Многолучевые антенны на основе апланатических и бифокальных зеркально-линзовых систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Чинь Ван Туан

• Чинь Ван Туан
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Чинь Ван Туан

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. СИНТЕЗ ИНТЕГРАЛЬНОЙ АПЛАНАТИЧЕСКОЙ ЗЕРКАЛЬНО-ЛИНЗОВОЙ СИСТЕМЫ С ОСЕВОЙ СИММЕТРИЕЙ

1.1. Синтез апланатической зеркально-линзовой системы с использованием формулы Келехера

1.2. Синтез апланатической зеркально-линзовой системы путем сведения к дифференциальному уравнению со сдвинутым аргументом

1.3. Приближенное аналитическое решение задачи синтеза апланатической зеркально-линзовой системы

ГЛАВА 2. МНОГОЛУЧЕВАЯ АНТЕННА НА ОСНОВЕ АПЛАНАТИЧЕСКОЙ ЗЕРКАЛЬНО-ЛИНЗОВОЙ СИСТЕМЫ С ОСЕВОЙ СИММЕТРИЕЙ

2.1. Анализ аберраций эйконала при смещении источника из фокуса и оптимизация параметров апланатической системы

2.2. Исследование многолучевой антенны на основе апланатической зеркально-линзовой системы

ГЛАВА 3. МНОГОЛУЧЕВАЯ АНТЕННА НА ОСНОВЕ АПЛАНАТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ДВУХ ОТРАЖАТЕЛЬНЫХ РЕШЕТОК

3.1. Синтез апланатической системы двух отражательных решеток

3.2. Анализ аберраций эйконала при смещении источника из фокуса и оптимизация апланатической системы двух отражательных решеток

3.3. Исследование многолучевой антенны на основе апланатической системы двух отражательных решеток

ГЛАВА 4. МНОГОЛУЧЕВАЯ АНТЕННА НА ОСНОВЕ БИФОКАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ДВУХ ОТРАЖАТЕЛЬНЫХ РЕШЕТОК

4.1. Синтез двухмерной бифокальной системы двух отражательных решеток

4.2. Синтез трехмерной бифокальной системы двух отражательных решеток

4.3. Анализ аберраций и оптимизация параметров трехмерной бифокальной системы двух отражательных решеток

4.4. Исследование многолучевой антенны на основе бифокальной системы двух отражательных решеток

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ СОКРАЩЕНИЙ И ОБОЗНАЧЕНИЙ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ ДИССЕРТАЦИОННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ

В связи с развитием перспективных сетей мобильной и космической связи, систем радиоконтроля и мониторинга наблюдается рост интереса к многолучевым антенным. Они уже находят свое применение в базовых станциях мобильной связи, бортовых системах космической связи телекоммуникационных системах, а также в системах радиомониторинга. Возросшие требования к этим системам диктуют необходимость улучшения их характеристик. Это можно обеспечить за счет улучшения характеристик антенн. В первую очередь это касается расширения углового сектора покрытия и повышения коэффициента усиления.

Среди многолучевых антенных систем важное место занимают аналоговые системы, содержащие фокусирующий элемент и линейку или матрицу облучателей. В качестве фокусирующих элементов обычно используются зеркала или линзы. Из нескольких таких элементов могут быть построены фокусирующие системы, в том числе апланатические и бифокальные. Апланатические системы широко используются в оптических инструментах (телескопах и микроскопах) и многолучевых антеннах в связи с тем, что в них отсутствуют аберрации, пропорциональные первой степени угла отклонения луча. Бифокальные системы имеют две фокальные точки и обеспеивают широкий угол зрения в одной плоскости. Исследованию и оптимизации двухзеркальных и линзовых фокусирующих апланатических и бифокальных систем посвящено большое количество работ [1-16]. Работ, посвященных исследованию зеркально-линзовых систем, существенно меньше. К наиболее известным зеркально-линзовым системам относятся оптические системы Шмидта и Максутова [17-19]. Эти системы удовлетворяют условиям апланатизма (условиям синусов Аббе) только приближенно (в параксиальном приближении), а анализ аберраций эйконала в них проводился в узком секторе углов зрения и для малых угловых размеров апертур. Зеркально-линзовая

система, точно удовлетворяющая условиям синусов Аббе, синтезирована только для планарной конструкции (с цилиндрической симметрией [19]), которая в отличие от осесимметричной не требует учета многократного преломления. Кроме того, зеркально-линзовые системы Шмидта и Максутова обладают большими габаритами и весом при их использовании в радиодиапазоне.

В последнее время в качестве фокусирующих систем многолучевых антенн исследуются бифокальные системы, содержащие две плоские отражательные решетки [21-26], которые, по-существу, являются зеркально-линзовыми системами с принудительным преломлением. Синтез и оптимизация параметров бифокальных систем двух отражательных решеток с целью минимизации аберраций проведены в этих работах с использованием численной процедуры. При этом мзвестные многолучевые антенны на основе бифокальной системы двух отражательных решеток обеспечивают сравнительно небольшие углы зрения: менее 10 градусов в одной плоскости и менее 16 градусов в другой плоскости. Такие углы обзора многолучевых антенн в ряде приложений (базовых станциях систем мобильной связи новых поколений, наземных терминалах станций спуниковой связи и т.д.) являются недостаточными.

Таким образом, задача увеличения угла зрения зеркально-линзовых систем и на их основе многолучевых антенн является актуальной.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Многолучевые антенны на основе апланатических и бифокальных зеркально-линзовых систем»

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Целью диссертационной работы является расширение угла зрения зеркально-линзовых систем и многолучевых антенн на их основе.

ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ

1. Развитие методик и разработка алгоритмов синтеза осесимметричной интегральной апланатической зеркально-линзовой системы с использованием формулы Келлехера.

2. Разработка методики и алгоритма синтеза осесимметричной интегральной апланатической зеркально-линзовой системы путем сведения к дифференциальному уравнению со сдвинутым аргументом.

3. Приближенное аналитическое решение задачи синтеза осесимметричной интегральной апланатической зеркально-линзовой системы.

4. Анализ аберраций эйконала и опимизация параметров осесимметричной интегральной апланатической зеркально-линзовой системы с целью минимизации среднекадратической аберрации.

5. Разработка электродинамических моделей и исследование многолучевых антенн на базе осесимметричной интегральной апланатической зеркально-линзовой системы.

6. Разработка методики и решение задачи синтеза офсетной апланатической системы двух отражательных решеток.

7. Анализ аберраций эйконала и оптимизация параметров офсетной апланатической системы двух отражательных решеток с целью минимизации среднекадратической аберрации.

8. Разработка электродинамических моделей и исследование многолучевых антенн на базе офсетной апланатической системы двух отражательных решеток.

9. Разработка методики и решение задачи синтеза офсетной бифокальной системы двух отражательных решеток.

10. Анализ аберраций и оптимизация параметров офсетной бифокальной системы двух отражательных решеток с целью минимизации среднекадратической аберрации.

11. Разработка электродинамических моделей и исследование многолучевых антенн на основе офсетной бифокальной системы двух отражательных решеток.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

Геометрическая оптика (ГО), приближение Кирхгофа и метод конечных

элементов (МКЭ).

НАУЧНАЯ НОВИЗНА

1. Разработана методика и проведен точный синтез осесимметричной интегральной апланатической зеркально-линзовой системы.

2. Разработана методика и проведен точный синтез офсетной апланатической зеркально-линзовой системы в виде двух отражательных решеток.

3. Разработана методика и проведен точный синтез офсетной бифокальной зеркально-линзовой системы в виде двух отражательных решеток.

4. Получены формулы для аберрации эйконала интегральной осесимметричной апланатической и офсетных апланатической и бифокальной зеркально-линзовой системы в виде двух отражательных решеток.

5. Проведена оптимизация параметров интегральной осесимметричной апланатической и офсетных апланатической и бифокальной зеркально-линзовой системы в виде двух отражательных решеток с целью получения минимальной среднеквадратической аберрации.

6. Проведены исследования многолучевых антенн на основе зеркально-линзовых систем с использованием численного моделирования методом Кирхгофа и конечных элементов

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ РАБОТЫ

Теоретическая значимость результатов диссертации состоит в разработке новых методик синтеза апланатических и бифокальных зеркально-линзовых систем.

Практическая значимость результатов диссертации состоит в том, что использование в системах связи разработанных на основе синтезированных и оптимизированных апланатических и бифокальных систем многолучевых антенн позволяет увеличить емкость сети и скорость передачи сигналов.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Разработаны методики и решена задача синтеза интегральной апланатической зеркально-линзовой системы.

2. Разработана методика и решена задача синтеза офсетной апланатической системы двух отражательных решеток.

3. Разработана методика и решена задача синтеза офсетной бифокальной системы двух отражательных решеток.

4. КИП многолучевой антенны на основе интегральной апланатической зеркально-линзовой системы диаметром менее 100 длин волн более 0.5 в конусе с угловым размером 320.

5. КИП многолучевой антенны на основе офсетной апланатической системы двух отражательных решеток с размерами апертуры менее 50х100 длин волн более 0.5 в конусе с угловыми размерами 16х560.

6. КИП многолучевой антенны на основе офсетной бифокальной системы двух отражательных решеток с размерами апертуры менее 50х100 длин волн более 0.5 в конусе с угловыми размерами 10х800.

ЛИЧНЫЙ ВКЛАД СОИСКАТЕЛЯ

В работах, опубликованных в соавторстве, соискателю принадлежит: вывод и решение уравнений ГО синтеза апланатической интегральной зеркально -линзовой системы и апланатической системы двух отражательных решеток (совместно с А.С.Венецким), бифокальной системы двух отражательных решеток, вывод формул для аберраций в апланатических системах и предварительная оптимизация параметров (совместно с А.С.Венецким), численная оптимизация параметров апланатических и бифокальных систем, построение электродинамических моделей многолучевых антенн в программной среде ANSYS HFSS и Матлаб, проведение исследований характеристик многолучевых антенн на основе апланатических и бифокальных систем.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ.

Основные результаты диссертационной работы доложены на всероссийской конференции «РЭУС-ИТ 2023», г. Москва, 2023 г. и международной конференции «Инжиниринг и телекоммуникации - En&T 2024», г. Москва, 2024 г. и опубликованы в трудах конференций и 4 статьях в журналах, индексируемых в RSCI.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ.

Диссертация состоит из Введения, четырех глав, Заключения, Списка литературы из 34 наименований и Списка использованных сокращений и обозначений. Основная часть работы изложена на 87 страницах, содержит 47 рисунков.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе проведен синтез интегральной апланатической зеркально-линзовой системы с осевой симметрией.

В разделе 1.1 с использованием ГО и формулы Келлехера развита рекурсивная методика синтеза апланатической зеркально-линзовой системы. Начальный участок преломляющей поверхности задается в виде параболы с неизвестным коэффициентом, а остальные участки - кубическим сплайном. Три коэффициента кубического полинома находятся из условия непрерывности образующей и ее двух первых производных на границах участков, а четвертый используется для удовлетворения условиям апланатизма для луча, проходящего через эту точку. Для определения участков образущей отражающей поверхности, обеспечивающих плоские фронты на выходе, используется формула Келлехера. Приведены примеры образующих синтезированных апланатических зеркально-линзовых систем для различных наборов параметров. Проведено исследование погрешности решения, показано, что она увеличивается при приближении к краям образующих.

В разделе 1.2 с использованием ГО развита методика синтеза апланатической зеркально-линзовой системы путем сведения к дифференциальному уравнению со сдвинутым аргументом. Решение уравнения получено с использованием рекурсивной процедуры и метода Рунге-Кута. При этом как и первом разделе начальный участок образующей преломляющей поверхности задан в виде параболы. Показано, что погрешность синтеза с использованием дифференциального уравнения меньше, чем с использованием формулы Келлехера.

В разделе 1.3 получено приближенное аналитическое решение задачи синтеза апланатической зеркально-линзовой системы путем разложения преломляющей и отражающей поверхностей в ряды по степеням расстояния от оси симметрии. Показано, что отрезок ряда хорошо аппроксимирует точное решение для образующей отражающей поверхности и преломляющей поверхности в параксиальной области, кроме расположения источника на этой поверхности. В последнем случае получено отдельное решение задачи синтеза.

Во второй главе проведен анализ аберраций эйконала, оптимизация параметров интегральной апланатической зеркально-линзовой системы с осевой симметрией и анализ характеристик многолучевой антенны на ее основе.

В разделе 2.1 главы с использованием полученного в первом разделе аналитического решения задачи синтеза получена приближенная формула для эйконала при смещении источника из фокуса. С использованием полученной формулы найдены оптимальные значения параметров системы, обеспечивающих минимальную величину СКА в угле зрения 40 градусов. Показано, что эта величина в 5 раз меньше СКА однозеркальной системы.

В разделе 2.2 путем численного моделирования с использованием приближения Кирхгофа и МКЭ проведен анализ характеристик излучения многолучевой антенны на основе оптимизированной осесимметричной

апланатической зеркально-линзовой системы. Показано, что антенна в широкой поосе частот обеспечивает КИП более 0.5 в угле зрения 32 градуса.

В третьей главе рассмотрены задачи синтеза офсетной апланатической системы двух отражательных решеток, анализа аберраций эйконала, оптимизации параметров офсетной апланатической системы двух отражательных решеток и анализа характеристик многолучевой антенны на основе оптимизированной офсетной апланатической системы двух отражательных решеток

В разделе 3.1 с использованием ГО решена задача синтеза офсетной апланатической системы двух отражательных решеток. В результате на поверхности решеток найдены распределения внесенного этими решетками эйконала.

В разделе 3.2 получена формула для аберрации эйконала офсетной системы двух отражательных решеток при смещении источника из фокуса. С использованием полученной формулы и последующим уточнением методом трассировки лучей найдены оптимальные значения параметров системы, обеспечивающие минимальную СКА.

В разделе 3.3 путем численного моделирования с использованием приближения Кирхгофа и МКЭ проведен анализ характеристик излучения многолучевой антенны на основе оптимизированной офсетной апланатической системы двух отражательных решеток. Показано, что антенна в широкой полосе частот обеспечивает КИП более 0.5 в угле зрения 16 градусов в плоскости симметрии и в угле зрения 56 градусов - в ортогональной плоскости.

В четвертой главе рассмотрены задачи синтеза офсетной бифокальной системы двух отражательных решеток, анализа аберраций эйконала, оптимизации параметров офсетной бифокальной системы двух отражательных решеток и анализа характеристик многолучевой антенны на основе

оптимизированной офсетной бифокальной системы двух отражательных решеток.

В разделе 4.1 с использованием ГО решена двумерная задача синтеза бифокальной системы двух отражательных решеток. Методика основана на последовательном нахождении распределение эйконала, внесенного решетками, на участках их поверхности решеток. При этом распределение эйконала на начальном участке вспомогательной решетки задано в виде полинома второго порядка, распределение внесенного эйконала на начальном участке главной решетки находится в результате синтеза плоского фронта для центрального положения луча. В результате на поверхности решеток найдены распределения внесенного этими решетками эйконала.

В разделе 4.2 на основе геометрической оптики рассматривается задача проектирования трёхмерной офсетной бифокальной системы, состоящей из двух отражательных решёток. Предложенный подход к синтезу представляет собой развитие методики, изложенной в первой разделе. В частности, распределение эйконала на начальном участке вспомогательной решётки описывается с помощью двумерного полинома второго порядка, а границы начальных участков и положения фокусов определяются из условия непрерывность распределения эйконала и первых производных по двум координатам на границах начальных участков.

В разделе 4.3 анализа аберраций и оптимизации параметров трехмерной бифокальной системы двух отражательных решеток с целью минимизации величины СКА. найдены оптимальные значения параметров, обеспечивающих минимальную среднеквадратическую аберрацию в углах зрения 40 и 65 градусов.

В разделе 4.4 в приближении Кирхгофа проведено исследование характеристик излучения многолучевой антенны на основе оптимизированной бифокальной системы двух отражательных решеток. Показано, что антенна в

широкой полосе частот обеспечивает КИП более 0.5 в угле зрения 10 градусов в плоскости симметрии и в угле зрения 80 градусов - в ортогональной плоскости.

В Заключении приведены основные результаты диссертации.

ГЛАВА 1. СИНТЕЗ ИНТЕГРАЛЬНОЙ АПЛАНАТИЧЕСКОЙ ЗЕРКАЛЬНО-ЛИНЗОВОЙ СИСТЕМЫ С ОСЕВОЙ СИММЕТРИЕЙ

1.1. Синтез апланатической зеркально-линзовой системы с использованием формулы Келлехера

Рассмотрим задачу синтеза апланатической зеркально-линзовой системы (рисунок 1.1), содержащую осесимметричную диэлектрическую линзу, первая поверхность 1 которой - преломляющая, а вторая 2- отражающая, и источник, расположенный в фокусе (точке О). Введем следующие обозначения: / -фокальное расстояние (от фокуса до поверхности линзы), д - толщина линзы (расстояние от первой до второй поверхности вдоль оси У), п - показатель преломления материала линзы.

Разобьем образующие линзы на участки и зададим центральный участок образующей 1 (первой поверхности линзы) в виде параболы у\(х)=Ь\х2+/, 0<х<хС, где Ь - неизвестный коэффициент. Потребуем, чтобы произвольный луч, падающий на линзу из фокуса, после преломления в точке А, отражения в точке В и второго преломления в точке С выходил параллельно оси У, пересекая ось X в точке В. При этом эйконал луча ОЛБСЭ должен быть равен эйконалу центрального луча Д = 2/+2пд:

|ОЛ| + п\ЛБ\ + п\БС\ + |СВ|=Д , (1.1)

Единичный вектор преломленного луча в точке А имеет вид:

иА=аА^+ЬАПА, (1-2)

ГДе^ := Ш\-= ( , > I ) ' Ш = ^У^л)) > аА=\1п.

| ОЛ | >/(-У1 Хл )2 +1 у1(-У\ (Хл Л +1

\ОА\=^ха2+У1(ха)2 , Ь, = ф - аА\ 1 - (уа,па)2) - аА(уА,пА) . Фронт преломленной волны может быть выражен формулой:

и = ОА +

ААХ иА, (1.3)

где | ААХ = (/>,- О А |) / п, а Ь\ является константой, Ц = / + п =| О А \ + п\ АА}

У ' - 2\ н В'

— / |\

— я х ^____- 4/ \ с

ис Гс \

__ 1х р / / VA

О В х

Рисунок 1.1- Зеркально-линзовая система: 1 и 2 - образующие первой и

второй поверхности.

Аналогично находится фронт преломленной волны при падении плоской волны параллельно оси У на поверхность линзы. Единичный вектор преломленного луча в точке С:

ис=асУс+Ьспс, (1.4) где ^ = (0,1), ^ = ( ~*(*с) ---, 1 ), ас=1/п,

у(-у(*с )2 +1 У1 )2 +1

Ьс=^11 - яс2(1 - (ус,пс)2) - ас(ус,пс).

Тогда фронт преломленной волны выражается формулой

К = СС+|СС1|мс (1.5)

где| СС11 = (Ь2-1 /X' ) / /7, а ^-постоянная величина,

х2 = / + я +1 =| ОС\ + п\ССх\

Форму зеркала (образующей 2) можно найти по падающему (и) и отраженному (V) фронту [27]

Я(хА,хс) = ¥ + ис , (1.6)

2[К + (У-и)ис~\

где К - длина пути луча между фронтами. При заданной толщине линзы д величина, К = 2д - (Ц + Ь2 - 2/) / ^ .

В выражении (1.6) входит неизвестная величина хс , которая связана с величиной ха условием ортогональности вектора Я—и фронту и в точке А \ :

(Я-и)ди / дхА=0, (1.7)

где дП / дхА=(д1/х / дхА,д1/у / дхА) и компоненты этого вектора могут быть найдены с помощью формул (1.2) и (1.3):

а .х.

Пх = хА + АА

М1 ЪаУх{ха)\ААХ

у]ха2 + У1( ХА )2 4( ХА ))2 + 1

иу = у^ + °аУа аа + .

У ^ХА2 + Ух(ХА )2 У\( ХА ))2 + 1

Потребуем, чтобы координата хс удовлетворяла условию апланатизма:

хс = у$т.а , (1.8)

где а = агс!§(х, / у (х,)) - угол между осью 7 и падающим лучом О А , у = / -\-kq-

радиус апланатизма, к - некоторый параметр, 0 < к < 2 .

Из уравнений (1.7) и (1.8) можно найти неизвестный коэффициент Ь1, а затем из выражения (1.6) найти первый участок образующей 2. Для синтеза новых участков образующих рассмотрим луч, падающий из источника на линзу в точке С (определена выше), который преломляется и падает на зеркало в точке В\, отражается и после второго преломления выходит из линзы в точке С1 паралельно оси У (рисунок 1.2).

АА, Ь АА

Рисунок 1.2 - Геометрия новых участков и лучей.

Начальный участок образующей 1 (^С) является параболой

/ (х) = Ъхх2 + ^, 0<х<хс , (1.9)

где коэффициент Ъ1 найден выше, а й1 = / (см. рисунок 1.2).

Следующий участок (СС1 на рисунке.1.2) опишем кубическим полиномом / (х) = а2 (х - хс )3 + Ъ2 (х - хс )2 + с2 (х - хс ) + ^, хс<х<хс1. (1.10)

Для обеспечения непрерывности амплитудного распределения преломленных волн в первом приближении ГО необходимо, чтобы первые и вторые производные функций, описываюших поверхности линз, были непрерывными на границах участков. Из этого требования, приравнивая выражения (1.9) и (1.10) и их первую и вторую производные при х = хс, находим коэффициенты полиномов /1(х) и /2(х): Ъ2 = 3^хс + Ъ, С = 3аххс2 + 2Ъххс + с,

= Ъ14 + Л.

Неизвестный коэффициент а2 будем использовать как степень свободы для удовлетворения условиям апланатизма для луча, проходящего точку хс .

Для определения второго участка образущей отражающей поверхности, обеспечивающего плоские фронты на выходе, используется формула Келлехера.

Применяя описанный алгоритм многократно, определяем новые участки образующих.

Примеры образующих синтезированных апланатических зеркально-линзовых систем для различных наборов параметров приведены на рисунке1.3.

а) /=1^=0.8^=1.2^=0.95,^=0.4605

б) /=1,q=0.5,n=1.1,k=0.9,Ъ\=-0.1111

в) f=1,q=0.8,n=1.049,k=0.99,Ъ\=0.4957

г) /= 0.5,д=0.3,н=1.3,к=0.8,Ъ\=0.2778

Рисунок 1.3 - Образующие синтезированных апланатических зеркально-линзовых систем при различных наборах параметров.

Погрешность эйконала (ДЬ = Ь - Ь0) и функции отображения (д = х -ysina) зависят от величины начального участка (2х0), которая, в свою очередь, определяет число участков, на которые разбиваются образующие. Зависимости погрешности для синтезированной системы с параметрами/= 1, д = 0.8, п = 1.2, к = 0.95, Ъ\ = 0.4605 для двух вариантов величины начального участка и соответствующего числа участков разбиении образующих приведены на

рисунке 1.4.

(а)

(б)

Рисунок 1.4 - Погрешности эйконала (а) и функции отображения (б): кривая 1 - х0 = 10-3 и 18 участков разбиения; кривая 2 - х0 = 10-5 и 23 участка

разбиения.

Как видно из рисунка, обе погрешности резко возрастают при приближении к краям апертуры системы, при этом точность синтеза не растет при уменьшении начального участка и соответствующего увеличения числа разбиений на участки.

1.2. Синтез апланатической зеркально- линзовой системы путем сведения к дифференциальному уравнению со сдвинутым

аргументом

Задачу синтеза образующих зеркально-линзовой системы можно решить используя альтернативный подход, а именно, путем сведения задачи синтеза к дифференциальному уравнению с запаздывающим аргументом.

Рассмотрим луч, падающий параллельно оси У, преломляющийся в точке С с координатами (хс, ус) и после отражения в точке В и преломления в точке А проходящий через фокальную точку О (см. рисунок 1.5).

Рисунок 1.5 - Геометрия задачи для вывода дифференциального уравнения: 1 - образующая первой верхности, 2 - образующая

второй поверхности

Предположим, что образующая искомой поверхности у=у1(х) уже определена на участке 0<х<хС. Найдем производную у[(хс). Из условия апланатизма хс = у$та следует а = агсвт(хс / у). Пустим луч из фокальной точки О под найденым углом а и найдем точку пересечения с преломляющей поверхностью А с координатами (хл, ул) из уравнения tgа = хА / у1(хА).

Единичный вектор преломленого луча в точке А: й = (sin д, cos д), где

f Í-им/^ + а \

n

£ = arcsin sin(a + °A) -qa , Qa = arctg(y[(x^)).

Обозначая длину вектора АВ через /, уравнение для эйконала луча

|ОА| + ?п + п\ВС\ + ус = Ь0,

где = 2/ + 2щ, |ОА| = ^х2 + у2 , можно привести к виду

|ОА| + п? + + ус = , (1.11)

где Р = (Хс - хА )2 + (ус - уА )2, Q = (Уа - Ус)соб£- (Хс - х^ )вт£, из которого можно найти

t =

Ж2 - P 2(Q + Ж)'

где Ж = L - OA - Ус) • Используя единичный вектор отраженного луча n

у = (ух,у2) = ВС/\В<^ = (хс-хА-гьт€,ус-уА+гооь€)/\ВС\, \ВС\ = Ж-1, из закона преломления луча в точке С: п Бт(0с-^) = Бт0с, ¡л = / у2 ),

= arctg(у[(хс)) можно получить дифференциальное уравнение со сдвинутым аргументом

у;( хс) =77^, (1.12)

1/ п - у2

правая часть которого зависит от хс, ус, ХА, Уа, у|(х^).

Для нахождения численного решения уравнения методом Рунге-Кутта необходимо знать какой-либо начальный известный участок кривой. Его можно получить из разложения искомой поверхности в окрестности оси У. Представляя неизвестную образующую на начальном участке кривой в виде у1 (х) = / + Ьхх2 , подставляя в уравнение (1.12) и приравнивая члены первого порядка по х, получаем

ь = 4 -п(Г-Л 1 2д[у(1 - п) - /].

В процессе решения уравнения (1.12) методом Рунге-Кутта координаты точки В(хВ, ув) на образующей отражающей поверхности у=у2(х) находятся из соотношений

хв = +1, ув = у^ +1соб^, (1.13)

где координаты точки А(хА, уА ) были найдены выше.

На рисунке 1.6 приведены зависимости погрешности вычисления эйконала и функции отображения для синтезированной системы с теми же параметрами, что и на рисунке 1.4.

ЛЬ >: 103

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 1

(б)

Рисунок 1.6 - Погрешности синтеза эйконала (а) и функции отображения (б)

Как видно из сравнения рисунок 1.4 и рисунок 1.6, погрешности синтеза с использованием дифференциального уравнения меньше, чем с использованием формулы Келлехера. Дальнейшее повышения точности искомого профиля у1(х) можно обеспечить путем уменьшения шага интегрирования уравнения (1.12) и начального участка кривой.

1.3. Приближенное аналитическое решение задачи синтеза апланатической зеркально-линзовой системы

Будем искать образующие преломляющей и отражающей поверхностей в виде рядов

* = /о + /Г2 + и4 +... (1.14)

7 = / + ¿0 + ^Я2 + Г4Я4 +... (1.15)

Опишем алгоритм нахождения коэффициентов рядов в формулах (1.14, 1.15). Из условия апланатизма (1.8) следует

агсБт — = аг^ —-—, (116)

У / (гл )

Из соотношения (1.16) можно получить разложение

гс = гсхгл + гсзгА +..., (117)

У (1

где с =У / /0, Гс3 = - + /2/0

2

/00 V2 J

Из закона преломления Бт(а + вА) = п Бт(4 + вА) можно найти угол £

„ . (Б\п(а+ вл) ^ /1 ЮЛ

4 = агсБт —--— , (118)

^ п J

где вА = aгctg (/'(х^)) . Выражение для £ также можно представить в виде ряда

4 = кхтА + к/А +..., (1.19)

где коэффициенты к\ и къ будут определены ниже. Найдем длину й вектора АВ

из условия равенства эйконалов лучей на

выходе системы

OA

+ nd + n

ВС

+ zc —L0

(1.20)

где Ьо=2/о+2п^ - эйконал центрального луча. Зная координаты точки В, уравнение (1.20) можно записать в виде

+ пй + Пу/р2 +2(М2 + (11 +гс=Ь0,

OA

(1.21)

где ZC = f(rC )' р2 = (rC - rA )2 + (zC - ZA )2' Q = (ZA - ZC )c0s£ + (rA - rc )sin£

R = ^ + d sin £, Zg = z^ + d cos £ Из уравнения (1.21) следует

где W = (L0-OA-zc)/n

ВС

d =

= W-d.

Ж2 - P2 2(Q + Ж)

Компоненты единичного вектора луча

SC

SC

rc - - sinzc-zA-dcos¿f

se

SC

(1.22)

Из закона преломления в точке С п sin(0c-^) = sin0c, где tg0c = /' (гс),

можно найти производную f (rc) =

1/ n + U-

, которую после разложения

компонент вектора (1.22) по степеням х,4 можно записать в виде

f(rc ) =

■Га +

n

(n - 1)d0 (n - 1)d(

^13 +

(n - 1)d0

Г 3 + rA + •

(1.23)

где un = Аг1 - do^1, Ar =f/ f -1, kx =1

n

1 + 2f2 (1 - n)

V f 0

а V13, V22 будут приведены

ниже.

Из разложения (1.14) следует

/ / ) = 2/Гс + 4/ Гс3 +..., Подставляя в (1.24) разложение (1.17), получаем

// 2/у ^ ^ у[4/4у2 - ^./2(1/2 + /2/0)] ^

fo

-га +

fo3

(1.24)

(1.25)

Приравнивая коэффициенты при гА в (1.23) и (1.25), получаем линейное уравнение относительно /2, из которого находим

у = п(У- /0) - ¿0 2 2(0(У- /,)(п -1).

Приравнивая коэффициенты при гА3 в (1.23) и (1.25), находим

/4 =

1

4(у - /3)

у/2(1 + 2/2/0) +

/оп

(0(п -1)

У13 +

пУ11У22

(п - 1)(

0 J

где у.

13=Аг3 + АК - -Аг1(^2 , у =Д^2 + (¡X/2 + 2А2 - Ж2,

а*2 = /2

^ 2 л

У- -1

V /0 J

АГ3---Уг(1/2 + /2/0), 7с2 = у/

/0 /0

к3 = 4 /4(1/ п -1) + к3, у = Аг3 + АК - ¡к - А Г( А

~8/>3

/0

1 (1 /•/• + /2/0

3

0 V

1

1

у + 2/2

V /0

Ол2 = -^(1 + 2/0/2), Р2 = (У -1)2, АГ3---Ут(1/2 + /2/0),7с2 =

3

1 + ГА

п п

1

У + 2/2

V / 0

+ 4 /23 ,

У

2/0

2 Л2

Ус

/03

/02

Р4 = /2

у

-1

/2 V/0 J

-Уг( у-1)(1 + 2/2/0),

/0 /0

02 = -А^2 - Агк, Ж = (Ол + 7с) / п, ЖР2 = 4(0Ж2 + Р, 1

А =

4(

(ЖР2 + 2( (0 - Ж2)), у11 = Аг1 - (0к1, у = А2 + ¡к /2 + 2А2 - Ж2,

к3 =

1 (1 , /• /•

о + /2/0

3 J

/0

3

0 V 3

1

3

V /0

+ 2/

1+/А

пп

V /0

+ 2/

+ 4/3.

Используем аналогичную методику для нахождения ¥2, ¥4.. Имеет место очевидное равенство:

tg вв = 1 (Яв) = -2^2Яв - 4^4Я3В -... С другой стороны, из закона отражения луча в точке В следует:

(1.26)

2

есв+и =(5{п0в>СО50ву

есв+и

(1.27)

где есв =

св

\св\

С помощью несложных преобразований можно получить

tg^в _-2( Яв + 2*4 ЯВ)_

sin0g =

V1 + 4 р22 Я

= -2(^ + 2^4ЯВ)(1 - 2^22ЯВ) = -2[F2Rв + 2(^ - ^э)ЯВ].

После подстановки в это выражение Я„ = ЯтгА + Я53Г(, находим

^в =-2^2Яв1ГА - 2

Явэ + 2 (- Р2э) Я

э

в1

(1.28)

Используя выражение для вектора СВ = ОВ-ОС, разложение (1.19) и разложение (1.28), разложим члены в левой части (1.27) по степеням гА и приравняем коэффициенты при гА и гАэ в левой и правой части уравнения. В результате получаем

Г _п(у2 - /02) - 2^У р _

ЕЖ

3 + ^2 Явэ

1

2 Я3

У 2 Яв1

4<У 4 2 V 2

где Яв1 = 1 + , Явэ = - В2к1 , ^2 = ¥!Яв2 , ^с2 = У'./2 / ,

1 ^ - ^)2 + 2^(2в2 - ^2)], ЕЖэ = Еи - ^ (Еи? + 4Е^),

ВС =

АЯС

2

Еи =АЯвс1 + К,Е^ = А2вс2 вс' -—,Е^ АЯвсэ

2 16

АЯС_ - вс АЯ

2^ вс1

о

2

ж

+ К

АЯвс1 Яв1 Гс1, АЯвсэ Явэ Гсэ , А^вс2 ^2 ^с2 .

На рисунке 1.7 приведены образующие зеркально-линзовой системы при разных значениях параметра/0/^0 , вычисленные по полученным формулам.

(а)

(б)

(в) (г)

Рисунок 1.7 - Образующие зеркально-линзовых систем: аналитический (1, 3), численно-аналитический метод (2, 4), /0/(0=1 (а), 0.6 (б), 0.4 (в), 0 (г).

Для сравнения на рисунке приведены образующие, найденные численно -аналитическим методом (1.7).

Как видно на рисунке 1.7, формула (1.15) хорошо аппроксимирует точное решение для образующей зеркала при разных соотношениях /0/(0, кроме случая /0 =0, а формула (1.14) для образующей линзы - только в параксиальной области и совершенно не работает при /0=0. Поэтому рассмотрим этот важный частный случай, когда облучатель находится на поверхности линзы (рисунок 1.8) и конструкция антенны становится полностью интегральной, отдельно.

Для луча выходящего из фокуса в точке О и после преломления в точке С

(рисунок 1.8) можно записать

dr _ + j

da 2 2

(1.29)

где величины в правой части уравнения (1.29) связаны геометрическими соотношениями r sin a +1 sin ju = y sin a, nr + nt + r cosa -1 cos j = 2nd0.

Рисунок 1.8 - К выводу дифференциального уравнения для зеркала

Исключая из последних соотношений t получаем

sin j

(у - r )sina

n - cos л 2nd0 - r (n + cos a) Уравнение (1.30) можно записать в виде:

P(n + 1)q2 - 2q + P(n -1) = 0

D (y- r)sina л

где P =-----, q = tg—.

2nd - r(n + cos a) 2

Из этого уравнения находим

j = 2arctg

1 -У 1 -P2(n2 -1) P(n +1)

(1.30)

Подставляя ^ в дифференциальное уравнение (1.29) и решая его численным методом, находим г(а). Зная г(а), находим координаты точки С на поверхности линзы

хс = ysina , zc = rcosa -1cos ju,

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Чинь Ван Туан, 2025 год

источнике.

аф - о — - о -дФ -0 — - О

дАх ' дАу " дАХ ' дАУ из которых можно найти поправки к координатам точек Р(хр, ур, ) и В(Хв Ув, 7в) :

-2Му 20у1

Ах = -2МХ 2л^Х 4 л2ХМХ 2 - пЩ

Ау =

4л2ГМГ2 - п^2 '

АХ = , ду = 1^уАУ

2М

Х 2

2М

У 2

где

МХ2 =

СОБ2 О

2соБ2(О-4)

1 1 - + —

г (

л

+ ^ сОБ О сОБ(О - 4).

Б1п(О-4)соБ(О^ _ -соБП>/п2 -Бт2а

+ + , N^ - '

1У 2

2( 2г

Яс

М соБ(а - а)соБ(О - 4)

= —1, А1Х = cospcosa - sina, d

Ж

рcos(ю-a)

а2 x =

1

2cos (ю-а)

í 2 2 • 2 л

cos о п - Sin о

-+ -

V

р

(cosa- п cosf) „ + --^-— /

р ,

А

пЯг

2 У

0у1 = Яв =4x1+71 ,Яв ^(Хв + АХ)2 + (Ув +АУ)2 ,

2dрsma р

а углы а, ш, О- показаны на рисунке 2.1.

Далее находим координаты точки р (х^ +Ах, ур +Ау, /(г )) и

В1(Хв + АХ,УВ + где Ах = Ах сое + Дует , Ау = АхБт<р-АусоБ<р,

А X = АХ ^^АУ sin^, АУ = АХ зт^-АУ cosф и вычислияем значение эйконала в точке А по формуле (2.3).

Найдем разность эйконалов в зеркально-линзовой системе, вычисленых точным геометро-оптическим методом (2.2) и с помощью формулы (2.3) АЬ= Ф1О1А) - Ф2ОО1А).

(а)

ДЬ >=10

0.5

1.5

1

0

-7

4

3

6

5

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 У

(б)

Рисунок 2.2 - Разность эйконалов в меридиональной (а) и сагитальной (б) плоскостях для различных величин смещения источника в меридиональной

Зависимости этой разности в зеркально-линзовой системе с параметрами / = 1.3, д = 0.7, к = 0.9 от координат в двух плоскостях показаны на рисунке 2.2. На рисунке видно, что погрешность вычисления эйконала на выходе системы с использованием формулы (2.3) не превышает 2х10-4, т. е. исследование аберраций в зеркально-линзовой системе с такой точностью можно осуществлять с помощью формулы (2.3) без проведения трассировки лучей.

Задача оптимизации зеркально-линзовой системы состоит в нахождении значений ее параметров и фокальной кривой, которые обеспечивают минимальную величину среднеквадратической аберрации (СКА) эйконала на выходе системы при смещении источника из фокуса, которую будем определять по формуле:

где - эйконал луча с номером I, ^-количество учтенных лучей, В-диаметр апертуры системы, Ь0 - эйконал луча, относительно которого СКА имеет

плоскости: 0(7), 0.05(2), 0.1(3), 0.15(4), 0.2(5), 0.25(6) и 0.3(7).

(2.4)

минимальное значение.

Проведем анализ СКА зеркально-линзовой системы, синтезированной для конкретного набора параметров и заданного значения угла зрения. Для вычисления СКА системы по формуле (2.4), прежде всего, необходимо найти величину эйконала Ь0 опорного луча, относительно которого будет рассчитываться СКА эйконалы лучей, а затем найти эйконалы остальных лучей.

При смещенном относительно фокуса положении источника на фокальной линии 3 (рисунок 2.3) углы выхода лучей будут разные. Рассмотрим несколько лучей, выходящих из точки ^ на фокальной линиии и проходящих вблизи оси зеркально-линзовой системы.

Рисунок 2.3 - Геометрия лучей в зеркально-линзовой системе при смещенном источнике: 1, 2 - образующие превой и второй поверхности, 3 -фокальная линия, 4 - фронт, соответствующий опорному лучу

По формуле (2.4) найдем СКА относительно каждого из этих лучей от источника до соответствующего фронта 4. Выберем из полученных величин СКА минимальное значение, а эйконал соответствующего (опорного) луча обозначим Ь0. По формуле (2.4) найдем СКА для массива лучей, покрывающих всю апертуру зеркально-линзовой системы.

Формула для эйконала в произвольной точке А на выходной поверхности зеркально-линзовой системы при смещении источника из фокуса в точку О1 (рисунок 2.1) с координатами ( -Srcos<, -SRsin<, Sz) имеет вид (2.3). В полярных координатах эта формула принимает вид L(r, < — L0 + SR cos <sin а + Sz cos a + 82R [Lx (r) cos2 < + LY (r) sin2 <\ + ...,(2.5)

cos2 ос M A2 1 M О2 г г ГДQbx(r) = —---Ly{r) = ----^f^,a = arcsin(r/7), rA=---fr,

2p ZNX 2p zNy rc1 rC1

P=JT[+7A, d—do-D2r¡, t—do+(A -ж>)r2, ®=(1+2f/o)rA,

Jo

Q — (к, + 2F2Rn)rA, £ = кЛ, R, — RtírÁ + Rmr3, F" = 2F2 + 12FR,,

f" = 2f2 +12/tf, Дх = , ZN = 4AXMX2 - nN\, \Y =

pcos(w-a) 2d

Mr2 = -

^ + ^ + [2F2 + 4(F4-F23)^,rj]cosn , Qn=~, Щ- =4A2yMy2-nN¡ .

Для эйконала в случае фокуса на поверхности линзы

L( R, <) = nr + nt + n sin aSR cos < + n cos aSz +

t9 0 0 0 0 0 (2.6) Lx(R)cos < + Lr(R)sin ^IS^ + nLxz(R)cos<SRSZ + пЖ sin aSz +...

cos2 a T 1 Л t Л _ cos Q

1 -

где Lx — г i, Ly — ■ , , ж —

2[ г +1 cos Q/(cos Q-2Kst)J 2r V у) r cos(Q-a)

, Ж

V(a) Л „ r2 + 2r'(a)2 - rr" K ~

Ь - sin2a

Х2 = 2[Г+7cosQ7(cosQ-2^t)]' " arCtg^ г ), (г2 + г'2)

кривизна зеркала в точке В.

Основной аберрацией в апланатической системе является астигматизм, который определяется коэффициентом при 5^ в разложении (2.6). Величина этого коэффициента определяется разностью между величинами ЬХ и ЬУ. Если нормировать все размеры на диаметр системы, ее геометрия определяется 4 параметрами: /0, d0, у, п. Если задать относительную длину системы /0 + d0, остается три параметра dо//о, у, п.

При относительной длине системы /0+d0 =1 в результате минимизации

целевой функции по трем точкам

п) = Х1 кX Г) - к (Г )|,

(2.7)

£=1

где г1=0.15, г2=0.25, г3=0.35, были найдены следующие значения оптимальных параметров: п=1.3, С0/0=1.0148, у=0.9371.

На рисунке 2.4 показаны зависимости Ьх(К) и Ьу(К) в оптимизированной системе.

Рисунок 2.4 - Функции ЬХ(1) и Ьу(2) в оптимизированной системе

Рисунок 2.5 - Образующие оптимизированной зеркально-линзовой системы: линзы (1), зеркала (2).

На рисунке 2.5 показаны образующие зеркально-линзовой системы оптимальными параметрами, полученные с использованием численного метода решения дифференцивльного уравнения, а на рисунке 2.6 - образующие оптимизированной системы с фокусом, расположенным на поверхности.

0.5 0.4

0.3

0.2

0.1

0

-0.1

1

п

2

-0.5

-0.25

0

0.25

Рисунок 2.6 - Образующин зеркально-линзовой системы с параметрами: /о=0, п= 3, у = 0.5722, йо = 0.4963. (1) - зеркало, (2) - линза.

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 град Рисунок 2.7 - СКА однозеркальной (1) и зеркально-линзовой системы: (2) - с фокусом на поверхности, (3) - оптимизированной методом трассировки лучей, (4) - оптимизированной по формуле (2.7)

На рисунке 2.7 показаны зависимости СКА зеркально-линзовой системы с оптимальными параметрами, найденными выше, вычисленные методом трассировки лучей, от угла зрения. Для сравнения приведены зависимости СКА найденные для оптимизированной методом трассировки лучей зеркально-линзовой системы, однозеркальной системы и оптимизированной зеркально-линзовой системы с фокусом на поверхности.

Как видно на рисунке 2.7, для угла зрения 400 СКА зеркально-линзовой системы с фокусом на поверхности примерно в три раза выше, чем системы с фокусом /0=0.5037 при одинаковой толщине линз. При этом СКА однозеркальной системы выше более чем в 5 раз.

2.2. Исследование многолучевой антенны на основе апланатической

Моделирование многолучевой антенны на основе оптимизированной зеркально-линзовой системы было проведено с использованием метода Кирхгофа и МКЭ в программной среде ANSYS HFSS. В качестве облучателя использован рупор круглого сечения, продольное сечение которого показано на рисунке 2.8. Диаграммы направленности (ДН) облучателя - зависимости в двух плоскостях КУ от угла наблюдения на частоте 13 ГГц приведены на рисунке 2.9.

зеркально-линзовой системы

Рисунок 2.8 - Продольное сечение рупорного облучателя

Диаграммы направленности (ДН) облучателя - зависимости КУ в двух плоскостях от угла наблюдения на частоте 13 ГГц приведены на рисунке 2.9.

дБ г 15 10

5 0

-5-'-'-'-'

-40 -20 0 20 град

Рисунок 2.9 - Диаграмма направленности облучателя: Н-плоскость (1), Е-

плоскость (2)

Величина КУ находилась по формуле:

2/72

в =

4жг1Е

Ц Е^йхйу

(2.8)

Как видно на рисунке, ДН близка к осесимметричной.

ДН лучей многолучевой антенны рассчитывались с использованием МКЭ и в приближении Кирхгофа. В последнем случае амплитудно-фазовые распределения поля на зеркале, после отражения от зеркала на поверхности линзы и затем ДН рассчитывались последовательно с использованием формул [28]

Е„

Г

пМ

— р7кг

м

г

п,Е

—]пкг

н = -

4п

/

п,Е

—]пкг

4п

I

п,Н

—]пкг

(2.9)

Ж

5

где к - волновое число в вакууме, е - диэлектрическая проницаемость материала линзы, е0, ^о - диэлектрическая и магнитная проницаемость вакуума, ш-круговая частота, г0 орт, имеющий направление радиуса-вектора,

проведенного из точки интегрирования в точку наблюдения, п нормаль на поверхности интегрирования, г - расстояние от точки на поверхности интегрирования £ до точки наблюдения, п = . При определении распределения поля на зеркале и дальней зоне £ - поверхность линзы, а при определения распределения поля на линзе £ - поверхность зеркала. При расчете ДН величина е = 1.

ДБ Г

40 -30 -20 -10 0 10 20 30 град

Рисунок 2.10 - Диаграммы направленности лучей зеркально-линзовой антенны: МКЭ (1) и метод Кирхгофа (2)

На рисунке 2.10 представлены результаты расчетов ДН лучей зеркально-линзовой антенны диаметром ^=346 мм, с фокусным расстоянием /0=174 мм, толщиной d0=172 мм на частоте 13 ГГц при перемещении облучателя по фокальной кривой, выполненных с использованием метода Кирхгофа и МКЭ.

Как видно на рисунке, МКЭ и метод Кирхгофа дают близкие результаты при расчете главных лепестков лучей антенны.

На рисунках 2.11 и 2.12 представлены зависимости величин КУ и КИП антенны от угла зрения, полученные с применением МКЭ и метода Кирхгофа на частоте 13 ГГц.

На рисунках 2.13 и 2.14 показаны аналогичные зависимости на более высоких частотах, рассчитанные в приближении Кирхгофа. Для сравнения на рисунках приведены соответствующие зависимости для однозеркальной антенны

КУдБ т т т т т

31.5

31 30.5

30 29.5

-30 -20 -10 0 10 20 град

Рисунок 2.11 - Зависимости коэффициента усиления антенны от угла сканирования при В = 15Х. Зеркальная антенна: МКЭ (1), Кирхгоф (2); зеркально-линзовая антенна: МКЭ (3), Кирхгоф (4)

КИП

0.65

0.6 0.55 0.5 0.45 0.4

-30 -20 -10 0 10 20 град

Рисунок 2.12 - Зависимости КИП от угла сканирования при D = 15Х. Зеркальная антенна: МКЭ (1), Кирхгоф (2); зеркально-линзовая антенна:

МКЭ(З), Кирхгоф (4)

у

Р/ /2/

11

КУ,дБ

45

40

35

2/

32

1

г 1

-30 -20 -10 0 10 20 град

Рисунок 2.13 - Зависимости КУ от угла сканирования: зеркальная антенна Л=50А, (7), Л=100А, (2), зеркально-линзовая антенна Л=50А, (3), Л=100А,

(4)

кип

0.6

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

0

Рисунок 2.14 - Зависимости КИП от угла сканирования: зеркальная антенна В=50Х (1), В=100Х (2), зеркально-линзовая антенна В=50Х (3), В=100Х (4)

Как видно на рисунке 2.11 и рисунке 2.12, величины КУ и КИП, рассчитанные при сранительно небольших электрических размерах с использованием МКЭ и последовательного метода Кирхгофа близки. При этом выигрыш в величине КИП зеркально-линзовой антенны по отношению к однозеркальной невелик. Однако при увеличении частоты (рисунок 2.13 и рисунок 2.14) падение величины КУ и КИП на краях сектора сканирования однозеркальной антенны существенно больше, чем зеркально-линзовой антенны.

На основании полученных результатов можно сделать следующие выводы:

1. Приближенная формула для аберрации эйконала лучей на выходной поверхности системы позволяет находить среднеквадратическую аберрацию при смещении источника и проводить оптимизацию параметров без проведения трассировки лучей.

2. Оптимизированная в работе зеркально-линзовая система обеспечивает средне-квадратическую аберрацию менее 5.3х10-4 в угле зрения 400.

3. Многолучевая антенна на основе оптимизированной зеркально-линзовой системы обеспечивает КИП более 0.5 при D / X = 50 в угле зрения 380 и при D/X= 100 - в угле зрения 320.

ГЛАВА 3. МНОГОЛУЧЕВАЯ АНТЕННА НА ОСНОВЕ АПЛАНАТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ДВУХ ОТРАЖАТЕЛЬНЫХ РЕШЕТОК

3.1. Синтез апланатической системы двух отражательных

решеток

Рассмотрим задачу синтеза апланатической системы, содержащей две отражательные решетки (ОР) и источник (рисунок 3.1), расположенный в фокальной точке ^ c декартовыми координатами (0, 0, -/0), где /0 - фокальное расстояние (от фокуса до вспомогательной ОР (ВР). Обозначим й0 расстояние вдоль оси 2 от ВР(1) до главной (ГР) (2).

Рисунок 3.1 - Апланатическая система: 1- ВР, 2- распределение эйконала, внесенного ВР; 3 - ГР; 4 - распределение эйконала, внесенного ГР

Нормальные векторы к плоскостям BP и ГР лежат в плоскости YZ и образуют углы 0i и 02, соответственно, относительно оси Z. В этом случае плоскость YZ выступает в качестве плоскости симметрии для рассматриваемой задачи. Если источник сферической волны поместить в фокус F, то на выходе системы образуется плоский волновой фронт.

Обозначим распределения эйконалов, внесенных ВР и ГР, ю(х,у) и Q(X Y), соответственно. Задача синтеза состоит в определении этих функций.

Необходимо добиться того, чтобы сферическая волна, исходящая из фокальной точки F, после отражения от ВР и ГР преобразовалась в плоскую волну. Пусть луч, параллельный оси Z, падает на ВР в начале координат, отражается, падает на ГР в точке No, отражается и снова становится параллельным оси Z. Эйконал этогот луча от источника до фронта волны, при условиях ю(0, 0) = 0 и Q(0, Yo) = 0, определяется следующим образом

Lo = fo ЧYo2 + (-do + Yotg02)2 + do - Yotg02 (3.1)

Рассмотрим луч, исходящий из точки F под углом а относительно оси Z. Этот луч достигает поверхности ВР в точке M с координатами (x, y, ytg6¡), затем отражается и падает на поверхность ГР в точке N с координатами (X, Y, -do+Ytg02). После отражения от ГР луч направляется параллельно оси Z. Эйконал данного луча вычисляется по формуле

L = FM + MN + а?(x, y) + Q(X, Y) + d0 - Ytg02 (3.2)

Координата точки N определяется из условия апланатизма

R{a) = yún{a), (3.3)

где а = arccos((>tg0, +/0)/ FM) - угол между осью Z и падающим лучом FM , у -радиус апланатизма. В результате, получаем

X = Хжо + R(a)sin <р, (3.4)

Y = Y„0 + R(a)cosp, (3.5)

Z = -d0 + Ytg 0, (3.6)

где р = arctg( x / y).

Единичный вектор отраженного от ВР луча можно представить в виде

к-мы

к. ^.сов2^ + 8^0^,^-0080! втб! - сое

V

йх Эу

Эу

(3.7)

У

гДе 5 =

ЭФ

л2 /

м

V Эх у

ЭФ

м

Эу

COS 0!

Нетрудно убедиться, что вектор кш равен единичному вектору еш , т.е

соб2 0 + sin 05 = —у, эфм cos 0 sin 0 - соб 05 = (3. 8)

ЭФМ X - х ЭФм 2

м ___м ^^с2

-=-, -COS 0 + si.ii 05 ,

Эх й Эу й Эу

Исключая из двух последних уравнений 5Ч„ получаем

ЭФ„_7 - у + (7 - 2)1в01

Эу

Используя выражения для производных

ЭФ

й

ь Мху)

Эх р

Эх

ЭФм =у + (/ | Эю(х, у) ,

Эу р Эу

получаем выражения для производной эйконала, внесенного ВР

Эю _ X - х х Эю _ У - у + (2 - 2у + (/ + 2

Эх й Р Эу й

Аналогично находим

Ф„ = й + П( X ,У ),

эф

ЭУ

р

пмн

ЛЭФЛ ЭФ у ЭХ ' ЭУ

N ЭФ# cos2 0 + sin0^,ЭФ^cos0 sin0 - соб0

5№ =

1 -

'ЭФ ^

V ЭХ у

ЭФ

N

Э У

СОБ 0,

Из условия, что отраженные лучи параллельны оси 2,

ЭХ

получаем

ЭФМ = 0, СОБ2 0+ sin 0^ = О, СОБ 0 БШ 0-СОБ = 1:

' ЭУ Л ' ЭУ

эо__ х - х <ю_ л у - у+(2 - 2уё02

= Щ02

ЭХ

й ЭУ

й

(3.9)

(3.10)

2

где - расстояние от точки М до точки N.

Выражение ш(х,у) для эйконала, внесенного ВР, можно представить в виде

х У

, ч Г да , Г да ,

а( ху) = ¡аГ йх + йу (3.11)

о о

Подставляя в интегралы в (3.11) выражения для производных (3.10), находим ш(х,у).

Из условия синфазности на выходе системы, получаем распределение эйконала, внесенного ГР

П(Х,¥) = /0 -р-а(Хм, Ум) - й (3.12)

3.2. Анализ аберраций эйконала при смещении источника из фокуса и оптимизация апланатической системы двух отражательных решеток

Найдем величину эйконала на поверхности ГР при смещении источника (рисунок 3.2) из фокуса в точку ^ с координатами (-8х,-5у,-8т). Эйконал этого луча определяется формулой

Ф^) = + \М1Щ + а(х1,у1) + П(Х,У) , (3.13)

где х\=х+Ах, у\=у+Ау, х, у - координаты точки М на ВР, через которую проходит луч, исходящий из фокуса и проходящий далее через точку N с координатами X, У. Представим внесенный ВР эйконал в виде ряда

, ч , ч да . да . 1 д2а . 2 1 д2а . 2 д2а . . а(х1, У1) = а( х, у) + — Ах + — Ау + -—т Ах2 + -—т Ау2 + —- АхАу

дх ду 2 дх 2 ду дхду

в котором неизвестные Ах, Ау подлежат определению. Рассмотрим луч, выходящий из точки и падающий на поверхность ВР в точке М\ с координатами М\(x\,y\,y\tф\) и после отражения падающий на ГР в точке N(X, У,-йo+Уtg02).

Рисунок 3.2 - Лучи при смещенном и несмещенном источнике

Зная координаты точки N(X,Y,-d0+Ytg$2), можно найти координаты точки

М для невозмущенного луча на малом зеркале: х = р sin a sin p, y = ^sinacos^,

f

z = ytg0, где a = arcsin(R / y), p = arctg(X / Y), p =-—-,

cosa - tg0 sinacosp

r=V(X-XÑ0)r4i-Yv0)7.

Выражение (3.13) разложим по величинам смещений Sx, SY, Sz, Ах, Ау. В результате с точностью до третьего порядка малости получаем

Фх = Ф0 + D (S) + D ) + МХАх + M1 Ау + Щ 2 Ах2 + Mr2 Ay2 + Nxr АхАу, (3.14)

Q Q Q2

где Фо - эйконал невозмущенного луча, D (&) = —L, D (^2) = ~--V,

2р 2р 8р

0 0 0 Я хП

Qi = 2хдх + 2y§Y + 2£8Z, Q2 =$х + ¿z, С = fo + z , MXi =

р 2р

Л/Г 5y (y + Q1 ,, 1 х2 1 (х - X )2 1 д 2a M, = — - —— , 1, mx2 =---- +---—^ + —- ,

Y1 р 2р х 2р 2р 2d 2d 2 дх2

м =1 + ^ (у + ^)2 11 + ^ [у - 7 + (г - ад2 | 1 д2с 7 2 2р 2р3 2О 2О3 2 ду2 '

52с х(у + ЗД (х - Х)[у - 7 + (г -1X]

=

дхду р а

Вторые производные ю(х,у) могут быть найдены из выражения (3.9)

д со (дХ / дх - 1)О - (X - х)дО / дх р- хдр / дх

~дХг ~ О2 р2 '

д2с _ (д7 / ду(1 [phone]) - 1в201 - 1)О - (7 - у + 1801(-Оо + - .^©ОдО / ду

ду2

а2

(1 +182©1 )р - (у +1801 (у§©1 + /о ))др / ду

р2 '

д 2с _ О дХ / ду - (X - х)дО / ду хдр / ду

о2

р

дхду где

др_х р- у +1801(у1801 + /о) дХ-У°2 -ух2 ЙХ- -ух(у + 1801(у1801 + /0)

3

дх р ду

р

дх

р

ду

р

ЭУ = -уху дУ = ур2 -уу(у +1801(у1801 + /о)

дх ръ ду р3

дО_ (дХ / дх -1)(X - х) + дУ / дх(У - у) +1§02 (-О0 + - )дУ / дх дх О

дО = дХ / ду(X - х) + (дУ / ду - 1)(У - у) + (1в02д7 / ду - ^-¿о + У1в02 - у^) ду с1

р=|^м|, а=|мм|.

Приращения Ах, Ау могут быть найдены с использованием принципа

ЭФ . ЭФ,

Ферма для луча - из системы линейных уравнений —1 = о

1 _

матричной форме

Г Ах Л '-Мх 1Л

А = , А =

чАу у V- М71 .у

дАх

Г 2Мх 2 Л

V МХ7 2МУ 2 У

дАу

о, или в

Из этой системы уравнений находим

Дх= - 2My 2 Мх i + NmMy i - 2МХ 2 MY i + NxyMX i

4МХ MY 2 - N2XY ' ^ 4MxMY 2 - N^2Y В формуле (3.14) слагаемое зависит от смещения источника

линейно, а остальные - квадратично. Если координаты смещения источника записать в цилиндрической системе координат 8Х = SR sin р, SY= SR cos p, а x = r sinp, y = r cosp,

Q r С С

D(£) = —L = cos(p- p) +—SZ = ^ sinacos(p - p) +—Sz. 2P P P P

Используя условие апланатизма (3.3), получаем

D (S) = Rcos(p-p ) + CSZ. Y P

Таким образом, слагаемое D1 описывает наклон луча в плоскости р на угол в, где sinР = SR / y, а остальные члены в выражении (3.14)

L (R, р) = D (^2) + Мх j Дх + М Д + Мх 2Дх2 + МГ2 Ду2 + N^ ДхДу.

описывают аберрацию эйконала, в частности, астигматизм.

Исследуем, как аберрационные слагаемые зависят от параметров системы Y, 02. Функция L2 пропорциональна ¿2 и описывает величину астигматизма системы. Если L2(R,0) = L2(R,tc/2) для всех R, астигматизм 2-го порядка в системе отсутствует. Для характеристики величины астигматизма в общем случае введем функцию

N

A(y, 01,02) = XMR ,0) - ^(R ,W2)|, (3.15)

¿=1

где N - число точек вдоль радиуса ГР по осям X, Y декартовой системы координат. Зададим Y0 = 0.35 и три значения y = 0.8, 0.85, 0.95, N = 10 и проведем минимизацию функции A(y,0^02) для каждого значения y по оставшимся двум параметрам (01, 02) для системы с фокусным расстоянием f0 = 0.4. В результаты минимизации были получены следующие оптимальные значения параметров: y = 0.85, 01 = 10°, 02=130. Зависимость A(y) при