений тонкого вязкого ударного слоя при малых числах Рейнольдса в окрестности точки торможения // Изв. РАН. МЖГ. 2005. №6. С. 150-159.

163. Брыкина И.Г. Асимптотическое решение двумерных уравнений тонкого вязкого ударного слоя в разреженном газе для холодной поверхности // Изв. РАН. МЖГ. 2006. №4. С. 164-172.

164. Брыкина И.Г. Асимптотические решения двумерных уравнений тонкого вязкого ударного слоя в разреженном газе // Изв. РАН. МЖГ. 2007. № 5. С. 144-155.

165. Брыкина И.Г. Асимптотические решения уравнений тонкого вязкого ударного слоя в окрестности плоскости симметрии затупленных тел, обтекаемых гиперзвуковым потоком разреженного газа // Изв. РАН. МЖГ. № 3. 2011. С. 120-131.

166. Брыкина И.Г. Аналитический метод решения уравнений тонкого вязкого ударного слоя при малых числах Рейнольдса // В кн.: Гиперзвуковая аэродинамика и тепломассообмен спускаемых космических аппаратов и планетных зондов, под ред. Г.А. Тирского. М.: Физматлит. 2011. С. 520-544.

167. Irina Brykina, Boris Rogov, Grigoriy Tirskiy. Aerodynamics and Heat Transfer Prediction in Hypersonic Transitional Flows by using Continuum-Flow Models // Papers from East West High Speed Flow Field Conference 2005. Oct. 19-22. 2005. Beijing. China. P. 91-96.

168. Брыкина И.Г., Рогов Б.В., Тирский Г.А. Континуальные модели разреженных потоков газа в задачах гиперзвуковой аэродинамики // ПММ. 2006. Т. 70. Вып. 6. С. 992-1018.

169. I.G. Brykina, B.V. Rogov, G.A. Tirskiy. Heat-Transfer and Skin Friction Prediction along the Plane of Symmetry of Blunt Bodies for Hypersonic Rarefied Gas Flow // Rarefied Gas Dynamics, 26th International Symposium. AIP conference proceedings. V. 1084, ed. by T. Abe. 2009. P. 778-783.

170. Брыкина И.Г., Рогов Б.В., Тирский Г.А. Континуальные подходы к решению задач гиперзвукового обтекания тел разреженным газом // Современные проблемы механики сплошной среды. Сборник избранных трудов всероссийской конференции памяти академика Леонида Ивановича Седова в связи со столетием со дня рождения. Москва: Торус Пресс, 2009. С. 256-274.

171. Брыкина И.Г., Рогов Б.В. Асимптотически согласованные континуальные модели в переходном режиме гиперзвукового обтекания затупленных тел разреженным газом // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. № 4. Часть 3. С. 664-666.

172. Брыкина И.Г., Рогов Б.В., Тирский Г.А., Утюжников С.В. Влияние кривизны поверхности на граничные условия в модели вязкого ударного слоя при гиперзвуковом обтекании разреженным газом // ПММ. 2012. Т. 76. Вып. 6. С. 938-953.

173. Grad II. On the kinetic theory of rarefied gas // Communication of Pure Appl. Math. 1949. V. 2. No. 4. P. 331-407.

174. Гусев B.H., Провоторов В.П., Рябов В.В. О роли физико-химических процессов в задачах моделирования гиперзвуковых течений разреженного газа // Уч. Зап. ЦАГИ. 1981. Т. XII. №4. С. 64-74.

175. Beckwith I.E., Gallagher J. Local heat transfer and recovery temperatures on a yawed cylinder at a Mach number of 4.15 and high Reynolds numbers. NASA. Techn. Rept. 1961. NR-104.

176. Громов В.Г. Расчет ламинарного пограничного слоя при наличии неравновесных химических реакций // В сб.: Некоторые применения метода сеток в газовой динамике. Вып. 1. Течения в пограничном слое. Изд-во МГУ. 1971.

177. Мурзинов И.Н. Ламинарный пограничный слой на сфере в гиперзвуковом потоке равновесно диссоциирующего воздуха // Изв. АН СССР. МЖГ. 1966. № 2. С. 184-188.

178. Сахаров В.И. Численное исследование особенностей в теплообмене при гиперзвуковом обтекании затупленного конуса, лежащего на треугольной пластине с притуплёнными кромками // Отчет НИИ механики МГУ № 4977. 2008. 54 с.

179. Шевелев Ю.Д. Разностные методы расчета пространственного ламинарного пограничного слоя // В сб.: Некоторые применения метода сеток в газовой динамике. Вып. 1. Течения в пограничном слое. М.: Изд-во МГУ, 1971. С. 100-195.

180. Н.А. Dwyer. Solution of a three-dimensional boundary-layer flow with separation. AIAA J. 1971. V. 6. No. 7. P. 1336-1342.

181. Шевелев Ю.Д. Численный расчет пространственного пограничного слоя в несжимаемой жидкости. Изв. АН СССР. МЖГ. № 5. 1966.

182. К.С. Wang. Three-dimensional boundary layer near the plane of symmetry of a spheroid at incidence // J. Fluid Mech. 1970. V. 43. P. 187-209.

183. Анкудинов А.Л. Вязкий ударный слой в окрестности затупления // Уч. Зап. ЦАГИ. 1975. Т. 6.№3. С. 35-41.

184. Анкудинов А.Л. Вязкий ударный слой около параболоида вращения // В сб.: Аэродинамическое нагревание при сверхзвуковых скоростях потока. Труды ЦАГИ. Вып. 1448. 1973.

185. Гершбейн Э.А., Щелнн B.C., Юннцкий С.А. Численное исследование гиперзвукового вязкого ударного слоя на крыльях бесконечного размаха, обтекаемых под углами атаки и скольжения // Изв. АН СССР. МЖГ. 1984. № 2. С. 104-108.

186. Ефимов К.Н., Зинченко В.И. Численное исследование пространственного гиперзвукового тонкого вязкого ударного слоя в окрестности плоскости симметрии // Математическое моделирование сопряженных задач тепломассообмена. Моделирование в механике. Новосибирск. 1987. Т. 1. № 5. С. 35-46.

187. Scott C.D. Effects of nonequilibrium and wall catalysis on shuttle heat transfer // J. Spacecraft and Rockets. 1985. V. 22. № 5. P. 489-499.

188. Miner E.W., Lewis C.H. Hypersonic ionizing air viscous shock-layer flows over nonanalytic blunt bodies // NASA CR-2550. 1975. 100 p.

189. Щербак В.Г. О граничных условиях на ударной волне при сверхзвуковом обтекании //ПМТФ. 1989. № 1. С. 49-55.

190. Scott C.D. Catalytic recombination of nitrogen and oxygen on high-temperature reusable surface insulation // AIAA Paper. 1980. No 80-1477. 9 p.

191. Moss J.N., Bird G.A. Monte Carlo simulations in support of the Shuttle upper atmosphere mass spectrometer experiment// AIAA Paper. 1985. No 85-0968. 13 p.

192. Cuda V.J., Moss J.N. Direct Simulation of Hypersonic Flows Over Blunt Wedges // J. Thermophysics. 1987. V. 1. No 2. P. 97-104.

193. Moss J.N., Cuda V.J., Simmonds A.L. Nonequilibrium effects for hypersonic transitional flows // AIAA Paper. 1987. No 87-0404. 17 p.

194. Николаев К.В. Распределенные аэродинамические и тепловые характеристики обтекания сферы гиперзвуковым потоком разреженного газа // Труды IX Всесоюзной конференции по динамике разреженных газов. 1987. Т.1. С. 130-135.

195. Гусев В.II., Никольский Ю.В. Экспериментальное исследование теплопередачи в критической точке сферы в гиперзвуковом потоке разреженного газа // Уч. Зап. ЦАГИ. 1971. Т. II. № 1.С. 122-125.

196. Wilson M.R., Wittliff С.Е. Low density stagnation point heat transfer measurements in the hypersonic shock tunnel // ARS J. 1962. V. 32. No 2. P. 275-276.

197. Vidal R.J., Wittliff C.E. Hypersonic low density studies of blunt and slender bodies // Proceedings of 3d International Symposium on Rarefied Gas Dynamics, ed. by J.A. Laurmann. NY: Acad. Press. 1963. V. 2. P. 343-378.

198. Перепухов В.А. Аэродинамические характеристики сферы и затупленного конуса в потоке сильно разреженного газа // ЖВММФ. 1967. Т. 7. № 2. С. 444-452.

199. Гершбейн Э.А., Колесников А.Ф. Численное решение уравнений Навье-Стокса в окрестности притупления тел с проницаемой поверхностью, обтекаемых гиперзвуковым потоком разреженного газа // Отчет Ин-та механики МГУ № 1908. 1977. 47 с.

200. Jain A.C. Hypersonic merged-layer flow on a sphere // J. Thermophys. Heat Transfer. 1987. V. 1. No 1. P. 21-27.

201. Zeytounian R. Kh. Contribution a l'etude de la couche limite tridimensionnelle laminaire incompressible en regime instationnaire // ONERA. 1968. Note Techn. No. 131.

202. Гришин A.M., Голованов A.H., Зинченко В.И., Ефимов К.Н., Якимов A.C. Математическое и физическое моделирование тепловой защиты. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2011. 358 с.

203. Гришин A.M., Голованов А.Н., Зинченко В.И., Ефимов К.Н., Якимов A.C. О тепловой защите гиперзвуковых летательных аппаратов // Сб. трудов XIV Минского международного форума по тепло- и массообмену. 2012. Минск. С. 78-81.

204. Сахаров В.И., Тирский Г.А. Расчет сверхзвукового обтекания затуплений методом установления по времени // В сб.: Гиперзвуковые пространственные течения при наличии физико-химических превращений. М.: Изд-во МГУ. 1981. С. 93-105.

205. Кочин ILE., Кибелъ И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика, ч. 1. М.: Физматгиз, 1963. 584 с.

206. Авдуевский B.C., Медведев К.И. Отрыв трехмерного пограничного слоя. Изв. АН СССР. МЖГ. 1966. №2.

207. П. Чжен. Отрывные течения. Т. 1. М.: Мир, 1972. 300 с.

208. Бам-Зеликович Г.М. О необходимом условии отрыва трехмерного пограничного слоя // Изв. АН СССР. МЖГ. 1970. № 2. С. 109-113.

209. Бам-Зеликович Г.М. О критериях отрыва трехмерного пограничного слоя // Изв. АН СССР. МЖГ. 1970. № 4. С. 49-55.

210. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1966.724 с.

211. Вершинин И.В., Тирский Г.А., Утюжников C.B. Сверхзвуковое ламинарное обтекание наветренной части скользящих крыльев бесконечного размаха в широком диапазоне чисел Рейнольдса // Изв. АН СССР. МЖГ. 1991. № 4. С. 40-44.

212. Брыкина И.Г., Сахаров В.И. Сравнение приближенных аналитических и численных решений для тепловых потоков при сверхзвуковом обтекании тел вязким газом // Изв. РАН. МЖГ. 1996. № 1. С. 125-132.

213. Eaton R.R., Kaestner P.С. Viscous shock-layer flow in the windward plane of cones at angles of attack //AIAA J. 1973. V. 11. No 9. P. 1337-1339.

214. Eaton R.R., Larsen D.E. Symmetry plane laminar and turbulent viscous flow on bodies at incidence // AIAA J. 1975. V. 13. No 5. P. 559-560.

215. Kumar A., Graves R.A. Viscous hypersonic flow past blunted cones at small angles of attack//AIAA J. 1977. V. 15. No 8. P. 1061-1062.

216. Kumar A. Low Reynolds number flow past a blunt axisymmetric body at angle of attack //AIAA J. 1977. V. 15. No 8. P. 1212-1214.

217. Гершбейн Э.А., Юницкий С.А. К теории пространственного вязкого слоя в окрестности плоскости симметрии // ПММ. 1984. Т. 48. № 5. С.768-775.

218. Зинченко В.И. Математическое моделирование сопряженных задач тепломассообмена // Томск: Изд-во ТГУ, 1985. 222 с.

219. Брыкина И.Г., Русаков В.В. Численное и аналитическое исследование тепловых потоков в окрестности плоскости симметрии затупленных тел, обтекаемых вязким газом // Моделирование в механике. 1990. Т. 4. № 5. Вып. 6. С. 32-36.

220. Гершбейн Э.А., Щелин B.C., Юницкий С.А. Исследование пространственного обтекания тел с каталитической поверхностью при их движении по траектории входа в атмосферу Земли // Космич. Исследования. 1985. Т. 23. № 3. С. 416-425.

221. Wilke C.R. A viscosity equation of gas mixtures // J. Chem. Physics. V. 18. No 4. 1950. P. 517-552.

222. Shehla R.A. Estimated viscosities and thermal conductivities of gases at high temperatures//NASA TRR-132. 1962. 130 p.

223. Гиршфельдер Дж., Кертисс С., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей // М.: Изд-во иностр. лит., 1961. 929 с.

224. Гурвич Л.В., Вейц И.В., Медведев В.А. и др. Термодинамические свойства индивидуальных веществ // Справочное издание в 4-х томах. 3-е изд. Т. 1. кн. 2. М.: Наука, 1978. 328 с.

225. Гориславский B.C., Толстых А.И. Численный расчет течения в области сферического затупления при малых числах Рейнольдса // Изв. АН СССР. МЖГ. 1967. № 5.С. 93-98.

226. Гришин A.M., Погорелов О.Н., Пырх С.И. Исследование сверхзвукового вязкого обтекания сферы при наличии дозвукового и звукового вдува // Изв. АН СССР. МЖГ. 1988. № 1.С. 83-89.

227. Masek R.V., Hender D., Forney J.A. Evaluation of aerodynamic uncertainties for space shuttle // AIAA Paper. 1973. No 73-177. 14 p.

228. Гершбейн Э.А., Щелин B.C., Юницкий С.А. Гиперзвуковой химически неравновесный вязкий ударный слой на крыльях с каталитической поверхностью // Изв. АН СССР. МЖГ. 1984. № 6. С. 127-135.

229. Брыкина И.Г., Русаков В.В. Приближенные методы определения тепловых потоков и напряжения трения в окрестности плоскости симметрии тел, обтекаемых вязким газом под углом атаки // В сб.: Современные газодинамические и физико-химические модели гиперзвуковой аэродинамики и теплообмена, под ред. Л.И. Седова. Часть I. М.: Изд-во МГУ, 1994. С. 106-122.

230. Брыкина И.Г., Сахаров В.И. Применение метода подобия для расчета тепловых потоков и напряжения трения в окрестности плоскости симметрии затупленных тел в рамках полных уравнений Навье-Стокса // Изв. РАН. МЖГ. 1997. № 4. С. 9-16.

231. Brykina I., Sakharov V. Heat transfer and shear stress prediction in 3D hypersonic flows by approximate methods // Proceedings of NASA The Eighth Annual Thermal and Fluids Analysis Workshop, Spacecraft Analysis and Design. Houston. USA. 1997. P. 14-1 - 14-12.

232. Корякин В.E., Попов Ф.Д. Расчет пространственного обтекания затупленных тел сверхзвуковым потоком вязкого и теплопроводящего газа // ЖВММФ. 1977. Т. 17. № 6. С. 1545-1555.

233. Брыкина И.Г., Русаков В.В., Щербак В.Г. Приближенный метод определения трения и теплообмена при химически неравновесном обтекании тел под углом атаки // ТВТ. 1991. Т. 29. № 1. С. 179-182.

234. Brykina I.G., Scott C.D. An Approximate Axisymmetric Viscous Shock Layer Aeroheating Method for Three-Dimensional Bodies //NASA / TM - 98-207890. 1998. 28 p.

235. Miner E.W., Lewis C.H. Computer user's guide for a chemically reacting viscous shock-layer program //NASA CR-2551. 1975. 177 p.

236. Брыкина И.Г., Ковалев В.Л., Крупнов А.А. Эффективный метод расчета пространственного обтекания затупленных тел вязким газом с учетом реальных физико-химических процессов // Отчет Ин-та механики МГУ № 4278. 1993. 65 с.

237. Ковалев В.Л, Суслов О.Н. Модель взаимодействия частично ионизованного воздуха с каталитической поверхностью // В сб.: Исследования по гиперзвуковой аэродинамике и теплообмену. М.: Изд-во МГУ, 1987. С. 58-69.

238. Hudson М. Evaluation of PNS-computing heating and hypersonic shock tunnel data on sharp and inclined blunt cones // AIAA Paper. 1989. No 89-310. 11 p.

239. Tirskiy G.A. Continuum models for the problem of hypersonic flow of rarefied gas over blunt body // Syst. Anal. Modelling Simulation. 1999. V. 34. No 4. P. 205-240.

240. Слезкин Н.А. К теории течения газа в слое между поверхностью ударной волны и притуплённой поверхностью тела вращения // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1959. № 2. С. 3-12.

241. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1. М.: Наука, 1970. 492 с.

242. Шидловский В.П. Введение в динамику разреженного газа. М.: Наука. 1965, 218 с.

243. Bird G.A. Definition of mean free path for real gases // Phys. Fluids. 1983. V. 26. P. 3222-3223.

244. Brykina I.G., Rogov B.V., Tirskiy G.A., Titarev V.A., Utyuzhnikov S.V. Comparative Study of Various Approaches for Modeling Transitional Hypersonic Rarefied Gas Flow over Blunted Bodies // Rarefied Gas Dynamics, 28th International Symposium. AIP conference proceedings. V. 1501, ed, by M. Mareschal, A. Santos. Melville, NY. 2013. P. 1500-1506.

245. Brykina I.G., Rogov B.V., Tirskiy G.A. Continuum Approach to Hypersonic Aerodynamics and Heat Transfer Prediction at Low Reynolds Numbers // Rarefied Gas Dynamics, 24"1 International Symposium. AIP conference proceedings. V. 762, ed. by M. Capitelli. Melville, NY. 2005. P. 1235-1240.

246. Брыкина И.Г., Перунов M.B., Рогов Б.В., Тирский Г.А. О точности континуальных и кинетических подходов в переходном режиме гиперзвукового обтекании // Шестые Поляховские чтения: Избранные труды Международной научной конференции по механике. Санкт-Петербург, 31 января - 3 февраля 2012. М.: Издатель И.В. Балабанов, 2012. С. 168-175

247. Brykina I.G., Rogov B.V., Semenov I.L., Tirskiy G.A. Effective Boundary Conditions for Continuum Method of Investigation of Rarefied Gas Flow over Blunt Body // Rarefied Gas Dynamics, 27th International Symposium. AIP conference proceedings. V. 1333, ed. by D. Levin, I. Wysong, A. Garcia. Melville, NY. 2011. P. 1289-1294.

248. Cheng H.K., Wong E.Y., Dogra V.K. A Shock-Layer Theory Based on Thirteen-Moment Equations and DSMC Calculations of Rarefied Hypersonic Flows // AIAA Paper. 1991. 910783.