Методы решения обратной задачи рассеяния для волоконных брэгговских решеток тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.05, кандидат физико-математических наук Белай, Олег Владимирович

• Белай, Олег Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Белай, Олег Владимирович

Введение

1 Теория связанных мод в волоконной брэгговской решётке

1.1 Уравнения связанных ыод.

1.2 Точные решения.

1.3 Численное решение задачи рассеяния.

2 Новые методы синтеза волоконных брэгговских решёток

2.1 Уравнения Гельфанда—Левитана—Марченко.

2.2 Разложение Холецкого.

2.3 Тёплицева симметрия и внутреннее окаймление.

3 Синтез оптических фильтров для линий связи

3.1 Устойчивость восстановления решётки по зашумлённым данным

3.2 Прямоугольный фильтр для оптической связи.

3.3 Оптимизация квазипрямоугольного фильтра.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы решения обратной задачи рассеяния для волоконных брэгговских решеток»

Волоконная брэгговская решётка (ВБР) представляет собой оптическое волокно, в ядре которого показатель преломления квазипериодически изменяется в продольном направлении. Такая решётка работает как узкополосный фильтр для проходящего через неё излучения. Наиболее сильно отражается свет с длиной волны, равной удвоенному периоду решётки. Амплитуда изменения показателя преломления в такой решётке мала, поэтому в любой заданной точке отражается небольшая часть излучения. Однако, за счёт участия в отражении всей длины решётки коэффициент отражения может быть большим и даже приближаться к единице. Когда волна, отражённая от одного из периодов решётки, оказывается в фазе с отражёнными от других периодов, происходит её усиление. Синфазность достигается в узком диапазоне длин волн, таким образом, решётка имеет узкую полосу отражения, а свет с другими длинами волн проходит через решётку. Отражение всей длиной решётки приводит к тому, что излучение разной частоты выходит из решётки с разными фазами — возникает неоднородная задержка сигнала (дисперсия).

Возникновение волоконной брэгговской решётки впервые описано в работе Хилла с соавторами [1]. Видимое излучение аргонового лазера с длиной волны 488 нм, направленное через торец в оптическое волокно, легированное германием, образовывало стоячую волну за счёт слабого отражения 4%) от выходного конца волокна. Длительное воздействие (несколько десятков секунд) стоячей волны на материал волокна приводило к неоднородному изменению показателя преломления с образованием периодической структуры. Интерес к таким решёткам был ограничен тем, что их период определялся длиной волны излучения, производящего запись, кроме того процесс записи имел низкую эффективность и не позволял произвольно задавать профиль решётки. Позже было установлено [2], что фоточувствительность волокна определяется поглощением на длине волны 244 нм, а в работе [1] наблюдалось двухфотонное поглощение, что и снижало эффективность записи.

Устранить недостатки, присущие методу Хилла, удалось Мелтцу с соавторами, разработавшим метод голографической записи [3]. В этом методе запись производится ультрафиолетовым излучением с длиной волны 244 нм. Периодическая структура формируется интерференцией двух когерентных пучков, направленных в волокно сбоку, через оболочку. Изменяя угол между пучками можно выбирать период решётки и, соответственно, брэгговскую длину волны.

Позже были созданы методы, использующие фазовую маску [4,5]. Благодаря использованию фазовой маски, дающей дифракционную картину в проходящем пучке, снизились требования к когерентности излучения и механической стабильности записывающего оборудования, появилась возможность записывать несколько решёток одновременно. Кроме того, изготовив фазовую маску нужного профиля, можно создавать «аподизированные» (плавно спадающие к краям) и «чирпованные» (с периодом, изменяющимся вдоль длины) решётки. В настоящее время активно развиваются также и другие методы записи [6,7], позволяющие создавать решётки различного назначения с широким набором свойств.

Благодаря широким возможностям методов записи и разнообразию свойств, волоконные брэгговские решётки находят все больше приложений [8]. Они используются в оптических линиях связи [9-12], в сенсорных системах [13], а также для обработки радиочастотных и микроволновых аналоговых сигналов [14,15]. Для телекоммуникаций наиболее важные приложения — это компенсаторы дисперсии [7,16], зеркала волоконных [17—19] и полупроводниковых [20] лазеров, оптические усилители [21], фильтры для разделения каналов [22-24], в том числе для сверхплотной упаковки данных [25—27].

Сенсорные устройства на основе волоконных брэгговских решёток [28—31] могут применяться для измерения статических и динамических полей деформации, температуры и давления. Действие сенсоров основано на том, что при изменении температуры или деформации среды, в которую внедрена решётка, изменяется период решётки. Это приводит к изменению брэгговской длины волны и, соответственно, к смещению полосы отражения. Такой принцип действия обеспечивает малую чувствительность сенсорной системы к шумам и линейность характеристики в широком диапазоне значений измеряемой величины. Если размеры отдельного датчика малы, его деформацию можно считать однородной, а сигнал датчика несет информацию только об одной точке среды. Чтобы получить пространственное распределение измеряемой величины, решётки объединяются в сенсорные сети. Каждая решётка должна иметь брэгговскую длину волны, отличную от всех остальных. Для такого применения требуются узкий спектр отражения и малые размеры [28]. Возможно также использование длинной решётки как распределённого датчика, для этого необходимо измерять частотную зависимость коэффициента отражения. Решив для полученного спектра обратную задачу рассеяния, можно определить структуру решётки и, следовательно, распределение параметров вдоль волокна [28,32].

Для передачи данных по оптоволоконной линии связи они кодируются последовательностью коротких световых импульсов, генерируемых волоконным или полупроводниковым лазером. В качестве зеркал в нём используются узкополосные брэгговские решётки с характерными параметрами АЛ = 0.1 — 1 нм, Л = 1 — 100%. Данные передаются одновременно на нескольких частотных каналах, что требует мультиплексирования на входе в линию и демультиплексирования на выходе. Демультиплексор на основе брэгговской решётки должен обеспечивать спектр отражения с шириной ДА = 0.2 — 1 нм и высокую (> 30 дБ) степень подавления соседних каналов. При распространении импульсов в оптоволоконной линии связи, они расплываются за счёт дисперсии волокна, взаимодействуют друг с другом за счёт нелинейности и затухают. Все эти явления приводят ограничению дальности и скорости передачи данных. Затухание импульсов компенсируется волоконными оптическими усилителями, расположенными периодически вдоль линии связи. Волоконный усилитель содержит высокоотражаюгцее зеркало с параметрами АД = 2 — 25 нм, Л = 100 %. Дисперсионное расплывание импульсов устраняется периодически расположенными компенсаторами дисперсии ДА = 2—25 нм, групповая задержка 1600 пс/нм [9,28].

Многообразие приложений требует создания решёток с различными спектральными характеристиками, которые определяются деталями строения решётки: медленно-изменяющимися профилем огибающей и слабой модуляцией периода решётки вдоль её длины. Конструирование решётки требует решения прямой и обратной задач рассеяния. Первая заключается в нахождении комплексных коэффициентов отражения и прохождения излучения падающего на решётку с заданными профилем в нужном диапазоне длин волн, вторая — в определении профиля решётки по заданному комплексному спектру отражения. Обычно задача рассматривается как одномерная: при вычислениях используется только продольное распределение одной компоненты электромагнитного поля, а поперечное учитывается введением эффективного показателя преломления. Прямая задача рассеяния решается однозначно — задавая с необходимой подробностью всегда конечную по длине решётку, можно получать с соответствующей точностью спектральные характеристики решётки. В то же время, входными данными для решения обратной задачи является комплексный спектр отражения, который подразумевается заданным при всех частотах, что невозможно при численном решении задачи. При этом две решётки, спектры которых совпадают лишь в заданном диапазоне частот, могут иметь между собой мало общего. Таким образом, обратная задача рассеяния подразделяется на задачу восстановления профиля существующей решётки по данным рассеяния (измеренным в эксперименте) и задачу конструирования (синтеза) решётки, удовлетворяющей некоторым заданным требованиям [33,34].

Решение прямой задачи рассеяния для волоконной брэгговской решётки сводится к решению линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка (уравнения Гельмгольца) или системы двух уравнений первого порядка и потому не представляет значительных сложностей. Обратная задача рассеяния более сложна, существует несколько подходов к её решению.

Одномерная обратная задача рассеяния может быть сведена к системе двух интегральных уравнений Гельфанда—Левитана—Марченко (ГJIM) [35]. Если решётку длины L разбить на N слоёв толщины h = L/N, а интегралы заменить суммами, то получится система линейных алгебраических уравнений — дискретный аналог интегральных уравнений. Как известно, решение системы уравнений с матрицей общего вида требует N3 операций. Однако, в отличие от классических интегральных уравнений, решение системы ГЛМ является функцией двух переменных, то есть задачу размерности N нужно решить N раз. Решение f(x, у) надо найти в N точках по оси у при различных значениях переменной х. Отсюда получается, что непосредственное численное решение требует порядка N4 операций. При характерных N ~ 104 расчёт представлялся слишком трудоёмким, это заставило исследователей искать более эффективные методы численного решения обратной задачи, основанные на других подходах. Эти методы могут быть разделены на три группы. Первая и наиболее распространённая группа состоит из нескольких модификаций алгоритма послойного восстановления: непрерывного [36] и дискретного [33]. Вторая группа, использующая уравнения ГЛМ, включает различные численные методы. Третья группа использует конечно-разностные схемы для решения нелинейных гиперболических дифференциальных уравнений [37], эквивалентных ГЛМ для достаточно гладких функций, так называемые методы чехарды (leapfrog) [38-41]. Методы первой и третьей групп — очень быстрые, так как требуемое число операций — порядка N2. Однако, они имеют сравнительно низкую точность, особенно при высоком отражении, поскольку профиль ВБР аппроксимируется кусочно-постоянной функцией [42].

Один из основных подходов в настоящее время — послойное восстановление решётки (layer peeling), метод, давно известный в квантовой механике и геофизике и применённый к синтезу ВБР Феседом с соавторами [43], Поладиа-ном [36] и Скааром с соавторами [33]. Его достоинствами являются высокая скорость (порядка N2 арифметических операций) и ясная физическая интерпретация применяемых процедур.

Он основан на использовании принципа причинности—задача переформулируется таким образом, что вместо стационарного пространственного распределения гармоник рассматривается распространение в решётке бесконечно короткого (5-образного импульса. Импульс, упавший на решётку в момент времени = О, вызовет отклик, форма которого зависит от устройства решётки. Однако, вне зависимости от устройства решётки отклик обладает двумя свойствами: он равен нулю при £ < 0, а при £ > 0 несет информацию только о передней части решётки длиной с1/2п, так как свет, отражённый дальше этой точки к моменту £ ещё не успел вернуться. Здесь с—скорость света в вакууме, п — средний показатель преломления волокна. Решётка представляется как совокупность различных однородных слоев или точечных отражателей. Каждый тонкий слой имеет слабое отражение и может рассматриваться в первом борновском приближении.

В итоге, решение обратной задачи рассеяния сводится к следующему: 1) вычисляется импульсный отклик решётки при I — 0, 2) определяются параметры первого слоя решётки, 3) решается задача о распространении волн в слое, параметры которого определены на предыдущем шаге, 4) определяется отношение амплитуд противоположно-направленных волн на выходе из слоя, совпадающее с коэффициентом отражения оставшейся части решётки. Процедура повторяется до тех пор, пока не будет достигнут конец решётки, определяемый соотношением неопределённости для дискретизованного спектра отражения.

Благодаря высокой эффективности метод приобрёл широкое распространение. Недостаток обычного метода послойного восстановления — экспоненциальное падение точности вдоль решётки вследствие накопления ошибки в процессе восстановления [42]. Лучшие результаты для сильно-отражающей решётки продемонстрировал комбинированный метод, сочетающий итерации и послойное восстановление, интегральный метод послойного восстановления, предложенный Розенталем и Хоровицем [44]. Решётка разбивается на тонкие слои, которые однако не предполагаются однородными. Профиль каждого слоя находится итерационным решением уравнений ГЛМ. Этот метод уменьшает накопление ошибки и работает до очень высоких коэффициентов отражения, но требует для сходимости заранее неизвестного числа операций.

Ко второй группе относятся различные итерационные методы с числом операций Ш3, где I— число итераций, необходимое для сходимости. Например, метод последовательных приближений ядра, предложенный Франгосом и Джаг-гардом [45], метод борновских приближений высших порядков, предложенный Пералом с соавторами [46] или усовершенствованный алгоритм Поладиана [47], который использует информацию о спектрах отражения от обоих концов решётки. Иногда используются дополнительные предположения. Например, Сонг и Шин [48] заменили заданный спектр отражения дробно-рациональной функцией, а Ахмад и Раззаг [49] аппроксимировали ядра интегральных уравнений полиномами. Эти методы плохо сходятся, особенно при сильном отражении.

Третья группа методов, сравнимая по эффективности (М2 операций) с первой, включает метод Чао и Яширо [40], которые преобразовали интегральные уравнения ГЛМ в систему гиперболических уравнений в частных производных и решили её сеточный аналог. Существуют также другие разновидности этого метода, например, Папахристос и Франгос [38] вывели и решили дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. Во всех случаях точность остаётся невысокой из-за аппроксимации спектра отражения ступенчатой функцией.

Цель настоящей диссертации — разработка эффективных методов решения интегральных уравнений ГЛМ для синтеза ВБР.

Исследование состояло из трёх этапов:

1. Выбор эффективных алгоритмов решения прямой задачи рассеяния. Проверка точности методов и приближения связанных мод. Исследование аналитических решений.

2. Преобразование системы интегральных уравнений Гельфанда—Левитана—Марченко к эрмитовой и тёплицевой форме. Разработка эффективных и точных алгоритмов решения обратной задачи рассеяния.

3. Проверка точности и устойчивости предложенных методов синтеза брэг-говской решётки на аналитических решениях. Синтез прямоугольных оптических фильтров для линий связи с частотным уплотнением каналов. Оптимизация спектральных характеристик фильтров.

Диссертация состоит из Введения, трёх глав и Заключения. Первая глава посвящена изложению теории связанных мод для волоконной брэгговской решётки. В разделе 1.1 приведён вывод уравнений связанных мод и обсуждение пределов их применимости. В разделе 1.2 приводится несколько примеров точных решений уравнений связанных мод, которые в следующих главах используются для тестирования численных методов решения обратной задачи рассеяния. Особое внимание уделено решётке с постоянной амплитудой и линейной модуляцией пространственной частоты. В разделе 1.3 описан метод транс-фёр-матриц (Т-матриц) решения задачи рассеяния для одномерного уравнения Гельмгольца и для системы уравнений связанных мод.

Заключение диссертации по теме «Оптика», Белай, Олег Владимирович

Заключение

Далее приведены основные результаты диссертационной работы.

1. Получены простые асимптотические формулы для спектра отражения и групповой задержки брэгговской решётки с линейной модуляцией пространственной частоты. Формулы проверены численным расчётом.

2. Предложен метод численного решения обратной задачи рассеяния с помощью уравнений Гельфанда—Левитана—Марченко. Показано, что обращение матрицы методом Холецкого снижает вычислительную сложность с М1 до Л7"3 операций. Получена схема второго порядка аппроксимации.

3. Предложен метод «внутреннего окаймления», который при использовании тёплицевой симметрии снижает требуемое число операций с ТУ3 до ТУ2. Показана устойчивость метода по отношению к шуму исходных данных.

4. Найден профиль прямоугольного фильтра для многоканальной оптической связи с частотным уплотнением, увеличивающий дальность безошибочной передачи битовых последовательностей.

5. Показано, что фазовые искажения квазипрямоугольного фильтра можно уменьшить, подбирая профиль спектра отражения. В предельном случае найден оптимальный профиль фильтра.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Белай, Олег Владимирович, 2008 год

1. Hill K. O., Fujii Y., Johnson D. C., Kawasaki B. S. Photosensitivity in optical fiber waveguides: application to reflection filter fabrication//Appl. Phys. Lett-1978.-V.32, N.10.-P.647-649.

2. Lam D. K. W., Garside B. K. Characterization of single-mode optical fiber filters//Appl. Opt.-1981.—V.20.—P.440-445.

3. Meltz G., Morey W. W., Glenn W. H. Formation of Bragg gratings in optical fibers by a transverse holographic method//Opt. Lett.-1989.-V.14, N.15.-P.823-825.

4. Hill K. O., Malo B., Bilodeau F., Johnson D. C., Albert J. Bragg gratings fabricated in monomode photosensitive optical fiber by UV exposure through phase mask//Appl. Phys. Lett.-1993.-V.62.-P.1035-1037.

5. Anderson D. Z., Mizrahi V., Erdogan T., White A. E. Production of in-fiber gratings using a diffractive optical element//Electr. Lett.-1993.-V.29.-P.566-568.

6. Malo B., Hill K.O., Bilodeau F., Johnson D.C., Albert J. Point-by-point fabrication of micro-Bragg gratings in photosensitive fibre using single excimer pulse refractive index modification techniques//Electr. Lett.—1993.—V.29, N.18.— P.1668-1669.

7. Sumetsky M., Eggleton B. J. Fiber Bragg gratings for dispersion compensation in optical communication systems//J. Opt. Fiber. Commun. Rep.-2005.—V.2.— P.256-278.

8. Erdogan Turan Fiber Grating Spectra//J. Lightwave Technology.-1997.-V.15, N.8.-P.1277-1294.

9. Thomas G. A., Ackerman D. A., Prucnal P. R., Cooper S. L. Physics in the whirlwind of optical communications//Physics Today.—2000.-V.53, N.9.-P.30-36.

10. Mokhtar M. R. Bragg grating filters for optical networks. Ph.D. thesis, Faculty of Engeneering, Science and Mathematics, University of Southampton, Southampton, UK. 2006.

11. Agrawal G. P. Fiber-optic communication systems. Wiley, New York. 2002.

12. Agrawal G. P. Nonlinear Fiber Optics. Elsevier, New York. 2007.

13. Udd E., ed. Fiber Optics Sensors: an introduction for engineers and scientists. Wiley, New York Toronto. 1991.

14. Hunter D. B., Nguyen L. V. T. Widely Tunable RF Photonic Filter Using WDM and a Multichannel Chirped Fiber Grating//IEEE Transactions On Microwave Theory And Techniques.-2006.-V.54, N.2

15. Hill K. O., Meltz G. Fiber Bragg Grating Technology Fundamentals and Overview//J. Lightwave Technology.-1997.-V.15, N.8.-P.1263-1276.

16. Litchinitser N. M., Sumetsky M., Westbrook P. S. Fiber-based tunable dispersion compensation//J. Opt. Fiber. Commun. Rep.-2007.-V.4.-P.41-85.

17. Chow J., Town G., Eggleton B., Ibsen M., Sugden K., Bennion I. Multiwavelength generation in an erbium-doped fiber laser using in-fiber comb filters//IEEE Photonics Technol. Lett.-1996.-V.8, N.1.-P.62-64.

18. Song Y. W., Havstad S. A, Starodubov D., Xie Y., Willner A. E., Feinberg J. 40-nm-Wide Tunable Fiber Ring Laser With Single-Mode Operation Using a Highly Stretchable FBG//Photonics Technol. Lett.-2001.-V.13, N.11.-P.1167-1169.

19. Babin S. A., Churkin D. V., Kablukov S. I., Rybakov M. A., Vlasou A .A. Allfiber widely tunable Raman fiber laser with controlled output spectrum//Opt. Express-2007.—V.15, N. 13.-P.8438-8443.

20. Ishii H., Tanobe H., Kano F., Tohmori Y., Kondo Y., Yoshikuni Y. Quasicontinuous wavelength tuning in super-structure-grating (SSG) DBR lasers//IEEE J. Quant. Electr.-1996.-V.32, N.3.-P.433-441.

21. Digonnet M. J. F., ed. Rare-Earth-Doped Fiber Lasers and Amplifiers. Marcel Dekker Inc, New York Basel. 2001.

22. Ibsen M., Durkin M. K., Cole M. J., Laming R. I. Optimised square passband fibre Bragg grating filter with in-bandfiat group delay response//Electr. Lett.-1998.-V.34, N.8.-P.800-802.

23. Iocco A. Tunable fiber Bragg grating filters. Ph.D. thesis, Laurea in Ingegneria Meccanica, Universita degli Studi di Brescia, Brescia, Italy. 1999.

24. Iocco A., Limberger H. G., Salathe R. P., Everall Lorna A., Chisholm K. E., Williams John A. R., Bennion I. Bragg Grating Fast Tunable Filter for Wavelength Division Multiplexing//J. Lightwave Technology.-1999.-V.7, N.17-P.1217-1221.

25. Turitsyna E. G., Ania-Gastanon J. D., Turitsyn S. K., Kennedy L., Sugden K. Impact of design of sharp non-uniform fibre Bragg grating on system performance/TElectr. Lett.-2003.-V.39, N.4.-P.351-352.

26. Лысакова M. В., Федорук M. П., Турицын С. К, Шапиро Е. Г. Новый формат данных для волоконно-оптических линий передачи с плотной упаковкой частотных каналов//Куап^ Elektr.-2004.-V.34, N.9.-P.857-859.

27. Shapiro Е. G., Fedoruk М. P., Mezentsev V., Turitsyn S. К, Shafarenko А., Tanaka К., Morita I., Edagawa N., Suzuki M. Optimization of WDM (N x 40 Gbit/s) Transmission in Strong Symmetric Dispersion Maps//J. Opt. Comm.-2005.-V.26, N.1.-P.32-36.

28. Othonos A., Kalli K. Fiber Bragg gratings: fundamentals and applications in telecommunications and sensing. Artech House, Norwood, MA. 1999.

29. Ohn M. M. Fiber Bragg-Intra Grating Measurement and Control and their Application to Sensing and Telecommunications. Ph.D. thesis, University of Toronto, Toronto, Canada. 1999.

30. Grattan К. Т. V., Meggitt В. T. Optical Fiber Sensor Technology : Fundamentals. Kluwer Academic, Boston. 2000.

31. Кульчин Ю. H. Распределенные волоконно-оптические измерительные системы. Физматлит, Москва. 2001.

32. Skaar J., Wang L., Erdogan T. On the Synthesis of Fiber Bragg Gratings by Layer Peeling/ЛЕЕЕ J. Quant. Electr.-2001.-V.37, N.20.-P.165-173.

33. Skaar J., Waagaard О. H. Design and characterization of finite-length fiber grating/ЛЕЕЕ J. Quant. Electr.-2003.-V.39, N.10.-P.1238-1245.

34. Захаров В. E., Шабат А. Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах/УЖЭТФ—1971.-V.61, N.1.-P.118-134.

35. Poladian L. Simple grating synthesis algorithm//Opt. Lett.-2000.-V.25, N.ll.-P.787-789. Errata: Opt. Lett. 25 (18) 1400 (2000)].

36. Frangos P., Jaggard D. A numerical solution to the Zakharov—Shabat inverse scattering problem/ЯЕЕЕ Transactions of Antennas and Propagation-1991.-V.39, N.l.-P.74-79.

37. Papachristos Ch., Frangos P. Design of corrugated optical waveguide filters through a direct numerical solution of the coupled Gel'fand—Levitan— Marchenko integral equations//«! Opt. Soc. Am. A.-2002.-V.19, N.5.-P.1005-1012.

38. Papachristos Ch., Frangos P. Synthesis of single- and multi-mode planar optical waveguides by a direct numerical solution of the Gel'fand—Levitan— Marchenko integral equations//Opt. Commun.-2002.-V.203.-P.27-37.

39. Xiao G. В., Yashiro K. An efficient algorithm for solving Zakharov-Shabat inverse scattering problem/ЯЕЕЕ Transactions on Antennas and Propagation.-2002.-V.50, N.6.-P.807-811.

40. Frangos Panayiotis V., Jaggard Dwight L. The reconstruction of stratified dielectric profiles using successive approximations//IEEE Transactions of Antennas and Propagation.-1987.-V.35, N.11.-P.1267-1272.

41. Skaar J., Feced R. Reconstruction of gratings from noisy reflection data//J. Opt. Soc. Am. A.-2002.-V.19, N.11.-P.2229-2237.

42. Feced R., Zervas M. N., Muriel M. A. An efficient inverse scattering algorithm for the design of nonuniform Bragg gratings//IEEE J. Quant. Electr.-1999.-V.35.-P.1105-1115.

43. Rosenthal A., Horowitz M. Inverse Scattering Algorithm for Reconstructing Strongly Reflecting Fiber Bragg Gratings//IEEE J. Quant. Electr.-2003.-V.39, N.8.—P.1018-1026.

44. Frangos P. V., Jaggard D. L. Inverse scattering: solution of coupled Gelfand—Levitan—Marchenko integral equations using successive kernel approximations//IEEE Transactions of Antennas and Propagation-1995.-V.43, N.6.-P.547-552.

45. Peral E., Capmany J., Marti J. Iterative solution to the Gel'fand — Levitan — Marchenko coupled equations and application to synthesis of fiber gratings//IEEE J. Quant. Electr.-1996.-V.32, N.12.-P.2078-2084.

46. Poladian L. Iterative and noniterative design algorithms for Bragg gratings//Optical Fiber Technology.-1999.-V.5.-P.215-222.

47. Song G. H., Shin S. Y. Design of corrugated waveguide filters by the Gel'fand — Levitan — Marchenko inverse scattering method//J. Opt. Soc. Am. A.-1985.-V.2, N.11.-P.1905-1915.

48. Ahmad F., Razzagh M. A numerical solution to the Gel'fand — Levitan — Marchenko equation//Appl. Math, and Computation.-1998.-V.89.-P.31-39.

49. Kogelnik H. Coupled wave theory for thick hologram gratings//Bell Sys. Tech. J.—1969—V.48.-P.2909-2947.

50. Денисюк Ю. H. Голография и ее перспективы//ЖПС.—1980.—V.33, N.2.-Р.397-414.

51. Денисюк Ю. Н. Статические и динамические объемные голограммы//ЖТФ.—1981.-V.51, N.8.-P.1648-1655.

52. Allen L., Eberly J. Н. Optical Resonance and Two-Level Atoms. Dover, New York. 1986.

53. Carmel L., Mann A. Geometrical approach to two-level Hamiltonians//Phys. Rev. A.—2000—V.61, N.5.-P.052113.

54. Shapiro D. A. Family of exact solutions for reflection spectrum of Bragg grating//Opt. Commun.-2003.-V.215, N.4-6.-P.295-301.

55. Bateman H., Erdelyi A. Higher transcendental functions, Vol. 1. Mc Grow -Hill, New York Toronto - London. 1953.

56. Matsuhara M., Hill К. ОWatanabe A. Optical-waveguide filters: Synthesis//JOSA.-1975.-V.65, N.7.-P.804-809.

57. Podivilov E. V., Shapiro D. A., Trubitsyn D. A. Exactly solvable profiles of quasi-rectangular Bragg filter with dispersion compensation//J Opt A: Pure and Applied 0ptics.-2006.-v.8, N.9.-P.788-795.

58. Ouellette F. Dispersion cancellation using linearly chirped Bragg grating filters in optical waveguides//Opt. Lett.-1987.-V.12, N.10.-P.847-849.

59. Sheridan J. Т., Larkin A. G. Approximate analytic solutions for diffraction by non-uniform reflection geometry fiber Bragg gratings//Opt. Commun.—2004-V.236, N.l-3.—P.87-100.

60. Horwitz P. Population inversion by optical nonadiabatic frequency chirping//Appl. Phys. Lett.-1975.-V.26, N.6.-P.306-308.

61. Bonino S., Norgia M., Riccardi E. Spectral behaviour analysis of chirped fibre Bragg gratings for optical dispersion compensation. In: Proc. IOOC-ECOC'97 (Edinburgh, 22-25 Sept. 1997 ), IEE Conf. Pub. # 448, -V. 3, -P. 194-197. 1997.

62. Kashyap R. Fiber Bragg Gratings. Academic Press, New York. 1999.

63. Воеводин В. В., Тыртышников Е. Е. Вычислительные процессы с тепли-цевыми матрицами. Наука, Москва. 1987.

64. Gray R. М. Toeplitz and Circulant Matrices: A review//http://www-ee.stanford.edu/~gray/toeplitz.pdf

65. Boettcher A., Silbermann B. Introduction to Large Truncated Toeplitz Matrices. Springer, New York. 1999.

66. Levinson N. The Wiener RMS error criterion in filter design and prediction//J. Math. Phys.—1947.-V.25.-P.261-278.

67. Trench W. F. An algorithm for inversion of finite Toeplitz matrices//J. SIAM.-1964.-V.12, N.6.-P.512-522.

68. Zohar S. The solution of a Toeplitz set of linear equations//J. Assoc. Comput. Math.—1974.—V.21.-P.272-276.

69. Бахвалов H. С., Жидков H. П., Кобельков Г. M. Численные методы. Наука, Москва. 2003.

70. Гелъфанд И. М., Левитан Б. М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции//Изв. АН СССР. Сер. мат.—1951 — V.15, N.4.-P.309-360.

71. Марченко В. А. Восстановление потенциальной энергии по фазам рассеянных волн//Докл. АН CCCP.-1955.-V.104, N.5.-P.695-698.

72. Poladian L. Group-delay reconstruction for fiber Bragg gratings in reflection and transmission//Opt. Lett.-1997.-V.22, N.20.-P. 1571-1573.

73. Lamb, Jr G. L. Elements of soliton theory. Wiley, New York Toronto. 1980.

74. Sacks P. An inverse problem in coupled mode theory//J. Math. Phys.-2004-V.45.—P.1699-1710.

75. Press William H., Flannery Brian P., Teukolsky Saul A., Vetterling William T. Numerical Recipes in Fortran. Cambridge Univesrsity Press, Cambridge — New York. 1992.

76. Bateman H., Erdelyi A. Higher transcendental functions, Vol. 2. Mc Grow -Hill, New York Toronto - London. 1953.

77. Belai О. V., Frumin L. L., Podivilov E. V., Shapiro D. A. Efficient numerical method of the fiber Bragg grating synthesis//J. Opt. Soc. Am. B.-2007.-V.24, N.7.-P.1451-1457.

78. Блейхут Р. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов. Мир, Москва. 1989. R. Е. Blahut. Fast algorithms for digital signal processing, Reading, Massachussetts: Addison-Wesley, 1985].

79. Cooley J. W., Tukey J. W. An algorithm for machine calculation of complex Fourier series//Math. Communications.-1963.-V.19.-P.297-301.

80. Кули Дж. У., Льюис П. А. У., Уэлч П. Д. Быстрое преобразование Фурье и его применение к анализу временных рядов, -Р. 373-434. Наука, Москва. 1986.

81. Rosenthal A, Horowitz М. Reconstruction of a fiber Bragg grating from noisy ' reflection data//J. Opt. Soc. Am. A.-2005.-V.22, N.1.-P.84-92.

82. Ахманов С. А., Дьяков Ю. E., Чиркин А. С. Введение в статистическую радиофизику и оптику. Наука, Москва. 1981.

83. Belai О. V., Frumin L. L., Podivilov Е. V., Shapiro D. A. Reconstruction of high reflectance fiber Bragg grating from noisy data//Laser Physics-2007-V.17, N.11.-P.1317 -1322.

84. Shapiro E. G., Fedoruk M. P., Shapiro A. D., Ania-Castanon J. D., Turitsyn S. K. Nonperiodic quasi-stable nonlinear optical carrier pulses with sliding chirp-free points for transmission at 40 Gbit/s rate//Opt. Commun.—2005.-V.250, N.l-3.—P.202-206.

85. Shapiro E. G., Fedoruk M. P., Turitsyn S. K. Numerical estimate of BER in optical systems with strong patterning effect/ZElectonics Letters.-2001.-V.37, N.19.-P.1179-1181.

86. Белай О. В., Шапиро Д. А., Шапиро Е. Г. Оптимизация высокоскоростной оптической линии связи с неидеальным квазипрямоугольным филь-тром//Квантовая электроника.-2006.-У.36, N.9.-P.879-882. Quant. Electr. 36 (9) 879-882 (2006)].

87. Eggleton В. J., Lenz G., Litchinitser N., Patterson D. В., Slusher R. E. Implications of fiber grating dispersion for WDM communication systems/ЯЕЕЕ Photonics Technology Lett.-1997.-V.9.-P.1403 -1405.

88. Lenz G., Eggleton B. J., Madsen С. K., Giles C. R., Nykolak G. Optimal dispersion of optical filters for WDM systems/ЯЕЕЕ Photonics Technology Lett.-1998.-V.10.-P.567 569.

89. Lenz G., Eggleton B. J., Giles C. R., Madsen С. K, Slusher R. E. Dispersive properties of optical filters for WDM systems/ЯЕЕЕ J. Quant. Electr.-1998-V.34.-P.1390 1402.

90. Zheng R. Т., Ngo N. Q., Binh L. N., Tjin S. C. Two-stage hybrid optimization of fiber Bragg gratings for design of linear phase filters//J. Opt. Soc. Am. A-2004.-V.21, N.12.-P.2399-2405.

91. Manos S., Poladian L. Multi-objective and constrained design of fibre Bragg gratings using Evolutionary Algorithms//Opt. Express,-2005.-V.13, N.19.-P.7350-7364.

92. Baskar S., Zheng R. Т., Alphones A., Ngo N. Q., Suganthan P. N. Particle Swarm Optimization for the Design of Low-Dispersion Fiber Bragg Gratings/ЯЕЕЕ Photonics Technology Lett.-2005.-V.17, N.3.-P.615-617.

93. Cheng H.-C., Lo Y.-L. The Synthesis of Multiple Parameters of Arbitrary FBGs Via a Genetic Algorithm and Two Thermally Modulated Intensity Spectra//J. Lightwave Technology.-2005.-V.23, N.6.-P.2158-2168.

94. Song G. H. Theory of symmetry in optical filter responses//«!. Opt. Soc. Am. A.-1994.-V.11, N.7.-P.2027-2037.

95. Belai O. V., Shapiro D. A. Minimization of dispersion for symmetric FBG optical filters//Opt. Commun.-2008.-V.281, N.12.-P.3291-3294.