Модель расчета надежности двухканальных систем с резервированием на основе альтернирующих процессов восстановления тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Проурзин Олег Владимирович

• Проурзин Олег Владимирович
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Проурзин Олег Владимирович

Список сокращений

Введение

1. АНАЛИЗ СОВРЕМЕННОГО СОСТОЯНИЯ ИССЛЕДОВАНИЙ НАДЕЖНОСТИ МНОГОКАНАЛЬНЫХ И КЛАСТЕРНЫХ СИСТЕМ, ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ

1.1 Модели надежности многоканальных систем

1.2 Характеристика кластерных вычислительных систем

1.3 Показатели и критерии оценивания надежности многоканальных систем

1.4 Постановка задачи исследования 24 Выводы по разделу

2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК НАДЕЖНОСТИ ДВУХКАНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ

2.1 Двумерный процесс

2.2 Правило замен

2.3 Первый переход

2.4 Построение рекуррентных формул

2.5 Матрица переходных вероятностей

2.6 Критерии оптимальности

2.6.1 Коэффициент готовности

2.6.2 Экономический критерий

2.6.3 Средняя наработка системы до отказа 50 Выводы по разделу

3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ И ОПТИМИЗАЦИИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИДВУХКАНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ

3.1 Вычисление показателей надежности и экономичности методом Монте-Карло

3.2 Метод построения изолиний сложной функции с минимизацией количества вычислений значений функции

3.3 Алгоритм построения изолиний методом пошаговой интерполяции

3.4 Программа построения изолиний методом пошаговой интерполяции 72 Выводы по разделу

4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ И ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДВУХКАНАЛЬНЫХ СИСТЕМ

4.1 Экспериментальное исследование параметров надежности двухканальной системы

4.2 Расчет характеристик надежности двухсерверного кластера

4.3 Графических анализ областей оптимальности параметров двухканальных систем

Выводы по разделу 87 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ А

ПРИЛОЖЕНИЕ В

Список сокращений

АС - автоматизированная система;

АЦП - аналого-цифровой преобразователь;

ВВХ - вероятностно-временные характеристики;

ВК - вычислительный комплекс;

ИС - информационная система;

КВ - коэффициент вариации;

ОЗУ - оперативное запоминающее устройство;

ОС - операционная система;

ПЛС - преобразование Лапласа-Стилтьеса;

ПО - программное обеспечение;

СВТ - средства вычислительной техники;

ЭВМ - электронная вычислительная машина;

ЦОД -центр обработки данных;

КС - кластерная система;

ЭТХ - эксплуатационно-технические характеристики.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модель расчета надежности двухканальных систем с резервированием на основе альтернирующих процессов восстановления»

Введение

Актуальность темы исследования. Изучение многоканальных систем с резервированием, как одной из важнейших областей теории надежности, является весьма актуальной темой в связи с необходимостью повышения качества проектирования информационных и управляющих систем для критических технологий и инфраструктур. Несомненный положительный эффект от внедрения результатов научных исследований в этой области состоит прежде всего в предотвращении техногенных аварий и катастроф.

Перечислим основные направления человеческой деятельности, где применяются многоканальные системы резервирования: железнодорожный транспорт (автоматизация переездов на железнодорожном транспорте); атомная энергетика; военная промышленность; аэрокосмические технологии (конструирование надежных летательных аппаратов); телекоммуникационные сети и интернет технологии (безотказное функционирование серверов, мобильная связь) и др.

Объектом исследования является двухканальная система с холодным и горячим резервом. Предмет исследования - модели и алгоритмы расчета и оптимизации характеристик надежности двухканальных систем с резервом.

Степень разработанности данной темы. Математическим моделям надежности, массового обслуживания многоканальных и кластерных систем посвящено большое количество научных исследований таких ученых как: Ушаков И.

A., Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н., Половко А.М., Северцев Н.А., Кокс, Д.Р., Барлоу Р., Прошан Ф., Байхельт, Ф., Франкен П., Гуров С.В., В.С. Харченко, Б.Г. Мудла, Л.В., Харламов Б.П., Хомоненко А.Д., Бубнов В.П., Смагин В.А., Богатырев В.А., Уткин Л.

B., Шубинский И. Б. Однако, в указанных выше исследованиях в основном

использовались предположения об экспоненциальном распределении времени ремонта и времени безотказной работы оборудования, что существенно упрощало используемые математические модели, которые не в полной мере отражали разнообразие реальных распределения указанных случайных велиин. Таким образом, актуальной задачей является построение математической моделии двухканальной системы с резервом, обладающей неэкспоненциальными распределениями времени ремонта и времени безотказной работы каждого канала.

Цель исследования: повышение точности расчета характеристик надежности двухканальных систем с резервом и построение оптимальных режимов их эксплуатации.

Задача исследования состоит в разработке методов вычисления показателей надежности и эффективности многоканальных систем с резервом, нахождении оптимальных режимов работы двухканальной системы с холодным резервом по критерию готовности и экономическому критерию. Рассматриваются следующие подзадачи:

1) построение математической модели функционирования двухканальной системы на основе альтернирующих процессов восстановления;

2) разработка численных методов расчета характеристик надежности двухканальных систем с неэкспоненциальными законами распределения длительности отказов и восстановления;

3) разработка экономичного алгоритма построения областей оптимальных параметров, основанного на построении изолиний сложных функций от двух аргументов;

4) разработка комплекса программ для нахождения оптимальной области работы двухканальной системы с холодным резервом в пространстве управляемых параметров;

5) экспериментальная проверка разработанных методик и алгоритмов, оценка эффективности.

Научная новизна и теоретическая значимость работы определяются следующими результатами: для двухканальной системы введены в рассмотрение управляемые параметры гарантийных сроков работы ее элементов; решается задача оптимизации этих параметров по показателям надежности и эффективности системы; обоснован и реализован оптимальный с точки зрения экономии машинных ресурсов алгоритм для построения линий уровня детерминированных функций от двух аргументов, который применяется для графического анализа сложных стохастических функций.

Основная теоретическая значимость результатов заключается в том, что анализ распределений времени работы и простоя агрегатов системы осуществляется не только для экспоненциальных распределений, но и для всех других распределений.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Математическая модель функционирования двухканальной системы с резервом на основе альтернирующих процессов восстановления.

2. Методы расчета надежности двухканальных кластерных вычислительных систем на основе модели альтернирующих процессов восстановления.

3. Метод и программный комплекс для построения оптимальной области работы двухканальной системы.

Методология и методы исследования основаны на использовании методов математического моделирования, теории вероятностей и математической статистики [30], [67], теории случайных процессов [28], [43], [69], [70], [79], теории надежности [27], [29], [35], [39], [41], [42], [46], [51], [58], [59], методов вычисления и технологии программирования [25], [53], [54], [55], [56], [72].

Степень достоверности гарантируется математической строгостью выводов аналитических формул, доказательств теорем и построений алгоритмов с использованием классических и современных результатов в математической логике, математическом анализе, теории вероятностей и случайных процессов, а также квалифицированным использованием базы знаний компьютерной техники.

Адекватность модели подтверждается опытом её успешного применения в аналогичных ситуациях при решении практических задач надёжности.

Практическая значимость и внедрение результатов работы. Разработан программный комплекс «Построение оптимальной области работы технической системы с холодным резервом», который был зарегистрирован Федеральной службой по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам в реестре программ для ЭВМ. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2014012296.

Программный комплекс внедрен в производственный процесс ООО «Студия РЭД-Реал Эстейт Дизайн» с целью повышения надежности функционирования web-серверов компании.

Апробация работы. Данное исследование было апробировано на следующих конгрессах, форумах и конференциях по этой теме: Бетанкуровский международный инженерный форум (Санкт-Петербург, 2018); LXXVШ Всероссийская научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Транспорт: проблемы, идеи, перспективы» (Санкт-Петербург, 2018); 5-я Международная конференция «Актуальные проблемы архитектуры и строительства» (Санкт-Петербург, 2013); Международная конференция «Теория вероятностей и ее приложения» памяти 100-летия Б. В. Гнеденко (Москва, 2012); 1-й Международный конгресс молодых ученых, аспирантов, докторантов и студентов, посвященный 180-летию Санкт-Петербургского государственного архитектурно-строительного

университета (Санкт-Петербург, 2012); 64-я Международная научно-техническая конференция молодых ученых, посвященная 300-летию М. В. Ломоносова (Санкт-Петербург, 2011); 68-я Научно-техническая конференция молодых ученых (Санкт-Петербург, 2010).

Содержание работы. Раздел 1 содержит обзор многоканальных и кластерных систем и моделей их надежности, вводятся критери надежности и эффективности этих систем, сформулированы цели и задачи исследования. Дается обзор многоканальных технических систем и кластерных вычислительных систем. Описаны модели надежности этих систем. Рассмотрены актуальные проблемы в этой области и основные показатели надежности и экономической эффективности многоканальных систем.

Раздел 2 посвящен разработке математических моделей надежности двухканальных систем. Рассматривается сложная система, математическая модель которой состоит из двух условно независимых альтернирующих процессов восстановления с перестройками и с плотностями распределения длин интервалов общего вида. Система моделирует работу двух агрегатов с учётом интервалов работы и ремонта. Момент перестройки связан с моментами первого попадания двумерного процесса в состояние, когда обе компоненты находятся в рабочем состоянии. С этого момента возможен переход одного из агрегатов на профилактическое обслуживание. Решение об этом принимает управляющая компания на основании условий страхования. Для процесса в целом каждый такой момент определяет марковскую регенерацию системы, когда она начинает работать, как новая, но может быть из другого начального состояния. Интервалы времени между перестройками зависят от так называемых фиксированных гарантированных сроков обслуживания. Используется свойство эволюции двумерного процесса между моментами марковской регенерации, превращающее такую эволюцию в обрывающийся полумарковский процесс второго порядка.

Выведены аналитические выражения переходных вероятностей большой марковской цепи, вложенной в двухмерный процесс. Выведены аналитические выражения для показателей оптимизации технических систем и вычислительных кластеров, а именно: коэффициент готовности системы, т. е. стационарная вероятность застать систему в рабочем состоянии в текущий момент времени; средняя по времени прибыль предприятия от использования данной технической системы; средняя наработка до отказа или математическое ожидание первого момента времени отказа обоих элементов двухканальной системы (случай горячего резерва).

Раздел 3 посвящен разработке численных методов расчета характеристик надежности двухканальных систем с неэкспоненциальными законами распределения длительности отказов и восстановления и разработке экономичного алгоритма построения областей оптимальных значений управляемых параметров.

Изложены алгоритмы вычисления показателей надежности и экономической эффективности методом Монте-Карло. Предложен метод построения оптимальных областей в двухмерном пространстве управляемых параметров, основанный на построении изолиний сложной функции с минимизацией количества вычислений ее значений. Разработан алгоритм построения изолиний методом пошаговой интерполяции, который был реализован в программном комплексе для нахождения оптимальной области функционирования системы с холодным резервом. Реализация метода проводилась в объектно-ориентированной среде разработки Delphi 7.

В разделе 4 приводятся результаты экспериментов и численных расчетов. Приведено описание и результаты экспериментального исследования надежности двухканальной системы. В результате эксперимента получены функции распределения длин рабочих и нерабочих интервалов каждого канала двухканальной системы с холодным резервом. Эмпирические функции распределения аппроксимированы двухпараметрическим распределением Вейбулла, экспоненциальным распределением и равномерным распределением.

Выполнен расчет характеристик надежности двухсерверного кластера. Проведен параметрический анализ среднего времени безотказной работы вычислительного кластера, основным результатом которого был вывод о заметном влиянии значений параметров распределения на значения среднего времени безотказной работы (средней наработки до отказа) вычислительного кластера из двух серверов при фиксированном неэкспоненциальном распределении времени восстановления каждого из серверов.

Был рассмотрен вопрос оценки выигрыша в точности прогноза характеристик надежности вычислительного кластера с двумя серверами на основе рассмотренной полумарковской модели. Для чего была проведена оценка влияния коэффициента вариации неэкспоненциального распределения длительности восстановления первого и второго серверов на значения среднего времени до отказа обоих элементов. Сделан вывод о заметном влиянии коэффициента вариации длительности восстановления серверов кластерной вычислительной системы на значения средней наработки до отказа кластерной вычислительной системы.

Проведен графический анализ моделированных данных. Для практических задач часто возникает необходимость анализа математических ожиданий случайных функций, зависящих от нескольких числовых аргументов. При компьютерном моделировании стохастичность достигается генерированием псевдослучайных чисел и их последовательностей, имитирующих реальный процесс, порождающий данную функцию. Трудность анализа зависимости таких функций от числовых аргументов состоит в том, что для получения достаточно гладкой изолиний требуется много повторений независимых серий при каждом значении многомерного аргумента.

Основанный на экономичном способе рисования карты изолиний, метод интерполяции и поворота рисует изолинию почти сразу после определения значения функции в очередной точке в виде отрезка прямой, соединяющей соседние точки. Для получения представления о рельефе достаточно рассмотреть сравнительно небольшое

число изолиний. Такой метод отличается оперативностью и допускает гораздо меньше затрат машинного времени, чем классический метод сеток.

Заключение содержит основные результаты диссертационного исследования. Приложение А содержит формулировки и доказательства основных теорем, используемых при построении математической модели двухканальной системы с резервом. Приложение В - исходный код программного комплекса «Построение оптимальной области работы технической системы с холодным резервом».

1. АНАЛИЗ СОВРЕМЕННОГО СОСТОЯНИЯ ИССЛЕДОВАНИЙ НАДЕЖНОСТИ МНОГОКАНАЛЬНЫХ И КЛАСТЕРНЫХ СИСТЕМ, ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ

1.1 Модели надежности многоканальных систем

В разделе кратко рассматривается обзор исследований в области надежности многоканальных систем и, в частности, кластерных вычислительных систем. Рассматривается современное состояние дел в исследованиях характеристик надежности сложных технических систем, обосновываются показатели и критерии надежности и формулируются содержательная и математическая постановка задачи исследования. Многоканальные системы с позиции теории надежности представляют собой сложные динамические системы, т. е. совокупность технических устройств, взаимодействующих в процессе выполнения производственных задач на основе сложных функциональных связей.

Для определения характеристик надежности системы в целом, необходимо провести ее структурно-надежностный анализ. Степень точности структурно-надежностного анализа системы определяется ее структурной сложностью, наличием функционального резерва, многоканальных участков, коэффициентом важности отдельных устройств и возможностью описать процесс функционирования системы аналитическими или статистическими методами. Важным вопросом остается оценка характеристик надёжности такой системы в целом: средней наработки до отказа и коэффициента готовности. А также такого показателя экономической эффективности технической системы как суммарная прибыль от ее эксплуатации.

Математическим моделям надежности, массового обслуживания многоканальных и кластерных систем посвящено большое количество научных исследований таких ученых как: Ушаков И. А., Уткин Л. В, Шубинский И. Б.,

Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н., Половко А.М., Северцев Н.А., Кокс, Д.Р., Байхельт, Ф., Франкен П., Гуров С.В., Харламов Б.П., Хомоненко А.Д., Бубнов В.П., Смагин В.А., Богатырев В.А. и др. ([14], [17], [20], [21], [22], [23], [29], [31], [33], [43], [44], [45], [47], [49], [51], [61], [63], [64], [65], [66], [68], [76], [77]). В работе [24] рассмотрена многоканальная система массового обслуживания с отказами. В работах [11] и [12] представлены сравнительные оценки надежности функционирования различных многоканальных автоматизированных систем управления (АСУ), используемых в процессе подготовки и проведения пусков ракет-носителей. Даны рекомендации по выбору рациональной структуры АСУ и определению пределов избыточности аппаратных и программных средств. Полученные результаты могут быть использованы на этапе проектирования сложных информационных управляющих систем. В проекте [78] принята двухканальная структура активных систем безопасности, причем каждый канал может выполнять функции системы с эффективностью 100 %. При этом обеспечивается внутреннее резервирование основных активных элементов каждого канала и соответствие проекта принципу единичного отказа. В монографии [52] рассмотрены вопросы повышения надежности и фактической производительности многоканальных технологических систем роторных машин.

Однако, в указанных выше исследованиях в основном использовались предположения об экспоненциальном распределении времени ремонта и времени безотказной работы оборудования, что существенно упрощало используемые математические модели, которые не в полной мере отражали разнообразие реальных распределений этих случайных величин. Таким образом, актуальной задачей является построение математической модели двухканальной системы с холодным резервом, обладающие неэкспоненциальными распределениями времени ремонта и времени безотказной работы каждого канала.

Исследование по оптимальной профилактике двухканальных систем стимулировано анализом работы компрессорных станций на газопроводах России,

который был проведён по инициативе Л.В. Савинова [16]. Помимо статистической обработки последовательности моментов аварий, аварийных остановок, пусков и других специфических моментов работы газоперекачивающих агрегатов, которая помогла выяснить некоторые закономерности изменения частоты этих событий, возникла необходимость в разработке обоснованных рекомендаций по режиму управления этими агрегатами. Известно, что из соображения надёжности и безопасности такая станция имеет в своём распоряжении два турбоагрегата, из которых работает только один, а второй находится в холодном резерве, если только не наступает критическое время одновременной остановки обоих агрегатов. Чтобы избежать этой ситуации каждый работающий агрегат останавливается на профилактическое обслуживание по истечении определённого срока непрерывной работы, но лишь тогда, когда исправен второй агрегат, способный начать работать "как новый" в момент отключения первого. В связи с этим, была поставлена задача по оптимальному режиму постановки работающих агрегатов на профилактический ремонт. В лаборатории Методов анализа надежности ИПМаш РАН данная проблема была поставлена в общем виде и решена для некоторых частных случаев при существенных ограничениях на класс возможных распределений времени безотказной работы, ремонта и профилактического обслуживания [16], [15] и [68]. Сотрудники лаборатории С.А. Байгузина и Б.П. Харламов начали исследование этой технической системы на базе упрощенной математической модели. Рассматривались главным образом экспоненциальные распределения времени ремонта и времени безотказной работы оборудования, что существенно упрощало вывод ключевых формул и их вычисление. В настоящей диссертации изучается более общий класс распределений этих величин, а именно распределения, обладающие первым моментом.

Основной подход к численному анализу стохастических систем основан на методах статистического моделирования. Общие вопросы статистического моделирования и применения метода Монте-Карло при численном анализе изложено

в работах [29] и [32]. Численные методы анализа систем и сетей массового обслуживания рассмотрены в [75].

1.2 Характеристика кластерных вычислительных систем

Кластер - это множество компьютеров, связанных высокоскоростными каналами связи, функционирующих как единая система. По существу, кластер образуется из отдельных компьютеров, имеющих процессор, память (оперативную и внешнюю), подсистему ввода/вывода, операционную систему и т.п. При объединении компьютеров поддерживаются межкомпьютерные коммуникации, осуществляемые путем передачи сообщений. Компьютеры, входящие в состав кластера, принято называть узлами кластера. К общим требованиям, предъявляемым к кластерным системам, относятся: высокая готовность; высокое быстродействие; масштабирование; общий доступ к ресурсам и удобство обслуживания. В настоящее время распространены несколько типов систем высокой готовности. При этом кластерные системы реализуют технологии, обеспечивающие высокий уровень отказоустойчивости при самой низкой стоимости. Отказоустойчивость кластера обеспечивается дублированием жизненно важных компонент. При построении систем высокой готовности, главная цель - обеспечить минимальное время простоя.

Обеспечение максимальной надежности осуществляется путем использования электронных компонент высокой и сверхвысокой интеграции, поддержания нормальных режимов работы. Отказоустойчивость обеспечивается путем использования специализированных компонент (ECC, Chip Kill модули памяти, отказоустойчивые блоки питания, и т.п.), а также с помощью технологий кластеризации.

На основе кластеризации достигается такая схема функционирования, когда при отказе одного из компьютеров задачи перераспределяются между другими узлами кластера, которые функционируют исправно. Одной из важнейших задач

производителей кластерного программного обеспечения является обеспечение минимального времени восстановления системы в случае сбоя, так как отказоустойчивость системы нужна именно для минимизации внепланового простоя.

Удобство в обслуживании служит уменьшению плановых простоев (например, замены вышедшего из строя оборудования) и является одним из важнейших параметров систем высокой готовности. И если система не разрешает заменять компоненты без выключения всего комплекса, то ее коэффициент готовности уменьшается.

На рис. 1.1 приведена типовая схема двухузлового кластера высокой готовности с общим дисковым хранилищем, подключенным непосредственно к узлам кластера.

* • * * *

С

Локальная сеть

о

Кластер

Виу-реи»'ЯЯ

служебная сеть

о

Узел 1

Узел 2

Оттоволинш канал Ошовопаши>|й канал

Общее хранилище

Рис. 1.1. Типовая схема двух узлового кластера высокой готовности

Отказоустойчивые кластеры разделяют на 3 основных типа: С холодным резервом или активный/пассивный. Активный узел выполняет запросы, а пассивный ждет его отказа и включается в работу, когда таковой произойдет. Пример - резервные сетевые соединения, в частности, алгоритм связующего дерева. Например, связка DRBD и Неа11:Веа1/Со1шупс.

С горячим резервом или активный/активный. Все узлы выполняют запросы, в случае отказа одного нагрузка перераспределяется между оставшимися. То есть кластер распределения нагрузки с поддержкой перераспределения запросов при отказе. Используют практически все кластерные технологии, например, Microsoft Cluster Server. OpenSource проект OpenMosix.

С модульной избыточностью. Применяется в случае, когда простой системы недопустим. Все узлы одновременно выполняют один и тот же запрос (так, что результат достижим и при отказе любого узла), из результатов берется любой. Необходимо гарантировать, чтобы результаты разных узлов были одинаковы (различия не повлияют на дальнейшую работу).

При проектировании и эксплуатации кластерных вычислительных систем важным является прогнозный расчет характеристик их надежности путем моделирования [8], [10], [76], [77], а также возможность уточнения этих характеристик при их эксплуатации на основе использования средств мониторинга

[1], [4].

Надежности отдельно стоящих серверов сегодня недостаточно для поддержки работы таких часто используемых в настоящее время приложений, как системы онлайновой обработки транзакций, электронной коммерции, СУБД, хранилища данных и системы документооборота. Отдельные сервера имеют невысокий уровень отказоустойчивости (не более 99%). Это означает, что около четырех дней в году информационная структура предприятия будет неработоспособна. Что может повлечь за собой не только серьезный убыток, связанный с потерей прибыли, но и банкротство компании. По данным на 2012 год около 3 процентов компаний банкротятся в течении года, если их ЦОД был в неработоспособном состоянии в течении 10 и более дней.

Дорогие высоконадежные вычислительные системы - кластеры -обеспечивают надежность до 99,999%. Этого уже вполне достаточно, так как простои здесь составляют не более 5 минут в год. Данный тип систем характеризуется повышенными, хотя и оправданными, расходами на поддержку и установку и требует

специально обученного персонала. Их нельзя приобрести в готовом исполнении, и предлагаются они как индивидуально настраиваемые решения.

При построении систем высокой готовности, главная цель - обеспечить минимальное время простоя. С точки зрения теории надежности, это значит, что нужно стремиться максимально увеличить основную характеристику системы -коэффициент готовности. Готовность системы к использованию - показатель ее надежности - это вероятность того, что система в данный момент времени находится в работоспособном состоянии и может быть выражена через отношение длительности работоспособного состояния системы к длительности всего рабочего периода (коэффициент готовности К).

Выделяют четыре уровня надежности систем:

- обычная (К =99% или простой около 4 дней в году);

- высокой надежности (К =99,9% или простой около 0,5 дней в году);

- отказоустойчивая (К =99,99% или простой около 1 часа в год);

- безотказная (К =99,999% или простой около 5 мин в год).

Отказоустойчивость обеспечивается путем использования специализированных

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Проурзин Олег Владимирович, 2019 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Cai K.-Y., Caob. P., Dongc. Z., Liu. K. Mathematical modeling of software reliability testing with imperfect debugging /K.-Y.Cai,P. Caob., Z. Dongc, K. Liu //Computers and Mathematics with Applications. —2010.—vol. 59, No. 10.—Pp. 3245-3285.

2. Denson W. The history of reliability prediction / W. Denson //IEEE Transactions on Reliability. — 1998. — No. 47(3-SP). — Pp. 321-328

3. Harlamov B.P., Prourzin O.V.On an Interval of Faultless Work for a System ofTwo Independent Alternating Renewal Processes /B. P. Harlamov, O.V.Prourzin //Journal of Mathematical Science —2017.—vol. 225, issue 5. —p.818-832.

4. Jie M., Honlin Z., Wenbo X., Jin L. Reliability Testing Methods for Critical Information System based on State Random / M. Jie, Z. Honlin, X. Wenbo, L. Jin // International Conference on Information Communication and Management. — 2011.— vol.16.— Pp. 28-32.

5. Karanta I. Methods and problems of software reliability estimation / I. Karanta. — 2006. —Pp.60.

6. Lyu M.R., Mendiratta V.B. Software Fault Tolerance in a Clustered Architecture: Techniques and Reliability Modeling /M.R. Lyu, V. B. Mendiratta//1999 IEEE Aerospace Conference, Snowmass, Colorado. — 1999. —vol. 5. — Pp. 141-150.

7. Mendiratta V.B. Reliability Analysis of Clustered Computing Systems / V.B. Mendiratta //Proceedings of The Ninth International Symposium on Software Reliability Engineering. — 1998.—p. 268-272.

8. Min Xie, Kim-Leng Poh, Yuan-Shun Da. Computing System Reliability / Xie Min, Poh Kim-Leng, Da Yuan-Shun //Models and Analysis.— Kluwer Academic Publishers New York, Boston, Dordrecht, London, Moscow, 2004.— Pp. 308 p.

9. Ozkan, E. Optimal control of a two-server queueing system with failures / E. Ozkan, J. P. Kharoufeh // Probability in the Engineering and Informational Sciences. — 2014. — №28 (4).— pp. 489-527.

10. Shooman M. L. Reliability of Computer Systems and Networks/M. L. Shooman. — New York:Wiley, 2002— p. 546.

11. Аверьянов А. В. Оценивание надежности автоматизированных систем управления подготовкой и проведением пуска космического аппарата / А. В. Аверьянов // Известия высших учебных заведений. Приборостроение. — 2009. — Т. 52. — №4. — С. 41-50.

12. Аверьянов А. В., Барановский А. М., Эсаулов К. А. Определение пределов аппаратной избыточности информационных управляющих систем / А. В. Аверьянов, А. М. Барановский, К. А. Эсаулов //Известия высших учебных заведений. Приборостроение. — 2014. — Т. 57. — №. 3. — С. 38-45.

13. Андреев, A.M. Многопроцессорные вычислительные системы. Теоретический анализ, математические модели и применение / A.M. Андреев, Г.П. Можаров, В.В. Сюзев — М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2011. — 336с.

14. Арсеньев В. Н., Силантьев С. Б., Хомоненко А. Д., Ададуров С. Е. Определение вероятности выполнения задачи сложной системой при ограниченном объеме опытной информации / В. Н.Арсеньев, С. Б.Силантьев, А. Д. Хомоненко, С. Е Ададуров // XXI Международная конференция по мягким вычислениям и измерениям (SCM-2018). Сборникдокладов в 2-х томах. — 2018.—C. 43-46.

15. Байгузина, C. А., Харламов, Б. П. О выборе рационального режима использования резерва (несимметричный случай) / C. А. Байгузина, Б. П. Харламов // Сборник "Надежность технических систем". — 1992.— С. 3-33.

16. Байгузина, С. А., Харламов, Б. П. О выборе рационального режима использования резерва /С. А. Байгузина, Б. П. Харламов //Сборник "Надежность технических систем". — 1992. — С. 4-18.

17. Байхельт, Ф. Надежность и техническое обслуживание. Математический подход /Ф. Байхельт, П. Франкен.— М.: Радио и связь, 1988. —392 с.

18. Белиовская, Л. Г., Богомолов, Н. А., Ковалев, А. Д.Обработка карт изолиний двумерных функций / Л. Г.Белиовская,Н. А. Богомолов, А. Д.Ковалев // Вычислительные методы и программирование, т.1 — 2000. — С. 15-23.

19. Беллман, Р. Введение в теорию матриц/ Р.Беллман. — М.: Наука, 1976. — 335 с.

20. Богатырев В. А, Богатырев С. В. Объединение резервированных серверов в кластеры высоконадежной компьютерной системы / В. А.Богатырев, С. В. Богатырев // Информационные системы и технологии.— 2009. —№6. — С. 41 -47.

21. Богатырев В.А. Оценка надежности и оптимальное резервирование кластерных компьютерных систем / В.А. Богатырев // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. — 2006. — №10. — С. 18- 21.

22. Богатырев В.А., Кармановский Н.С., Попцова Н.А., Паршутина С.А., Воронина Д.А., Богатырев С.В. Имитационная модель поддержки проектирования инфокоммуникационных резервированных систем / В.А.Богатырев, Н.С. Кармановский,Н.А. Попцова,С.А. Паршутина, Д.А.Воронина., С.В. Богатырев // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. — 2016. — С. 20 - 35.

23. Бубнов В.П., Сафонов В.И. Разработка динамических моделей нестационарных систем обслуживания / В.П. Бубнов, В.И. Сафонов — СПб.: Изд-во «Лань», 1999. — 64с.

24. Валеев И. Н., Кирпичников А. П. Многоканальная система массового обслуживания с отказами / И. Н. Валеев, А. П. Кирпичников //Вестник Казанского технологического университета. — 2006. — №. 4. — С. 37 - 46.

25. Воеводин, В. В., Воеводин, Вл.В. Параллельные вычисления / В.В. Воеводин, Вл. В. Воеводин. —СПб.: БХВ-Петербург, 2002. — 602 с.

26. Гергель, В.П. Высокопроизводительные вычисления для многопроцессорных многоядерных систем / В.П. Гергель — М.: Издательство МГУ, 2010. — 544с.

27. Герцбах И. Б., Кордонский Х. Б. Модели отказов. Машиностроение, металлургия, теоретическая механика, сопромат / И. Б.Герцбах, Х. Б. Кордонский. — М.: Сов. Радио, 1966. —165с.

28. Гихман, И. И., Скороход, А. В. Теория случайных процессов / И. И. Гихман, А. В. Скороход. — М.: Наука, 1973.— 2 т.

29. Гнеденко Б.В., КоваленкоИ.Н. Введение в теорию массового обслуживания / Б.В. Гнеденко, И. Н. Коваленко. — М.: Наука,1987. — 324 с.

30. Гнеденко, Б. В. Курс теории вероятностей/ Б. В. Гнеденко. — М.: Наука, 1961.

— 488 с.

31. Гуров С. В. Анализ надежности технических систем с произвольными законами распределений отказов и восстановлений. Качество и надежность изделий / С. В. Гуров. — М.: Знание, 1992. — т. 2.

32. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование / С.М.Ермаков, Г.А. Михайлов.— М.: ФИЗМАТЛИТ, 1982.— 296 с.

33. Ильин Л. Н., Ушаков И. А.О надежности функционирования комплекса, состоящего из двух ЭВМ / Л. Н. Ильин, И. А.Ушаков //Надежность и контроль качества. — 1975. — №4.

34. Каяшев А.И., Рахман П.А., Шарипов М.И. Анализ показателей надежности избыточных дисковых массивов/ А.И.Каяшев, П.А.Рахман,М.И. Шарипов // Вестник УГАТУ. —2013. —Т. 17, № 2(55).—С. 163-170.

35. Кемени, Д., Снелл, Д. Конечные цепи Маркова/ Д.Кемени,Д. Снелл. — М.: Наука, 1970. —272с.

36. Климанов В. П. Принципы разработки кластеров на основе сетевых регулярных топологий для повышения надежности автоматизированных информационных систем в машиностроении / В. П. Климанов //Вестник МГТУ Станкин. — 2009.

— №. 3. — С. 87 - 96.

37. Климанов В. П., Ермаков А. А. Комплексная оценка надежности сетевого кластера / В. П.Климанов,А. А. Ермаков // Журнал «Известия ОрелГТУ». — 2008.—№ 1-4 / 269(544) — С. 201 -207.

38. Ковальков Д. А. Математические модели оценки надежности мультисервисного узла доступа / Ковальков Д. А. //Радиотехнические и телекоммуникационные системы. — 2011. — №. 2.— С. 64 -71.

39. Кокс Д., Смит В.Теория восстановления / Д. Кокс, В. Смит. — М.: Сов. Радио, 1967. — 299с.

40. Колмогоров, А. Н., Фомин, С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. / А. Н. Колмогоров,С. В. Фомин. — М.: Наука, 1976. — 496с.

41. Корлат, А. Н., Кузнецов, В. Н., Новиков, М. М. Турбин, А. Ф. Полумарковские модели восстанавливаемых систем и систем массового обслуживания/ А. Н.Корлат, В. Н. Кузнецов, М. М. Новиков, А. Ф Турбин. — Кишинев: Штиинца, 1991.— 275с.

42. Королюк, В. С. Процессы марковского восстановления в задачах надежности систем / В. С. Королюк, А. Ф. Турбин. — К.: Наук. думка, 1982. — 236 с.

43. Королюк, В. С., Турбин, А. Ф. Полумарковские процессы и их приложения / В. С. Королюк,А. Ф. Турбин. — Киев: Наукова думка, 1976. — 184с.

44. Кукушкин О. Н. Модель эксплуатационной надежности разветвленных технологических линий / О. Н. Кукушкин // Системные технологии. — 2013. — №4(87) — С. 174 -179.

45. Михайлов Л. Н., К вопросу надежности многоканальных систем с непрерывным обслуживанием / Л. Н. Михайлов //Автомат. и телемех.— т. 23,№11.— 1962.— С.1527-1535.

46. Малых, Н. П. Савинов, Л. В. Оценка и управление уровнями запасов газодинамической устойчивости турбокомпрессоров / Н. П. Малых, Л. В. Савинов // Надежность технических систем.— 1992. — С. 61-72.

47. Марков А. С. Нечеткая модель оценки надежности и безопасности функционирования программного обеспечения по результатам испытаний / А. С.Марков // Вестник МГТУ им Баумана. — 2011. — С. 146 -151.

48. Никифоров С.Д. Система параметров светодиодов электрические, фотометрические, спектральные (колориметрические) и энергетические характеристики / С.Д.Никифоров // Полупроводниковая светотехника. — 2011. — Т. 5, № 13. — С. 16 -27.

49. Новиков А. Н., Смагин В. А. Модель готовности восстанавливаемой технической системы с учетом достоверности контроля состояния ее элементов при произвольных распределениях времени до их отказа и восстановления/ А. Н. Новиков,В. А. Смагин // Журнал "Труды Военно-космической академии им. А. Ф. Можайского". — 2016. — №652. — С. 198 -203.

50. Периберин, А. В. Построение изолиний с автоматическим масштабированием /

A. В. Периберин // Вычислительные методы и программирование. — 2001. — Т. 2. — С. 22 - 32.

51. Половко А.М., Гуров С. В. Основы теории надежности, 2-е издание / А.М. Половко, С. В. Гуров. — СПб.:БХВ-Петербург, 2006. —С. 704.

52. Прейс В. В., Ядыкин Е. А. Теоретические основы надежности и технического диагностирования многоканальных технологических систем роторных машин /

B. В. Прейс,Е. А. Ядыкин. — Издательство: Тульский государственный университет,2005. — с.72

53. Проурзин О. В., Харламов, Б. П.Графический анализ имитированных данных / О. В. Проурзин, Б. П.Харламов // Материалы пятой международной конференции «актуальные проблемы архитектуры и строительства». — 2013. — Ч. 4.— С. 387 - 391.

54. Проурзин, О. В. Алгоритм построения изолиний методом пошаговой интерполяции и поворота / О. В.Проурзин // Актуальные проблемы современного строительства: материалы 64-ой международной научно-

технической конференции молодых ученых, посвященной 300-летию М. В. Ломоносова. — 2011. — С. 97 - 102.

55. Проурзин, О. В. Коэффициент готовности системы с двумя взаимозаменяемыми агрегатами / О. В.Проурзин // Актуальные проблемы экономики и управления в строительстве: материалы международной научно-практической конференции студентов, аспирантов, молодых ученых и докторантов. — 2012. — С. 77 - 83.

56. Проурзин, О. В. Оптимизированный алгоритм построения линии уровня методом пошаговой интерполяции и его программная реализация / О. ВПроурзин // Вестник гражданских инженеров. —2012. — № 2 (31).— С. 343349.

57. Расова С. С., Харламов Б. П. Эффективность двухканальной системы с перестройками и страхованием //Автоматика и телемеханика. — 2018. — №. 4.

— С. 46 - 64.

58. Расова, С. С., Харламов, Б. П.Задачи по минимизации потерь при наблюдении за опасностью отказа / С. С.Расова, Б. П. Харламов // Моделирование и анализ безопасности и риска в сложных системах. — 2008. — С. 429 - 434.

59. Расова, С. С., Харламов, Б. П. Полумарковская модель деградации и задачи надежности / С. С. Расова, Б. П.Харламов// Вестник СПбГУ. — 2007. — №4 (10)

— С. 65 -75.

60. Рахман П.А. Модель надежности двухузлового кластера высокой готовности [Электронный ресурс]/ П.А. Рахман // Б^Тг^.Библиотека.ШетаЬ.—2014.— Режим доступа: https://bugtraq.ru/librarv/internals/dualnodecluster.html.

61. Северцев Н.А. Надежность сложных систем в эксплуатации и отработке / Н.А.Северцев. — М.: Высшая школа,1989. — 432с.

62. Сильянов Н. В. Вычислители разработки фгуп" ФНПЦ НИИИС им. Ю.Е. Седакова"/Н. В. Сильянов // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. — 2017. — №. 11. — 148с.

63. Смагин В. А. Основы теории надежности программного обеспечения / В. А. Смагин. — СПб.:ВКА им. А. Ф. Можайского, 2009. —С. 355.

64. Тырва А. В., Хомоненко А. Д., Бубнов В.П. Модели надежности программного обеспечения / А. В. Тырва, А. Д. Хомоненко, В.П. Бубнов— СПб: ПГУПС, 2010. —40 с.

65. Уткин Л. В., Шубинский И. Б. Нетрадиционные методы оценки надежности информационных систем / Л. В. Уткин, И. Б. Шубинский. — СПб.: Любавич, 2000. — 173 с.

66. Ушаков, И. А. О вычислении среднего стационарного времени пребывания полумарковского процесса в подмножестве состояний / И. А. Ушаков // Изв. АН СССР. Сер. Техн. кибернетика. — 1969. — № 4. — С. 62-65.

67. Феллер, В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения / В. Феллер. — М.: Мир, 1964. — 511с.

68. Харламов Б. П. Оптимальный режим обслуживания системы с наблюдаемой опасностью отказа / Б. П. Харламов //Автоматика и телемеханика.— 1998. — №4. — С. 117 - 134.

69. Харламов, Б. П. Непрерывные полумарковские процессы / Б. П. Харламов.— СПб.: Наука, 2001. — 418 с.

70. Харламов, Б. П. Случайные процессы: учебное пособие / Б. П. Харламов.— СПб.:СПбГАСУ, 2015. — С. 127.

71. Харламов, Б. П., Проурзин, О. В. Вычисление коэффициента готовности для системы двух взаимозаменяемых агрегатов / Б. П. Харламов, О. В. Проурзин// Вестник гражданских инженеров. — 2012. — № 4 (33). — С. 251-259.

72. Харламов, Б. П., Проурзин, О. В. Коэффициент готовности системы с двумя взаимозаменяемыми агрегатами / Б. П. Харламов, О. В. Проурзин // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. — 2012. — С. 83-101.

73. Харламов, Б. П., Проурзин, О. В. Об интервале безотказной работы для системы из двух независимых альтернирующих процессов восстановления / Б. П. Харламов, О. В. Проурзин //Записки научных семинаров ПОМИ. — 2015. — Том № 442. — С. 143 - 165.

74. Хомоненко А. Д., Благовещенская Е. А., Проурзин О. В., Андрук А. А. Прогноз надежности кластерных вычислительных систем с помощью полумарковских моделей альтернирующих процессов и мониторинга / А. Д. Хомоненко, Е. А. Благовещенская, О. В. Проурзин, А. А. Андрук // Наукоемкие технологии в космических исследованиях земли. — 2018. — № 4. — С. 139 - 149.

75. Хомоненко А.Д. Численные методы анализа систем и сетей массового обслуживания/ А.Д.Хомоненко.— Л.: Министерство обороны СССР, 1991. — 196 с.

76. Черкесов Г. Н. Надежность аппаратно-программных комплексов / Г. Н.Черкесов. — СПб.: Питер, 2005. —479 с.

77. Черкесов Г. Н.Оценка надежности систем с учетом ЗИП: учебное пособие /Г. Н. Черкесов. — СПб.: БХВ-Петербург, 2012. — 480 с.

78. Швыряев Ю. В., Морозов В.Б., Токмачев Г. В., Байкова Е. В., Чулухадзе В.Р., Федулов М.В. Использование вероятностного анализа при обосновании безопасности АЭС-2006, проектируемой для площадки Нововоронежской АЭС / Ю. В. Швыряев,В.Б. Морозов, Г. В. Токмачев, Е. В. Байкова, В.Р. Чулухадзе, М.В. Федулов //Атомная энергия. — 2009.— Т. 106. — №3. — С. 123 -129

79. Шуренков, В. М.Эргодические процессы Маркова / В. М.Шуренков. — M.: Наука, 1989. — 336 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ А

БАЗОВЫЕ ТЕОРЕМЫ

П.1.Теорема 1 (основная теорема). Раздел 1.

Для двух независимых альтернирующих процессов восстановления, каждый из которых имеет в качестве одного из своих состояний w и задан абсолютно непрерывными распределениями длин своих интервалов, с вероятностью 1 существует момент t > 0, когда как первый, так и второй процессы находятся в состоянии w.

Доказательство. Известно, что для альтернирующего процесса восстановления Х(£) расширенный процесс (Х(£),Ьх(£)) является однородным марковским процессом [2], где Ьх(€) = 1 — - обратное время восстановления, N(1)- число моментов скачков процесса Х(1) в интервале [0,1], тп(п = 0,1,2,...) - момент п-го скачка. Аналогично определим процесс (У(£),Ьу(£)). Тогда система независимых процессов [(Х(1),Ьх(1)),(У(1),1у(^)] также является марковским процессом в соответствующем пространстве состояний. С другой стороны, из теории восстановления следует, что одномерное распределение каждой такой пары сходится к некоторому предельному распределению с положительными вероятностями для каждого из двух основных состояний. Для нас достаточно рассмотреть марковскую цепь - значения этого четырёхмерного процесса в точках последовательности где ^ = кк(к > 1) при некотором к > 0. Ясно, что предельное одномерное распределение двух независимых процессов является композицией двух предельных одномерных распределений компонент. Из того, что это распределение имеет положительное значение на множестве векторов, где первые координаты каждой пары векторов равны w, заключаем, что данная марковская цепь попадает в состояние вида

(Х(= х, У^к) = х) бесконечное число раз [79]. Отсюда следует, что момент достижения этого состояния конечен с вероятностью, равной 1. □

Теорема 2. Раздел2. Справедливы представления

PW(Bl(t))= I hа(x)Fw(t х) (х,

0

уX

Р1(В2(1))= I hа(х) Fw(Аа) (х,

- Аа

Рх(Вз(*)) = I hа(х)(FW(t -X)- FW(Аа) (X,

- Аа

г-Аъ

РГх(С\(1))= I ^(х) йх^-х) (х,

0

РУх(С2(1))= I ^(х) Сх(Аъ) (х,

х(^2(Ч) = ] 11Ъ(х) их

- А ъ

лУ

Р¥х(СзЮ) = I Ь(х)(Сх(1 -х)- йх(Аъ) (х,

- Аъ

Доказательство. Имеем по доказанному ранее

^Аа

РХ(Вт1(0) = РХ(1Наш1+Аа < £ < 1Нат1 + Мт+1)1) = I к^^х^ - х) (х,

0

где ка (х) = / * f и ккт (х)-m-кратная свёртка функции ка (х). Откуда следует первое представление. Далее

РХ(Вт2(0) = РХ(1Нат1 < t < 1Нат1+Аа < 1Нат1 + Ых(т+1)1) =

= I к(™\хУ„(Аа) (х,

*-Аа

откуда следует второе представление. Далее

Р^(ВтзО)) = Р1(\Нат\ < г < \Нат\ + \аю(т+1)\< \Нат\ + Аа) =

[ кОТ)(х) (1„(1 -х)- ЫАо)) Лх,

откуда следует третье представление. □

Теорема 3. Раздел 2.

Справедливы представления

го

= I д^0 + 11 +

а

( а

№*(*)= 1 £Гс(*0 + *1 + №+а1)Л1,д(»Ю =

ьс(£0) 0

__го

) Г , ^ , . ,

РгЫ 1 ' 2

I /х&0 + *1 + ф+(ь) агъ

[ /с(*0 + *1 + *)Жь)М1.

, 0 РсШ I

где обозначено = ка * ^ = кь * ды.

Доказательство. Определим интегралом ¡Ч^^^о^) ^ =

т

\ + \аю(т+1)\ < \Ъ2(1)\-10< \Нат\ + \аю(т + 1)\ +

гк ° т=0

+ \аг(т + 1)\,\Ъг(1)\ (\Нат\ + \а*,(т + 1)\) < 0 =

от т

X I [к0П) * М(х)Р^о(х <\Ъг(1)\-1о<

г( о) т=0

т=0 о

*-Аа

со

ОТ 00

< х + 1а2(т + 1)1,1Ь2(1)1 -ь0-х<£)(Ьс = =— У I [к^ * ^](х) X

| 9г(у) Рыгх0(у <х + Ц + а2(т + 1)) йу йх =

т=0 о х+10+1

0

От от x+to + t

1 \ I Г 1 ( МЬ I

*

С2П0)

0 т=0

У |[кат)*/ш](х) | д2(у) Е2(у - х - йу йх =

т=0 0 х+г0

от С

= - ч I [Ьа * и](х) I дг(^0 +х + Б) Т2(б) ¿Б йх. 2К 0 0 0 Дифференцируя по £ и меняя порядок множителей под знаком интеграла,

получаем

€1„(с)=Щ Сд^о + 4 + 12)[На*Г„]Ы 411.

Остальные представления выводятся аналогично. □

Теорема 4. Раздел 2.

Справедливы представления

Р^10(В1) = £ка(х) ¡АХ^О + х + *) ^ йх, (А.1) Р^0(В2) = £ка(х) ¡оад2;(о + х + 5) ~РШ(АЬ) йх, (А.2) Р%0(Вз) = ¡о Ьа(х) С + х + Б) (р^) - Р^(Аь)) ¿5 ах, (А.3)

(1)

%о(с2)=5;ьъ(х) ¡о Р™,ь0(сз) = С Ьъ(х) ¡0Аъ/г,Соао + х + 5) (СпЮ - С„(Аъ)) йх, (А.6) ,(1) тл- г^-л г° л

Р^(С1) = 0 Ьъ(х) ¡АОГ^о + х + 5) с„(8) йз йх, (А.4)

Р%0(С2) = ¡о00 Нъ(х) í0АЪfz,to(tо + хх + 5) Сш(Аъ) йх, (А.5)

РшЪ0(В1) = ¡0ка(х) ¡Аадс,ь(о + х + 5) Р^з) йз йх, (А.7)

Р^0(В2) = ¡00Ьа(х) ¡Аадс^о + х + Ю Рш(Аъ) йх, (А.8)

= îoha(x) ïoagc,to(to + x + s)(Fw(s)-Fw(Ab)) dsdx,(A.9) P?J,tSCi) = A hb(x) Qc to(t0 + x + s) Gw(s) ds dx, (А.10)

V^,t0(C2) = 0 hb(x) f0Ab fCitQ(t0 + x + s) Gw(Ab) ds dx, (А.11) V^,t0(C3) = 0 hb(x) jAAbfc,0(t0 + x + s) (Gw(s) - Gw(Ab)) ds dx. (А.12)

Доказательство. Имеем

i

I P^(Brnl(\bZ(1)l-tA)) =

Gz\J-A) £=A

œ

œ

1

, I PWzilHaml+Aa< lbz(1)l-t0<IHaml + law(m+1)1) = Gz(t0) ^

zv 0J m=0

m=

œœ

= f ha(x) f gz,t0(to +x +s) Fw(s) ds dx.

0 Aa

Имеем

1

0^=7^ I Р^(Вт2(И>Ш-СА)) =

Gz(tA) m=A

œ

œ

1œ

ч I Pwz(IHaml < lbz(1)l-to < Hml + Aa < Hml + Mm+1)) =

Gz(t0) ^

z 0 m=0

œ Aa

= f ha(x) f gz,t0(to + x +s) Fw(Aa) ds dx. 00

Имеем

œ

Р»1о(Вз)=7Г^ I P^(Bm3(lbz(1)l-tA)) =

Gz(tA) m=A

œ

1œ

ч I Pwz(IHaml<lbz(1)l-to<IHaml + law(m + 1)l<Ham+Aa) =

Gz(t0) ^

z 0 m=0

Аг

| hа(х) |

3z,to(to + x + s) (Fw(s) - Fw(Aa)) ds dx

= )К

0 0

Представления (А.4), (А.5), (А.6) доказываются по принципу симметрии относительно (А.1), (А.2), (А.3). Представления (А.7), (А.8), (А.9), (А.10), (А.11), (А.12) получаются из предыдущих шести путём замены соответствующих нижних

индексовг на с.

Теорема 5. Раздел 2.

Справедливы интегральные уравнения

vwz,tom=р*Илв)+Сdt с = 123).

wz,t0

,-œ

W 4wz,t0(

zw, t y

P^ù = Ç 4%0(t)PwZ,t(B') dt « = 12

Pwc.,SBd=pWL(Bô+s0:éWL(^w,,(Bd dt (i = i,2,3),

wc,t0

r<X

'0 4wc,t0(

w,

Pcw,tQ(Bi) = 0 q"Wt0(ï)Pwz,t(Zi) (i = 12 3).

Га(1)

'0 4wz,t0

,(1)

С W. 10

- „(1)

PwvSCÙ = + çq^(t)pw(Ct) dt (i = 1,2.3).

р^О-^Ч^ЮР*^) dt (i = 1,2,3),

PwZ,tSCi) = pWl,0(c)+C€l0(t')P™.t(c)dt (i = 1,2-3ï,

PwtSC) = fo€L(t)P*z,t(ci) dt a = 1,2,з).

□

(A.13 (A.14 (A.15 (A.16 (A.17 (A.18 (A.19 (A.20

00

Доказательство. Суммируя уравнение (2.12) от 0 до œ, получаем

œ œ

P*ztSBà = pWkW + Ц ч*Ъ,(Ф%>(ВО dt-

k=1 0

Меняя порядок суммирования и интегрирования и используя формулу (1.39) получаем формулу (A.13).

Суммируя уравнение (2.13) от 1 до œ, получаем

œœ

= ZI ч^^Лв) dt-

k=1 0

Меняя порядок суммирования и интегрирования и используя формулу (1.38) получаем формулу (А.14). Остальные формулы доказываются аналогично.

Теорема 6. Раздел 2.

1) Для любой строки матрицы переходных вероятностей большой марковской цепи сумма элементов равна 1.

2) Для любого начального состояния £ Е { шг,гш, \\с, с\\} и для любого конечного состояния 5 Е { Вг, В2,В3,С1.С2,С3] существует предел

N к=1

Доказательство.

1) События: столкновение на к-ом шаге (1 < к < ^и отсутствие столкновения до ^го шага включительно, несовместимы и образуют полную группу событий. Следовательно

N

£ р(к)(в и с) + я(Ю = 1.

к=1

где В = В1иВ2иВ3иС = С1иС2иС3, а также = д г.

По теореме 1,

N

£ р(к)(В и С) ^1. к=1

2) Отсюда q(N ^ 0(N ^ ю) и, кроме того, существуют пределы неубывающих последовательностей

N т

£ p(2k-1)(S) ^ £ p(k)(S) (N ^ ю), k=1 k=1 если (Z Е { wz, wc] и S Е [Въ В2, В3}) или (Z Е [zw, cw] и S Е [Съ С2, С3}), где чётные члены суммируемой последовательности равны нулю, и

N т

к=1 к=1

если (Z Е { wz, wc] и S Е [Съ С2, С3]) или (Z Е [zw, cw] и S Е [Въ В2, В3]), где нечётные члены суммируемой последовательности равны нулю. Теорема 7. Раздел 2. Справедливы интегральные уравнения:

Pw,^ = р%аВ+CqZ^PwuVd dt (i = 1,2, |,3),(А_21)

Р^ЛВд = р(11ш + С q^Mp^d dt (I = 1,2, |,3),(A.22)

1V

£p(2k\S)^£p(k\S) (N^ю),

zw,^zw,lJ J0 4zw,J^zw,ty

Pw,ta(Cd = Р%а(С) + dt (l =1,2l,3),(A-23)

р^о(°>) = Р™.<о(С')+fiq^vp*.*™dt « = ^ i,3),(A-24)

zw, toV lJ ^zw, toV lJ J0 4Zw, to Jt^zw

а также справедливы представления

q^ztSt) = =4^ [ 9z(to + h + t2) h+(ti) f (t2 + t3 + t) h+fa) dtidt2dt3,

wZ,C0 CrJtn) J Z Z

Gz(to) R'3

+

q(2t (t) = [ f(o + h + t2) h+(t{) gz(t2 + t3 + t) И+(1з) dtidt2dt3>.

FziW Д

Доказательство

Система уравнений из теоремы 7 распадается на 3 самостоятельные подсистемы относительно пар неизвестных функций. Подсистема первая - уравнения (A.13), (A.14). Подсистема вторая - уравнения (A.17), (A.18). Подсистема третья - остальные

уравнения. Подставляя одно уравнение первой подсистемы в другое, получаем уравнения (А.21), (А.22). Подставляя одно уравнение второй подсистемы в другое, получаем уравнения (А.23), А.(24).

Представления вторых итераций переходных вероятностей малой марковской цепи следует из Теоремы 3. □

Заметим, что уравнения третьей подсистемы (А.15), (А.16), (А.19), (А.20) невозможно перевести в состояние, когда одно уравнение содержит одну неизвестную функцию. Это следует из принятого правила замен, когда интервал профилактики допускается только в начале большого марковского цикла. □

Теорема 8. Раздел 2.

Рассмотрим систему, в которой времена ремонта и профилактики распределены экспоненциально с показателями аг, ас, р , р для первого и второго агрегата соответственно. Для такой системы справедливы представления при I = 1,2,3

р^вд^^ (А.25)

Р„(Вд=р-т> (А.26)

Pwz(cд=l—m, (А.27)

1 ч

Р„(Сд=р-& (А28)

Р„Лвд = ГТШ, (А.29)

1 ч\нс

РсЛвд=р-Ш' (А.30)

1 ч

см

р(2)(С)

Р^'р^т (А31)

рслс)=рр?Ш, (А.32)

1 чси>

где при I = 1,2,3 109

а также

р(2)(Б) = 0, р(2ХБд = ч(1) р(1)(вд,

г шг V ' г 2м 4 1-> 1 гш г шг к '

р^ы-о, р%(Бд=<ч®Р®т

р(2)(С1) = о, р(2)(С1) = ч(1) рт(Сд,

ш ш ш ш

р(3(сд = о, рШХсд = ч<£р$(Сд,

Аа

РШ1(Б2) = I е~^Рш(Аа) СЬ,

0

А

а

Р$(Бз) = РАЮ I е-^шЮ-ЫЛа)) С8,

о

т

рШ}(Б1) = РМЮ I ССБ,

ш

Ла Ла

р$(Б2) = РМЮ I е-^Рш(Ла) С8,

ш

о

Л а

РШХБз) = РМЮ I е-^(Рш(*)-Рш(Ла)) С8,

о

Р{1(Бд=Р{1(Бд = 0 (¿ = 1,2,3),

т

РЦЩКСг) = аг^ь(а2) I е^вш^) СБ,

лъ

Л

ъ

р(1Щ>(С2) = агкь(аг) I е-а^Сш(Ла) Сз,

о

Л ъ

рЦ(Сз) = а2къ(а2) I е-а5(Сш(5) - Сш(Лъ)) Сз,

о

р($(С1) = аскъ(ас) I е-^Сш(з) Сз,

Л

т

АЬ

Р1(С2) = ас11Ь(ас) | е-^Сш(Аь) (к,

о

Аь

,-a.es I

рСЦ(С3) = аскь(ас) I е-^(Сш(5) - С„(АЬ)) аз,

0

Р®(Сд=р(П(Сд = 0 (¿ = 1,2,3),

юг^ ¿' г тс

кроме того

п(2) = п(2) = п(1)ц(1), а(2) = ц(1)ц(1), а(2) = аО-Ы1),

"юг "гю "юг™ гю' "юс "юс" гю' "сю "сю "юг'

а также

ПЙ = Ъ+а(в2)(1 - 1Ж)> ПЦ) = Ь+ь(аг)(1 - д^),

= Ь+а(вс)(1-ТЖ), пс1) = П+а(ас)(1-д)(ас).

Доказательство. Начнём с доказательства последних утверждений. Из теоремы 3 следует

00 = 1,(1) КЖ),

где для любого Л и любой интегрируемой функции ((£) принято обозначение ф(Л) для лапласова образа (с параметром Л) функции (( В частности,

го го

00 Интегрирование по t доказывает формулу для Остальные формулы для

= юс, сю) доказываются аналогично.

Формулы для д(2) следуют из определения второй итерации вероятности перехода в малой марковской цепи.

Доказательство формул для плотностей вероятностей выхода на первом шаге рследует из теоремы 4. Далее, из системы интегральных уравнений (теорема 7)

получаем систему алгебраических уравнений, в частности, следующие два уравнения образуют систему алгебраических уравнений, легко решаемую методом подстановки,

Ршг(Бд=Р{1(Бд + €>ш(Бд р (Б Л = а(1)р (Б)

ш ш ш

Отсюда следуют представления (А.25) и (А.26). Остальные формулы доказываются аналогично.

Теорема 9. Раздел 2.

Для любого г из множества возможных значений 1 вложенной марковской цепи (т. е. из множества возможных значений 1(Тп)) с ^-вероятностью единица 1 г1 1 ГТ1

- I Г(г5) сСЗ ^-¡^г- Е п I Г(Ц) Сз (I ^ т),

1 Jо Е пТ 1 Jо

где для любой интегрируемой функции д величина Е пд означает п2Е2д,

где п = (п2) (г Е 1'~) стационарное распределение вложенной марковской цепи, Ег -

символ математического ожидания относительно вероятностной меры Р2.

Доказательство. Данная теорема доказана вкниге [79] . □

ПРИЛОЖЕНИЕ В

ИСХОДНЫЙ КОД ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА «ПОСТРОЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ РАБОТЫ ДВУХКАНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ С ХОЛОДНЫМ РЕЗЕРВОМ»

unit Isoline;

{главныймодуль}

interface

uses

Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms, Dialogs, StdCtrls, TeEngine, Series, ExtCtrls, TeeProcs, Chart, ArrowCha, Unit6, Unit7,Unit8,TeeShape, ComCtrls; type

Vector = array [1..2]of real;

DLine = array of Vector;

TForm1 = class(TForm)

Chart1: TChart;

Panel1: TPanel;

Label1: TLabel;

Label2: TLabel;

ButtonRun: TButton;

EditX0: TEdit;