Модель высокоскоростного затвердевания в проблеме неравновесных фазовых переходов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, доктор физико-математических наук Галенко, Петр Константинович

• Галенко, Петр Константинович
• доктор физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Галенко, Петр Константинович

Введение

1 Проблема неравновесных фазовых переходов

1.1 Предыстория проблемы.

1.2 Описание системы.

1.2.1 Термодинамические переменные.

1.2.2 Время релаксации.

1.3 Энтропийное описание.

1.3.1 Обобщенное уравнение Гиббса.

1.3.2 Баланс энтроиии.

1.4 Гиперболическая модель фазового поля.

1.4.1 Функционал энтропии.

1.4.2 Определяющие уравнения и термодинамическая согласованность.

1.5 Обобщенная модель фазового поля.

1.5.1 Релаксационные функции для потоков.

1.5.2 Вариационный принцип и уравнения Лагранжа-Эйлера

1.6 Сопоставление с существующими моделями.

1.7 Краткие выводы и постановка задач исследования.

2 Модели высокоскоростных превращений

2.1 Модели резкой границы.

2.1.1 Задача о движении свободной границы.

2.1.2 Метод граничного интеграла.

2.2 Модели диффузной границы.

2.2.1 Модель фазового поля.

2.2.2 Модель двухфазной среды

2.3 Краткие выводы.

3 Модель высокоскоростного затвердевания

3.1 Отклонение от локального равновесия и уравнения переноса

3.1.1 Неравновесный захват примеси.

3.1.2 Кинетический ликвидус.

3.2 Режимы движения границ.

3.2.1 Динамическая устойчивость.

3.2.2 Морфологическая устойчивосгь

3.3 Формы роста кристаллов.

3.4 Модель дендритного затвердевания.

3.5 Краткие выводы.

4 Кинетика высокоскоростного затвердевания

4.1 Сопоставление модельных предсказаний с экспериментом

4.1.1 Затвердевание с плоской границей фаз

4.1.2 Затвердевание с дендритной границей фаз.

4.1.3 Многофазное затвердевание.

4.2 Эффекты, влияющие на формирование структуры и кинетику затвердевания.

4.2.1 Отбор структуры.

4.2.2 Влияние конвекции и малых концентраций примеси

4.3 Морфологические переходы.

4.4 Бездиффузионный рост.

4.5 Краткие выводы.

5 Моделирование структуры материалов

5.1 Структурообразование из переохлажденного состояния

5.1.1 Плавление и затвердевание капель при электромагнитной левитации.

5.1.2 Плавление и затвердевание при диффузионной спайке

5.2 Структурообразование при направленном затвердевании

5.2.1 Перекристаллизация при лазерной закалке.

5.2.2 Затвердевание при закалке из жидкого состояния меюдом спиннингования

5.3 Краткие выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модель высокоскоростного затвердевания в проблеме неравновесных фазовых переходов»

Теория фазовых переходов [1-3] сформулирована для неравновесных систем вблизи термодинамического равновесия. Существующее обобщение теории, выполненное, например, с использованием суперсимметричной теории поля [4], также рассматривает эволюцию систем, находящихся в локальном равновесии [5].

В течение последних трех десятилетий накоплен обширный экспериментальный материал по высокоскоростным фазовым переходам, из которого следует, что многие метастабильные системы имеют способность претерпевать превращения вдали от термодинамического равновесия, когда нарушаются условия локального равновесия в сисгеме. Например, поведение сложной (пылевой) плазмы характеризуется локально-неравновесными условиями [6]. Поверхностные осцилляции квантовых кристаллов [7] или кристаллизационные волны в гелие [8] могут быть описаны моделью с релаксацией параметра порядка к локальному равновесию [9]. Спинодальный распад при интенсивной закалке может быть описан моделью с релаксацией системы к локальному термодинамическому равновесию [10].

Для описания локально-неравновесных систем используется формализм расширенной термодинамики необратимых процессов [11]. Он устанавливает связь феноменологического и микроскопического описания локально-неравновесных систем. Формализм [11] имеет приложения в разделах физики гомогенных твердых и вязко-упругих сред, физики полимеров, в космологических задачах и химической кинетике. В настоящее время существует проблема самосогласованного описаиия сильно неравновесных фазовых превращений в рамках термодинамической теории необратимых процессов.

Характерным примером фазовых переходов в локально-неравновесных средах является высокоскоростное затвердевание металлических систем и сплавов. В современных экспериментах достигаются переохлаждения до 450 К и скорости роста до 100 м/с [12]. Такие переохлаждения являются движущей силой затвердевания, обеспечивая высокие скорости роста кристаллов. Поэтому была сформулирована идея, что высокоскоростное затвердевание протекает в локально неравновесных условиях на границе раздела фаз [13, 14]. Для обеспечения высоких скоростей роста необходимо значительное переохлаждение на границе, имеющее кинетическую природу (см. обзор [15]). Неравновесный захват примеси приводит к отклонению от равновесия химической природы [16].

Эксперименты также показывают наличие изломов на кинегических кривых "скорость V роста кристаллов - переохлаждение ДТ"' [12,13]. Механизм затвердевания резко изменяется при фиксированном критическом переохлаждении (для сплавов критическое переохлаждение находится в интервале «180-250 К). При этом переохлаждении экспериментальная кинетическая кривая " V—ДТ"' изменяется со степенной функции V ~ ДТ3 на линейную функцию V ~ ДТ. В кристаллической микроструктуре происходит резкий переход от химически разделительного затвердевания к затвердеванию с образованием пересыщенного твердого раствора с исходным (номинальным) химическим составом сплава. Такие изломы в кинетике высокоскоростного роста могут быть обусловлены кинетическим фазовым переходом, связанным с началом бездиффузионного затвердевания. Поэтому следующим приближением теории явилось принятие условия отсутствия локального равновесия в диффузионном поле фаз около фронта высокоскоростного затвердевания [17-19]. Действительно, как следует из анализа экспериментальных данных [12,13], при затвердевании глубоко переохлажденного расплава достигаются скорости роста, сопоставимые или превышающие по величине скорость диффузионного распространения компонентов затвердевающей системы. Это обстоятельство указывает на необходимость более полного учета отклонения от локального равновесия в глубоко переохлажденной системе. Поэтому актуальной проблемой физики конденсированных сред и материаловедения является разработка локально-неравновесного подхода к процессам высокоскоростного затвердевания, который учитывает отклонение от локального равновесия как на границе раздела фаз, так и в иоле диффузионного массопереноса компонентов системы. Эта проблема может быть решена в рамках термодинамически согласованного описания неравновесных фазовых превращений.

В этой связи в настоящей работе рассмотрена проблема неравновесных фазовых переходов. Описана модель высокоскоростного перехода как одно из решений проблемы неравновесных фазовых переходов. Основной целью диссертационной работы является формулировка модели высокоскоростного затвердевания как частного решения проблемы неравновесных фазовых переходов, а также анализ высокоскоростных режимов движения фазовой границы и решение частных задач формирования кристаллической структуры в металлических системах аналитическими и численными методами.

Цель работы - формулировка модели высокоскоростного затвердевания как частной проблемы неравновесных фазовых переходов, анализ высокоскоростных режимов движения фазовой границы и решение ряда задач формирования кристаллической структуры в металлических системах аналитическими и численными методами.

В работе решались следующие основные задачи:

1. формулировка модели высокоскоростных фазовых превращений в неравновесных системах;

2. формулировка моделей высокоскоростных фазовых превращений с резкой и диффузной фазовой границей для бинарных неизотермических сисхем;

3. аналитическое изучение высокоскоростных режимов затвердевания для плоской, параболической и параболоидальной фазовых границ;

4. анализ динамических режимов движения и морфологической устойчивости высокоскоростной границы раздела фаз;

5. формулировка модели неравновесного дендритного роста для количественной оценки высокоскоростных режимов затвердевания;

6. численное моделирование высокоскоростного затвердевания для моделей с резкой и диффузной фазовыми границами;

7. сравнение результатов численных расчетов с экспериментальными данными по кинетике высокоскоростного затвердевания и кристаллической структуре однокомпонентных и бинарных металлических систем.

В итоге обобщен и проанализирован ряд теоретических и экспериментальных результатов высокоскоростного затвердевания, полученных в течение последних двадцати лет [20]. Результаты аналитического и численного анализа сопоставлены с экспериментальными данными по высокоскоростному затвердеванию. Научная новизна

1. Впервые сформулирована самосогласованная модель высокоскоростных неравновесных фазовых переходов на основе термодинамики необратимых процессов.

2. Впервые развита модель высокоскоростного фазового превращения в диффузной границе на основе представления о фазовом поле.

3. Впервые сформулирована проблема высокоскоростного затвердевания как частная проблема высокоскоростных фазовых переходов.

4. Впервые решены задачи высокоскоросного затвердевания для случая, когда скорость движения поверхности раздела "кристалл-жидкость" становится сопоставимой или большей скорости диффузии вещества.

5. Впервые аналитически показано, что при скорости фазовой границы, равной или большей скорости диффузии, наступает бездиффузионное затвердевание в бинарной системе. Этот эффект определен для изотермического и неизотермического затвердевания с плоской и дендритной границами раздела жидкой и твердой фаз.

6. Впервые аналитически найдены квазистационарные формы роста в условиях локально неравновесной диффузии вещества. На основе этих аналитических решений развита модель высокоскоростного роста вершины дендрита в переохлажденном расплаве. Дапо объяснение перехода от диффузионно-контролируемого к термически- и кинетически-контролируемому росту кристаллических структур.

7. Рзработаны численные алгоритмы и найдены численные решения неизотермического высокоскоростного затвердевания бинарных систем. Показано, что выводы аналитических решений и результаты расчетов по численным моделям удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными по затвердеванию металлических систем, включая область высоких значений переохлаждения и скоростей роста кристаллов.

Степень обоснованности и достоверности научных положений и выводов, сформулированных в диссертации. Достоверность основных положений и выводов диссертации обеспечивается: (а) теоретическими выводами, следующими из положительного значения функции производства энтропии, а также согласованностью проведенного анализа с выводами флуктуационно-диссипативной теоремы; (Ь) использованием классических апробированных методов решения задач математической физики (метод Лапласа, метод граничного интеграла, метод вариаций, операционный метод, метод функций Грина, метод разделения переменных, метод возмущений); (с) использованием вычислительных методов, следующих из найденных критериев устойчивости численных схем (например, необходимые условия устойчивости по фон Нейману); (d) удовлетворительным согласованием полученных в работе теоретических результатов с собственными и литературными экспериментальными данными по высокоскоростному затвердеванию металлических систем и расплавов.

Практическая ценность работы

1. Сформулированная и развиваемая модель высокоскоростных неравновесных фазовых переходов в бинарных системах обобщена для решения актуальной проблемы сильно неравновесных превращений в многокомпонентных системах, а также для описания релаксационных явлений или систем с фазовым расслоением, в частности, для спинодалыюго распада в метастабильных жидкостях.

2. Сформулированная модель высокоскоростного затвердевания на основе развиваемой модели фазовых превращений использована для описаная затвердевания с плоским фронтом и дендритного затвердевания. Модель может также быть расширена на случай многофазного затвердевания, например, для затвердевания с выделением эв'хектик, иеритектик, монотектик, интерметаллидов.

3. Полученные результаты позволяют использовать их при разработке экспериментальных технологий получения новых материалов при объемном и поверхностном затвердевании в процессах лазерной и электронной обработки, закалке из жидкого состояния, электромагнитной, электростатической и акустической левитации, сварке и спайке.

4. Разработанные алгоритмы и компьютерные программы численных решений неизотермического затвердевания сплавов могут быть адаптированы для прогнозирования структуры и состава фаз в экспериментальных технологиях.

5. На основе полученных в работе решений показана возможность предсказать механические свойства материалов в зависимости от технологических параметров процесса затвердевания.

6. Сформулированные модели высокоскоростного затвердевания могут применяться для достижения учебно-научных целей при построении диаграмм формирования микроструктуры сплавов, кинетических и метастабильных фазовых диаграмм бинарных систем.

Автор защищает:

- локально-неравновесный формализм для описания высокоскоростных фазовых превращений;

- модели высокоскоростных фазовых переходов;

- модели высокоскоростного затвердевания;

- выводы из аналитических решений моделей высокоскоростного затвердевания (в частности, анализ перехода к бездиффузионному затвердеванию);

- численные алгоритмы и решения задач высокоскоростного затвердевания; результаты оригинальных экспериментальных работ по высокоскоростному затвердеванию (меюды электромагнитной левитации, лазерной обработки поверхности материалов, высокотемпературной спайки соединений с закалкой).

Выполнение работы. Работа выполнена в Институте космического моделирования при немецком аэрокосмическом центре и на физическом факультете Удмуртского государственного университета (УдГУ) по планам развития Европейского Космического Агенства, образования и науки в УдГУ, в т.ч. проектам Nonequihbrium multi-phase transformations: eutec-tic solidification, spinodal decomposition and glass formation (Grantee: European Space Agency, 2005. ESA AO-2004; Program "Life and Physical Sciences and Applied Research", ESTEC Project No. MSM-GA/2005-029); Mod-ellierung dendritischen Wachstums und Fragmentierung von Dendriten in Schmelzen (Grantee: DFG-Deutsche Forschungsgemeinschaft; Schwerpunktpro-gramm 1120, Phasenumwandlungen in mehrkomponentigen Schmelzen, 2001. Project No. HE 1601/13); Non-Equilibrium Solidification, Modelling for Micro structure of Alloys (Grantee: European Space Agency, 2001. MAP-Project No. A 98/99-023, ESTEC Contract No. 15236/02/NL/SH); Modeling of Joint Formation in Aluminium Brazing (Grantee: NSF - National Science Foundation, USA, 2001. Grant No. NSF DMT-9908319); Undercooling and Demix-ing of Cu-Co Alloys (2000, Project of Institut fiir Raumsimulation, DLR, 51170 Koln, Deutschland); Partikel-Dynamik wahrend der dendritischen Er-starrung unterkiihlter Metallschmelzen (2000, Project of Institut fiir Raumsimulation, DLR, 51170 Koln, Deutschland und Ruhr-Universitat Bochum); Dendritic solidification in undercooled melts: theory, modelling and experimental tests (2000, Grantee: Alexander von Humboldt Foundation, Research Program No. IV RUS 1068584); грантам Единый подход к описанию фрактальных и дендитных структур: Теория и моделирование (Грант Министерства общего и специального образования Российской Федерации, 1998, No. 97-0-14.3-13); Применение модели локально-неравновесного затвердевания к формированию кристаллической структуры в процессе лазерной обработки поверхностей (Грант Министерства общего и специального образования Российской Федерации, 1998, No. 97-24-7.1-9); Теоретическое исследование и компьютерное моделирование двухфазной зоны при затвердевании сплавов (Грант Министерства общего и специального образования Российской Федерации, 1997, No. 97-21); Исследование высокоскоростных фазовых переходов в неравновесных системах (Грант Российского Фонда фундаметальных исседований, 1997, No. 97-02-26632); Моделирование формирования дендритной структуры при затвердевании расплавов (Гранты Международного научного фонда Сороса, No. Н7К000 (1994), No. J5F100 (1995)); Моделирование формирования кристаллической структуры при высокоскоростных фазовых переходах в металлических сплавах (Грант Российского Фонда фундаметальных исседований, 1994, No. 94-02-03477-а).

Личный вклад диссертанта: формулировка моделей, постановка общих и конкретных задач, определение методов и путей решения, поиск аналитических и численных решений, анализ теоретических результатов в сопоставлении с данными эксперимента, формулировка основных положений и выводов.

Апробация работы. Результаты работы доложены и обсуждены на 42 международных и 16 российских и всесоюзных конференциях, семинарах, школах, симпозиумах и совещаниях: IV Всесоюзной конференции "Проблемы исследования структуры аморфных материалов" (Ижевск, 1992); Российском семинаре "Машинное моделирование структуры сгекол и расплавов" (Новгород, 1992); 8-й Всесоюзной конференции по росту кристаллов (Харьков, 1992); V, VI Международной конференции "Кристаллизация и компьютерные модели" (Ижевск, 1992, 1994); XXXVII Международном семинаре по компьютерному моделированию дефектов структуры и свойств конденсированных сред (Ижевск, 1994); Workshop on parallel processing and its applications in physics, chemistry arid material science (Trieste, Italy, 1994); College on Computational Physics (Trieste, Italy, 1995); Российском семинаре "Структурная наследственность в процессах сверхбыстрой закалки из жидкого состояния" (Ижевск, 1995); 2, 3 и 4 Российской университетско-академической научно-практической конференции (Ижевск, 1995, 1997, 1999); Международной конференции "Математические модели нелинейных возбуждений и переноса в конденсированных системах" (Тверь, 1996); IV, IX Conference "Fractals" (Denver, Colorado, USA, 1997; Vienna, Austria, 2006); Conference "Mathematics of Heat Transfer" (Bradford, England, 1998); Российской конференции "Моделирование технологий, экспертных и контрольных систем в процессах тепло-массонереноса" (Екатеринбург, 1998); Уральской школе "Фундаментальные проблемы физического металловедения перспективных метериалов" (Ижевск, 1998); 5 Международной школе "Хаос-98" (Саратов, 1998); Междисциплинарном семинаре "Фракталы и прикладная синергетика" (Москва, 1999); IX Национальной конференции по росту кристаллов (Москва, 2000); 4 Международном форуме "Тепломассоперенос" (Минск, Беларуссия, 2000); Annual Meeting "Pattern Formation in Solidification" (Lexington, Kentucky, USA, 2000); 1, 2 und 3 Kolloquium des Schwerpunktprogramm 1120 der DFG "Phasenumwandlungen in mehrkomponentigen Schmelzen" (Physik Zentrum, Bonn, 2000; Bad Honnef, Deutschland, 2004; 2005); 65, 66, 67, 68, 69, 70 Physikertagung und Fruhjahrstagung der Arbeitskreises Festkorperphysik bei der DPG (Hamburg, 2001; Regensburg, 2002; Dresden, 2003; Regensburg, 2004, Berlin, 2005; Dresden, 2006; Deutschland); Topical DLR Seminar on Materials Research in Space and Microgravity (Koln, Deutschland, 2001, 2002, 2003, 2004); Workshop "Frontiers in Materials Science"(Trieste, Italy; 2001); 22nd Ris0 International Symposium on Materials Science (Roskilde, Denmark, 2001); 11th and 12th Conference "Rapily Quenched and Metastable Materials" (Oxford, England, 2002; Jeju, South Korea, 2005); TMS Annual Meetings "Fundamentals of Advanced Materials" (Seattle, Washington, USA, 2002);

Solidification Processes and Microstructures" (Charlotte, North Carolina, USA, 2004); Workshop "Spatiotemporal Chaos" (Trieste, Italy; 2002); 1, 2, 3 Workshops "Erstarrung und Simulation" (Karlsruhe, Deutschland, 2003, 2004, 2005); Всероссийской конференции "Высокопроизводительные вычисления и технологии" (Ижевск, 2003); Scientific Meeting CAESAR (Koln-Bonn, Deutschland, 2003); VI, VII Conferences EUROMAT (Lausanne, Switzerland, 2003; Prague, Chech Republic, 2005); European Space Agency Meetings on Nonequilibrium Solidification in Space (Noordwijk, Holland, 2003; 2004); Scientific Meeting "Complex Plasmas" (Ringberg, Bayern, Deutschland, 2003); Workshop "Modelling of Phase Transitions and Interface Dynamics Across the Length Scales" (Karlsruhe, 2004); 7th Conference on "Brazing, High Temperature Brazing and Diffusion Bonding" (Aachen, Deutschland, 2004); 3rd Conference "Computational Modeling and Simulation of Materials" (Acireale, Italy, 2004); 4-th Conference "Solidification and Gravity" (Miskolc, Hungary, 2004).

Публикации. Основное содержание диссертационной работы отражено в 58 докладах и тезисах конференций, 23 статьях в сборниках научных трудов, 17 статьях в российских реферируемых журналах, 27 статьях в зарубежных реферируемых журанлах, 1 депонированной рукописи ВИНИТИ, 1 учебном пособии, 3 монографиях. Всего по теме диссертации опубликовано 72 научных работы, ссылки на которые можно найти в списке литературы под номерами 10, 17-19, 55, 57, 64-66, 102, 103, 126, 134, 136-138, 141, 154, 156, 158-160, 168, 173-176, 158, 159, 189, 192-194, 198, 200, 201.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка цитируемой литературы. Работа изложена на 229 страницах, содержит 43 рисунка, 3 таблицы. В списке литературы приведено 205 наименования работ отечественных и зарубежных авторов.

Заключение диссертации по теме «Физика конденсированного состояния», Галенко, Петр Константинович

Основные результаты и выводы представлены в виде следующих пунктов:

1. Сформулирована и развита модель диффузной границы для высокоскоростного фазового перехода в метастабильной бинарной системе. Для описания резкого, но непрерывного и гладкого дифференцируемого изменения фаз в пределах диффузной границы использован формализм модели фазового поля. Учитывается, что высокоскоростной фазовый переход происходит при отсутствии локального равновесия. Выведены эволюционные уравнения гиперболической модели с диссипацией. Сформулировано обобщение модели фазового поля введением функций памяти и с использованием вариционного принципа. Полученные уравнения модели соотнесены с моделями сверхпроводимости, фазового расслоения в жидкостях или структурной релаксации в стеклах, релаксации вязко-упругой среды, электронно-проводящей жидкости, движения антифазных границ, высокоскоростного затвердевания и реакционно-диффузионных систем.

2. С использованием методов расширенной термодинамики необратимых процессов проанализированы модели высокоскоростного фазового перехода. Были сформулированы и исследованы модель с резкой границей фаз (граница нулевой толщины) и модель с диффузной границей (граница конечной пространственной протяженности). Определены условия, при которых захват и анти-захват примеси существует в пределах диффузной границы.

3. На основе моделей высокоскоростного фазового перехода сформулирована модель неравновесного затвердевания. Выведены уравнения для функции k(V) неравновесного распределения компонентов бинарной системы на границе фаз и определено уравнение наклона m(V) линии ликвидуса в зависимости от скорости затвердевания V. Дан анализ кинетических кривых "скорость V - переохлаждение ДТ" и исследована морфологическая устойчивость границы затвердевания.

4. Представлена модель квазистационарного дендритного роста для бинарного сплава. Модель основана на локально неравновесном подходе к описанию процессов диффузии при высокоскоростном затвердевании [19] и учитывает отклонение от локального равновесия на дендритной поверхности и в диффузионном поле примеси. Принимая во внимание ограниченность скорости диффузии Vd в объеме расплава, модель предсказывает резкий переход к термически контролируемому радиусу вершины дендрита при конечной скорости, равной диффузионной скорости (V = Vd). В критической точке V = Vd вершина дендрита начинает расти с исходным химическим составом и происходит полный захват примеси.

5. Локально неравновесная модель затвердевания дает удовлетворительное описание кинетики высокоскоростного затвердевания. Это показано при удовлетворительном сопоставлении с данными экспериментов по кинетике высокоскоростного затвердевания с плоским фронтом и дендритной морфологией. Для демонстрации многофазного затвердевания представлена локально-неравновесная модель эвтектического роста. Полученное аналитическое решение показывает, что экспериментально обнаруженный переход от эвтектического затвердевания к затвердеванию с образованием гомогенных твердых растворов исходного состава сплава происходит при фиксированной конечной скорости затвердевания V = Vd

6. При высоких скоростях роста, сопоставимых со скоростью диффузии (У « Vd), и глубоких переохлаждениях происходят морфологические переходы в структуре кристаллов. Введение в модель затвердевания локально-неравновесной диффузии дает описание полного перехода от примесно (диффузионно) ограниченной стадии роста к термически контролируемому росту с полным подавлением диффузии и изломом кинетической кривой при V = Vb.

7. Моделирование параметров структуры материалов проведено с применением моделей резкой границы и диффузной границы. При закалке из жидкого состояния проанализирован переход к абсолютной устойчивости фронта затвердевания в тонких спиннингуемых лентах. Моделирование структуры при лазерной обработке дало возможность установить связь между параметрами процесса и механическими свойствами поверхностей. Проведено прогнозирование микроструктуры для процесса высокоскоростной лазерной перекристаллизации поверхности конструкционной стали. Для прогнозирования микроструктуры используется модель высокоскоростной кристаллизации, которая учитывает локальное неравновесие как на фронте кристаллизации, так и в поле диффузии. Анализ дендритной кристаллизации при разных переохлаждениях дан для процесса высокотемпературной спайки соединений. Был объяснен механизм изменения микроструктуры при увеличении скорости охлаждения в контактной зоне образцов. Проанализирован высокоскоростной рост и спонтанная фрагментация кристаллов при затвердевании капель в условиях электромагнитной левитации. Благодаря полученным результатам моделирования, использованию наземной техники левитации и экспериментам на международной космической станции решен ряд актуальных проблем высокоскоростного затвердевания для прогноза структуры материалов, получаемых в условиях микрогравитации на околоземной орбите.

7. Благодарности

Автор благодарит за плодотворное сотрудничество Д. Жоу и Д. Херлаха.

Написание данной работы стало возможно благодаря интенсивным дискуссиям и полезным обсуждениям с К. Бекерманном, Е.А. Бренером, М. Грасселли, Ф. Гэндхэмом, Дж. Лангером, А. Кармой, М. Колбе, Б. Нестлер, Э. Маллизом, М. Плаппом, Л. Ратке, X. Ротштайном, Д. Секуличем, С.Л. Соболевым, Д.Е. Тёмкиным, Б. Фоербахером, О. Функе, И. Штайнбахом и К. Эклером, за что автор всем им приносит свою благодарность.

Автор выражает признательность за многолетнюю поддержку научной работы В.А. Журавлеву.

За чтение и коррекцию текста диссертации, дискуссии и помощь в организации научных семинаров автор благодарит В.П. Бовина, В.М. Голода и В.Г. Лебедева.

Автор также выражает признательность своим студентам и аспирантам Д.А. Данилову и М.Д. Кривилёву, а также аспирантам К.В. Емельянову и Е.В. Харанжевскому за многолетнее сотрудничество.

Работа выполнена по проекту "Modellierung dendritischen Wachstums und Fragmentierung von Dendriten in Schmelzen" Немецкого Научного Фонда (DFG-Projekt No. HE 1601/13), а также по проекту "Non-Equilibrium Solidification, Modelling for Microstructure of Alloys" Европейского Космического Агенства (ESA MAP-Project No. A 98/99-023, ESTEC Contract No. 15236/02/NL/SH).

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Галенко, Петр Константинович, 2006 год

1. Ландау Л.Д. К теории фазовых переходов // Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 1937. Т. 7. - С. 19-39.

2. Cahn J.W., Hillard J.E. Free energy of non-uniform system. I. Interfacial free energy // J. Chem. Phys. - 1958. V. 28. - P. 258-267.

3. Halperin B.I., Hohenberg P.C., Ma S.-K. Renormalization group methods for critical dynamics: I. Recursion relations and effects of energy conservation // Phys. Rev. B. 1974. V. 10. - P. 139-153.

4. Zinn-Justin J. Quantum field theory and critical phenomena. Oxford: Clarendon Press, 1993. - 996 p.

5. Олемской А.И., Коплык И.В. Теория пространственно-временной эволюции неравновесной термодинамической системы // Успехи Физических Наук. 1995. Т. 165. No. 10. - С. 1105-1144.

6. Morfill G.E. , Khrapak S.A., Ivlev A.V., Klumov B.A., Rubin-Zuzic M., Thomas H.M. From fluid flows to crystallization: New results from complex plasmas // Physica Scripta. 2004. V. T107. P. 59-78.

7. Andreev A.F., Parshin A.Y. Equilibrium shape and oscillations of the surface of the quantum crystals // Sov. Phys. JETP. 1978. V. 48. - P. 763-766.

8. Keshishev A.Y., Parshin A.Y., Babkin A.V. Experimental detection of crystallization waves in He // Sov. Phys. JETP. 1990. V. 30. - P. 56-59.

9. Rotstein H.G., Brandon S., Novick-Cohen A., Nepomnyashchy A. Phase-field equations with memory // SIAM J. Appl. Math. 2001. V. 62. - P. 264-282.

10. Galenko P. Phase-field model with relaxation of the diffusion flux in nonequilibrium solidification of a binary system // Physics Letters A. 2001. V. 287. - P. 190-197.

11. Jou D., Casas-Vazquez J., Lebon G. Extended irreversible thermodynamics, 2nd Edition. Berlin: Springer, 1996. - 383 p.

12. Herlach D.M. Nonequilibrium solidification of undercooled melts // Materials Science Engineering. 1994. V. R12, No. 4-5. - P. 177-272.

13. Willnecker R., Herlach D.M., Feuerbacher B. Grain refinement induced by a critical crystal growth velocity in undercooled melts // Appl. Phys. Lett. 1990. V. 56. - P. 324-326.

14. Kurz W., Fisher D. J. Fundamentals of Solidification, 3rd Edition. Aed-ermannsdorf: Trans Tech Publication, 1992. - 484 p.

15. Hoyt J.J., Asta M., Karma A. Atomistic and continuum modelling of dendritic solidification // Materials Science Engineering. 2003. V. R41, No. 6. - P. 121-153.

16. Aziz M.J., Kaplan T. Continuous growth model for interface motion during alloy solidification // Acta Metallurgica. 1988. V. 36. - P. 2335-2351.

17. Галенко П.К. Эффект диффузионной релаксации при высокоскоростной кристаллизации бинарного сплава / / Кристаллография. 1993. Т. 38. Ж. - С. 238-242.

18. Galenko P. Local nonequilibrium phase transition model with relaxation of the diffusion flux // Physics Letters. 1994. V. 190. No.3-4. - P. 292-295.

19. Galenko P., Sobolev S. Local nonequilibrium effect on undercooling in rapid solidification of alloys // Physical Review E. 1997, V. 55. № 1. P. 343-352.

20. Herlach D.M., Galenko P.K., Holland-Moriz D. Metastable solids from undercooled melts. Amsterdam: Elsevier, 2006. - 358 p.

21. Ockendon J.R., Hodgkins W.R. (Editors) Moving boundary problems in heat flow and diffusion. Oxford: Oxford Univ. Press, 1975. - 343 p.

22. Wilson D.G., Solomon A.D., Boggs P.T. (Editors), Moving boundary problems. New York: Academic Press, 1978. - 398 p.

23. Friedman A. Variational principles and free-boundary problems. New York: Wiley, 1982. - 298 p.

24. Caginalp G. An analysis of a phase field model of a free boundary // Arch. Rat. Mech. Anal. 1986. V. 92. P. 205-224.

25. Poisson S.D. Nouvelle Theorie de l'Action Capillaire. Paris: Bachelier, 1831. - 157 p.

26. Maxwell J.C. Capillary action. // The Scientific Papers of James Clerk Maxwell, Vol.2. New York: Dover, 1952. - P. 541 - 555.

27. Gibbs J.W. On the equilibrium of heterogeneous substances, // The Scientific Papers of J. Willard Gibbs. London: Longmans, 1906. - P. 55-62.

28. Lord Rayleigh. On the theory of surface forces.-II. Compressible fluids. -Phil. Mag. 1892. V. 33. - P. 209-221.

29. Waals van der J.D. The thermodynamic theory of capillarity under the hypothesis of a continuous variation of density //J. Stat. Phys. 1979. V. 20. -P. 179-244.

30. Stanley H.E. Introduction to phase transitions and critical phenomena. -Oxford: Oxford Univ. Press, 1971. 321 p.

31. Rowlinson J.S., Widom B. Molecular theory of capillarity. Oxford: Clarendon, 1989. - 239 p.

32. Ландау Л.Д., Халатников И.М. Об аномальном поглощении звука вблизи точек фазового перехода второго рода // Докл. АН СССР. 1960. Т. 96. - С. 469-671.

33. Гинзбург В.Л., Ландау Л.Д. К теории сверхпроводимости // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1950. Т. 20. С. 10641079.

34. Allen S.E., Cahn J.W. A microscopic theory for antiphase boundary motion and its application to antiphase domain coarsening // Acta Metall. -1979. V. 27. P. 1085-1095.

35. Fix G.J. Phase field models for free boundary problems. // in: Free Boundary Problems: Theory and Applications, Eds. A. Fasano and M. Primicerio. Pitman: Boston, 1983. - P. 580-589.

36. Collins J.B., Levine H. Diffuse interface model of diffusion-limited crystal growth // Physical Review B. 1985. V. 31. No. 9. - P. 6119-6122.

37. Langer J.S. Models of pattern formation in first-order phase transitions // in: Directions in Condensed Matter Physics, eds.: G. Grinstein, G. Mazenko. World Scientific: Philadelphia, 1986. P. 165-186.

38. Chen L.Q. Phase-field models for microstructure evolution // Annu. Rev. Mater. Res. 2002. V. 32. - P. 113-151.

39. Boettinger W.J., Warren J.A., Beckermann C., Karma A. Phase-field simulation of solidification // Annu. Rev. Mater. Res. 2002. V. 32. P. 163-197.

40. Caginalp G. Stefan and Hele-Shaw type models as asymptotic limits of the phase-field equations // Phys. Rev. A. 1989. V. 39. - P. 5887-5896.

41. Caginalp G. Socolovsky E.A. Computation of sharp interface boundaries by spreading: the planar and spherically symmetric cases //J. Сотр. Phys. 1991. V. 95. - P. 85-97.

42. Bragard J., Karma A., Lee Y. H., Plapp M. Linking phase-field and atomistic simulations to model dendritic solidification in highly undercooled melts // Interface Science. 2002. V. 10. No. 2-3. - P. 121-136.

43. Penrose O., Fife P.C. Thermodynamically consistent models of phase-field type for the kinetics of phase transitions // Physica D. 1990. V. 43. - P. 44-62.

44. Bi Z., Sekerka R.F. Phase-field model of solidification of a binary alloy // Physica A. 1998. V. 261. - P. 95-106.

45. Anderson D.M., McFadden G.B., Wheeler A.A. A phase-field model of solidification with convection // Physica D. 2000. V. 135. - P. 175-194.

46. Garcke H., Nestler В., Stinner B. A diffuse interface model for alloys with multiple components and phases // SIAM J. Applied Mathematics. 2004. V. 64. No. 3. - P. 775-799.

47. Onsager L. Reciprocal relations in irreversible processes I // Phys. Rev. -1931. V. 37. P. 495-506.

48. Prigogine I. Introduction to thermodynamics of irreversible process. New York: Interscience. 1967. - 111 p.

49. De Groot S., Mazur P. Non-equilibrium thermodynamics. Amsterdam: North-Holland, 1962. 552 p.

50. Glansdorff P., Prigogine I. Thermodynamic theory of structure, stability and fluctuations. New York: Wiley, 1971. 367 p.

51. Wheeler A.A., Boettinger W.J. McFadden G.B. A phase-field model of solute trapping during solidification // Phys. Rev. E. 1993. V. 47. - P. 1893-1909.

52. Wang S.L., Sekerka R.F. Computation of the dendritic operating state at large supercoolings by the phase field model // Phys. Rev. E. 1996. V. 53. - P. 3760-3776.

53. Boettinger W.J., Warren J.A. Simulation of the ccll to plane front transition during directional solidification at high velocity // J. Cryst. Growth. 1990. V. 200. - P. 583-589.

54. Galenko P. Extended thermodynamical analysis of a motion of the solid-liquid interface in a rapidly solidifying alloy // Phys. Rev. B. 2002. V. 65. - P. 144103-1-11.

55. Jou D., Casas-Vazquez J., Lebon G. Extended irreversible thermodynamics // Rep. Prog. Phys. 1988. V. 51. - P. 1105-1179.

56. Galenko P., Jou D. Diffuse-interface model for rapid phase transformations in nonequilibrium systems // Phys. Rev. E. 2005. V. 71. No. 4. - P. 046125-1-13.

57. Joseph D., Preziosi L. Heat waves // Rev. Mod. Phys. 1989. V 61. No. 1. - P 41-73.

58. Miiller I., Ruggeri T. Extended thermodynamics. New York: Springer, 1993. 234 p.

59. Jou D., Casas-Vazquez J., Lebon G. Extended irreversible thermodynamics revisited // Rep. Prog. Phys. 1999. V. 62. - P. 1035-1142.

60. Jou D., Casas-Vazquez J., Lebon G. Recent bibliography on extended irreversible thermodynamics and related topics // J. Non-Equilib. Ther-modyn. 1998. V. 23. No. 3. - P. 277-297.

61. Luzzi R., Vasconcellos A.R., Casas-Vazquez J., Jou D. On the selection of the state space in nonequilibrium thermodynamics // Physica A. 1998. V. 248. P. 111-137.

62. Jou D., Casas-Vazquez J., Criado-Sancho M. Thermodynamics of fluids under flow. Berlin: Springer, 2000. - 321 p.

63. Galenko P.K., Danilov D.A. Hyperbolic self-consistent problem of heat transfer in rapid solidification of supercooled liquid // Physics Letters A. 2000. V. 278. - P. 129-138.

64. Galenko P.K., Danilov D.A., Selection of the dynamically stable regime of rapid solidification front motion in an isothermal binary alloy // J. Cryst. Growth. 2000. V. 216. - P. 512-536.

65. Galenko P.K., Danilov D.A. Linear morphological stability analysis of the solid-liquid interface in rapid solidification of a binary system // Phys. Rev. E. 2004. V. 69. P. 051608-1-14.

66. Peierls R. Quantum theory of solids. London: Oxford University Press, 1955. - 218 p.

67. Barth M., Joo F., Wei В., Herlach D.M. Measurement of the enthalpy and. specific heat of undercooled nickel and iron melts //J. Non-Crystalline Solids. 1993. V. 156-158. - P. 398-403.

68. Karma A., Rappel W.-J. Quantitative phase-field modeling of dendritic growth in two and three dimensions // Phys. Rev. E. 1998. V. 57, No. 4. - P. 4323-4349.

69. Karma A. Phase-field formulation for quantitative modeling of alloy solidification // Phys. Rev. Lett. 2001. V. 87. No. 11. - P. 115701-1-4.

70. Ramirez J.C., Beckermann C., Karma A., Diepers H.-J. Phase-field modeling of binary alloy solidification with coupled heat and solute diffusion // Phys. Rev. E. 2004. V. 69. P. 051607-1-12.

71. Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Статистическая физика, Часть 1. М.: Наука, 1976. - 584 с.

72. Casas-Vazquez J., Jou D. Temperature in non-equilibrium states: a review of open problems and current proposals // Rep. Progr. Phys. 2003. V. 66. - P. 1937-2023.

73. Criado-Sancho M., Jou D., Casas-Vazquez J. Definition of non-equilibrium chemical potential: phase separation of polymers in shear flow // Macro-molecules. 1991. V. 24. - P. 2834-2840.

74. Jou D., Camacho J., Grmela M. On the non-equilibrium thermodynamics of non-Fickian diffusion // Macromolecules. -1991. V. 24. P. 3597-3602.

75. Castillo L.F., Criado-Sancho M., Jou D. Non-equilibrium chemical potential and shear-induced migration of polymers in dilute solutions // Polymer. 2000. V. 41. - P. 2633-2638.

76. Jackie J., Frish H.L. Relaxation of chemical potential and a generalized diffusion equation // J. Polymer Sci. Phys. Ed. 1985. V. 23. - P. 675-682.

77. Binder K., Frish H.L., Jackie J. Kinetics of phase separation in the presence of slowly relaxing structural variables //J. Chem Phys. 1986. V. 85. - P. 1505-1512. (1986).

78. Truesdell C., Noll W. The non-linear field theories of mechanics. In: Hand-buch der Physik, III. Editor S. Flugge. Berlin: Springer, 1960. - 241-311 P

79. Resibois P., de Leener M. Classical kinetic theory of fluids. New York: Wiley, 1977. - 278 p.

80. Zubarev D.N., Morozov V., Ropke G., Statistical mechanics of nonequi-librium processes. Berlin: Akademie Verlag, 1977. - 473 p.

81. Hansen J.P., McDonald I.R. Theory of simple liquids. New York: Academic, 1986. - 331 p.

82. Luzzi R., Vasconcellos A.R., Ramos J.R. Foundation of a nonequilibrium ensemble formalism. Dordrecht: Kluwer, 2002. - 242 p.

83. Vazquez F., del Rio J.A. Nonequilibrium variational principle for the time evolution of an ionized gas // Phys. Rev. E. 1993. V. 47. No. 1. - P. 178-183.

84. Temam R. Inifinite-dimensional dynamical systems in mechanics and physics, 2nd Edition. New York: Springer, 1997. - 411 p.

85. Cahn J.W. Theory of crystal growth and interface motion in crystalline materials // Acta Metall. 1960. V. 8. - P. 554-562.

86. Bastea S., Lebowitz J.L. Domain growth in computer simulations of segregating two-dimensional binary fluids // Phys. Rev. E 1995. V. 52. - P. 3821-3826.

87. Olmstead W.E., Davis S.H., Rosenblat S, Kath W.I. Bifurcation with memory // SIAM J. Appl. Math. 1986. V. 46. - P. 171-188.

88. Duffy B.R., Freitas P., Grinfeld M. Memory driven instability in a diffusion process // SIAM J. Math. Anal. 2002. V. 33. - P. 1090-1106.

89. Fort J., Mendez V. Wavefronts in time-delayed reaction-diffusion systems. Theory and comparison to experiment // Rep. Prog. Phys. 2002. V. 65. - P. 895-954.

90. Fort J., Mendez V. Time-delayed theory of the Neolithic transition in Europe // Phys. Rev. Lett. 1999. V. 82. - P. 867-870.

91. Novick-Cohen A. A phase-field system with memory: global existence. In: Free Boundary Problems. Proceedings of the Research Institute for Mathematical Sciences. Kyoto University meeting No. 1210 on May 5th, 2001. Kyoto, Japan: RIMS, 2000. P. 129-141.

92. Grasselli M., Rotstein H.G., Hyperbolic phase-field dynamics with memory // J. Mathematical Analysis and Applications. 2001. V 261. - P. 205-230.

93. Grasselli M., Pata V., Robust exponential attractors for a phase-field system with memory // J. Evolution Equations. 2004. V. 4. P. 27-41.

94. Tokatly I.V., Pankratov O. Hydrodynamics beyond local equilibrium: Application to electron gas // Phys. Rev. B. 2000. V. 62. P. 2759-2770.

95. Muller-Krumbhaar H., Kurz W., Brener E. Solidification // In: Phase transformations in materials, ed.: G. Kostorz. Weinheim: Wiley, 2001. P. 81-170.

96. Miiller-Krumbhaar H., Burkhardt T.W., Kroll D.M. A generalized kinetic equation for crystal growth //J. Cryst. Growth. 1977. V. 38. - P. 13-22.

97. Лифшиц E.M., Питаевский JI.П. Физическая кинетика. М.: Наука, 1979. - 528 с.

98. Langer J.S. Lectures in the theory of pattern formation // In: Chance and matter. Les Houches Session XLVI. Eds.: J. Souletie, J. Vannimenus, and R. Stora. Elsevier: Amsterdam, 1987. - P. 629-711.

99. Kessler D., Koplik J., Levine H. Pattern selection in fingered growth phenomena // Advances in Physics. 1988. V. 37. No. 3. - P. 255-339.

100. Brener E.A. Effects of surface energy and kinetics on the growth of needlelike dendrites // J. Cryst. Growth. 1999. V. 99. - P. 165-170.

101. Емельянов К.В., Галенко П.К. Дендритный рост в двухкомпонентной системе вдали от равновесия // Препринт лаборатории физики конденсированных сред. Ижевск: УдГУ, 1998. - 33 с.

102. Galenko P. Boundary integral method for modeling of pattern formation in nonequilibrium systems // In: Frontiers in materials science. Trieste, Italy: ICTP, 2001. P. 23-33.

103. Saito Y., Goldbeck-Wood G., Muller-Krumbhaar H. Nurnertical simulation of dendritic growth // Phys. Rev. A. 1988. V. 38. P. 2148-2157.

104. Nestler В., Danilov D., Galenko P. Crystal growth of pure substances: Phase-field simulations in comparison with analytical and experimental results // J. Computational Physics. 2005. V. 207. - P. 221-239.

105. Boettinger W.J., Warren J.A., Beckermann C., Karma A. Phase-field simulations of solidification // Annu. Rev. Mater. Res. 2002. V. 32. - P. 163-194.

106. Echebarria В., Folch R., Karma A., Plapp M. Quantitative phase field model of alloy solidification // Phys. Rev. E. 2004. V. 70. P. 061604-114.

107. Борисов B.T. Теория двухфазной зоны металлического слитка. М.: Металлургия, 1987. - 224 с.

108. Чернов А.А. Современная кристаллография. Том 3. Образование кристаллов. М.: Наука, 1980. - 407 с.

109. Baker J.C., Cahn J.W. Solute trapping by rapid solidification // Acta Metallurgies 1969. V. 17. - P. 575-578.

110. Aziz M. J. Model for solute redistribution during rapid solidification // J. Applied Physics. 1982. V. 53. - P. 1158-1168.

111. Aziz M. J., Kaplan T. Continuous growth model for interface motion during alloy solidification // Acta Metall. 1988. V. 36. - P. 2335-2347.

112. Чернов А.А. // Рост кристаллов. Том 3. Под ред. А В. Шубников и Н.Н, Шефталь. М.: Акад. наук СССР, 1959. С. 35-51.

113. Jackson К.А., Gilmer G.H., Leamy H.J. Solute trapping // Laser and electron beam processing of materials, edited by C.W. White, P.C. Peercy. New York: Academic Press, 1980. - P. 104-118.

114. Wood R.F. Model for nonequilibrium segregation during pulsed laser annealing // Applied Physics Letters. 1980. V. 37. - P. 302-304.

115. Hillert M. Solute drag and solute trapping in phase transformations // Acta Mater. 1999. V. 47. - P. 4481-4497.

116. Kittl J.A., Sanders P.G., Aziz M.J., Brunco D.P., Thompson M.O. Complete experimental test of kinetic models for rapid alloy solidification // Acta Materialia. 2000. V. 48. - P. 4797-4811.

117. Ahmad N.A., Wheeler A.A., Boettinger W.J., McFadden G.B. Solute trapping and solute drag in a phase-field model of rapid solidification // Phys. Rev. E. 1998. V. 58. - P. 3436-3450.

118. Broeck Van Den C. Taylor diffusion revisited // Physica A. 1990. V. 186. - P. 677-696.

119. Giddings J.C., Eyring H. A molecular dynamic theory of chromatography // J. Chemical Physics. 1955. V. 59. - P. 416-421.

120. Giddings J.C. Stochastic considerations on chromatographic dispersion // J. Chemical Physics. 1955. V. 26. - P. 169-173.

121. Taylor G.I. The dispersion of matter in solvent flowing slowly through a tube // Proc. R. Soc. London Ser. A. 1953. V. 219. - P. 186-203.

122. Taylor G.I. The dispersion of matter in turbulent flow through a pipe // Proc. R. Soc. London Ser. A. 1954. V. 223. - P. 446-463.

123. Camacho J., Zakari M. Irreversible thermodynamic analysis of two-layer systems // Phys. Rev. E. 1994. V. 50. No. 1. - P. 4233-4236.

124. Christian J.W., The theory of transformations in metals and alloys, Part 1, 2nd Edition. Oxford: Pergamon Press, 1975. - 518 p.

125. Galenko, P.K. Atomic exchange at the moving interface of rapid phase transformation // Preprint. Koln: DLR, 2003. - 18 p.

126. Sobolev S. L. Effects of local non-equilibrium solute diffusion on rapid solidification of alloys // Phys. Stat. Sol. A. 1996. V. 156. - P. 293-303.

127. Hoglund D.E., Aziz M.J. Interface instability during rapid directional solidification // In: Kinetics of Phase Transformations. MRS Proceedings, vol. 205, eds.: M.O. Thompson, M.J. Aziz, G.B. Stephenson. Pittsburgh, PA: MRS, 1992. P. 325-329.

128. Иванцов Г.П. Температурное поле вокруг шарообразного, цилиндрического и иглообразного кристалла, растущего в переохлажденном расплаве // ДАН СССР. 1947. Т. 58. No. 4.- С. 567-569.

129. Иванцов Г.П. О росте сферического и иглообразного кристаллов бинарного сплава // ДАН СССР. 1952. Т. 58. No. 4. - С. 573-575.

130. Иванцов Г.П. Тепловые и диффузионные процессы при росте кристаллов // Рост кристаллов. Том 3. Под ред. Шубникова А.В., Шефталя Н.Н. М.: Академия Наук, 1961. С. 75-84.

131. Horvay G., Cahn J.W. Dendritic and spheroidal growth // Acta Metal-lurgica. 1961. V. 9. No. 7. - P. 695-705.

132. Langer J. Instabilities and pattern formation in crystal growth // Reviews of Modern Physics. 1980. V. 52. No. 1. - P. 1-28.

133. Galenko P. K, Zhuravlev V. A. Physics of dendrites. Singapore: World Scientific, 1994. - 210 p.

134. Brener E., Melnikov V.I. Pattern selection in two-dimensional dendritic growth // Advances in Physics. 1991. V. 40. - P. 53-97.

135. Galenko P.K., Danilov D.A. Steady-state shapes of growing crystals in the field of local nonequilibrium diffusion // Physics Letters A. 2000. V. 272.- P. 207-217.

136. Galenko P.K., Danilov D.A. Local nonequilibrium effect on rapid dendritic growth in a binary alloy melt // Physics Letters A. 1997. V. 235. № 3. -P. 271-280.

137. Galenko P.K., Danilov D.A. Model for free dendritic alloy growth under interfacial and bulk phase nonequilibrium conditions //J. Cryst. Growth.- 1999. V. 197. P. 992-1002.

138. Brener, E., Temkin, D. Dendritic growth in supercooled binary melt at arbitrary Peclet numbers // Preprint. Jiilich: IFK, 1996. - 8 p.

139. Miiller-Krumbhaar H., Abel Т., Brener E., Hartmann M., Eissfeldt, N., Temkin D. Growth-morphologies in solidification and hydrodynamics // JSME Int. Journal B. 2002. V. 45. No. 1. - P. 129-135.

140. Galenko P.K. Rapid advancing of the solid-liquid interface in undercooled alloys // Materials Science and Engineering A. 2004. V. 375-377. - P. 493-497.

141. Jackson K.A., Hunt J.D. Lamellar and rod eutectic growth // Transactions of the Metallurgical Society of AIME. 1966. V. 236. - P. 1129-1142.

142. Flemings M.C. Solidification processing. New York: McGraw-Hill, 1974.- 328 p.

143. Kurz W., Sahm P.R. Gerichtet erstarrte eutektische Werkstoffe. Berlin: Springer, 1975. - 215 p.

144. Таран Ю.Н., Мазур В.И. Структура эвтектических сплавов. М.: Металлургия, 1978. - 311 с.

145. Elliot R. Eutectic solidification processing. London: Butterworths, 1983.- 397 p.

146. Trivedi R., Magnin P., Kurz W. Theory of eutectic growth under rapid solidification conditions // Acta Metallurgica. 1987. V. 35. No. 4. - P. 971-980.

147. Li J.F., Zhou Y.H. Eutectic growth in bulk undercooled melts // Acta Materialia. 2005. V. 53. - P. 2351-2359.

148. Мирошниченко И. С. Влияние скорости охлаждения на процессы кристаллизации металлических сплавов // Рост и дефекты металлических кристаллов. Под ред. Д. Е. Овсиенко. Киев: Наук, думка, 1972. - С. 385-401.

149. Мирошниченко И. С. Закалка из жидкого состояния. М.: Металлургия, 1982. - 167 с.

150. Мирошниченко И. С. Образование метастабильных фаз и диаграммы метастабильного равновесия // Стабильные и метастабильные фазовые равновесия в металлических системах. Под ред. М. Е. Дриц. М.: Наука, 1975. - С. 151-157.

151. Мирошниченко И. С., Галушко И.М. Влияние скорости охлаждения на структуру эвтектических сплавов при кристаллизации и закалке Al-Mg сплавов // Кинетика и механизм кристаллизации. Под ред. Н. Н. Сирота. Минск: Наука и техника, 1973. - С. 356-364.

152. Abramowitz М., Stegun I.A. Handbook of mathematical functions. New York: Dover, 1972. - 1046 p.

153. Galenko P., Funke 0., Wang J., Herlach D. Kinetics of dendritic growth under influence of convectice flow // Materials Science Engineering A. -2004, V. 375-377. P. 493-497.

154. Karma A., Rappel W.-J. Phase-field model of dendritic sidebranching with thermal noise. // Physical Review E. 1999. V. 60. - P. 3614-3625.

155. Galenko P.K., Herlach D.M. Theoretical modeling of dendritic growth in one-component systems // In: Proceedings of European Space Agency Meetings: MAP 023 NEQUISOL. Edited by D.M. Herlach. - Noordwijk, Holland: ESA Publishing, 2003. P. 23-38.

156. Galenko P. K., Krivilyov M. D. Model for isothermal pattern formation of growing crystals in undercooled binary alloys // Modell. Simul. Mater. Sci. Eng. 2000. V. 8. - P. 67-80.

157. Чернов А.А. Рост цепей сополимеров и смешанных кристаллов -статистика проб и ошибок // Успехи Физических Наук. 1970. Т. 100. Вып. 2. - С. 277-328.

158. Biloni Н., Chalmers В. Predendritic solidification // Trans. Metall. Soc. AIME. 1965. V. 233. - P. 373-385.

159. Eckler К., Cochrane R. F., Herlach D. M., Feuerbacher В., Jurisch M. Evidence for a transition from diffusion-controlled to thermally controlled solidification in metallic alloys // Phys. Rev. B. 1992. V. 45. - P. 50195023.

160. Борисов B.T. Кинетические диаграммы бинарных сплавов // ДАН СССР. 1962. Т. 142. No. 1. - С. 69-71.

161. Темкин Д.Е. К теории бездиффузионного роста кристаллов // Кристаллография. 1969. Т. 14. Вып. 3. - С. 423-430.

162. Темкин Д.Е. Об определении условия бездиффузионного превращения // Кристаллография. 1970. Т. 15, Вып. 3. - С. 421-427.

163. Cook S.J., Clancy P. Impurity segregation in Lennard-Jones A/AB het-erostructures. I. The effect of lattice strain // J. Chemical Physics. 1993. V. 99. No. 3. - P. 2175-2191.

164. Галенко П.К. К феноменологической теории локально-неравновесной кристаллизации // ДАН. 1994. Т. 334. No. 6. - С. 707-709.

165. Lipton J., Kurz W., Trivedi R. Rapid dendrite growth in undercooled alloys // Acta Metallurgica. 1987. V. 35. - P. 957-964.

166. Журавлев В. А., Китаев E.M. Теплофизика формирования непрерывного слитка. М.: Металлургия, 1974. - 215 с.

167. Петров А.И., Пономарев Н.А., Журавлев В. А., Четвертных В.В. Автоматизация электрошлакового переплава. Ижевск: Удмуртия, 1985. - 386 с.

168. Galenko Р. К., Krivilyov M.D. Modeling of crystal pattern formation in isothermal undercooled alloys // Modell. Simul. Mater. Sci. Eng. 2000. V. 8. - P. 81-94.

169. Галенко П.К., Кривилев М.Д. Модель изотермического кристаллического роста в переохлажденных бинарных сплавах // Математическое моделирование. 2000. Т. 12. No. 11. - С. 17-37.

170. Галенко П.К., Кривилев М.Д. Конечно-разностная схема для моделирования формирования кристаллической структуры в переохлажденных бинарных сплавах / / Математическое моделирование. 2000. Т. 12. No. 12. - С. 11-23.

171. Кривилев М.Д., Галенко П. К. Программный комплекс для моделирования крисгаллического структурообразования в переохлажденных бинарных сплавах. Ижевск: Удмуртский университет, 1999. - 59 с.

172. Herlach D. М. Containerless undercooling and solidification of pure metals // Annu. Rev. Mater. Sci. 1991. V. 21. - P. 23-44.

173. Herlach D. M. Direct measurements of crystal growth velocities in under-cooled melts // Materials Science and Engineering. 1994. V. A179/180. - P. 147-152.

174. Karma A. Model of grain refinement in solidification of undercooled melts // Int. J. Non-Equilibrium Processing. 1998. V. 11. - P. 201-233.

175. Kolbe M., Cao C.D., Lu X.Y., Galenko P.K., Wei В., Herlach D.M. Solidification behaviour of undercooled Co-Cu alloys showing a metastable miscibility gap // Materials Science and Engineering A. 2004. V. 375377. - P. 520-523.

176. Lipton J., Kurz W., Trivedi R. Rapid dendrite growth in undercooled alloys // Acta Metallurgies 1987. V. 35. - P. 957-964.

177. Кривилев М.Д., Галенко П.К. Моделирование дендритной кристаллизации в Al-Si сплавах при скоростной спайке / / Материаловедение. 2004. № 5. - С. 11-14.

178. Krivilyov M.D., Galenko Р.К., Sekulic D.P. Modeling of Al-Si alpha-phase crystal pattern formation during aluminum brazing // in: Brazing, High

179. Temperature Brazing and Diffusion welding, eds.: D. von Hofe and E. Lugscheider. Diisseldorf: DVS, 2004. - P. 126-129.

180. Sekulic D.P., Galenko P.K., Krivilyov M.D., Walker L., Gao F. Dendritic growth in Al-Si alloys during brazing. Part 1: experimental evidence and kinetics // Int. J. Heat Mass Transfer. 2005. V. 48. № 12. - P. 2372-2384.

181. Sekulic D.P., Galenko P.K., Krivilyov M.D., Walker L., Gao F. Dendritic growth in Al-Si alloys during brazing. Part 2: computational modeling // Int. J. Heat Mass TVansfer. 2005. V. 48. № 12. - P. 2385-2396.

182. Boettinger W. J., Schechtman D., Schaefer R. J., Biancaniello F. S. The effect of solidification velocity on the microstructure of Ag-Cu alloys // Metall. Trans. A. 1984. V. 15. - P. 55-66.

183. Gill S.C., Zimmermann M., Kurz W. Laser resolidification of the AI-AI2C11 eutectic: The coupled zone // Acta Metall. Mater. 1989. V. 40. No. 11. P. 2895-2906.

184. Галенко П. К., Харанжевский Е. В., Данилов Д. А. Структура и механические свойства конструкционной стали при лазерной высокоскоростной перекристаллизации // Физика металлов и металловедение. 2002. Т. 94. №2. - С. 207-216.

185. Галенко П. К., Харанжевский Е. В., Данилов Д. А. Высокоскоростная кристаллизация конструкционной стали при лазерной обработке поверхностей // Журнал технической физики. 2002, Т. 47. №5. -С. 48-55.

186. Haranzhevskiy E. V., Danilov D. A., Krivilyov M. D., Galenko P. K. Structure and mechanical properties of structural steel in laser resolidification processing // Matererials Science and Engineering A. 2004. V. 375-377. P. 502-506.

187. Gill S. C., Kurz W. Rapidly solidified Al-Cu alloys I. Experimental determination of the microstructure selection map // Acta Metall. Mater. -1993. V. 41. - P. 3563-3573.

188. Gill S. C., Kurz W. Rapidly solidified Al-Cu alloys II. Calculation of the microstructure selection map // Acta Metall. Mater. - 1995. V. 43. - P. 139-151.

189. Кривилев М.Д., Данилов Д. А., Харанжевский E. В., Галенко П. К. Отбор микроструктуры при лазерной перекристаллизации конструкционной стали // Вестник УдГУ: Серия ФИЗИКА. -2005. No. 4. С. 118-128.

190. Kurz W., Giovanola В., Trivedi R. Theory of microstructural development during rapid solidification // Acta. Metall. 1986. V.34. - P. 823-830.

191. Greer A.L. Grain refinement in supercooled alloys // Mater. Sci. Eng. A. 1991. V.133. - P.16-22.

192. Blank M., Caesar Ch., Koster U. Microstructure and mechanical properties of rapidly solidified copper-based alloys // in: Rapidly Quenched Metals, Vol.1. Edited by S. Steeb and H. Warlimont. Amsterdam: North-Holland, 1985. - P. 883-886.

193. Космическое материаловедение. Под. ред. Б. Фоербахера, Г. Хамахера, Р. Наумана. М.: Мир, 1989. - 478 с.

194. A world without gravity, eds.: В. Fitton, В. Battrick. Noorwijk, Holland: ESA Publishing, 2001. - 495 p.