Модели случайной замены времени для финансовых инструментов на основании полупараметрических оценок тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат физико-математических наук Малиновский, Сергей Викторович

• Малиновский, Сергей Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Малиновский, Сергей Викторович

Предисловие

Список обозначений и сокращений

I Модели случайной замены времени для опционов

1 Введение

1.1 Обзор опционных моделей.

1.2 Описание используемых данных.

2 Метод статистического оценивания процесса случайной замены времени

3 Модель случайной замены времени на основе неоднородного негаус-совского процесса Орнштейна-Уленбека (модель ЪЭ-Юи)

3.1 Аналитические свойства модели ЬЭ-Юи.

3.2 Вычисление цен опционов в модели ЬЭ-Юи.

3.3 Оценка параметров модели ЬБ-Юи.

3.4 Сравнительный эмпирический анализ модели ЬЯ-Юи.

4 Модель случайной замены времени на основе " экспоненциал ьно-пуассоновского" процесса (модель ЬБ-ЕР)

4.1 Аналитические свойства модели ЬБ-ЕР.

4.2 Вычисление цен опционов в модели ЬЭ-ЕР.

4.3 Сравнительный эмпирический анализ модели ЪБ-ЕР.

II Модели случайной замены времени для рисковых облигаций

1 Введение

1.1 Обзор моделей рисковых облигаций.

2 Основная модель

3 Обобщенная модель 99 Список литературы

Предисловие

Данная диссертация посвящена вероятностным моделям финансовых инструментов и методам статистического анализа их цен. В данной работе рассматриваются два важных с практической точки зрения класса финансовых инструментов - опционы и рисковые облигации.

Опцион является разновидностью производной ценной бумаги. Производной ценной бумагой, или деривативом (derivative security, derivative; здесь и далее - англ.), называется ценная бумага, стоимость которой зависит от значений каких-либо, базовых по отношению к данной ценной бумаге, переменных [67]. Базовыми переменными производных ценных бумаг могут быть курсы акций и валют, значения индексов, уровни процентных ставок, цены товаров, индикаторы событий (например, события банкротства некоторой фирмы в течение определенного промежутка времени) и многое другое, включая цены других производных ценных бумаг.

Рассмотрим некоторые из широко используемых на практике видов опционов.

• Европейские опционы "колл" (call) и "пут" (put). Европейский опцион "колл" - это ценная бумага, дающая право купить некоторый актив, называемый базовым активом данного опциона, в определенный момент времени Т, называемый сроком исполнения1, по заранее оговоренной цене К, называемой ценой исполнения или страйком (strike price). Функция выплат такого опциона, определяемая как чистая прибыль или чистый' убыток его держателя в момент исполнения, имеет следующий вид:

Wc (ST; К, Т) = max (ST -К, 0), (1.1) где St - цена базового актива2 в момент времени Т.

Европейский опцион "пут" - это ценная бумага, дающая право продать некоторый актив в определенный момент времени Т по заранее оговоренной цене К. Такой опцион имеет функцию выплат

Wp (Sr; К, Т) = max {К - ST, 0).

1 Здесь и далее предполагается, что время измеряется в годах, если явно не указано иное.

2Многие контракты такого типа в настоящее время не имеют под собой какш о-либо "осязаемого" актива, который можно было бы купить или продать. Примером такого конгракта является опцион на индекс. В этом случае, согласно условиям договора, продавец опциона обязан в момент времени Т выплатить его держателю сумму денег Wc (St; К,Т), определяемую согласно соотношению (1.1), где St - значение базовой переменной опциона в момент времени Т.

В дальнейшем мы, как правило, будем опускать детали практической реализации рассматриваемых опционов, работая в терминах соответствующих им функций выплат, дающих удобное с математической точки зрения их описание.

Поскольку функции выплат опционов обоих вышеописанных типов неотрицательны при St > 0, приобретение любого из этих опционов требует уплаты некоторой положительной суммы денег контрагенту (продавцу) в момент заключения сделки. Данную сумму денег принято называть премией за опцион или ценой опциона.

• Американские опционы "колл" и "пут". Наряду с европейскими широкое распространение получили американские опционы "колл" и "пут", отличающиеся от европейских тем, что их держатель имеет право предъявить их к исполнению (т.е. совершить покупку или продажу актива по указанной в контракте цепе) в любой момент времени по своему выбору в пределах крайнего срока, указанного в контракте. Функции выплат опционов данных типов имеют следующий вид:

Wc (¿V; К, Т) = max (ST — К, 0) - для опциона "колл", WP (Sr] К, Т) = max (А" — ST, 0) - для опциона "пут", где т <Т - момент предъявления опциона к исполнению.

Европейские опционы "колл" и "пут" мы в дальнейшем для краткости будем называть простейшими европейскими, американские - простейшими американскими, а оба эти класса в совокупности - простейшими. Простейшие опционы первыми в современной истории экономических отношений начали активно использоваться широким кругом экономических агентов, и они остаются одним из наиболее популярных и востребованных классов опционов в наши дни. Вместе с тем, в последние десятилетия все более широкое применение начали находить' другие виды опционов, функции выплат которых зачастую весьма сложным образом зависят от цен одного или нескольких активов в один или более моментов времени. Данные опционы получили общее название экзотических. Описанию и изучению экзотических опционов посвящено большое количество работ, среди которых мы отметим монографию [116].

Помимо опционов, распространенные сегодня классы производных ценных бумаг включают в себя фьючерсные (futures), форвардные (forward), своповые (swap) и другие виды контрактов. Для ознакомления со всем разнообразием используемых в настоящее время производных ценных бумаг рекомендуется обратиться к классической монографии [67].

Производные ценные бумаги применяются во многих сферах экономических отношений и играют фундаментальную роль средства перераспределения риска, дохода и капитала как между экономическими агентами, так и во времени. Приведем несколько примеров применения производных ценных бумаг.

• Форвардные, фьючерсные и опционные контракты на товары широко используются фирмами для управления рыночными рисками, связанными с их основной деятельностью.

• Инвесторы активно используют производные ценные бумаги для получения желаемого соотношения риска и доходности и для управления отдельными видами рисков, которым подвержены их инвестиционные портфели.

• Многие фирмы используют опционы на собственные акции в схемах вознаграждения высшего руководства и ключевых сотрудников.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модели случайной замены времени для финансовых инструментов на основании полупараметрических оценок»

Одним из наиболее современных и актуальных направлений в опционном моделировании является использование для описания процесса цены базового актива процессов Леви со случайной заменой времени, имеющей смысл "операционного", "делового" времени модели (в противовес времени календарному). Модели такого вида предлагаются и изучаются в работах [30], [34], [24], [23], [95], среди прочих. Тем не менее, нам неизвестны работы, в которых эмпирические опционные структуры подвергались бы статистическому анализу с целью получения оценок "операционного" времени. В первой главе данной диссертации нами предлагается метод статистического оценивания процесса случайной замены времени в опционных моделях, а также предлагаются и исследуются две новые опционные модели, построенные на основе выявленных с его помощью закономерностей. Более подробный обзор существующих опционных моделей и обоснование актуальности дальнейшего развития теории стохастического опционного моделирования приводятся во введении к первой главе данной диссертации.

Облигации являются еще одним важным классом финансовых инструментов, широко используемым для привлечения капитала фирмами и органами государственного и муниципального управления. Практически все виды имеющих хождение в настоящее время облигаций подвержены существенному риску дефолта (default). Дефолт - это неисполнение эмитентом облигации своих обязательств перед ее держателем своевременно и в полном объеме3. Облигации, подверженные риску дефолта, мы будем называть рисковыми, а не подверженные такому риску - безрисковыми4.

Наличие вероятности дефолта у большого числа облигаций ставит задачу измерения связанного с ними кредитного риска, которую, как правило, рассматривают как задачу оценивания рисковых облигаций как таковых. Современная теория оценивания рисковых облигаций основывается на теории случайных процессов и активно использует аппарат теории вероятностей и математической статистики для исследования их математических моделей. Одно из наиболее актуальных направлений в моделировании рисковых облигаций, значительный вклад в развитие которого внесли Д. Лэндо [76], [77], [78], [79], Д. Даффи [46], [50], К. Синглтон [41], [50], Р. Кан [46] и ряд других математиков, состоит в использовании для описания кредитного процесса эмитента цепи Маркова с детерминированной или стохастической» инфини-тезимальной матрицей. Однако ни одна из известных нам моделей такого вида не отвечает всем основным требованиям, предъявляемым к моделям рисковых облигаций практикой. Во второй главе данной диссертации предлагается и исследуется новая модель рисковых облигаций на основе цепи Маркова со случайной заменой времени специального вида, устраняющая основные недостатки существующих моделей. Более подробный обзор существующих моделей рисковых облигаций и обоснование актуальности проблемы дальнейшего их развития приведены во введении к главе 2.

Основные результаты диссертации состоят в следующем. В первой главе предложен метод статистического анализа эмпирических цен опционов, позволяющий получать полупараметрические оценки процесса случайной замены времени. Предложены два случайных процесса, получаемые посредством случайной замены времени на основе неоднородного пегауссовского процесса Орнштейна-Уленбека и па основе "экспоненциально-пуассоновского" процесса в а-устойчивом движении Леви. Построенные на основе данных процессов опционные модели отражают как выявленные посредством вышеупомянутого метода закономерности, так и ряд эмпирических свойств цен активов. Доказан ряд аналитических свойств предложенных процессов.

3В этом же смысле мы в дальнейшем будем употреблять понятие "банкротство".

4Практически безрисковыми принято считать государственные облигации наиболее крупных и экономически развитых стран мира (в первую очередь, США и Японии).

Для построенных опционных моделей получены выражения для характеристической функции процесса доходности и цены европейского опциона "колл" в полуаналитическом виде. Получены оценки остатка ряда в выражении для преобразования Лапласа процесса случайной замены времени на основе "экспоненциально-пуассоновского" процесса. Предложен и реализован алгоритм вычисления цен опционов в предложенных моделях. Проведенный статистический анализ демонстрирует более высокую степень соответствия предложенных моделей эмпирическим опционным структурам в сравнении с рядом эталонных моделей.

Во второй главе данной диссертации представлены две модели рисковых облигаций на основе цепей Маркова с непрерывным временем. Первая из предложенных моделей является модификацией модели В.В. Питербарга [98]. Вторая модель, являющаяся обобщением первой, строится на основе цепи Маркова со случайной заменой времени специального вида и характеризуется наличием зависимости между процессами изменения кредитных рейтингов различных эмитентов. Для данной модели получены выражения для вероятности разорения эмитента и цены рисковой облигации в элементарных функциях.

Кратко опишем основные методы проведенного исследования. Для вычисления цен опционов в рамках построенных моделей мы применяем метод Карра-Мадана

Льюиса ([32], [82]), основанный на использовании обобщенного преобразования Фурье процесса доходности. Сравнительный статистический анализ предложенных моделей базируется на информационных критериях Акаике, Шварца и Хэннана-Куинна [10], [108], [63]. Для получения выражений для вероятности разорения эмитента во второй из предлагаемых моделей рисковых облигаций мы пользуемся доказываемой нами версией формулы Фейнмана-Каца [73].

Основные результаты диссертации были опубликованы в следующих научных работах:

• Малиновский C.B., Назаров Л.В. Марковская модель временной структуры рисковых облигаций // Вестник Московского универси гета, серия 15 (Вычислительная математика и кибернетика), 2005, 3, с. 44-52.

• Malinovskii S.V., Nazarov L.V. A Markov model for the term structure of risky bonds with dependent rating-migration processes // Journal of Mathematical Sciences, 2005, 146, 4, p. 6022-6032.

• Малиновский C.B., Назаров Л.В. Модели стохастической замены времени для опционов на основе полу параметрических оценок / / Вестник Тверского государственного университета, серия: Прикладная математика, 2009, 8, 1, с. 87101.

• Малиновский C.B. Модели случайной замены времени для финансовых инструментов на основании полупараметрических оценок // Материалы докладов XVI Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов" / Отв. ред. Алешковский И.А., Костылев П.Н., Андреев А.И. [Электронный ресурс] - М.: МАКС Пресс, 2009. - [Адрес ресурса в сети интернет: http://www.lomonos0V-msu.ru/2009/]. ISBN 978-5-317-02774-2.

Диссертация состоит из предисловия, списка обозначений и сокращений, двух глав, разбитых на разделы, заключения и списка литературы, состоящего из 117 наименований. Введением снабжена каждая из глав в отдельности, поскольку решаемые в них задачи, хотя и тесно связаны математически, имеют различную специфику с точки зрения их практического применения. Диссертация включает в себя 9 теорем, 3 леммы, 4 рисунка и 5 таблиц. Общий объем работы составляет 117 страниц.

Заключение диссертации по теме «Теория вероятностей и математическая статистика», Малиновский, Сергей Викторович

Заключение

Подытожим полученные в данной работе результаты.

В первой главе был предложен метод полупараметрического анализа эмпирических цен опционов, с помощью которого была выявлена эмпирическая закономерность, положенная в основу двух представленных затем опционных моделей. Были изучены два случайных процесса, получаемые посредством случайной замены времени на основе неоднородного негауссовского процесса Орнштейна-Уленбека и на основе "экспоненциально-пуассоновского" процесса в а-устойчивом движении Леви. Для построенных на их основе опционных моделей были получены полуаналитические выражения для цен простейших европейских опционов. Были получены оценки остатка ряда в выражении для преобразования-Лапласа процесса случайной, замены времени на основе "экспоненциально-пуассоновского" процесса. Был предложен и реализован на практике алгоритм вычисления цен опционов в представленных моделях. Посредством статистического анализа было установлено, что предложенные модели обеспечивают более высокое качество приближения эмпирических структур опционов на индекс Б&РбОО, чем ряд известных аналогов, как абсолютное, так и относительное, с учетом количества свободных параметров.

Во второй главе была рассмотрена модификация модели временных структур рисковых облигаций В.В: Питербарга [98]. Данная модель была обобщена путем введения в рассмотрение случайной замены времени специального вида, что позволило сделать процессы изменения кредитных рейтингов различных эмитентов зависимыми. Для обобщенной модели были получены выражения для вероятности разорения эмитента и цены рисковой облигации в элементарных функциях.

Полученные результаты были представлены на следующих научных конференциях и семинарах:

• XVI Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых, секция Математика и механика, апрель 2009 г., Москва.

• Семинар "Вероятностные проблемы управления и стохастические модели в экономике, финансах и страховании", Центральный экономико-математический институт РАН, март-апрель 2009 г., Москва.

• Семинар Лаборатории по финансовой инженерии и риск-менеджменту ГУ ВШЭ, март 2009'г., Москва.

• Семинар "Управление .кредитными рисками", Институт финансов и кредита, июль 2006 г., Москва.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Малиновский, Сергей Викторович, 2009 год

1. Жакод Ж., Ширяев А.Н. Предельные теоремы для случайных процессов. М.: Физматлит, 1994.

2. Золотарев В.М. Одномерные устойчивые распределения. М.: Наука, 1994.

3. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1971.

4. Кендалл М., Стыоарт А. Статистические выводы и связи. М.: Наука, 1973.

5. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Теория мартингалов. М.: Наука, 1986.

6. Малиновский С.В., Назаров Л.В. Марковская модель временной структуры рисковых облигаций // Вестн. Моск. ун-та, сер. 15 (Выч. мат. и киб.), 2005, 3, с. 44-52.

7. Малиновский С.В., Назаров Л.В. Модели стохастической замены времени для опционов на основе полупараметрических оценок // Вестн. Тверск. гос. ун-та, сер. Прикл. мат., 2009, 8, 1, с. 87-101.

8. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: МЦНМО, 2004.

9. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. М.: Фазис, 1998.

10. Akaike Н. Information theory and an extension to the likelihood ratio principle // Proc. of the 2-nd International Symposium of Information Theory / Eds.: Petrov B.N., Csaki F. Akademiai Kiado, Budapest, 1973, p. 267-281.

11. Albanese C., Campolieti G., Chen O., Zavidonov A. Credit barrier models // Risk, 2003, 16, p. 109-124.

12. Allen D.E., Thomas L.C., Zheng H. Stripping coupons with linear programming // J. Fixed Income, 2000, 10, part 2, p. 80-87.

13. Anderson R., Pan Y., Sundaresan S. Corporate bond yield spreads and the term structure. Work, pap., CORE and Columbia Business School, 1995.

14. Anderson R., Sundaresan S. Design and valuation of debt contracts // Rev. Financial Studies, 1996, 9, 1, p. 37-68.

15. Ane Т., Geman H. Order flow, transaction clock, and normality of asset returns // J. Finance, 2000, 55, part 5, p. 2259-2284.

16. Applebaum D. Levy processes and stochastic calculus. Cambridge University Press, 2004.

17. Artzner P., Delbaen F. Default risk insurance and incomplete markets // Math. Finance, 1995, 5, 3, p. 187-195.

18. Bakshi G., Charles C., Chen C. Pricing and hedging long-term options // J. Econometrics, 2000, 94, 1-2, p. 277-318.

19. Bakshi G., Chen Z. An alternative valuation model for contingent claims //J. Financial Economics, 1997, 44, 1, p. 123-165.

20. Bakshi G., Madan D. Spanning and derivative-security valuation // J. Financial Economics, 2000, 55, 2, p. 205-238.

21. Barndorff-Nielsen O.E. Normal inverse Gaussian distributions and stochastic volatility modelling // Scand. J. Stat., 1997, 24, p. 1-13.

22. Barndorff-Nielsen O.E. Processes of normal inverse Gaussian type // Finance and Stochastics, 1998, 2, 1, p. 41-68.

23. Barndorff-Nielsen O.E., Nicolato E., Shepard N. Some recent developments in stochastic volatility modelling // Quant. Finance, 2002, 2, 1, p. 11-23.

24. Barndorff-Nielsen O.E., Shepard N. Non-Gaussian Ornstein-Uhlenbeck-based models and some of their uses in financial economics //J. Royal Stat. Soc. B, 2001, 63, 2, p. 167-241.

25. Bates D. Post-'87 crash fears in the S&P500 futures option market // J. Econometrics, 2000, 94, 1-2, p. 181-238.

26. Bielecki T.R., Rutkowski M. Multiple ratings model of defaultable term structure // Math. Finance, 2000, 10, 2, p. 125-139.

27. Black F., Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities // J. Political Economy, 1973, 81, 3, p. 637-654.

28. Bohn J.R. A survey of contingent-claims approaches to risky debt valuation //J. Risk Finance, 2000, 1, 3, p. 53-70.

29. Boyarchenko S., Levendorsky S. Option pricing for truncated Levy processes // Inter. J. Theor. Appl. Finance, 2000, 3, p. 549-552.

30. Carr P., Geman H., Madan D., Yor M. Stochastic volatility for Levy processes // Math. Finance, 2003, 13, 3, p. 345-382.

31. Carr P., Geman H., Madan D., Yor M. The fine structure of asset returns: an empirical investigation //J. Business, 2002, 75, 2, p. 305-332.

32. Carr P., Madan D. Option valuation using the fast Fourier transform //J. Comp. Finance, 1999, 2, p. 61-73.

33. Carr P., Wu L. The finite moment log stable process and option pricing //J. Finance, 2003, 58, 2, p. 753-778.

34. Carr P., Wu L. Time-changed Levy processes and option pricing // Math. Finance, 2001, 11, 1, p. 79-96.

35. Chernov M., Gallant A.R., Ghysels E., Tauchen G. A new class of stochastic volatility models with jumps: theory and estimation. Work, pap., Columbia Univ., Univ. North Carolina, Duke Univ., 1999.

36. Cont R., Empirical properties of asset returns: stylized facts and statistical issues // Quant. Finance, 2001, 1, 2, p. 223-236.

37. Cont R., Volatility clustering in financial markets: empirical facts and agent-based models // Long Memory in Economics / Eds.: A. Kirman, G. Teyssiere. Springer,2005.

38. Cover T.M., Thomas J.A. Elements of information theory. Wiley, 1991.

39. Cox J., Ingersoll J., Ross S. A theory of the term structure of interest rates // Econometrica, 1985, 53, 2, p. 385-408.

40. Daal E., Yu J.-S. An examination of the roles of diffusions and stochastic volatility in the exponential Levy jumps models. Work, pap., Univ. New Orleans, Samsung Econ. Res. Inst., 2005.

41. Dai Q., Singleton K. Specification analysis of affine term structure models // J. Finance, 2000, 55, 5, p. 1943-1978.

42. Das S.R., Freed L., Geng G., Kapadia N. Correlated Default Risk //J. Fixed Income,2006, 16, 2, p. 7-32.

43. Delbaen F., Schaehermayer W. The fundamental theorem of option pricing for unbounded stochastic processes // Mathematische Annalen, 1998, 312, p. 215-250.

44. Duffie D. First-to-default valuation. Tech. report, Grad. Sch. of Business, Stanford Univ., 1998.

45. Duffie D., Defaultable term structure models with fractional recovery of par. Work, pap., Grad. Sch. Bus., Stanford Univ., 1998.

46. Duffie D., Kan R. A yield-factor models of interest rates // Math. Finance, 1996, 6, 4, p. 379-406.

47. Duffie D., Lando D. Term structures of credit spreads with incomplete accounting information // Econometrica, 2001, 69, 3, p. 633-664.

48. Duffie D., Pan J., Singleton K. Transform analysis and asset pricing for affine jumpdiffusions // Econometrica, 2000, 68, 6, p. 1343-1376.

49. Duffie D., Singleton K. Credit risk: pricing, measurement and management. Princeton University Press, 2003.

50. Duffie D., Singleton K. Modeling term structures of defaultable bonds // Rev. Financial Studies, 1999, 12, 4, p. 687-720.

51. Elizalde A. Credit risk models II: structural models. Work, pap., CEMFI, Universidad Publica de Navarra, 2006.

52. Embrechts P., Maejima M. Selfsimilar processes. Princeton University Press, 2002.

53. Eom Y.H., Helwege J., Huang J.-Z. Structural models of corporate bond pricing: an empirical analysis // Rev. Financial Studies, 2004, 17, 2, p. 499-544.

54. Erakcr B. Do stock prices and volatility jump? Reconciling evidence from spot and option prices //J. Finance, 2004, 59, 3, p. 1367-1404.

55. Eraker B., Johannes M., Poison N. The impact of jumps in volatility and returns // J. Finance, 2003, 58, 3, p. 1269-1300.

56. Fan H., Sundaresan S. Debt valuation, strategic debt service and optimal dividend policy. Work, pap., Columbia Univ., 1997.

57. Feller W. Two singular diffusion problems // Annals of Mathematics, 1951, 54, 1, p. 173-182.

58. Fisher E., Heinkel R., Zechner J. Dynamic capital structure choice: theory and tests // J. Finance, 1989, 44, 1, p. 19-40.

59. Foresi S., Wu L. Crash-o- phobia: a domestic fear or a worldwide concern? //J. Derivatives, 2005, 13, 2, p. 8-21.

60. Geman H., Madan D., Yor M. Stochastic volatility, jumps and hidden time changes // Finance and Stochastics, 2002, 6, 1, p. 63-90.

61. Gopikrishnan P., Plerou V., Amaral L.A.N., Meyer M., Stanley H.E. Scaling of the distribution of fluctuations of financial market indices // Phys. Rev. E, 1999, 60, 5, A, p. 5305-5316.

62. Hagan P., Woodward D. Using Levy distributions to price and manage option risk. Work, pap., Bear Sterns, New York, 2002.

63. Hannan E.J., Quinn B.G. The determination of the order of an autoregression //J. Royal Stat. Soc. B, 1979, 41, 2, p. 190-195.

64. Heston S. A closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to bond and currency options // Rev. Financial Studies, 1993, 6, 2, p. 327-344.

65. Huang J. The option to default and optimal debt service. Work, pap., Stern Sell. Bus., New York Univ., 1996.

66. Huang J.-Zh., Wu L. Specification analysis of option pricing models based on time-changed Levy processes //J. Finance, 2004, 59, 3, p. 1405-1440.

67. Hull, J.C. Options, futures, and other derivatives. Prentice Hall, 2002.

68. Hull J., White A. The pricing of options on assets with stochastic volatilities //J. Finance, 1987, 42, 2, p. 281-300.

69. Hurst S.H., Platen E., Rachev S.T. Option pricing for a logstable asset pricing model // Mathematical and Computer Modelling, 1999, 29, 10-12, p. 105-119.

70. Janicki A.W., Popova I., Ritchken P.H., Woyczynski W.A. Option pricing bounds in an a-stable security market // Communication in Stat. Stoch. Models, 1997, 13, 4, p. 817-839.

71. Jarrow R.A., Lando D., Turnbull S.M. A Markov model for the term structure of credit risk spreads // Rev. Financial Studies, 1997, 10, 2, p. 481-523.

72. Jiang G.J., van der Sluis P.J. Pricing stock options under stochastic volatility and stochastic interest rates with efficient method of moments estimation. Res. rep., Res. Inst. SOM, Univ. of Groningen, 1999.

73. Karatzas I., Shreve S.E. Brownian motion and stochastic calculus. Springer-Verlag, 1988.

74. Konikov M., Madan D. Stochastic volatility via Markov chains // Rev. Derivatives Res., 2002, 5, p. 81-115.

75. Kou S.G. A jump diffusion model for option pricing // Management Science, 2002, 48, part 8, p. 1086-1101.

76. Lando D. A continuous-time Markov model of the term structure of credit risk spreads. Work, pap., Stat. Center, Cornell Univ., 2003.

77. Lando D. Credit risk modeling: theory and applications. Princeton University Press, 2004.

78. Lando D. Modeling bonds and derivatives with default risk // Math, of Derivative Securities / Eds.: M. Dempster, S. Pliska. Cambridge University Press, 1997, p. 369-393.

79. Lando D. On Cox processes and credit risky securities // Rev. Derivatives Res., 1998, 2, 2-3, p. 99-120.

80. Leippold M., Wu L. Asset pricing under the quadratic class //J. Fin. and Quant. Anal., 2002, 37, part 2, p. 271-295.'

81. Leland H., Toft K. Optimal capital structure, endogeneous bankruptcy, and the term structure of credit spreads // J. Finance, 1996, 51, 3, p. 987-1019.

82. Lewis A. A simple option formula for general jump-diffusion and other exponential Levy processes // Envision Financial Systems and OptionCity.net, 2001.

83. Longstaff F.A., Schwartz E.S. A simple approach to valuing risky fixed and floating rate debt // J. Finance 1995, 50, 3, p. 789-819.

84. Madan D., Carr P., Chang E. The Variance Gamma process and option pricing // Eur. Finance Rev., 1998, 2, 1, p. 79-105.

85. Madan D., Milne F. Option pricing with VG martingale components // Math. Finance, 1991, 1, 4, p. 39-55.

86. Madan D., Seneta E. The Variance Gamma (V.G.) model for share market returns //J. Business, 1990, 63, 4, p. 511-524.

87. Malinovskii S.V., Nazarov L.V. A Markov model for the term structure of risky bonds with dependent rating-migration processes //J. Math. Sciences, 2005, 146, 4, p. 6022-6032.

88. Matsumoto H., Yor M. Exponential functional of brownian motion, I: probability-laws at fixed time // Prob. Surveys, 2005, 2, p. 312-347.

89. Merton R.C. On the pricing of corporate debt // J. Finance, 1974, 29, 2, p. 449-470.

90. Merton R.C. Option pricing when underlying asset returns are discontinuous //J. Financial Economics, 1976, 3, 1, p. 125-144.

91. Merton R.C. Theory of rational option pricing // Bell J. Economics and Management Science, 1973, 4, 1, p. 141-183.

92. Mikhailov S., Nôgel U. Heston's stochastic volatility model implementation, calibration and some extensions // Wilmott, 2003, July, p. 74-79.

93. Monroe I. Processes that can be embedded in brownian motion // Ann. Prob., 1978, 6, 1, p. 42-56.

94. Nelder J., Mead R. A simplex algorithm for function minimization // Computer J., 1965, 7, 4, p. 308-313.

95. Nicolato E., Venardos E. Option pricing in stochastic volatility models of the Ornstein-Uhlenbeck type with a leverage effect. Work, pap., Dept. Math. Sciences, Aarhus Univ., 2003.

96. Nielsen L.T., Saâ-Requelo J., Santa-Clara P. Default risk and interest rate risk: the term structure of default spreads. Work, pap., INSEAD, 1993.

97. Obloj J. In search of time lost in subordination or the recovery problem, M Sc. thesis, Université Paris 6, 2002.

98. Piterbarg V. Recovering risk-neutral Markov process of credit transitions from credit spreads and statistical information. Work, rep., NationsBank, 1999.

99. Popova. I., Ritchken P On bounding option prices in Paretian stable markets //J. Derivatives, 1998, 5, 4, p. 32-43.

100. Protter P.E. Stochastic integration and differential equations. Springer, 2004.

101. Revuz D., Yor M. Continuous martingales and brownian motion. Springer, 1999.

102. Ross S.M. A first course in probability. Prentice Hall, 1997.

103. Samorodnitsky, G., Taqqu M. Stable non-Gaussian random processes: stochastic models with infinite variance. N.Y.: Chapman & Hall, 1994.

104. Samuelson P.A. Rational theory of warrant pricing // Industrial Management Rev., 1965, 6, p. 13-39.

105. Schonbucher P. The term structure of defaultable bond prices // Rev. Derivatives Res., 1998, 2, 2-3, p. 161-192.

106. Schoutens W. The Meixner process: theory and applications in finance. EURANDOM rep. 004, 2002.

107. Scott L.O. Pricing stock options in a jump-diffusion model with stochastic volatility and interest rates: applications of Fourier inversion methods // Math. Finance, 1997, 7, 4, p. 413-426.

108. Schwartz G., Estimating the dimension of a model // Ann. Stat., 1978, 6, 2, p. 461-464.

109. Thomas L.C., Allen D.E., Morkel-Kingsbury N. A hidden Markov chain model for the term structure of bond credit risk spreads // Inter. Rev. Financial Anal., 2002, 11, 3, p. 311-329.

110. Vuong Q. Likelihood ratio rests for model selection and non-nested hypotheses // Econometrica, 1989, 57, 2, p. 307-333.

111. Widder D.V. The Laplace transform. Princeton Mathematical Series, 1946.

112. Wiggins J.B. Option values under stochastic volatilities //J. Financial Economics, 1987, 19, 2, p. 351-372.

113. Winkel M. The recovery problem for time-changed Levy processes. MaPhySto Res. Rep. 2001-37, Aarhus Univ., 2001.

114. Yan G., Hanson F.B. Option pricing for a stochastic volatility jump-diffusion model with log-uniform jump-amplitudes // Proc. Amer. Control Conf., 2006, p. 2989-2994.

115. Yor M. On some exponential functionals of brownian motion // Adv. Appl. Prob., 1992, 24, p. 509-531.

116. Zhang P.G. Exotic options: a guide to second generation options. World Scientific, 1998.

117. Zhou C. The term structure of credit spreads with jump risk // J. Banking and Finance, 2001, 25, p. 2015-2040.