Минимальная дилатонная космология и компактные объекты тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор физико-математических наук Физиев, Пламен Петков

• Физиев, Пламен Петков
• доктор физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Физиев, Пламен Петков

I Минимальная дилатонная гравитация и космология

0.1 Введение.

1 Современные скалярно-тензорные теории гравитации

1.1 Основные уравнения.

1.2 Переход к новым наборам полей при помощи конформного преобразования Вейля.

1.3 Выбор набора полей.

1.3.1 Выбор физического набора полей.

1.4 Три специальных набора полей в скалярно-тензорных теориях гравитации

1.4.1 Эйнштейновский набор полей (ЭНП).

1.4.2 Бранс-Дикке-Л набор полей.

1.4.3 Закрученный набор полей.

1.5 Феноменологический набор полей.

1.5.1 Физические свойства феноменологического набора полей.

1.5.2 ЭНП в качестве ФНП.

1.5.3 ЛНП в качестве ФНП

1.5.4 ЗНП как ФНП.

2 Минимальная дилатонная гравитация (МДГ)

2.1 Основные уравнения МДГ.

2.2 Космологические единицы.

2.3 Вакуумное состояние.

2.3.1 Вакуум де Ситтера.

2.3.2 Вакуум Эйнштейна.

2.4 Простейшие космологические потенциалы.

2.4.1 Квадратичный космологический потенциал.

2.4.2 Дилатонные потенциалы вида ~ + хг~Ф~'/~) и их обобщения.

3 Приближение слабых гравитационных и дилатонных полей системы частиц в МДГ

3.1 Общее рассмотрение

3.2 Равновесие между ньютоновской гравитацией и новой дилатонной антигравитацией

3.3 Ограничения на массу дилатона

3.4 Основные эффекты МДГ в Солнечной системе.

3.4.1 Эффект Нордтведта.

3.4.2 Запаздывание Шапиро электромагнитных сигналов.

3.4.3 Смещение перигелия.

4 МДГ и структура звёд

4.1 Бозонные звёзды в МДГ.

4.2 Сравнение со структурой звёзд при неминимальном взаимодействии дилатона с материей.

5 Космологические применения МДГ

5.1 Уравнения для модели Вселенной ФРУ в МДГ.

5.1.1 Уравнения временной эволюции

5.2 Энергетические соотношения

5.2.1 Фридмановская форма уравнений эволюции.

5.2.2 Нормальные формы уравнений.

5.3 Общие свойства решений модели ФРУ

Вселенной в МДГ.

5.3.1 Свойства решений в окрестности (ЗБУ.

5.3.2 Инфляция в модели ФРУ Вселенной в МДГ.

5.4 Обратная космологическая задача в МДГ.

6 Некоторые заключительные замечания

II Возмущения метрик Шварцшильда и Керра в терминах функций Гойна. Квазинормальные моды. Космические струи

7 Введение

7.1 Некоторые свойства решений Шварцшильда и Керра.

7.2 Теория возмущений метрик Шварцшильда и Керра.

7.2.1 Теория возмущений для метрики Шварцшильда.

7.2.2 Теория возмущений для метрики Керра.

7.2.3 Связь РУРУ. УУТ и РУТ с конфлюэнтным уравнением Гойна

8 Точные решения РУРУ

8.1 Локальные решения РУРУ.

8.2 Свойства локальных решений зависящего от времени РУРУ.

8.2.1 Временные и пространственные пределы решений в случае комплексных частот.

9 Квазинормальные моды компактных объектов в метрике Шварцшильда

9.1 Регулярно-сингулярная граничная задача для внешней области метрики Шварцшильда.

9.2 Численное получение КНМ статических сферически-симметричных объектов.

9.2.1 Вычисление коэффициентов перехода при помощи предельной процедуры

9.2.2 КНМ для ЧДШ.

9.2.3 Новый е метод и девятая мода КНМ для ЧДШ

9.2.4 КНМ массивного компактного тела

10 Точные решения РУРУ во внутренней области ЧДШ

10.1 Замечания общего характера о внутренней задаче для РУРУ.

10.2 Точные решения во внутренней области ЧДШ.

10.3 Спектральные задачи во внутренней области ЧДШ.

10.3.1 Непрерывный спектр (ш2 > 0).

10.3.2 Специальный случай ш = 0.

10.3.3 Дискретный спектр (ш2 < 0).

11 Новые свойства и соотношения для конфлюэнтных функций Гойна

11.1 Ряд Тейлора для конфлюэнтных функций Гойна.

11.2 Новые соотношения для функций Гойна и их производных.

11.3 Новый подкласс конфлюэнтных функций Гойна.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Минимальная дилатонная космология и компактные объекты»

Астрофизические наблюдения сверхновых класса 1а, см. Perlmutter et al. (1998а, 1998b), Riess et al. (1988), Schmidt et al. (1998), Garnavich et al. (1998), Riess et al. (2004), космический микроволновой фон (КМФ), см. Smoot et al. (1992), Mather et al. (1999), Lineweaver (1999), de Bernardis et al. (2000a), Hanany et al. (2000), Primack (2000), de Bernardis et al. (2000b), Hu et al. (2000, 2001), de Oliveira-Costa (2006), Smoot (2007), Carbone et al. (2008), Reichardt et al. (2009), гравитационные линзы, см. Zakharov (1997), Heavens (2011), a также динамика галактических кластеров (см. обзоры Bahcall et al. (1999), Rowan-Robinson (2000), Lineweaver (2002) и ссылки в них) дают убедительные и независимые указания на существование нового вида энергии во Вселенной, которая необходима для объяснения её ускоренного расширения, а также ряда других явлений, см. Perlmutter et al. (1998а, 1998b), Varun (2006), Kamionkowski (2007), Linder (2008), Rakhi et al. (2009), Shinji (2010), Dürrer (2011), Miao (2011). Несмотря на то, что мы пока не совсем уверены в наблюдательных данных и их точность часто оставляет желать лучшего, безусловно, стоит попытаться связать их со старыми проблемами космологии. Кажется наиболее вероятным, что необходимо новое обобщение хорошо установленных законов физики и, в частности, законов гравитации, см. Seilwood et al. (2000), Akerib et al. (2002), Turner (2002), Sahni et al. (2006), Appleby et al. (2007), Motohashi et al. (2011).

На сегодняшний день общая теория относительности (ОТО) является наиболее успешной теорией гравитации в масштабах лаборатории, земной поверхности, Солнечной и звёздных систем. Вместе со стандартной моделью материи (СММ) она даёт весьма удовлетворительное описание гравитационных явлений также в масштабах галактик и даже в масштабах видимой Вселенной, см. Weinberg (1972), Will (1993, 2006), Turyshev (2008), Turyshev (2009), Reynaud et al. (2009), Turyshev (2010a), Turyshev et al. (2010b), Wolf et al. (2011), Gorbunov et al. (2011). Несмотря на это, без некоторых изменений её структуры и основных понятий или без введения некоторых новых видов материи и/или энергии кажется, что ОТО не способна объяснить:

• аномалии, открытые космическими зондами Пионер, см. Turyshev (2010) и ссылки там, в вращение галактик, см. Kolb et al. (1990), Coles et al. (1995), Bertone et al. (2005),

Brownstein et al. (2006), Swaters et al. (2009), Yegorova et al. (2011),

• движение галактик и галактических кластеров, см. Kolb et al. (1990), Coles et al. (1995), Bertone et al. (2005),

• физику ранней Вселенной, см. Weinberg (1972), Will (1993, 2006), Kolb et al. (1990), Coles et al. (1995),

• инфляцию, см. Kolb et al. (1990), Linde (1990), Coles et al. (1995), Seilwood et al. (2000), Lazaridis (2001), Akerib et al. (2002), Turner (2002), Guth (2004), Gardner (2005), Brans et al. (2007), Wands (2008),

• барион-антибарионную асимметрию,

• проблему начальной сингулярности,

• знаменитую проблему вакуумной энергии, см. Weinberg (1989, 2000, 2001), Krauss (1998), Carroll (2000), Dolgov (2004),

• наблюдаемое в наши дни ускоренное расширение Вселенной, см. Perlmutter et al. (1998а, 1998b), Riess et al. (1988), Schmidt et al. (1998), Garnavich et al. (1998), Sellwood et al. (2000), Akerib et al. (2002), Turner (2002), Riess et al. (2004).

Подающие некоторые надежды новые кандидаты на роль более общей теории гравитации, такие как супергравитация (СГр) и теория суперструн (ССТ), см. Green et al. (1987), Kiritsis (1997), Polchinski (1998), Förste (2001), имеют глубокие теоретические основания и включают естественным образом ОТО. Однако, к сожалению, они все ещё не развиты в достаточной мере, чтобы подвергнуться настоящей экспериментальной проверке. Кроме того, они вводят большое число новых полей без какого-либо экспериментального указания и/или поддержки их необходимости, см. Bianchi (2009), Mukhi (2011).

Поэтому кажется разумным искать некоторое минимальное обобщение ОТО, которое является совместимым с известными гравитационными экспериментами и наблюдательными данными и которое способно решить некоторые из упомянутых выше проблем. Желательно, кроме всего прочего, выбрать такое обобщение ОТО, которое может оказаться частью будущей более фундаментальной теории. Например, интересную модель можно получить рассматривая скалярное поле Хигса как инфляционное поле, см. Arefeva et al. (2011) и ссылки там.

В настоящей диссертации мы рассматриваем модель такого типа, названную нами примерно в 1999 году (см. работы автора) минимальной дилатонной гравитацией (МДГ). До недавнего времени эта модель не привлекала большого внимания. Её исследование начато О'Ханлоном ещё в 1974, см. O'Hanlon (1974), в связи с теорией Фуджии массивного дилатона (т.н. "теорией пятой силы"), см. Fujii (1971, 1974а, 1974b), однако без какой-либо связи с космологией или с астрофизикой. Сходная модель возникает также в D = 5 теории Калуцы-Клейна, см. Fujii et al. (2003).

Подходящая модификация физического содержания модели О'Ханлона, основанная на рассмотрении космологического потенциала как естественного обобщения Л-члена, а также связь такой модифицированной модели с космологией и с проблемой космологической константы изучались впервые в работе автора Fiziev (А 1.1, 2000), где введён сам термин МДГ. Там же, путём анализа всех известных данных, было впервые получено экспериментальное ограничение на массу дилатона: не меньше чем Ю-3 eV. Показано, что значительно большие массы порядка TeV не исключаются экспериментальными данными. Более развернутую версию МДГ можно найти в работе автора Fiziev (А 1.7, 2003), вместе с более детальным изучением математических свойств модели и её космологических следствий. В модели МДГ были открыты: 1) возникновение высокочастотных осцилляций дилатонного поля, 2) то, что оно приводит к реалистической модели Вселенной без "тонкой подгонки", 3) простое решение космологической проблемы "плоскости" 3D пространства, 4) существование множества последовательных инфляционных этапов, 5) существование естественного "элегантного выхода" из инфляции с переходом на режим наблюдаемого ускоренного расширения Вселенной, 6) другие новые и интересные с физической точки зрения свойства модели, см. текст диссертации.

Возможные следствия модели МДГ для физики звёзд изучались в работе автора (А

1.2, 2000). Для этой цели было необходимо развить новые численные методы и алгоритмы, см. 1"1/ле\' (А 1.4, 2001)-р1ые\' (А 1.6, 2002). Некоторые из этих новых методов использовались также в работе Г1г1еу (А 1.3, 1999) для изучения модели Альберто Саа торсионного дилатона, в которой имеется нарушение слабого принципа эквивалентности неминимальным взаимодействием торсионного дилатона с материей. Было показано, что в отличие от МДГ, где слабый принцип эквивалентности соблюдается строго, модель Альберто Саа сильно противоречит данным по нейтронным звёздам, в то время как МДГ даёт незначительные отклонения от модели ОТО в рамках нескольких процентов.

Некоторые основные свойства МДГ рассмотрены в работе Еяройко-Гагйке et а1. (2001) в контексте более общих скалярно-гензорных теорий гравитации (СТТГ). Там подчеркивался исключительный статус МДГ и были кратко рассмотрены космологические возмущения в этой модели.

Следует специально отметить, что в последние несколько лет в литературе наблюдается повышенный интерес к так называемым /(/^-модифицированным теориям гравитации, в которых линейная зависимость действия Гильберта-Эйнштейна от кривизны 4£)-мерного пространства-времени заменяется на некоторую нелинейную функцию /(Я), см., например, недавний обзор Бо^пои & а1. (2010) и многочисленные ссылки в нём. Открытие /(Д)-теорий как моделей космологической инфляции началось с работ Старобинского, 31агоЬт8ку (1980, 1983). На сегодняшний день имеется множество модификаций ОТО такого типа с разными функциями /(/?,), у которых есть как значительные успехи, так и существенные трудности. Ещё в тридцатые годы прошлого века было замечено, что такие теории гравитации приводят к динамическим дифференциальным уравнениям четвёртого порядка и являются специальным подклассом СТТГ. Заменой полевых переменных их можно свести к ОТО, но при этом возникает дополнительная скалярная степень свободы. /(-й) модели можно локально привести к виду рассматриваемой нами МДГ. Однако в общем случае нет глобальной эквивалентности /(/?) теорий и МДГ и они могут приводить к существенно разным физическим результатам по двум причинам, рассмотренным в пункте 1.3: 1) в ходе замены полевых переменных меняются граничные условия задачи; 2) из-за нелинейности имеется множество неэквивалентных замен переменных, которые приводят а) к разным локально эквивалентным вариантам теории; б) к возникновению нефизических сингулярностей, см. К1г1е\' (А 1.1, 2000). Кроме того, нам представляется существенным преимуществом МДГ перед /(Я)-моделями и тот факт, что у нас нет физической интуиции, кал выбирать функцию /(/?.). в то время как возникающие в МДГ космологический и дилатонный потенциалы (см. пункт 2.1) позволяют легко сформулировать физические требования к модели на основании нашего опыта из других физических теорий.

Более общее понимание термина "дилатонная гравитация" можно найти в обзорной работе Г^ш еь а1. (2001), где рассматриваются главным образом квантовые эффекты. В настоящей диссертации мы используем термин "дилатонная гравитация" только в рамках МДГ.

В пункте 1.1 Главы 1 дано краткое изложение современной скалярно-тензорной теории гравитации. Подчеркнута связь с ССТ.

В пункте 1.2 Главы 1 рассмотрена замена полевых переменных при помощи конформного преобразования Вейля. Обсуждается в деталях выбор между следующими тремя наборами полевых переменных: эйнштейновский набор нолей (ЭНП), связанный с космологической константой набор полей (ЛНП) и закрученный набор полей (ЗНП), см. пункты 1.3, 1.4. Обсуждается также выбор феноменологического набора полей (ФНП) и физические принципы, отбирающие закрученный набор полей в качестве ФНП, см. пункт 1.5.

В главе 2 мы описываем в деталях нашу модель МДГ. Вводится система космологических единиц, основанная на наблюдаемом значении космологической константы Л"6,5 и на введенном нами безразмерном числе Планка Р = \/ЛоЪзЬР1 и Ю-61, где ЬР1 есть известная планковская длина.

После этого мы рассматриваем свойства вакуумных состояний МДГ и свойства допустимых космологических потенциалов.

В Главе 3 рассмотрено приближение слабых гравитационных и дилатонных полей статической системы из N неподвижных частиц. Показано, что массивный дилатон порождает слабую универсальную антигравитационную силу взаимодействия точечных масс, которая происходит из нашего обобщения эйнштейновского А члена до космологического потенциала. Обсуждается возможность равновесия между ньютоновской гравитационной силой и слабой антигравитационной силой. Получено, что антигравитационная сила может доминировать только на расстояниях больше нескольких сотен мегапарсек, в то время как на существенно меньших расстояниях доминирует ньютоновская сила притяжения. Используя полученные нами результаты для слабых полей, мы проводим сравнение со всеми имеющимися экспериментальными данными и получаем ограничения на массу дилатона, следующие из данных гравитационных экспериментов типа Кавендиша, из основных гравитационных эффектов в Солнечной системе (эффект Нордтведта, запаздывание электромагнитных импульсов, смещение перигелия Меркурия).

Глава 4 посвящена возможному влиянию МДГ на структуру звёзд. Основной результат в том, что массивный дилатон может менять структуру звёзд не больше, чем на несколько процентов.

Глава 5 рассматривает некоторые следствия МДГ для космологии. Рассмотрена метрика Фридмана-Робертсона-Уокера (ФРУ) в МДГ, разные формы основных уравнений эволюции Вселенной, энергетические соотношения и математические следствия, необходимые для анализа эволюции Вселенной.

Исследованы решения соответствующих уравнений модели ФРУ в МДГ, и показано асимптотика деситтеровского режима с высокочастотными осцилляциями дилатонного поля, которое одновременно выполняет роль инфляционного скалярного поля. Получена новая МДГ формула для числа е-фольдов и для времени инфляции, которое оказалось обратно пропорциональным массе дилатона. Таким образом, в МДГ-космологии возникает аналог соотношений неопределёности, известных из квантовой механики.

В отличие от стандартной модели инфляции, которая основана на "медленном скольжении" состояния Вселенной по поверхности подходящим образом подобранного потенциала и нуждается в скалярном поле огромной массы msiowrou ~ Ю10 TeV для согласования с наблюдениями, масса скалярного поля в МДГ предполагается сравнительно небольшой: > 10~3 eV, или, по меньшей мере, не очень большой, например, порядка TeV. Модель инфляции в МДГ отличается также от инфляционных моделей с квинтэссенцией, так как для согласования с наблюдениями квинтэссенция должна быть ультралегким скалярным полем массы mquintessence ~ Н0 ~ 10"33 eV.

Если масса дилатона порядка 103 eV и меньше массы самой лёгкой из существующих частиц, то дилатон МДГ будет устойчивым, так как ему будет не на что распадаться. Однако даже при значительно больших массах дилатона, которые не исключаются сегодняшними данными, его распад на другие частицы СММ, хотя и возможен, но будет идти очень медленно. Причина в том, что прямое взаимодействие дилатона с остальными частицами СММ исключено принципом эквивалентности, который запрещает дилатону входить в действие материи. Дилатон из МДГ взаимодействует по построению только с гравитонами и может взаимодействовать с остальными частицами только через посредство гравитонов. В свою очередь, это означает, что взаимодействие дилатона с остальными частицами может происходить, в лучшем случае, через процессы второго порядка G2), а константа связи гравитона с остальными частицами, т.е. константа Ньютона (G), как хорошо известно, очень маленькая в нашем реальном четырёхмерном мире. Это делает дилатон из МДГ, при любой разумной массе, хорошим кандидатом на роль тёмной материи. Такую весьма интересную, на наш взгляд, возможность следует исследовать более детально в будущем, тем более, что согласно последним экспериментальным данным LHC вряд ли можно надеяться найти суперчастицы, которые до недавнего времени выступали как основные претенденты на тёмную материю.

Кроме того, в этой главе мы обсуждаем решение обратной задачи космологии МДГ: как по наблюдательным данным восстановить космологический потенциал.

В Главе 6 намечен новый подход к проблеме объяснения наблюдаемого значения космологической константы, основанный на МДГ. Хорошо известно, что стандартный подход приводит к беспрецедентному расхождению на 122 порядка между наблюдениями и предсказаниями квантовой теории поля для значения космологической постоянной, см. Weinberg (1989, 2000, 2001), Krauss (1998), Carroll (2000), Dolgov (2004). История науки учит, что когда длительное время не удаётся решить фундаментальную проблему такого рода, может оказаться полезным переформулировать её в других терминах и искать новый подход. Наша идея сводится к разделению проблемы на две отдельные части:

1. Классическая проблема космологической константы сводится к поиску объяснения чрезвычайно малого значения введённого выше безразмерного числа Планка, которое наблюдается в ФСП реальной физики. Оказывается, что то же самое число Планка возникает, если выразить величину действия наблюдаемой части Вселенной в единицах константы Планка Н, см. Главу 6. В Главе 6 мы приводим простые приближённые оценки значения действия, которое накопилось за время существования Вселенной после инфляционного периода. Эти оценки дают вполне хорошее значение для величины действия Вселенной в настоящую эпоху, связывая его с оценками числа степеней свободы в наблюдаемой части Вселенной.

2. Новая идея решения квантовой проблемы космологической константы состоит в предположении, что вычисления её значения в рамках квантовой теории поля являются правильными, однако относятся к другой системе полей, которая не совпадает с ФСП. Показано, что при вполне разумных предположениях о вакуумном среднем дилатона после перехода к ФСП можно добиться при помощи вейлевского изменения масштаба редукции огромного квантово-полевого значения космологической постоянной к её наблюдаемому значению в ФСП. При этом такое преобразование не затрагивает массу дилатона и предыдущие результаты, связанные с его массой, см. конец Главы 6.

Обсуждаются также некоторые открытые проблемы, см. Главу 6.