Многогранники-следы и геометрические вариационные задачи тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Гусев, Никита Сергеевич

• Гусев, Никита Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гусев, Никита Сергеевич

Введение

1 Кусочно—аффинные отображения и многогранники—следы

1— Введение.

1.1 Последовательная примитивизация.

1.2 Свойства смятий и контракций.

1.2.1 Смятия.

1.2.2 Контракции

1.2.3 Связь смятий и контракций.

1.3 Разложение РА-отображений

1.3— Введение.

1.3.1 Стяжения ребер.

1.3.2 Разложение на комплексе.

1.3.3 Разложение на смятие и контракцию.

1.4 Многогранники—следы.

1.4.1 Построение

1.4.2 Деформации.

1.4.3 Объем.

1.4.4 Объем при деформации.

2 Локальная минимальность '

2— Введение.

2.1 Многомерный расчет

2.1.1 Расчет расщепления

2.1.2 Степени симплексов.

2.2 Двумерный случай в трехмерном пространстве.

2.2.1 Предварение.

2.2.2 Описание десяти типов сетей на сфере.

2.2.3 Деформации с уменьшением объема.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Многогранники-следы и геометрические вариационные задачи»

Предисловие

Хорошо известны задачи, при решении которых рассматриваются деформации с изменением топологической структуры объекта, см., например, обзор в [3]. При изучении геометрии "обобщенных поверхностей" и функционалов на них (например, объема) необходимы (по возможности, "геометрически наглядные") средства задавать и деформировать эти "поверхности". Также у этих сложных "поверхностей" следует изучать внутренние соотношения и задачи поиска и построения.

В частности, деформации, при которых меняется топологическая структура объекта, играют важную роль и в многомерных геометрических вариационных задачах, таких как проблема Плато и ее аналоги. В теории экстремальных сетей (одномерная проблема Плато) появилось понятие расщепления вершин при деформации, а также (как естественное средство моделирования их) — понятие сети—следа как класса специальных параметризаций сети, см., например, [4]. Приняв во внимание давнюю практику приближать и характеризовать сложные отображения и пространства многогранниками и кусочно-аффинными отображениями (за их наглядность), именно такие объекты выбраны основными элементами построений. Схема построений распространяет понятия теории сетей—следов на большие размерности, но с указанными ограничениями типа отображений. Таким способом в первой главе определяются и изучаются многогранники—следы, их деформации и объем.

Как уже сказано, классическим примером задач с деформациями, изменяющими геометрию, является проблема Плато, состоящая в поиске так называемых глобально минимальных поверхностей, т. е. имеющих наименьший возможный объем при заданной границе, или, скажем, в данном гомологическом (гомотопическом) классе. В 60—70-е годы XX века многомерная проблема Плато была решена (т.е. было доказано существование глобально минимальных поверхностей) для нескольких широких классов обобщенных поверхностей, таких как й-поверхности (Райфенберг [6]), целочисленные потоки (Федерер, Флеминг [7]), варифолды (Альмгрен [8]), спектральные многообразия и экстраординарные когомологии (Фоменко [9]), мультиварифолды

Дао Чонг Тхи [10]). Отметим, что„перечисленные подходы носят весьма абстрактный характер, и привлекают множество разнородных теорий, уводя от простоты задачи. Тем самым, возникает задача более наглядно описать геометрические особенности, характерные проблеме Плато. На основе понятия многогранников—следов, их объема и деформаций некоторые такие особенности рассмотрены во второй главе.

Благодарности

Автор благодарит своего научного руководителя профессора А. О. Иванова и профессора А. А. Тужилина за постановку задач и внимание к работе; а также благодарит весь коллектив кафедры дифференциальной геометрии и приложений, возглавляемой академиком РАН А. Т. Фоменко, за возможность плодотворно заниматься научной работой.

Общие сведения

Во всем изложении считаются известными обычные понятия топологии, теории аффинных пространств над R, теории сетей (см., например, [4]), некоторые сведения о выпуклых множествах и многогранниках (см., например, [2] и [1]). "Часто используются следующие общие обозначения.

• Для произвольного множества А обозначим иА := (J а,— объединеааеА ние всех элементов множества А, его "тело" (заметим, что тело пустого множества — пустое множество).

• Скажем, что множество А является азлгелъчение.м множества В или вписано е множество В и обозначим это отношение формулою А В, если совпадают их тела (иА - иВ) и Vb(b G В —► ЗС(С с А, иС = Ь)).

• Для бинарного отношения (т. е. множества упорядоченных пар, например, функции или отображения, то есть функционального бинарного отношения) f обозначаются imf = {а : ЗЬ((Ь,а) g f)} — образ его, и domf = {а : ЗЬ((а, Ь) g f)} — область действия или определения его.

• Для четкости формулировок сопоставим бинарному отношению f функциональные бинарные отношения ff, f°°, f°°°, где f° := {(А, В) : А с dorn f, В = {b : За(а g А, (а, b) G f)}},— естественное отображение, определенное на множестве всех подмножеств в dorn f; еще заметим, что f°° = (f°)°; f00 - (f = ((f Также применяются следующие обозначения множеств:

• N={0,1,2,3,.},— все натуральные (неотрицательные целые) числа;

• N+ = {1,2,3,.} — N \ {0},— положительные целые числа;

• = Rj. = [0, +оо),— неотрицательная полуось;

• = х [0, +оо), ос g N\{0,1},— неотрицательное полупространство.

Если не оговорено противное, то всякий раз при рассмотрении композиции сю Ь каких-либо бинарных отношений а и Ь предполагается их последовательная согласованность, то есть dorn а = im b.

Все построения проводятся в некотором бесконечномерном вещественном аффинном пространстве Uni, причем предполагается, что на нем задана некоторая топология такая, что на каждом конечномерном аффинном подпространстве А пространства Uni она порождает топологию обычного пространства RdimA.

Краткое изложение диссертации

Обзор

Диссертация состоит из введения и двух глав.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гусев, Никита Сергеевич, 2008 год

1. Рурк к., Сандерсон Б. Введение в кусочно линейную топологию.— М.: Мир, 1974.

2. Фоменко А. Т. Топологические вариационные задачи.— М.: Издательство МГУ, 1984.

3. Reifenberg Е. R. Solution of the Plateau Problem for m—dimensional surfaces of varying topological type.— Acta Mathematica, 1960, V. 104, P. 1-92.

4. Federer H., Fleming W. H. Normal and integral currents.— Ann. Math., 1960, 72, P. 458-520.

5. Almgren F. J. Existence and regularity almost everywhere of solutions to elliptic variational problem among surfaces of topological type and singularity structure — Ann. Math., Ser. 2, 1968, 87, № 2, P. 321-391.

6. Фоменко А. Т. Вариационные методы в топологии.— М.: Наука, 1982.

7. Дао Чонг Тхи, Мультиварифолды и классические многомерные задачи Плато — Известия АН СССР, 1980, 44, 5, С. 1031-1065.HeppesA. Isogonalspherischen Netze jj Ann. Univ. Sci., Budapest, Sect. Math., 7, P. 41-48, 1964.

8. Taylor J. E. The Structure of Singularities in Soap-bubble-like and Soap-film-like Minimal Surfaces // Annals of Mathematics, 103(1976), P. 489-539.Работы автора по теме диссертации

9. Гусев Н. С. Каноническое разложение кусочно-аффинных отображений и многогранники-следы // Вестник МГУ, Сер. 1, Математика, Механика (краткое сообщение).— 2005.— № 5.— С. 72—77.

10. Гусев Н. С. Каноническое разложение кусочно-аффинных функций, многогранники-следы и геометрические вариационные задачи II Фундамент, и прикл. матем., 2006, 12:1, С. 57—94.