Методы решения сингулярных интегродифференциальных уравнений на разомкнутых контурах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Самойлова, Эмма Николаевна

• Самойлова, Эмма Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Самойлова, Эмма Николаевна

Глава I. Некоторые результаты из теории функций и приближений

§1.1. Об общей теории приближенных методов функционального анализа.

§1.2. О приближениях сплайнами минимальных степеней

Глава II. Задача Коши для сингулярного интегродифферен-циального уравнения первого порядка

§2.1. Предварительные результаты.

§2.2. Теоремы существования и единственности решения

§2.3. Об устойчивости решения.

§2.4. Итерационные методы.

§2.5. Метод сплайн-коллокации.

§2.6. Метод сплайн-подобластей.

§2.7. Общий проекционный метод.

§2.8. Методы моментов и Галеркина.

§2.9. Метод наименьших квадратов.

§2.10. Метод коллокации.

Глава III. Краевая задача для сингулярного интегродиф-ференциального уравнения второго порядка

§3.1. Предварительные результаты.

§3.2. Вычислительная схема метода сплайн-коллокации.

§3.3. Теоретическое обоснование метода.

§3.4. Полиномиальные проекционные методы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы решения сингулярных интегродифференциальных уравнений на разомкнутых контурах»

Диссертация посвящена методам решения сингулярных интегро-дифференциальных уравнений (СИДУ) первого порядка

Ар = ^(г) + «(%(() + № [\ ^^ = т, -1 <«< 1, (0.1)

7г ■/1 т — £ с начальным условием у>(-1) = 0 (0.2) и второго порядка

А<р = <р"(Ь) + а(*У(*) + &(*)</>(*)+

7ГД Т — I ^ 1\ Т — I с краевыми условиями

М-1) + /%'(-!) = В, 7о¥>(+1) + 71^4+1) = Г, (0.4) где а(£),Ь(£),с(£),й(£), /(£) - известные функции на сегменте [—1,1], (р(Ь) - искомая функция, а /?о, /?1, 7о> 7ъ Г-вполне определенные постоянные, причем

00+01 >0, 7о+7? >0.

Сингулярные интегралы в (0.1) и (0.3) понимаются в смысле главного значения [29, 65, 86].

Такие уравнения возникают в процессе решения большого числа теоретических и прикладных задач математики, механики, физики, химии и техники (см., напр., работы [13, 18, 19, 20, 29, 33, 44, 45, 46, 52, 61, 63, 65, 68, 69, 70, 71, 72, 80, 84] и библиографию в них).

Вопросы теоретического исследования такого рода уравнений рассмотрены в работах [20, 29, 65, 81]. Из этих работ следует, что указанные уравнения точно (т.е. в замкнутом виде) решаются лишь в очень редких частных случаях. Поэтому как для теории, так и в особенности для приложений первостепенное значение приобретает проблема разработки приближенных методов решения СИДУ с соответствующим теоретическим обоснованием.

О результатах, полученных в этой области отечественными математиками и механиками, а также зарубежными авторами достаточно полную информацию можно найти, например, в монографиях [9, 18, 20, 21, 29, 35, 42, 44, 52, 53, 55, 54, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 77, 78, 84, 86, 88], работах обзорного характера [19, 45, 83, 85, 89], кроме того, в значительном количестве диссертаций, среди которых отметим лишь наиболее близкие к теме данной работы: И.Ш.Шокамолов [82], С.М.Ахметов [6], В.Е.Горлов [32], Л.А.Апайчева [3], М.Г.Ахмадиев [5], И.Н.Мелешко[61].

Первые наиболее интересные результаты по точным и приближенным методам предложены Н. МиШюр'ом [87], А.И. Каландией [46], Л.Г. Магнарадзе [56] и В.В.Ивановым [44, 45]; их результаты и результаты других авторов, полученные до 1965 года, рассмотрены в обзорной работе В.В.Иванова [45]. В монографии [44] того же автора дается достаточно подробное изложение основных результатов, полученных до 1967 года. В указанных работах В.В.Иванова речь идет, в основном, о приближенных методах вычисления одномерных сингулярных интегралов и о проекционных и итерационных методах решения одномерных сингулярных интегральных уравнений (СИУ) и их систем в пространствах IV и ¿2.

В последующем обзоре затронем только те работы, которые имеют непосредственное отношение к теме данной диссертации.

К задаче Коши (0.1)—(0.2) сводится ряд задач гидромеханики, теории упругости и теории фильтрации, в первую очередь-теории струй и теплопроводности (см., напр.,[23, 57, 58, 59, 60, 70, 71, 72, 82]).

В работе [70] Г.Н.Пыхтеев получил уравнение вида (0.1) как математическую модель ряда важных прикладных задач из теории струй жидкости и газов. Кроме того, в его работах [70, 71, 72] приведены интересные исследования по точным и приближенным методам решения указанного уравнения и его нелинейного аналога.

Следуя Г.Н.Пыхтееву, И.Ш.Шокамолов [82] предлагает обоснование приближенного метода, основанного на аппроксимации производной искомой функции интерполяционными полиномами. Применяя, по существу, схему метода коллокации относительно производной искомой функции, обоснование своего метода [70, 71, 72, 82] указанные авторы дают в условиях применимости метода сжатых отображений.

В работе [22] обобщены некоторые результаты по полигональному методу решения операторных уравнений, а также исследован метод сплайн-коллокации для различных линейных и нелинейных уравнений; предложенная в работе [22] методика исследования значительно используется нами при приближенном решении СИДУ (0.1) и (0.3).

В работе [31] задача вида (0.1)-(0.2) сводится к слабо- сингулярному интегральному уравнению Фредгольма II рода относительно производной искомой функции. Последнее уравнение решается методом сплайн- коллокации и дается его теоретическое обоснование с помощью теории приближения функций и функционального анализа. Рассматривается также применение этого метода к решению одного нелинейного аналога СИДУ (0.1).

В параграфе 4 главы III диссертации Горлова В.Е. [32] обоснован метод Г.Н.Пыхтеева [70, 71, 72] решения задачи (0.1)-(0.2), но основанный на полигональной аппроксимации функций; результаты по этому методу обобщаются также на более общий класс уравнений.

В работе Б.Г. Габдулхаева [17], а также в пунктах 5.8 и 5.9 главы III [20], задача вида (0.1)—(0.2) решена методом алгебраической коллонации относительно производной искомой функции </?'(£); при этом, за основные взяты пространства С1 [—1,1] и С[—1,1] с обычными нормами, а обоснование метода проведено с помощью общей теории приближенных методов и компактной аппроксимации линейных операторов в указанных пространствах. В [28] рассмотрено численное решение задачи вида (0.1)-(0.2) с применением метода сплайн-квадратур.

В практически важном частном случае задача (0.1)-(0.2) эквивалентна задаче Коши для СИДУ с ядром Гильберта: я/(а) + а(в)®(в) + ^ /о27Г = у (а), (0.5) я(0) = 0, -оо < я < +оо, (0.6) где ж(з)-новая искомая функция, а а(в), /?(з), у (в)- новые известные функции, определяемые через исходные данные из (0.1). Отметим также, что задача (0.5)-(0.6) возникает как математическая модель ряда прикладных задач теории теплопроводности (см., напр., главы 4 и 5 диссертации [61]).

В работе [15] для решения нелинейного аналога задачи (0.5)-(0.6) предлагаются методы сплайн-квадратур, -коллокации и -подобластей и устанавливается их теоретическое обоснование в паре функциональных пространств (И^[0,2п], Ьр[0,2тг]), где 1 < р < оо.

В работе [23], а также в главе 2 диссертации С.М.Ахметова [6] предложены сплайновые и полиномиальные методы решения задачи (0.5)-(0.6). Предлагается и обосновывается общий проекционный метод для задачи (0.5)-(0.6) и ее нелинейного аналога. При этом выделяются два случая: а) проекционный оператор Рп : —>• 1/2 неограничен, а Рп : С ¿2 ограничен; б) проекционный оператор Рп : £2 —> ¿2 ограничен. В каждом из этих случаев доказывается сходимость метода и предлагаются эффективные оценки погрешности в пространствах ¿2, С, Нр, С1 ив узлах коллокации. Предлагаются вычислительные схемы полиномиальных методов ко л локации, подобластей, моментов и наименьших квадратов, сходимость которых выводится из общих теорем.

В работе Гильманова P.A. [30] задача (0.5)-(0.6) решается вариантом метода тригонометрической коллокации относительно производной искомой функции a/(s); за основные пространства в этой работе берутся X = С],,., Y = 02-к с обычными нормами, причем в основу исследований положена, как и в работе [17], теория компактной аппроксимации линейных операторов в банаховых пространствах.

В работе [16] предложены и теоретически обоснованы общие полиномиальные проекционные методы (используя аппроксимации по Дзядыку В.К. [36]) решения периодических сингулярных интегродиф-ференциальных уравнений произвольного конечного порядка, порождаемые как ограниченными, так и неограниченными полиномиальными проекционными операторами в пространствах квадратично-суммируемых по Лебегу функций.

В работе [12], следуя [16], для задачи (0.5)-(0.6) рассматривается общий проекционный метод и предлагается его теоретическое обоснование в паре пространств (Wp,Lp), где 1 < р < оо; рассматривается также реализация этого метода через методы Галеркина, коллокации, а также полиномиальные методы, порождаемые операторами Фейера и Бернштейна-Рогозинского. В [38] результаты работы [12] переносятся на нелинейный аналог задачи (0.5)-(0.6).

В работе [4] задача (0.5)-(0.6) решается тригонометрическими полиномиальными методами, основанными на аппроксимации суммами Фурье и Валле-Пуссена; причем, за основные взяты пространства и С21г с обычными нормами. Результаты работы [4] обобщены в диссертации Апайчевой JI.A. [3], в которой задача (0.5)-(0.6) решается как общим, так и конкретными полиномиальными проекционными методами в случае, когда коэффициенты уравнения (0.5) принадлежат пространству Стечкина Нк[<р], где уз-функция сравнения k-го порядка (к € tt) (см., напр., [74, 73]). Кроме того, в главе 3 этой диссертации аналогичные результаты получены также для задачи вида (0.1)—(0.2), где сингулярный интеграл рассматривается с ядром Ко-ши и с весом Чебышева.

В работе [26] периодическая краевая задача для общего линейного сингулярного интегродифференциального уравнения 1-го порядка, содержащего в себе, как частный случай, уравнение (0.5), решается прямыми и проекционными полиномиальными методами с соответствующим теоретическим обоснованием. В этой работе решена также задача оптимизации прямых методов решения указанного уравнения в различных функциональных пространствах.

Для уравнения, близкого к уравнению (0.1), в работе Ермолаевой Л.Б. [39] была предложена вычислительная схема полиномиального метода подобластей и установлено ее теоретическое обоснование.

Обоснование некоторых прямых методов решения задачи Коши для СИДУ теории крыла и краевой задачи для СИДУ теории дифракции дано в диссертации Ахмадиева М.Г. [5] и в главе III [20].

В работе [43] для решения периодической краевой задачи вида (0.3)- (0.4) предложены и обоснованы методы Галеркина и осреднения функциональных поправок.

Сплайновым методам решения интегральных и дифференциальных уравнений посвящена диссертация Агачева Ю.Р. [1]

В работах Мелешко И.Н. [58]—[61] задача теплопроводности сводится к задаче Коши для СИДУ с ядрами Гильберта и Коши на отрезке вещественной оси, а также к вычислению интегралов типа Коши и Шварца. Он построил и исследовал квадратурные формулы для указанных интегралов, содержащие производные их плотностей. В частности, в [58] проводятся аналитические исследования, основанные на аппроксимации сплайнами, в [57] на применении к сингулярному интегралу из (0.1) квадратурной формулы, содержащей значения производной искомой функции 1р{£) в точках отрезка [-1,1]. Указанные интегродифференциальные уравнения он решает вариантом метода коллокации, а именно, производные приближаются сплайнами, неизвестные коэффициенты определяются по методу коллокации. Также решаются первая, вторая, третья краевые задачи для круга, полуплоскостей и полосы, сводя их к СИДУ. Обоснование методов дано в условиях применимости метода сжатых отображений.

Во многих работах, посвященных приближенному решению СИДУ, вычислительные схемы прямых методов рассматриваются в различных классах функций, в то время как теоретическое обоснование, как правило, не проводится, или же проводится лишь в ряде из них при очень жестких ограничениях на исходные данные.

Отметим, что при обосновании приближенных методов в работах [1, 3, 4, 5, б, 10, 12, 11, 14, 16, 23, 24, 27] используется специально разработанный Б.Г.Габдулхаевым вариант общей теории приближенных методов функционального анализа, включающий в себя теорию академика Л.В.Канторовича и развивающий ее в различных направлениях, обусловленных приложениями к широким классам приближенных методов решения общих линейных уравнений (см. в [18], главы 1, 2 и 4).

Однако, несмотря на сделанное, в данной области все еще остается много нерешенных задач. Настоящая диссертация посвящена решению некоторых из таких задач.

Во-первых, доказаны теоремы существования, единственности и устойчивости решения задачи Коши для сингулярного интегродиф-ференциального уравнения первого порядка в парах функциональных пространств (И^1,-^) и (С1, С), а также рассмотрено их применение к исследованию итерационных методов.

Во-вторых, автором предложено теоретическое обоснование методов сплайн - коллокации и сплайн - подобластей решения задачи Ко-ши (0.1)-(0.2) в паре функциональных пространств (И^1, ¿2)? что привело к обоснованию метода Боголюбова-Крылова [48] для указанной задачи.

В третьих, установлено теоретическое обоснование общих полиномиальных проекционных методов решения задачи (0.1)-(0.2) в смысле общей теории приближенных методов функционального анализа, а также предложена их практическая реализация через полиномиальные методы моментов, Галеркина, коллокации и наименьших квадратов.

В четвертых, проведено теоретическое обоснование метода сплайн-коллокации решения краевой задачи (0.3)-(0.4) в паре функциональных пространств (С2, С) для СИДУ второго порядка с ядрами Коши на отрезке вещественной оси.

В пятых, предложена вычислительная схема полиномиальных проекционных методов решения задачи (0.3)-(0.4) и установлено ее теоретическое обоснование в смысле общей теории приближенных методов функционального анализа.

Основное внимание при этом уделяется теоретическому обоснованию приближенных методов решения СИДУ первого и второго порядков, под которым, следуя Л.В.Канторовичу [47], понимается следующий круг вопросов:

1) доказательство теорем существования и единственности решения аппроксимирующих уравнений;

2) доказательство сходимости приближенных решений к точному решению и определение скорости сходимости;

3) установление эффективных оценок погрешности приближенного решения, учитывающих структурные свойства исходных данных.

При выводе и обосновании результатов диссертации используются известные результаты из теории функций и приближений, из общей теории приближенных методов функционального анализа и теории интегральных и интегро- дифференциальных уравнений; при этом мы следуем методике исследования аппроксимативных методов решения операторных уравнений, изложенной в монографиях Б.Г.Габ-дулхаева [18, 20, 21].

Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть применены в теории приближения функций и интегральных уравнений, в частности, при дальнейшем развитии аппроксимативных методов решения различных классов СИДУ. Они также могут быть применены при решении прикладных задач физики, химии, механики и математической физики, математические модели которых описываются вышеуказанными уравнениями.

Диссертация состоит из введения, трех глав и библиографического списка литературы, состоящего из 101 наименования.

Заключение диссертации по теме «Математический анализ», Самойлова, Эмма Николаевна

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались: на Итоговых научных конференциях Казанского государственного университета за 1999 - 2002гг; на Всероссийской научной конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы ", посвященной 130-летию со дня рождения Д.Ф.Егорова (г.Казань, КГУ, сентябрь 1999г.); на Международной молодежной научной конференции "Молодежь - науке будущего" (г.Наб. Челны, КамПИ, апрель 2000г.); на Международной научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения" (г.Одесса, ОГУ, сентябрь 2000г.); на Международной научной конференции "Актуальные проблемы математики и механики", посвященной 40-летию механико- математического факультета КГУ (г.Казань, КГУ, октябрь 2000г.); на Международной научной конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы " (г.Казань, КГУ, июнь 2001 г.); на Международной научно-практической конференции "Наука и практика. Диалоги нового века" (г.Наб.Челны, КамПИ, март 2003г.); на Международной научной конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы " (г.Казань, КГУ, июль 2003 г.). Кроме того, результаты работы неоднократно докладывались и обсуждались на городском научном семинаре "Теория аппроксимации и ее приложения в вычислительных методах" при Казанском государственном университете.

По теме диссертации опубликовано 12 работ автора [90]—[101].

В заключение автор выражает глубокую благодарность и признательность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Билсуру Габдулхаевичу Габдулхаеву за постановку задач и постоянное внимание к работе.

ГЛАВА I

Некоторые результаты из теории функций и

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Самойлова, Эмма Николаевна, 2004 год

1. Агачев Ю.Р. Сплайновые методы решения интегральных и дифференциальных уравнений: Дисс.канд.физ.-мат.наук. - Казань, 1987. - 144с.

2. Андриенко В.А. Теоремы вложения для функций одного переменного// Итоги науки и техники. Серия Матем. анализ, 1970. -М.: 1971. -С. 203 262.

3. Апайчева JI.A. Приближенное вычисление сингулярных интегралов и прямые методы решения интегральных уравнений: Дисс. канд. физ.-мат. наук. Казань, 1986. - 119 с.

4. Апайчева Л.А., Семенов И.П. Полиномиальная аппроксимация решений одного класса сингулярных интегро-дифференциальных уравнений// Дифференц. уравнения. -1983. -Т.19, N 9.-С. 1610 -1613.

5. Ахмадиев М.Г. Прямые методы решения сингулярных интегро-дифференциальных уравнений: Дисс. канд. физ.-мат. наук. — Казань, 1988. 112 с.

6. Ахметов С.М. О прямых методах решения регулярных и сингулярных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений: Дисс. канд. физ.-мат. наук. — Казань, 1974. 128 с.

7. Бабенко К.И. Основы численного анализа. -М.: Наука, 1986. -744 с.

8. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987. - 600 с.

9. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. М.: Наука, 1985. - 254 с.

10. Валеева Р.Т. Аппроксимативные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений первого рода: Дисс. канд. физ.-мат. наук. — Казань, 1995. 108 с.

11. Велев Г.Д. О приближенных методах вычисления сингулярных интегралов: Дис. канд. физ.-мат. наук. Казань, 1981. - 162 с.

12. Велев Г.Д., Душков П.Н. О приближенном решении одного класса сингулярных интегро-дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Математика. -1981. N 2.-С. 9 - 13.

13. Верлань А.Ф., Сизиков В.С. Интегральные уравнения: Методы, алгоритмы, программы. Киев: Наук.думка, 1986. - 543 с.

14. Габдулхаев Б.Г. Прямые методы решения некоторых операторных уравнений, I-IV // Изв. вузов. Матем. 1971, N 11, С. 33 -44; - 1971, N 12, С. 28 - 38; - 1972, N 4, С. 32 - 43; - 1974, N 3, С. 18 - 31.

15. Габдулхаев Б.Г. Сплайн-методы решения одного класса сингулярных интегро- дифференциальных уравнений// Изв. вузов. Математика. 1975. - N 6. - С. 14 - 24.

16. Габдулхаев Б. Г. Полиномиальные аппроксимации по В. К. Дзя-дыку решений сингулярных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений// Изв. вузов. Матем. 1978, N 6. - С. 51 -62.

17. Габдулхаев Б.Г. Компактная аппроксимация одного класса сингулярных интегро- дифференциальных уравнений// В. сб. "Мат. анализ". -Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1978. С. 24 - 32.

18. Габдулхаев Б. Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач. -Казань: Изд-во КГУ, 1980. -232 с.

19. Габдулхаев Б.Г. Конечномерные аппроксимации сингулярных интегралов и прямые методы решения особых интегральных и интегро-дифференциальных уравнений// Итоги науки и техники. Ма-тем.анализ. М.: Изд-во ВИНИТИ АН СССР, 1980. - Вып. 18.1. С. 251 307.

20. Габдулхаев Б.Г. Прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений первого рода. Казань: Изд-во КГУ, 1994. -288 с.

21. Габдулхаев Б.Г. Численный анализ сингулярных интегральных уравнений. Избранные главы. Казань: Изд-во КГУ, 1995. -230 с.

22. Габдулхаев Б.Г., Ахметов С.М. О методе сплайн-коллокаций для интегральных уравнений// Приложения функционального анализа к приближенным вычислениям. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1974. - С. 7 - 14.

23. Габдулхаев Б.Г., Ахметов С.М. Прямые методы решения уравнения теории струй// Дифф. уравнения. -1977. -Том 13, N 7. -С. 1299 1307.

24. Габдулхаев Б.Г., Гильманов Р.А., Велев Г.Д. Сплайн-метод решения одного класса сингулярных интегро-дифференциальных уравнений// Тез. докл. республ. науч.-техн. конф.: Интегральные уравнения в прикладном моделировании. Киев, 1983. -С. 72 - 73.

25. Габдулхаев Б.Г., Горлов В.Е. О сходимости полигонального метода решения слабо сингулярных интегральных уравнений// Функц. анализ и его приложения. -Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1975. -С. 60 - 72.

26. Габдулхаев Б.Г., Закиев М.И., Семенов И.П. Оптимальные проекционные методы решения одного класса интегродифференци-альных уравнений // Изв. вузов. Математика. 2001. - N 1. — С. 24 - 35.

27. Габдулхаев Б.Г., Горлов В.Е. Решение нелинейных сингулярных интегральных уравнений методом редукции// Изв. вузов. Математика. 1976. - N 2. - С. 3 - 13.

28. Галахов М.А., Заппаров К.И., Патраков А.Г. Численное решение сингулярных интегро-дифференциальных уравнений контактной гидродинамики// Ж. вычислит, математики и матем. физики. -1978. N 2. - С. 504 - 506.

29. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. - 638 с.

30. Гильманов Р.А. О компактной аппроксимации сингулярных интегро-дифференциальных уравнений с ядром Гильберта// Изв. вузов. Математика. 1979. - N 12. - С. 21 - 26.

31. Горлов В.Е. Сплайн-метод решения одного класса сингулярных интегро- дифференциальных уравнений// Сб. аспирантск. работ. Казан, ун-т. Точн. науки, Казань, изд-во Казан, ун-та.1976. С. 78 - 79.

32. Горлов В.Е. О прямых методах решения линейных и нелинейных интегральных уравнений: Дисс.канд. физ.-мат. наук. Казань:1977. 132 с.

33. Гребенников А.И. Сплайн-аппроксимационный метод и его приложения: Дисс. д-ра физ.-мат. наук. Новосибирск, 1988. - 283 с.

34. Даугавет И.К. Введение в теорию приближения функций. JL: Изд-во ЛГУ, 1977. - 184 с.

35. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.: Наука, 1977. - 490 с.

36. Дзядык В.К. Аппроксимативный метод решения дифференциальных уравнений// Теория приближения функций. М.: Наука, 1977. - С. 149 - 157.

37. Душков П.Н. Прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений: Дисс. канд. физ.-мат. наук. Казань, 1973. -160 с.

38. Душков П.Н. Об одном способе приближенного решения нелинейных сингулярных интегро-дифференциальных уравнений:// Изв. вузов. Математика. 1981. - N 12. -С. 21 - 25.

39. Ермолаева Л.Б. Аппроксимативные свойства полиномиальных операторов и решение интегральных и интегро-дифферинциаль-ных уравнений методом подобластей: Дисс. канд. физ.-мат. наук. Казань, 1987. - 154 с.

40. Забрейко П.П., Кошелев А.И., Красносельский М.А., Михлин С.Г., Раковщик Л.С., Стеценко В.Я. Интегральные уравнения. -М.: Наука, 1968. 448 с.

41. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. - 352 с.

42. Золотаревский В.А. Конечномерные методы решения сингулярных интегральных уравнений на замкнутых контурах интегрирования. Кишинев: Штиинца, 1991. - 134 с.

43. Иваницкий В.Г. О приближенном решении сингулярных интегро-дифференциальных уравнений методом осреднения функциональных поправок. Диф. уравн., 1971. -N 2. -С. 357 - 358.

44. Иванов В.В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. -Киев: Наук, думка, 1968. 288 с.

45. Иванов В.В. Методы приближенного решения сингулярных интегральных уравнений// Итоги науки и техники. Матем. анализ. -М.: Изд-во ВИНИТИ АН СССР, 1965. С. 125 - 177.

46. Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости. -М.: Наука, 1973. 303 с.

47. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М.: Физматгиз, 1959. - 684 с.

48. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.: Физматгиз, 1962. - 708 с.

49. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения. М.: Наука, 1984. - 352 с.

50. Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения. М.: Наука, 1987. - 424 с.

51. Красносельский М.А., Забрейко П.П. и др. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966. - 500 с.

52. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. М.: ТОО "Янус", 1995. - 520 с.

53. Лучка А.Ю. Аппроксимативно-итеративные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. Киев: Наук, думка, 1980. - 264 с.

54. Лучка А.Ю., Лучка Т.Ф. Возникновение и развитие прямых методов математической физики. Киев: Наук, думка, 1985. - 240 с.

55. Лучка А.Ю. Проекционно-итеративные методы. Киев: Наук, думка, 1993. - 288 с.

56. Магнарадзе Л.Г. Теория одного класса линейных сингулярных интегро- дифференциальных уравнений и ее применение к задаче колебания крыла аэроплана конечного размаха, удара о по

57. Ф верхность воды и аналогичным// Сообщения АН Груз.ССР.1943. -Т. 4, N 2. -С. 103 - 110.

58. Мелешко И.Н. Применение сплайнов первой степени к приближенному решению одного сингулярного интегродифференциаль-ного уравнения// Изв. вузов. Математика. 1988. - N 1. -С. 41 -50.

59. Мелешко И.Н. К приближенному решению одного сингулярного интегро- дифференциального уравнения// Дифф. уравнения. — 1989. -Т. 25, N 5. - С. 888 - 897.

60. Мелешко И.Н. Об одном способе обоснования вычислительных схем решения сингулярных интегро-дифференциальных уравнений// Тез. докл. VIII Бел. матем. международной конф. -Минск, 2000. -Ч. 1 С. 184.

61. Мелешко И.Н. Приближенные методы решения краевых задач теории теплопроводности на основе специальных формул для интегралов типа Коши: Диссд-ра физ.- мат. наук. -Минск, 2002.264 с.

62. Михлин С.Г. Сингулярные интегральные уравнения// Успехи матем. наук. 1948. -Т. 3, N 3. - С. 29 - 112.

63. Михлин С.Г. Интегральные уравнения. -М.: Гостехиздат, 1949. -286 с.

64. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. -М.: Наука, 1970. 512 с.

65. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. -М.: Наука, 1968. 512 с.

66. Назарчук З.Т. Численное исследование дифракции волн на цилиндрических структурах. Киев: Наук, думка, 1989. - 256 с.

67. Натансон И.П. Конструктивная теория функций. М.: Гостехиздат, 1949. - 688 с.

68. Панасюк В.В., Саврук М.Т., Дацышин А.П. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках. Киев: Наук, думка, 1976. - 444 с.

69. Панасюк В.В., Саврук М.Т., Назарчук З.Т. Метод сингулярныхинтегральных уравнений в двумерных задачах дифракции. Киев: Наук, думка, 1984. - 344 с.

70. Пыхтеев Г.Н. Некоторые методы решения одного интегро-диффе-ренциального уравнения теории струй идеальной жидкости // Прикл. механика и техн. физика, 1966, N 2. -С. 72- 86.

71. Пыхтеев Г.Н. О двух методах решения одной нелинейной краевой задачи теории струй идеальной жидкости // Динамика сплошной среды. 1969, N 2. -Новосибирск, "Наука".

72. Пыхтеев Г.Н. Общая и основная краевые задачи плоских струйных установившихся течений и соответствующие им нелинейные уравнения// Прикл. механика и техн. физика, 1966, N 1. -С. 3244.

73. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. М.: Наука, 1976. - 248 с.

74. Стечкин С.Б. О порядке наилучших приближений непрерывных функций// Избранные труды: Математика. -М.: Наука. Физмат-лит, 1998. 384 с.

75. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. М.: Наука, 1976. - 328 с.

76. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.: Физматгиз, 1960. - 624 с.

77. Тихоненко Н.Я. Методы решения задач теории аналитических функций. -Киев: УМК ВО УССР, 1988. 88 с.

78. Тихоненко Н.Я. Приближенное решение краевых задач теории аналитических функций и их приложения: Диссд-ра физ.-мат.наук. Киев, 1994. - 327 с.

79. Турецкий А.Х. Теория интерполирования в задачах. В двух частях. Минск: Изд-во "Высшая школа". - Часть 1, 1968, 328 е.; часть 2, 1977, 256 с.

80. Хведелидзе Б.В. Метод интегралов типа Коши в разрывных граничных задачах теории голоморфных функций одной комплексной переменной // Итоги науки и техники. Соврем, проблемы математики. -М.: ВИНИТИ АН СССР, 1975. Вып.7. -С. 5 -162.

81. Цецохо В.А. Численное решение задач дифракции методом потенциалов: Дисс. д-ра физ.-мат. наук в форме научн. докл. -Новосибирск, 1987. 38 с.

82. Шокамолов И.Ш. Приближенные методы вычисления интегралов типа Коши специального вида и решение одного сингулярного интегро-дифференциального уравнения с приложениями к задачам теплопроводности: Дисс. канд. физ.-мат. наук. — Минск, 1973. -130 с.

83. Elliot D. The approximate solution of singular integral equations/ Solut. Meth. Integral Equations: Theory and Appl. -New York; London, 1979. -P. 83 107.

84. Fenyö S., Stolle H. Theorie und Praxis der linearen Integral-gleichungen. Bd.4. Berlin: VEB Deutsche Verlag der Wissenschaften, 1984. -708 S.

85. Golberg M.A. The numerical solution of Cauchy singular integral equations with constant coefficients// J. Integr. Equat. -1985. -V.9, N1. -P. 127 151.

86. Michlin S.G., Prössdorf S. Singulare Integraloperatoren. Berlin: Akademie-Verlag, 1980. - 514 S.

87. Multhopp H. Die Berechnung der Auftriebsverteilung von Tragflügeln// Luftfahrtforschung. -1938. Bd 15, N4. - S. 153 - 169.

88. Prössdorf S., Silbermann B. Numerical analysis for integral and related operator equations. Berlin: Akademie-Verlag, 1991. - 544 p.

89. Theocaris P.S. Numerical solution of singular integral equations: Methods, Applications// J. Eng. Mech. Div.: Proc. Amer. Soc. Civ. Eng. -1981. -V. 107, N5. -P. 733 771.

90. Самойлова Э.Н. Проекционный метод решения одного класса интегральных уравнений// Дифференциальные и интегральные уравнения. Тезисы докладов Международной конференции, 12-14 сентября 2000г. Одесса: Астропринт, 2000. - С. 46 - 47.

91. Самойлова Э.Н. Сплайновые приближения решения сингулярного интегро- дифференциального уравнения // Изв.вузов.Математика. -2001, N 11. С. 35 - 45.

92. Самойлова Э.Н. Об одном сингулярном интегро-дифференциальном уравнении// Труды матем. центра имени Н.И.Лобачевского. Т.8. Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. Казан, матем. общество. -Казань: Изд-во ДАС, 2001. С. 204 - 205.

93. Самойлова Э.Н. Проекционные методы решения одного класса сингулярных интегро дифференциальных уравнений // Изв.вузов. Математика. -2003, N 7. -С. 48 53.

94. Самойлова Э.Н. Итерационные методы решения сингулярного интегро- дифференциального уравнения// Труды матем. центра имени Н.И.Лобачевского. Т. 19. Теория функций, ее приложенияи смежные вопросы. -Казань: Изд-во Казан.матем. общества, 2003. -С. 189 190.

95. Самойлова Э.Н. Решение сингулярного интегродифференциаль-ного уравнения методом сплайн-коллокаций // Изв.вузов.Матема-тика. -2003, N 8. -С. 37 45.