Модели и алгоритмы фрактального анализа хаотических временных рядов в реальном масштабе времени тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Загайнов Артем Игоревич

• Загайнов Артем Игоревич
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Загайнов Артем Игоревич

Введение

1. АНАЛИЗ СОВРЕМЕННОГО СОСТОЯНИЯ МЕТОДОВ ЧИСЛЕННОГО ФРАКТАЛЬНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

1.1 Методы исследования временных рядов и их общая характеристика

1.2 Фрактальный анализ и его место в ряду методов обработки временных рядов

1.3 Результаты исследований с помощью фрактальных методов

1.4 Обзор средств численного фрактального анализа

1.5 Постановка задачи исследований

1.6 Выводы по разделу

2. РАЗРАБОТКА И МОДИФИКАЦИЯ ФРАКТАЛЬНЫХ МЕТОДОВ

2.1 Рекомендации и методы оценки параметров управляющих процедур

2.2 Модель изменения и прогнозирования эволюции фрактальных показателей в режиме реального времени

2.3 Метод оптимизации скейлинговой экспоненты

2.4 Выводы по разделу

3. ОПИСАНИЕ СОЗДАННЫХ ПРОГРАММНЫХ СРЕДСТВ ФРАКТАЛЬНОГО АНАЛИЗА

3.1 Универсальное средство фрактального анализа в режиме «скользящего окна»

3.2 Модель фрактального анализа биомедицинских параметров

3.3 Инструмент мультифрактального мониторинга с помощью оптимально сгенерированной вейвлет-образующей функции

3.4 Выводы по разделу

4. РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ РАЗРАБОТАННЫХ МОДЕЛЕЙ, АЛГОРИТМОВ И ПРОГРАММНЫХ СРЕДСТВ

4.1 Временные ряды, искусственно сгенерированные моделями детерминированного

хаоса

4.2 Результаты исследования для временных рядов вариабельности сердечного ритма

4.3 Результаты обработки временных рядов биомедицинской направленности

4.4 Исследование и обработка экономических временных рядов биржевых индексов

4.5 Выводы по разделу

Заключение

Список литературы

Список сокращений

Приложение

Приложение

Приложение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модели и алгоритмы фрактального анализа хаотических временных рядов в реальном масштабе времени»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. Одним из актуальных направлений развития теории динамических систем и их многочисленных приложений является группа практических задач, связанных с нестационарной и хаотической динамикой управляемых процессов. Важнейшими представителями данного научного тренда являются прикладная теория хаотических процессов и методы фрактального анализа наблюдений (В.С. Анищенко, Б.П. Безручко, Д.П. Кратчфилд, АН. Павлов, Г. Шустер).

Основанием для развития численных методов анализа хаотических процессов послужила фундаментальная работа Ф. Такенса, позволяющая сравнивать топологии форм построенных аттракторов (предельных множеств, к которым стремятся траектории динамической системы) в различных фазовых пространствах. Следствием указанных результатов явилась возможность определения степени хаотичности изучаемых процессов на основе оценки размерности фазового пространства, в котором эволюционировало топологически эквивалентное отображение исходной конечномерной системы однородных нелинейных дифференциальных уравнений, описывающей исходный временной ряд. Однако на практике такой численный анализ столкнулся со значительными трудностями, касавшимися, прежде всего, оценки параметров вычислительных процедур (например, параметр задержки Такенса, размерность пространства вложения и др.). Подобные исследования ведутся и по сей день (М.А. Неренберг, В.А. Головко, В.А. Машин, Р.С. Ахметханов, Г.В. Гудков, М.Н. Швырло и др.).

С другой стороны, появилось большое число примеров практического применения теории хаоса в различных областях естественнонаучного знания. В частности, временные ряды, описывающие реальные процессы в биомедицине, экономике, технической диагностике и др. подвергались фрактальному анализу с целью построения нового класса прогностических индикаторов, базирующихся на концепциях фрактальной математики (В.С. Анищенко, Р.С. Атметханов, Г.В. Гудков, Я.Б. Данилевич, А.А Меклер и т.д.). Например, такие индикаторы, как фрактальная размерность, аппроксимированная энтропия, старший показатель Ляпунова, показатель Херста, и др., строились для установления степени детерминированности изучаемого процесса или степени близости данного процесса к случайному и т.п. Отсюда возник ряд исследований, указывающий на перспективность применения фрактальных показателей к анализу прикладных временных рядов, описывающих результаты мониторинга реальных процессов (M. Malik, Р.М. Баевский, Г.В. Рябыкина и др.).

В качестве примера применения фрактального индикатора можно привести фундаментальные исследования фетального ритма плода (ритма плода при беременности), например, в работах Г.В. Гудкова. Задача состояла в нахождении индикатора наличия нелинейной взаимосвязи фрактального процесса сердечного ритма с возможностью

эффективного родоразрешения при различной патологии (например, внутриутробной гипоксии). Подобные примеры можно привести в экономике, метеорологии и прочих областях прикладных исследований, где возникают временные ряды с хаотическими свойствами.

Степень разработанности темы исследования. Проведенные исследования формируют важное научное и прикладное направление в области анализа хаотических процессов. Большинство перечисленных выше работ носят частный характер, формируют искомые оценки для конкретных рядов наблюдений без создания общей модели построения и численной оценки индикаторов разладок. Основное внимание уделялось хаотическим процессам с установившейся структурой, в то время как многие реальные процессы содержат не только параметрические, но и структурные изменения. Исходя из этого, возникает научная задача исследования трансформации изменяющегося аттрактора в режиме реального времени с целью установления детерминированности (или возможной детерминированности), ригидности и регулярности наблюдаемого хаотического процесса в настоящий или последующий момент времени. Последнее необходимо для выявления и классификации степени детерминированного хаоса в наблюдаемом процессе в режиме реального времени.

Важной особенностью предполагаемых исследований является сравнение построенных индикаторов с так называемыми мультифрактальными показателями, то есть сформированными не одной фрактальной порождающей процедурой, а несколькими. Такие исследования к настоящему моменту проводятся в малом объеме, однако они очень перспективны, так как необходимы для установления степени мультифрактальности как характеристики исходного процесса и формировании общих рекомендаций о его возможной детерминированности. Заметим, что проведенные к настоящему моменту исследования ограничиваются задачей установления мультифрактальности исходного процесса, а не ее степени, то есть количественного сравнения топологии их аттракторов с монофрактальными объектами

Ранее предложенные разработки по тематике фрактального анализа не содержали программного обеспечения (ПО) для проведения численных исследований в режиме реального времени. Известные разработки в этой области характеризовались такими недостатками, как неполнота спектра изучаемых показателей (например, спектра фрактальных размерностей), отсутствие прогностических результатов (например, предсказание патологий в медицине), отсутствие практических рекомендаций по управлению изменением параметров обработки при оценке фрактальных индикаторов.

В настоящей работе будет создано специальное ПО, полностью или частично снимающее перечисленные ограничения.

Цели и задачи работы. Цель диссертационного исследования состоит в повышении оперативности и достоверности процессов мониторинга и прогнозирования состояния прикладных хаотических систем на основе проведения моно- и мультифрактального численного анализа многокомпонентных временных рядов наблюдений, описывающих их поведение.

Задачи диссертационного исследования:

1. Критический анализ существующей методологии и технических средств исследования нелинейных многокомпонентных хаотических систем.

2. Разработка модели прогнозирования эволюции фрактальных показателей в режиме реального времени для прикладных хаотических процессов.

3. Создание нового метода вычисления скейлингового диапазона (диапазона постоянства корреляционного интеграла) с повышенным уровнем достоверности определения корреляционной размерности.

4. Разработка алгоритма вычисления оптимального вейвлета, выявление и сравнение особенностей и различий мультифрактального спектра для рядов хаотических наблюдений, сгенерированных монофрактальными отображениями.

5. Реализация разработанных методов и алгоритмов многокомпонентных хаотических систем в виде программного комплекса, демонстрация вычислительных возможностей и качества полученных результатов.

Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

1. Разработана и реализована модель прогнозирования процесса изменения фрактальных показателей в режиме реального времени, отличающаяся предложенным рядом собственных фрактальных функциональных критериев состояния исследуемой хаотической системы на основе оценки параметров трендов корреляционной размерности, аппроксимированной энтропии, показателя Херста, старшего показателя Ляпунова и др. Модель протестирована на примере известных моделей детерминированного хаоса, что позволяет повысить обоснованность ее применения для реально существующих процессов естественнонаучного происхождения.

2. Предложен метод построения скейлингового диапазона корреляционного интеграла, отличительной особенностью которого является вычисление совместной функции плотности вероятности нахождения точек на аттракторе. Показаны преимущества рассмотренного подхода по сравнению с уже существующими при оценке фрактальной размерности, состоящие в более точном определении границ постоянства корреляционного интеграла для его аппроксимации прямой зависимостью в найденном диапазоне.

3. Построены тренды корреляционной размерности и аппроксимированной энтропии «длинных» (длиной 104-105 отсчетов) рядов результатов мониторинга, таких как суточная вариабельность сердечного ритма (ВСР). Установлено, что в норме для различных фазовых пространств они характеризуются определенным образом (тренды корреляционной размерности не изменяют своей формы, а тренды аппроксимированной энтропии при увеличении детерминированной составляющей в исходном сигнале становятся одинаковыми при изменении размерности фазового пространства). Этот результат позволил сформулировать гипотезу о характере трендов корреляционной размерности и энтропии, отличительной чертой которой является возможность предсказания детерминированного хаоса исходной динамической системы.

4. Показано, что сконструированный прогностический индикатор корреляционной размерности продемонстрировал правомерность гипотезы о характере постоянного тренда для 79% случаев фибрилляции желудочков известной базы Sudden Cardiac Death Holter Database сервера PhysioNet. Для одной из 16 обработанных записей временных рядов биржевых индексов котировок валют найден регулярный аттрактор с постоянной во времени корреляционной размерностью и нулевой аппроксимированной энтропией. Этот установленный факт выгодно отличает его от уже найденных и говорит о возможности реконструкции соответствующей ему динамической системы в виде конечномерной системы дифференциальных уравнений, с помощью которой возможно проводить прогнозирование динамики эволюции исходного временного ряда.

5. Предложен алгоритм построения оптимальной (с точки зрения предложенного критерия) вейвлет-образующей функции при мультифрактальном исследовании рядов хаотических наблюдений, отличающийся возможностью поиска необходимого вейвлета для заданного временного ряда. Найдены оптимальные значения скейлинговой экспоненты распределения локальных максимумов непрерывных вейвлет-преобразований как для модельных тестовых данных (формируемых генераторами моделей детерминированного хаоса), так для биомедицинских и экономических рядов хаотических наблюдений. Данный результат позволяет разложить некоторые прикладные мультифрактальные временные ряды на монофрактальные составляющие с целью их дальнейшего исследования по отдельности.

Теоретическая и практическая значимость работы. Теоретическая значимость работы состоит в разработке новой модели, вычислительного метода и алгоритма определения численных индикаторов хаотических процессов, работоспособность которых показана на результатах долговременного мониторинга биомедицинских, экономических и других процессов. Применения предложенной модели и численных алгоритмов позволило получить

вычислительные алгоритмы для новых прогностических индикаторов разладки хаотических временных рядов наблюдений.

Практическая значимость состоит в создании трех независимых программных комплексов:

1. Программный комплекс для вычисления фрактальных характеристик аттракторов (фрактальных размерностей, энтропии, показателя Херста, старшего показателя Ляпунова и пр.) временных рядов наблюдений, описывающих поведение хаотических систем в режиме реального времени. ПК позволяет осуществить визуализацию изменения фрактальных характеристик и их трендов и дает возможность повысить оперативность определения фрактальных индикаторов разладки хаотических процессов по сравнению с известными аналогами.

2. Комплекс прикладных медицинских программ для вычисления фрактальных размерностей временных рядов наблюдений, отображающих скорости кровотока и системного артериального давления в сосудах головного мозга. Комплекс работает совместно допплерографом MULTГОOP-X, что позволяет повысить достоверность определения патологий сосудов головного мозга по сравнению с существующими технологиями в среднем на 10%.

3. Программный комплекс вычисления мультифрактальных характеристик прикладных хаотических процессов, реализующий расчет скелинговой экспоненты в алгоритме нахождения оптимальной вейвлет-образующей функции. Данный инструмент позволяет обрабатывать различные хаотические ряды наблюдений и выявлять степень их мультифрактальности для наиболее известных вейвлетов. В случае установления конечности монофрактальных составляющих осуществляется разложение исходных рядов наблюдений на отдельные компоненты, что позволяет повысить точность идентификации структуры разладки исследуемой хаотической системы.

Положительный эффект от применения разработанных методов состоит в возможности в режиме реального времени осуществлять предсказания прикладных процессов детерминированного хаоса, порождающего в процессе мониторинга исходные временные ряды наблюдений (например, медико-биологического происхождения).

Методология и методы исследования. В диссертации разрабатывалась и модифицировалась фрактальная и мультифрактальная методология исследований временных рядов наблюдений, описывающих поведение сложных хаотических систем в режиме реального времени. В процессе исследований применялись статистические, спектральные, корреляционные и др. методы.

На защиту выносятся:

1. Модель прогнозирования эволюции фрактальных показателей в режиме реального времени.

2. Метод вычисления скейлингового диапазона оценки корреляционного интеграла хаотических процессов при монофрактальном методе исследований.

3. Алгоритм определения оптимальной вейвлет-образующей функции, описывающей спектрально-временное представление исследуемых хаотических процессов при мультифрактальном исследовании.

4. Программные комплексы фрактальной обработки хаотических временных рядов, позволяющие оценить фрактальные индикаторы разладки для прикладных процессов естественнонаучного происхождения.

Краткое содержание диссертации. Во введении указаны применяемые методы, обоснована актуальность темы диссертационного исследования, сформулирована цель работы и дана ее общая характеристика.

Первый раздел представляет собой обзор известных методов исследования временных рядов.

Во втором разделе изложена разработанная модель вычисления фрактальных показателей временных рядов. Представлена принципиальная схема последовательности вычисления управляющих параметров и созданы или модифицированы методы их расчета.

Третий раздел посвящен раскрытию возможностей созданного программного обеспечения и демонстрации работы его основных модулей.

Четвертый раздел посвящен исследовательской части диссертации. В нем совместно использовались уже готовые программные модули, описанные выше и построенные в работе программные комплексы и средства.

В заключении сформулированы основные результаты работы и вопросы, представляющие интерес для дальнейших исследований.

В приложении 1 представлено описание программного модуля «Фрактан 4.4» . Приведены примеры расчета фрактальных характеристик известных аттракторов, полученных с помощью этого приложения. В приложении 2 - тренды фрактальных компонент ВСР, полученные с помощью «Фрактан 4.4», результаты обработки базы Sudden Cardiac Death Holter Database, в приложении 3 демонстрация созданных в работе технических средств.

Степень достоверности и апробация результатов.

Достоверность результатов диссертационного исследования подтверждена тремя актами внедрения: акт внедрения в АНО «XXI-век», внедрение в образовательный процесс ВКА им. А. Ф. Можайского на практических занятиях по дисциплине «Программирование», внедрение в образовательный процесс Санкт-Петербургского государственного университета аэрокосмического приборостроения на практических занятиях по дисциплине «Вычислительная математика».

Проекты «Аппаратно-программный комплекс энтропийно-динамического мониторинга кардиоритма», «Программная составляющая автоматизированного комплекса вычисления фрактальных компонент вариабельности сердечного ритма», «Процессы переноса во фрактальных средах и системах: свойства и размерности» и «Выявление границ применения мультифрактальных численных методов к исследованию сердечнососудистой патологии» поддержаны грантами Российского Фонда Фундаментальных Исследований (гранты 09-08-01135-а, 10-08- 11513-с, 09-08-01111-а, 12-08-31108-мол_а). Результаты работы использовались при подготовке ежегодных промежуточных или итоговых отчетов о НИР СПбГПУ им. Петра Великого.

Основные теоретические положения, алгоритмы, используемые в работе и их практическая реализация обсуждались и докладывались на: XXII-й Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (ММТТ-22, Псковский Государственный Политехнический Институт, 2009), The XIII International Conference «Applied Stochastic Models and Data Analysis» (Vilnius Gediminas Technical University, 2009), Российской школы-конференции с международным участием «Математика, информатика, их приложения и роль в образовании» (Москва, Российский Университет Дружбы Народов, 2009), International Conference «Stochastic Modeling Techniques and Data Analysis» (Mediterranian Agronomic Institute of Chania, 2010), XXIII-й Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (ММТТ-23, Саратовский Государственный Технический Университет, 2010), The XIV International Conference «Applied Stochastic Models and Data Analysis» (The Faculty of Economics of the University of Rome, 2011), Mathematical Problems in Engineering, Aerospace and Sciences (INCPAA, Vienna University of Technology, 2012), The XV International Conference «Applied Stochastic Models and Data Analysis» (Mataro (Barcelona), Spain, 2013), International Conference «Stochastic Modeling Techniques and Data Analysis» (Lisbon, Portugal, 2014), 69-й региональной научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «СТУДЕНЧЕСКАЯ ВЕСНА - 2015» (Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А.Бонч-Бруевича, 2015), XXIX-й Международная научная конференция «Математические методы в технике и технологиях» (ММТТ-29, Санкт-Петербургский Государственный Технологический Институт, 2016).

По теме диссертации опубликовано десять печатных работ, в том числе пять - в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. Одна работа поддержана грантом РФФИ и напечатана в отдельном сборнике.

1. АНАЛИЗ СОВРЕМЕННОГО СОСТОЯНИЯ МЕТОДОВ ЧИСЛЕННОГО ФРАКТАЛЬНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

1.1 Методы исследования временных рядов и их общая характеристика

Временной ряд - статистический материал о значении одного или нескольких параметров исследуемого процесса в различные моменты времени:

{Х1% ! = {х (го П=

Каждую единицу временного ряда принято называть отсчетом. Временные ряды, порожденные различными экономическими (индекс Доу-Джонса, индексы взаимосвязи котировок валют и др.), биомедицинскими (напр. вариабельность сердечного ритма - ВСР, электроэнцефалограмма - ЭЭГ, линейная скорость кровотока и системное артериальное давление в сосудах головного мозга и мн. др.), метеорологическими (скорость ветра, давление, количество осадков, температура и др.) и пр. естественнонаучными процессами занимают свое обособленное место в прикладных и фундаментальных исследованиях [1,1113,15,17,20,21,24,30,31,33-35,38-40,43,44,48-52,56,60,69,71,72,74-76]. В подобных работах ведется поиск методов и средств их возможного описания, выявления закономерностей их поведения, тенденций и прогноза на короткие и длительные временные промежутки. Здесь необходимо подчеркнуть, что создаваемые методы обработки должны непосредственно коррелировать с реализацией, то есть разработкой качественных приложений визуального контроля, научными исследованиями построенных методов и инструментов, непосредственными практическими тестами, как на модельных, так и на исходных данных изучаемых процессов [3,12,16,22,77].

Рис. 1.1 Методы анализа временных рядов

Возможные методы анализа временных рядов схематично представлены на рис. 1. Исходя из вида преобразований, относительно которых ведется обработка, методы анализа условно разделяют на линейные и нелинейные. Дадим общую характеристику каждой группе методов.

1.1.1 Статистические методы

Эта группа методов обычно называется временным анализом, и относиться к исследованию общих закономерностей временного ряда. При их использовании ряд рассматривается как совокупность последовательных временных промежутков - интервалов между последовательными нормальными значениями. Хорошо известны следующие зарекомендовавшие себя на практике показатели:

х-

1. Среднее: х = ', где п - количество отсчетов исходного временного ряда, хг -текущий интервал;

2. Стандартное отклонение для всех интервалов: 5 = ^' Х ;

5

3. Коэффициент вариации [%]: с V = -;

4. sAx - стандартное отклонение средних х-интервалов на всех А-элементных сегментах

записи временного ряда: sAx = /—ЕГЛО71 i — тг),

ПА

где mi - среднее х по A-сегментной записи, тЦ - среднее mi по всей записи, па - количество сегментов.

Возможно использование статистических характеристик более высоких порядков, например асимметрии (As):

5. а s = g= 1 (х[~3

n-s3

и эксцесса (Ех):

6. Ех = ^=l(Xi~*)4 - з.

n-s4

1.1.1.1 Визуальные методы

Кроме математического исследователями часто практикуется и "визуальный" линейный анализ временного ряда. Для этих целей обычно строят гистограмму (вариационную кривую распределения интервалов) и скаттерограмму.

Например, гистограмма (или гистограмма вариабельности) пользуется большой популярностью при исследовании временных рядов ВСР [12,60,69]. В литературе рекомендации по построению гистограмм различны. В одних источниках [12, 15]

традиционным считается гистограмма вариабельности построенная в диапазоне от 400 до 1300 мс с интервалом 50 мс. Таким образом, исследуются 20 фиксированных диапазонов длительностей кардиоинтервалов. В западных источниках [21] стандартным является построение гистограмм в шагом дискретизации по оси абсцисс 1/128 секунды (7.8125 мс). На рис. 4 приведен пример построения гистограммы последним способом по данным сервера [73].

Record nsr2db/nsr002 (О - ЗбОО): RR interval histogram

250-]

0.4 О.Ь 0.8 1.0 1.2 1.4

RR (sec)

Рис. 1.2 Пример построения гистограммы вариабельности записи базы nsr2db по данным сервера http://physionet.org

Используя гистограмму, вычисляется следующий ряд характеристических показателей:

1. Мо [мс] (мода) - наиболее часто встречающееся значение среди всех NN интервалов (наибольшее значение гистограммы);

2. АМо [%] (амплитуда моды) - число интервалов, соответствующих значению моды ко всему объему выборки;

3. МхБМп [мс] (вариационный размах) - разность между длительностью наибольшего и наименьшего интервалов (иногда в литературе обозначается как TINN [21, 44]);

4. МхКМп - значение отношения максимального NN-интервала к минимальному.

Триангулярный индекс ВСР - количество ЫЫ-интервалов, деленное на высоту гистограммы,

рассчитанной на шкале с шагом 1/128 с.

Метод исследования скаттерограмм (или, например, при анализе сердечного ритма метод корреляционной ритмографии) состоит в отображении на плоскости последовательных пар временного ряда х^ и Х1+1. Пример построения скаттерограммы приведен на рис. 3. Область заполнения точками координатной плоскости называется облаком, и в случае отсутствия артефактов (т.е. отдельных удаленно стоящих значений или выбросов) оно приближенно заполняет некоторый эллипс [12, 21, 44].

сек

/

'¿ВГ^"' '

..........

у

О 0.75 сек.

Рис. 1.3 Пример построения скаттерограммы

Далее производится исследование характеристик приближенно построенного таким образом эллипса:

1. Дмс] - длина основного облака. Нетрудно понять, что она соответствует вариационному размаху;

2. ^[мс] - ширина основного облака;

3. Е11Л$ (отношение ширины основного облака к его длине):

Е1Ш = -;

4. Е11$>ц (площадь скаттерограммы) [мс ]:

пЕ\м

ЕИБц = .

1.1.1.2 Специальные линейные показатели

Для временных рядов из различных специальных областей известны свои показатели. Например, в отечественной клинике ВСР для оценки адаптации сердечнососудистой системы [41] к действующим агрессивным факторам Р. М. Баевским [11-13] предложены следующие характеристические параметры (индексы Баевского), вычисляющиеся с помощью известных статистических параметров гистограммы вариабельности:

1. Индекс вегетативного равновесия [1/мс]:

АМо

ИВР =

МхБМп

^ 2 2. Вегетативный показатель ритма [1/мс ]:

ВПР = ■

Mo ■ MxDMn .

3. Показатель адекватности процессов регуляции [1/мс]:

АМо

ПАПР = ■

Mo

2

4. Индекс напряжения регуляторных систем [1/мс ]:

ИН = . АМо

2Mo ■ MxDMn

Последний индекс также известен как индекс напряжения регуляторных систем или стресс индекс ^Г) [1].

1.1.2 Спектральные методы

Кроме анализа временных рядов во временной области широко распространены методы спектрального анализа [12,15,21,24,25,32], их применение выделяет различные частотные составляющие колебаний исходного ряда. Спектральные компоненты характеризуют активность определенной частотной гармоники, для их получения используют дискретный аналог преобразования Фурье:

N-1

1 2т

Zlm

xne~~^kn k = 0,...,N -1.

71=0

Вычисление предыдущих сумм обычно производится стандартным алгоритмом быстрого преобразования Фурье (БПФ) по модулю 2 [25,32]. Для вычисления спектральных компонент часто используют весовые окна с целью уменьшения эффекта боковых лепестков в спектральных оценках (растекание спектра). Для этих целей наиболее часто используют окно фон Ханна:

1 1 /2лЬ\

(nt\ 1 1 /¿nt\ w(t) = cos2 ^ —) = — + — cos (——). w \T J 2 2 \T J

Список возможных типов окон (Бартлетта, Хемминга, Натолла, Гаусса, Дольфа-Чебышева) можно найти, например, в [36].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Загайнов Артем Игоревич, 2018 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Агаджанян Н. А., Батоцыренова Т. Е., Семенов Ю. Н., Кислицын А. Н., Иванов С. В. Соревновательный стресс у представителей различных видов спорта по показателям вариабельности сердечного ритма // Теория и практика физической культуры - 2006. № 1. C.

2-4

[2] Антонов В. И., Загайнов А. И., Коваленко А. Н. Динамический тренд корреляционной размерности как характеристический показатель жизнедеятельности организма. // Научно-технические ведомости СПбГПУ. - СПб:2009, №.6(91), C. 111-119

[3] Антонов В. И., Загайнов А. И., Ву ван Куанг Автоматизированное программное обеспечение для численных мультифрактальных исследований // Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. - 2013. №.2(169). C. 71-77

[4] Анищенко В. С., Астахов В. В., Вадивасова Т. Е., Нейман А. Б., Стрелкова Г. И., Шиманский-Гайер Л. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах. // Институт компьютерных исследований. - Москва-Ижевск:2003, С. 544

[5] Анищенко В. С., Павлов А. Н. Мультифрактальный анализ сигналов на основе вейвлет-преобразования // Известия Саратовского Университета.- 2007. - Т.7 Сер. Физика, вып. 1, С.

3-25

[6] Анищенко В. С., Сапарин П. И. Нормированная энтропия как диагностический признак реакции сердечно-сосудистой системы человека на внешнее воздействие // Изв.вузов «ПНД», т.1, №3,4, 1993, C. 54-63

[7] Анищенко В. С., Сапарин П. И., Куртс Ю., Витт А., Фосс А. Анализ динамики сердечного ритма человека на основе критерия перенормированной энтропии // Изв.вузов «ПНД», т.2, №3,4, 1994, C. 55-62

[8] Анищенко В. С., Янсон Н. Б., Павлов А. Н. Может ли режим работы сердца здорового человека быть регулярным? // Радиотехника и Электроника, том 42, №8, 1997, С. 1005-1010

[9] Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения // Успехи физических наук, Т. 166, №11, 1996, С.1145-1170.

[10] Ахметханов Р. С. Применение теории фракталов и вейвлет-анализа для выявления особенностей временных рядов при диагностике систем // Вестник научно-технического развития, №1(17), 2009, C. 26-31

[11] Баевский Р. М. Прогнозирование состояний на грани нормы и патологии. // М.: Медицина, 1979, C. 295

[12] Баевский Р.М., Иванов Г.Г., Гаврилушкин А.П., Довгалевский П.Я., Кукушкин Ю.А., Миронова Т.Ф., Прилуцкий Д.А., Семенов А.В., Федоров В.Ф., Флейшман А.Н., Медведев М.М., Чирейкин Л.В. Анализ вариабельности сердечного ритма при использовании различных электрокардиографических систем (часть 1). // Вестник аритмологии. - М:2002. № 24. С. 6586.

[13] Баевский Р. М., Кириллов О. И., Клецкин С. З. Математический анализ изменений сердечного ритма при стрессе. // М.: Наука, 1984, C. 221

[14] Безручко Б. П., Смирнов Д. А. Математическое моделирование и хаотические временные ряды // Саратов: ГосУНЦ «Колледж», 2005, С. 320

[15] Белолипцев И.И., Фархиева С.А. Предсказание финансовых временных рядов на основе индекса фрактальности // Мир Науки, Вып. 3 - 2014., С. 1-12

[16] Боев Я.И., Стрелкова Г.И., Анищенко В.С. Оценка размерности хаотических аттракторов с использованием времен возврата Пуанкаре // Нелинейная динамика. 2015. Т. 11. № 3. С. 475-485

[17] Головко В. А. Нейросетевые методы обработки хаотических процессов // Научная сессия МИФИ-2005. VII Всероссийская научно-техническая конференция «Нейроинформатика-2005»: Лекции по нейроинформатике. - М.:МИФИ, 2005. С. 43-91

[18] Гудков Г. В. Диагностические возможности определения детерминированного хаоса в структуре вариабельности ритма сердца плода. // Вестник муниципального здравоохранения (электронное периодическое издание) №1(1), 2008, С.19

[19] Гудков Г. В. Пенжоян Г. А., Туриченко О. В. Мультифрактальная природа сердечного ритма плода при его различных функциональных состояниях // Вестник новых медицинских технологий, Издательство Тульский Государственный Университет, №3(XIII), 2006, С. 101104

[20] Данилевич Я. Б., Коваленко А. Н., Носырев С. П. Иррегулярность энтропийных процессов в организме как показатель его функциональной устойчивости // Доклады Академии Наук, т. 429, №1, 2009, С.135-138

[21] Зарубин Ф.Е. Вариабельность сердечного ритма: стандарты измерения, показатели, особенности метода. // Вестник аритмологии, №10, 1998, С.25-30

[22] Захаров А.И., Ходаковский В.А., Загайнов А.И. Multifractal analysis: identifying the boundaries application in the study of time series // Интеллектуальные технологии на транспорте. Санкт-Петербург, 2015. №3. С. 24-29

[23] Кратчфилд Д. П., Фармер Д. Д., Паккард Н. Х., Шоу Р. С. Хаос // В Мире Науки, №2, 1987, С.16-28

[24] Кузнецов С.П., Кузнецов А.С., Круглов В.П. Гиперболический хаос в системах с параметрическим возбуждением паттернов стоячих волн // Нелинейная динамика. 2014. Т. 10. №3. С. 265-277

[25] Марпл С. Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения. // Пер. с англ.- М.: Мир, 1990, С. 584

[26] Махортых С.А., Сычев В.В. Алгоритмы вычисления характеристик стохастических сигналов и их применение к анализу электрофизиологических данных. // Abstracts. Nonlinear Phenomena in Biology. Pushchino:1998. P.33-34

[27] Машин В.А. Связь тангенса угла наклона линии регрессии графа сердечного ритма с периодической и нелинейной динамикой ритма сердца на коротких стационарных отрезках. // Биофизика - 2006. - Т 51. - вып. 3. - С. 534-538.

[28] Меклер А. А. Применение аппарата нелинейного анализа динамических систем для обработки сигналов ЭЭГ, Актуальный проблемы современной математики: ученые записки, Т. 13(2), 2004, C. 112-140

[29] Мусаев А.А. Статистический анализ инерционности хаотических процессов // Труды СПИИРАН. 2014. Вып. 2(33). С. 48-59

[30] Найман, Э. Расчет показателя Херста с целью выявления трендовости (персистентности) финансовых рынков и макроэкономических индикаторов // Економют. -2009. - №10. - С. 18-28

[31 ] Николаева Д. А. Применение метода оценки корреляционной размерности для анализа ЭЭГ человека с заболеванием эпилепсия // Дифференциальные уравнения и процессы управления, № 2, 2009, С. 43-51

[32] Нуссбаумер Г. Быстрое преобразование Фурье и алгоритмы вычисления сверток // Пер. с англ., Радио и связь, - М.:1985, С.248

[33] Опарин А. Л., Рудык Ю. С., Овчаренко И. Е. Сравнение прогностических свойств показателей вариабельности сердечного ритма у пациентов после острого инфаркта миокарда // Системи обробки шформацп, Харювський ушверситет Пов^ряних Сил iменi 1вана Кожедуба, №6(64), 2007, С. 80-81

[34] Орлов Ю.Н., Осминин К.П. Анализ нестационарных временных рядов // Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН,№ 36, 2007. C. 24

[35] Отнес Р. Эноксон Л. Прикладной анализ временных рядов. Основные методы // Пер. с англ., Издательство «Мир», - М.:1982, С.428

[36] Павлов А. Н. Методы анализа сложных сигналов: учебное пособие для студентов физического факультета // Научная книга. - Саратов:2008, С. 120

[37] Павлов А. Н., Янсон Н. Б., Анищенко В. С., Гриднев В. И., Довгалевский П. Я. Диагностика сердечно-сосудистой патологии методом вычисления старшего показателя Ляпунова по последовательности RR-интервалов // Изв.вузов «ПНД», т.6, №2, 1998 С. 3

[38] Парин В.В., Баевский P.M. Введение в медицинскую кибернетику // М.: Медицина, 1966, С.220.

[39] Рунова Е. В. Вейвлет-анализ вариабельности сердечного ритма в оценке функционального состояния регуляторных систем организма человека: автореф. дис. канд. биол. наук: 03.00.13 // Издательство НижГМА, 2008, С. 25

[40] Рябыкина Г.В., Соболев А.В. Кардиология. Вариабельность ритма сердца. Монография. // Издательство "СтарКо", Москва: 1998, С. 200

[41] Селье Г. Очерки об адаптационном синдроме. // Пер. с англ., М:Медгиз, 1960, С.275

[42] Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов // Издательство «Питер» СПб:2003, C.604

[43] Урицкий В. М., Музалевская Н. И. Фрактальные структуры и процессы в биологии (обзор) // Биомедицинская информатика и эниология (проблемы, результаты, перспективы). Сборник трудов. - Издательство «ОЛЬГА» - СПб: 1995, С. 84-130

[44] Устюжанина Т.Н., Чезганова С.Г. Математическое моделирование физических процессов в атмосфере Земли // Наука и бизнес: пути развития. 2016. №6. С. 19-27

[45] Швырло М.Н., Вагин С.В. Применение нелинейных динамических методов анализа ритма сердца // Вюник Харювського нацюнального ушверситету iменi В.Н. Каразша, Серiя Медицина. 2003. Випуск 5. № 581,

[46] Шустер Г. Детерминированный хаос: введение // Пер. с нем.- М.: Мир, 1988, С. 253

[47] Янсон Н. Б., Анищенко В. С. Моделирование динамических систем по экспериментальным данным // Изв.вузов «ПНД», т.3, №3, 1995, C. 112-121

[48] Antonov V., Fedulin A., Nosyrev S., Kovalenko A. Critical condition in human: The entropy based technology of definition // cdqm-Journal 2007, V. 10. № 1. P. 55-61

[49] Beninca E., Ballantine W., Ellner S.P. Huisman J. Species fluctuations sustained by a cyclic succession at the edge of chaos // Proceedings of the National Academy of Sciences. 2015. V. 112. № 20. P.6389-6394

[50] Carvajal R., Zebrowski J. J., Vallverdu M., Baranowski R., Chojnowska L., Poplawska W., Caminal P. Dimensional analysis of HRV in hypertrophic cardiomyopathy patients. IEEE Engineering In Medicine And Biology, 21(4), 2002 P. 71-78

[51] Cugini P., Bernardini F., Cammarota C., Cedrone L., Curione M., Danese C., Proietti E. Evidence that the information entropy estimating the nonlinear variability of human sinusial R-R intervals shows a circadian rhythm // Journal of Clinical and Basic Cardiology, 2 (Issue 2), 1999, P. 275-278

[52] Gagne Y., Hopfinger E., Frisch U. A new universal scaling for fully developed turbulence: The distribution of velocity increments // New Trends in Nonlinear Dynamics and Pattern Forming Phenomena: The Geometry of Nonequilibrium / Eds. P. Coullet, P. Huerre. N.Y.: Plenum Press, 1989. P.315-319

[53] Goldberger A.L., Rigney D.R. Sudden death is not chaos // Dynamic Patterns in Complex Systems, Singapore: World Scientific, 1988, P. 119-124

[54] Grassberger P., Procaccia I. Characterization of strange attractors // Phys. Rev. Lett. Vol. 50, 1983, P. 346-349

[55] Grassberger P., Procaccia I. Measuring the strangeness of strange attractors // Physica D, Vol. 9, 1983, P. 189-208

[56] Ivanov P.C., Nunes Amaral L.A., Goldberger A.L., Havlin S., Rosenblum M.G., Struzik Z., Stanley H E. Multifractality in human heartbeat dynamics // Nature V.399, 1999, P.461-465

[57] Jaffard S. Multifractal Formalism for Functions: I. Results Valid for all Functions, II. Self-Similar Functions // SIAM J. Math. Anal., №28(4), 1997, P. 944-998

[58] Khandoker A. H, Jelinek H. F, Palaniswami M., Identifying diabetic patients with cardiac autonomic neuropathy by heart rate complexity analysis, BioMedical Engineering OnLine, 8(3), 2009, P. 1-12

[59] Kuusela T.A., Jartti T.T., Tahvanainen K.U.O., Kaila T.J. Nonlinear methods of biosignal analysis in assessing terbutaline-induced heart rate and blood pressure changes // American Journal of Physiology Heart and Circulatory Physiollogy, Vol. 282, Issue 2, 2002, P. H773-H781

[60] Malik M., Bigger J. T., Camm A. J., Kleiger R. E., Malliani A., Moss A. J., Schwartz P. J. Heart rate variability. Standards of measurement, physiological interpretation and clinical use // European Heart Journal, №17, 1996, P. 354-381

[61] Merati G., Rienzo M. D., Parati G., Veicsteinas A., Castiglioni P. Assessment of the autonomic control of heart rate variability in healthy and spinal-cord injured subjects: contribution of different complexity-based estimators // IEEE Transactions on biomedical engineering, Vol. 53, №1, 2006, P. 43-52

[62] Muzy J.F., Bacry E., Arneodo A. Multifractal formalism for fractal signals: the structure-function approach versus the wavelet-transform modulus-maxima method // Phys. Rev. E. 1993.V.47. P.875-884

[63] Nerenberg M.A., Essex C. Correlation dimension and systematic geometric effects // Phys. Rev. A. Vol. 42. № 12., 1990, P. 7065-7074.

[64] Renyi A. Probability theory // Amsterdam: North-Holland, 1970, P. 560

[65] Schepers H. E., van Beek J. H. G. M., Bassingthwaighte J. B. Four methods to estimate the fractal dimension from self-affine signals // IEEE Engineering in Medicine and Biology Magazine, Vol. 11, №2, 1992, P. 57-64

[66] Sprott J. C., Rowlands G. Chaos Data Analyzer: the professional version. American Institute of Physics, New York, P. 48-51

[67] Storella J. R., Kandell R. B., Horrow J. C., Ackerman T. C., Polansky M., Zietz S. Nonlinear measures of heart rate variability after fentanyl-based induction of anesthesia // Anestesthesia&Analgesia, Vol. 81, 1995, P. 1292-1294

[68] Takens F. Detecting strange attractors in turbulence, in dynamical systems and turbulence // Lecture Notes in Mathematics, edited by D. A. Rand and L. S. Young. - Heidelberg, SpringerVerlag, 1981, P.366-381

[69] Task Force of the European Society of Cardiology and the North American Society of Pacing and Electrophysiology: Heart Rate Variability. Standards of Measurements Physiological Interpretation and Clinical Use // Circulation 1996. - Vol. 93 P. 1043-1065

[70] Wolf A., Swift J.B., Swinney H.L., Vastano J.A. Determining Lyapunov exponents from a time series // Physica D, Vol. 16, P. 285-317

[71] Xia Li, Xian Xu Primary study on correlation dimension of 24h HRV in different frequency domains // Proceedings of the World Congress on Engineering 2009, Vol I, 2009, P. 840-841

[72] Yeragani V. K., Sobolewski E., Jampala V. C. Kay J., Yeragani S., Igel G. Fractal dimension and approximate entropy of heart period and heart rate: awake versus sleep differences and methodological issues // Clinical Science, Vol. 95, 1998, P. 295-301

Интернет:

Доступ к временным рядам биомедицинского происхождения:

[73] PhysioNet. The research resources for complex physiologic signals - URL: http://www.physionet.org

Открытые литературные источники:

[74] Амосов О.С., Муллер Н.В. Исследование временных рядов с применением методов фрактального и вейвлет анализа // Интернет-журнал Науковедение. 2014. №3(22). - URL: / http:// cyberleninka. ru/article/n/issledovanie-vremennyh-ryadov-s-primeneniem-metodov-fraktalnogo-i-veyvlet-analiza

[75] Загайнов А.И., Мусаев А.А. Программный комплекс идентификации хаотических параметров мозгового кровообращения [Текст] // Известия высших учебных заведений. Приборостроение. 2017. №11(59). С. 959-964- URL: https://cyberleninka.ru/article/n/programmnyy-kompleks-identifikatsii-haoticheskih-parametrov-mozgovogo-krovoobrascheniya

[76] Кобелев Н.Б. Имитационный анализ и моделирование мировых процессов с учетом хаотических факторов. // Доклады Седьмой всероссийской научно-практической конференции «Имитационное моделирование. Теория и практика» (ИММОД-2015), Москва, 21 октября 2015 года. - URL: http://simulation.su/uploads/files/default/immod-2015-plenar-dokl-kobelev.pdf

[77] Чичаев И.А., Попов В.Ю. Об одном подходе к вычислению индекса Херста финансовых временных рядов и их аппроксимации фрактальным броуновским движением // Современные проблемы науки и образования. 2013. №2. - URL: http://cyberleninka.ru/article/n/ob-odnom-podhode-k-vychisleniyu-indeksa-hersta-finansovyh-vremennyh-ryadov-i-ih-approksimatsii-fraktalnym-brounovskim-dvizheniem-1

[78] V.Antonov, A.Zagaynov. Software package for calculating the fractal and cross spectral parameters of cerebral hemodynamic in a real time mode. 3rd International Conference Stochastic Modeling Techniques and Data Analysis (SMTDA 2014). Book of Abstracts (SMTDA2014, Lisbon Portugal, 11-14 June 2014), P. 13 - URL: http://www.smtda.net/images/Final_BOOK_OF_ABSTRACTS_SMTDA2014.pdf

СПИСОК СОКРАЩЕНИИ

FD (БЮ)

Dq

Do

Dl

D2

H

Ь Il

ApEn (Ь) SampEn LLE (X) ВСР

ЧСС (Ж)

ЭКГ

ЭЭГ

ЛСК

САД

NN

ЭКГ

^

SDANN

SDNN SDNNind

RMSSD

SDSD

NN50

pNN50

Mo

AMo

MxDMn

MxRMn

ИВР

ВПР

ПАПР

ИН (SI)

HF

LF

^^

ULF TP

LF/HF IC СС0 СС1

- фрактальная размерность восстановленного по временному ряду аттрактора

- обобщенная фрактальная размерность Реньи

- размерность Колмогорова-Хаусдорфа

- информационная размерность

- корреляционная размерность

- показатель Херста

- обобщенная энтропия Реньи

- энтропия Колмогорова-Хаусдорфа

- информационная энтропия

- аппроксимированная (корреляционная) энтропия

- «примерная» энтропия

- старший характеристический показатель Ляпунова

- вариабельность сердечного ритма

- частота сердечных сокращений

- электрокардиограмма

- электроэнцефаллограмма

- линейная скорость кровотока в сосудах головного мозга

- системное артериальное давление в сосудах головного мозга

- интервалы между последовательными нормальными QRS-комплексами (норма-норма интервалы)

- коэффициент вариации

- среднее квадратичное отклонение на всех пятиминутных сегментах снятия ЭКГ

- среднее квадратичное отклонение всех NN-интервалов

- среднее значение всех пятиминутных стандартных отклонений

- квадратный корень из суммы квадратов разности величин последовательных пар NN-интервалов

- стандартное отклонение разницы между соседними NN интервалами

- кол-во NN-интервалов, отличающихся друг от друга более чем на 50 мс

- отношение NN50 к общему числу NN-интервалов

- мода

- амплитуда моды

- вариационный размах

- значение отношения максимального NN-интервала к минимальному

- индекс вегетативного равновесия

- вегетативный показатель ритма

- показатель адекватности процессов регуляции

- индекс напряжения регуляторных систем

- мощность в диапазоне 0.15-0.4 №

- мощность в диапазоне 0.04-0.15 №

- мощность в диапазоне 0.003-0.04 Ш

- мощность в диапазоне 0.000-0.003 Н

- общая мощность спектра

- индекс вагосимпатического взаимодействия

- индекс централизации

- число сдвигов автокорреляционной функции до ее первого нуля

- значение коэффициента корреляции после первого сдвига

Приложение 1. Описание и примеры расчетов фрактальных характеристик в программном модуле Фрактан 4.4

В Ргас±ап В

Файл Обработка Просмотр Параметры Помощь

Первый отсчет Последний отсчет Оптим. задержка Макс, размерность

Ц Обработка Ф Степ

А

Рис. П1.1 Интерфейс программного модуля Фрактан 4.4

Рис. П1.2 Функциональные возможности модуля Фрактан 4.4

FRACTAN 4.4 Correlation Dimension

Data = C:\Users\ApTeM\Desktop\Данные\Henon.dat

Left = = 0

Right = = 10000

Lag = 1

MaxDim = 4

Range = = 2.557618

LDist -7.3 -7.0 -12.3 -10.3

RDist -5.3 -2.0 -5.3 -2.7

Sigma 0.008 0.040 0.053 0.045

CorrDim 0.955 1.197 1.178 1.192

PhSpDim 1 2 3 4

-12.7 0.000 0.000 0.000 0.000

-12.3 0.951 1.173 1.185 1.221

-0.3 0.421 0.829 1.302 1.779 0.0 0.191 0.391 0.601 0.819

Рис. П1.3 Листинг файла *.dim для аттрактора Хенона

FRACTAN 4.4 Correlation Entropy

Data = C:\Users\ApTeM\Desktop\Данные\Непоп.dat

Left = 0

Right = 10000

Lag = 1

MaxDim = 4

Range = 2.557618

LDist -9 .3 - 10.0 - 12.3

RDist -7 .3 - 2.0 - 5.0

Sigma 0. 046 0 .056 0 .058

CorrEnt 2. 286 0 .674 0 .633

PhSpDim 1 2 3

-12.7 0. 000 0 .000 0 .000

-12.3 3. 137 0 .748 0 .649

-0.3 0. 067 0 .070 0 .073

0.0 0. 000 0 .000 0 .000

Рис. П1.4 Листинг файла *.ent для аттрактора Хенона

FRACTAN 4.4 Hurst Exponent

Data = C:\Users\ApTeM\Desktop\ДанныеХНепоп-dat

Left = 0

Right = 10000

Hurst = 0.473463

HDelta = 0.179373

HAlpha = 0.588657

Рис. П1.5 Листинг файла *.exp для аттрактора Хенона

Рис. П1.6 График временного ряда, сгенерированного отображением Хенона

Рис. П1.7 Автокорреляционная функция для отображения Хенона с указанием ее первого

нуля (Оптим. задержка=1).

Рис. П1.8 Функция средней взаимной информации для отображения Хенона с указанием ее первого локального минимума (Оптим. задержка=21).

УЗ Ргайап - C:\l!Jsers\Apтe^f\Desktop^Дaнныe\Henon,dat

Файл Обработка Просмотр Параметры Помощь

Первый отсчет Последний отсчет Огтгим. задержка Макс, размерность

; 113000 [1 [в

Обработка

30 ООО 25 000' 20 000 15 000 10 ООО' 5 000 0

-5 000 -10 000' -15 000 -20 000 -25 000 -30 ООО-

У ч.

Г Л.

/

/ ________ \ ^ ________________х Л \

/ У . \

/ / .....\\.....

_____, / / \\

/

/ _______________\\

А

Фазовое пространство (2Р)

Рис. П1.9 Двухмерный восстановленный аттрактор Хенона.

Рис. П1.10 Двухмерный восстановленный аттрактор Хенона, соединенный линиями

между точками

Рис. П1.11 Проекция трехмерного восстановленного аттрактора Хенона

П1.12 Пример построения графиков корреляционной (аппроксимированной) энтропии для отображения Хенона в зависимости от расстояния между точками на

восстановленном аттракторе

Рис. П1.13 Пример построения графиков корреляционной (аппроксимированной) энтропии для отображения Хенона в зависимости от размерности фазового пространства

Рис. П1.14 Пример вычисления показателя Херста для восстановленного аттрактора Хенона

Рис. П1.15 Восстановленный двухмерный аттрактор белого (гауссова) шума

Ц Ргас±эп - C:\U5er5\ApTeM\De5lctop\CD\G3u55..с1а1 | сз || В

Файл Обработка Просмотр Параметры Помощь

Первый отсчет Последний отсчет Опт им задержка Макс, размерность

|о |юооо I1 I9 ¡и Обработка! Стоп

9376-Е-4210-

1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1- 0123456789 п

Корреляционная размерность = 7£44 Размерность фазового пространства >=9

Рис. П1.16 Кривая зависимости корреляционной размерности от размерности фазового пространства для белого (гауссова) шума

Рис. 1.17 Предельный цикл осциллятора Ван дер Поля

Рис. П1.18 Сходимость корреляционной размерности для осциллятора Ван дер Поля

Рис. П1.19 Двухмерный тор осциллятора Ван дер Поля с переменной внешней нагрузкой

Рис. П1.20 Корреляционная размерность в зависимости от расстояния для осциллятора Ван дер Поля с переменой внешней нагрузкой

Рис. П1.21 Корреляционная размерность в зависимости от расстояния для

отображения Икеды

Рис. П1.22 Восстановленный аттрактор системы уравнений Лоренца на плоскости

Рис. П1.23 Восстановленный аттрактор системы уравнений Ресслера на плоскости

Таблица 1П. Значения корреляционной размерности аттракторов (длина исходного временного ряда 1000)._

Разм-ть ф.

пр-ва 3 4 5 6

Аттрактор ^^^^^

Осц. Ван дер Поля 1.143 1.128 1.120 1.118

Осц. Ван дер Поля с 1.176 1.155 1.190 1.169

переем. вн. нагр.

Отобр. Хенона 1.179 1.159 1.061 1.191

Отобр. Икеда 1.902 1.981 1.882 2.228

Сист. Лоренца 1.803 1.376 1.850 1.976

Сист. Ресслера 2.194 2.092 1.649 1.159

Таблица 2П. Значения корреляционной размерности аттракторов (длина исходного

временного ряда 10000).

Разм-ть ф.

пр-ва 3 4 5 6

Аттрактор

Осц. Ван дер Поля 1.014 1.014 1.013 1.014

Осц. Ван дер Поля с 1.121 1.701 1.192 1.752

переем. Вн. Нагр.

Отобр. Хенона 1.222 1.173 1.177 1.178

Отобр. Икеда 1.731 1.720 1.729 1.719

Сист. Лоренца 2.022 2.031 1.911 2.005

Сист. Ресслера 1.923 1.947 1.935 1.920

Таблица 3П. Значения корреляционной (аппроксимированной) энтропии

аттракторов (длина исходного временного ряда 10000).

Разм-ть ф.

^^^^^^ пр-ва 3 4 5 6

Аттрактор

Осц. Ван дер Поля 0.111 0.088 0.076 0.067

Осц. Ван дер Поля с 0.001 0.130 0.133 0.113

переем. Вн. Нагр.

Отобр. Хенона 0.089 0.038 0.035 0.029

Отобр. Икеда 0.655 0.505 0.444 0.458

Сист. Лоренца 0.501 0.354 0.317 0.288

Сист. Ресслера 0.182 0.177 0.140 0.105

Приложение 2. Предварительные примеры построения фрактальных характеристик в программном модуле Фрактан 4.4 и некоторые результаты исследований с помощью созданных систем

10 15 20 25 30

Dimension of phase space

Рис. П2.1 Зависимость корреляционной размерности от размерности фазового

пространства. Пример №1.

15 20 25

Dimension of phase space

Рис. П2.2 Зависимость корреляционной размерности от размерности фазового

пространства. Пример №2.

Рис. П2.3 Зависимость корреляционной размерности от размерности фазового

пространства. Пример №3.

10 15

Time fhoursl

Рис. П2.4 Корреляционная размерность и ее динамический тренд, ошибка вычисления и ее динамический тренд для трехмерного восстановленного аттрактора

(здоровый мужчина 37 лет)

10 15

Time fhoursl

Рис. П2.5 Корреляционная размерность и ее динамический тренд, ошибка вычисления и ее динамический тренд для трехмерного восстановленного аттрактора

(ребенок 4 лет)

10 15

Time fhoursl

Рис. П2.6 Корреляционная (аппроксимированная) энтропия и ее динамический тренд, ошибка вычисления и ее динамический тренд для трехмерного восстановленного

аттрактора (здоровый мужчина 37 лет)

Time [hoursl

Рис. П2.7 Корреляционная (аппроксимированная) энтропия и ее динамический тренд, ошибка вычисления и ее динамический тренд для трехмерного восстановленного

аттрактора (ребенок 4 лет)

10 15

Time fhoursl

Рис. П2.8 Корреляционная размерность и ее динамический тренд, построенные для нескольких пространств вложения (здоровый мужчина 37 лет)

10 15

Time fhoursl

Рис. П2.9 Корреляционная размерность и ее динамический тренд, построенные для нескольких пространств вложения (ребенок 4 лет)

Рис. П2.10 Корреляционная (аппроксимированная) энтропия и ее динамический тренд, построенные для нескольких пространств вложения (здоровый мужчина 37 лет)

10 15

Time fhoursl

Рис. П2.11 Корреляционная (аппроксимированная) энтропия и ее динамический тренд, построенные для нескольких пространств вложения (ребенок 4 лет)

Таблица 4П. Результаты обработки с помощью созданной системы.

Пациент №

Число отсчетов

Гистограмма

Оптимальная

задержка

*

Вид

аттрак-

**

тора

Корреляционная размерность***

Аппроксимированная

***

энтропия

1

131372

эксцессивная

Нет

(31823,

63)

Немног о

[0, 0.02]

[0, 0.02]

60954

эксцессивная

Нет

(3252, 15)

Немного

[0, 0.03]

[0.1, 0.28]

121389

эксцессивная

Да (2297, 2)

Много

[0, 0.001]

[0, 0.1]

2

3

69081

ассиметрич-ная

Да

(20993,3)

Мало

[1.7, 2.8]

[1.3, 1.8]

27257

эксцессивная

Да (1179, 7)

Немного

[0, 0.5]

[0.2, 0.4]