Методы выбора оптимальной структуры целевого коллектива тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат физико-математических наук Нечеухин, Олег Викторович

• Нечеухин, Олег Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Нечеухин, Олег Викторович

Введение

Анализ и синтез стохастических динамических систем часто связан с использованием численного решения СДУ. Для ряда задач таких, как фильтрация, идентификация, прогнозирование и оптимальное управление, интегрирование численного решения СДУ должно выполняться в реальном времени и, кроме того, с определенной точностью и устойчивостью. В связи с этим возникает ряд проблем. С одной стороны не многие СДУ имеют аналитические решения (в основном это - линейные СДУ с аддитивным или мультипликативным шумом или нелинейные СДУ, сводимые к линейным [1]), ас другой - физические особенности реальных динамических систем [2] приводят к проявлению жесткости, что неудовлетворительно влияет на получаемое численное решение. Поэтому особо важным этапов при проектировании стохастической динамической системы является выбор схемы численного решения СДУ.

3.1.2 Принципы построения численных методов решения стохастических дифференциальных уравнений

В настоящее время существует несколько подходов создания численных схем решения СДУ. Одной из возможностей является адаптация существующих для обыкновенных дифференциальных схем (ОДУ) схем с учетом свойств стохастических интегралов, другой - разработка специальных методов решения СДУ [3]. Большинство исследователей использует первый подход, поскольку теория численного решения ОДУ хорошо разработана и достаточно легко можно провести аналогии между ОДУ и СДУ.

Самым простым методом аппроксимации численного решения СДУ (с вычислительной точки зрения) является метод Эйлера, разработанный Маруямой в 1955г [3]. Эта схема удовлетворяет многим необходимым свойствам, предъявляемым к численным методам (она имеет порядок сходимости 0.5 )5 но в тоже время обладает рядом ограничений (не всегда устойчива, ошибка аппроксимации достаточно высока и т.п.). Для устранения этих недостатков, а также повышения порядка сходимости численных схем решения СДУ были проведены и до сих пор ведутся исследования, направления которых можно представить в виде схемы (см. рис. 1).

По аналогии с разработкой схем численного решения ОДУ для повышения порядка сходимости, точности аппроксимации и устойчивости можно использовать разложение в ряд в точке аппроксимации, т.е. использования производных различных порядков как переменной, так и коэффициентов дрейфа и диффузии. В литературе этот подход получил название метода Тейлора [3]. Однако, недостатком схем Тейлора является то, что на каждом шаге аппроксимации требуется вычислять кратные стохастические интегралы, связанные с вышеуказанными производными. Для того, чтобы избежать вычислительных трудностей можно использовать многократное деление шага аппроксимации (методы Рунге-Кутта [4]) или результаты аппроксимации предыдущих шагов (многошаговые методы [5 - 7]).

Как обыкновенные, так и стохастические системы дифференциальных уравнений, описывающие многие физические, биологические или экономические явления, при компьютерном моделировании с использованием обычных численных схем демонстрируют «нежелательное» поведение и могут быть отнесены к классу некорректных задач. В большинстве случаев под «нежелательным» поведением понимается очень высокая нестабильность численного решения, связанная с так называемым явлением жесткости. Существует несколько возможных объяснений этого явления.

Первая причина ассоциируется с техническими возможностями компьютера.

Так для достижения желаемой точности можно применить многократное деление шага интегрирования. С одной стороны, это приводит к накоплению ошибки округления, и как следствие, возникает переполнение регистров компьютера. С другой стороны использование очень малых значений шага интегрирования требует огромных ресурсов времени и также приводит к накоплению ошибки округления. Вторая причина связана с физической стороной рассматриваемой системы. Это означает, что система описывает процессы различных скоростей или градиентов (прежде всего это характерно для некорректных задач). Такое явление обычно выступает в задачах пограничного слоя (гидродинамика), скин-эффекта (электромагнетизм), реакции химической кинетики и т.п. Наконец, жесткость может быть вызвана обеими причинами. Поэтому при разработке стабильных численных методов требуется учитывать вышеуказанные ситуации.

Анализ современной литературы показал, что создание численных методов решения жестких систем в большинстве случаев основано на идеях, представленных Хайрером и Ваннером [8]. В своей работе они постулировали, что жесткие системы не могут быть решены явными методами, и представили подходы, основанные только на использовании неявных методов. Однако, следует отметить, что непосредственное применение этих методов всегда связано с крайне сложной процедурой определения параметров схемы, основанной на заранее выделенной области устойчивости только для рассматриваемой системы. Это обстоятельство делает предложенные подходы неприемлемыми для большинства вышеуказанных приложений, но позволяет выделить два важных математических свойства жесткости. Во-первых, все жесткие системы обладают очень широким спектром (или присутствием очень разных экспонент Ляпунова). Во-вторых, согласно теоремы единственности и существования решения, для жестких систем характерны большие значения константы Липшица.

Итак, анализ принципов создания численных схем решения СДУ показал необходимость тщательного исследования существующих и, возможно, поиска новых методов, при решении конкретных задач.

3.1.3. Явные сильные численные схемы. Запишем СДУ в представлении Ито в общем виде dYt=a{tJ„c)dt + b(tJt,c)dW^t e[tQ,tT] ^ (3J) где ч . z -мерный вектор состояния системы с начальным условиями

-'«"мерный процесс Винера; а(*>¥ос): R'" xRxR" R-" и b{t,Yt,c). R- х R х R" R" х R'" непрерывно дважды дифференцируемые функции дрейфа и диффузии; с - 11 "мерный вектор параметров.

Получение сильного решения СДУ (3.1) является важным моментом многих практических задачах и целью работы является сравнительный анализ существующих сильных явных численных методов решения СДУ. Рассмотрим наиболее распространенный в финансовой литературе случай [9, 10] - случай одномерного уравнения (3.1), используя схемы: Эйлера,

Милыптейна, Тейлора, Рунге-Кутта и двухшаговую [3]. В одномерном случае схема Эйлера имеет вид:

У^К + 'Ю^+КЮ^К t (3.2)

Схема Мильштейна, обладающая порядком сильной сходимости У = представляется как

7„+1 = Y„+a(Y„) Ап +b(Y„)AW„ +1-Ъ(¥п)Ъ\Гп){{Шп)2-Д„}

1 » (3.3) схема Тейлора порядка У = ^ : a\Yn)b(Yn)AZn+^a(Y>y(Yn) + h2(Yn)a''(Yn) а двухшаговая схема порядка У = •

Y»+i = Y»-i + (3>5)

S(Ya)b{Y„)AZa ^(Y^b^Y,)^)2 - A„

Схема Рунге-Кутта, где порядок сходимости У может быть задана

К = a(t„,YH) s0=b(tn,Yl}) ^=л(/я + Ди,Гя+Л0Д + А^0) tn +-A„,Yn +—k0An " 12 " " 12 0 " 6 ^

5 5 7 1 (A^)2 ^ tn +—An,Yn+—LA+~K s0 " 12 " " 12 0 " 6 ^

3.1.4. Сравнение схем по критерию абсолютной ошибки.

Оценка качества аппроксимации той или иной численной схемы обычно связана с главной целью проводимого исследования или интерпретацией получаемого решения. Поскольку решение СДУ может быть решением в сильном или слабом смысле, то введение критерия качества аппроксимации должно учитывать этот факт. В работе рассматривается случай сильного решения СДУ, поэтому в качестве такого критерия можно использовать критерий «абсолютной ошибки» или математическое ожидание абсолютного значения меры близости между результатом аппроксимации * и аналитическое решением СДУ (3.1) У на конце интервала интегрированияМ: f = м(|гг-г(г)|) где ^' - оператор математического ожидания.

Заменим теоретическое значение критерия «абсолютной ошибки» (4.1) его статистическим аналогом, основываясь на моделировании Монте-Карло. Для этого предположим, что имеются по N траекторий аналитического и численного решения процесса, описываемого СДУ, на конце интервала интегрирования

Обозначим их соответственно как 1т>к и ™, тогда статистический аналог критерия (4.1) есть

Сравним вышеописанные схемы по критерию абсолютной ошибки. В качестве первого тестового примера исследуем линейное СДУ с постоянными однородными коэффициентами dY = aYdt + bYdW, аналитическое решение которого имеет вид

Yt = Y0ex р t + bW.

Вторым тестовым примером является нелинейное СДУ Ито вида dYt=h{Yt)b\Y,)dt + b{Y,)dWt с дифференцируемой функцией и общим решением Y, = lf,(Wl + h(¥0))

A(F)=J. где 0'

В частности, для уравнения dY=-Yll/3dt + Y2/3dWl ' аналитическое решение есть

Выполним вычислительные эксперименты с использованием компьютера типа IBM PC с процессором AMD Athlon (ТМ) ХР 3000+ для тестовых уравнений (4.3) и (4.4), используя численные схемы (3.2) - (3.6) и исследуя зависимость между длиной шага интегрирования А, количеством траекторий N и точностью аппроксимации (4.2). Результаты вычислений приведены в таблицах 1 - 3, проанализируем их, используя усредняющий критерий (4.2).

Для первого и второго тестовых уравнений (см. табл.1 и табл.2) при уменьшении длины шага интегрирования и увеличении порядка сходимости численной схемы возрастает точность аппроксимации для всех исследуемых численных схем.

Однако этого нельзя утверждать в третьем случае, который представлял жесткое СДУ [11] (см. табл.3). Удалось рассчитать значение абсолютной ошибки для всех комбинаций длины шага интегрирования и количества траекторий только для схемы Эйлера и двухшаговой схемы. Таблица 1.

Точность аппроксимации численного решения уравнения (4.3)

Схема Длина шага интегрирования, А

2'1 2~2 2~3 2'4 2~5 2-б 2"

Эйлера 0.2131 0.4025 0.2903 0.0239 0.2540 0.0228 0.

Милыптейна 0.0368 0.0976 0.7012 0.0658 0.0201 0.0201 0.

Тейлора 0.1513 0.3566 1.1820 0.0282 0.0749 0.0125 0. двухшаговая 0.2131 0.0486 0.0846 0.0117 0.0056 0.0001 0.

Рунге-Кутта 0.0906 0.0296 0.0039 0.0015 0.0043 0.0010 0.

N = \

Эйлера 0.1917 0.4300 0.2606 0.4059 0.3476 0.1705 0.

Мильштейна 0.2039 0.3218 0.1000 0.1050 0.4573 0.0273 0.

Тейлора 0.1446 0.4783 0.1026 0.1302 1.1038 0.0351 0. двухшаговая 0.1917 0.2896 0.0527 0.0499 0.0987 0.0079 0.

Рунге-Кутта 0.0768 0.0709 0.0326 0.0181 0.0114 0.0026 0.

Эйлера 0.2999 0.3999 0.6878 0.3729 0.2091 0.2180 0.

Мильштейна 0.2728 0.2800 0.3892 0.1170 0.0608 0.0368 0.

Тейлора 0.1994 0.3079 0.5748 0.3086 0.0737 0.0445 0. двухшаговая 0.2999 0.1941 0.1792 0.0496 0.0197 0.0132 0.

Рунге-Кутта 0.1119 0.0757 0.0862 0.0234 0.0064 0.0036 0.

1 -2 —

Для схем Милыдтейна, Тейлора и Рунге-Кутта при А = 2 ? 2 ,2 значения абсолютной ошибки было гораздо выше, чем для схемы Эйлера или двухшаговой схемы, а при уменьшении длины шага интегрирования

А = 249 2 5} 2 65 27) происходило переполнение регистров, что приводило к невозможности проведения дальнейших вычислений. Таким образом, можно отметить, что в отличии от ОДУ, при численном интегрировании решения жестких СДУ следует использовать «простые» явные методы решения, т.е. избегать методов, использующих многократного деления шага аппроксимации или производных функций дрейфа и диффузии. В случае потребности численного решения СДУ в таких задачах, как фильтрация или идентификация параметров СДУ с использованием процедуры Монтетл по 1*21 - - A е[0.01;0.001]

Карло [12-13], предпочтительной длиной шага является l ' J.

Таблица 2.

Точность аппроксимации численного решения уравнения (4.4) ( х0 = г0 = 1.о.

Схема Длина шага интегрирования, А

2"1 2~2 2"3 2-4 2"5 2~6 2~

N = \

Эйлера 0.1618 0.2674 0.0448 0.1437 0.0964 0.0017 0.

Мильштейна 0.0001 0.0483 0.0194 0.0073 0.0029 0.0018 0.

Тейлора 0.0102 0.0074 0.1385 0.1513 0.0977 0.2649 0. двухшаговая 0.1618 0.1181 0.2250 0.1733 0.0537 0.2545 0.

Рунге-Кутта 0.0571 0.0502 0.0001 0.0390 0.0638 0.0040 0.

Эйлера 0.1847 0.1754 0.1164 0.1317 0.0512 0.0316 0.

Мильштейна 0.0298 0.0268 0.0088 0.0069 0.0045 0.0017 0.

Тейлора 0.0013 0.0496 0.0564 0.0847 0.0871 0.0647 0. двухшаговая 0.1847 0.1162 0.0655 0.0912 0.0863 0.0633 0.

Рунге-Кутта 0.0710 0.0721 0.0401 0.0669 0.0194 0.0100 0.

Эйлера 0.1883 0.1992 0.1380 0.0818 0.0727 0.0505 0.

Мильштейна 0.0228 0.0248 0.0116 0.0060 0.0032 0.0017 0.

Тейлора 0.0001 0.0726 0.1040 0.1022 0.0859 0.0967 0. двухшаговая 0.1883 0.1003 0.1159 0.1092 0.0898 0.0981 0.

Рунге-Кутта 0.1106 0.1443 0.1051 0.0477 0.0329 0.0280 0.

Таблица 3.

Точность аппроксимации численного решения уравнения (4.3)(а = 1-0,

6 = 8.0 'б[0,1] *0 = У0 = 1.(К » » ) схема длина шага интегрирования, А

2"1 2"2 2-3 2"4 2"5 2"6 2~

Эйлера 4.144 9 3.496 5 8142. 3 0.475 9 0.0181 0.000 1 0.

Мильштейна 8.357 4 184.3 1 37.62 0 0.002 0 0.0001 0.000 1 0.

Тейлора 48.50 1 2427 8 00 00 оо двухшаговая 4.144 9 51.14 7 3372 3 36.71 6 0.2408 0.071 8 0.

Рунге-Кутта 46.14 4 1156. 1 00 21.45 4 0.0001 0.000 1 0.

Эйлера 6.345 8 43.71 2 1065. 8 65.25 3 133.38 0.002 2 0.

Мильштейна 23.32 6 178.7 4 1843. 7 2695.

Тейлора 73.26 5 ОО ОО ОО со ОО ОО двухшаговая 6.345 8 380.5 9 1785 8 25.88 0.7215 0.354 8 0.

Рунге-Кутта 64.01 6 1835. 8 2828 9 19.23 8 ОО со СО

Эйлера 4.097 1 39.01 7 373.0 1 1093 4 3379.2 1.911 4 0.

Мильштейна 14.13 3 389.1 1690 3 2829 .6 0.0546 ОО ОО

Тейлора 40.65 5 со ОО ОО ОО ОО 0. двухшаговая 4.097 1 636.9 8 2600 2 2848 .3 7.1647 2.105 2 0.

Рунге-Кутта 38.22 5 2636 4426 9 831. 95 ОО ОО использование производных функций дрейфа и диффузии использование производных искомой функции I использование значении предыдущих шагов

СХЕМЫ ТЕЙЛОРА использование многократного деления шага аппроксимации.

СХЕМЫ РУНГЕ-КУТТА

МНОГОШАГОВЫЕ СХЕМЫ

СХЕМА ЭЙЛЕРА

СХЕМА ЭЙЛЕРА

Рис. 1. Методы и направления преобразования схемы Эйлера

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы выбора оптимальной структуры целевого коллектива»

Актуальность темы.

Закономерности современного этапа научно-технической революции можно по некоторым данным (см., например. [1]) охарактеризовать следующими количественными показателями развития техники в ведущих областях машиностроения: число различных классов технических систем удваивается в среднем через каждые 10 лет; сложность изделий по числу деталей и узлов возрастает вдвое за 15 лет; объем научно-технической информации, используемой в конструкторских разработках, удваивается за 8 лет.

В авиационной технике, например, самолеты конца семидесятых годов в 5-6 раз сложнее самолетов аналогичного назначения, построенных в пятидесятых годах. За 20 лет затраты человеческого труда на проектирование и изготовление единицы массы конструкции увеличились вдвое, а продолжительность разработки нового самолета возросла с 3-4 до 8-12 лет, а иногда и более. Объем проектно-конструкторских работ предположительно будет возрастать каждые 10 лет в 10 раз [1]. По статистическим данным распределение затрат предприятия-разработчика но этапам жизненного цикла летательного аппарата выглядит следующим образом: научные исследования и проектирование - 10%; создание опытных образцов - 20%; летные испытания и доводка - 50%; серийное производство и эксплуатация - 20%.

Если бы за счет увеличения объема и повышения качества, научно-исследовательских и проектных работ удалось вдвое сократить доводочные расходы, то это уменьшило бы суммарную стоимость создания самолета на

25-30%.

Усилия по решению этой проблемы привели к увеличению числа проектировщиков с 20-30 человек, работавших в течение нескольких месяцев над проектами первых сверхзвуковых самолетов, до нескольких сот инженеров, проектирующих современные самолеты в течение нескольких лет. Практика подтверждает, что затраты человеческого труда, потребный объем вычислений и потребное время на проведение экспериментов для создания перспективного летательного аппарата возрастает по экспоненциальному закону. Это отражает тот факт, что рост сложности решения задач управления, планирования и проектирования зависит от сложности структуры решаемых задач экспоненциально. Отсюда следует актуальность выбора оптимальной структуры целевого коллектива.

Цель работы.

Анализ известных и создание новых методик выбора оптимальной структуры целевого коллектива для повышения эффективности его функционирования.

Методы исследования.

Методы кластерного и комитетного анализа, направленные на поиск групп индивидуумов, отличающихся по своим индивидуальным показателям. Моделирование динамики взаимодействия коллектива на основе клеточных автоматов с переменной структурой и стохастических дифференциальных уравнений.

Научная новизна.

Предложена методика качественного и численного анализа по выбору оптимальной структуры целевого коллектива в смысле его эффективности.

Обоснованность научных положений.

Теоретические положения и выводы диссертации сформулированы в виде утверждений и теорем, которые строго доказаны.

Практическая ценность.

Результаты работы использовались в научных исследованиях и учебном процессе МФТИ, и в рамках гранта РФФИ (№ проекта 03-01-00678). Также результаты работы могут использоваться для качественного и численного анализа выбора оптимальной структуры целевого коллектива в различных областях науки и техники.

Апробация работ.

Основные результаты работы докладывались на семинарах МФТИ, ИПУ РАН, ВЦ РАН, ИММ РАН, ИСА РАН, ЦЭМИ РАН, МГУ, а также на научных конференциях МФТИ и международных конференциях (Брест 2005).

Личный вклад.

В совместных работах [2], [3], [4], [5] автору принадлежат результаты в равных долях.

Структура и объём работ.

Диссертация состоит из введения, 3-х глав, приложения, библиографического списка и содержит . рисунков. Общий объём работы составляет . страниц. Библиографический список включает . наименований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Нечеухин, Олег Викторович, 2006 год

1. Флеров Ю.А. Автоматизация проектирования сложных объектов машиностроения. В сб. Современные проблемы прикладной математики, под редакцией А.А. Петрова. М.: МЗ Пресс, 2005 г., стр. 75-98.

2. Журавлев Ю.И., Рязанов В.В., Сенько О.В. «Распознавание» Математические методы, программная система, практические применения, М., Фазис, 2006

3. Апраушева Н.Н. Преобразование признаков при статистическом решении одной задачи автоматической классификации. Изв. АН СССР. Тех-нич. кибернетика. 1985. №2. С. 167-179.

4. Шлезингер М., Главач В. Десять лекций по статистическому и структурному распознаванию. Киев, Наукова думка, 2004 г.

5. Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках. М.,Мир,1986

6. Баркин А.И., Зеленцовский А.Л., Паркшин П.В. Абсолютная устойчивость детерминированных и стохастических систем управления. М., МАИ, 1992

7. Маланин В.В., Полосков И.Е. Случайные процессы в нелинейных динамических системах. Ижевск, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001 г.

8. Голиков А.И., Евтушенко Ю.Г. Ю.Г. Моллаверди Н. Применение метода Ньютона к решению задач линейного программирования большой размерности. ЖВМиМФ, 2004, том 44 № 9 С. 1564-1573.

9. Харман Г. Современный факторный анализ М. Статистика 1972Ю.Еремин И. И. , Мазуров Вл. Д. Нестационарные процессы математического программирования. -М.: Наука, 1979.

10. Северцев Н.А., Шолкин В.Г., Ярыгин Г.А. Статистическая теория подобия: надежность технических систем. М.: Наука, 1986 г.

11. Нечеухин О.В. Вопросы оптимального управления и роста ресурсов в системе. Журнал «Вопросы теории безопасности и устойчивости систем», выпуск 6(2). Сообщения по прикладной математике. М., ВЦ РАН, 2004, стр 86-93.

12. Дикусар В.В., Нечеухин О.В. Проблема создания оптимальных структур научных коллективов. Журнал «Вопросы теории безопасности и устойчивости систем», выпуск 6(2). Сообщения по прикладной математике. М., ВЦ РАН, 2004, стр. 77-85.

13. Дикусар В.В., Нечеухин О.В. Методы создания оптимальных структур научных коллективов. Международный журнал «Вестник Брестского университета», серия естественных наук 3(42), 2004, Брест, изд. БрДУ, стр. 12-17.

14. Дикусар В.В., Нечеухин О.В. Использование кластерного анализа в формировании научных коллективов. Журнал «Исследование операций», М., ВЦ РАН, 2005, стр. 36-42.

15. Дикусар В.В., Нечеухин О.В. О задаче идентификации параметров стохастического дифференциального уравнения. Труды ИСА РАН Динамика неоднородных систем, под. Ред. Члена-корр. РАН Ю.С. Попкова. Выпуск 9(2) 2005 г., M.URSS стр. 95-112.

16. Трофимова И.Н., Митин Н.А., Потапов А.Б., Малинецкий Г.Г. Описаниеансамблей с переменной структурой. Новые модели математической психологии. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 1997 г.№ 34.

17. Малинецкий Г.Г. Нелинейная динамика и историческая механика. Общественные науки и современность, 1997 г.№ 2, 99-111.З.Орлов Ю.К. Частотные структуры конечных сообщений в некоторых естественных информационных системах, Тбилиси, 1975 г.

18. Голицын Г.А., Рефлексия как фактор развития. Сер. Проблемы рефлексии. Современные комплексные исследования, Новосибирск, Наука 1987 г.

19. Голицын Г.А., Петров В.М. Гармония и алгебра живого, М., Знание 1990 г.

20. Подлазов А.В. Новые аспекты самоорганизованной критичности. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 1995г. № 86.

21. Математическое моделирование исторических процессов. Ассоциация «История и компьютер» М., 1996 г.

22. Коновалова О. Разработка алгоритмов для прогнозирования промышленного производства в регионе: Дипломный проект по специальности "информационные системы в экономике". Пенза: ПГУ, 1999 г. http://chat.ru/—neurolab/#q 1

23. Колесников А., Искусственная жизнь клеточных автоматов, "Компьютерные Вести" №26, 1999 г: www.kv.by/indcx 1999261201 .htm М.Е.Н.Князева, Синергетический вызов культуре, http://www.theo.physik.uni-stuttgart.de/

24. Е.Н. Князева Сложные системы и нелинейная динамика в природе и обществе http://www.theo.physik.uni-stuttgart.de/

25. В.-Б. Занг, Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории, М., МИР 1999г.

26. Арнольд В.И. Теория катастроф. М., Наука 1990г.

27. Лебедев В.В. Математическое моделирование социально-экономических процессов. М. Изограф 1997г.

28. Тихомиров Н.П., Райцин В.Я, Гаврилец Ю.Н., Спиридонов Ю.Д. Моделирование социальных процессов. Учебное пособие. М., РЭА 1993 г.

29. Свирежев Ю.М., Логофет Д.О., Устойчивость биологических сообществ. М., Наука 1978 г.

30. Dana R.A., Montrucchio L. Dynamic Complexity in Duopoly Games, J. Economic Theory 1986.22.3анг (Zhang W.B.) Unurbanizing Processses With Moving Boundaries, Geographical Analysis 20, 1988.

31. Николис Г., Пригожин И., Самоорганизация в неравновесных системах. От диссипативных структур к упорядоченности через флуктуации М.Мир 1979г.

32. Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса: Новый диалог человека с природой. М. Прогресс 1986 г.

33. Semmler W. Competition, Instability and Nonlinear Cycles. Springer,Berlin, Hwidelberg 1985.

34. Хакен Г. Синергетика. M. Мир 1980 г.

35. Хакен Г. Синергетика. Иерархия неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах. М. Мир 1985 г.

36. Шустер X. Детерминированный хаос. Введение. М. Мир 1988 г. 29.Чернавский Д.С. Синергетика и информация. Динамическая теория информации М.: Едиториал УРСС, 2004 г.

37. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики М.: Едиториал УРСС, 2002 г.

38. Фролов Ю.Н., Концептуальные основы государственного управления наукой, автореферат Ар 98-4010, Изд-во СПбГУЭФ, 1998 г.

39. Малинецкий Г.Г. Проект «ИНФОРМХАОС», М.:РОУ, 1992 г.33.«Коммерсант», № 110 от 28.06.2002г. стр.7-8, www.kommersant.ru

40. Авдулов А.И. Власть. Наука. Общество. Система государственной поддержки научно-технической деятельности, Д-8-94/19821 001/а189,1994 г.

41. Авдулов А.И. Структура и динамика научно-технического потенциала России, Д8-96/26749,1996 г.

42. Грачев Н.Н. Введение в психологию инновационной научно-технической деятельности, М: 1996 г.

43. Глазьев С.Ю. Геноцид, М. 1998 г.

44. Бирюков С.В. Синергетика vs монополярность, М. «Русский журнал» от 05 мая 2003 г.39.«Технологии и управление», проект журнала «Эксперт» №1, февраль 2004 г.

45. Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках. М. Мир, 1986 г.Глава 2. Формирование целевых коллективов методами кластер-анализа.

46. Основные условия, гарантирующие оптимальную классификациюДля получения оптимальной классификации необходимо выполнение следующих условий 6-8.

47. Обнаружение информативных признаковДля обнаружения информативности s -го признака, 1 >>••'•>уs ? можно использовать два простых метода.

48. Перельман И.И. Оперативная идентификация объектов управления. -М.: Энергоиздат, 1982, 272 с.

49. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. М.: Мир, 1978,418 с.

50. Льюинг Л. Идентификация систем. Теория пользователя. М.: Наука, 1991,432 с.

51. Острей К. Введение в стохастическую теорию управления. М.: Мир, 1973,331 с.

52. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986,287 с.

53. Hum A.S., Lindsay КА. Estimating the parameters of stochastic differential equations by Monte Carlo methods // Mathematics and Computers in Simulation, 1997, Vol. 43, pp. 495-501.

54. Hum A.S., Lindsay K.A., Martin V.L. On the efficacy of simulated maximum likelihood for estimating the parameters of stochastic differential equations // Journal of time series analysis, 2003, Vol. 24 (1), pp. 45-63.

55. Filatova D., Grzywaczewski M. Some approach to stochastic epidemiological model identification // Colloquium Biometryczne, 2003, Vol. 33a, pp. 65 -75.

56. Kloden P.E., Platen E., Schurz H. Numerical solution of SDE through computer experiments. Berlin: Springer, 1997,292 p.

57. Lamberton D., Lapeyre B. Introduction to stochastic calculus applied to finance. London: Chapman and Hall, 2000, 185 p.

58. Nielsen J.N., Madsen H., Young P.C. Parametric estimation in stochastic differential equations: an overview // Annual Reviews in Control, 2000, Vol. 24, pp. 83 -94.

59. Пугачев B.C., Сишщын И.Н. Теория стохастических процессов. М.: Логос Прес, 2000, 999 с.

60. Соболь И.М., Статников. Р.Б. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями. М.: Наука, 1981. 111 с.

61. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. М.: ФАЗИС, 1998, 544 с.

62. Silverman B.W. Choosing the window width when estimating a density // Biometrika, 1978, vol. 65, pp. 1 11

63. Kyang-Joon C., Schucany W.R. Nonparametric regression estimation near endpoints // Journal of statistical planning and inference, 1998, vol. 66, pp. 289 -304.

64. Katkovnik VShmulevich I. Kernel density estimation with adaptive varying window size // Pattern recognition letters, 2002, vol. 23, pp. 1641 1648.

65. Дикусар В.В., Кошъка М., Фигура А. Качественные и количественные методы в задачах оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями. М.: МФТИ. 2001. - 141 с.

66. Смит Дж. М. Модели в экологии, М., Мир, 1976, с.31-33

67. Marchetti С, The Future,// In proceedings of the International School of Physics "Enrico Fermi", G. Caglioti and H. Hacker (eds),1991

68. Холл А., Опыт методологии для системотехники, М., Советское радио, 1975, с. 235-243

69. Дуб Дж. JI. Вероятностные процессы. М.: ИИЛ. 1956

70. Кац И.Я., Красовский Н.Н. Об устойчивости систем со случайными параметрами // Прикладная математика и механика. 1960. Том 27 №5, стр. 809-823.

71. Гихман И.И. Скороход А.В. Стохастические дифференциальные уравнения. Киев, Наукова думка, 1968.Заключение.

72. Предложены три модели динамики функционирования целевого коллектива. Решение одной из этих моделей проводится с помощью идеологии клеточных автоматов с переменной структурой.

73. На базе идей кластерного анализа и линейного программирования предложены методы разбиения элементов исходного коллектива на отдельные группы.

74. Предложена логистическая модель оценки эффективности (потенциала целевого коллектива) на базе стохастических дифференциальных уравнений.

75. Предложены методы идентификации и численного решения системы стохастических дифференциальных уравнений.

76. Доказаны теоремы существования и единственности стохастических дифференциальных уравнений, описывающих предложенную модель.