Модели случайных блужданий с аномальным флуктуационным поведением, индуцированным топологическими ограничениями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Валов Александр Федорович

• Валов Александр Федорович
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Валов Александр Федорович

Введение

ГЛАВА 1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

1.1 Теоретические основы

1.2 Статистика КПЗ одномерных траекторий

1.3 Диффузия в узких каналах

1.4 Направленные пути и физика полимеров

1.5 Топологические модели статистической физики

ГЛАВА 2. АНОМАЛЬНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ ДВУМЕРНОЙ ТРАЕКТОРИИ В РЕЖИМЕ БОЛЬШИХ

УКЛОНЕНИЙ

2.1 Постановка задачи

2.2 Скейлинговые оценки

2.3 Блуждания с геометрическими ограничениями

2.3.1 Полукруг

2.3.2 Треугольник

2.3.3 Численное моделирование

2.4 "Надутое" полимерное кольцо

2.4.1 Статистическая сумма идеальной "надутой" полимерной петли

2.4.2 Статистика "надутого" полимерного кольца с непроницаемым диском

ГЛАВА 3. ДИФФУЗИЯ С ДРЕЙФОМ В УЗКИХ КАНАЛАХ

3.1 Модель диффузии в узком канале

3.2 Область применимости приближения Фика-Якобса

3.3 Скейлинговые оценки

3.4 Первое пересечение наиболее узкой части канала

ГЛАВА 4. МАГНИТНЫЕ ПУТИ ДИКА В ПОЛОСЕ

4.1 Пути Дика

4.2 Гипотеза о критическом поведении в ансамбле торических узлов

ГЛАВА 5. АНОМАЛЬНОЕ ФЛУКТУАЦИОННОЕ

ПОВЕДЕНИЕ СЛУЧАЙНОГО БЛУЖДАНИЯ НА

ДРЕВООБРАЗНОМ ГРАФЕ

5.1 Задача подсчета путей на дереве

5.2 Броуновские мосты и статистика КПЗ на конечных супердеревьях

5.3 Среднеполевое приближение в теории случайных матриц

5.3.1 Представление Думитриу-Эдельмана матричных ансамблей

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ И УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модели случайных блужданий с аномальным флуктуационным поведением, индуцированным топологическими ограничениями»

Введение

Актуальность темы исследования. Теория случайных блужданий широко применяется в современной химии, биологии, математике и компьютерных науках. Помимо классических задач диффузии и теплопереноса, различные модели случайных блужданий используются в качестве аппроксимации пространственной укладки полимерной цепи, т.н. свободно-сочлененная цепочка, для описания кинетики многокомпонентных химических систем. В математике случайные блуждания используются для вычисления многомерных интегралов или для исследования топологии узлов.

Набор математических моделей случайных процессов, имеющих одинаковые масштабные зависимости статистических характеристик, принято называть в статистической механике классом универсальности. В основе универсальности классических описаний широкого класса диффузионных процессов и случайных блужданий лежит центральная предельная теорема (ЦПТ), полагающая, что предельное распределение суммы большого числа N независимых случайных величин является гауссовым, а флуктуации имеют степенную зависимость N1/2 (флуктуационный режим с показателем 1/2).

В последние два-три десятилетия стали активно исследоваться процессы так называемой "аномальной диффузии", не подчиняющиеся классическим описаниям. Одним из новых классов универсальности, возникших при исследовании таких процессов, стал класс универсальности Кардара-Паризи-Занга (КПЗ), описывающий системы, в которых компоненты существенно коррелиро-ваны. Примерами физических явлений, описываемых классом КПЗ, являются турбулентные жидкие кристаллы, рост кристаллов на тонкой пленке, рост колоний бактерий, формирование трещин.

Случайные блуждания с препятствиями находят применения в физико-химических и биофизических системах. Известно, что длинные полимерные цепи широко распространены в биологических системах, и их механические свойства оказывают существенное влияние на биологические процессы. Особый интерес представляет ситуация, когда полимерные цепи наматываются друг на друга или вокруг других объектов. При наматывании полимерной цепи на какое-либо препятствие происходит уменьшение энтропии цепи, что создает силы,

направленные на ее разматывание. Если же это невозможно, эти силы будут индуцировать в системе механические напряжения и деформации. Предполагается, что данный эффект может проявляться во время транскрипции дез-оксирибонуклеиновой кислоты (ДНК), если зарождающаяся рибонуклеиновая кислота (РНК) прикрепляется к ДНК (формирование Я-петель).

Описание свойств статистических систем в нетипичном для них состоянии, например, исследование флуктуаций системы, выведенной далеко за положение равновесия, расширяют традиционные границы физики экстремального состояния. Важным представляется построение моделей редких событий, которые являются сильно подавленными в общем ансамбле возможных исходов, однако могут иметь разрушительные последствия. Описанием подобных систем занимается статистика редких или экстремальных событий.

Первоначально разработанная в рамках теории вероятностей статистика редких событий становится все более полезным инструментом в области статистической физики. Сюда входит анализ экстремальной статистики редких событий в неупорядоченных системах и связанных с нею задач, возникающих в теории случайных матриц, равновесных системах как с близко-, так и с дально-действующими взаимодействиями, а также в системах, находящихся вне равновесия. В теории больших уклонений за последние два десятилетия произошел взрывной рост приложений, объединяющий исследователей из математики, информатики, теории информации и физики. За исключением нескольких аналитических результатов по статистике больших уклонений в одномерных системах точные вычисления являются затруднительными. Поэтому численное моделирование случайных блужданий, демонстрирующих аномальное флуктуацион-ное поведение, и выявление роли больших уклонений в аномальной статистике является крайне актуальной задачей.

Цель и задачи исследования. Целью настоящей работы является построение моделей случайных блужданий с различными геометрическими и топологическими ограничениями, демонстрирующих аномальное флуктуацион-ное поведение, и выявление роли больших уклонений в аномальной статистике.

Для достижения поставленной цели, в данной работе ставились следующие задачи:

1. Построить модель случайных блужданий, которые топологическими ограничениями вводятся в атипичное фазовое пространство.

2. Проверить универсальность флуктуационных характеристик, возникающих в атипичных фазовых пространствах, с целью выявления роли топологии в статистическом поведении системы.

3. Определить влияние геометрии узкого канала на динамику броуновских частиц с дрейфом и классифицировать типы поведения броуновской частицы в зависимости от параметров канала.

4. В рамках модели магнитных путей Дика описать аномальное флукту-ационное поведение одномерных случайных блужданий, ограниченных фиксированной площадью под кривой и полосой конечного размера.

5. Построить модель случайных блужданий на графе, топология которого определяет атипичное флуктуационное поведение траекторий.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Впервые представлена модель двумерных случайных блужданий, в которой наложенные геометрические ограничения вводят случайный процесс в аномальный флуктуационный режим с показателем 1/3.

2. В результате численных и аналитических расчетов впервые показано, что аномальные флуктуационные зависимости в ансамбле идеальных полимерных петель возникают в связи с геометрическими ограничениями на конформационную подвижность.

3. В результате численных расчетов показано, что направленная диффузия в узких каналах происходит преимущественно вдоль стенок канала.

4. Впервые получена производящая функция магнитных путей Дика в полосе и показано, что возникновение атипичного флуктуационного режима связано с конечностью пространства, доступного для блуждания, и магнитным полем, вынуждающим траектории заметать большую площадь.

5. В результате численных и аналитических расчетов впервые показано, что возникает атипичное флуктуационное поведение в статистике броуновских мостов на древообразных графах, которые являются средне-полевым приближением гауссовых случайных ансамблей.

Теоретическая и практическая значимость работы. В диссертации представлены оригинальные модели двумерных случайных блужданий с топологическими и геометрически ограничениями, демонстрирующие флуктуационное поведение типа КПЗ. Полученные результаты имеют существенное теоре-

тическое значение, поскольку позволяют установить связи между статистикой больших уклонений и классом универсальности КПЗ.

Показано, что при диффузии в узких каналах, частица преимущественно двигается в пристеночном слое, а не в центральной части канала, что является важным для практических приложений: в частности, если границы канала содержат химически активные реагенты, и диффундирующая частица может вступать с ними в реакцию, то скорость реакции в узком канале может оказаться существенно выше, чем в объеме.

Методы исследования. В диссертационной работе для вычислений функций распределений случайных блужданий использовались методы статистической физики полимеров и теории случайных процессов. Компьютерное моделирование случайных траекторий проводилось с помощью метода Монте-Карло. Для вычисления производящих функций использовались методы теории матриц и комбинаторики.

Положения, выносимые на защиту:

1. Атипичные масштабные зависимости в двумерных системах, связанные с геометрией препятствия.

2. Аномальное флуктуационное поведение, появляющееся благодаря геометрическим ограничениям, исключающим крупномасштабные флуктуации.

3. Прохождение узких мест каналов частицами, дрейфующими в узких двумерных каналах переменного сечения.

4. Флуктуационное поведение с показателем 1/3 в магнитных путях Дика в полосе конечного размера.

5. Атипичное флуктуационное поведение в статистике средних точек броуновских мостов на древообразных иерархических графах с индексом ветвления, линейно растущим от корня дерева.

Степень достоверности полученных результатов. Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием широко апробированных методов и подтверждается повторяемостью полученных результатов для разных исследованных систем. Результаты находятся в соответствии с результатами, полученными другими авторами.

Апробация результатов. Результаты исследований, представленных в диссертации, докладывались и обсуждались на: XIV международной конферен-

ции "Modern problems of polymer science" (г. Санкт-Петербург, Россия 2018); V всероссийской научной молодежной школе-конференции "Химия, физика, биология: пути интеграции" (г. Москва, Россия 2018); международной научной школе-семинаре "Active Matter, Probability and Networks, International Scientific Center J.-V. Poncelet" (г. Москва, Россия 2019); VI всероссийской научной молодежной школе-конференции "Химия, физика, биология: пути интеграции" (г. Москва, Россия 2019); международной научной школе-семинаре "Stochastic processes and pattern formation" (г. Москва, Россия 2019).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 7 печатных работ. Работ, опубликованных в рецензируемых научных изданиях, рекомендованных ВАК - 7.

Личный вклад автора. Вклад автора диссертации состоит в выполнении части аналитических расчетов. Автор разработал алгоритмы моделирования случайных блужданий и написал код расчетных программ, реализующих данные алгоритмы. Все приведенные в диссертации компьютерные эксперименты и обобщение полученных результатов были выполнены автором лично.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, формулировки основных результатов и выводов, списка сокращений и списка цитируемой литературы. Работа изложена на 94 страницах и содержит 28 рисунков и библиографию из 138 наименований.

ГЛАВА 1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ 1.1 Теоретические основы

Многие системы совершенно различной природы, состоящие из большого числа независимых компонентов, как показывают экспериментальные данные, численное моделирование и математические соображения, демонстрируют общий характерный степенной закон для наблюдаемых величин. В качестве примеров можно привести зависимость профиля высоты поверхности, полученной в процессе случайной депозиции от времени ее роста [1], зависимость времени первого достижения цели группой независимых случайных блужданий от размера системы и зависимость свободной энергии направленных случайных полимеров от их длины [1]. В случае классической ЦПТ этот степенной закон имеет показатель степени 1/2, а предельное распределение является гауссовым.

Распределение Гаусса представляет собой один из величайших математических законов - теорию, объясняющую и анализирующую большую часть случайности, присущей физическому миру. Физико-математические системы, точно описанные в терминах гауссовой статистики, относятся к гауссову классу универсальности, который, однако, не всегда предоставляет исчерпывающее описание.

В качестве иллюстрации обратимся к простой модели подбрасывания монет [2]: подбросим одновременно N одинаковых монет, у которых вероятность выпадения орла "О" и решки "Р" одинакова и равна 1/2. Пусть N0-количество орлов выпавших в конкретной реализации эксперимента, тогда вероятность такого события имеет следующий вид:

р № ^ Ч (N0). (1)

С другой стороны, в силу независимости событий выпадения той или иной стороны монетки, применима ЦПТ, которая утверждает, что величина N0 флуктуирует около своего среднего значения (N<3) = N/2 на масштабах порядка

и возможна аппроксимация вероятности (1) в виде гауссова распределения:

Ра(Ыа) ^

ехр

2

- N (Ыо - Ы/2)2

Из ЦПТ известно, что гауссово распределение хорошо описывает флуктуации наблюдаемых величин вблизи их средних значений, т.н. типичные флуктуации. Как видно из рисунка 1, распределение Гаусса хорошо аппроксимирует регион "типичных" флуктуаций, которые находятся на масштабах порядка вблизи среднего значения. В случае больших флуктуаций, которые происходят на масштабах сильно превышающих

расхождение между комбинаторным выражением распределения вероятности и гауссовым является существенным. Более точного приближения плотности вероятности в подобных системах можно достичь с помощью кумулянтного описания случайных величин и процессов, т.е. с помощью разложения в ряд логарифма характеристической функции распределения.

Одной из самых распространенных аппроксимаций является ряд Эджвор-та [3], который позволяет показать, что в пределе N ^ <ж плотность вероятности сходится к гауссову распределению, и представить явное выражение для Р(N0, N) в этом пределе [4].

Как было упомянуто выше, модель случайной депозиции является одной из простейших моделей роста поверхности, принадлежащей гауссову классу

0

-100

-200

и -300

о

г

£ -400

-500

-600

-700

200

800

1000

400 600

N0

Рисунок 1. Сравнение логарифмов точного распределения (1) (черные точки) и гауссовой аппроксимации (2) (красная линия) для N = 1000 монет

универсальности. Рост обусловлен независимыми пуассоновскими процессами падающих сверху блоков, которые накапливаются в колоннах, как показано на рисунке 2. Каждый столбец развивается случайно и независимо друг от друга, и в силу ЦПТ профиль высоты спустя время £ флуктуирует согласно гауссову распределению с дисперсией ~ £1/2. Стоит отметить, что модель случайной де-позиции принадлежит гауссову классу универсальности только в случае независимости процессов, формирующих профиль высоты. Наличие взаимодействий между соседними колоннами сразу выводит систему из гауссова класса универсальности.

Однако гауссово распределение и показатель флуктуаций 1/2 не являются единственно возможным вариантом для статистических систем. Существует целый ряд задач, связанных, например, с теорией случайных матриц [5], флук-туациями свободной энергии направленных полимеров в случайной среде [6, 7], ансамблями непересекающихся путей [8], случайными мозаиками и некоторыми комбинаторными задачами [9], а также с различными задачами роста, формирования фронтов горения и смачивания, и образования трещин [10—16], в которых события существенно коррелированы, и, следовательно, для них не выполняются условия ЦПТ. Для всех вышеперечисленных моделей наблюдаемые величины флуктуируют со скейлинговым показателем 1/3 и демонстрируют

150[

И(х)

100

50

0 50 100 150 200

X

Рисунок 2. Пример поверхности, сформированной в процессе случайной депозиции 10 000 блоков в ящике, состоящем из 200 колонн

один и тот же набор негауссовых предельных распределений. Таким образом, они образуют новый класс универсальности КПЗ [17].

Для иллюстрации разницы между универсальными классами Гаусса и КПЗ рассмотрим баллистическую модель роста. Важно отметить, что все рассмотренные здесь модели являются 1 + 1-мерными (одно пространственное и одно временное измерение). Баллистическая модель роста включает схожий со случайной депозицией независимый процесс падения блоков в каждой колонне, с одной лишь разницей - падающий блок прилипает к первому блоку, которого он касается, как показано на рисунке 3. Поэтому если блок падает в колонне х, но высота колонны х ± 1 больше, то блок прилипает к стороне колонны с координатой х ± 1, и высота столба х резко увеличивается до высоты колонны шах(Нх±1). Эта важная модификация разрушает пространственную независимость высот соседних колонн, вводя сильную пространственную корреляцию. К характерным особенностям данной модели можно отнести (и всех моделей роста в классе универсальности КПЗ) [18]:

— Сглаживание: из-за наличия пространственных корреляций между соседними колоннами, профиль высоты поверхности является более гладкой функцией.

— Инвариантность вращения, зависимость от уклона, скорость роста: чем больше абсолютное значение уклона, тем больше тенденция к увеличению высоты.

— Пространственно-временной некоррелированный шум: процесс добавления блоков в ящик представляет собой независимые пуассоновские процессы, как в модели случайной депозиции.

— Локальность: высота колонны зависит только от высоты соседних колонн.

На основании этих четырех особенностей, которые характерны для всех моделей роста в классе универсальности КПЗ, предсказывается, что в момент времени £ высота колонны будет флуктуировать около среднего значения с показателем 1/3, а пространственные корреляции будут масштабироваться с показателем 2/3. Это находится в резком контрасте с моделью случайной депозиции с нулевыми пространственными корреляциями.

Отметим, что класс универсальности КПЗ был введен в контексте описания растущих поверхностей в 1986 году в работе Кардара, Паризи и Занга [17].

Растущая поверхность описывается функцией высоты Н(х,Ь), где х - п-мерная пространственная переменная х € , а £ - время (£ € К>о). Одномерный случай п =1 является центральным элементом класса универсальности КПЗ.

Предсказания скейлинговых зависимостей были основаны на исследовании непрерывной функции профиля поверхности Н(х,Ь), заданной в терминах стохастического уравнения в частных производных, которое теперь известно как уравнение КПЗ. Производная по времени функции высоты зависит от четырех факторов (то же самое, что было выделено для модели баллистической де-позиции): сглаживание, инвариантность вращения, скорость роста и пространственно-временной белый шум[18]:

О 50 100 150 200

X

Рисунок 3. Пример поверхности, сформированной в процессе баллистической депозиции 10 000 блоков в ящике, состоящем из 200 колонн

где п - пространственно-временной белый шум, а V, Л и О - ненулевые параметры, определяемые из микроскопической динамики модели.

Утверждается, что поведение уравнения (3) в пределе £ ^ то должно совпадать с различными физическими системами, разделяющими ключевые особенности модели баллистического роста. Помимо универсальности масштабирующих показателей, предельные распределения тоже являются универсальными.

Несколько последних десятилетий значительные усилия были сосредоточены на понимании систем, которые плохо описываются с точки зрения любого из классических классов универсальности. Несоответствие этих систем классическим описаниям, как правило, связано с наличием взаимодействий или большими уклонениями, играющими важную роль, например, в описании открытых неравновесных систем (см. например [2]).

Часто большие уклонения, т.е. появление определенного редкого явления, возникают вследствие согласованной цепочки событий, поэтому построение и исследование моделей редких статистик необходимо для понимания механизмов их возникновения и масштабов (см. для примера распределение размеров волн во время стихийных бедствий [19, 20], редкие события в геофизике [21, 22], статистика торнадо [23] и количество мутаций на единицу длины ДНК [24—26]). Наглядный пример статистики редких событий, возникающей в ансамбле случайных траекторий, концы которых закреплены на расстоянии 2Я, а длина Ь = 5Я линейно зависит от расстояния между концами, изображен на рисунке 4. Здесь типичным пространством, на котором блуждают траектории, является полоса шириной, пропорциональной Я1/2 (в силу ЦПТ), а вероятность появления траекторий, которые отклоняются на величину, много большую Я1/2, является экспоненциально подавленной.

Топология в современной физике является достаточно широким концептом, который встречается в совершенно различных областях: от физики высоких энергии [27] до полимерных систем [28—30] . Например, отличительной особенностью, которая определяет поведение цепей реального полимера в хорошем растворителе, является ограничение исключенного объема. Данный факт можно рассматривать как топологическое ограничение, запрещающее разным полимерным цепочкам проходить друг через друга, что естественным образом сужает фазовое пространство доступных для траекторий конформаций. Стоит отметить, что топологические ограничения могут быть введены различны-

ми способами: решетками, геометрическими ограничениями, ограничениями на посещение определенные точки пространства, или запретами на самопересечения траекторий. Индуцированные геометрией или топологией режимы больших уклонений представляются актуальными задачами статистической физики.

В последующих главах диссертации представлены четыре модели случайного блуждания, введенного в режим больших уклонений с аномальным флук-туационным поведением геометрическими или топологическими ограничениями.

1.2 Статистика КПЗ одномерных траекторий

Начиная с пионерской работы П.-Ж. де Жена [31], непересекающиеся случайные блуждания, так же называемые "недружелюбные блуждатели" (НБ) (см. рисунок 5), вызывают большой интерес среди физиков. Они были исследованы в контексте смачивания и плавления [32, 33], полимерных сетей и волокни-

Рисунок 4. Пример редкого события (коричневая кривая) в ансамбле двумерных траекторий (цветные кривые) длины N = 5Я, концы которых зафиксированы в точках (—Я, 0) и (Я, 0). Фиолетовая полоса шириной Я1/2 отображает "типичное" пространство, на котором блуждают траектории

стых структур [33], устойчивости неравновесных систем [34] и стохастических моделей роста [17]. Также существует связь между задачами о непересекающихся случайных блужданиях и теорией случайных матриц (ТСМ) [35, 36], включая, например, броуновское движение Дайсона [37]. Связь с ТСМ возродила интерес к недружелюбным блуждателям и привела к новым вопросам. Учитывая невозможность пересечений траекторий в задаче НБ, естественно ожидать, что существует связь между системами невзаимодействующих фермионов, которым принцип Паули вводит нетривиальные пространственно-временные корреляции, и теорией случайных матриц (см., например, [38]).

При формировании сорбированных на гладких кристаллических подложках монослоев часто наблюдается формирование соразмерной фазы, в которой атомы адсорбата упорядочиваются совместно с решеткой подложки. Затем, с изменением температуры Т и химического потенциала д, соизмеримая фаза может расплавиться в неупорядоченную жидкую фазу или претерпеть переход в другую соразмерную или несоразмерную фазу. С точки зрения физики, одномерные непересекающиеся случайные блуждания играют важную роль в описании элементарных возбуждений в соразмерных фазах, близких к соразмерно-несоразмерному переходу [35]. В соразмерной фазе элементарные возбуждения

^ отн. ед.

Рисунок 5. Недружелюбные блуждатели

представляют собой пары дислокаций на некотором расстоянии с несколькими непересекающимися доменными стенками. Это так называемая «арбузная» конфигурация, не допускающая пересекающиеся броуновские мосты (см. рисунок 5). Размеры таких дефектов и их флуктуации становятся важными вблизи точки фазового перехода. Величиной, характеризующей поперечные колебания дефекта, является максимальная высота блужданий, которой они достигают на протяжении дефекта. Такие вопросы экстремальных значений в последнее время активно исследуются для одного броуновского моста или экскурсии (с некоторыми ограничениями) в контексте максимальной высоты колеблющейся границы раздела [39—43].

В качестве связи с теорией случайных матриц было показано, что координаты N непересекающихся случайных блужданий для некоторого фиксированного времени т, распределены как собственные значения случайной эрмитовой матрицы размера N х N гауссова унитарного ансамбля с точностью до зависящей от т константы, для которых было показано в [5, 44], что флуктуации старшего собственного значения, а значит и самого высокого непересекающегося блуждания подчиняются распределению Трейси-Видома (ТВ). В работах [35, 41] было показано, что флуктуации верхней линии в ансамбле N непересекающихся траекторий попадают в класс универсальности КПЗ с характерным показателем флуктуаций 1/3.

Еще одной хорошо описанной математической задачей, тесно связанной с теорией случайных матриц и классом универсальности КПЗ, является модель полинуклеарного роста (ПНР) [45, 46]. ПНР представляет собой простую модель послойного роста. Первоначально имеется идеально плоский кристалл, контактирующий со своим пересыщенным паром. Затем в случайный момент времени образуется сверхкритическое зерно, которое с течением времени распространяется в боковом направлении за счет дальнейшего прикрепления частиц по периметру. Такие острова сливаются, если они находятся в одном слое, а дальнейшие острова могут зарождаться на уже существующих. Модель ПНР игнорирует боковую решетчатую структуру и предполагает, что острова имеют круглую форму и распространяются с постоянной скоростью.

Известным однослойным приближением данной многослойной задачи является модель одномерного броуновского моста, который находится снаружи полукруга [47]. В такой постановке полукруг играет роль приближения мно-

гочастичной задачи (см. рисунок 6), которое состоит в замене низколежащих броуновских траекторий их средним значением. Оказывается, что такое приближение приводит к сохранению скейлинговых соотношений для верхней траектории: как и в многочастичной задаче, показатель флуктуаций над вершиной полукруга равен 1/3, а корреляции вдоль траектории масштабируются с показателем 2/3.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Валов Александр Федорович, 2022 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Halpin-Healy T., Zhang Y.C. Kinetic roughening phenomena, stochastic growth, directed polymers and all that. Aspects of multidisciplinary statistical mechanics // Physics Reports. — 1995. — V. 254, № 4. — P. 215-414.

2. Majumdar S.N., Schehr G. Large deviations // ICTS Newsletter. — 2017.

— V. 3, № 2. — P. 3-6.

3. Cramer H. Mathematical methods of statistic. — Princeton: Princeton University Press, 1957. — 575 p.

4. Hivert F., Nechaev S., Oshanin G., Vasilyev O. On the distribution of surface extrema in several one- and two-dimensional random landscapes // Journal of Statistical Physics. — 2007. — V. 126, № 2. — P. 243-279.

5. Majumdar S.N., Schehr G. Top eigenvalue of a random matrix: large deviations and third order phase transition // Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment. — 2014. — V. 2014, № 1. — 01012: 1-31.

6. Borodin A., Corwin I., Ferrari P. Free energy fluctuations for directed polymers in random media in 1+ 1 dimension // Communications on Pure and Applied Mathematics. — 2014. — V. 67, № 7. — P. 1129-1214.

7. Dotsenko V. Zero temperature limit for (1+ 1) directed polymers with correlated random potential // Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment. — 2016. — V. 2016, № 12. — 123304: 1-8.

8. Schehr G. Extremes of N vicious walkers for large N: application to the directed polymer and KPZ interfaces // Journal of Statistical Physics. — 2012. — V. 149, № 3. — P. 385-410.

9. Spohn H. Exact solutions for KPZ-type growth processes, random matrices, and equilibrium shapes of crystals // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. — 2006. — V. 369, № 1. — P. 71-99.

10. Spitzer F. Interaction of Markov processes // Advances in Mathematics.

— 1970. — V. 5, № 2. — P. 246-290.

11. Wang X., Zheng W., Gao L. The universality classes in growth of iron nitride thin films deposited by magnetron sputtering // Materials Chemistry and Physics. - 2003. - V. 82, № 2. - P. 254-257.

12. Wakita J., Itoh H., Matsuyama T., Matsushita M. Self-affinity for the growing interface of bacterial colonies // Journal of the Physical Society of Japan. - 1997. - V. 66, № 1. - P. 67-72.

13. Matsushita M., Wakita J., Itoh H., Rafols I., Matsuyama T., Sakaguchi H., Mimura M. Interface growth and pattern formation in bacterial colonies // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. - 1998. - V. 249, № 1. - P. 517-524.

14. Eng0y T., Mal0y K., Hansen A., Roux S. Roughness of two-dimensional cracks in wood // Physical Review Letters. - 1994. - V. 73, № 6. - P. 834-837.

15. Myllys M., Maunuksela J., Alava M., Ala-Nissila T., Merikoski J., Timonen J. Kinetic roughening in slow combustion of paper // Physical Review E. - 2001. - V. 64, № 3. - 036101: 1-12.

16. Myllys M., Merikoski J., Timonen J. Experimental determination of KPZ height-fluctuation distributions // The European Physical Journal B. - 2005. - V. 46, № 1. - P. 55-60.

17. Kardar M., Parisi G., Zhang Y.C. Dynamic scaling of growing interfaces // Physical Review Letters. - 1986. - V. 56, № 9. - P. 889-892.

18. Corwin I. The Kardar-Parisi-Zhang equation and universality class // Random Matrices: Theory and Applications. - 2012. - V. 1, № 1. - 1130001: 1-76.

19. Dysthe K., Krogstad H.E., Miiller P. Oceanic rogue waves // Annual Review of Fluid Mechanics. - 2008. - V. 40, № 1. - P. 287-310.

20. Захаров В.Е., Шамин Р. О вероятности возникновения волн-убийц // Письма в ЖЭТФ. - 2010. - Т. 91, № 2. - С. 68-71.

21. Watkins N.W. Bunched black (and grouped grey) swans: Dissipative and non-dissipative models of correlated extreme fluctuations in complex geosystems // Geophysical Research Letters. - 2013. - V. 40, № 2. - P. 402-410.

22. Ghil M., Yiou P., Hallegatte S., Malamud B. D., Naveau P., Soloviev A., Friederichs P., Keilis-Borok V., Kondrashov D., Kossobokov V., Mestre O., Nicolis C., Rust H. W., Shebalin P., Vrac M., Witt A., Zaliapin I. Extreme events: dynamics, statistics and prediction // Nonlinear Processes in Geophysics. — 2011. — V. 18, № 3. — P. 295-350.

23. Tippett M.K., Lepore C., Cohen J.E. More tornadoes in the most extreme U.S. tornado outbreaks // Science. — 2016. — V. 354, № 6318. — P. 1419-1423.

24. Greulich P., Simons B.D. Extreme value statistics of mutation accumulation in renewing cell populations // Physical Review E. — 2018. — V. 98, № 5. — 050401: 1-5.

25. Choe W., Ersoy O.K., Bina M. Neural network schemes for detecting rare events in human genomic DNA // Bioinformatics. — 2000. — V. 16, № 12. — P. 1062-1072.

26. Joyce P., Rokyta D.R., Beisel C.J., Orr H.A. A general extreme value theory model for the adaptation of DNA sequences under strong selection and weak mutation // Genetics. — 2008. — V. 180, № 3. — P. 1627-1643.

27. Gorsky A., Nechaev S., Valov A. On statistical models on super trees // Journal of High Energy Physics. — 2018. — V. 2018, № 8. — 123: 1-26.

28. Гросберг А., Хохлов А. Статистическая физика макромолекул. — Москва: Наука, 1989. — 344 с.

29. Belotserkovskii B.P., Tornaletti S., D'Souza A.D., Hanawalt P.C. R-loop generation during transcription: Formation, processing and cellular outcomes // DNA Repair. — 2018. — V. 71. — P. 69-81.

30. Belotserkovskii B.P. Relationships between the winding angle, the characteristic radius, and the torque for a long polymer chain wound around a cylinder: Implications for RNA winding around DNA during transcription // Physical Review E. — 2014. — V. 89, № 2. — 022709: 1-14.

31. de Gennes P.G. Soluble model for fibrous structures with steric constraints // The Journal of Chemical Physics. — 1968. — V. 48, № 5. — P. 2257-2259.

32. Fisher M. Walks, walls, wetting, and melting // Journal of Statistical Physics. — 1984. — V. 34, № 5. — P. 667-729.

33. Essam J.W., Guttmann A.J. Vicious walkers and directed polymer networks in general dimensions // Physical Review E. — 1995. — V. 52, № 6. — P. 5849-5862.

34. Bray A.J., Winkler K. Vicious walkers in a potential // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 2004. — V. 37, № 21. — P. 5493-5501.

35. Schehr G., Majumdar S.N., Comtet A., Randon-Furling J. Exact distribution of the maximal height of p vicious walkers // Physical Review Letters. — 2008. — V. 101, № 15. — 150601: 1-4.

36. Nadal C., Majumdar S.N. Nonintersecting brownian interfaces and Wishart random matrices // Physical Review E. — 2009. — V. 79, № 6. — 061117: 1-31.

37. Dyson F.J. A Brownian-motion model for the eigenvalues of a random matrix // Journal of Mathematical Physics. — 1962. — V. 3, № 6. — P. 1191-1198.

38. Dean D.S., Doussal P.L., Majumdar S.N., Schehr G. Noninteracting fermions in a trap and random matrix theory // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. — 2019. — V. 52, № 14. — 144006: 1-32.

39. Majumdar S.N., Comtet A. Exact maximal height distribution of fluctuating interfaces // Physical Review Letters. — 2005. — V. 92, № 22. — 225501: 1-4.

40. Majumdar S., Comtet A. Airy distribution function: from the area under a Brownian excursion to the maximal height of fluctuating interfaces // Journal of Statistical Physics. — 2004. — V. 119, № 3. — P. 777-826.

41. Schehr G., Majumdar S.N. Universal asymptotic statistics of maximal relative height in one-dimensional solid-on-solid models // Physical Review E. — 2006. — V. 73, № 5. — 056103: 1-10.

42. Gyorgyi G., Moloney N.R., Ozogany K., Racz Z. Maximal height statistics for 1/fa signals // Physical Review E. — V. 75, № 2. — 021123: 1-16.

43. Burkhardt T.W., Gyorgyi G., Moloney N.R., Racz Z. Extreme statistics for time series: Distribution of the maximum relative to the initial value // Physical Review E. — 2007. — V. 76, № 4. — 041119: 1-12.

44. Rambeau J., Schehr G. Distribution of the time at which N vicious walkers reach their maximal height // Physical Review E. — 2011. — V. 83, № 6. — 061146: 1-27.

45. Frank F. Nucleation-controlled growth on a one-dimensional growth of finite length // Journal of Crystal Growth. — 1974. — V. 22, № 3. — P. 233-236.

46. Krug J. Classification of some deposition and growth processes // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 1989. — V. 22, № 16. — P. 769-773.

47. Ferrari P.L., Spohn H. Constrained brownian motion: Fluctuations away from circular and parabolic barriers // The Annals of Probability. — 2005. — V. 33, № 4. — P. 1302-1325.

48. Burada P.S., Schmid G., Reguera D., Rubi J.M., Hanggi P. Biased diffusion in confined media: Test of the Fick-Jacobs approximation and validity criteria // Physical Review E. — 2007. — V. 75, № 5. — 051111: 1-8.

49. Burada P. S., Hanggi P., Marchesoni F., Schmid G., Talkner P. Diffusion in confined geometries // ChemPhysChem. — 2009. — V. 10, № 1. — P. 45-54.

50. Malgaretti P., Pagonabarraga I., Rubi J.M. Entropic transport in confined media: A challenge for computational studies in biological and soft-matter systems // Frontiers in Physics. — 2013. — V. 1. — 21: 1-9.

51. Rubi J.M. Entropic diffusion in confined soft-matter and biological systems // Europhysics Letters. — 2019. — V. 127, № 1. — 10001: 1-7.

52. Rout M.P., Magnasco M.O., Chait B.T., Aitchison J.D. Virtual gating and nuclear transport: The hole picture // Trends in Cell Biology. — 2003. — V. 13, № 12. — P. 622-628.

53. Kabachinski G., Schwartz T.U. The nuclear pore complex - structure and function at a glance // Journal of Cell Science. — 2015. — V. 128, № 3. — P. 423-429.

54. Stone H., Stroock A., Ajdari A. Engineering flows in small devices: Microfluidics toward a lab-on-a-chip //Annual Review of Fluid Mechanics. — 2004. — V. 36, № 1. — P. 381-411.

55. Mukhopadhyay A., Granick S. Micro- and nanorheology // Current Opinion in Colloid and Interface Science. — 2001. — V. 6, № 5. — P. 423-429.

56. Palyulin V.V., Ala-Nissila T., Metzler R. Polymer translocation: The first two decades and the recent diversification // Soft Matter. — 2014. — V. 10, № 45.

— P. 9016-9037.

57. Sakaue T. Dynamics of polymer translocation: A short review with an introduction of weakly-driven regime // Polymers. — 2016. — V. 8, № 12. — 424: 1-12.

58. Bianco V., Malgaretti P. Non-monotonous polymer translocation time across corrugated channels: Comparison between Fick-Jacobs approximation and numerical simulations // The Journal of Chemical Physics. — 2016. — V. 145, № 11. — 114904: 1-13.

59. Vos M., Wolf A.B., Jennings S.J., Kowalchuk G. A. Micro-scale determinants of bacterial diversity in soil // FEMS Microbiology Reviews. — 2013.

— V. 37, № 6. — P. 936-954.

60. Zilman A. Effects of multiple occupancy and interparticle interactions on selective transport through narrow channels: Theory versus experiment // Biophysical Journal. — 2009. — V. 96, № 4. — P. 1235-1248.

61. Benichou O., Illien P., Oshanin G., Sarracino A., Voituriez R. Diffusion and subdiffusion of interacting particles on comblike structures // Physical Review Letters. — 2015. — V. 115, № 22. — 220601: 1-5.

62. Benichou O., Illien P., Oshanin G., Sarracino A., Voituriez R. Tracer diffusion in crowded narrow channels // Journal of Physics: Condensed Matter. — 2018. — V. 30, № 44. — 443001: 1-19.

63. Reichhardt C.J.O., Reichhardt C. Clogging and transport of driven particles in asymmetric funnel arrays // Journal of Physics: Condensed Matter.

— 2018. — V. 30, № 24. — 244005: 1-8.

64. Puertas A.M., Malgaretti P., Pagonabarraga I. Active microrheology in corrugated channels // The Journal of Chemical Physics. — 2018. — V. 149, № 17.

— 174908: 1-9.

65. Malgaretti P., Pagonabarraga I., Rubi J.M. Entropically induced asymmetric passage times of charged tracers across corrugated channels // The Journal of Chemical Physics. — 2016. — V. 144, № 3. — 034901: 1-7.

66. Sipos O., Nagy K., Di Leonardo R., Galajda P. Hydrodynamic trapping of swimming bacteria by convex walls // Physical Review Letters. — 2015. — V. 114, № 25. — 258104: 1-5.

67. Spagnolie S.E., Moreno-Flores G.R., Bartolo D., Lauga E. Geometric capture and escape of a microswimmer colliding with an obstacle // Soft Matter. — 2015. — V. 11, № 17. — P. 3396-3411.

68. Schuss Z., Singer A., Holcman D. The narrow escape problem for diffusion in cellular microdomains // Proceedings of the National Academy of Sciences. — 2007. — V. 104, № 41. — P. 16098-16103.

69. Chinappi M., Cecconi F. Protein sequencing via nanopore based devices: A nanofluidics perspective // Journal of Physics: Condensed Matter. — 2018. — V. 30, № 20. — 204002: 1-17.

70. Takagi D., Palacci J., Braunschweig A.B., Shelley M.J., Zhang J. Hydrodynamic capture of microswimmers into sphere-bound orbits // Soft Matter.

— 2014. — V. 10, № 11. — P. 1784-1789.

71. Marenduzzo D., Orlandini E., Stasiak A., Sumners D. W., Tubiana L., Micheletti C. DNA-DNA interactions in bacteriophage capsids are responsible for the observed DNA knotting // Proceedings of the National Academy of Sciences. — 2009. — V. 106, № 52. — P. 22269-22274.

72. Malgaretti P., Oshanin G., Talbot J. Special issue on transport in narrow channels // Journal of Physics: Condensed Matter. — 2019. — V. 31, № 27. — 270201: 1-3.

73. Jacobs M.H. Diffusion processes. — Berlin: Springer, 1935. — 164 p.

74. Zwanzig R. Diffusion past an entropy barrier // The Journal of Chemical Physics. — 1992. — V. 96, № 10. — P. 3926-3930.

75. Kalinay P., Percus J.K. Corrections to the Fick-Jacobs equation // Physical Review E. — 2006. — V. 74, № 4. — 041203: 1-6.

76. Mangeat M., Guerin T., Dean D. Dispersion in two dimensional channels

— the Fick-Jacobs approximation revisited // Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment. — 2017. — V. 2017, № 12. — 123205: 1-28.

77. Malgaretti P., Oshanin G. Polymer translocation across a corrugated channel: Fick-Jacobs approximation extended beyond the mean first-passage time // Polymers. — 2019. — V. 11, № 2. — 251: 1-12.

78. Benito J., Karayiannis N.C., Laso M. Confined polymers as self-avoiding random walks on restricted lattices // Polymers. — 2018. — V. 10, № 12. — 1394: 1-25.

79. Beaton N.R., Eng J.W., Soteros C.E. Knotting statistics for polygons in lattice tubes // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. — 2019. — V. 52, № 14. — 144003: 1-25.

80. Brak R., Owczarek A.L., Rechnitzer A., Whittington S.G. A directed walk model of a long chain polymer in a slit with attractive walls // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 2005. — V. 38, № 20. — P. 4309-4325.

81. Flory P.J. Principles of polymer chemistry. — Ithaca: Cornell University Press, 1953. — 672 p.

82. Clisby N. Enumerative combinatorics of lattice polymers // Notices of the American Mathematical Society. — 2021. — V. 68. — P. 504-515.

83. Rechnitzer A., van Rensburg E.J. Exchange relations, Dyck paths and copolymer adsorption // Discrete Applied Mathematics. — 2004. — V. 140, № 1. — P. 49-71.

84. Orlandini E., Rechnitzer A., Whittington S.G. Random copolymers and the Morita approximation: Polymer adsorption and polymer localization // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 2002. — V. 35, № 36. — P. 7729-7751.

85. Iliev G., Rechnitzer A., Whittington S. Localization of random copolymers and the Morita approximation // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 2005. — V. 38, № 6. — P. 1209-1223.

86. Haschke H., Miles M., Koutsos V. Conformation of a single polyacrylamide molecule adsorbed onto a Mica surface studied with atomic force microscopy // Macromolecules. — 2004. — V. 37, № 10. — P. 3799-3803.

87. Haupt B.J., Ennis J., Sevick E.M. The detachment of a polymer chain from a weakly adsorbing surface using an AFM tip // Langmuir. — 1999. — V. 15, № 11. — P. 3886-3892.

88. Owczarek A.L., Prellberg T. Exact solution of pulled, directed vesicles with sticky walls in two dimensions // Journal of Mathematical Physics. — 2019. — V. 60, № 3. — 033301: 1-8.

89. Owczarek A.L., Prellberg T. Exact solution of a model of a vesicle attached to a wall subject to mechanical deformation // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. — 2012. — V. 45, № 39. — 395001: 1-10.

90. Orlandini E., Whittington S.G. Statistical topology of closed curves: Some applications in polymer physics // Reviews of Modern Physics. — 2007. — V. 79, № 2. — P. 611-642.

91. Meluzzi D., Smith D.E., Arya G. Biophysics of knotting // Annual Review of Biophysics. — 2010. — V. 39, № 1. — P. 349-366.

92. Micheletti C., Marenduzzo D., Orlandini E. Polymers with spatial or topological constraints: Theoretical and computational results // Physics Reports.

— 2011. — V. 504, № 1. — P. 1-73.

93. Grosberg A.Y., Nechaev S.K., Shakhnovich E.I. The role of topological constraints in the kinetics of collapse of macromolecules // Journal de Physique. — 1988. — V. 49, № 12. — P. 2095-2100.

94. Nechaev S., Polovnikov K., Shlosman S., Valov A., Vladimirov A. Anomalous one-dimensional fluctuations of a simple two-dimensional random walk in a large-deviation regime // Physical Review E. — 2019. — V. 99, № 1. — 012110: 1-10.

95. Grosberg A., Frisch H. Winding angle distribution for planar random walk, polymer ring entangled with an obstacle, and all that: Spitzer-Edwards-Prager-Frisch model revisited // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 2004.

— V. 37, № 8. — P. 3071-3072.

96. Vallee O., Soares M. Airy functions and applications to physics. — London: Imperial College Press, 2010. — 212 p.

97. Meerson B., Smith N.R. Geometrical optics of constrained Brownian motion: three short stories // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical.

— 2019. — V. 52, № 41. — 415001: 1-15.

98. Smith N.R., Meerson B. Geometrical optics of constrained Brownian excursion: from the KPZ scaling to dynamical phase transitions // Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment. - 2019. - V. 2019, № 2. - 023205: 1-21.

99. Gorsky A., Nechaev S., Valov A. Lifshitz tails at spectral edge and holography with a finite cutoff // Journal of High Energy Physics. — 2021. — V. 2021, № 4. — 80: 1-37.

100. Fixman M. Radius of gyration of polymer chains // The Journal of Chemical Physics. — 1962. — V. 36, № 2. — P. 306-310.

101. Eichinger B.E. An approach to distribution functions for gaussian molecules // Macromolecules. — 1977. — V. 10, № 3. — P. 671-675.

102. Rudnick J., Gaspari G. The shapes of random walks // Science. — 1987.

— V. 237, № 4813. — P. 384-389.

103. Nechaev S., Valov A. Fixman problem revisited: when fluctuations of inflated ideal polymer loop are non-Gaussian? // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. — 2021. — V. 54, № 46. — 465001: 1-11.

104. Wilson L.G., Poon W.C.K. Small-world rheology: An introduction to probe-based active microrheology // Physical Chemistry Chemical Physics. — 2011.

— V. 13, № 22. — P. 10617-10630.

105. Valov A., Avetisov V., Nechaev S., Oshanin G. Field-driven tracer diffusion through curved bottlenecks: fine structure of first passage events // Physical Chemistry Chemical Physics. — 2020. — V. 22, № 33. — P. 18414—18422.

106. Reguera D., Rubi J.M. Kinetic equations for diffusion in the presence of entropic barriers // Physical Review E. — 2001. — V. 64, № 6. — 061106: 1-8.

107. Валов А.Ф., Аветисов В.А. Флуктуационные особенности диффузного прохождения частицами узких каналов с препятствиями // Химическая физика. — 2022. — Т. 41, № 5. — С. 17-21.

108. Валов А., Горский А., Нечаев С. Равновесные среднеполевые модели статистической физики с аномальным флуктуационным поведением // Физика элементарных частиц и атомного ядра. — 2021. — Т. 52, № 2. — С. 356—386.

109. Carlitz L., Riordan J. Two element lattice permutation numbers and their q-generalization // Duke Mathematical Journal. — 1964. — V. 31, № 3. — P. 371-388.

110. Furlinger J., Hofbauer J. q-Catalan numbers // Journal of Combinatorial Theory, Series A. — 1985. — V. 40, № 2. — P. 248-264.

111. Prellberg T., Brak R. Critical exponents from nonlinear functional equations for partially directed cluster models // Journal of Statistical Physics.

— 1995. — V. 78, № 3-4. — P. 701-730.

112. Richard C., Guttmann A.J., Jensen I. Scaling function and universal amplitude combinations for self-avoiding polygons // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 2001. — V. 34, № 36. — P. 495-501.

113. Richard C. Scaling behaviour of two-dimensional polygon models // Journal of Statistical Physics. — 2002. — V. 108, № 3-4. — P. 459-493.

114. Owczarek A., Prellberg T. Enumeration of area-weighed Dyck paths with restricted height // Australasian Journal of Combinatorics. — 2012. — V. 54. — P. 13-18.

115. Al-Hassan Q. On powers of general tridiagonal matrices // Applied Mathematical Sciences. — 2015. — V. 15, № 12. — P. 583-592.

116. Gorsky E. q,t-Catalan numbers and knot homology // Contemporary Mathematics Series. — 2012. — V. 566. — P. 213-232.

117. Bulycheva K., Gorsky A., Nechaev S. Critical behavior in topological ensembles // Physical Review D. — 2015. — V. 92, № 10. — 105006: 1-16.

118. Maritan A. Random walk and the ideal chain problem on self-similar structures // Physical Review Letters. — 1989. — V. 62, № 24. — P. 2845-2848.

119. Ternovsky F., Nyrkova I., Khokhlov A. Statistics of an ideal polymer chain near the bifurcation region of a narrow tube // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. — 1992. — V. 184, № 3. — P. 342-353.

120. Burda Z., Duda J., Luck J.M., Waclaw B. Localization of the maximal entropy random walk // Physical Review Letters. — 2009. — V. 102, № 16. — 160602: 1-4.

121. Nechaev S., Tamm M., Valba O. Path counting on simple graphs: From escape to localization // Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment.

— 2016. — V. 2017, № 5. — 053301: 1-17.

122. Kornyik M., Michaletzky G. Wigner matrices, the moments of roots of Hermite polynomials and the semicircle law // Journal of Approximation Theory.

— 2016. —V. 211. — P. 29-41.

123. Dominici D. Asymptotic analysis of the Hermite polynomials from their differential-difference equation // Journal of Difference Equations and Applications.

— 2007. — V. 13, № 12. — P. 1115-1128.

124. Baik J., Ben Arous G., Peche S. Phase transition of the largest eigenvalue for nonnull complex sample covariance matrices // The Annals of Probability. — 2005. — V. 33, № 5. — P. 1643-1697.

125. Baik J., Lee J.O. Fluctuations of the free energy of the spherical Sherrington-Kirkpatrick model with ferromagnetic interaction // Annales Henri Poincare. — 2017. — V. 18, № 6. — P. 1867-1917.

126. Aggarwal A., Borodin A. Phase transitions in the ASEP and stochastic six-vertex model // The Annals of Probability. — 2019. — V. 47, № 2. — P. 613-689.

127. Wigner E.P. On the statistical distribution of the widths and spacings of nuclear resonance levels // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1951. — V. 47, № 4. — P. 790-798.

128. Calogero F. Solution of a three-body problem in one dimension // Journal of Mathematical Physics. — 1969. — V. 10, № 12. — P. 2191-2196.

129. Sutherland B. Quantum many-body problem in one dimension: Thermodynamics // Journal of Mathematical Physics. — 1971. — V. 12, № 2. — P. 251-256.

130. Guhr T., Miiller-Groeling A., Weidenmiiller H.A. Random-matrix theories in quantum physics: Common concepts // Physics Reports. — 1998. — V. 299, № 4. — P. 189-425.

131. Kostov I. Matrix models as CFT: Genus expansion // Nuclear Physics B.

— 2010. — V. 837, № 3. — P. 221-238.

132. Forrester P. The spectrum edge of random matrix ensembles // Nuclear Physics B. — 1993. — V. 402, № 3. — P. 709-728.

133. Tracy C.A., Widom H. Level-spacing distributions and the Airy kernel // Communications in Mathematical Physics. — 1994. — V. 159, № 1. — P. 151-174.

134. Tracy C.A., Widom H. On orthogonal and symplectic matrix ensembles // Communications in Mathematical Physics. — 1996. — V. 177, № 3. — P. 727754.

135. Lacoin H. New bounds for the free energy of directed polymers in dimension 1 + 1 and 1 + 2 // Communications in Mathematical Physics. — 2009.

— V. 294, № 2. — P. 471-503.

136. Majumdar S. Random matrices, the Ulam problem, directed polymers & growth models, and sequence matching // Les Houches Summer School Proceedings.

— 2007. —V. 85, № 1. — P. 1-39.

137. Majumdar S.N., Nechaev S. Anisotropic ballistic deposition model with links to the Ulam problem and the Tracy-Widom distribution // Physical Review E. — 2004. — V. 69, № 1. — 011103: 1-5.

138. Dumitriu I., Edelman A. Matrix models for beta ensembles // Journal of Mathematical Physics. — 2002. — V. 43, № 11. — P. 5830-5847.