Методы спектральной геометрии в задачах теории эффекта Казимира тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, доктор наук Пироженко Ирина Георгиевна

• Пироженко Ирина Георгиевна
• доктор наук
• 2025

Оглавление диссертации доктор наук Пироженко Ирина Георгиевна

Введение

Глава 1. Спектральные функции и вакуумная энергия в задачах

с цилиндрической границей

1.1. Дзета-функция скалярного поля на фоне цилиндра

1.1.1. Граничные условия Дирихле и Неймана

1.1.2. Полупрозрачная граница

1.2. Дзета-функция электромагнитного поля

1.3. Спектральные функции и вакуумная энергия скалярного поля

на фоне цилиндра и окружности

1.3.1. Спектральные дзета-функции для цилиндра с граничными условиями Дирихле и Неймана

1.3.2. Спектральные дзета-функции для окружности

1.4. Спектральные функции и вакуумная энергия электромагнитного поля на фоне цилиндра

1.4.1. Коэффициенты теплового ядра для диэлектрического цилиндра

1.4.2. Вакуумная энергия электромагнитного поля в среде с условиями изорефракции на поверхности цилиндра

1.4.3. Полученные результаты и модель глюонной трубки КХД

1.5. Высокотемпературные асимптотики термодинамических функций

1.5.1. Идеально проводящая цилиндрическая оболочка

1.5.2. Материальный цилиндр с С\ = с2 и с\ = с2

1.6. Результаты Главы

Глава 2. Задачи с негладкими границами и коническими сингу-

лярностями

2.1. Коэфициенты теплового ядра для негладких границ

2.2. Выбор областей с кусочно-гладкими границами

2.3. Коэффициенты теплового ядра для внутренней области

2.3.1. Клин с граничными условиями Дирихле и Неймана

2.3.2. Коэффициенты теплового ядра для конуса

2.4. Выделение вкладов углов границы в коэффициенты теплового ядра для внутреннего сектора

2.5. Коэффициенты теплового ядра для внешнего сектора клина и внешней части конуса

2.6. Выделение вкладов разной природы в В1-^. Некоторые общие правила

2.7. Вакуумная энергия в коническом пространстве с дополнительными граничными условиями

2.8. Спектр возбуждений полей в коническом пространстве с границей

2.8.1. Электромагнитное поле

2.8.2. Граничные условия идеального проводника

2.8.3. Условия изорефракции

2.8.4. Полупрозрачная граница для скалярного поля

2.9. Глобальные дзета-функции и энергия Казимира

2.10. Результаты Главы

Глава 3. Интегральные уравнения для теплового ядра в состав-

о о о о "1

ных средах с произвольной гладкой границей раздела

3.1. Теория теплового потенциала

3.2. Составные среды

3.3. Асимптотическое разложение теплового ядра и ряд теории возмущений

3.4. Тепловое ядро на линии

3.4.1. Однородная среда с условиями склеивания

3.4.2. Граничные условия диэлектрического типа на линии

3.4.3. ^-источник тепла па границе раздела

3.5. Результаты Главы

Глава 4. Функциональные методы и вычисление вакуумной энергии

4.1. О вычислении вакуумной энергии в присутствии сферы над плоскостью

4.1.1. Основные формулы

4.1.2. Малые расстояния и приближение близкой силы (РГА)

4.1.3. Свободная энергия скалярного поля при малом расстоянии между сферой и плоскостью

4.2. Свободная энергия при высокой температуре

4.3. Свободная энергия при низкой температуре

4.3.1. Скалярное поле

4.3.2. Электромагнитное поле

4.4. Казимировское отталкивание сферы от плоскости

4.4.1. Численные ограничения на энергию Казимира

4.4.2. Асимптотики больших и малых расстояний

4.4.3. Поправки при высокой и низкой температуре

4.5. Обсуждение и результаты главы

Глава 5. Казимировское взаимодействие решеток дельта-потенциалов и скрещенных космических струн

5.1. Вакуумная энергия скалярного поля на фоне решеток ^-потенциалов

5.2. Предельные случаи

5.3. Вакуумная энергия скалярного поля на фоне скрещенных космических струн

5.4. Результаты главы

Глава 6. Казимировское взаимодействие в моделях с полями, ограниченными в полупространствах

6.1. Скалярное поле в полупространствах

6.2. Вакуумная энергия поля ф на фоне полупространств

6.3. Поляризационный оператор в полупространстве

6.4. Вакуумная энергия на больших расстояниях

6.5. Результаты главы

Приложение А. Формулы равномерных асимптотических разложений

А.1. Разложения функций Бесселя и их производных

А.2. Коэффициенты равномерного асимптотического разложения для

диэлектрического цилиндра

Приложение Б. Коническое пространство с границей Б.1. ^-функция при граничных условиях проводника

181

Б.2. Аналитическое продолжение слагаемого ZN(в)

Б.З. Электромагнитное поле с условиям изорефракции

Б.4. Скалярное поле с дельта-потенциалом

Приложение В. Самосопряженность краевых задач для составных сред

Приложение Г. Эффект Казимира для поверхностей, несущих дельта-потенциал

Приложение Д. Пространство-время бесконечных прямых космических струн

Список литературы

194

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы спектральной геометрии в задачах теории эффекта Казимира»

Введение

Энергией Казимира принято называть свободную от расходимостей часть вакуумной энергии квантованного поля, которая зависит от расстояния между границами. А эффектом Казимира - возникновение вследствие этой зависимости силы Казимира [1]. Под обобщенным эффектом Казимира понимают зависимость энергии вакуума не только от положения границ, их свойств и геометрии, но и от классического гравитационного или другого фона [2], как при нулевой, так и при конечной температуре.

В задачах, связанных с вычислением вакуумной энергии, используется аппарат квантовой теории поля во внешних условиях. При этом удобно представление свободной и вакуумной энергии через континуальный интеграл. Для не зависящих от времени границ и стационарного фона вакуумная энергия выражается соотношением,

Ео = ^ in Z, Z = J^]exp(iS [ф]/П), (1)

где Т = f dt - это полное время, S[ф] - действие, квадратичное по квантовым флуктуациям динамического поля ф па классическом фоне, включающим и граничные условия,

^ [ф] = 1j dDхф 1С ф.

Динамика в теории задается дифференциальным оператором интегрирование идет по всему D-мерному пространству.

С континуальным интегралом от евклидова действия Se связана свободная энергия Гельмгольца Т квантовополевой системы,

e"ßT = Ze = j^]exp(-SE [ф]/П), (2)

где интегрирование выполняется по полям периодическим по мнимому времени, с периодом пропорциональным обратной температуре, ß = 1/(квТ). Вакуумная энергия получается из (2) предельным переходом,

Ео = - iim \in Ze . (3)

ß^ ß

Вакуумная энергия в формуле (1) пропорциональна однопетлевому эффективному действию, которое определяется дифференциальным оператором^ [3],

Г(1) = 1п ^ = ^1пае1 К. (4)

Аналогично свободная энергия Т (2) определяется евклидовой версией однопет-левого эффективного действия Г ^.

Для вычисления эффективного действия в различных полевых моделях [3], в задачах квантовой гравитации [4, 5], термодинамики черных дыр [6], квантовой теории поля с границами [2], конечно-температурной КТП на стационарных многообразиях общего вида применяются методы спектральной геометрии [7]. К ним обычно относят метод спектральной дзета-функции [8, 9] и связанный с ним метод собственного времени [10, 11] или теплового ядра [12], которые предлагают наиболее универсальный и естественный язык описания ультрафиолетовых расходимостей КТП.

Теория спектральных функций лучше всего разработана для дифференциальных операторов вида обобщенного оператора Лапласа [9]. Именно с такими операторами мы будем иметь дело в диссертации. Определим спектральные функции, о которых пойдет в речь, и продемонстрируем их связь со свободной и вакуумной энергией.

Спектральную дзета-функцию дифференциального оператора второго порядка Ь определим как след оператора Ь-

ам ^ ТгЬ- 5 = 1 Ах £ А- 5ф3 (х)ф3 (х) = £ А- 5. (5)

Будем подразумевать, что оператор Ь имеет положительные действительные собственные функции ф3 (ж) и собственные значения \3.

Вторая спектральная функция, рассматриваемая в диссертации - это след ядра уравнения теплопроводности, К(т\Ь) = Тте-тЬ, который связан с дзета-функцией преобразованием Меллина,

с»

Ш = щ! Атт*-1 К(т\Ь). (6)

0

При малых значениях параметра т для К(т \Ь) существует асимптотическое разложение,

с

к(т|Ь) = Уе-тХп - (4-кт)-°/2ултпвп + ЕБ, (7)

п п=0

где И - это размерность многообразия, а ЕБ обозначает экспоненциально малые поправки при т ^ +0. Коэффициенты Вп, называются коэффициентами Сили-Швингера-ДеВитта (Sieley-Schwinger-DeWitt) или просто коэффициентами теплового ядра [12]. Они определяются полюсами спектральной дзета-функции,

В

п = Нш (в + п -И/2) (ь №($), п = 0, 1/2, 1, .... (8)

(4п)П/2 з^Б/2-п

появляются в разложении (7), когда рассматривается многообразие с границей, делителя эллиптического дифференциального оператора Ь [7],

= -^Г(з) Сь(з). (9)

Масштабный фактор д описывает конечный произвол при перенормировке, который фиксируется из физических соображений. Раскладывая (9) в ряд вблизи 5 = 0, получаем

(1пае1 Ь)я = - (1 -1Е + Сь(0) - сь(0) + 0(8). (10)

Отождествим 1ndetЬ с конечной частью выражения (10) (формула Рея-Зингера),

С^Ь), = - СЬ (0). (И)

Полюсной член и конечный произвол оказываются пропорциональными значению спектральной дзета-функции в в = 0, которое в И-мерном пространстве совпадает с коэффициентом теплового ядра Вр/2, Сь(0) = Вр/2. Пусть динамика поля задается оператором

1 д2

* = ¿2д^ - А, (12)

где А - эллиптический оператор, зависящий только от пространственных координат, с собственными значениями ц2/с2. Индекс к нумерует как дискретные, так и непрерывные собственные значения.

Квантовая теория поля строится в пространстве лоренцевой сигнатуры, причем волновой оператор (12) является дифференциальными оператором гиперболического типа, а спектральная дзета функция (5) и тепловое ядро (7)

хорошо определены для рпмановых многообразий и эллиптических операторов [13].

Свободную энергию (3) и вакуумную энергию (1) выразим через производную дзета-функции евклидова оператора К>е, который получается из 1С виковым поворотом, £ ^ —гт,

Т = -¿Тг1пКе = -^ С(0), Ео = -Шл ^ (0) (13)

Здесь Т - это температура.

Вакуумную энергию можно определить и через дзета-функцию оператора низшей размерности. Действительно, вакуумная энергия квантовополевой системы в В = 3 + 1 равна расходящейся сумме энергий нулевых колебаний,

Ео = [ Л(0\Тоо\0) = - . (14)

^ к

Определения (1) и (14) дают одинаковый результат для изменения вакуумной энергии, обусловленного изменением внешних условий, например, для разности вакуумных энергий, соответствующих разным положениям границ, или разным значениям внешнего поля.

Вакуумную энергию (14) также можно регуляризовать, используя спектральную дзета-функцию оператора - А,

ео« = с (з - 2), а*) = Е^-25. (15)

4 7 {к}

Параметр д в (15) имеет размерность массы и введен, чтобы сохранить размерность регуляризованной энергии. Раскладывая (15) в в = 0 и используя связь дзета-функции с тепловым ядром (6), полагаем,

Ео - к (-2) ■ (1б>

Перенормировка вакуумной энергии методом дзета-функции состоит в вычитании расходящейся части Е^™, которая в В = 3 + 1 для безмассового поля пропорциональна коэффициенту теплового ядра В2) оператора -А,

Е (1го В2 -

Конечный произвол в вычислении вакуумной энергии также пропорционален

В2

( )

получить высокотемпературные асимптотики термодинамических функций, например, свободной энергии^-. Несколько примеров подобных вычислений будут рассмотрены в Главе 1 диссертации.

Развитие функциональных методов и адаптация подхода теории рассеяния [16, 17] к задачам вычисления вакуумной энергии привели к тому, что в начале 2000-х гг. стало возможным по крайней мере численное исследование силы Казимира между телами произвольной формы [18, 19]. Для граничных условий, заданных на несвязных поверхностях раздельных материальных тел, которые моделируются потенциалами, определенными в неперекрывающихся областях (с неперекрывающимися носителями) или пространственной дисперсией диэлектрической проницаемости [15], удалось показать, что часть вакуумной энергии, которая зависит от расстояния между телами (поверхностями), свободна от расходимостей. Также была сформулирована общая теорема о знаке силы Казимира между телами произвольной формы, которые являются зеркальным отражением друг друга [20] ("противоположности притягиваются").

Представление вакуумной энергии через континуальный интеграл дает возможность задать граничные условия на гладких поверхностях произвольной геометрии с помощью функциональных дельта-функций [21]. Используя для них Фурье представление, где интегрирование ведется по вспомогательным полям, и свойства континуального интеграла, нетрудно найти часть вакуумной энергии, которая не зависит от расстояния между телами. Для статических граничных поверхностей бесконечный вклад в функциональный интеграл от пустого пространства, не зависящий от геометрии границ, выделяется в виде множителя [2, 22], который можно опустить, так как он не влияет на физические эффекты. Метод учета граничных условий в функциональном интеграле для задач теории эффекта Казимира был предложен в статье [21] и использован для вычисления электромагнитной силы Казимира между плоскими параллельными поверхностями.

Классическим примером вычисления свободной энергии электромагнитного поля между двумя плоскими параллельными пластинами с учетом их материальных свойств является формула Лифшица [23], в которую материальные

и

свойства пластин входят через их коэффициенты отражения. С точки зрения экспериментов и приложений важна теоретическая оценка силы Казимира не только между параллельными пластинами [24, 25, 26, 27].

Применение функциональных методов совместно с подходом теории рассеяния, позволило получить аналоги формулы Лифшица для скалярного и электромагнитного полей с граничными условиями на непересекающихся (компактных) поверхностях произвольной формы. Для вакуумной энергии взаимодействия тел А и В с не зависящими от времени границами было найдено так называемое ТОТО-предстивление [28],

Здесь ядро М - это свертка ядер Т-операторов рассеяния на телах А и В со свободными функциями Грина, ^ - Фурье-образ по времени свободной функции Грина. В этой формуле уже вычислен след по временной переменной, от него осталось интегрирование по мнимой частоте^ = -гш.

Т

вестны, например, для сферы [29], цилиндра [30, 31], периодических структур [32, 33] с некоторыми граничными условиями. Более сложная форма взаимодействующих тел или учет их материальных свойств усложняет вычисления и часто требует численного анализа. Примеры таких вычислений содержатся в главах 4-6 диссертации.

Дальше в диссертации используется система единиц - = с = кв = 1 •

Актуальность и практическая значимость

За последние десятилетия эффект Казимира из теоретического предсказания превратился в надежно проверенное экспериментом проявление вакуумной энергии КЭД.

Эффект Казимира играет важную роль в экспериментальном поиске поправок к ньютоновскому закону тяготения (или ограничений на их параметры) на расстояниях между пробными телами менее 0,1 мм [34]. Подобные поправки предсказываются, например, в моделях теории поля с дополнительными измерениями [35]. Ограничения на степенные и юкавкские поправки к закону тяготения получаются в экспериментах с крутильными весами [36, 37]. В таких экспериментах при достаточно малых расстояниях между пробными телами сила

(18)

Казимира становятся фоновой силой, доминирующей над гравитацией. Отличие данных измерений от теоретически предсказанного значения силы Казимира может свидетельствовать о поправках к ньютоновскому закону тяготения, что позволяет получить достаточно строгие ограничения на их параметры [38].

С развитием технологий оказалось, что дисперсионные силы, к которым относится и сила Казимира, играют определяющую роль на микро (нано)- масштабах. С одной стороны, сила Казимира может препятствовать работе мик-ро(нано) - механических машин, приводя к слипанию их подвижных частей, с другой стороны, вследствие нелинейной зависимости силы Казимира от расстояния между телами, эта сила может использоваться в сенсорах и активаторах [39]. Крутильный момент, обусловленный вакуумными флуктуациями [26], также представляет потенциальный практический интерес [40]. Над полезным применением эффекта Казимира работают многие экспериментальные группы [27, 41, 42]. Отметим также большой интерес к изучению силы Казимира между новыми материалами, такими как графен [43], жидкие кристаллы, топологические диэлектрики, метаматериалы.

Таким образом, для экспериментов и возможного применения эффекта Казимира в нанотехнологиях актуально его описание с учетом геометрии границ, свойств материалов и конечной температуры.

Цели диссертации:

• развитие методов спектральной геометрии, используемых в теории эффекта Казимира, в частности, для вычисления вакуумной энергии скалярного и электромагнитного полей при нулевой и конечной температуре с разными граничными условиями;

• развитие функциональных методов теории эффекта Казимира и адаптация подхода теории рассеяния для полей с граничными условиями, заданными на поверхностях неперекрывающихся тел, материал которых описывается в рамках макроскопической электродинамики сплошных сред, либо моделируется потенциалами, заданными в неперекрывающихся областях, либо взаимодействием с другими полями, ограниченными внутри рассматриваемых областей.

В диссертации были поставлены и решены следующие задачи:

1. построено разложение теплового ядра оператора Лапласа для фона, свойства которого меняются скачком на произвольной гладкой границе, найдены коэффициенты теплового ядра и функциональный определитель для электромагнитного поля на фоне диэлектрического цилиндра;

2. исследован вклад негладкостей (изломов) границы в коэффициенты теплового ядра;

3. исследовано влияние граничных условий на вакуумную энергию электромагнитного поля в пространстве с конической сингулярностью, окруженной цилиндрической оболочкой;

4. исследовано совместное влияние геометрии границ, материальных свойств и температуры на силу Казимира между сферой и плоскостью, получено ограничение на казимировское отталкивание между сферой и плоскостью;

5. исследована энергия Казимира скалярного поля на сингулярном фоне решеток дельта-потенциалов и скрещенных космических струн;

6. вычислена энергия Казимира в случае, когда поля материи рассматриваются в (3+1)-мерных полупространствах с границей .

Научная новизна

Научные результаты, представленные в диссертации, являются оригинальными и были получены впервые.

Найдены коэффициенты теплового ядра электромагнитного поля на фоне диэлектрического цилиндра [44] и вакуумная энергия в присутствии бесконечного цилиндра, на границе которого выполняются условия изорефракции [45]. Разработан метод вычисления коэффициентов теплового ядра для оператора Лапласа, главный символ которого меняется скачком на произвольной гладкой границе [46], что происходит, например, в электродинамике составных сред.

Выявлены закономерности, которым подчиняются индивидуальные вклады в коэффициенты теплового ядра, порождаемые изломами границы. Получены формулы для вычисления всех коэффициентов теплового ядра для оператора Лапласа с граничными условиями Дирихле и Неймана, заданными на многоугольнике или его трехмерном обобщении [47].

Построено приближение 'близкой силы' (Дерягина) для свободной энергии электромагнитного поля в присутствии сферы над плоскостью при конечной температуре и найдена область его применимости [48]. Получены новые представления для функционального определителя, через который выражается свободная энергия электромагнитного поля в присутствии сферы над плоскостью. Найдены асимптотики свободной энергии для больших и малых расстояний, низких и высоких температур [49, 50]. Впервые получено ограничение на кази-мировское отталкивание между сферой и плоскостью [51].

Найдено представление в виде обобщенной формулы Лифшица для вакуумной энергии скалярного поля на фоне двух параллельных двумерных или одномерных решеток дельта-потенциалов [52, 53]. Впервые вычислена вакуумная энергия скалярного поля на фоне скрещенных космических струн [54].

Разработан подход к вычислению энергии Казимира в случае, когда поля материи рассматриваются в (3+1)-мерных полупространствах с границей [55], и коэффициенты отражения полупространств выражаются через квантовопо-левой поляризационный оператор.

Апробация диссертации

Результаты диссертации неоднократно докладывались автором на семинарах в Лаборатории теоретической физики ОИЯИ, а также представлялись на международных конференциях: "Quantum Field Theory under External Conditions", Leipzig (2001, 2007), Norman (2003, 2009), Barcelona (2005), Benasque (2011), 11th Int. Marcel Grossmann Meeting, Berlin (2006), "Quantum Field Theory and Gravity", Tomsk (2014), "Casimir physics", Les Houshes, France (2014), IAS Focused Program on Casimir and van der Waals Physics: Progress and Prospects, Hong Kong (2016), Symmetry methods in Physics, Yerevan (2017), 6th International Workshop on New Challenges in Quantum Mechanics: Integrability and Super-symmetry, Valladolid (2017), "Casimir Effect: Theory and Applications", Trondheim

(2018), Alexander Friedmann International Seminar on Gravitation and Cosmology, Санкт-Петербург (2015, 2019), VI International conference "Models in quantum field theory", Peterhof (2018), 2nd International Conference on Symmetry, Benasque

(2019), International workshop "Quantum Vacuum: Renormalization Group and Anomalies in Cosmology", Mainz (2019), Vl-th Workshop on Cosmology and the Quantum Vacuum, Barcelona (2020), The 10-th International workshop "Waves

in inhomogeneous media and integrable systems", Kaliningrad (2020), "Quantum and Thermal Electrodynamic Fluctuations in the Presence of Matter: Progress and Challenges", Santa Barbara (2022).

Публикации

Работа выполнена в Лаборатории теоретической физики им. Н.Н.Боголюбова Объединенного института ядерных исследований (г. Дубна).

В диссертацию включены материалы, опубликованные в 16 печатных работах, 15 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК и входящих в список журналов Web of Science, и одна — в сборнике трудов конференции: Pliys. Rev. D - 7, Class. and Quant. Gravity - 2, J. Math. Phys. - 2 , J. Phys. А. - 1, Mod. Phys. Lett. - 1, Symmetry - 1, Universe -1, Сборник "Космология, квантовый вакуум и дзета-функции" - 1.

Все результаты, изложенные в диссертации, получены лично автором или при ее непосредственном участии. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами или лично.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, 5 приложений и списка литературы. Объем диссертации - 213 страниц, включая 21 рисунок, 6 таблиц и список литературы из 270 наименований.

Глава 1

Спектральные функции и вакуумная энергия в задачах с цилиндрической границей

Эта глава посвящена задачам расчета вакуумной энергии квантованных полей, с граничными условиями, заданными на поверхности бесконечного цилиндра.

Расчет вакуумной энергии электромагнитного поля с граничными условиями, определенными на цилиндре, не говоря уже о температурных поправках, оказался технически более сложной задачей, чем аналогичная задача с граничными условиями на поверхности сферы [2]. В ранней статье [56] была предпринята попытка предсказать энергию Казимира в присутствии проводящей цилиндрической оболочки, рассматривая эту поверхность как промежуточную конфигурацию между сферой и двумя параллельными пластинами. Поскольку вакуумная энергия электромагнитного поля с граничными условиями на проводящей сфере и вакуумная энергия с граничными условиями на проводящих пластинах имеют противоположные знаки, авторы предположили, что энергия Казимира цилиндрической идеально проводящей оболочки должна быть равна нулю. Однако в статьях [57, 58] было показано, что эта энергия отрицательна, как в случае параллельных проводящих пластин. Этот результат был повторен в работах [59, 60, 61] с помощью более современных математическим методов, что сделало расчет значительно короче. Во всех этих статьях рассматривалось граничные условия идеального проводника и не учитывались свойства среды.

Вакуумная энергия электромагнитного поля на фоне цилиндра с диэлектрической проницаемостью е1 = 1, ^ = 1, в пустоте, д2 = е2 = 1 была рассчитана в работе [59] в приближении разреженной среды путем суммирования потенциалов Казимира-Полдера и оказалась равной нулю,

£оу1 = о ((£ - 1)3) . (1.1)

Такой же результат был получен в пертурбативном подходе Бартоном [62] и в более поздней работе [63] методом функции Грина.

Если скорость света при пересечении границы раздела сред сохраняется, 61Д1 = е2д2 = с-2, то вычисление энергии Казимира материального цилин-

дра [59] сводится к аналогичному вычислению для проводящей цилиндрической оболочки. При этом энергию Казимира можно разложить по степеням параметра £2 = (б1 — б2)2/(б1 + е2)2 = (^1 — д2)2/(М1 + М2)2 < 1- В статье [59] было показано, что для цилиндрической границы коэффициент при £2 в этом разложении также равен нулю. Эти результаты указывали на то, что энергия Казимира диэлектрического цилиндра, возможно, исчезающе мала. Однако было неизвестно, чему равны коэффициенты при следующих порядках £2. Также неисследованным оставался вопрос о конечном произволе при устранении рас-ходимостей вакуумной энергии в присутствии диэлектрического цилиндра.

В статье [15] были вычислены коэффициенты теплового ядра на фоне диэлектрической среды с непрерывно меняющимися свойствами и для диэлектрического шара. Коэффициент В2 в общем случае оказался ненулевым. Для малого отклонения диэлектрической проницаемости е от единицы коэффициент В2 равен пулю только в первом порядке разложения по степеням (е — 1). Начиная со второго порядка, (е — 1)2, который соответствует приближению разреженной среды, коэффициент В2 нулю те равен. Для диэлектрического шара радиуса Л в вакууме он равен нулю и во втором порядке. Таким образом, для фона, свойства которого меняются скачком, е(г) = е10(Д — г) + б20(г — Л), сингулярность несколько слабее. Именно равенство нулю коэффициента В2 вплоть до второго порядка разложения, (е — 1)2, позволяет получить однозначный результат для вакуумной энергии диэлектрического шара в приближении разреженной среды,

^ = Т5§к ^ + ° — ^ ■ ^

Этот результат был получен разными методами: сложением сил Казимира-Полдера в работе [64], по теории возмущенней [65] и методом помодового суммирования [66].

В следующих параграфах мы рассмотрим спектральные задачи для скалярного и электромагнитного полей с граничными условиями на цилиндрической поверхности.

В спектральной дзета-функции должны учитываться как дискретная, так и непрерывная ветви спектра, а также поверхностные моды, если таковые существуют. Для суммирования по непрерывной ветви спектра используется функция спектрального сдвига плотности Ар(ш) [67]. Теория рассеяния дает следу-

ющее выражение для этой функции:

1 А

Ар(ш) = р(ш) - ро(ш) = —— ае! 5(ш), (1.3)

где 5(ш) - 5 - матрица спектральной задачи, р(к) - плотность состояний для данного потенциала (или для заданных граничных условий в случае составных о( )

потенциала или в однородном неограниченном пространстве).

В следующих параграфах мы рассмотрим спектральные задачи для скалярного и электромагнитного полей с граничными условиями на цилиндрической поверхности. Учитывая все ветви спектра, дзета-функции в таких задачах можно записать в виде:

с»

«•) = / £ Е

„ п=—оо

с

2

^ш^Чкг) + у ш 2 Арп(ш,кг

с к

(1.4)

Для электромагнитного поля требуется еще выполнить суммирование по поляризациям.

Далее будут получены интегральные представления для спектральных дзета функций и исследованы их взаимосвязи. С помощью дзета функций будут вычислены определители дифференциальных операторов и коэффициенты разложения ядра уравнения теплопроводности. В частности, будет получен коэффициент В2, что позволит сделать вывод о том, насколько однозначно определяется вакуумная энергия электромагнитного поля на фоне диэлектрического цилиндра . Мы найдем вакуумную энергию в присутствии цилиндра, на поверхности которого выполняются условия изорефракции и построим высокотемпературные асимптотики свободной энергии, внутренней энергии и энтропии.

Формулы этой главы также будут использоваться в Главе 3 при изучении спектральных задач в пространстве с конической сингулярностью, которые обладают осевой симметрией, и на плоскости для задач с одномерной границей, имеющей изломы.

В следующих разделах приводятся основные формулы для скалярного и электромагнитного полей с граничными условиями на бесконечном круглом цилиндре, клине и конусе, анализируется спектр колебаний. В формулах Глав 1-3 с = 1/^/бД в среде, и с = 1 в пустом пространстве.

1.1. Дзета-функция скалярного поля на фоне цилиндра

1.1.1. Граничные условия Дирихле и Неймана

Рассмотрим безмассовое скалярное поле х) в 3-мерном пространстве с граничными условиями на бесконечном цилиндре радиуса Я. Решение волнового уравнения

[с—2д2г — х) = 0, х = (г,в,ф), (1.5)

находим в цилиндрических координатах

<р(Ъ х) - е~ш1+гк*г/П(г)ехр(пв), п = 0, ±1, ±2, ... , (1.6)

причем радиальная функция /п(г) удовлетворяет уравнению

^¡п(г) , 1 (1/п(г)

+ - , +

' 2 2'

(Л2 , 2 п2 _ _ _ _

х гр2

и М = 0. (1.7)

Аг2 г Аг

Регулярное решение, определяющее функции Йостаа± (Аг), имеет вид

\ап(Х)ЫХг) ПРИ (л

МП = < (1.8)

1ап(А)Яп(Аг) — а1п (А)Я^ (Аг) при г >Я,

где А = \/(ш/с)2 — к'2 , Зп и Н± - это функции Бесселя и Ханкеля.

При граничных условиях Дирихле и Неймана поля внутри и снаружи цилиндра независимы [68]. Для фиксированного значения кг спектр частот ш(кг) внутри границы дискретный,

ш2/с2 = к2г + \2тп, —ж < к < ж , п = 0, ±1, ±2,..., (1.9)

собственные значения \пт для граничных условий Дирихле и Неймана определяются соответственно уравнениями

■1п(\тЩ = ° ^п (^птЩ = ° (1.10)

а индекс т = 1, 2, ... нумерует ненулевые корни этих уравнений для фиксированных п. Частотные уравнения (1.10) имеют нулевые корни кратности п и (п — 1), что связано с поведением функций Бесселя,

Зп(г) - ха/(2пГ(п + 1)), (х) - гп—1/(2пГ(и)).

Рис, 1,1, Пересечение двугранного угла (клина) цилиндром (окружностью) радиуса R.

В определении спектральной дзета-функции, вместо (1.10) будем использовать следующие функции, регулярные в начале координат:

(XnmR) nJn(XnmR)=0, (Хпт R)1 nJn{XnmR)=° . (1.11)

Здесь и ниже штрих у функций Бесселя и Ханкеля обозначает дифференцирование по их аргументу, XR.

Вне цилиндра, где спектр непрерывный, ckz < ш < то, для граничных условий Дирихле (а) и Неймана (Ь) имеем

a—(\)H—(\R) - a+(\)H+(\R) = 0, (1.12а)

an(X)Hn'(XR) - a+(X)H+'(XR) = 0. (1.12b)

Для суммирования по непрерывной части спектра [67], найдем ¿"-матрицу (1.3) [69],

S-(u) = а+п(Х)/а—(Х). (1.13)

Для граничных условий Дирихле (1.12а) и Неймана (1.12Ь) получим

qD(/ ) = Н- (XR) nN(/ ) = (л 14ч

Sn(u) = н+iXR), s-(u) = ЩЩ. ( }

Если скалярное поле задано не внутри цилиндра, а внутри двугранного угла с раствором а, 0 < в < а (клин с углом раствора a, Wa х R1) и подчиняется граничным условиям Дирихле (а) и Неймана (Ь) на его сторонах, то собственные функции оператора (—А) определяются формулами

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Пироженко Ирина Георгиевна, 2025 год

Список литературы

1. Casimir H. B. G. On the attraction between two perfectly conducting plates // Kon. Ned. Akad. Wetensch. Proc. — 1948.— Vol. 51. —P. 793795.

2. Bordag M., Klimchitskaya G. L., Mohideen U., and Mostepanenko V. M. Advances in the Casimir Effect. — Oxford : Oxford University Press, 2009.

3. Buchbinder I. L., Odintsov S. D., Shapiro I. L. Effective Action in Quantum Gravity. — New York : Routledge, 2017.

4. Avramidi I. Heat kernel and quantum gravity. — 2nd. ed. — Berlin : Springer, 2000. — Lecture Notes in Physics. m54.

5. Barvinsky A. O., Wachowski W. Schwinger-DeWitt technique in quantum gravity // Phys. Usp. —2024. —Vol. 67, no. 8. —P. 751-767.

6. Fursaev D. V. Black hole thermodynamics and perturbative quantum gravity // Handbook of Quantum Gravity / ed. by Bambi C., Modesto L., Shapiro I. — Singapore : Springer Nature Singapore, 2023. — P. 1-38.

7. Fursaev D., Vassilevich D. Operators, Geometry and Quanta: Methods of spectral geometry in quantum field theory. Theoretical and Mathematical Physics. — Berlin, Germany : Springer, 2011.

8. Elizalde E., Odintsov S. D., Romeo A., Bytsenko A. A. and Zerbini S. Zeta regularization technique with applications . — Singapore : World Scientific, 1994.

9. Kirsten K. Spectral functions in mathematics and physics. — Boca Raton, FL : Chapman and Hall, CRC, 2001.

10. Fock V. Proper time in classical and quantum mechanics // Phys. Z. Sowjetunion. — 1937. — Vol. 12. — P. 404-425.

11. Schwinger J. On Gauge Invariance and Vacuum Polarization // Phys. Rev. —1951. —Vol. 82. —P. 664-679.

12.

13. Vassilevich D. Heat kernel expansion: User's manual // Phys. Rept.— 2003. — Vol. 388. — P. 279-360.

14. Blau S., Visser M., Wipf A. Determinants of conformal wave operators in four dimensions // Phys. Lett. B. — 1988.— Vol. 209. —P. 209-213.

15. Bordag M., Kirsten K., Vassilevich D. On the ground state energy for a pene-

trable sphere and for a dielectric ball // Phys. Rev. D. — 1999. — Vol. 59. — P. 085011.

16. Rahi S. J., Emig T., Graham N., Jaffe R. L. and Kardar M. Scattering Theory Approach to Electrodynamic Casimir Forces // Phys. Rev. D. — 2009. —Vol. 80. —P. 085021.

17. Casimir effect in the scattering approach: correlations between material properties, temperature and geometry / Lambrecht A., Canaguier-Durand A., Guerout R., and Reynaud S. // Lect. Notes Phys. — 2011.— Vol. 834. —P. 97-127.

18. Emig T., Graham N., Jaffe R. L. and Kardar M. Casimir forces between arbitrary compact objects // Phys. Rev. Lett. — 2007. — Vol. 99. — P. 170403.

19. Emig T., Graham N., Jaffe R. L. and Kardar M. Casimir forces between compact objects: The scalar case // Phys. Rev. D. — 2008.—Vol. 77.— P. 025005.

20. Kenneth O., Klich I. Opposites Attract - A Theorem About The Casimir Force // Phys. Rev. Lett. — 2006.— Vol. 97. —P. 160401.

21. Bordag M., Robaschik D., Wieczorek E. Quantum Field Theoretic Treatment of the Casimir Effect // Ann. Phys. — 1985.— Vol. 165. —P. 192.

22. Li H., Kardar M. Fluctuation-induced forces between manifolds immersed in correlated fluids // Phys. Rev. A. — 1992.— Vol. 46. —P. 6490-6500.

23. Lifshitz E. M. The Theory of Molecular Attractive Forces Between Solids // Zh. Eksp. Teor. Fiz. — 1956.— Vol. 29. —P. 94. — [Sov. Phys. JETP. 2, 73 (1956)].

24. Lamoreaux S. Demonstration of the Casimir force in the 0.6 to 6 micrometers range // Phys. Rev. Lett. — 1997.— Vol. 78. —P. 5-7.

25. Roy A., Mohideen U. Demonstration of the Nontrivial Boundary Dependence of the Casimir Force // Phys. Rev. Lett. — 1999. — Vol. 82. — P. 4380-4383.

26. Banishev A. A., Wagner J., T., Zandi R. and Mohideen U. Experimental and theoretical investigation of the angular dependence of the Casimir force between sinusoidally corrugated surfaces // Phys. Rev. B. — 2014. — Vol. 89, no. 23. —P. 235436.

27. Capasso F., Munday J. N., Chan H. B. Attractive and repulsive Casimir-Lifshitz forces, QED torques, and applications to nanomachines // Lect. Notes Phys. —2011. —Vol. 834. —P. 249-286.

28. Kenneth O., Klich I. Casimir forces in a T-operator approach // Phys. Rev. B. —2008. —Vol. 78. —P. 014103.

29. Bulgac A., Magierski P., Wirzba A. Scalar Casimir effect between Dirichlet spheres or a plate and a sphere // Phys. Rev. D. — 2006.—Vol. 73.— P. 025007.

30. Bordag M. The Casimir effect for a sphere and a cylinder in front of plane and corrections to the proximity force theorem // Phys. Rev. D. — 2006. — Vol. 73. —P. 125018.

31. Emig T., Jaffe R. L., Kardar M. and Scardicchio A. Casimir interaction between a plate and a cylinder // Phys. Rev. Lett. — 2006. — Vol. 96.— P. 080403.

32. Emig T. Casimir forces: An Exact approach for periodically deformed objects // Europhys. Lett. —2003. —Vol. 62. —P. 466-472.

33. Lambrecht A., Marachevsky V. N. Casimir Interaction of Dielectric Gratings // Phys. Rev. Lett. —2008. —Vol. 101. —P. 160403.

34. Klimchitskaya G. L., Mostepanenko V. M. Testing Gravity and Predictions Beyond the Standard Model at Short Distances: The Casimir Effect // Lect. Notes Phys. — 2023. — Vol. 1017. — P. 403-445.

35. Arkani-Hamed N., Dimopoulos S., Dvali G. R. Phenomenology, astrophysics and cosmology of theories with submillimeter dimensions and TeV scale quantum gravity // Phys. Rev. D. — 1999. — Vol. 59. —P. 086004.

36. Kuzmin V. A., Tkachev I. I., Shaposhnikov M. E. Restrictions Imposed on Light Scalar Particles by Measurements of Van Der Waals Forces // JETP Lett. —1982. —Vol. 36. —P. 59-62.

37. Mostepanenko V. M., Sokolov I. Y. New Restrictions on the Parameters of the Spin 1 Anti-graviton Following From the Casimir Effect, Eotvos and Cavendish Experiments//Phys. Lett. A. — 1988. — Vol. 132. —P. 313315.

38. Klimchitskaya G. L., Mohideen U., Mostepanenko V. M. Constraints on corrections to Newtonian gravity from two recent measurements of the Casimir interaction between metallic surfaces // Phys. Rev. D. — 2013. — Vol. 87, no. 12. —P. 125031.

39. Decca R., Aksyuk V., Lopez D. Casimir force in micro and nano electro mechanical systems // Lect. Notes Phys. — 2011. — Vol. 834. — P. 287-

40. Spreng B., Gong T., Munday J. N. Recent developments on the Casimir torque // Int. J. Mod. Phys. A. — 2022.— Vol. 37, no. 19. —P. 2241011.

41. Shelden C., Spreng B., Munday J. N. Opportunities and challenges involving repulsive Casimir forces in nanotechnology // Appl. Phys. Rev. — 2024. — Vol. 11, no. 4. —P. 041325.

42. Recent progress in engineering the Casimir effect - applications to nanopho-tonics, nanomechanics, and chemistry / Gong T., Corrado M. R., Mah-bub A. R., Shelden C., and Munday J. N. // Nanophoton. — 2020. — Vol. 10, no. 1. —P. 523-536.

43. Liu M., Zhang Y., Klimchitskaya G. L., Mostepanenko V. M. and Mohideen U. Demonstration of an Unusual Thermal Effect in the Casimir Force from Graphene // Phys. Rev. Lett.— 2021.— Vol. 126, no. 20. —P. 206802.

44. Bordag M., Pirozhenko I. G. The heat kernel coefficients for the dielectric cylinder // Phys. Rev. D. — 2001.— Vol. 64. —P. 025019.

45. Nesterenko V. V., Pirozhenko I. G. Casimir energy of a compact cylinder under the condition £ß= c-2 // Phys. Rev. D. — 1999. — Vol. 60. — P. 125007.

46. Pirozhenko I. G., Nesterenko V. V., Bordag M. Integral equations for heat kernel in compound media //J. Math. Phys. — 2005. — Vol. 46. — P. 042305.

47. Nesterenko V. V., Pirozhenko I. G., Dittrich J. Nonsmoothness of the boundary and the relevant heat kernel coefficients // Class. Quant. Grav. — 2003. —Vol. 20. —P. 431-456.

48. Bordag M., Pirozhenko I. Vacuum energy between a sphere and a plane at finite temperature // Phys. Rev. D. — 2010.— Vol. 81. —P. 085023.

49. Bordag M., Pirozhenko I. G. On the Casimir entropy for a ball in front of a plane // Phys. Rev. D. — 2010.— Vol. 82. —P. 125016.

50. Bordag M., Pirozhenko I. G. The Low temperature corrections to the Casimir force between a sphere and a plane // Springer Proc. Phys. — 2011. — Vol. 137. —P. 45-56.

51. Pirozhenko I. G., Bordag M. Casimir repulsion in sphere-plate geometry // Phys. Rev. D. —2013. —Vol. 87. —P. 085031.

52. Bordag M., Pirozhenko I. Casimir Effect for Dirac Lattices // Phys. Rev. D. —2017. —Vol. 95. —P. 056017.

53. Pirozhenko I. On finite temperature Casimir effect for Dirac lattices // Mod. Phys. Lett. A. — 2020.— Vol. 35, no. 03. —P. 2040019.

54. Pirozhenko I. G. Vacuum Interaction of Crossed Cosmic Strings // Universe. — 2021.—Vol. 7, no. 7. —P. 217.

55. Bordag M., Pirozhenko I. G. Dispersion forces between fields confined to half spaces // Symmetry. — 2018. — Vol. 10, no. 3. — P. 74.

56. Balian R., Duplantier B. Electromagnetic waves near perfect conductors. 2. Casimir effect //Ann. Phys. — 1978.— Vol. 112. —P. 165-208.

57. DeRaad L. L., Milton K. A. Casimir self-stress on a perfectly conducting cylindrical shell // Ann. Phys. — 1981.— Vol. 136, no. 2. —P. 229 - 242.

58. Deraad Jr. L. L. Source theory treatment of the Casimir effect: A review // Fortschr. Phys. / Progr. Phys. — 1985.— Vol. 33, no. 2. —P. 117-138.

59. Milton K. A., Nesterenko A. V., Nesterenko V. V. Mode-by-mode summation for the zero point electromagnetic energy of an infinite cylinder // Phys. Rev. D. —1999. —Vol. 59. —P. 105009.

60. Lambiase G., Nesterenko V. V., Bordag M. Casimir energy of a ball and cylinder in the zeta function technique //J. Math. Phys. — 1999. —Vol. 40. — P. 6254-6265.

61. Gosdzinsky P., Romeo A. Energy of the vacuum with a perfectly conducting and infinite cylindrical surface // Phys. Lett. B. — 1998. — Vol. 441, no. 1. — P. 265 - 274.

62. Barton G. Perturbative Casimir energies of dispersive spheres, cubes and cylinders // J. Phys. A: Math. Gen. — 2001. — Vol. 34, no. 19.— P. 40834114.

63. Cavero-Pelaez I., Milton K. A. Casimir energy for a dielectric cylinder // Ann. Phys. —2005. —Vol. 320. —P. 108-134.

64. Milton K., Ng Y. Observability of the bulk Casimir effect: Can the dynamical Casimir effect be relevant to sonoluminescence? // Phys. Rev. D. — 1998. — Vol. 57. —P. 5504-5510.

65. Barton G. Perturbative check on the Casimir energies of nondispersive dielectric spheres //J. Phys. A: Math. Gen. — 1999.— Vol. 32. —P. 525-535.

66. Nesterenko V. V., Lambiase G., Scarpetta G. Casimir effect for a dilute dielectric ball at finite temperature // Phys. Rev. D. — 2001.—Vol. 64.— P. 025013.

67. Nesterenko V. Boundary conditions at spatial infinity for fields in Casimir calculations // J. Phys. A: Math. Gen. — 2006. — Vol. 39, no. 21. — P. 66096616.

68. Stratton J. A. Electromagnetic Theory. — New York : McGraw-Hill, 1941.

69. Newton R. G. Scattering Theory of Waves and Particles. — New York:Dover, 2002.

70. Solvable models in quantum mechanics / Albeverio S., Gesztesy F., H0egh-Krohn R., and Holden M. — Providence, RI, USA : American Mathematical Society, 1988.

71. Bordag M., Pirozhenko I. G. Casimir effect with an unstable mode // Int. J. Mod. Phys. A. —2025. —Vol. 40, no. 10n11. — P. 2543018.

72. Milton K. A. Local and Global Casimir Energies: Divergences, Renormal-ization, and the Coupling to Gravity // Lect. Notes Phys. — 2011. — Vol. 834. —P. 39-95.

73. Cavero-Pelaez I., Milton K. A., Kirsten K. Local and global Casimir energies for a semitransparent cylindrical shell //J. Phys. A: Math. Gen. — 2007. — Vol. 40, no. 13. —P. 3607-3631.

74. Scandurra M. Vacuum energy in the background of delta potentials : Ph. D. thesis ; Leipzig U. — 2000. — hep-th/0011151.

75. Milton K. The Casimir effect: Recent controversies and progress // J. Phys. A: Math. Gen. — 2004.— Vol. 37. —P. R209-R277.

76. Nesterenko V. V., Lambiase G., Scarpetta G. Calculation of the Casimir energy at zero and finite temperature: Some recent results // Riv. Nuovo Cim. —2004. —Vol. 27. —P. 1-74.

77. Green H. S., Wolf E. A Scalar Representation of Electromagnetic Fields // Proc. R. Soc. A. —1953. —Vol. 66, no. 12. —P. 1129-1137.

78. Nisbet A., Whittaker E. T. Hertzian electromagnetic potentials and associated gauge transformations // Proc. R. Soc. A. — 1955. — Vol. 231, no. 1185. —P. 250-263.

79. Nesterenko V., Pirozhenko I. Simple method for calculating the Casimir energy for sphere // Phys. Rev. D. — 1998.— Vol. 57. —P. 1284-1290.

80. Nesterenko V. V. Surface modes and photonic modes in Casimir calculations for a compact cylinder //J. Phys. A: Math. Gen. — 2008. — Vol. 41.— P. 164005.

81. Bordag M., Kirsten K. The ground state energy of a spinor field in the background of a finite radius flux tube // Phys. Rev. D. — 1999. — Vol. 60. — P. 105019.

82. Nesterenko V. V., Pirozhenko I. G. Vacuum energy in conical space with additional boundary conditions // Class. Quant. Grav. — 2011.—Vol. 28, no. 17. —P. 175020.

83. Bordag M., Nesterenko V. V., Pirozhenko I. G. High temperature asymp-totics of thermodynamic functions of an electromagnetic field subjected to boundary conditions on a sphere and cylinder // Phys. Rev. D. — 2002.— Jan. —Vol. 65. —P. 045011.

84. Bender C., Milton K. Casimir effect for a D-dimensional sphere // Phys. Rev. D. —1994. —Vol. 50. —P. 6547-6555.

85. Leseduarte S., Romeo A. Complete zeta-function approach to the electromagnetic Casimir effect for spheres and circles // Ann. Phys. — 1996. — Vol. 250. — P. 448-484.

86. Sen S. A Calculation of the Casimir Force on a Circular Boundary //J. Math. Phys. —1981. —Vol. 22. —P. 2968-2973.

87. Bordag M., Elizalde E., Kirsten K. Heat kernel coefficients of the Laplace operator on the D-dimensional ball //J. Math. Phys. — 1996. — Vol. 37.— P. 895-916.

88. Bordag M., Kirsten K., Dowker J. Heat kernels and functional determinants on the generalized cone // Commun. Math. Phys. — 1996. — Vol. 182.— P. 371-394.

89. Abramowitz M., Stegun I. A. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. — ninth dover printing, tenth gpo printing ed. — New York : Dover, 1964.

90. Marachevsky V. N. Casimir energy and dilute dielectric ball // Phys. Scripta. —2001. —Vol. 64, no. 3. —P. 205-211.

91. Marachevsky V. N. Casimir energy and realistic model of dilute dielectric ball // Mod. Phys. Lett. A. — 2001.— Vol. 16, no. 15. —P. 1007-1016.

92. Brevik I., Nesterenko V., Pirozhenko I. Direct mode summation for the Casimir energy of a solid ball //J. Phys. A: Math. Gen. — 1998. — Vol. 31, no. 43. —P. 8661-8668.

93. Fishbane P. M., Gasiorowicz S. G., Kaus P. Long-range dielectric confine-

ment // Phys. Rev. D. — 1987.— Vol. 36. —P. 251-260.

94. Fishbane P. M., Gasiorowicz S. G., Kaus P. Zero-point energy in flux-tube confinement // Phys. Rev. D. — 1988.— Vol. 37. —P. 2623-2632.

95. Hasenfratz P., Kuti J. The Quark Bag Model // Phys. Rept. — 1978. — Vol. 40. —P. 75-179.

96. Hiller J. R. An Effective Action Approach to Spin Potentials for Heavy Quark Systems // Annals Phys. — 1982.— Vol. 144. —P. 58.

97. Hiller J. R. Heavy Quark Spectroscopy for Effective Action Models // Phys. Rev. —1984. —Vol. D30. — P. 1520.

98. Milton K. Zero point energy in bag models // Phys. Rev. D. — 1980.— Vol. 22. —P. 1441-1443.

99. Casimir energies for massive fields in a spherical geometry / Bordag M., Elizalde E., Kirsten K., and Leseduarte S. // Phys. Rev. D. — 1997.— Vol. 56. —P. 4896-4904.

100. Elizalde E., Bordag M., Kirsten K. Casimir energy for a massive fermionic quantum field with a spherical boundary //J. Phys. A. — 1998. — Vol. A31. — P. 1743-1759.

101. Landau L., Peierls R. Quantenelektrodynamik im Konfigurationsraum // Zeitschrift fur Physik. — 1930. — Mar.— Vol. 62, no. 3. —P. 188-200.

102. Barbashov B. M., Nesterenko V. V. Introduction to the relativistic string theory. — New York : Singapore, 1990.

103. Alvarez O. Static potential in string models // Phys. Rev. D. — 1981.— Jul. — Vol. 24. — P. 440-449.

104. Lambiase G., Nesterenko V. V. Quark mass correction to the string potential // Phys. Rev. D. —1996. —Nov. —Vol. 54. —P. 6387-6398.

105. Kirsten K. Casimir effect at finite temperature //J. Phys. A: Math. Gen. — 1991. —Vol. A24. — P. 3281-3298.

106. Kirsten K. Grand thermodynamic potential in a static space-time with boundary // Class. Quant. Grav. — 1991. — dec. — Vol. 8, no. 12. — P. 2239-2255.

107. Kirsten K. Finite-temperature interacting scalar field theories in curved spacetime // Class. Quant. Grav. — 1993. — aug. — Vol. 10, no. 8. — P. 1461-1469.

108. Kirsten K. Inhomogeneous multidimensional Epstein zeta functions //

J. Math. Phys. —1991. —Vol. 32, no. 11. —P. 3008-3014.

109. Müller W. Relative zeta functions, relative determinants and scattering theory // Comm. Math. Phys. — 1998.— Vol. 192, no. 2. —P. 309-347.

110. Zeta function determinant of the Laplace operator on the D- dimensional ball / Bordag M., Geyer B., Kirsten K., and Elizalde E. // Comm. Math. Phys. — 1996. — Vol. 179. —P. 215.

111. Barton G. Perturbative Casimir shifts of dispersive spheres at finite temperature // J. Phys. A: Math. Gen. — 2001.— Vol. 34, no. 29. —P. 5781-5793.

112. Barton G. Perturbative Casimir shifts of nondispersive spheres at finite temperature // Phys. Rev. A. —2001. —Aug. —Vol. 64. —P. 032103.

113. Plunien G., Muller B., Greiner W. The Casimir Effect // Phys. Rept. — 1986. —Vol. 134. —P. 87-193.

114. Рытов С. Теория равновесных тепловых флуктуаций в электродинамике. — Москва : Наука, 1967.

115. Stewartson K., Waechter R. T. On hearing the shape of a drum: further results // Proc. Cambridge Phil. Soc. — 1971.— Vol. 69. —P. 353-363.

116. Kennedy G. Boundary terms in the Schwinger-DeWitt expansion: flat space results //J. Phys. A: Math. Gen. — 1978.— Vol. 11, no. 8. —P. L173-L178.

117. Elizalde E., Romeo A. Heat Kernel Approach to the Zeta Function Regular-ization of the Casimir Energy for Domains With Curved Boundaries // Int. J. Mod. Phys. —1990. —Vol. A5. — P. 1653.

118. Gilkey P. B. Invariance theory, the heat equation and the Atiyah-Singer index theorem. — 2nd. ed. — Boca Raton : CTC Press, 1995.

119. Dowker J., Apps J. Further functional determinants // Class. Quantum Grav. —1995. —Vol. 12. —P. 1363-1383.

120. Brevik I., Lygren M. Casimir Effect for a Perfectly Conducting Wedge // Ann. Phys. —1996. —Vol. 251, no. 2. —P. 157 - 179.

121. Howls C. J., Trasler S. A. Weyl's wedges // J. Phys. A: Math. Gen. — 1998. —Vol. 31, no. 8. —P. 1911-1928.

122. Cognola G., Kirsten K., Vanzo L. Free and selfinteracting scalar fields in the presence of conical singularities // Phys. Rev. D. — 1994. — Vol. 49.— P. 1029-1038.

123. Frolov V. P., Serebryanyi E. M. Vacuum Polarization in the Gravitational Field of a Cosmic String // Phys. Rev. D. — 1987. — Vol. 35.— P. 3779-

3782.

124. Kac M. Can one hear the shape of a drum? // Am. Math. Mon. — 1966. — Vol. 73. —P. 1-23.

125. McKean H. P., Singer I. M. Curvature and eigenvalues of the Laplacian // J. Diff. Geom. —1967. —Vol. 1. —P. 43-69.

126. Pleijel A. A study of certain Green's functions with applications in the theory of vibrating membranes // Ark. Mat. — 1954. — 03. — Vol. 2, no. 6. — P. 553-569.

127. Waechter R. T. On hearing the shape of a drum: an extension to higher dimensions // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. —1972. —Vol. 72, no. 3. —P. 439-447.

128. Kennedy G., Critchley R., Dowker J. Finite temperature field theory with boundaries: stress tensor and surface action renormalization // Ann. Phys. — 1980. — Vol. 125. — P. 346-400.

129. Moss I. G. Boundary Terms in the Heat Kernel Expansion // Class. Quant. Grav. —1989. —Vol. 6. —P. 759.

130. D'Eath P., Esposito G. Spectral boundary conditions in one loop quantum cosmology // Phys. Rev. D. — 1991.— Vol. 44. —P. 1713-1721.

131. Dowker J. Functional determinants on regions of the plane and sphere // Class. Quant. Grav. — 1994.— Vol. 11. —P. 557-566.

132. Nesterenko V. V., Lambiase G., Scarpetta G. Casimir energy of a semicircular infinite cylinder //J. Math. Phys. — 2001. — Vol. 42, no. 5.— P. 1974-1986.

133. Dowker J. S. Divergences in the Casimir energy. — 2000. — hep-th/0006138.

134. Candelas P. Vacuum Polarization in the Presence of Dielectric and Conducting Surfaces // Annals Phys. — 1982.— Vol. 143. —P. 241.

135. Ford L. H., Svaiter N. F. Vacuum energy density near fluctuating boundaries // Phys. Rev. D. —1998. —Vol. 58. —P. 065007.

136. Kibble T. W. B. Topology of Cosmic Domains and Strings //J. Phys.— 1976. —Vol. A9. — P. 1387-1398.

137. Kibble T. W. B. Some implications of a cosmological phase transition // Phys. Rept. —1980. —Vol. 67. —P. 183.

138. Vilenkin A., Shellard E. P. S. Cosmic Strings and Other Topological Defects. — Cambridge : Cambridge University Press, 2000.

139. Sazhina O., Bulygin I., Solodilova O. Problems and Methods of Modern Search for Cosmic Strings // Astron. Rep.— 2025.— Vol. 69. —P. 14-27.

140. Gravitational radiation by cosmic strings in a junction / Brandenberger R., Firouzjahi H., Karouby J., and Khosravi S. // JCAP. — 2009. —jan. — Vol. 2009, no. 01. —P. 008-008.

141. Kawasaki M., Miyamoto K., Nakayama K. Gravitational waves from kinks on infinite cosmic strings // Phys. Rev. D. — 2010. — Vol. 81. — P. 103523.

142. Berezinsky V., Hnatyk B., Vilenkin A. Gamma ray bursts from superconducting cosmic strings // Phys. Rev. D. — 2001. — Vol. 64. —P. 043004.

143. Vilenkin A. Cosmic strings: Progress and problems // Inflating Horizons of Particle Astrophysics and Cosmology. — 2005. — hep-th/0508135.

144. Copeland E. J., Kibble T. W. B. Cosmic strings and superstrings // Proc. R. Soc. A. —2010. —Vol. 466, no. 2115. —P. 623-657.

145. Vilenkin A. Gravitational field of vacuum domain walls and strings // Phys. Rev. D. —1981. —Vol. 23. —P. 852-857.

146. Hiscock W. A. Exact gravitational field of a string // Phys. Rev. D.— 1985. —Vol. 31. —P. 3288-3290.

147. Linet B. The static metrics with cylindrical symmetry describing a model of cosmic strings // Gen. Rel. Grav. — 1985.— Vol. 17, no. 11. —P. 1109-1115.

148. Sokolov D. D., Starobinsky A. A. On the structure of curvature tensor on conical singularities // Dokl. Akad. Nauk SSSR. — 1977. — Vol. 234.— P. 1043-1046.

149. Fursaev D. Spectral geometry and one-loop divergences on manifolds with conical singularities // Phys. Lett. B. — 1994. — Vol. 334, no. 1. — P. 53 -60.

150. Nardo L. D., Fursaev D. V., Miele G. Heat kernel coefficients and spectra of the vector Laplacians on spherical domains with conical singularities // Class. Quant. Grav. — 1997.— Vol. 14, no. 5. —P. 1059-1078.

151. Fursaev D. The heat-kernel expansion on a cone and quantum-fields near cosmic strings // Class. Quant. Grav. — 1994.— Vol. 11. —P. 1431-1443.

152. Nesterenko V., Lambiase G., Scarpetta G. Casimir effect for a perfectly conducting wedge in terms of local zeta function // Ann. Phys. — 2002. — Vol. 298, no. 2. —P. 403 - 420.

153. Gott III J. R. Gravitational lensing effects of vacuum strings: Exact solu-

tions // Astrophys. J. —1985. —Vol. 288. —P. 422-427.

154. Khusnutdinov N. R., Bordag M. Ground state energy of massive scalar field in the background of finite thickness cosmic string // Phys. Rev. D. — 1999. —Vol. 59. —P. 064017.

155. Brevik I., Ellingsen S. A., Milton K. A. Electrodynamic Casimir effect in a medium-filled wedge // Phys. Rev. E.— 2009.— Vol. 79. —P. 041120.

156. Ellingsen S. A., Brevik I., Milton K. A. Electrodynamic Casimir effect in a medium-filled wedge. II // Phys. Rev. E. — 2009.— Vol. 80. —P. 021125.

157. Brevik I., Ellingsen S. A., Milton K. A. Electromagnetic Casimir effect in wedge geometry and the energy-momentum tensor in media // Int. J. Mod. Phys. A. —2010. —Vol. 25. —P. 2270.

158. Milton K. A., Wagner J., Kirsten K. Casimir effect for a semitransparent wedge and an annular piston // Phys. Rev. D. — 2009. — Vol. 80. — P. 125028.

159. Ellingsen S.A., Brevik I., Milton K. A. Casimir effect at nonzero temperature for wedges and cylinders // Phys. Rev. D. — 2010. — Vol. 81. — P. 065031.

160. Vacuum polarization induced by a cylindrical boundary in the cosmic string spacetime / Bezerra de Mello E. R., Bezerra V. B., Saharian A. A., and Tarloyan A. S. // Phys. Rev. D. — 2006.— Vol. 74. —P. 025017.

161. de Mello E. B., Saharian A. A. Vacuum polarization by a cosmic string in de Sitter spacetime // JHEP.— 2009.— Vol. 2009, no. 04. —P. 046-046.

162. Rezaeian A. H., Saharian A. A. Local Casimir energy for a wedge with a circular outer boundary // Class. Quant. Grav. — 2002. — Vol. 19, no. 14. — P. 3625-3634.

163. de Mello E. B., Bezerra V., Saharian A. Electromagnetic Casimir densities induced by a conducting cylindrical shell in the cosmic string spacetime // Phys. Lett. B. —2007. —Vol. 645, no. 2. —P. 245 - 254.

164. Saharian A. Electromagnetic Casimir densities for a wedge with a coaxial cylindrical shell // Eur. Phys. J. C. — 2007.— Vol. 52, no. 3. —P. 721-733.

165. Vilenkin A. Cosmic Strings and Domain Walls // Phys. Rept. —1985. — Vol. 121. —P. 263-315.

166. Whittaker E. T. On an expression of the electromagnetic field due to electrons by means of two scalar potential functions // Proc. Lond. Math. Soc. —1904. —Vol. s2-1, no. 1. —P. 367-372.

167. Klich I., Romeo A. Regularized Casimir energy for an infinite dielectric cylinder subject to light-velocity conservation // Phys. Lett. B. — 2000. — Vol. 476, no. 3. —P. 369 - 378.

168. Тихонов А. Об уравнении теплопроводности для нескольких переменных // Бюлл. МГУ, секция А. — 1938. — Т. 1. С. 1-49.

169. Carslaw H. S., Jaeger J. C. Conduction of Heat in Solids. — 2nd. ed.— Oxford, UK : Oxford University Press, 1992.

170. Pirozhenko I. Towards a heat kernel expansion for the electromagnetic field interacting with a dielectric body of arbitrary form // Quantum field theory under the influence of external conditions. Proceedings of the 6th Workshop, QFEXT'03, Norman, USA, September 15-19, 2003.— 2003.— P. 133-139.

171. Kellogg O. D. Foundations of potential theory. — Dover, New York, 1953.

172. Смирнов В. И. Курс высшей математики. ^Москва : Наука, 1981. — Т. IV.

173. Barton G. Elements of Green's Functions and Propagation. — Great Clarendon Street, Oxford OX2 6DP, UK : Clarendon Press, Oxford, 1989.

174. Multiple reflection expansion and heat kernel coefficients / Bordag M., Vas-silevich D., Falomir H., and Santangelo E. M. // Phys. Rev. D. — 2001.— Vol. 64. —P. 045017.

175. Boundary dynamics and multiple reflection expansion for Robin boundary conditions / Bordag M., Falomir H., Santangelo E. M., and Vassile-vich D. V. // Phys. Rev. D. — 2002.— Vol. 65. —P. 064032.

176. Gradshteijn I., Ryzhik I. Table of Integrals, Series and Products. — Fifth edition ed. — New York : Academic Press, 1994.

177. Lavrentev M. A., Shabat B. V. Methods of the theory of complex variable functions. — Nauka, Moscow, 1987.

178. Tables of integral transformations / ed. by Erdelyi A. — McGraw-Hill, New York, 1954. —Vol. 1.

179. DeWitt B. The Global Approach to Quantum Field Theory. — Great Clarendon Street, Oxford OX2 6DP, UK : Clarendon Press, Oxford, 2003.

180. Moss I. G. Heat kernel expansions for distributional backgrounds // Phys. Lett. B. —2000. —Vol. 491, no. 1. —P. 203 - 206.

181. Gilkey P. B., Kirsten K., Vassilevich D. V. Heat trace asymptotics with transmittal boundary conditions and quantum brane-world scenario // Nucl. Phys. B. —2001. —Vol. 601, no. 1-2. —P. 125-148.

182. Gilkey P., Kirsten K., Vassilevich D. Heat trace asymptotics defined by transfer boundary conditions // Lett. Math. Phys. — 2003. — Vol. 63, no. 1.— P. 29-37.

183. Sommerfeld A. Zur analytischen Theorie der Wärmeleitung // Math. Ann. — 1894. — Vol. 45, no. 2. — P. 263-277.

184. Schaaf S. A. On the superposition of a heat source and contact resistance // Quart. Appl. Math. —1947. —Vol. 5, no. 1. —P. 107-111.

185. Bordag M., Pirozhenko I. G., Nesterenko V. V. Spectral analysis of a flat plasma sheet model //J. Phys. — 2005. — Vol. A38. — P. 11027. — hep-th/0508198.

186. Derjaguin B. Untersuchungen äber die Reibung und Adhasion, IV. Theorie des Anhaftens kleiner Teilchen // Kolloid Z. — 1934. — Vol. 69. — P. 155164.

187. Emig T. Fluctuation-induced quantum interactions between compact objects and a plane mirror // J. Stat. Mech. — 2008. — P. 04007.

188. Neto P., Lambrecht A., Reynaud S. Casimir effect with rough metallic mirrors // Phys. Rev. A. —2005. —Vol. 72. —P. 012115.

189. Casimir interaction between plane and spherical metallic surfaces / Canaguier-Durand A., Maia Neto P. A., Cavero-Pelaez I., Lambrecht A., and Reynaud S. // Phys. Rev. Lett. — 2009.— Vol. 102. —P. 230404.

190. Bordag M., Nikolaev V. First analytic correction beyond the proximity force approximation in the Casimir effect for the electromagnetic field in sphere-plane geometry // Phys. Rev. D. — 2010.— Vol. 81. —P. 065011.

191. Emig T., Jaffe R. L. Casimir forces between arbitrary compact objects: Scalar and electromagnetic field //J. Phys. A: Math. Gen. — 2008. — Vol. 41. —P. 164001.

192. Orientation dependence of Casimir forces / Emig T., Graham N., Jaffe R. L., and M. K. // Phys. Rev. A. —2009. —Vol. 79. —P. 054901.

193. Casimir force at a knife's edge / Graham N., Shpunt A., Emig T., Rahi S. J., Jaffe R. L., and Kardar M. // Phys. Rev. D. — 2010. — Vol. 81, no. 6.— P. 061701.

194. Gies H., Klingmuller K. Worldline algorithms for Casimir configurations // Phys. Rev. D. —2006. —Vol. 74. —P. 045002.

195. Sparnaay M. J. Measurements of attractive forces between flat plates //

Physica. — 1958. — Vol. 24. — P. 751-764.

196. Fierz M. On the attraction of conducting planes in vacuum // Helv. Phys. Acta. — 1960. — Vol. 33. — P. 855-858.

197. Mehra J. Temperature correction to the Casimir effect // Physica. — 1967. — Vol. 37, no. 1. —P. 145-152.

198. Genet C., Lambrecht A., Reynaud S. Temperature dependence of the Casimir effect between metallic mirrors // Phys. Rev. A. — 2000. — Vol. 62. —P. 012110.

199. Klimchitskaya G. L., Mohideen U., Mostepanenko V. M. The Casimir force between real materials: Experiment and theory // Rev. Mod. Phys. —

2009. —Vol. 81. —P. 1827.

200. Weber A., Gies H. Geothermal Casimir phenomena for the sphere-plate and cylinder-plate configurations // Phys. Rev. D. — 2010. — Vol. 82.— P. 125019.

201. Gies H., Weber A. Geometry-Temperature Interplay in the Casimir Effect // Int. J. Mod. Phys. A. —2010. —Vol. 25. —P. 2279-2292.

202. Thermal Casimir effect in the plane-sphere geometry / Canaguier-Durand A., Maia Neto P. A., Lambrecht A., and Reynaud S. // Phys. Rev. Lett.—

2010. —Vol. 104. —P. 040403.

203. Bordag M., Pirozhenko I. Vacuum energy between a sphere and a plane at finite temperature // Phys.Rev.D. — 2009.— Vol. 81. —P. 085023.

204. Weber A., Gies H. Interplay between geometry and temperature for inclined Casimir plates // Phys. Rev. D.— 2009.— Vol. 80. —P. 065033.

205. Weber A., Gies H. Nonmonotonic thermal Casimir force from geometry-temperature interplay // Phys. Rev. Lett.— 2010.— Vol. 105. —P. 040403.

206. Milton K. A., Parashar P., Wagner J. and Shajesh K. V. Exact Casimir energies at nonzero temperature: Validity of proximity force approximation and interaction of semitransparent spheres. — 2009. — hep-th/0909.0977.

207. Bordag M., Nikolaev V. Casimir force for a sphere in front of a plane beyond Proximity Force Approximation //J. Phys. A: Math. Gen. — 2008. — Vol. 41. —P. 164002.

208.

Москва : Наука, 1980. 209. Blocki J., Randrup J., Swiatecki W.J. and Tsang C.F. Proximity Forces //

Ann. Phys. —1977. —Vol. 105. —P. 427.

210. Teo L. P., Bordag M., Nikolaev V. On the corrections beyond proximity force approximation (PFA) // Phys. Rev. D. —2011. —Vol. 84. —P. 125037.

211. Classical Casimir interaction in the plane-sphere geometry / Canaguier-Durand A., Ingold G.-L., Jaekel M.-T., Lambrecht A., Neto P. A. M., and Reynaud S. // Phys. Rev. A. — 2012.— Vol. 85. —P. 052501.

212. Thermal Casimir effect for Drude metals in the plane-sphere geometry / Canaguier-Durand A., Neto P. A. M., Lambrecht A., and Reynaud S. // Phys. Rev. A. —2010. —Vol. 82. —P. 012511.

213. Bezerra V. B., Klimchitskaya G. L., Mostepanenko V. M. Correlation of energy and free energy for the thermal Casimir force between real metals // Phys. Rev. A. —2002. —Vol. 66. —P. 062112.

214. Geyer B., Klimchitskaya G. L., Mostepanenko V. M. Thermal quantum field theory and the Casimir interaction between dielectrics // Phys. Rev. D.— 2005. —Vol. 72. —P. 085009.

215. Boyer T. H. Van der Waals forces and zero-point energy for dielectric and permeable materials // Phys. Rev. A. — 1974. — May. — Vol. 9, no. 5.— P. 2078-2084.

216. Santos F. C., Tenorio A., Tort A. C. Zeta function method and repulsive Casimir forces for an unusual pair of plates at finite temperature // Phys. Rev. D. —1999. —Vol. 60. —P. 105022.

217. Henkel C., Joulain K. Casimir force between designed materials: What is possible and what not // Europhys. Lett. — 2005. — Vol. 72, no. 6. — P. 929935.

218. Casimir Repulsion between Metallic Objects in Vacuum / Levin M., Mc-Cauley A. P., Rodriguez A. W., Reid M. T. H., and Johnson S. G. // Phys. Rev. Lett. —2010. —Vol. 105. —P. 090403.

219. Nontouching nanoparticle diclusters bound by repulsive and attractive Casimir forces / Rodriguez A. W., McCauley A. P., Woolf D., Capasso F., Joannopoulos J. D., and Johnson S. G. // Phys. Rev. Lett. — 2010. — Vol. 104. —P. 160402.

220. Structural anisotropy and orientation-induced Casimir repulsion in fluids / McCauley A. P., Rosa F. S. S., Rodriguez A. W., Joannopoulos J. D., Dalvit D. A. R., and Johnson S. G. // Phys. Rev. A.— 2011.— Vol. 83.—

P. 052503.

221. Fosco C. D., Lombardo F. C., Mazzitelli F. D. The proximity force approximation for the Casimir energy as a derivative expansion // Phys. Rev. D. — 2011. —Vol. 84. —P. 105031.

222. Fosco C. D., Lombardo F. C., Mazzitelli F. D. Fourth order perturba-tive expansion for the Casimir energy with a slightly deformed plate // Phys. Rev. D. —2012. —Vol. 86. —P. 125018.

223. Casimir forces beyond the proximity approximation / Bimonte G., Emig T., Jaffe R. L., and Kardar M. // Europhys. Lett. — 2012. — Vol. 97. — P. 50001.

224. Bimonte G., T., Kardar M. Material dependence of Casimir forces: gradient expansion beyond proximity // Appl. Phys. Lett. — 2012. — Vol. 100.— P. 074110.

225. Mostepanenko V. M., Klimchitskaya G. L. Recent solution to the Casimir puzzle awaits its experimental confirmation // Int. J. Mod. Phys. A.— 2025. —Vol. 40, no. 10n11. — P. 2543005.

226. Barton G. Casimir effects in monatomically thin insulators polarizable perpendicularly: nonretarded approximation // New J. Phys. — 2013. — Vol. 15. —P. 063028.

227. Barton G. Casimir effects for a flat plasma sheet: I. Energies //J. Phys. A: Math. Gen. —2005. —Vol. 38, no. 13. —P. 2997-3019.

228. Casimir interaction between a perfect conductor and graphene described by the Dirac model / Bordag M., Fialkovsky I. V., Gitman D. M., and Vassilevich D. V. // Phys. Rev. B. — 2009.— Vol. 80. —P. 245406.

229. Barton G. Monolayers polarizable perpendicularly: The Maxwellian response functions // Ann. Phys. —2015. —Vol. 354. —P. 534.

230. Bordag M. Monoatomically thin polarizable sheets // Phys. Rev. D.— 2014. —Vol. 89. —P. 125015.

231. Bordag M., Munoz-Castaneda J. Dirac Lattices, Zero-Range Potentials and Self Adjoint Extension // Phys. Rev. D. — 2015.— Vol. 91. —P. 065027.

232. Kronig R. d. L., Penney W. G. Quantum Mechanics of Electrons in Crystal Lattices // Proc. R. Soc. A. — 1931.— Vol. 130. —P. 499.

233. Berezin F. A., Faddeev L. D. A remark on Schrodinger's equation with a singular potential // Soviet Math. Dokl. — 1961.— Vol. 2. —P. 372-375.— Dokl. Akad. Nauk Ser. Fiz. 137, 1011 (1961).

234. Demkov Y. N., Ostrovskii V. Zero-Range Potentials and Their Applications in Atomic Physics. — New York and London : Plenum Press, 1988.

235. Jackiw R. Diverse Topics in Theoretical and Mathematical Physics, section I.3: Delta function potentials in two-dimensional and three-dimensional quantum mechanics. Advanced Series in Mathematical Physics. — World Scientific, 1995.

236. Grats Y. V., Spirin P. A. Vacuum Polarization in the Point Impurity Background // Moscow Univ. Phys. Bull. — 2024. — Vol. 79, no. 4. — P. 426-431.

237. Frolov V. P., Serebriany E. M. Vacuum polarization in the gravitational field of a cosmic string // Phys. Rev. D. — 1987.— Vol. 35, no. 12. —P. 3779.

238. Staruszkiewicz A. Gravitation Theory in Three-Dimensional Space // Acta Phys. Polon. — 1963. — Vol. 24. — P. 735-740.

239. Letelier P. S. Multiuple cosmic strings // Class. Quant. Grav. — 1987.— Vol. 4. —P. L75-L77.

240. Letelier P. S., Gal'tsov D. V. Multiple moving crossed cosmic strings // Class. Quant. Grav. — 1993.— Vol. 10, no. 8. —P. L101.

241. Khusnutdinov N. Self-action in gravity // Eur. Phys. J. Plus. — 2021. — Vol. 136, no. 6. —P. 1-69.

242. Glasser M. The evaluation of lattice sums. I. Analytic procedures // J. Math. Phys. —1973. —Vol. 14. —P. 409.

243. Kirsten K. Generalized multidimensional Epstein zeta functions // J. Math. Phys. — 1994. — Vol. 35. — P. 459-470.

244. Buhmann S. Y., Marachevsky V. N., Scheel S. Impact of anisotropy on the interaction of an atom with a one-dimensional nano-grating // Int. J. Mod. Phys. A. —2016. —Vol. 31, no. 02n03. — P. 1641029.

245. Bordag M., Hennig D., Robaschik D. Vacuum energy in quantum field theory with external potentials concentrated on planes //J. Phys. A. — 1992.— Vol. A25. — P. 4483.

246. Power E., Thirunamachandran T. Casimir-Polder potential as an interaction between induced dipoles // Phys. Rev. A. — 1993. — Vol. 48. — P. 4761.

247. Milton K. A., Wagner J. Multiple Scattering Methods in Casimir Calculations //J. Phys. A: Math. Gen. — 2008.— Vol. 41. —P. 155402.

248. Bordag M. On the vacuum interaction of two parallel cosmic strings // An-nalen Phys. — 1990. — Vol. 47. — P. 93.

249. Galtsov D., Grats Y., Lavrentev A. Vacuum polarization and topological self-interaction of a charge in multiconic space // Phys. Atom. Nucl. — 1995. —Vol. 58, no. 3. —P. 516-521.

250. Grats Y. V. Vacuum interaction of conic singularities // Teor. Mat. Fiz.— 2015. —Vol. 186, no. 2. —P. 243-251.

251. Munoz-Castaneda J., Bordag M. Quantum vacuum interaction between two cosmic strings revisited // Phys. Rev. D. — 2014. — Vol. 89. — P. 065034.

252. Saharian A. A., Kotanjyan A. S. Repulsive Casimir-Polder forces from cosmic strings // Eur. Phys. J. C. —2011. —Vol. 71. —P. 1-10.

253. Scheel S., Buhmann S. Y. Macroscopic Quantum Electrodynamics — Concepts and Applications // Acta Phys. Slovaca. — 2008. — Vol. 58. — P. 675.

254. Philbin T. G. Canonical quantization of macroscopic electromagnetism // New J. Phys. —2010. —Vol. 12, no. 12. —P. 123008.

255. Horsley S. A. R., Philbin T. G. Canonical quantization of electromagnetism in spatially dispersive media // New J. Phys. — 2014. — Vol. 16, no. 1.— P. 013030.

256. Pyatkovskiy P. K. Dynamical polarization, screening, and plasmons in gapped graphene. //J. Phys.: Condens. Matter. — 2009. — Vol. 21, no. 2. — P. 025506.

257. Fialkovsky I. V., Vassilevich D. V. Quantum field theory in graphene // Int. J. Mod. Phys. A. —2012. —Vol. 27. —P. 1260007.

258. Bordag M., Pirozhenko I. Surface plasmons for doped graphene // Phys. Rev. D. —2015. —Vol. 91. —P. 085038.

259. Zavialov O. Renormalized quantum field theory. — Dordrecht, The Netherlands : Kluwer Academic Publishers, 1990.

260. Berman P. R., Ford G. W., Milonni P. W. Nonperturbative calculation of the London-van der Waals interaction potential // Phys. Rev. A. — 2014. — Vol. 89. —P. 022127.

261. Bordag M. Casimir and Casimir-Polder forces with dissipation from first principles // Phys. Rev. A. — 2017.— Vol. 96. —P. 062504.

262. Martin P. A., Rothen F. Many-body problems and quantum field theory. An introduction. Theoretical and Mathematical Physics. — Springer, 2002.

263. Bordag M., Klimchitskaya G., Mostepanenko V. Thermal Casimir effect in the interaction of graphene with dielectrics and metals // Phys. Rev. B.—

2012. —Vol. 86. —P. 165429.

264. Bordag M., Fialkovsky I., Vassilevich D. Enhanced Casimir effect for doped graphene // Phys.Rev.B. — 2016.— Vol. 93. —P. 075414.

265. Bordag M., Fialkovsky I., Vassilevich D. Casimir interaction of strained graphene // Europhys. Lett. — 2017.— Vol. 381. —P. 2439.

266. Fialkovsky I. V., Marachevsky V. N., Vassilevich D. V. Finite-temperature Casimir effect for graphene // Phys. Rev. B. — 2011. — Vol. 84. — P. 035446.

267. Bordag M., Fialkovsky I., Khusnutdinov N., Vassilevich D. Bulk contributions to the Casimir interaction of Dirac materials // Phys. Rev. B. — 2021. —Vol. 104, no. 19. —P. 195431.

268. Emig T. Fluctuation-induced quantum interactions between compact objects and a plane mirror // J. Stat. Mech. — 2008.— Vol. 08. —P. 04007.

269. Bordag M. Generalized Lifshitz formula for a cylindrical plasma sheet in front of a plane beyond proximity force approximation // Phys. Rev. D.— 2007. —Vol. 75. —P. 065003.

270. Milton K. A., Wagner J. Exact Casimir interaction between semitransparent spheres and cylinders // Phys. Rev. D. — 2008.— Vol. 77. —P. 045005.